1. Introducción:

1.1 Motivación

¿Será posible predecir los sucesos que están por ocurrir en el futuro? Esta es una

pregunta que a través de los años se la han planteado varias personas y en respuesta han

hallado a varios profetas como lo son: Nosttradamus, San Malaquias, Rasputin, etc. Estos

profetas afirman conocer los sucesos que podrían ocurrir en un lugar determinado y en

una ubicación determinada, basando sus predicciones en inspiraciones divinas y

partiendo de la interpretación de señales. Muchas personas tienen la costumbre de

organizar su vida y sus días basándose en predicción y en señales.

Hoy día el estilo de vida es uno mucho mas cómodo ya que está llena de aparatos

tecnológicos, creo que no es algo desconocido el que las personas no hallan visto la

sección del tiempo en los medios noticiosos. Mas bien las noticias y la sección del tiempo

para las personas comunes es algo rutinario, se observa la sección del tiempo y se obtiene

una idea sobre como se podría planificar su día de trabajo o en mejores momentos el día

de sus vacaciones. El método utilizado por los meteorólogos para predecir un día lluvioso

o seco, además del sistema de satélites, son las cadenas de Markov y el hallar la matriz de

transición. Las cadenas de Markov tienen como misión hallar la probabilidad de que

ocurra un evento luego de haber ocurrido un evento anterior. Esto significa que los

meteorólogos buscan hallar la probabilidad de que un día este lluvioso o seco, dejándose

llevar de lo sucedido en el día anterior. Este es el mejor y más sencillo ejemplo a

aplicarse en las cadenas de Markov, ya que todo se puede hacer utilizando una matriz 2x2

e intervalos de tiempos cortos.

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1.2 Limitaciones que presenta el estudio

Las cadenas de Markov se pueden aplicar también en casos de mercadeo,

demografía, agricultura y en muchas otras áreas de estudios. Este trabajo presenta un

estudio basado en la economía, específicamente en las clasificaciones de crédito

(excelente, bueno y deficiente). Estos niveles crediticios cambian de acuerdo al

comportamiento de las personas en su pagares de deudas a los acreedores. Las diferentes

compañías acreditadotas, rinden un informe sobre como se comporta nuestro crédito cada

6 meses, mientras que haciendo uso de las cadenas de Markov podríamos hallar lo que

ocurriría en un segundo o tercer periodo de tiempo luego de transcurrir los 6 meses. Al

comienzo de este trabajo la economía mundial ha ido en reseción, ya que la bolsa de

valores ha estado en descenso. Por lo tanto si se hace un estudio realístico sobre como

afecta esto a la vida social y económica de las personas se debe identificar una muestra

que represente a la población.

Toda esta distribución de estados crediticios y cambios en sus niveles de créditos

ocurren basados de una población normal y de igualdad de personas en los estados

crediticios. La misma cantidad de personas que corresponde al estado de crédito

excelente es la misma cantidad que corresponde al estado de bueno y deficiente. Esto

demuestra que en cada división de estados supone que la población tiene el mismo

comportamiento y que todos se dividen en sus estados de la misma manera. Esta

suposición tiene como resultado el que el estudio no sea uno de confiabilidad, ya que la

realidad económica de una población normal, la cual se clasifica en tres clases: ricos,

media y pobre, nos demuestra que los estados crediticios de la población tiende a estar

mas inclinada a los estados deficientes que a los estados excelentes. El fin de este estudio

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es basado en la economía actual, como afecta esto a la población y como no estaría

afectando en un segundo periodo de tiempo.

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2. Definiciones

2.1 Matriz- Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados

elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada

una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas

verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito

m×n)

2.2 Matriz de transición- Una matriz de transición para una cadena de Markov de

n estados es una matriz de n x n con todos los registros no negativos y con la propiedad

adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1. Por ejemplo, las

siguientes son matrices de transición:

2.3 Crédito - Reputación, fama. Opinión de que alguien satisfará puntualmente

sus compromisos.

2.4 Economía - Es la ciencia social que estudia las relaciones sociales que tienen

que ver con los procesos de producción, intercambio, distribución y consumo de bienes y

servicios, entendidos estos como medios de satisfacción de necesidades humanas y

resultado individual y colectivo de la sociedad.

2.5 Quiebra - Una quiebra o bancarrota es una situación jurídica en la que una

persona (persona física), empresa o institución (personas jurídicas) no puede hacer frente

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a los pagos que debe realizar (pasivo exigible), porque éstos son superiores a sus recursos

económicos disponibles (activos).

2.6 Bolsa de valores - Es una organización privada que brinda las facilidades

necesarias para que sus miembros, atendiendo los mandatos de sus clientes, introduzcan

órdenes y realicen negociaciones de compra venta de valores, tales como acciones de

sociedades o compañías anónimas, bonos públicos y privados, certificados, títulos de

participación y una amplia variedad de instrumentos de inversión.

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3. Marco teórico

Según Gustavo Mesa las cadenas de Markov son descritas como una forma

sencilla de encontrar probabilidades haciendo uso del álgebra matricial. Se le conoce

como un proceso sencillo, ya que una persona común en donde su especialidad no sean

las matemáticas o el algebra matricial podría resultarle sencillo el poder entender el

concepto de hallar probabilidades utilizando las cadenas de Markov. Lo esencial del

concepto de las Cadenas de Markov se basa en buscar la probabilidad que ocurra un

evento dependiendo del evento inmediato anterior. Un ejemplo a utilizarse para

comprobar lo dicho anteriormente lo es el sistema utilizado por los meteorólogos en los

centros climatológicos y en los centros informáticos contra desastres. Los meteorólogos

hacen uso de las cadenas de Markov y pueden hallar la probabilidad de lluvia o de sequía

dependiendo de lo que ocurre en días anteriores en una región de tierra específica.

Las cadenas de Markov no solo se utilizan para buscar probabilidades en

situaciones climatológicas, también se utilizan en el servicio de finanza sobre la Data –

Crédito. La Data-Crédito es un sistema que evalúa las acciones de las personas en cuanto

a pagos de deudas se refiere. La clasificación que se le da a las personas en base a su

crédito es una excelente, buena o deficiente, todo depende del comportamiento financiero

de la persona. Si mantiene sus deudas sin atrasos, su crédito es excelente, y si la persona

tiene un largo historial de atrasos en sus deudas entonces su crédito es deficiente. Se

puede pensar que si un cliente en cierto mes es clasificado como deficiente, lo más seguro

es que su crédito sea negado ya que se estima que para el mes siguiente lo mas probable

es que su comportamiento sea el mismo, lo que deja por entendido que la probabilidad de

estar en alguno de estos estados (excelente, bueno, deficiente), un mes cualquiera

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depende de la clasificación del mes anterior, y que es razonable en el análisis del crédito

concluir que un manejo deficiente en cierto mes, asegura un mal manejo en el mes

siguiente. Se puede observar que en los dos casos, meteorología y Data-Crédito, se busca

la probabilidad de un evento basándose en los eventos anteriores.

Pero las cadenas de Markov también son utilizadas en la demografía o censo. Esto

tiene un gran significado en el momento de clasificar a las personas en tres clases

sociales. Las clases sociales se distinguen de acuerdo a los ingresos económicos de cada

familia, estas clases sociales son: rico, pobre y clase media. Según Juan Espinoza estas

clases sociales en una población determinada, se pude predecir de acuerdo a la

clasificación de la clase social anterior. Estos estudios ayudan grandemente al

movimiento de la sociedad ante los avances históricos y culturales, ya que si notamos

como la población se va comportando con el pasar del tiempo podemos mejorar la

calidad de vida de las poblaciones en general y hacer que las clases vayan mejorando por

el bien de la sociedad. La sociedad no solo mejora cambiando su nivel socioeconómico

también mejoramos la calidad de vida buscando los intereses de una población. Juan

Espinoza nos dice que las Cadenas de Markov nos explican como y cuando las personas

cambian sus gustos en cuanto a productos se refiere. Se puede determinar el cambio en

marcas de productos dependiendo del comportamiento en la compra de estos productos

en el periodo de tiempo anterior. De esta manera los expertos en mercadeo pueden

predecir cual será la marca de mayor venta e los periodos de tiempos subsiguientes.

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4. Reseña histórica

Márkov nació en Riazán, Rusia. Antes de los 10 años su padre, un funcionario

estatal, fue trasladado a San Petersburgo donde Andréi entró a estudiar en un instituto de

la ciudad. Desde el principio mostró cierto talento para las matemáticas y cuando se

graduó en 1874 ya conocía a varios matemáticos de la Universidad de San Petersburgo,

donde ingresó tras su graduación. El nombre de cadenas de Markov se definió por

primera vez en un artículo de 1906 que trataba la ley de los grandes números y

posteriormente demostró muchos resultados estándar sobre ellas. Su interés en estás

sucesiones se originó en las necesidades de la teoría de la probabilidad; Markov nunca

trató sus aplicaciones a las ciencias. Los únicos ejemplos reales que utilizó eran de textos

literarios, donde los dos estados posibles eran vocales y consonantes. Para ilustrar sus

resultados, hizo un estudio estadístico de la alternancia de las vocales y las consonantes

en el libro de Pushkin Eugene Onegin. Andrei Markov dio clase en la universidad de San

Petersburgo de 1880 a 1905, y se retiró para dar paso a matemáticos más jóvenes.

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5. Parte creativa aplicada: Data-Crédito

5.1 Descripción general del estudio

Hoy día la sociedad en que vivimos nos clasifica de acuerdo a nuestro

comportamiento y forma de actuar en la vida cotidiana. En el momento en que se prepara

un censo se clasifica a las personas de acuerdo a sus ingresos económicos en tres clases,

clase rica, pobre y clase media. Pero estas clasificaciones se mantienen siempre en

constante cambio ya que la economía en la bolsa de valores de un país o en una nación

tiene sus altas y bajas en sus precios. Todas estas condiciones tienen un efecto grande en

la vida económica de las personas en general y esto hace que el mercado de valores

clasifique a las personas de acuerdo a su crédito. Las clasificaciones consisten en tres

etapas: obtener un crédito excelente, bueno o deficiente. En la vida económica y

financiera se entiende por crédito, la confianza que tenemos en la capacidad de cumplir,

en la posibilidad, voluntad y solvencia de un individuo, por lo que se refiere al

cumplimiento de una obligación contraída.

Las cadenas de Markov surgen de manera natural en biología, psicología,

economía, demografía y en muchas otras áreas de estudio, por lo que son una aplicación

importante del álgebra lineal y de la probabilidad. El registro ij t en una matriz de

transición T se conoce como la probabilidad de pasar del estado j al estado i en un

período de tiempo. Haciendo uso de las cadenas de Markov se podrá hallar la

probabilidad de que el estado crediticio de una persona cambie para bien o para mal en un

tiempo determinado, basado en su comportamiento en años anteriores.

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Supongamos que tenemos una población distribuida en partes iguales en tres estados

distintos, los cuales están clasificados de acuerdo a los niveles de crédito existentes:

Estado 1: Excelente

Estado 2: Bueno

Estado 3: Deficiente

Supongamos que en 6 meses la población cambia de diferentes estados crediticios de

acuerdo a su trasiego económico:

De la gente que tiene el crédito excelente, el 19% paso al crédito bueno y el 1%

paso a crédito deficiente. De la gente con el crédito bueno, el 15% paso al crédito

excelente y el 10% paso al crédito deficiente. De la gente con el crédito deficiente, el 5%

paso al crédito excelente y el 30% al crédito bueno.

En el momento de crear la matriz de transición se debe identificar cuales de los

estados estarían representados en cada columna. La columna 1 de la matriz de transición

estará representada por el estado excelente, la columna 2 estará representada por el estado

bueno y la columna 3 estará representada por el estado deficiente. El 19% de las personas

que tienen el crédito excelente (estado 1) pasará a un crédito bueno (estado 2), del mismo

modo el 1% de la gente del estado 1 (excelente) pasa al estado 3 (deficiente). Esto

significa que el 80% no tiene ningún cambio en su vida económica o estado crediticio y

después de 6 meses lo que tiene como resultado que se mantiene en el mismo estado

excelente. Asimismo, el proceso de repartición de por ciento se repite para las personas

que tiene el crédito bueno, en donde el 15% logra superar su crédito y pasar a su vez al

estado excelente, mientras que el 10% llevó su estado hasta uno deficiente. Lo mismo

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ocurre entre la población que tiene su estado crediticio categorizado como deficiente, en

donde luego de transcurrir 6 meses se dice que el 5% logra llevar su estado hasta

excelente y el 30% logra superar su estado hasta uno bueno.

De esta forma la matriz de transición, al transcurrir 6 meses, es la siguiente:

En esta matriz se puede observar lo siguiente:

1) Los datos o por cientos que se encuentran en la diagonal representan la

población que no sufrió ningún cambio entre los tres estados, luego de

transcurrir un periodo de 6 meses.

2) La suma de las columnas de la matriz de transición suman a 1, esto representa

el 100% de la población.

Supongamos que la población esta de igual forma distribuida en cada uno de los estados

crediticios, esto explica que de una población desconocida la misma cantidad de personas

que tiene el crédito excelente, es la misma cantidad que tiene el crédito bueno o

deficiente; no las mismas personas pero si la misma cantidad en tamaño. Haciendo uso de

la matriz de transición y de la forma en que esta distribuída la población podemos hallar

la distribución de la población por estados crediticios:

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Estos nuevos datos que se han hallado nos explican el como se encuentra la

población distribuida luego de transcurrir 6 meses. Si se compara la proporción de la

población al comenzar el estudio, con la nueva proporción de la población, obtenemos

que la distribución en sus estados crediticios han cambiado. La proporción de la

población que permanece en el estado 1 (estados excelente), luego de 6 meses, es 1/3; es

decir no hubo cambio en este estado. El estado crediticio bueno aumentó de un 33,3% a

un 41,3% en un periodo de 6 meses. El estado crediticio deficiente disminuyó de un

33,3% a un 25,3%.

Toda la información que aparece anteriormente nos demuestra lo que ocurría con

una población igual distribuida en tres estados crediticios, luego de haber transcurrido 6

meses. Pero estas ocurrencias no solo se detienen en 6 meses, también es posible el poder

hallar el comportamiento de la población al transcurrir 1 año. Esta es la base de las

cadenas de Markov el poder hallar la ocurrencia de un evento luego de un evento

inmediato ya ocurrido, esto tiene como consecuencia el poder predecir los hecho que

están por ocurrir o mejor aun la probabilidad de que ocurran estos hecho.

Si nos proponemos encontrar el estado en que la población estuviera distribuida

en los respectivos estados crediticios, luego de transcurrir 1 año, debemos hallar la matriz

de transición consiguiente. Esto significa que el tamaño de la matriz en el primer estado,

primer periodo de tiempo, será el mismo tamaño de la matriz en el segundo estado,

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segundo periodo de tiempo. Esto significa que las columnas estarán clasificadas según los

mismos estados crediticios que en el primer periodo de tiempo. Esto tiene como

significado que el segundo periodo de tiempo los datos estarán clasificados de la

siguiente manera:

el 80% de los (.80) en el estado 1 permanecerá en el mismo estado

el 15% de los (.19) en el estado 2 harán una transición al estado 1

el 5% de los (.01) en el estado 3 harán una transición al estado 1

Luego para hallar el número que le pertenecería al estado 1 al transcurrir 1 año debemos

multiplicar la fila con la columna de la siguiente manera:

(.80)(.80) + (.15)(.19) + (.5)(.01) = .6690

El numero .6690 es el por ciento en cantidad de personas que pertenecen al estado 1

(excelente) luego de transcurrir dos periodos de tiempo (1 año). Esto nos da como

resultado una segunda matriz de transición:

Se puede observar que los datos de esta nueva matriz se le asignan nuevos números a las

categorías de excelente, bueno o deficiente. Si se compara la matriz hace 6 meses con la

matriz luego de 1 año, se puede notar claramente que el nivel crediticio ha mejorado

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mientras pasa el tiempo. El por ciento en el estado de excelente ha ido en aumento,

mientras que el por ciento en el estado de deficiente ha ido en descenso. El significado de

estos resultado es que la economía va mejorando al pasar el tiempo, ya que si el nivel

crediticio de excelencia aumenta, significa que las personas en su vida común pueden

pagar las deudas a su nombre y si pueden pagar las deudas es por que tienen algún tipo

de empleo y si hay empleos disponibles la razón es que la economía está en un buen

estado o mejorando con el tiempo.

5.2 Descripción, análisis y presentación de los datos

Al comienzo de este análisis se estuvo presentando una serie de datos que

realmente no representan la realidad económica en la que se está viviendo hoy día (2010).

Según estudios estadísticos a nivel mundial se vive una recesión económica en donde la

bolsa de valores ha estado en descenso y a perdido su valor día tras día. Esto ha tenido

como resultado que la tasa de desempleo creciera en las diferentes naciones que sufren

esta reseción. El desempleo lamentablemente afecta a la mayoría de las personas en una

población, haciendo que esto a su vez afecte a la familia en su clasificación de niveles

sociales: clase rica, pobre y clase media. Todas las naciones, a nivel mundial, se han

estado ayudando para poner fin a esta recesión y poder mejorar la calidad de vida de las

personas que habitan en sus respectivos lugares.

Si repetimos el análisis de Data – Crédito que se efectuó al comienzo de este

trabajo podremos realizar un estudio a tono con lo sucedido en la vida diaria. Los datos a

utilizarse deben ser más realísticos que la vez anterior. Se utilizarán los mismos estados

de niveles crediticios:

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Estado 1: Excelente

Estado 2: Bueno

Estado 3: Deficiente

Pero al utilizar nuevos datos, significa que el cambio e la población al transcurrir 6 meses

se obtiene que:

De la gente que tiene el crédito excelente, el 10% paso al crédito bueno y el 21%

paso a crédito deficiente. De la gente con el crédito bueno, el 5% paso al crédito

excelente y el 20% paso al crédito deficiente. De la gente con el crédito deficiente, el 1%

paso al crédito excelente y el 32% al crédito bueno.

La matriz que se obtiene es la siguiente:

Luego de transcurrir 1 año (segundo periodo de tiempo), la matriz que

corresponde es la siguiente:

Estos datos tiene como significado que dado a las circunstancias de lo que ocurre

en la economía tiene un efecto negativo sobre el comportamiento de las personas y a su

vez sobre como responden a sus deudas al pasar seis meses. Eso hace que sea más fácil

entrar al estado de deficiencia que al de excelencia.

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6. Conclusiones

Las cadenas de Markov se pueden considerar como una de las grandes

aportaciones de las matemáticas. No necesariamente tienes que ser un experto en la

materia para poder entender sobre en que consisten y el uso que se le puede dar en las

diferentes situaciones de la vida diaria. Se ha demostrado que las cadenas de Markov

tienen un gran valor en la economía, ya que mientras nos predice lo que podría ocurrir en

un segundo periodo de tiempo, los mercados lo utilizan a su favor para mejorar sus

propios intereses. Por ejemplo, este estudio que se ha realizado anteriormente, les explica

a las grandes corporaciones bancarias cual seria la mejor decisión a tomar en el momento

de aprobar o rechazar un préstamo a alguna persona en particular.

Se demuestra que si una persona tiene el crédito deficiente en un periodo de

tiempo, lo más probable es que esta misma persona siga con el crédito deficiente en el

segundo periodo de tiempo. Las entidades bancarias utilizan estos estados crediticios para

tomar sus decisiones y de esa forma no perder sus inversiones de préstamos a personas

que quizás no cumplirían con sus deudas. Este es el significado de los estados crediticios,

un estado crediticio excelente corresponde a una persona que paga sus deudas, mientras

que un estado crediticio deficiente corresponde a una persona con problemas económicos

que quizás no podría pagar sus deudas a tiempo.

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7. Bibliografía

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GUSTAVO MESA () CADENAS DE MARKOV, UNA SENCILLA APLICACION http://www.revistamemorias.com/articulos9/cadenasdemarkov.pdf accessed 2010-03-06

JUAN ESPINOZA () MATRICES DE TRANSICION Y CADENAS DE MARKOV http://www.ciencia-ahora.cl/Revista20/15MatricesTransicion.pdfaccessed 2010-03-06

http://www.definicion.org/creditoaccessed 2010-03-06

http://www.nedap.org/hotline/pidiendo.htmlaccessed 2010-03-06

http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portadaaccessed 2010-03-06

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