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Prova de Fisica 3 UFRJ 2014-1
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Universidade Federal do Rio de Janeiro Insti-tuto de FsicaFsica III 2014/1 Segunda Prova: 12/05/2014TesteVERSAO: A
Formulario
~Fm = q~v ~B , d~Fm = Id~ ~B ,
S
~B d~A = 0 , d ~B =04
Id~ r
r2,
C
~B d~ = 0Ienc + 00dEdt
, Eind = dBdt
, B = LI , uB =1
2
B2
0.
Secao 1. Multipla escolha (80,6 = 4,8 pontos)
1. Uma barra de comprimento a ocupa uma regiao ondeha um campo magnetico constante (estacionario e uni-
forme) ~B. A barra gira com velocidade angular ~,em torno de um ponto fixo em uma de suas extremi-dades, em um plano perpendicular ao campo. Quale o modulo da tensao ou da diferenca de potencialque acaba se estabelecendo entre as extremidades dabarra?
(a) a2B/4 .
(b) 2a2B .
(c) a2B .
(d) a2B/2 .
(e) 2a2B .
(f) a2B .
(g) 0 .
2. Calcule o campo magnetico no ponto P devido ao cir-cuito com corrente estacionaria de intensidade I.
(a) 0I
4
(1
a
1
b
)z .
(b)0I
4
(1
a
1
b
)z .
(c) 0I
2
(1
a
1
b
)z .
(d)0I
2
(1
a
1
b
)z .
(e) 0I
2
(1
a
1
b
)z .
(f)0I
2
(1
a
1
b
)z .
(g) 0I
4
(1
a
1
b
)z .
(h)0I
4
(1
a
1
b
)z .
1
3. Calcule a forca magnetica resultante sobre o pedacode fio, atraves do qual passa uma corrente eletricaestacionaria de intensidade I, composto por dois seg-mentos retilneos, de comprimento L, muito grande, euma semicircunferencia de crculo, de raio a, na pre-senca de um campo magnetico constante (estacionario
e uniforme) ~B = By, B = const > 0 .
(a) 2IaBz .
(b) 2IaBz .
(c) 2ILBz .
(d) 2ILBz .
(e) 2I(a+ L)Bz .
(f) 2I(a+ L)Bz .
(g) 2I(a L)Bz .
(h) 2I(a L)Bz .
4. Todas as partculas carregadas que passam atravesde uma regiao em que existem campos eletrico emagnetico constantes, ortogonais, sem serem defleti-das tem em comum
(a) a massa.
(b) o momento linear.
(c) a velocidade.
(d) a energia.
(e) a razao entre carga e massa.
5. Por um fio retilneo, muito longo, em repouso, passauma corrente eletrica estacionaria de intensidade I.Proximo a tal fio, ha um retangulo condutor, rgido,coplanar com o fio, conforme mostra a figura. Ori-ginalmente, o retangulo tambem encontra-se em re-pouso, mas, em um certo instante, ele passa a se mo-vimentar em uma das quatro maneiras seguintes: (1)translacao com velocidade ~v1 = v1y; (2) translacaocom velocidade ~v2 = v2x; (3) translacao com velo-cidade ~v3 = v3xx + v3yy, ou (4) rotacao (rgida) emtorno do eixo do proprio fio, com velocidade angular~ = z. Em qual(is) das quatro situacoes, nao surgeuma corrente eletrica induzida ao longo do retangulo?
(a) Somente em 1.
(b) Somente em 4.
(c) Somente em 2.
(d) Somente em 3.
(e) Em 1 e 4.
(f) Em 2 e 3.
(g) Em nenhuma surgira corrente induzida, pois ocampo gerado pelo fio, mantem-se estacionarioe a rea do retangulo nao varia.
2
6. Um capacitor de placas paralelas, circulares e cujoraio das placas e muito maior que a distancia entre asmesmas esta inicialmente descarregado. A partir deum certo instante, o capacitor comeca a ser carregadopor uma corrente que cresce linearmente com o tempoi(t) = bt, onde b = const > 0. Sobre os camposeletrico e magnetico que podem eventualmente surgirentre as placas durante o carregamento do capacitorpode-se afirmar que:
(a) surgira apenas um campo eletrico estacionario.
(b) surgirao um campo eletrico estacionario e umcampo magnetico nao estacionario, colinearesentre si.
(c) surgira apenas um campo eletrico nao esta-cionario.
(d) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, colinearesentre si.
(e) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, perpendi-culares entre si.
(f) surgirao um campo eletrico e um campomagnetico, ambos nao estacionarios, e perpen-diculares entre si.
7. Seja um solenoide longo, formado por um enrolamentode espiras circulares. Considere as seguintes tres afir-mativas sobre sua auto-indutancia: (I) ela e propor-cional ao quadrado do raio das espiras; (II) ela e pro-porcional a` taxa de variacao da corrente no solenoide,e (III) ela e proporcional a` corrente que circula no so-lenoide. Assinale a opcao que indica qual(is) dessasafirmativas esta(ao) correta(s).
(a) Nenhuma das afirmativas esta correta.
(b) Apenas a I.
(c) Apenas a II.
(d) Apenas a III.
(e) Apenas a I e a II.
(f) Apenas a I e a III.
(g) Apenas a II e a III.
(h) Todas as afirmativas estao corretas.
8. Considere as seguintes tres afirmacoes sobre a lei deAmpe`re: (I) ela so vale quando ha um alto grau desimetria da distribuicao de correntes; (II) ela so valequando as correntes forem estacionarias, e (III) elaso vale quando os campos magneticos forem esta-cionarios. Assinale a alternativa que indica qual(is)de tais afirmacoes e(sao) correta(s).
(a) Nenhuma afirmacao e correta.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas as afirmacoes sao corretas.
Secao 2. Questoes discursivas (22,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Um cabo coaxial e composto por um fio solido, cilndrico, circular, de raio R, envolto por uma cascaespessa, cilndrica, tambem circular, coaxial, de raios a e b, tais que R < a < b. Ambos os cilindros sao muitolongos e tem o eixo comum Z. Atraves do fio interno, passa uma corrente eletrica estacionaria, cuja densidade decorrente e dada por ~J int = Cr z, onde C = const > 0 e r e a distancia ate o eixo do fio. Atraves da casca externa,passa uma corrente estacionaria, cuja densidade de corrente e dada por ~J ext = J0 z, onde J0 = const > 0.
3
(a) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica no fio interno? [0,6 ponto](b) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica na casca externa? [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magnetico ~B em cada uma das quatro regioes em que o cabo divide o espaco. [1,6 ponto]
2. [2,6 pontos] Um pedaco de fio condutor ohmico isolado e torcido de modo a constituir um circuito em forma deoito. Por razao de simplicidade, modele as duas metades da figura de oito como circunferencias de crculo. Oraio do crculo superior e a e o do inferior e 2a. O circuito completo e puramente resistivo (com capacitancia eauto-indutancia desprezveis), tendo resistencia R. A partir de t = 0 s, um campo magnetico uniforme, mas naoestacionario,
~B = Ct z ,
onde C = const > 0, e aplicado perpendicularmente ao plano dos dois crculos, conforme mostrado na figura.
(a) Para t > 0 s, determine o fluxo total atraves do circuito. [1,2 ponto](b) Para t > 0 s, determine o sentido da corrente eletrica induzida ao longo do fio, indicando-o claramente emcada uma das circunferencias, seja por intermedio de uma seta, seja pelas expressoes horario ou anti-horario.[0,6 ponto](c) Para t > 0 s, determine o modulo da intensidade da corrente eletrica induzida no fio. [0,8 ponto]
4
Gabarito para Versao A
Secao 1. Multipla escolha (80,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (a)
3. (b)
4. (c)
5. (e)
6. (f)
7. (b)
8. (g)
Secao 2. Questoes discursivas (22,6 = 5,2 pontos)
1. Resolucao:
(a) [0,6] A intensidade de corrrente eletrica I[S] atraves de uma superfcie S e a densidade de corrente eletrica
nela, ~J , estao relacionadas por
I[S] =
S
~J n dA .
Logo, para uma secao reta do fio interno, temos
Iint =
Sint
Crz z dA
=
Sint
Cr 2r dr
= 2C
Rr=0
r2 dr ,
ou seja,
Iint =2
3CR3 . (1)
(b) [0,4] Na casca externa, temos
Iext =
Sext
Jext n dA
=
Sext
(J0 z) z dA
= J0
Sext
dA
= J0Aext ,
ou seja,
Iext = J0(b2 a2) . (2)
1
(c) [1,6] Devido a` simetria cilndrica da distribuicao estacionaria de corrente e a` lei de Gauss do magnetismo, emqualquer uma das quatro regioes, o campo magnetico, so tera componente azimutal (circular), ou seja,1
~B(r, ) = B(r) () .
Isso tudo sugere, pois, que usemos a lei de Ampe`re e que tomemos, como curva ampe`riana, uma circunferencia decrculo, concentrico com o eixo da distribuicao de corrente e perpendicular ao seu eixo, de raio generico r. Assim,a expressao funcional para a circulacao do campo magnetico ao longo da amperiana fica, em qualquer uma dasquatro regioes, igual a
~B[C] :=
C
~B d
=
C
B(r) () d
=
C
B(r)d
= B(r)
C
d ,
ou seja,~B[C] = 2rB(r) .
A intensidade de corrente encerrada pela curva ampe`riana dependera, contudo, da regiao em questao. De fato,
0 r R: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela Eq. (1), contanto que, nela, troquemos R porr, ou seja:
Ienc(r) = Iint(r)
=2
3Cr3 .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r =2
30Cr
3 ,
e, finalmente,
~B =1
30Cr
2 .
R r a: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente toda do fio interno, ou seja, pelaEq. (1):
Ienc(r) = Iint
=2
3CR3 .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r =2
30CR
3 ,
e, finalmente,
~B =0Iint2r
=1
3
0CR3
r .
1A rigor, ainda poderia haver uma componente axial constante, que, suporemos nula, como usual.
2
a r b: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente do fio interno mais a corrente na cascaexterna, Eq, (2), contanto que, nessa ultima, troquemos b por r, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext(r)
=2
3CR3 J0(r
2 a2) .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r = 0
[2
3CR3 J0(r
2 a2)
],
e, finalmente,
~B = 0
[1
3
CR3
r
1
2J0
(r
a2
r
)] .
b r
(c) [0,8] Pela lei de Faraday, temos que a forca eletromotriz (fem) induzida ao longo do circuito e, tendo em vistaa Eq. (3),
Eind[C] = d
dt= 3Ca2 .
Como o circuito e puramente resistivo e satisfaz a lei de Ohm, temos que a corrente eletrica induzida vale
Iind =Eind
R,
ou seja,
|Iind| =3Ca2
R.
5
Universidade Federal do Rio de Janeiro Insti-tuto de FsicaFsica III 2014/1 Segunda Prova: 12/05/2014TesteVERSAO: B
Formulario
~Fm = q~v ~B , d~Fm = Id~ ~B ,
S
~B d~A = 0 , d ~B =04
Id~ r
r2,
C
~B d~ = 0Ienc + 00dEdt
, Eind = dBdt
, B = LI , uB =1
2
B2
0.
Secao 1. Multipla escolha (80,6 = 4,8 pontos)
1. Uma barra de comprimento a ocupa uma regiao ondeha um campo magnetico constante (estacionario e uni-
forme) ~B. A barra gira com velocidade angular ~,em torno de um ponto fixo em uma de suas extremi-dades, em um plano perpendicular ao campo. Quale o modulo da tensao ou da diferenca de potencialque acaba se estabelecendo entre as extremidades dabarra?
(a) a2B/4 .
(b) 2a2B .
(c) a2B .
(d) a2B/2 .
(e) 2a2B .
(f) a2B .
(g) 0 .
2. Um capacitor de placas paralelas, circulares e cujoraio das placas e muito maior que a distancia entre asmesmas esta inicialmente descarregado. A partir deum certo instante, o capacitor comeca a ser carregadopor uma corrente que cresce linearmente com o tempoi(t) = bt, onde b = const > 0. Sobre os camposeletrico e magnetico que podem eventualmente surgirentre as placas durante o carregamento do capacitorpode-se afirmar que:
(a) surgira apenas um campo eletrico estacionario.
(b) surgirao um campo eletrico estacionario e umcampo magnetico nao estacionario, colinearesentre si.
(c) surgira apenas um campo eletrico nao esta-cionario.
(d) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, colinearesentre si.
(e) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, perpendi-culares entre si.
(f) surgirao um campo eletrico e um campomagnetico, ambos nao estacionarios, e perpen-diculares entre si.
1
3. Calcule o campo magnetico no ponto P devido ao cir-cuito com corrente estacionaria de intensidade I.
(a) 0I
4
(1
a
1
b
)z .
(b)0I
4
(1
a
1
b
)z .
(c) 0I
2
(1
a
1
b
)z .
(d)0I
2
(1
a
1
b
)z .
(e) 0I
2
(1
a
1
b
)z .
(f)0I
2
(1
a
1
b
)z .
(g) 0I
4
(1
a
1
b
)z .
(h)0I
4
(1
a
1
b
)z .
4. Calcule a forca magnetica resultante sobre o pedacode fio, atraves do qual passa uma corrente eletricaestacionaria de intensidade I, composto por dois seg-mentos retilneos, de comprimento L, muito grande, euma semicircunferencia de crculo, de raio a, na pre-senca de um campo magnetico constante (estacionario
e uniforme) ~B = By, B = const > 0 .
(a) 2IaBz .
(b) 2IaBz .
(c) 2ILBz .
(d) 2ILBz .
(e) 2I(a+ L)Bz .
(f) 2I(a+ L)Bz .
(g) 2I(a L)Bz .
(h) 2I(a L)Bz .
5. Todas as partculas carregadas que passam atravesde uma regiao em que existem campos eletrico emagnetico constantes, ortogonais, sem serem defleti-das tem em comum
(a) a massa.
(b) o momento linear.
(c) a velocidade.
(d) a energia.
(e) a razao entre carga e massa.
6. Seja um solenoide longo, formado por um enrolamentode espiras circulares. Considere as seguintes tres afir-mativas sobre sua auto-indutancia: (I) ela e propor-cional ao quadrado do raio das espiras; (II) ela e pro-porcional a` taxa de variacao da corrente no solenoide,e (III) ela e proporcional a` corrente que circula no so-lenoide. Assinale a opcao que indica qual(is) dessasafirmativas esta(ao) correta(s).
(a) Nenhuma das afirmativas esta correta.
(b) Apenas a I.
(c) Apenas a II.
(d) Apenas a III.
(e) Apenas a I e a II.
(f) Apenas a I e a III.
(g) Apenas a II e a III.
(h) Todas as afirmativas estao corretas.
2
7. Por um fio retilneo, muito longo, em repouso, passauma corrente eletrica estacionaria de intensidade I.Proximo a tal fio, ha um retangulo condutor, rgido,coplanar com o fio, conforme mostra a figura. Ori-ginalmente, o retangulo tambem encontra-se em re-pouso, mas, em um certo instante, ele passa a se mo-vimentar em uma das quatro maneiras seguintes: (1)translacao com velocidade ~v1 = v1y; (2) translacaocom velocidade ~v2 = v2x; (3) translacao com velo-cidade ~v3 = v3xx + v3yy, ou (4) rotacao (rgida) emtorno do eixo do proprio fio, com velocidade angular~ = z. Em qual(is) das quatro situacoes, nao surgeuma corrente eletrica induzida ao longo do retangulo?
(a) Somente em 1.
(b) Somente em 4.
(c) Somente em 2.
(d) Somente em 3.
(e) Em 1 e 4.
(f) Em 2 e 3.
(g) Em nenhuma surgira corrente induzida, pois ocampo gerado pelo fio, mantem-se estacionarioe a rea do retangulo nao varia.
8. Considere as seguintes tres afirmacoes sobre a lei deAmpe`re: (I) ela so vale quando ha um alto grau desimetria da distribuicao de correntes; (II) ela so valequando as correntes forem estacionarias, e (III) elaso vale quando os campos magneticos forem esta-cionarios. Assinale a alternativa que indica qual(is)de tais afirmacoes e(sao) correta(s).
(a) Nenhuma afirmacao e correta.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas as afirmacoes sao corretas.
Secao 2. Questoes discursivas (22,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Um cabo coaxial e composto por um fio solido, cilndrico, circular, de raio R, envolto por uma cascaespessa, cilndrica, tambem circular, coaxial, de raios a e b, tais que R < a < b. Ambos os cilindros sao muitolongos e tem o eixo comum Z. Atraves do fio interno, passa uma corrente eletrica estacionaria, cuja densidade decorrente e dada por ~J int = Cr z, onde C = const > 0 e r e a distancia ate o eixo do fio. Atraves da casca externa,passa uma corrente estacionaria, cuja densidade de corrente e dada por ~J ext = J0 z, onde J0 = const > 0.
3
(a) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica no fio interno? [0,6 ponto](b) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica na casca externa? [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magnetico ~B em cada uma das quatro regioes em que o cabo divide o espaco. [1,6 ponto]
2. [2,6 pontos] Um pedaco de fio condutor ohmico isolado e torcido de modo a constituir um circuito em forma deoito. Por razao de simplicidade, modele as duas metades da figura de oito como circunferencias de crculo. Oraio do crculo superior e a e o do inferior e 2a. O circuito completo e puramente resistivo (com capacitancia eauto-indutancia desprezveis), tendo resistencia R. A partir de t = 0 s, um campo magnetico uniforme, mas naoestacionario,
~B = Ct z ,
onde C = const > 0, e aplicado perpendicularmente ao plano dos dois crculos, conforme mostrado na figura.
(a) Para t > 0 s, determine o fluxo total atraves do circuito. [1,2 ponto](b) Para t > 0 s, determine o sentido da corrente eletrica induzida ao longo do fio, indicando-o claramente emcada uma das circunferencias, seja por intermedio de uma seta, seja pelas expressoes horario ou anti-horario.[0,6 ponto](c) Para t > 0 s, determine o modulo da intensidade da corrente eletrica induzida no fio. [0,8 ponto]
4
Gabarito para Versao B
Secao 1. Multipla escolha (80,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (f)
3. (a)
4. (b)
5. (c)
6. (b)
7. (e)
8. (g)
Secao 2. Questoes discursivas (22,6 = 5,2 pontos)
1. Resolucao:
(a) [0,6] A intensidade de corrrente eletrica I[S] atraves de uma superfcie S e a densidade de corrente eletrica
nela, ~J , estao relacionadas por
I[S] =
S
~J n dA .
Logo, para uma secao reta do fio interno, temos
Iint =
Sint
Crz z dA
=
Sint
Cr 2r dr
= 2C
Rr=0
r2 dr ,
ou seja,
Iint =2
3CR3 . (1)
(b) [0,4] Na casca externa, temos
Iext =
Sext
Jext n dA
=
Sext
(J0 z) z dA
= J0
Sext
dA
= J0Aext ,
ou seja,
Iext = J0(b2 a2) . (2)
1
(c) [1,6] Devido a` simetria cilndrica da distribuicao estacionaria de corrente e a` lei de Gauss do magnetismo, emqualquer uma das quatro regioes, o campo magnetico, so tera componente azimutal (circular), ou seja,2
~B(r, ) = B(r) () .
Isso tudo sugere, pois, que usemos a lei de Ampe`re e que tomemos, como curva ampe`riana, uma circunferencia decrculo, concentrico com o eixo da distribuicao de corrente e perpendicular ao seu eixo, de raio generico r. Assim,a expressao funcional para a circulacao do campo magnetico ao longo da amperiana fica, em qualquer uma dasquatro regioes, igual a
~B[C] :=
C
~B d
=
C
B(r) () d
=
C
B(r)d
= B(r)
C
d ,
ou seja,~B[C] = 2rB(r) .
A intensidade de corrente encerrada pela curva ampe`riana dependera, contudo, da regiao em questao. De fato,
0 r R: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela Eq. (1), contanto que, nela, troquemos R porr, ou seja:
Ienc(r) = Iint(r)
=2
3Cr3 .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r =2
30Cr
3 ,
e, finalmente,
~B =1
30Cr
2 .
R r a: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente toda do fio interno, ou seja, pelaEq. (1):
Ienc(r) = Iint
=2
3CR3 .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r =2
30CR
3 ,
e, finalmente,
~B =0Iint2r
=1
3
0CR3
r .
2A rigor, ainda poderia haver uma componente axial constante, que, suporemos nula, como usual.
2
a r b: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente do fio interno mais a corrente na cascaexterna, Eq, (2), contanto que, nessa ultima, troquemos b por r, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext(r)
=2
3CR3 J0(r
2 a2) .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r = 0
[2
3CR3 J0(r
2 a2)
],
e, finalmente,
~B = 0
[1
3
CR3
r
1
2J0
(r
a2
r
)] .
b r
Entao, o fluxo atraves do crculo superior e
sup :=
Ssup
~B n dA
=
Ssup
(Ctz) nsup dA
=
Ssup
(Ctz) (z) dA
= Ct
;Ssup
dA
= CtAsup
= Cta2 .
Analgoamente, para o fluxo atraves do crculo inferior, temos
inf = CtAinf
= 4Cta2 .
Logo, o fluxo total atraves do circuito e = sup + inf
ou seja,
= 3Ca2t . (3)
(b) [0,6 ponto] Como, nitidamente, o modulo do fluxo esta aumentando e a maior contribuicao para ele vem docrculo inferior, devera surgir, pela lei de Lenz, uma corrente induzida que parcialmente cancelara, por intermediodo correspondente campo magnetico induzido, no centro do crculo inferior, o campo magnetico externo. Issoimplica que a corrente induzida tera o sentido indicado pelas setas na figura a seguir, ou ainda,
circunferencia inferior: sentido horario
circunferencia superior: sentido anti-horario .
4
(c) [0,8] Pela lei de Faraday, temos que a forca eletromotriz (fem) induzida ao longo do circuito e, tendo em vistaa Eq. (3),
Eind[C] = d
dt= 3Ca2 .
Como o circuito e puramente resistivo e satisfaz a lei de Ohm, temos que a corrente eletrica induzida vale
Iind =Eind
R,
ou seja,
|Iind| =3Ca2
R.
5
Universidade Federal do Rio de Janeiro Insti-tuto de FsicaFsica III 2014/1 Segunda Prova: 12/05/2014TesteVERSAO: C
Formulario
~Fm = q~v ~B , d~Fm = Id~ ~B ,
S
~B d~A = 0 , d ~B =04
Id~ r
r2,
C
~B d~ = 0Ienc + 00dEdt
, Eind = dBdt
, B = LI , uB =1
2
B2
0.
Secao 1. Multipla escolha (80,6 = 4,8 pontos)
1. Um capacitor de placas paralelas, circulares e cujoraio das placas e muito maior que a distancia entre asmesmas esta inicialmente descarregado. A partir deum certo instante, o capacitor comeca a ser carregadopor uma corrente que cresce linearmente com o tempoi(t) = bt, onde b = const > 0. Sobre os camposeletrico e magnetico que podem eventualmente surgirentre as placas durante o carregamento do capacitorpode-se afirmar que:
(a) surgira apenas um campo eletrico estacionario.
(b) surgirao um campo eletrico estacionario e umcampo magnetico nao estacionario, colinearesentre si.
(c) surgira apenas um campo eletrico nao esta-cionario.
(d) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, colinearesentre si.
(e) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, perpendi-culares entre si.
(f) surgirao um campo eletrico e um campomagnetico, ambos nao estacionarios, e perpen-diculares entre si.
1
2. Por um fio retilneo, muito longo, em repouso, passauma corrente eletrica estacionaria de intensidade I.Proximo a tal fio, ha um retangulo condutor, rgido,coplanar com o fio, conforme mostra a figura. Ori-ginalmente, o retangulo tambem encontra-se em re-pouso, mas, em um certo instante, ele passa a se mo-vimentar em uma das quatro maneiras seguintes: (1)translacao com velocidade ~v1 = v1y; (2) translacaocom velocidade ~v2 = v2x; (3) translacao com velo-cidade ~v3 = v3xx + v3yy, ou (4) rotacao (rgida) emtorno do eixo do proprio fio, com velocidade angular~ = z. Em qual(is) das quatro situacoes, nao surgeuma corrente eletrica induzida ao longo do retangulo?
(a) Somente em 1.
(b) Somente em 4.
(c) Somente em 2.
(d) Somente em 3.
(e) Em 1 e 4.
(f) Em 2 e 3.
(g) Em nenhuma surgira corrente induzida, pois ocampo gerado pelo fio, mantem-se estacionarioe a rea do retangulo nao varia.
3. Calcule a forca magnetica resultante sobre o pedacode fio, atraves do qual passa uma corrente eletricaestacionaria de intensidade I, composto por dois seg-mentos retilneos, de comprimento L, muito grande, euma semicircunferencia de crculo, de raio a, na pre-senca de um campo magnetico constante (estacionario
e uniforme) ~B = By, B = const > 0 .
(a) 2IaBz .
(b) 2IaBz .
(c) 2ILBz .
(d) 2ILBz .
(e) 2I(a+ L)Bz .
(f) 2I(a+ L)Bz .
(g) 2I(a L)Bz .
(h) 2I(a L)Bz .
4. Uma barra de comprimento a ocupa uma regiao ondeha um campo magnetico constante (estacionario e uni-
forme) ~B. A barra gira com velocidade angular ~,em torno de um ponto fixo em uma de suas extremi-dades, em um plano perpendicular ao campo. Quale o modulo da tensao ou da diferenca de potencialque acaba se estabelecendo entre as extremidades dabarra?
(a) a2B/4 .
(b) 2a2B .
(c) a2B .
(d) a2B/2 .
(e) 2a2B .
(f) a2B .
(g) 0 .
2
5. Considere as seguintes tres afirmacoes sobre a lei deAmpe`re: (I) ela so vale quando ha um alto grau desimetria da distribuicao de correntes; (II) ela so valequando as correntes forem estacionarias, e (III) elaso vale quando os campos magneticos forem esta-cionarios. Assinale a alternativa que indica qual(is)de tais afirmacoes e(sao) correta(s).
(a) Nenhuma afirmacao e correta.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas as afirmacoes sao corretas.
6. Seja um solenoide longo, formado por um enrolamentode espiras circulares. Considere as seguintes tres afir-mativas sobre sua auto-indutancia: (I) ela e propor-cional ao quadrado do raio das espiras; (II) ela e pro-porcional a` taxa de variacao da corrente no solenoide,e (III) ela e proporcional a` corrente que circula no so-lenoide. Assinale a opcao que indica qual(is) dessasafirmativas esta(ao) correta(s).
(a) Nenhuma das afirmativas esta correta.
(b) Apenas a I.
(c) Apenas a II.
(d) Apenas a III.
(e) Apenas a I e a II.
(f) Apenas a I e a III.
(g) Apenas a II e a III.
(h) Todas as afirmativas estao corretas.
7. Calcule o campo magnetico no ponto P devido ao cir-cuito com corrente estacionaria de intensidade I.
(a) 0I
4
(1
a
1
b
)z .
(b)0I
4
(1
a
1
b
)z .
(c) 0I
2
(1
a
1
b
)z .
(d)0I
2
(1
a
1
b
)z .
(e) 0I
2
(1
a
1
b
)z .
(f)0I
2
(1
a
1
b
)z .
(g) 0I
4
(1
a
1
b
)z .
(h)0I
4
(1
a
1
b
)z .
8. Todas as partculas carregadas que passam atravesde uma regiao em que existem campos eletrico emagnetico constantes, ortogonais, sem serem defleti-das tem em comum
(a) a massa.
(b) o momento linear.
(c) a velocidade.
(d) a energia.
(e) a razao entre carga e massa.
Secao 2. Questoes discursivas (22,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Um cabo coaxial e composto por um fio solido, cilndrico, circular, de raio R, envolto por uma cascaespessa, cilndrica, tambem circular, coaxial, de raios a e b, tais que R < a < b. Ambos os cilindros sao muitolongos e tem o eixo comum Z. Atraves do fio interno, passa uma corrente eletrica estacionaria, cuja densidade decorrente e dada por ~J int = Cr z, onde C = const > 0 e r e a distancia ate o eixo do fio. Atraves da casca externa,passa uma corrente estacionaria, cuja densidade de corrente e dada por ~J ext = J0 z, onde J0 = const > 0.
3
(a) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica no fio interno? [0,6 ponto](b) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica na casca externa? [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magnetico ~B em cada uma das quatro regioes em que o cabo divide o espaco. [1,6 ponto]
2. [2,6 pontos] Um pedaco de fio condutor ohmico isolado e torcido de modo a constituir um circuito em forma deoito. Por razao de simplicidade, modele as duas metades da figura de oito como circunferencias de crculo. Oraio do crculo superior e a e o do inferior e 2a. O circuito completo e puramente resistivo (com capacitancia eauto-indutancia desprezveis), tendo resistencia R. A partir de t = 0 s, um campo magnetico uniforme, mas naoestacionario,
~B = Ct z ,
onde C = const > 0, e aplicado perpendicularmente ao plano dos dois crculos, conforme mostrado na figura.
(a) Para t > 0 s, determine o fluxo total atraves do circuito. [1,2 ponto](b) Para t > 0 s, determine o sentido da corrente eletrica induzida ao longo do fio, indicando-o claramente emcada uma das circunferencias, seja por intermedio de uma seta, seja pelas expressoes horario ou anti-horario.[0,6 ponto](c) Para t > 0 s, determine o modulo da intensidade da corrente eletrica induzida no fio. [0,8 ponto]
4
Gabarito para Versao C
Secao 1. Multipla escolha (80,6 = 4,8 pontos)
1. (f)
2. (e)
3. (b)
4. (d)
5. (g)
6. (b)
7. (a)
8. (c)
Secao 2. Questoes discursivas (22,6 = 5,2 pontos)
1. Resolucao:
(a) [0,6] A intensidade de corrrente eletrica I[S] atraves de uma superfcie S e a densidade de corrente eletrica
nela, ~J , estao relacionadas por
I[S] =
S
~J n dA .
Logo, para uma secao reta do fio interno, temos
Iint =
Sint
Crz z dA
=
Sint
Cr 2r dr
= 2C
Rr=0
r2 dr ,
ou seja,
Iint =2
3CR3 . (1)
(b) [0,4] Na casca externa, temos
Iext =
Sext
Jext n dA
=
Sext
(J0 z) z dA
= J0
Sext
dA
= J0Aext ,
ou seja,
Iext = J0(b2 a2) . (2)
1
(c) [1,6] Devido a` simetria cilndrica da distribuicao estacionaria de corrente e a` lei de Gauss do magnetismo, emqualquer uma das quatro regioes, o campo magnetico, so tera componente azimutal (circular), ou seja,3
~B(r, ) = B(r) () .
Isso tudo sugere, pois, que usemos a lei de Ampe`re e que tomemos, como curva ampe`riana, uma circunferencia decrculo, concentrico com o eixo da distribuicao de corrente e perpendicular ao seu eixo, de raio generico r. Assim,a expressao funcional para a circulacao do campo magnetico ao longo da amperiana fica, em qualquer uma dasquatro regioes, igual a
~B[C] :=
C
~B d
=
C
B(r) () d
=
C
B(r)d
= B(r)
C
d ,
ou seja,~B[C] = 2rB(r) .
A intensidade de corrente encerrada pela curva ampe`riana dependera, contudo, da regiao em questao. De fato,
0 r R: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela Eq. (1), contanto que, nela, troquemos R porr, ou seja:
Ienc(r) = Iint(r)
=2
3Cr3 .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r =2
30Cr
3 ,
e, finalmente,
~B =1
30Cr
2 .
R r a: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente toda do fio interno, ou seja, pelaEq. (1):
Ienc(r) = Iint
=2
3CR3 .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r =2
30CR
3 ,
e, finalmente,
~B =0Iint2r
=1
3
0CR3
r .
3A rigor, ainda poderia haver uma componente axial constante, que, suporemos nula, como usual.
2
a r b: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente do fio interno mais a corrente na cascaexterna, Eq, (2), contanto que, nessa ultima, troquemos b por r, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext(r)
=2
3CR3 J0(r
2 a2) .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r = 0
[2
3CR3 J0(r
2 a2)
],
e, finalmente,
~B = 0
[1
3
CR3
r
1
2J0
(r
a2
r
)] .
b r
(c) [0,8] Pela lei de Faraday, temos que a forca eletromotriz (fem) induzida ao longo do circuito e, tendo em vistaa Eq. (3),
Eind[C] = d
dt= 3Ca2 .
Como o circuito e puramente resistivo e satisfaz a lei de Ohm, temos que a corrente eletrica induzida vale
Iind =Eind
R,
ou seja,
|Iind| =3Ca2
R.
5
Universidade Federal do Rio de Janeiro Insti-tuto de FsicaFsica III 2014/1 Segunda Prova: 12/05/2014TesteVERSAO: D
Formulario
~Fm = q~v ~B , d~Fm = Id~ ~B ,
S
~B d~A = 0 , d ~B =04
Id~ r
r2,
C
~B d~ = 0Ienc + 00dEdt
, Eind = dBdt
, B = LI , uB =1
2
B2
0.
Secao 1. Multipla escolha (80,6 = 4,8 pontos)
1. Calcule a forca magnetica resultante sobre o pedacode fio, atraves do qual passa uma corrente eletricaestacionaria de intensidade I, composto por dois seg-mentos retilneos, de comprimento L, muito grande, euma semicircunferencia de crculo, de raio a, na pre-senca de um campo magnetico constante (estacionario
e uniforme) ~B = By, B = const > 0 .
(a) 2IaBz .
(b) 2IaBz .
(c) 2ILBz .
(d) 2ILBz .
(e) 2I(a+ L)Bz .
(f) 2I(a+ L)Bz .
(g) 2I(a L)Bz .
(h) 2I(a L)Bz .
2. Calcule o campo magnetico no ponto P devido ao cir-cuito com corrente estacionaria de intensidade I.
(a) 0I
4
(1
a
1
b
)z .
(b)0I
4
(1
a
1
b
)z .
(c) 0I
2
(1
a
1
b
)z .
(d)0I
2
(1
a
1
b
)z .
(e) 0I
2
(1
a
1
b
)z .
(f)0I
2
(1
a
1
b
)z .
(g) 0I
4
(1
a
1
b
)z .
(h)0I
4
(1
a
1
b
)z .
1
3. Uma barra de comprimento a ocupa uma regiao ondeha um campo magnetico constante (estacionario e uni-
forme) ~B. A barra gira com velocidade angular ~,em torno de um ponto fixo em uma de suas extremi-dades, em um plano perpendicular ao campo. Quale o modulo da tensao ou da diferenca de potencialque acaba se estabelecendo entre as extremidades dabarra?
(a) a2B/4 .
(b) 2a2B .
(c) a2B .
(d) a2B/2 .
(e) 2a2B .
(f) a2B .
(g) 0 .
4. Todas as partculas carregadas que passam atravesde uma regiao em que existem campos eletrico emagnetico constantes, ortogonais, sem serem defleti-das tem em comum
(a) a massa.
(b) o momento linear.
(c) a velocidade.
(d) a energia.
(e) a razao entre carga e massa.
5. Considere as seguintes tres afirmacoes sobre a lei deAmpe`re: (I) ela so vale quando ha um alto grau desimetria da distribuicao de correntes; (II) ela so valequando as correntes forem estacionarias, e (III) elaso vale quando os campos magneticos forem esta-cionarios. Assinale a alternativa que indica qual(is)de tais afirmacoes e(sao) correta(s).
(a) Nenhuma afirmacao e correta.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas as afirmacoes sao corretas.
6. Por um fio retilneo, muito longo, em repouso, passauma corrente eletrica estacionaria de intensidade I.Proximo a tal fio, ha um retangulo condutor, rgido,coplanar com o fio, conforme mostra a figura. Ori-ginalmente, o retangulo tambem encontra-se em re-pouso, mas, em um certo instante, ele passa a se mo-vimentar em uma das quatro maneiras seguintes: (1)translacao com velocidade ~v1 = v1y; (2) translacaocom velocidade ~v2 = v2x; (3) translacao com velo-cidade ~v3 = v3xx + v3yy, ou (4) rotacao (rgida) emtorno do eixo do proprio fio, com velocidade angular~ = z. Em qual(is) das quatro situacoes, nao surgeuma corrente eletrica induzida ao longo do retangulo?
(a) Somente em 1.
(b) Somente em 4.
(c) Somente em 2.
(d) Somente em 3.
(e) Em 1 e 4.
(f) Em 2 e 3.
(g) Em nenhuma surgira corrente induzida, pois ocampo gerado pelo fio, mantem-se estacionarioe a rea do retangulo nao varia.
2
7. Um capacitor de placas paralelas, circulares e cujoraio das placas e muito maior que a distancia entre asmesmas esta inicialmente descarregado. A partir deum certo instante, o capacitor comeca a ser carregadopor uma corrente que cresce linearmente com o tempoi(t) = bt, onde b = const > 0. Sobre os camposeletrico e magnetico que podem eventualmente surgirentre as placas durante o carregamento do capacitorpode-se afirmar que:
(a) surgira apenas um campo eletrico estacionario.
(b) surgirao um campo eletrico estacionario e umcampo magnetico nao estacionario, colinearesentre si.
(c) surgira apenas um campo eletrico nao esta-cionario.
(d) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, colinearesentre si.
(e) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, perpendi-culares entre si.
(f) surgirao um campo eletrico e um campomagnetico, ambos nao estacionarios, e perpen-diculares entre si.
8. Seja um solenoide longo, formado por um enrolamentode espiras circulares. Considere as seguintes tres afir-mativas sobre sua auto-indutancia: (I) ela e propor-cional ao quadrado do raio das espiras; (II) ela e pro-porcional a` taxa de variacao da corrente no solenoide,e (III) ela e proporcional a` corrente que circula no so-lenoide. Assinale a opcao que indica qual(is) dessasafirmativas esta(ao) correta(s).
(a) Nenhuma das afirmativas esta correta.
(b) Apenas a I.
(c) Apenas a II.
(d) Apenas a III.
(e) Apenas a I e a II.
(f) Apenas a I e a III.
(g) Apenas a II e a III.
(h) Todas as afirmativas estao corretas.
Secao 2. Questoes discursivas (22,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Um cabo coaxial e composto por um fio solido, cilndrico, circular, de raio R, envolto por uma cascaespessa, cilndrica, tambem circular, coaxial, de raios a e b, tais que R < a < b. Ambos os cilindros sao muitolongos e tem o eixo comum Z. Atraves do fio interno, passa uma corrente eletrica estacionaria, cuja densidade decorrente e dada por ~J int = Cr z, onde C = const > 0 e r e a distancia ate o eixo do fio. Atraves da casca externa,passa uma corrente estacionaria, cuja densidade de corrente e dada por ~J ext = J0 z, onde J0 = const > 0.
3
(a) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica no fio interno? [0,6 ponto](b) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica na casca externa? [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magnetico ~B em cada uma das quatro regioes em que o cabo divide o espaco. [1,6 ponto]
2. [2,6 pontos] Um pedaco de fio condutor ohmico isolado e torcido de modo a constituir um circuito em forma deoito. Por razao de simplicidade, modele as duas metades da figura de oito como circunferencias de crculo. Oraio do crculo superior e a e o do inferior e 2a. O circuito completo e puramente resistivo (com capacitancia eauto-indutancia desprezveis), tendo resistencia R. A partir de t = 0 s, um campo magnetico uniforme, mas naoestacionario,
~B = Ct z ,
onde C = const > 0, e aplicado perpendicularmente ao plano dos dois crculos, conforme mostrado na figura.
(a) Para t > 0 s, determine o fluxo total atraves do circuito. [1,2 ponto](b) Para t > 0 s, determine o sentido da corrente eletrica induzida ao longo do fio, indicando-o claramente emcada uma das circunferencias, seja por intermedio de uma seta, seja pelas expressoes horario ou anti-horario.[0,6 ponto](c) Para t > 0 s, determine o modulo da intensidade da corrente eletrica induzida no fio. [0,8 ponto]
4
Gabarito para Versao D
Secao 1. Multipla escolha (80,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
2. (a)
3. (d)
4. (c)
5. (g)
6. (e)
7. (f)
8. (b)
Secao 2. Questoes discursivas (22,6 = 5,2 pontos)
1. Resolucao:
(a) [0,6] A intensidade de corrrente eletrica I[S] atraves de uma superfcie S e a densidade de corrente eletrica
nela, ~J , estao relacionadas por
I[S] =
S
~J n dA .
Logo, para uma secao reta do fio interno, temos
Iint =
Sint
Crz z dA
=
Sint
Cr 2r dr
= 2C
Rr=0
r2 dr ,
ou seja,
Iint =2
3CR3 . (1)
(b) [0,4] Na casca externa, temos
Iext =
Sext
Jext n dA
=
Sext
(J0 z) z dA
= J0
Sext
dA
= J0Aext ,
ou seja,
Iext = J0(b2 a2) . (2)
1
(c) [1,6] Devido a` simetria cilndrica da distribuicao estacionaria de corrente e a` lei de Gauss do magnetismo, emqualquer uma das quatro regioes, o campo magnetico, so tera componente azimutal (circular), ou seja,4
~B(r, ) = B(r) () .
Isso tudo sugere, pois, que usemos a lei de Ampe`re e que tomemos, como curva ampe`riana, uma circunferencia decrculo, concentrico com o eixo da distribuicao de corrente e perpendicular ao seu eixo, de raio generico r. Assim,a expressao funcional para a circulacao do campo magnetico ao longo da amperiana fica, em qualquer uma dasquatro regioes, igual a
~B[C] :=
C
~B d
=
C
B(r) () d
=
C
B(r)d
= B(r)
C
d ,
ou seja,~B[C] = 2rB(r) .
A intensidade de corrente encerrada pela curva ampe`riana dependera, contudo, da regiao em questao. De fato,
0 r R: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela Eq. (1), contanto que, nela, troquemos R porr, ou seja:
Ienc(r) = Iint(r)
=2
3Cr3 .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r =2
30Cr
3 ,
e, finalmente,
~B =1
30Cr
2 .
R r a: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente toda do fio interno, ou seja, pelaEq. (1):
Ienc(r) = Iint
=2
3CR3 .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r =2
30CR
3 ,
e, finalmente,
~B =0Iint2r
=1
3
0CR3
r .
4A rigor, ainda poderia haver uma componente axial constante, que, suporemos nula, como usual.
2
a r b: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente do fio interno mais a corrente na cascaexterna, Eq, (2), contanto que, nessa ultima, troquemos b por r, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext(r)
=2
3CR3 J0(r
2 a2) .
Entao, pela lei de Ampe`re, vem
B(r)2r = 0
[2
3CR3 J0(r
2 a2)
],
e, finalmente,
~B = 0
[1
3
CR3
r
1
2J0
(r
a2
r
)] .
b r
Entao, o fluxo atraves do crculo superior e
sup :=
Ssup
~B n dA
=
Ssup
(Ctz) nsup dA
=
Ssup
(Ctz) (z) dA
= Ct
;Ssup
dA
= CtAsup
= Cta2 .
Analgoamente, para o fluxo atraves do crculo inferior, temos
inf = CtAinf
= 4Cta2 .
Logo, o fluxo total atraves do circuito e = sup + inf
ou seja,
= 3Ca2t . (3)
(b) [0,6 ponto] Como, nitidamente, o modulo do fluxo esta aumentando e a maior contribuicao para ele vem docrculo inferior, devera surgir, pela lei de Lenz, uma corrente induzida que parcialmente cancelara, por intermediodo correspondente campo magnetico induzido, no centro do crculo inferior, o campo magnetico externo. Issoimplica que a corrente induzida tera o sentido indicado pelas setas na figura a seguir, ou ainda,
circunferencia inferior: sentido horario
circunferencia superior: sentido anti-horario .
4
(c) [0,8] Pela lei de Faraday, temos que a forca eletromotriz (fem) induzida ao longo do circuito e, tendo em vistaa Eq. (3),
Eind[C] = d
dt= 3Ca2 .
Como o circuito e puramente resistivo e satisfaz a lei de Ohm, temos que a corrente eletrica induzida vale
Iind =Eind
R,
ou seja,
|Iind| =3Ca2
R.
5