Upload
others
View
18
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PROSIDING
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Jakarta
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA IV
Jakarta, 20 Oktober 2012
“Peran Matematika dalam Meningkatkan
Kemampuan Menyelesaikan Masalah”
“Peran Matematika dalam Meningkatkan
Kemampuan Menyelesaikan Masalah”
PROSIDING
ISSN: 2302-5867
Jurusan Matematika FMIPA UNJ
Jl. Pemuda No. 10 Rawamangun,
Jakarta Timur 13220
Telp./Fax. 021 4894909
ii
DAFTAR ISI
Sambutan Ketua Panitia i
Daftar Isi ii
Jadwal Kegiatan iv
Jadwal Sidang Paralel v
1 Iwan Pranoto, Mengkaji Relevansi Kecakapan Pemecahan Masalah Tak Rutin dalam Matematika Sekolah
1
2 Didi Suryadi, Pemecahan Masalah Matematis: Dimensi Berpikir, Proses Kognitif, dan Strategi Heuristic
6
3 Kartinah, S.Si., M.Pd., Asessment for Learning (AfL) untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Mahasiswa Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Semarang pada Mata Kuliah Kalkulus II
25
4 Drs. Rasiman, M.Pd., Penjenjangan Kemampuan Berpikir Kritis Mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Semarang dalam Menyelesaikan Masalah Matematika
33
5 Baso Amri, Efektifitas Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD Dalam Meningkatkan Pemahaman Siswa Pada Materi Bangun Ruang Prisma Melalui Implementasi Alat Peraga
40
6 Ester Simbolon, Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa Melalui Penerapan Tutor Sebaya pada Materi Pertidaksamaan Kuadrat di Kelas X SMA Damai Jakarta Barat
47
7 Suhas Caryono, Hubungan Prestasi Belajar Matematika Dengan Kemampuan Menyelesaikan Masalah Siswa Menurut Persepsi Guru Matematika dan Guru BK
56
8 Wiryanto, Abstraksi Siswa Sekolah Dasar dalam Merepresentasikan Konsep Pecahan Ditinjau Berdasarkan Perbedaan Gender
62
9 Sutrisno, S.Si., M.Pd, Peran Matematika dalam Meningkatkan kemampuan Menyelesaikan Masalah
77
10 Elda Herlina, Advanced Mathematical Thinking: Apa, Mengapa, dan Bagaimana Mengembangkannya pada Mahasiswa?
85
11 Mustamin Idris, Pengaruh Kriteria Penilaian dan Model Pembelajaran Terhadap Hasil Belajar Matematika Siswa SMP Negeri Kota Palu (Suatu Eksperimen pada Siswa SMP Negeri Kota Palu)
98
12 Martina Sri Handani, Upaya Meningkatkan Pemahaman Tentang Operasi Pecahan Dengan Pembelajaran Menggunakan Alat Peraga Di Tingkat SMP
110
13 Agustina Purwaningsih, Upaya Menumbuhkan Pemahaman Pada Penjumlahan Bilangan Cacah Sampai 20 Melalui Pendekatan Realistik di Sekolah Dasar Damai Kelas I
117
14 Makmuri, Pengembangan Multimedia Pembelajaran Matematika Berbasis Ict Untuk Meningkatkan Hasil Belajar Siswa Sma
126
15 Hepsi Nindiasari, Meningkatkan Disposisi Berpikir Reflektif Matematis Melalui Pembelajaran dengan Pendekatan Metakognitif
133
16 Dra. Enny Widawati., MT, Usulan Perencanaan Pengadaan Obat-obatan dalam 143
iii
Instalasi Farmasi Rumah Sakit (Studi Kasus: Rumah Sakit Atma Jaya, Jakarta)
17 Yuli Andriani, Penentuan Rumus Persentil Peubah Acak Kontinu Distribusi Eksponensial Menggunakan Statistika Tataan
155
18 Muhammad Zaki Riyanto, Protokol Perjanjian Kunci Rahasia Menggunakan Metode Penyembunyian Subgrup Atas Grup Non-Komutatif
160
19 Vera Maya Santi, Penerapan Model Log-Linier dan Tabel Kontingensi untuk Menganalisis Data Bertipe Kategorik(Studi Kasus: Penyakit Kulit Ganas Melanoma Pada Manusia)
167
20 Fevi Novkaniza, Penaksiran Parameter Univariate Partial Least Square Regression Menggunakan Algoritma NIPALS (Non Linier Iterative Partial Least Square)
175
21 Yudhi Mahatma, Estimasi Parameter Reservoir Komposit Menggunakan Ensembel Kalman Filter
188
22 Pudji Ismartini, Perbandingan Model Unilevel dan Multilevel pada Analisis Data Berstruktur Hirarki dengan Pendekatan Bayesian
200
23 Teguh Yuniarko, Metode Ekstrapolasi untuk Penyelesaian Sistem Persamaan Linier secara Iteratif
207
24 Suyono, Pendekatan Nonparametrik untuk Menentukan Availabilitas Suatu Sistem
213
25 Ida Dwijayanti, M.Pd., Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Humanistik Berideologi Pancasila Berbasis Konstruktivisme Menggunakan ICT Materi Segi Empat di SMP
26 Kristina Intan Kartika Putri, Bagan Kendali Exponentially Weighted Moving Average Untuk Mean Proses
213
Pendekatan Nonparametrik untuk Menentukan Availabilitas Suatu Sistem
Suyono
Jurusan Matematika FMIPA UNJ
Perhatikan sebuah sistem yang pada sebarang titik waktu dapat dikategorikan sebagai
dalam keadaan bekerja atau sedang dalam perbaikan. Waktu-waktu bekerja sistem
dianggap saling independen dan berdistribusi identik dengan distribusi sebarang,
demikian pula untuk waktu-waktu perbaikan sistem. Pada makalah ini dibahas
pendekatan nonparametrik untuk menentukan availabilitas sistem tersebut, yakni waktu-
waktu bekerja dan perbaikan sistem tidak dimodelkan dengan distribusi parametrik
tertentu. Dengan pendekatan ini pertama-tama diturunkan transformasi Laplace dari
availabilitas sistem yang memuat transformasi Laplace Stieltjes dari waktu-waktu bekerja
dan perbaikan. Selanjutnya dengan menggunakan fungsi distribusi empirik dari sample
untuk waktu bekerja dan waktu perbaikan transformasi Laplace ini diiversi secara
numerik.
Kata Kunci: Availabilitas sistem, transformasi Laplace, fungsi distribusi empirik
1. Pendahuluan
Perhatikan sebuah sistem yang mulai dioperasikan pada waktu t = 0. Setelah
bekerja selama T1 sistem tersebut gagal dan segera diperbaiki selama R1 sehingga sistem
dapat bekerja kembali. Segera setelah selesai perbaikan sistem bekerja kembali selama T2
sampai gagal dan segera diperbaiki selama R2. Proses ini dianggap berlangsung terus
menerus. Jadi pada sembarang titik waktu t sistem dapat dikategorikan sedang dalam
keadaan bekerja atau sedang diperbaiki. Probabilitas sistem bekerja pada waktu t
dinamakan availabilitas sistem pada waktu t dan merupakan salah satu ukuran kinerja
sistem. Semakin besar availabilitas sistem maka semakin baik kinerja sistem tersebut.
Banyak literatur membahas tentang availabilitas sistem. Barlow dan Proschan
(1975) menyajikan rumus eksplisit untuk availabilitas sistem dimana waktu bekerja dan
waktu perbaikan sistem diasumsikan saling independen dan berdistribusi eksponensial.
Pham Gia dan Turkan (1999) membahas availabitas sistem dengan waktu bekerja dan
waktu perbaikan sistem diasumsikan berdistribusi Gamma yang merupakan generalisasi
dari distribusi eksponensial. Suyono (2002) membahas availabilitas sistem dimana waktu
bekerja dan waktu perbaikan sistem berdistribusi sebarang dan mungkin berkorelasi.
Selanjutnya Suyono (2008) juga membahas availabilitas sistem yang dimodelkan dengan
delayed delayed alternating renewal process. Dalam makalah ini akan dibahas
pendekatan nonparametrik untuk menentukan availabilitas sistem, yakni waktu-waktu
bekerja dan perbaikan sistem tidak dimodelkan dengan distribusi parametrik tertentu
(bebas distribusi).
Susunan makalah ini adalah sebagai berikut. Di Bagian 2 akan dibahas
availabilitas sistem. Transformasi Laplace dari availabilitas sistem disajikan di bagian ini.
Bagian 3 membahas inversi transformasi Laplace secara numerik Selanjutnya di bagian
terakhir dibahas pendekatan nonparametrik untuk menentukan availabilitas sistem.
Sebuah contoh perhitungan availabilitas sistem disajikan dalam bagian ini.
214
2. Availabilitas Sistem
Misalkan (Tn) dan (Rn), n≥1, adalah barisan waktu-waktu bekerja dan waktu-
waktu perbaikan suatu sistem. Anggap (Tn) dan (Rn), n≥1, merupakan barisan variabel
acak non-negatif yang saling independen dan berdistribusi identik. Anggap pula barisan
(Tn) dan (Rn) saling independen. Notasikan berturut-turut dengan F dan G fungsi-fungsi
distribusi kumulatif dari Ti dan Ri, yakni
F(t) = P(Ti t) dan G(t) = P(Ri t).
Untuk selanjutnya akan dianggap F dan G kontinu. Transformasi Laplace Stieltjes dari F
dan G akan dinotasikan dengan F dan G , yakni untuk s > 0,
][)()( 1
0
sTst eEtdFesF
dan ][)()( 1
0
sRst eEtdGesG
.
Jelas bahwa kedua transformasi Laplace Stieltjes ini dijamin ada.
Misalkan Zn = Xn + Yn, n≥1. Notasikan dengan H fungsi distribusi kumulatif dari
Zn. Seperti sebelumnya transformasi Laplace Stieltjes dari H akan dinotasikan dengan H .
Notasikan dengan A(t) availabilitas sistem pada waktu t.
Teorema 2.1. Availabilitas sistem A(t) memenuhi persamaan integral
t
zdHztAtFtA0
)()()()( (1)
dimana ).(1)( tFtF
Bukti:
Dengan mengkondisikan pada Z1 diperoleh
t
t
t
zdHztAtF
zdHzZtTtP
zdHzZtTtPtTP
tTtPtTtP
tPtA
0
11
0
111
11
)()()(
)()|, waktu pada bekerja Sistem(
)()|, waktu pada bekerja Sistem()(
), waktu pada bekerja Sistem(), waktu pada bekerja Sistem(
) waktupada bekerja Sistem()(
Untuk menentukan availabilitas sistem A(t) dengan menggunakan persamaan
integral di atas pada umumnya sulit dilakukan. Salah satu cara untuk mengatasinya
adalah dengan mencari transformasi Laplace dari A(t) dan kemudian menginversi
transformasi Laplace yang diperoleh untuk mendapatkan kembali A(t). Dalam beberapa
kasus transformasi Laplace dari A(t) dapat diinversi secara analitik, tetapi pada umumnya
harus diinversi secara numerik. Untuk inversi transformasi Laplace secara numerik lihat
misalnya Abate dan Whitt (1992). Transformasi Laplace dari A(t) diberikan dalam
teorema berikut.
215
Teorema 2.2. Transformasi Laplace dari A(t) diberikan oleh, untuk s > 0,
)](1[
)(1)(
0sHs
sFdtetA st
(2)
Bukti: Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan (1)
diperoleh
0
000
0 0
)(
0
00
0 000
)()()](1[1
)()()(11
)()()(1
)()()](1[
)()()()(
dwewAsHsFs
zdHedwewAtdFess
zdwdHewAdtetFs
zdtdHeztAdtetF
dtzdHeztAdtetFdtetA
sw
szswst
z w
zwsst
z zt
stst
t
t
z
ststst
Sebagai akibatnya
)](1[
)(1)(
0sHs
sFdtetA st
.
Akibat 2.3. Jika (Tn) dan (Rn) independen maka
)]()(1[
)(1)(
0sGsFs
sFdtetA st
. (3)
Bukti: Gunakan sifat bahwa jika Tn dan Rn independen maka
].[exp()][exp())]([exp( nnnn sREsTERTsE
3. Inversi Secara Numerik dari Transformasi Laplace
Misalkan f merupakan fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval [0,).
Transformasi Laplace dari f didefinisikan sebagai
0
,)()(ˆ dxexfsf sx
dimana s adalah variabel kompleks, bilamana nilai integral ini ada. Apabila diketahui
transformasi Laplace f̂ , fungsi f dapat ditemukan kembali dengan menggunakan rumus
inversi:
dueiuafe
xf ituax
)(ˆ2
)(
(4)
216
dimana 1i dan a adalah bilangan real yang dipilih sedemikian hingga )(ˆ sf tidak
memiliki titik singular di sebelah kanan atau pada garis vertikal s=a, lihat Abate dan
Whitt (1992). Untuk beberapa transformasi Laplace f̂ , fungsi f dapat ditemukan kembali
secara analitik, tabel untuk ini tersedia, lihat misalnya Oberhettinger (1973). Pada
umumnya transformasi Laplace f̂ tidak dapat diinversi secara analitik dan untuk itu
diperlukan suatu prosedur untuk menginversi transformasi Laplace secara numerik.
Beberapa algoritma untuk menginversi transformasi Laplace secara numerik telah
dibahas oleh beberapa peneliti, antara lain Iseger dan Smith (1998), dan Abate dan Whitt
(1992). Mengikuti Abate dan Whitt disini akan digunakan aturan trapesium untuk
mengaproksimasi integral (4).
Integral suatu fungsi g pada interval terbatas [a,b] dapat diaproksimasi dengan
aturan trapesium sebagai berikut:
b
a
n
k
khagbgag
hxg1
1
)(2
)()()(
dimana h=(b-a)/n, lihat Abate dan Whitt (1992). Jika a=- dan b= dan fungsi g
terintegralkan pada seluruh garis real maka rumus di atas menjadi
k
khghxg )()( 11 (5)
dimana h1 adalah suatu konstanta positif yang cukup kecil.
Dengan menerapkan rumus (5) terhadap (4) dan dengan mengambil h1=/x, x>0,
dan a=A/x, maka diperoleh
x
kiAf
x
exf k
A ˆ)1(2
)( .
Dalam praktek rumus ini diaprokasimasi dengan
M
M
kA
x
kiAf
x
exf
ˆ)1(2
)( (6)
Dengan menggunakan fakta bahwa ))(ˆRe()(ˆ)(ˆ sfsfsf , dimana s dan Re(s)
masing-masing menyatakan konjugasi kompleks dan bagian real dari s, rumus (6) dapat
dituliskan sebagai
M
k
kAA
x
kiAf
x
exAf
x
exf
1
ˆRe)1()/(ˆ2
)(
(7)
Pada bagian selanjutnya rumus (6) dan (7) akan dipakai untuk menginversi secara
numerik transformasi Laplace dari A(t).
3. Pendekatan Nonparametrik untuk Menentukan Availabilitas Sistem
Pada bagian ini akan dibahas pendekatan nonparametrik untuk menentukan
availabilitas sistem dimana waktu bekerja dan waktu perbaikan dianggap tidak
mempunyai distribusi parametrik tertentu (bebas distribusi). Sebagai gantinya akan
digunakan fungsi distribusi empirik dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sistem.
217
Misalkan T1, T2,…, Tn merupakan sampel acak dari waktu-waktu bekerja sistem
yang bebas distribusi. Fungsi distribusi empirik dari sampel tersebut didefinisikan
sebagai:
n
nitTtF i
n
},...,2,1:{#)(
Fungsi distribusi empirik ini mempunyai sifat ‘baik’ karena (menurut teorema Glivenko-
Cantelli, lihat Chung (2001)) dengan probabilitas 1,
0|)()(|sup
tFtFt
n untuk n → .
Secara serupa, misalkan R1, R2,…, Rn merupakan sampel acak dari waktu-waktu
perbaikan sistem. Maka fungsi distribusi empirik dari sampel tersebut adalah
n
nirRrG i
n
},...,2,1:{#)(
Transformasi Laplace-Stieltjes dari Fn dan Gn masing-masing adalah
n
i
st
nie
nsF
1
* 1)( dan
n
i
sr
nie
nsG
1
* 1)(
Dengan menggunakan Akibat 2.3, dengan F dan G masing-masing diganti dengan Fn dan
Gn, maka diperoleh
n
i
srn
i
st
n
i
st
n
i
srn
i
st
n
i
st
st
ii
i
ii
i
eens
enn
en
en
s
en
dtetA
11
2
1
11
1
0 111
11
)( (8)
Rumus ini dapat digunakan untuk menentukan availabilitas sistem dengan pendekatan
nonparametrik. Berikut ini akan diberikan sebuah contoh.
Misalkan diberikan 100 sampel dari waktu-waktu bekerja sistem yang telah
diurutkan sebagai berikut:
0.2014 0.6664 0.6853 0.6880 0.7258 0.8102 0.8203 0.8766
0.9077 0.9619 0.9773 1.1325 1.1913 1.4386 1.4804 1.5057
1.5111 1.5537 1.5630 1.6572 1.6781 1.7720 1.7829 1.7913
1.8070 1.8203 1.8663 1.9589 2.0389 2.0503 2.1057 2.1692
2.2219 2.2773 2.2907 2.3005 2.3186 2.3366 2.4586 2.4815
2.5102 2.5111 2.5831 2.6499 2.6733 2.6824 2.6898 2.7248
2.7412 2.8018 2.8168 2.8419 2.8496 2.8593 2.8599 2.8849
2.9712 3.0078 3.0950 3.1470 3.1570 3.1773 3.1913 3.1937
3.2173 3.2430 3.2982 3.3542 3.3828 3.3853 3.4103 3.5151
3.5523 3.6049 3.7846 3.8340 3.9133 4.0322 4.1204 4.1537
4.2675 4.3298 4.3583 4.3838 4.4286 4.4987 4.5142 4.7532
5.0715 5.1105 5.3887 5.6598 5.7930 6.1923 6.5495 6.6028
7.0349 7.0449 8.2473 9.5257
Misalkan juga diberikan 100 sampel dari waktu-waktu perbaikan sistem yang telah
diurutkan sebagai berikut:
0.0099 0.0118 0.0154 0.0198 0.0596 0.0670 0.1468 0.1495
0.1635 0.1899 0.1939 0.2103 0.2150 0.2215 0.2217 0.2221
0.2265 0.2266 0.2561 0.2908 0.3167 0.3177 0.3346 0.3421
218
0.3549 0.3606 0.3633 0.3700 0.4064 0.4173 0.4185 0.4352
0.4627 0.4754 0.4772 0.5204 0.5281 0.5424 0.5508 0.5602
0.5672 0.5886 0.5890 0.6273 0.6334 0.6863 0.6988 0.7247
0.7394 0.7448 0.7546 0.7637 0.7802 0.7909 0.8395 0.8670
0.8742 0.9003 0.9258 0.9556 0.9710 1.0231 1.0354 1.0795
1.0831 1.1152 1.1434 1.1464 1.1860 1.1970 1.2131 1.2361
1.2987 1.3368 1.3402 1.3735 1.4286 1.5699 1.5839 1.6775
1.7036 1.7239 1.7826 1.8209 1.8232 1.8722 1.9218 1.9662
2.0854 2.1214 2.2410 2.2434 2.3003 2.4878 2.5487 2.6855
2.7406 3.1429 3.8994 4.4512
Availabilitas sistem dapat diperoleh dengan menginversi secara numerik transformasi
Laplace dari A(t) yang diberikan pada persamaan (8) dengan menggunakan data-data di
atas. Berikut ini program yang ditulis dalam MATLAB untuk menginversi transformasi
Laplace dari A(t).
function [f]=availabilitas(t,M)
%Program untuk menghitung A(t)
A=5;
B=A/t;
C=i*pi/t;
P=exp(A)/(2*t);
m=0;
for j=-M:M
s = B+C*
E1=exp(-0.2014*s); E2=exp(-0.6664*s); E3=exp(-0.6853*s); E4=exp(-0.6880*s);
E5=exp(-0.7258*s); E6=exp(-0.8102*s); E7=exp(-0.8203*s); E8=exp(-0.8766*s);
E9=exp(-0.9077*s); E10=exp(-0.9619*s); E11=exp(-0.9773*s); E12=exp(-1.1325*s);
E13=exp(-1.1913*s); E14=exp(-1.4386*s); E15=exp(-1.4804*s); E16=exp(-1.5057*s);
E17=exp(-1.5111*s); E18=exp(-1.5537*s); E19=exp(-1.5630*s); E20=exp(-1.6572*s);
E21=exp(-1.6781*s); E22=exp(-1.7720*s); E23=exp(-1.7829*s); E24=exp(-1.7913*s);
E25=exp(-1.8070*s); E26=exp(-1.8203*s); E27=exp(-1.8663*s); E28=exp(-1.9589*s);
E29=exp(-2.0389*s); E30=exp(-2.0503*s); E31=exp(-2.1057*s); E32=exp(-2.1692*s);
E33=exp(-2.2219*s); E34=exp(-2.2773*s); E35=exp(-2.2907*s); E36=exp(-2.3005*s);
E37=exp(-2.3186*s); E38=exp(-2.3366*s); E39=exp(-2.4586*s); E40=exp(-2.4815*s);
E41=exp(-2.5102*s); E42=exp(-2.5111*s); E43=exp(-2.5831*s); E44=exp(-2.6499*s);
E45=exp(-2.6733*s); E46=exp(-2.6824*s); E47=exp(-2.6898*s); E48=exp(-2.7248*s);
E49=exp(-2.7412*s); E50=exp(-2.8018*s); E51=exp(-2.8168*s); E52=exp(-2.8419*s);
E53=exp(-2.8496*s); E54=exp(-2.8593*s); E55=exp(-2.8599*s); E56=exp(-2.8849*s);
E57=exp(-2.9712*s); E58=exp(-3.0078*s); E59=exp(-3.0950*s); E60=exp(-3.1470*s);
E61=exp(-3.1570*s); E62=exp(-3.1773*s); E63=exp(-3.1913*s); E64=exp(-3.1937*s);
E65=exp(-3.2173*s); E66=exp(-3.2430*s); E67=exp(-3.2982*s); E68=exp(-3.3542*s);
E69=exp(-3.3828*s); E70=exp(-3.3853*s); E71=exp(-3.4103*s); E72=exp(-3.5151*s);
E73=exp(-3.5523*s); E74=exp(-3.6049*s); E75=exp(-3.7846*s); E76=exp(-3.8340*s);
E77=exp(-3.9133*s); E78=exp(-4.0322*s); E79=exp(-4.1204*s); E80=exp(-4.1537*s);
E81=exp(-4.2675*s); E82=exp(-4.3298*s); E83=exp(-4.3583*s); E84=exp(-4.3838*s);
E85=exp(-4.4286*s); E86=exp(-4.4987*s); E87=exp(-4.5142*s); E88=exp(-4.7532*s);
E89=exp(-5.0715*s); E90=exp(-5.1105*s); E91=exp(-5.3887*s); E92=exp(-5.6598*s);
E93=exp(-5.7930*s); E94=exp(-6.1923*s); E95=exp(-6.5495*s); E96=exp(-6.6028*s);
E97=exp(-7.0349*s); E98=exp(-7.0449*s); E99=exp(-8.2473*s); E100=exp(-9.5257*s);
219
S1=E1+E2+E3+E4+E5+E6+E7+E8+E9+E10+E11+E12+E13+E14+E15...
+E16+E17+E18+E19+E20+E21+E22+E23+E24+E25+E26+E27+E28+E29+E30...
+E31+E32+E33+E34+E35+E36+E37+E38+E39+E40+E41+E42+E43+E44+E45...
+E46+E47+E48+E49+E50+E51+E52+E53+E54+E55+E56+E57+E58+E59+E60...
+E61+E62+E63+E64+E65+E66+E67+E68+E69+E70+E71+E72+E73+E74+E75...
+E76+E77+E78+E79+E80+E81+E82+E83+E84+E85+E86+E87+E88+E89+E90...
+E91+E92+E93+E94+E95+E96+E97+E98+E99+E100;
F1=exp(-0.0099*s); F2=exp(-0.0118*s); F3=exp(-0.0154*s); F4=exp(-0.0198*s);
F5=exp(-0.0596*s); F6=exp(-0.0670*s); F7=exp(-0.1468*s); F8=exp(-0.1495*s);
F9=exp(-0.1635*s); F10=exp(-0.1899*s); F11=exp(-0.1939*s); F12=exp(-0.2103*s);
F13=exp(-0.2150*s); F14=exp(-0.2215*s); F15=exp(-0.2217*s); F16=exp(-0.2221*s);
F17=exp(-0.2265*s); F18=exp(-0.2266*s); F19=exp(-0.2561*s); F20=exp(-0.2908*s);
F21=exp(-0.3167*s); F22=exp(-0.3177*s); F23=exp(-0.3346*s); F24=exp(-0.3421*s);
F25=exp(-0.3549*s); F26=exp(-0.3606*s); F27=exp(-0.3633*s); F28=exp(-0.3700*s);
F29=exp(-0.4064*s); F30=exp(-0.4173*s); F31=exp(-0.4185*s); F32=exp(-0.4352*s);
F33=exp(-0.4627*s); F34=exp(-0.4754*s); F35=exp(-0.4772*s); F36=exp(-0.5204*s);
F37=exp(-0.5281*s); F38=exp(-0.5424*s); F39=exp(-0.5508*s); F40=exp(-0.5602*s);
F41=exp(-0.5672*s); F42=exp(-0.5886*s); F43=exp(-0.5890*s); F44=exp(-0.6273*s);
F45=exp(-0.6334*s); F46=exp(-0.6863*s); F47=exp(-0.6988*s); F48=exp(-0.7247*s);
F49=exp(-0.7394*s); F50=exp(-0.7448*s); F51=exp(-0.7546*s); F52=exp(-0.7637*s);
F53=exp(-0.7802*s); F54=exp(-0.7909*s); F55=exp(-0.8395*s); F56=exp(-0.8670*s);
F57=exp(-0.8742*s); F58=exp(-0.9003*s); F59=exp(-0.9258*s); F60=exp(-0.9556*s);
F61=exp(-0.9710*s); F62=exp(-1.0231*s); F63=exp(-1.0354*s); F64=exp(-1.0795*s);
F65=exp(-1.0831*s); F66=exp(-1.1152*s); F67=exp(-1.1434*s); F68=exp(-1.1464*s);
F69=exp(-1.1860*s); F70=exp(-1.1970*s); F71=exp(-1.2131*s); F72=exp(-1.2361*s);
F73=exp(-1.2987*s); F74=exp(-1.3368*s); F75=exp(-1.3402*s); F76=exp(-1.3735*s);
F77=exp(-1.4286*s); F78=exp(-1.5699*s); F79=exp(-1.5837*s); F80=exp(-1.6775*s);
F81=exp(-1.7036*s); F82=exp(-1.7239*s); F83=exp(-1.7826*s); F84=exp(-1.8209*s);
F85=exp(-1.8232*s); F86=exp(-1.8722*s); F87=exp(-1.9218*s); F88=exp(-1.9662*s);
F89=exp(-2.0854*s); F90=exp(-2.1214*s); F91=exp(-2.2410*s); F92=exp(-2.2434*s);
F93=exp(-2.3003*s); F94=exp(-2.4878*s); F95=exp(-2.5487*s); F96=exp(-2.6855*s);
F97=exp(-2.7406*s); F98=exp(-3.1429*s); F99=exp(-3.8994*s); F100=exp(-4.4512*s);
S2=F1+F2+F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9+F10+F11+F12+F13+F14+F15...
+F16+F17+F18+F19+F20+F21+F22+F23+F24+F25+F26+F27+F28+F29+F30...
+F31+F32+F33+F34+F35+F36+F37+F38+F39+F40+F41+F42+F43+F44+F45...
+F46+F47+F48+F49+F50+F51+F52+F53+F54+F55+F56+F57+F58+F59+F60...
+F61+F62+F63+F64+F65+F66+F67+F68+F69+F70+F71+F72+F73+F74+F75...
+F76+F77+F78+F79+F80+F81+F82+F83+F84+F85+F86+F87+F88+F89+F90...
+F91+F92+F93+F94+F95+F96+F97+F98+F99+F100;
U1=100*S1;
U2=10000-U1;
V1=S1*S2;
V2=10000-V1;
V3=s*V2;
R=U2*V3;
m=m+(-1)^j*R;
end
f=real(P*m); %f=A(t).
Dari output-output program di atas dapat dibuat grafik untuk A(t) dan disajikan dalam
gambar berikut. Dari grafik terlihat bahwa availabilitas system mendekati konstan untuk t
220
yang makin besar dan ini sesuai dengan hasil teoritis, lihat misalnya Barlow dan Proschan
(1975).
Gambar 1. Grafik availabilitas sistem.
Daftar Pustaka
Abate, J. dan Whitt, W., (1992), The Fourier-series method for inverting transforms of
probability distributions, Queuing Systems, vol. 10, hal. 5 – 88.
Barlow, R. E. dan Proschan, F., (1975), Statistical Theory of Reliability and Life
Testing, Holt, Rinehart and Winston, New York.
Chung, K.L., (1968), A Course in Probability Theory, Academic Press, San Diego.
Iseger, P.W. and Smith, M.A.J., (1998), A new method for inverting Laplace transforms,
Econometric Institute, EUR Roterdam, hal. 1-14
Oberhettinger, F., (1973), Fourier Transforms of Distributions and Their Inverses: a
collection of tables, Academic Press, New York.
Pham-Gia, T. dan Turkkan, N., (1999), System availability in a Gamma alternating
renewal process, Naval Research Logistics, vol. 46 no. 7, hal. 822 – 844.
Suyono, (2002), Renewal Processes and Repairable Systems, Disertasi, Belanda.
Suyono, (2008), Availabilitas sistem yang dimodelkan dengan delayed alternating
renewal process, Disajikan pada Konferensi Nasional Matematika XIV di
Universitas Sriwijaya, Palembang.