COMENTÁRIO DA PROVA DO BANCO DO BRASIL

Prezados concurseiros, segue abaixo os comentários das questões de matemática propostas pela CESPE no último concurso para o cargo de escriturário do Banco do Brasil (Seleção 2009/001). Bons estudos a todos! Fiquem com DEUS!

CADERNO A

Considere que parte do gráfico de valores da taxa SELIC possa ser aproximado pelo gráfico acima, que corresponde à parábola y = ax² + bx + c, em que a variável x representa os meses, y é a taxa SELIC no mês x, e a, b e c são constantes reais. Com base nessas considerações, julgue os próximos itens. 44) b² < 4ac.

Solução Note que a parábola não corta o eixo dos x, isto é, não possui raízes reais. Logo, podemos concluir que ∆∆∆∆ < 0 ⇒⇒⇒⇒ b² − 4ac < 0 ⇒⇒⇒⇒ b² < 4ac. Item correto – (C) 45) 289a + 17b + c < 13.

Solução Seja a função y = f(x) = ax² + bx + c. Para x = 17, temos que y = f(17) = a.(17)² + b.(17) + c = 289a + 17b + c. Pelo gráfico vemos que f(17) < 13, logo, 289a + 17b + c < 13. Item correto – (C) 46) 18a = − b.

Solução

Observando o gráfico, conclui-se que o baa

bxv −=⇒=−= 189

2. Item correto – (C)

A Fundação Banco do Brasil apoia, financeiramente, projetos educacionais e culturais em muitas cidades do Brasil. Considere que, em determinada região, o total dos recursos destinados a um projeto de dança clássica e a um projeto de agroecologia tenham sido iguais ao quíntuplo dos recursos destinados a um projeto de alfabetização; que a soma dos recursos destinados aos projetos de alfabetização e de dança clássica tenham sido de R$ 40.000,00; e que a diferença entre os recursos destinados aos projetos de agroecologia e alfabetização tenham sido de R$ 20.000,00. Nessa situação, é correto afirmar que os recursos destinados

Solução Sejam, respectivamente, zeyx, os valores dos recursos destinados aos projetos de dança clássica, de agroecologia e de alfabetização. Daí, pelas informações do enunciado construímos as seguintes equações:

.000.28000.12000.40000.40)(

.000.32000.12000.20000.20)(

.000.12000.605000.20000.405

000.20000.405000.20

000.405)()(

)(000.20

)(000.40

)(5

=⇒−=⇒−=⇒

=⇒+=⇒+=⇒

=⇒=⇒+=⇒

=−⇒

=−−=−

⇒−⇒

=−=+=+

xxzxIIDe

yyzyIIIDe

zzz

zzy

zzyIIIFazendo

IIIzy

IIzx

Izyx

47) ao projeto de dança clássica foram superiores a R$ 29.000,00.

000.29000.28 <=x . Item errado – (E) 48) aos projetos de dança clássica e agroecologia foram inferiores a R$ 59.000,00.

000.59000.60000.32000.28 >=+=+ yx . Item errado – (E) 49) aos três projetos foram superiores a R$ 70.000,00.

000.70000.72000.12000.32000.28 >=++=++ zyx . Item correto – (C)

Tendo como referência a figura acima, que mostra os valores das taxas de juros anuais, em dois anos consecutivos, denominados anterior e atual, em 10 países, julgue os itens seguintes. 50) O valor médio das taxas atuais dos 10 países em questão é inferior a 5%.

Solução

Fazendo a média aritmética das taxas atuais ( )x tem-se:

%5%25,710

%5,72

10

%25,3%5,1%5,10%5,10%5,5%25,11%5,0%5,10%4%5,9 >==+++++++++=x .

Item errado – (E) 51) Se um dos dez países considerados for selecionado ao acaso, então a probabilidade de que a taxa de juros atual desse país encontre-se entre 5,5% e 10% será igual a 0,2.

Solução

O nº de casos favoráveis será dado pelo nº de países que apresentam uma taxa atual entre 5,5% e 10%. Consultando a figura acima, temos (9,5%; 5,5%). O nº de casos totais será 10.

Logo, 2,010

2

º

º ===totaiscasosn

favoráveiscasosnP . Item correto – (C)

52) Em termos proporcionais, o maior corte da taxa de juros ocorreu na Índia.

Solução Note que no Canadá é que ocorreu o maior corte da taxa de juros de 1% para 0,5% (corte de 50%). Em nenhum outro país ocorreu um corte maior que este. Isto poderia ser facilmente concluído, fazendo as respectivas diferenças entre taxa anterior e taxa atual dos países. O Canadá é o único país em que a taxa cai pela metade. Item errado – (E) 53) A taxa de juros compostos praticada anteriormente pela Hungria era de 10% ao ano. Essa taxa é equivalente a uma taxa de juros semestral superior a 5%.

Solução

MACETE!!! “Sempre que quisermos calcular uma taxa equivalente em uma unidade de tempo sub-múltipla da unidade de tempo da taxa dada, calculamos a taxa equivalente como se fosse no regime simples e concluímos que a taxa no regime composto será SEMPRE MENOR“. Aplicando o macete temos que 10% ao ano no regime simples será equivalente a taxa de 5% ao semestre

(1 ano tem dois semestres ⇒⇒⇒⇒ %52

%10 = ). Logo, no regime composto, esta taxa será menor que 5%.

Item errado – (E)

VARIAÇÃO DO MACETE!!! “Sempre que quisermos calcular uma taxa equivalente em uma unidade de tempo múltipla da unidade de tempo da taxa dada, calculamos a taxa equivalente como se fosse no regime simples e concluímos que a taxa no regime composto será SEMPRE MAIOR“. Ex: 5% ao semestre, no regime simples, seria equivalente a 10% ao ano. No regime composto, esta taxa anual seria MAIOR que 10% ao ano. 54) Caso o governo do Canadá venda, por 1 milhão de dólares, títulos à taxa de juros compostos de 1% ao ano para serem resgatados daqui a 3 anos, então, para resgatar esses títulos ao final do período, o governo canadense deverá desembolsar mais de 1,03 milhão de dólares.

Solução

Teremos que calcular o montante composto produzido por um capital (C) de 1 milhão, durante 3 anos (n = 3) a uma taxa de 1% ao ano (i = 1%a.a). Daí,

milhão

iCM n

03,100,000.030.100,301.030.1

)01,1(00,000.000.1)01,01(00,000.000.1%)11(00,000.000.1)1( 333

=>==+=+=+=

Item correto – (C)

55) Considere que, em uma carteira de investimentos de um banco em Taiwan, um investidor aplique quatro parcelas anuais, consecutivas e iguais a 30.000 dólares, à taxa de juros compostos de 2% ao ano. Nessa situação, tomando-se 1,082 como valor aproximado de 1,024, é correto afirmar que, imediatamente após ser feita a última aplicação, o montante desse investidor será superior a 125.000 dólares.

Solução

Dados: n = 4 anuais; R = $ 30.000,00; i = 2% ao ano; (1,02)4 = 1,082.

Cálculo do montante para rendas certas. Sabemos que ( )

i

iRsRS

n

in

11..

−+== ¬ . Prezados amigos, a

CESPE exige que nós decoremos a fórmula acima, somente o fator ( )ni+1 é fornecido. Aplicando a fórmula para os dados fornecidos, temos:

( ) ( )00,000.125$00,000.123$

02,0

082,0.000.30

02,0

1082,1.000.30

02,0

102,1.000.30

%2

1%21.000.30

44

<==−=−=−+=S

Item errado – (E)

Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir. 56) O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58.

Solução

Para a 1ª colocada teremos 5 possibilidades, para a 2ª colocada teremos 4 possibilidades e para a 3ª colocada teremos 3 possibilidades. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos um total de 5 x 4 x 3 = 60 possibilidades ≠≠≠≠ 58. Item errado – (E)

57) O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15.

Solução

Como a equipe A deve ser a 1ª colocada teremos 1 possibilidade para primeira colocação. Para a 2ª colocada teremos 4 possibilidades e para a 3ª colocada teremos 3 possibilidades. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos um total de 1 x 4 x 3 = 12 possibilidades ≠≠≠≠ 15. Item errado – (E)

58) Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24.

Solução

Sendo a equipe A desclassificada nosso universo de escolha cai para 4 equipes possíveis. Para a 1ª colocada teremos 4 possibilidades, para a 2ª colocada teremos 3 possibilidades e para a 3ª colocada teremos 2 possibilidades. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos um total de 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades. Item correto – (C) Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue os itens seguintes. 59) Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação.

Solução

Note que o número de classificações distintas será dado pelo número de reordenações que podem ser feitas com essas 5 pessoas, ou seja, permutação simples de 5. Daí, P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 possibilidades. Item correto – (C)

60) Com André em primeiro lugar, existem 20 possibilidades distintas para a classificação.

Solução

Como André está em 1º lugar teremos 1 possibilidade para primeira colocação. Para a 2ª colocação teremos 4 possibilidades, para a 3ª colocação teremos 3 possibilidades , para 4ª colocação teremos 2 possibilidades e para 5ª colocação teremos 1 possibilidade. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos um total de 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilidades ≠≠≠≠ 20. Item errado – (E)

61) Com Bruna, Leila e Roberto classificados em posições consecutivas, existem 36 possibilidades distintas para classificação.

Solução

Note que podemos ter 3 posições consecutivas, isto é, 1º - 2º - 3º; 2º - 3º - 4º; 3º - 4º - 5º. Para cada uma das três posições consecutivas podemos ter 3! = 6 possibilidades de ordenação para Bruna, Leila e Roberto. Para cada uma das três posições consecutivas podemos ter 2! = 2 possibilidades de classificação dos outros dois. Logo, pelo princípio multiplicativo, teremos 3 x 6 x 2 = 36 possibilidades distintas de classificação. Item correto – (C) 62) O número de possibilidades distintas para a classificação com um homem em último lugar é 144.

Solução

Note que temos 3 possibilidades (André, Claudio e Roberto) para um homem ocupar o último lugar (5ª colocação). Para cada uma dessas possibilidades teremos 4 possibilidades para o 1º lugar, 3 possibilidades para o 2º lugar, 2 possibilidades para o 3º lugar e 1 possibilidade para o 4º lugar. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos 3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 possibilidades ≠≠≠≠ 144. Item errado – (E)

Considerando que uma empresa tenha 5 setores, cada setor seja dividido em 4 subsetores, cada subsetor tenha 6 empregados e que um mesmo empregado não pertença a sub-setores distintos, julgue os itens subseqüentes. 63) O número de subsetores dessa empresa é superior a 24.

Solução

Como temos 5 setores e cada setor é dividido em 4 subsetores, teremos na empresa 5 x 4 = 20 < 24 subsetores. Item errado – (E) 64) O número de empregados dessa empresa é inferior a 125.

Solução

Como temos 6 empregados por cada subsetor e temos 20 subsetores, teremos 6 x 20 = 120 empregados < 125. Item correto – (C) Uma empresa bancária selecionou dois de seus instrutores para o treinamento de três estagiários durante três dias. Em cada dia apenas um instrutor participou do treinamento de dois estagiários e cada estagiário foi treinado em dois dias. As escalas nos três dias foram: 1.º dia: Ana, Carlos, Helena; 2.º dia: Helena, Lúcia, Márcio; 3.º dia: Ana, Carlos, Lúcia. Considerando que um dos instrutores era mulher, julgue os itens que se seguem. Sabendo que temos 2 instrutores e 3 alunos, podemos montar a seguinte tabela:

1º Dia 2º Dia 3º Dia ANA X X

CARLOS X X HELENA X X LÚCIA X X

MÁRCIO X

65) Os dois instrutores eram mulheres. Solução

Como temos apenas 2 instrutores para 3 dias de instrução, concluímos que 1 instrutor treinará os estagiários em dois dias e 1 instrutor treinará os estagiários em um dia. Da tabela, concluímos que Márcio é instrutor , pois aparece apenas uma vez no segundo dia. Logo, teremos um instrutor homem e uma instrutora mulher. Item errado – (E) 66) Carlos era estagiário.

Solução Como os instrutores são apenas dois: Márcio e uma mulher, concluímos que Carlos é estagiário. Item correto – (C) 67) Um estagiário era Lúcia ou Márcio. Como Márcio é instrutor, pelo 2º dia da tabela acima, concluímos que Lúcia e Helena são estagiárias. Logo, podemos concluir que um estagiário era Lúcia ou Márcio. Item correto – (C) Com relação a lógica sentencial, contagem e combinação, julgue os itens a seguir. 68) Em um torneio em que 5 equipes joguem uma vez entre si em turno único, o número de jogos será superior a 12.

Solução O número de jogos será dado pelo nº de duplas de equipes que poderão ser formadas dentre as 5 equipes disponíveis. Como a ordem na formação da dupla não é importante, teremos que o nº de jogos será igual

a C5,2 = 102

45

!3!2

!5 == x

xjogos < 12. Item errado – (E)

69) Com 3 marcas diferentes de cadernos, a quantidade de maneiras distintas de se formar um pacote contendo 5 cadernos será inferior a 25.

Solução

Como temos apenas 3 marcas de caderno, para escolhermos 5 cadernos deveremos repetir marcas. Logo, teremos uma combinação com repetição, cuja fórmula será dada por CRn,p= Cn+p−1, p−1. Logo, o nº de maneiras

será dado por CR5,3 = C5+3-1, 3-1 = C7,2 = 212

67

!5!2

!7 == x

x maneiras distintas < 25. Item correto – (C)

70) A proposição Se x é um número par, então y é um número primo é equivalente à proposição Se y não é um número primo, então x não é um número par.

Solução Seja a proposição “

444 3444 21444 3444 21q

então primo número um éy ,par número um éx Sep

”. Sua contrapositiva (proposição

equivalente) será dada por ( pq ¬⇒¬ ), isto é, “4444 34444 214444 34444 21

pq

par número um é nãox ,primo número um é nãoy ¬¬

entãoSe .

Item correto – (C) Vamos estudar meus amigos! Um abraço, Prof Pio.