Proyecto 3

Solucin de sistemas de ecuaciones diferencialesLos aqu firmantes declaramos que somos los autores de este trabajo escrito y que no dimos ni recibimos ayuda de otros grupos o de personas ajenas al curso.

____________________________________Agustn Cardona Naranjo (311506)

___________________________________ngel David Glvez Serna (312018)

____________________________________Yesica Rojas Cceres (312556)

Un ladrillo rectangular de gel de agar de 3 cm de espesor contiene urea a una concentracin uniforme de 2104 mol/cm3. Al sumergir el ladrillo en agua la urea de la superficie se disuelve de inmediato, as que en los extremos la concentracin es 0. La forma del ladrillo hace que la urea se transfiera desde el centro hacia la superficie (direccin x) debido al gradiente de concentracin. Por lo tanto se puede omitir la transferencia en otras direcciones y la concentracin (C) est dada por la ecuacin:

(1)Donde t es el tiempo, x la distancia, y D = 1.7102 cm2/h la difusividad. Para este modelo Plantee las condiciones de frontera del problema

Aplique el mtodo Crank-Nicholson para obtener los perfiles de concentracin para 2 h, 5 h, 10 h, 20 h, y 50 h con t = 0.1 h

Calcule la fraccin de urea que ha salido del ladrillo en cada uno de los t anteriores

Condiciones de frontera:Al sumergir el ladrillo en agua la concentracin de las paredes es cero. Por lo que la concentracin vara cuando la urea empieza a difundirse desde la mayor concentracin a la menor, ya que necesita de dicho gradiente para que su concentracin en x pueda cambiar con el tiempo.

Delta de tiempo: 0.1 intervalo que avanza.Delta x= 0.15 cm (20 particiones de los 3cm de espesor del ladrillo que contiene urea, es decir que la concentracin se evala a ese x).

Asumir un ladrillo de de 15*15 cm^2 para asegurarse que este tamao.

Codigo resuelto en SCIlAB (Metodo de Crank-Nicholson)//calculo de lambda delta_t = 0.1 //horasdelta_x = 0.15 //cmdifusividad = 1.7e-2 //cm^2/h lambda = (difusividad*delta_t)/(delta_x)^2n = 11 //numero de particionesp = (n+1) //numero de puntosf = (n-1) //tamao de la matriz

C = zeros (1,n)C (:) = 2e-4C (1) = 2e-4 //mol/cm^3C (n) = 2e-4

//para definir las matrices A, B , D:A = zeros (n,n)B = zeros (n,n)D = zeros (n,1)

//diagonal pricipalA1 = eye (n,n)* (2*(1+lambda))B1 = eye (n,n)* (2*(1-lambda))//diagonales de arribaA2 = diag(ones(f,1),1)*-lambdaB2 = diag(ones(f,1),1)*lambda//diagonales de abajoA3 = diag(ones(f,1),-1) * -lambdaB3 = diag(ones(f,1),-1) * lambda

A = A1+A2+A3B = B1+B2+B3

D = zeros (n,1)D (:) = 0D (1) = 2*lambda*2e-4D (n)= 0

//Una vez definidias las matrices A,B y D podemos prodecer //a recualcular los valores de C q nos definiran el perfil de concentraciones numavan = 500 //corresponde al valor mas alto de 50hresultados = zeros (numavan,n)

C = C'for l=1:numavan //recalcular las T de 2 hasta 9 (l son las filas) C_sig = inv(A)* ( (B*C) + D ) C = C_sig resultados(l,:)= C'end

clfplot(resultados(20,:)) //'g' para ver la linea de color verde; perfil de concetraciones para 2 horasplot(resultados(50,:)) //perfil de concetraciones para 5 horasplot(resultados(100,:)) //perfil de concetraciones para 10 horasplot(resultados(200,:)) //perfil de concetraciones para 20 horasplot(resultados(500,:)) //perfil de concetraciones para 50 horas//el numero de avanze tiene q ser el final, pero en //cada grafica es correspondiente a cada una q necesitemos por ejemplo 20 para 2h

graf_ut = gcf()ejes_ut = gca()ejes_ut.x_label.text = "numero de nodos"ejes_ut.y_label.text = "concentracion de urea"

//apartado B fraccion de urea disipada en el instante t.

//masa = concentracion * volumen

//SE asumira un ladrillo de de 15*15 cm^2 para asegurarse que este tamao//sea considerablemente grande con respecto al espesor //y asi solo ocurra transferencia de masa en una sola direccion.

h = 15 //cmp = 15 //cme = 1.5 //cm

vol = h*p*e

//fraccion disipada = masa final / masa inicial

masa_ini = vol * 2e-4mas_fin2h = vol * resultados(20,:)mas_fin5h = vol * resultados(50,:)mas_fin10h = vol * resultados(100,:)mas_fin20h = vol * resultados(200,:)mas_fin50h = vol * resultados(500,:)

fracc2h = mas_fin2h/masa_ini //perfil de fraccion disipada en 2 horasfracc5h = mas_fin5h/masa_ini //perfil de fraccion disipada en 5 horasfracc10h = mas_fin10h/masa_ini //perfil de fraccion disipada en 10 horasfracc20h = mas_fin20h/masa_ini //perfil de fraccion disipada en 20 horasfracc50h = mas_fin50h/masa_ini //perfil de fraccion disipada en 50 horas

//si se desea conocer el perfil de la fraccion disipada para cada tiempo la siguiente orden se debe descomentar//disp (fracc50h',fracc20h',fracc10h',fracc5h',fracc2h', "para cada perfil de tiempo habra salido una cantidad de urea de ")

masa_fin2h = vol * resultados(20)masa_fin5h = vol * resultados(50)masa_fin10h = vol * resultados(100)masa_fin20h = vol * resultados(200)masa_fin50h = vol * resultados(500)

frac2h = masa_fin2h/masa_ini //fraccion disipada en 2 horasfrac5h = masa_fin5h/masa_ini //fraccion disipada en 5 horasfrac10h = masa_fin10h/masa_ini //fraccion disipada en 10 horasfrac20h = masa_fin20h/masa_ini //fraccion disipada en 20 horasfrac50h = masa_fin50h/masa_ini //fraccion disipada en 50 horas

disp (frac50h',frac20h',frac10h',frac5h',frac2h', "la fraccion disipada de urea para cada tiempo final sera de: ")

La fraccin disipada de urea para cada tiempo final ser a de: Tiempo (horas)Fraccin disipada de urea

20.9999998

50.9998476

100.9956661

200.9724746

500.9291427

Es lgico pensar que a medida que pasa el tiempo la disipacin de urea va bajando ya que la concentracin de urea que estaba en el ladrillo pasa al agua por lo que la fraccin de urea va disminuyendo, y es coherente con la teora de la deshidratacin osmtica ya que el perfil de concentracin mayor que sale de una membrana o gel en nuestro caso se da al principio del proceso en donde el gradiente de concentracin es mayor, luego tiende a estabilizarse en el tiempo, no implica que en nuestro ejercicio se detuvo si no que se est difundiendo a una tasa menor que al principio. Como se puede observar en las siguientes graficas y la grafica final en donde se puede ver la concentracin de urea que presenta ya una tendencia ms lineal indicando que la difusividad presenta tendencia lineal cuando el tiempo de operacin es muy grande en nuestro caso 50 horas, no implica que dicha difusividad sea mayor que al comienzo (representada con una lnea roja).Para 2 horas: plot(resultados(20,:), 'g')

Para 5 horas: plot(resultados(50,:), 'g')

Para 10 horas: plot(resultados(100,:),'g')

Para 20 horas: plot(resultados(200,:),'g')

Para 50 horas: plot(resultados(500,:),'r')

Masa final a 2 h, 5 h, 10 h, 20 h, y 50 h:-->masa_fin2h = vol * resultados(20) masa_fin2h = 0.0675000 -->masa_fin5h = vol * resultados(50) masa_fin5h = 0.0674897 -->masa_fin10h = vol * resultados(100) masa_fin10h =0.0672075 -->masa_fin20h = vol * resultados(200) masa_fin20h = 0.0656420

-->masa_fin50h = vol * resultados(500) masa_fin50h = 0.0627171Esto claramente indica que la transferencia de masa se da mejor al principio del proceso ya que hay ms concentracin de urea.