Protokoll zum Versuch W4:Linearer Ausdehnungskoeffizient

Sven E Tobias F

Abgabedatum: 24. April 2007

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Physikalischer Zusammenhang 32.1 Metallbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Gitterenergie und thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Potenzialkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Linearer und kubischer Ausdehnungskoeffizient . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Zusammenhang zwischen linearem und kubischem Koeffi-zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Technische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Versuchsbeschreibung 7

4 Versuchsdurchführung 9

5 Auswertung 95.1 Messdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Berechnung der Geradensteigung und des Fehlers . . . . . . . . . 10

6 Fazit und Vergleich mit Literaturwerten 11

7 Anhang 127.1 Diagramm in Din A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2

1 Einleitung

Der durchgeführte Versuch und die dazugehörige Ausarbeitung dienen zur Klä-rung des Phänomens der thermischen Ausdehnung. Um die physikalischen Hin-tergründe besser erfassen zu können werden erst die Zusammenhänge der metal-lischen Gitterbindung bzw. deren Gitterenergie und der Ausdehnung bei Ener-giezufuhr dargestellt. In Folge dessen wird nun noch auf die Anwendung bzw.technische Bedeutung der thermischen Ausdehnung eingegangen.

2 Physikalischer Zusammenhang

2.1 Metallbindung

Die Besonderheit bei Metallen ist, dass sich nicht nur zwei Nachbaratome, son-dern alle Atome die Valenzelektronen teilen. Diese bilden dann das so genannteElektronengas, welches sich frei durch die Kristallstruktur bewegen kann.

2.2 Gitterenergie und thermische Ausdehnung

Als Gitterenergie W0 wird die Energie bezeichnet, die gebraucht wird um zweiAtome aus einer Bindung heraus bis ins Unendliche auseinander zu bringen.In einem Festkörper herrscht nur deshalb eine bestimmte Dichte, weil dessenTeilchen einen spezifischen Gleichgewichtsabstand r0 voneinander einhalten, umwelchen diese schwingen. Dieser Abstand wird bestimmt durch das Wechselspielzwischen Anziehung und Abstoßung der jeweiligen Teilchen, allerdings hängt dieAbstoßung wesentlich stärker vom Abstand ab als die Anziehung. Daher auchder asymmetrische Verlauf der Potentialverteilung. r0 kann auch als mittlererAbstand der beiden Atome zueinander aufgefasst werden.Führt man dem Stoff nun Wärme zu, dehnt dieser sich aus. Dies ist damitzu erklären, dass durch die Wärme den Atomen Energie zugeführt wird unddiese dadurch beginnen, stärker zu schwingen. Da sie nicht durch andere Atomehindurch schwingen können, sind sie gezwungen, ihren mittleren Abstand r0 zuvergrößern. In der Folge dehnt sich der Stoff aus.

2.2.1 Potenzialkurve

Atome in einem Festkörper stehen nie still. Sie schwingen ständig in einem ge-wissen Maß um ihren mittleren Abstand voneinander. Das Ausmaß der Schwin-gung beschreibt die Potenzialkurve (siehe Abb. 1 auf der nächsten Seite). Diesewird bestimmt durch das Wechselspiel zwischen Anziehung und Abstoßung dereinzelnen Atome. Allerdings muss die Abstoßung wesentlich steiler beschriebenwerden als die Anziehung, daher auch der asymmetrische Verlauf der Kurve.Die Anziehung kann beschrieben werden als:

Wanz = −α · k · e2

r(1)

k ist die Boltzmann-Konstante und α die Madelung-Konstante, eine stoffspezifi-sche Konstante, welche die Bindungsverhältnisse in einem Festkörper beschreibt,

3

Abb. 1: Die Potenzialkurve gibt die Potenzielle Energie zwischen zwei Atomenabhängig von ihrem Abstand an. [UW06]

und r der Abstand zwischen den Atomen.Ebenso kann die Abstoßung beschrieben werden:

Wabst =A

rn(2)

A und n sind Konstanten und A muss noch bestimmt werden. Somit erhält manfür das Gesamtpotential

W = −α · k · e2

r+

A

rn(3)

Nun gilt es, A zu bestimmen. Da F = −dWdr gilt und an der Stelle r = r0 F = 0

ist, erhält man

A =α · k · e2 · rn−1

0

n(4)

Für das gesamte Potential gilt also:

W = −α · k · e2

r0

[r0

r− 1

n·(r0

r

)n]

(5)

An der Stelle r = r0 erhält man so

W (r0) = −α · k · e2

r0

(1− 1

n

)(6)

Dies ist genau die Gitterenergie, jene Energie, die benötigt wird, um zwei Atomeauf einen unendlichen Abstand zu trennen bzw. den Stoff in den gasförmigenAggregatzustand zu überführen.Um die Form der Potenzialkurve besser beschreiben zu können, entwickelt maneine Taylor-Reihe um das Potenzialminimum und erhält so W = W0+1

2 ·W′′0 ·x2+

16 ·W

′′′0 ·x3, wobei x = r− r0 ist. Aus diesem Polynom kann nun der Verlauf der

Kurve erklärt werden.So enthält sie keinen linearen Teil, da W

′(r0) = 0, einen quadratischen Teil

4

um das Kurvenminimum, welcher die Krümmung um r0 verursacht, und einenkubischen Teil für die Asymmetrie bei größeren r.Physikalisch gesehen, gibt W

′ die wirkende Kraft zwischen den Atomen, W′′

direkt den Elastizitätsmodul und W′′′ die thermische Ausdehnung des Kristalls

an.

2.3 Linearer und kubischer Ausdehnungskoeffizient

Durch Experimente erkennt man, dass die Ausdehnung eines Stoffes ∆l propor-tional zur Temperaturänderung ∆T ist.Für den linearen Ausdehnungskoeffizienten α ergibt sich:

∆l

l0= α∆T ⇔ α =

∆l

l0 ·∆T(7)

Da der Ausdehnungskoeffizient für genügend kleine Bereiche temperaturunab-hängig ist, bildet man nun den Grenzwert lim

∆T→0:

α = lim∆T→0

∆l

l0 ·∆T⇔ α =

1l0· dl

dT(8)

Für den kubischen Ausdehnungskoeffizienten β und die Volumenänderung ∆Vanalog:

∆V

V0= β∆T ⇔ β =

∆V

V0 ·∆T(9)

β = lim∆T→0

∆V

V0 ·∆T⇔ β =

1V0· dV

dT(10)

2.3.1 Zusammenhang zwischen linearem und kubischem Koeffizienten

Für ein beliebiges Material gilt β = 3 ·α, solange α klein gegen 1 ist. Dies folgtaus der Betrachtung eines Quaders mit der Ausdehnung V = L1 ·L2 ·L3 beider Temperatur T . Die Änderung des Volumens abhängig von der Temperaturbeträgt

dV

dT= L1 ·L2 ·

dL3

dT+ L1 ·L3 ·

dL2

dT+ L2 ·L3 ·

dL1

dT(11)

Teilen wir beide Seiten durch das Volumen, ergibt sich

β =1V

dV

dT=

1L3

dL3

dT+

1L2

dL2

dT+

1L1

dL1

dT(12)

Jeder Term auf der rechten Seite der Gleichung entspricht α, also ergibt sichβ = 3 ·α.Die Herleitung erfolgte nun für differentielle Änderungen. Wichtig ist allerdings,dass α = 3 ·β auch für makroskopische Änderungen gilt. Dies kann man eben-falls aus Gleichung 7 schließen. Es gilt:

l(T ) = l0 · (1 + α∆T ) (13)⇒ V (T ) = l3(T ) = V0 · (1 + α∆T )3 (14)

5

Da α sehr klein gegen 1 ist, fallen die quadratischen und kubischen Glieder geringgenug aus, damit sie weggelassen werden können. Damit ergibt sich vereinfacht

V (T ) = V0 · (1 + 3α∆T ) (15)

Ähnlich erfolgt die Herleitung für die Flächenausdehnung.

2.4 Technische Bedeutung

Abb. 2: Bei der Köhlbrand-Brücke in Hamburg muss die thermische Aus-dehnung bei großen Temperaturschwankungen berücksichtigt werden.[HGT06]

Die thermische Ausdehnung spielt überall dort eine Rolle, wo große Tempe-raturschwankungen herrschen.Ein Beispiel ist der Brückenbau. Wenn die Brücke im Sommer großer Hitze aus-gesetzt wird, dehnt diese sich aus. Damit diese aber nun sich nicht wellt odersogar reißt, werden Dehnungsfugen zwischen den einzelnen Elementen verlegt.Ein anderes Beispiel ist die Luft- und Raumfahrttechnik. Bei ihr finden Klebstof-fe sehr häufig Anwendung. Da diese im Regelfall aber andere Ausdehnungskoef-fizienten haben als die geklebten Stoffe, muss da drauf geachtet werden, dass beigroßen Temperaturschwankungen die Klebstelle nicht reißt. Dies kann dadurchverhindert werden, dass ein Klebstoff mit ähnlichen Ausdehnungskoeffizientengewählt und die Klebschicht sehr dünn gehalten wird.Die thermische Ausdehnung ist jedoch nicht nur eine zu berücksichtigende phy-sikalische Schikane, sie wird auch positiv genutzt. Hier ist ein Beispiel der Bi-metallschalter. Dies ist ein Streifen aus zwei unterschiedlichen Metallschichten,die aufeinander gebracht worden sind. Wird dieser Streifen nun erwärmt, ver-biegt er sich, da die Metalle sich unterschiedlich stark ausdehnen. Dies findetAnwendung in Thermoschaltern oder Thermostaten wie sie zum Beispiel in Was-serkochern vorkommen. Das Wasser wird erhitzt, der Bimetallstreifen verbiegt

6

Abb. 3: Auch in der Küche spielt thermische Ausdehnung eine Rolle. So darfdas Kochfeld sich bei Erwärmung nicht zu stark ausdehnen, da sonstdie restliche Arbeitsplatte reißen kann. [DM06]

sich und schließt bei der entsprechenden Temperatur den Kontakt, sodass einweiteres Erhitzen verhindert wird.(Als Quellen für die gesamte Einleitung dienen uns [Ge93], [TM04], [PPB06]und [W06])

3 Versuchsbeschreibung

Es sollen die linearen Ausdehnungskoeffizienten gegebener Legierungen bestimmtwerden. Auf dem Foto (Abb. 4 auf der nächsten Seite) sieht man die drei wär-meisolierten Metallrohre aus Aluminium, Kupfer und Stahl. Sie sind einseitigfest eingespannt. Auf der anderen Seite kann die Ausdehnung an Messuhren ab-gelesen werden. Eine Auflösung von bis zu 0.01mm ist möglich. Die drei Rohresind bei 25◦C 697.0mm lang.Sie werden von Wasser durchströmt, welches über einen Thermostat temperiertwird. Die eingestellte Temperatur wird nie exakt erreicht, da sich das Wasser aufdem Weg zu den Rohren und an den Rohren selber ein wenig abkühlt. Darumwird die mittlere Temperatur genau in der Mitte des Rohres mittels eines Platin-Widerstandsmessfühlers gemessen (Annahme: Die Temperatur nimmt entlangdes Rohres linear ab) und digital angezeigt.Über die Genauigkeit des Ergebnisses lässt sich sagen, dass ein systematischerFehler auftreten kann, der außerhalb des Vertrauensbereichs liegt. Der Grunddafür ist, dass die Metallstäbe jeweils nicht aus reinem Kupfer oder Aluminiumbestehen, auch für den Stahlstab kann man nur approximativ den Literaturwertvon Eisen heranziehen. Die Temperaturmessung kann nicht ganz zuverlässigsein, da das digital anzeigende Thermometer immer noch etwas schwankt. AlsFehler nehmen wir ∆T = 0.1K an. Ein gewichtiger Fehler wegen der Ausdehnung

7

Abb. 4: Versuchsaufbau: In der Mitte befinden sich, von schwarzem Isolierma-terial gedämmt, drei Metallrohre, welche rechts befestigt sind und linkssich frei ausdehnen können. Diese werden mit Wasser durchspült, wel-ches durch das Thermostat rechts temperiert wird. Links kann an denMessuhren dann die Längsausdehnung der Rohre abgelesen werden. Umdie reale Temperatur der Metalle erfassen zu können, befindet sich inder Mitte ein Digitalthermometer, welches die mittlere Temperatur derRohre misst. [PPB06]

8

der Messapparatur, insbesondere der Marmorplatte, auf der die Stäbe befestigtsind, ist wegen der Isolierung (auf dem Foto in schwarz) nicht zu erwarten.

4 Versuchsdurchführung

Wir beginnen die Messung mit einer Thermostateinstellung von 25◦C. Nun war-ten wir, bis die Rohre sich auf eine zeitlich etwa konstante Temperatur erwärmthaben. Dann werden die Starttemperaturen notiert und die Messuhren genullt.Nun erhöhen wir die Temperatur in 5◦C-Schritten, bis am Thermostat 90◦Cerreicht sind. Dabei werden in jedem Schritt die Temperaturen der Rohre Ti

und die Längenänderungen ∆li abgelesen.

5 Auswertung

5.1 Messdaten

Abb. 5: Gemessene lineare Ausdehnung ∆ll0

gegen Temperatur T mit Gleichun-gen der Regressionsgeraden

Die Messdaten finden sich in Tab. 1 auf der nächsten Seite und Abb. 5, imAnhang ist das Diagramm in A4 beigefügt (Abb. 6 auf Seite 13).Im Diagramm sind die Abweichungen der Messpunkte von den Regressions-geraden verschwindend gering, ob dieser Eindruck täuscht, soll im folgendenberechnet werden.

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TAl/◦C ∆lAl ∆lAl/l0 TCu/◦C ∆lCu ∆lCu/l0 TStahl/

◦C ∆lStahl ∆lStahl/l025,4 0,00 0,0000 24,8 0 0,0000 25,3 0 0,000030,1 0,75 0,0011 29,6 0,57 0,0008 30,1 0,4 0,000634,8 1,55 0,0022 34,5 1,12 0,0016 35 0,78 0,001139,7 2,40 0,0034 39,4 1,71 0,0025 39,8 1,19 0,001744,5 3,18 0,0046 44,2 2,28 0,0033 44,7 1,58 0,002349,5 4,00 0,0057 49,2 2,87 0,0041 49,6 2,01 0,002954,1 4,80 0,0069 54 3,44 0,0049 54,5 2,42 0,0035

59 5,59 0,0080 58,8 4,03 0,0058 59,4 2,84 0,004163,7 6,41 0,0092 63,7 4,61 0,0066 64,2 3,24 0,004668,5 7,24 0,0104 68,5 5,23 0,0075 69,1 3,71 0,005373,3 8,09 0,0116 73,4 5,85 0,0084 74 4,12 0,005978,1 8,95 0,0128 78,3 6,45 0,0093 78,8 4,59 0,006682,8 9,70 0,0139 83,1 7,07 0,0101 83,7 4,91 0,0070

88 10,45 0,0150 87,9 7,6 0,0109 88,6 5,39 0,0077

Tab. 1: Gemessene Temperaturen und Längenänderungen für Aluminium (Al),Kupfer (Cu) und Stahl; ∆l immer in mm (aus Platzgründen weggelas-sen)

5.2 Berechnung der Geradensteigung und des Fehlers

Wir führen eine lineare Regression durch (N = 14, N Anzahl der Stützstellen):

[TAl] =N∑

i=1

TAli = 791.5K

[T 2Al] =

N∑i=1

T 2Ali

= 49999K2

[∆l

l0] =

∑Ni=1 ∆lAli

697.0mm= 0.1049

[T lAl] =N∑

i=1

(TAli ·

∆lAli

697.0mm

)= 7.202K

DAl = N [T 2Al]− [TAl]2 = 73512K2

Die Geradensteigung aAl (und damit der lineare Ausdehnungskoeffizient αAl)ergibt sich zu

αAl = aAl =N · [T lAl]− [TAl] · [lAl]

D= 2.422 · 10−5 1

K

10

S2lAl

=1

N − 2

N∑i=1

(∆lAli − aAl ·TAli)2 = 4.487 · 10−6

SaAl=

√S2

lAl· N

DAl= 9.244 · 10−7 1

K

Der t-Faktor steht im Bronstein, für N − 2 = 12 ist t = 2.18. Damit ergibt sichder Vertrauensbereich ∆αAl zu

∆αAl = SaAl· t = 20.15 · 10−7 1

K

Für die anderen beiden Messreihen wurde analog gerechnet, es ergeben sichfolgende Werte:

[TCu] = 789.4K, [TStahl] = 796.8K

[T 2Cu] = 49882K2, [T 2

Stahl] = 50750K2

[lCu] = 0.07580, [lStahl] = 0.05334

[T lCu] = 5.207K, [T lStahl] = 3.697K

DCu = 75195K2, DStahl = 75603K2

αCu = 1.738 · 10−5 1K

, αStahl = 1.225 · 10−5 1K

S2lCu

= 2.244 · 10−6, S2lStahl

= 1.166 · 10−6

SaCu = 6.464 · 10−7 1K

, SaStahl= 4.646 · 10−7 1

K

∆αCu = 14.091 · 10−7 1K

,∆αStahl = 10.128 · 10−7 1K

6 Fazit und Vergleich mit Literaturwerten

Als endgültige Werte ergeben sich

αAl = (24.2± 2.0) · 10−6 1K , Literaturwert: 23.8 · 10−6 1

K ,

αCu = (17.4± 1.4) · 10−6 1K , Literaturwert: 16.8 · 10−6 1

K ,

11

αStahl = (12.3± 1.0) · 10−6 1K , Literaturwert: 12.0 · 10−6 1

K ,

wobei die Werte hinter dem Näherungszeichen jeweils Tabellenwerte aus [Ge93]übernommen sind.Die Tabellenwerte weichen etwas von den gemessenen Werten ab. Das liegt wahr-scheinlich daran, dass die Stäbe nicht aus den Reinmaterialien hergestellt wur-den, von denen die Tabelle ausgeht. Vor allem Stahl ist nie reines Eisen, alsomusste man hier die Abweichung von vornherein erwarten. Im l0, sofern korrektangegeben, liegt kein signifikanter Fehler; es geht nur einfach in die Messungein, die Angabe ist bis auf vier Stellen genau.

7 Anhang

Tab. 2: LiteraturverzeichnisDM06 http://www.der-manz.deGe93 Gerthsen/Vogel: Physik, Springer Lehrbuch 1993HGT06 http://www.hamburg-gets-together.dePPB06 http://physik.uni-paderborn.deTM04 Tipler/Mosca: Physics for Scientists and Engineers, EV, Freeman 2004UW04 http://www.physik.uni-wuerzburg.de/W06 http://www.wikipedia.de

Abbildungsverzeichnis

1 Potenzialkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Köhlbrand-Brücke in Hamburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Cerankochfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Gemessene lineare Ausdehnung ∆l

l0gegen Temperatur T mit Glei-

chungen der Regressionsgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Gemessene lineare Ausdehnung ∆l

l0gegen Temperatur T mit Glei-

chungen der Regressionsgeraden; Messung für Aluminium, Kup-fer und Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Tabellenverzeichnis

1 Gemessene Temperaturen und Längenänderungen für Aluminium(Al), Kupfer (Cu) und Stahl; ∆l immer in mm (aus Platzgründenweggelassen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7.1 Diagramm in Din A4

12

Abb. 6: Gemessene lineare Ausdehnung ∆ll0

gegen Temperatur T mit Gleichun-gen der Regressionsgeraden; Messung für Aluminium, Kupfer und Stahl

13