Proyecto de Iniciacion a la Investigaci´ on´ Estudio ...bjanssen/text/TFGPerezPoyatos.pdf · Antes de estudiar los diferentes tipos de agujeros negros, debemos conocer las matematicas

Proyecto de Iniciacion a la Investigacion

Estudio comparativo de diferentestipos de agujeros negros

Por

Jose Marıa Perez Poyatos

Tutor

Bert Janssen

Departamento de Fısica Teorica y del Cosmos

Universidad de Granada

Julio de 2016

Imagen tomada de la pelıcula Interstellar

Resumen

Los agujeros negros son una de las mas exoticas e interesantes soluciones que pueden ser

obtenidas a partir de las ecuaciones de campo de Einstein. De hecho, la solucion de Schwarzs-

child fue la primera solucion exacta obtenida de estas ecuaciones, unas ecuaciones que el mismo

Albert Einstein pensaba que jamas serıan resueltas. Los agujeros negros han sido estudiados du-

rante mucho tiempo por cientıficos tan importantes como pueden ser Stephen Hawking o Roger

Penrose, contribuyendo enormemente en este campo e incluso descubriendo algunas de las pro-

piedades cuanticas de estos objetos. El hecho de que tengan un punto singular en su interior,

donde la curvatura se hace infinita y las ecuaciones pierden su validez completamente, suscita

interes incluso hoy en dıa, ya que la gravedad parece ser imparable y ninguna fuerza conocida

es capaz de oponerse a ella para llegar a un estado estable sin singularidad. En este proyecto es-

tudiaremos los agujeros negros que historicamente han sido importantes por diversas razones,

como el ya mencionado agujero negro de Schwarzschild, con el cual estableceremos el procedi-

miento seguido en el resto de apartados para estudiar la estructura causal de los diferentes casos

que trataremos. Todos los casos estudiados tienen un alto grado de simetrıa, con lo cual pueden

ser abordados de una forma relativamente sencilla con unos conocimientos mas o menos basicos

sobre Fısica y Geometrıa Diferencial. Tambien estudiaremos espacios que no presentan un agu-

jero negro, como son los espacios de De Sitter y de anti-De Sitter, para conocer sus principales

propiedades para luego, posteriormente. sı introducir un agujero negro de tipo Schwarzschild y

estudiar unas estructuras causales que no suele ser frecuente encontrar en la bibliografıa.

Indice

1. Introduccion y motivacion del proyecto 4

2. Agujero negro de Schwarzschild 7

2.1. Derivacion de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Estudio de los horizontes de la solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Estructura causal de la solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Agujero negro de Reissner-Nordstrom 14

3.1. Formalismo de Palatini y derivacion de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Estudio de los horizontes de la solucion de Reissner-Nordstrom . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Estructura causal de las diferentes soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordstrom subextremal . . . 18

3.3.2. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordstrom extremal . . . . . 22

4. Espacio de De Sitter 26

4.1. Derivacion de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2. Estructura causal de la solucion de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Espacio de Anti De Sitter 31

5.1. Estructura causal de la solucion de anti De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de De Sitter 35

6.1. Estudio de los horizontes de la solucion de Schwarzschild De Sitter . . . . . . . . . . 35

6.2. Caso subextremal R0 > 3√

3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2.1. Estructura causal del caso subextremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3. Caso extremal R0 = 3√

3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3.1. Estructura causal del caso extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de anti-De Sitter 43

7.1. Estudio de los horizontes de la solucion de Schwarzschild Anti De Sitter . . . . . . . 43

7.2. Estructura causal de la solucion de Schwarzschild Anti De Sitter . . . . . . . . . . . . 44

7.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8. Conclusiones finales 48

9. Bibliografıa 50

1 INTRODUCCION Y MOTIVACION DEL PROYECTO 4

1. Introduccion y motivacion del proyecto

Antes de estudiar los diferentes tipos de agujeros negros, debemos conocer las matematicas que

se esconden tras ellos y las ideas basicas que sustentan la teorıa de la Relatividad General. Para

empezar, las ecuaciones de campo de Einstein en unidades tales que c = 1:

Rµν −12

Rgµν = −8πGTµν (1.1)

son unas ecuaciones tensoriales. Esto es ası debido al Principio de Covariancia Generalizado, que

nos dice que no hay ningun observador privilegiado y que las leyes de la fısica han de escribirse

de identica forma en todos los sistemas de referencia, tanto inerciales como no inerciales, es por

ello que nuestras ecuaciones deben escribirse en terminos de objetos que transformen bien ante

cambios de coordenadas, y estos son escalares, vectores y tensores. Por otro lado, estas ecuaciones

manifiestan “la idea mas feliz de la vida de Einstein”, que fue la identificacion del campo gravita-

torio con la geometrıa del espacio, por lo que gravedad y geometrıa dependıan ıntimamente una

de otra, lo que es una consecuencia del Principio de Equivalencia, segun el cual observadores en

caıda libre en un campo gravitatorio son localmente equivalentes a observadores en el vacıo. Es

por ello, que sus ecuaciones de campo debıan relacionar la geometrıa del espacio con las fuentes

de campo gravitatorio, que son la masa (como en la teorıa newtoniana) y ademas, la energıa, que

es una de las grandes lecciones de la Relatividad Especial, y es que masa y energıa son las dos

caras de una misma moneda. Esto es lo que refleja la parte derecha de la ecuacion, donde aparece

el tensor de energıa-momento, que contiene toda la informacion del contenido energetico de la

solucion estudiada. En la parte izquierda de la ecuacion, tenemos el tensor de Ricci que a su vez

es contraccion del tensor de Riemann, que refleja la geometrıa del espacio; el escalar de Ricci, que

es la traza del tensor de Ricci; y la metrica, que es lo que buscamos al resolver estas ecuaciones.

A pesar de que a priori, esos tres objetos no estan relacionados, lo estan ıntimamente a traves

de la conexion. La conexion es un objeto matematico no tensorial que nos indica como cambia

un vector de un espacio tangente a otro al hacer transporte paralelo en la variedad, y es que los

vectores viven en los espacios tangentes a las variedades.Y es que en una variedad arbitraria, los

espacios tangentes cambian de punto a punto. Necesitamos un representante de un vector dado

perteneciente a un espacio tangente en otro espacio tangente, y la forma de hacerlo es gracias a la

conexion. La conexion, a priori, es totalmente arbitraria: diferentes conexiones, nos daran diferen-

tes nociones de curvatura. Pero existe una conexion preferida, que posee la importante cualidad

de que se relaciona con la metrica de la forma:

Γρµν =

12

gρλ[∂µgλν + ∂νgµλ − ∂λgµν

], (1.2)

donde asumimos el convenio de ındices repetidos de Einstein; un mismo ındice arriba y abajo

en una expresion significa sumatorio sobre todos los valores que pueda tomar dicho ındice. Esta

conexion cumple las siguientes dos propiedades:

Tρµν = Γρ

µν − Γρνµ = 0 ; ∇µgνρ = 0 (1.3)

La primera de ellas nos dice que el tensor de torsion es nulo, y por ende, la conexion es simetrica.

La consecuencia geometrica de este hecho, es que el cuadrilatero formado por dos vectores, ha-

ciendo transporte paralelo de ambos, es cerrado. La segunda, nos dice que la derivada covariante

de la metrica es nula, por lo que podemos conmutar la derivacion con la subida y bajada de ındi-

5 1 INTRODUCCION Y MOTIVACION DEL PROYECTO

ces, operacion que se realiza con el tensor metrico. A partir de la conexion, podemos definir el

tensor de Ricci

Rµν = R λµλν = ∂µΓλ

λν − ∂λΓλµν + Γλ

µσΓσλν − Γλ

λσΓσµν, (1.4)

que tambien esta relacionado con la metrica, de tal forma que solo aparecen ecuaciones diferen-

ciales de segundo orden para la esta, que era otro de nuestros objetivos, ya que las ecuaciones

diferenciales en fısica son siempre de segundo orden dado que siempre tenemos dos condiciones

de contorno. Como podemos ver, estas ecuaciones van a ser altamente no lineales, lo que va a

hacer que no se conozcan soluciones generales a las mismas.

En este proyecto, vamos a tratar con agujeros negros, que son soluciones exactas de la ecuaciones

de campo de Einstein. Son objetos en cuyo interior se encuentra una singularidad fısica, es decir, un

punto del espacio- tiempo en el que las ecuaciones se desmoronan y donde tenemos una curvatura

infinita. Esta singularidad esta aislada del resto del espacio-tiempo por un horizonte de sucesos,

lugar a partir del cual, una vez cruzado, no hay retorno, ya que ni siquiera la luz es capaz de

salir. Existen soluciones sin horizonte, pero nosotros aplicaremos la hipotesis de censura cosmica

propuesta por el fısico matematico Roger Penrose, segun la cual estos objetos no existen en la

naturaleza.

Como hemos dicho, en nuestras soluciones van a aparecer singularidades, es decir, puntos del

espacio-tiempo donde alguna de las componentes de la metrica va a divergir, y conviene distinguir

los dos casos posibles:

• Singularidades fısicas: son lugares del espacio-tiempo donde la curvatura se hace infinita y

nuestras ecuaciones no son validas ahı.

• Singularidades de coordenadas: son aquellas que aparecen por usar un sistema coordenado

concreto. Un cambio de coordenadas la hace desaparecer o bien la lleva a otro punto que

antes del cambio de coordenadas era completamente regular. Un ejemplo serıa el origen en

coordenadas polares planas.

En nuestro estudio, van a aparecer diferentes tipos de geodesicas, que son las lıneas que las

partıculas libres siguen por la variedad. Los dos tipos de geodesicas que vamos a encontrarnos

son los siguientes:

• Geodesicas nulas: son las trayectorias que siguen los rayos luminosos. La norma de sus vec-

tores tangentes es nula, lo que equivale a decir que gµν xµ xν = 0

• Geodesicas temporales: son las trayectorias que siguen las partıculas materiales. La norma

de sus vectores tangentes es la unidad gµν xµ xν = 1.

En nuestro estudio, supondremos simetrıa esferica y estaticidad. La simetrıa esferica hace que nos

baste con estudiar las geodesicas radiales, que son aquellas que van en direccion radial, pudiendo

ser entrantes o salientes.. La estaticidad consiste en la invariancia de la metrica ante inversiones

temporales, y sera la causante de la conservacion de la energıa por unidad de masa a lo largo de

las geodesicas, ecuacion que se plantea de la forma gtt t = E.

Estudiar agujeros negros consiste en conocer la estructura causal de los mismos, que es el conjunto

de puntos que pueden influenciar a otros, este es el motivo por el cual estudiamos el comporta-

mientos de las geodesicas, ya que conociendo las trayectorias de los rayos luminosos podemos

1 INTRODUCCION Y MOTIVACION DEL PROYECTO 6

conocer el cono de luz futuro de cualquier observador en cualquier lugar. Esto es importante, ya

que segun la Relatividad Especial, un observador se mueve dentro de su cono de luz futuro y

no puede salir de el, ya que eso supondrıa velocidades superiores a la de la luz. En Relatividad

Especial, los conos de luz eran de la forma:

Figura 1: Conos de luz en Relatividad Especial

Veremos que en un espacio curvo, la variedad de conos que aparecen es bastante mas amplia e

interpretaremos su forma y orientacion, ya que variaran de un punto a otro precisamente por la

curvatura. Lo importante es que el tiempo dentro de un cono de luz siempre va sobre la bisectriz

que pasa sobre su vertice, por lo que un observador en reposo se movera en estos diagramas a lo

largo de dicha bisectriz.

La motivacion que nos lleva a estudiar estos objetos es la siguiente:

• Como hemos mencionado antes, son soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein. Co-

mo mencionabamos al principio, el propio Einstein pensaba que no podrıan obtenerse de

sus ecuaciones soluciones exactas. En concreto, las que estudiaremos aquı presentan mucha

simetrıa.

• Esta simetrıa es la que hace que se puedan obtener de una forma relativamente sencilla y

siguiendo el proceso presentado aquı.

• Historicamente, han resuelto problemas que la Gravitacion Universal de Newton no podıa,

como la precesion del perihelio de Mercurio y dan correcciones de orden superior a las tra-

yectorias predichas por Newton.

• Una de ellas es posible que represente nuestro universo en el futuro: se trata de la solucion

de De-Sitter.

• Han cambiado nuestra forma de entender el espacio el tiempo, haciendo que ambos sean

dinamicos e intercambiables y no meros espectadores como lo eran para la mecanica newto-

niana.

7 2 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

2. Agujero negro de Schwarzschild

Este tipo de agujero negro, fue la primera solucion exacta de las ecuaciones de Einstein y es una de

las mas sencillas de encontrar. Es una solucion de las ecuaciones en el vacıo y fue la solucion que

determino correctamente la precesion del perihelio del planeta Mercurio, ya que las ecuaciones de

Newton no eran capaces de ello.

2.1. Derivacion de la solucion

Las ecuaciones de Einstein

Rµν −12

Rgµν = −8πGTµν

en ausencia de materia y energıa, hacen que el tensor de energıa-momento sea nulo por lo que:

Tµν = 0.

Quedando la ecuacion de Einstein de la forma:

Rµν −12

Rgµν = 0.

Si multiplicamos por la metrica inversa y operamos podemos despejar el escalar de Ricci:

gµν

(Rµν −

12

Rgµν

)= R− 2R = 0⇒ R = 0.

El escalar de Ricci es nulo y la ecuacion de Einstein sin traza queda mucho mas sencilla:

Rµν = 0.

Aun ası, es muy complicado resolver esta ecuacion tensorial de forma general, por lo que vamos

a proponer un Ansatz, es decir, una forma para la metrica que contemple todas las caracterısticas

que buscamos de nuestra solucion, es decir, buscamos una solucion que sea esfericamente simetri-

ca y estatica. Por ello buscamos una metrica con la forma:

ds2 = e2A(r)dt2 − e2B(r)dr2 − r2dΩ22

donde A y B son funciones dependientes de la coordenada radial y que hemos de determinar y

dΩ22 = dθ2 + sin2 θdϕ2 es el elemento de lınea de la 2-esfera. Esta metrica tiene todas las carac-

terısticas que buscamos, ya que solo depende del modulo de la distancia, siendo esfericamente

simetrica, es decir, invariante ante rotaciones SO (3), y la estaticidad esta asegurada debido a que

ninguna componente depende de la coordenada temporal y no hay terminos cruzados que invo-

lucren al tiempo.

Con esta metrica, tenemos que calcularnos los sımbolos de Christoffel usando su definicion a partir

de las componentes de la metrica 1.2. Los sımbolos no triviales son los siguientes:

2 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 8

Γttr = A′ Γθ

rθ = r−1

Γrtt = e2(A−B)A′ Γθ

ϕϕ = − sin θ cos θ

Γrrr = B′ Γϕ

rϕ = r−1

Γrθθ = −re−2B Γϕ

θϕ = cot θ

Γrϕϕ = −re−2B sin2 θ

que nos serviran para el resto de los casos que vamos a estudiar. A continuacion tenemos que

calcular el tensor de Ricci, que en funcion de los sımbolos de Christoffel tiene la forma 1.4, y cuyas

componentes no nulas son

Rtt = −e2(A−B)[

A′′ + (A′)2 − A′B′ + 2r−1 A′]

Rrr = A′′ + (A′)2 − A′B′ − 2r−1B′

Rθθ = e−2B [rA′ − rB′ + 1]− 1

Rϕϕ = sin2 (θ) Rθθ

(2.1)

Ahora debemos imponer que se cumplan las ecuaciones de Einstein, es decir, debemos igualar

todos los terminos del tensor de Ricci a cero Rµν = 0.

El sistema de ecuaciones diferenciales que tenemos parece sobredeterminado, ya que tenemos dos

funciones incognita y cuatro condiciones, pero unas ecuaciones son linealmente dependientes de

otras. Resolviendo el sistema, obtenemos que la forma explıcita de nuestra metrica es

ds2 =

(1− 2M

r

)dt2 −

(1− 2M

r

)−1dr2 − r2dΩ2

2. (2.2)

Trivialmente se comprueba que las componentes de esta metrica cumplen todas las ecuaciones

diferenciales que tenıamos arriba. Las coordenadas t, r, θ, ϕ, son λας empleadas por un obser-

vador que se encuentre en el infinito. Estas coordenadas, que son las que usaremos inicialmente en

todos los casos estudiados aunque variando el observador que las emplea, se denominan coorde-

nadas de Schwarzschild. La metrica, ası presentada, representa el campo gravitatorio creado por

una masa puntual m = MG situada en r = 0.

2.2. Estudio de los horizontes de la solucion de Schwarzschild

La metrica presenta varios puntos donde algunas componentes divergen o van a cero. No nos de-

tendremos en los que hacen que algun termino del elemento de lınea de la 2-esfera sea nulo, ya

que eso es un artefacto de usar coordenadas esfericas, y un simple cambio a coordenadas cartesia-

nas los harıa desaparecer. Fijandonos en la componente gtt de la metrica, es decir, su componente

temporal, vemos que esta se anula en r = 2M y que diverge para r = 0. Tenemos que ver si se

tratan de singularidades fısicas o de coordenadas. Para la singularidad en r = 0 , calculamos el

invariante de curvatura de Kretschmann, ya que cualquier otro es nulo por construccion, por ser

el tensor de Ricci nulo. Estos invariantes se construyen debido a que todos los observadores van a

obtener el mismo valor, por ser escalares. La otra razon, es que si encontramos un invariante que

diverja en el punto considerado, entonces tenemos asegurado que ese punto es una singularidad


de tipo fısico.

RµνρλRµνρλ =48M2

r6

De forma inmediata vemos que este invariante de curvatura diverge en r = 0 y que es totalmente

regular en r = 2M, lo cual quiere decir que en r = 0 tenemos una singularidad fısica y que la

curvatura en ese lugar es, de hecho, infinita. El hecho de que este invariante no diverja en r = 2M,

no nos dice nada acerca del caracter de esta singularidad. Veamos si con el cambio de coordenadas

adecuado somos capaces de ver que se trata de una singularidad de coordenadas.

Esto es general, dada una metrica esfericamente simetrica y estatica, los horizontes se encuentran

en aquellos puntos que hagan que la componente gtt de la metrica se anule, y esto sera lo que

apliquemos a lo largo de todo el proyecto.

2.3. Estructura causal de la solucion de Schwarzschild

Estudiar la estructura causal de una solucion, implica conocer las trayectorias de los fotones y de

las partıculas materiales, lo que equivale a calcular las geodesicas nulas y temporales, respectiva-

mente, del espacio, que son las trayectorias seguidas por las partıculas libres que se mueven por

la variedad.

Comenzamos calculando las geodesicas radiales nulas gµν xµ xν = 0, es decir, el vector tangente a

las mismas es un vector nulo por tener norma nula. Con esta ecuacion obtenemos

dtdr

= ± 11− 2M

r= ± r

r− 2M= ±

(1 +

2Mr− 2M

)que integrando, nos da la forma explıcita de las geodesicas radiales nulas

t = ± (r + 2M ln |r− 2M|) + C0.

El signo positivo nos indica las geodesicas salientes, es decir, que parten hacia el infinito desde un

punto y el signo negativo las geodesicas entrantes, las que llegan del infinito al punto en cuestion.

Para visualizar mejor la estructura causal de la solucion vamos a dibujar un diagrama de conos de

luz. Este se construye de tal manera que se dibujan las geodesicas entrantes y las salientes y vemos

los puntos donde intersectan. Una vez determinados esos puntos, dibujamos las lıneas tangentes

a ambas geodesicas en los puntos de interseccion. Con este diagrama podemos ver los horizontes

y las influencias causales que cualquier punto puede ejercer sobre otro. En este caso, los conos de

luz son:


Figura 2: Conos de luz de la solucion de Schwarzschild

En este diagrama podemos apreciar que la solucion se aproxima a lo visto en Relatividad Especial

(recordemos los conos de luz de la Figura 1) cuando nos alejamos del horizonte, ya que los conos

de luz no estan inclinados y presentan un vertice de 90º. Mas proximo al horizonte, los conos de

luz comienzan a estrecharse, lo cual es indicativo de que a las geodesicas les es mas difıcil salir

de esa zona. Los conos de luz estan totalmente cerrados en el horizonte, lo cual nos indica que los

rayos de luz no son capaces de salir de esa zona para llegar al infinito ni son capaces de cruzarla

para llegar al interior del horizonte, Pero veremos que esto es una consecuencia de las coordenadas

empleadas.

A continuacion vamos a ver que la superficie r = 2M es una superficie de corrimiento infinito

hacia el rojo para el observador que se encuentra en el infinito. Para ello suponemos r = const en

la metrica 2.2

dτ2 =

(1− 2M

r

)dt2

e integramos

∆τ =

√1− 2M

r∆t (2.3)

Supongamos que el observador cayente envıa una senal al observador en el infinito de periodo ∆τ.

Este periodo y el que medira el observador que se encuentra en el infinito ∆t, estan relacionados

a traves de 2.3. Justo en el horizonte, el termino√

1− 2Mr es nulo, por lo que la unica forma de

que ∆τ sea finito es que ∆t sea infinito, con lo cual, lo que mide el observador en el infinito es

que esta senal tiene un periodo infinito, o lo que es lo mismo, un corrimiento al rojo infinito. Este

observador jamas vera al observador cayente atravesar el horizonte, ya que su unica manera de

comunicarse es a traves de senales luminosas y estas, como hemos visto, no son capaces de llegar

desde el horizonte al infinito en un tiempo finito.

Veamos ahora que es lo que ocurre con las geodesicas radiales temporales, que se calculan de la

siguiente forma:

gµν xµ xν = 1

(1− 2M

r

)t = 1.

Con la primera ecuacion imponemos que la geodesica es temporal, ya que el vector tangente tiene


norma unidad. La segunda ecuacion impone que la partıcula cae desde el infinito con velocidad

nula, ya que haciendo que la coordenada radial tienda a infinito, tenemos que dtdτ = 1, es decir, los

tiempos transcurren de la misma forma para el observador que cae y para el observador que se

encuentra en el infinito: estamos diciendo que no tenemos efectos relacionados con la dilatacion

del tiempo de la Relatividad Especial y a su vez estamos imponiendo la conservacion de la energıa

por unidad de masa de la partıcula que sigue dicha geodesica, algo que podemos hacer debido a

la estaticidad de la solucion. Combinando ambas ecuaciones, obtenemos

drdτ

= ±√

2Mr

que integrando para las geodesicas entrantes

τ =13

√2M

(r3/2

0 − r3/2)

Es decir, una partıcula que parta desde una distancia r0 de la singularidad, llegara a ella en un tiem-po propio (tiempo medido por el observador que cae) finito. Si las geodesicas radiales temporalespueden cruzar el horizonte, no hay motivo por el cual las nulas no sean capaces de hacerlo. Parasolucionar esta discrepancia y ver que la singularidad en r = 2M es una singularidad de coorde-nadas, construimos las coordenadas de Eddington-Finkelstein (E-F) avanzadas, que se construyena partir de las geodesicas radiales nulas:

t = t + 2M ln |r− 2M|

Estas coordenadas, estan pensadas para estudiar que es lo que ocurre en el interior del horizonte.

Con estas nuevas coordenadas, las geodesicas radiales nulas toman la forma

t = −r + C0 entrantes

t = r + 4M ln |r− 2M|+ C0 salientes

y que la metrica que tenıamos en un comienzo sea

ds2 =

(1− 2M

r

)dt2 − 4M

rdtdr−

(1 +

2Mr

)dr2 − r2dΩ2

2 (2.4)

La componente temporal de la metrica se sigue anulando en el horizonte, pero el determinante

se puede calcular en este caso. Un hecho evidente es que ha aparecido un termino cruzado dtdr

que nos rompe la estaticidad de la metrica. Nos ocuparemos de ello mas adelante. Construimos el

diagrama de conos de luz en estas coordenadas:


Figura 3: Conos de luz en las coordenadas de E-F avanzadas

donde podemos ver que las geodesicas entrantes pueden cruzar el horizonte que era lo que es-

perabamos, pero las salientes del interior no pueden hacerlo, confirmando que esta zona es una

zona de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador situado en el infinito. Por lo tanto,

tenemos un horizonte de sucesos en el que ninguna senal puede salir al exterior y todo lo que

entra esta inevitablemente destinado a caer en la singularidad, ya que esta se encuentra en el futu-

ro de cualquier observador del interior al horizonte, como pudimos ver al calcular las geodesicas

radiales temporales y como podemos ver en este diagrama al ver la inclinacion que presentan los

conos de luz, ya que estos apuntan hacia la singularidad. Es debido a esta inclinacion de los co-

nos de luz por lo que es imposible quedarse a una distancia constante de la singularidad, ya que

recordemos que el tiempo en un cono de luz corre en la direccion de la bisectriz de su vertice.

Viendo la metrica 3.6, al entrar en el horizonte cambian los signos de las componentes temporal y

espacial , invirtiendo la coordenada radial y temporal sus papeles. Estar a una distancia constante

equivaldrıa a parar el transcurrir del tiempo, lo cual es imposible.

Finalmente, esta singularidad fısica es de tipo espacial, ya que como hemos calculado, se encuen-

tra en el futuro de todo observador que se adentre a traves del horizonte. Por lo tanto, en estas

coordenadas confirmamos lo que veıamos en las coordenadas de Schwarzschild.

Como hemos dicho antes, parece que hemos roto la invariancia temporal que tenıamos al princi-pio, debido al termino cruzado que nos aparecıa en la metrica en coordenadas de E-F avanzadas2.4. Pero tambien podıamos haber optado por construir

t = t− 2M ln |r− 2M|

que son las coordenadas de E-F retardadas. En estas coordenadas, las geodesicas radiales nulas

tienen la forma

t = −r− 4M ln |r− 2M|+ C0 entrantes

t = r + C0 salientes

y que la metrica sea

ds2 =

(1− 2M

r

)dt2 +

4Mr

dtdr−(

1 +2M

r

)dr2 − r2dΩ2

2.

Vemos que en este caso el termino cruzado es de signo contrario al del cambio de coordenadas

anterior, por lo que el cambio t ↔ t mapea una metrica en la otra. De modo que si considera-


mos las dos metricas, y los dos sistemas de coordenadas, tenemos asegurada la invariancia ante

traslaciones temporales que tenıamos inicialmente. Si dibujamos los conos de luz en estas nuevas

coordenadas,

Figura 4: Conos de luz en las coordenadas de E-F retardadas

vemos que la parte exterior del horizonte es identica a la de las otras coordenadas, pero dentro la

situacion es totalmente diferente: las influencias causales pueden salir de el y nada puede cruzarlo,

lo cual equivale a decir que serıa un tipo de agujero blanco. Esto nos indica que ninguno de los dos

sistemas de coordenadas cubren completamente la variedad sino solo parches de ella, como hemos

mencionado antes. Las coordenadas avanzadas cubren una region asintoticamente plana con una

singularidad cubierta por un horizonte en el futuro, mientras que las retardadas describen otra

zona asintoticamente plana con una singularidad cubierta por un horizonte en el pasado. Estos dos

sistemas de coordenadas juntos, nos describen por completo toda la variedad que esta compuesta

por un agujero blanco y un agujero negro.

2.4. Conclusiones

La parte mas importante de esta seccion es la presencia de un horizonte de sucesos que o bien no

deja pasar las influencias causales desde la parte interna del horizonte a la parte asintoticamente

plana, o bien no deja pasar influencias causales desde la parte asintoticamente plana a la parte

interior. Sea como sea, tenemos un horizonte de sucesos que envuelve a la singularidad aislandola

del resto del universo. En las coordenadas avanzadas, una vez cruzado el horizonte de sucesos,

tenemos una singularidad inevitable en el futuro del observador cayente. En el otro caso, usando

las coordenadas retardadas que nos nos descubren una nueva zona que no veıamos con las coor-

denadas de Schwarzschild, tenemos una singularidad inevitable que en este caso se encuentra en

el pasado y protegida tambien por un horizonte de sucesos, de la cual las influencias causales sa-

len y llegan a una zona asintoticamente plana, pero no son capaces de volver a cruzar el horizonte

para volver al interior.

3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM 14

3. Agujero negro de Reissner-Nordstrom

Este tipo de agujero negro es ir un paso mas con respecto a la solucion de Schwarzschild, ya que

introducimos un campo electrico en direccion radial. Se podrıa anadir tambien una “carga magneti-

ca” que produjese un campo magnetico tambien radial, pero para ello tendrıamos que introducir

el concepto de monopolo magnetico y eso no afectarıa a las conclusiones que se van a obtener de

esta solucion. En este caso vamos a hacer uso de una nueva herramienta que nos va a facilitar un

poco las cosas, como lo es el Formalismo de Palatini, que pasamos a detallar a continuacion.

3.1. Formalismo de Palatini y derivacion de la solucion

El caso de la solucion de Schwarzschild, era muy facil de resolver a partir de las ecuaciones de

Einstein debido a que el tensor de energıa-momento era nulo, pero se demuestra que esas ecua-

ciones se pueden obtener a partir de un principio variacional, en concreto a partir de la accion de

Einstein- Hilbert

s =ˆ

d4x√|g|[

12κ

R]

, (3.1)

usando el formalismo de Palatini, donde hemos introducido la constante κ = 8πG Este forma-

lismo consiste en suponer que la metrica y la conexion son dos entidades que no tienen relacion,

de forma que constituyen dos campos independientes. Por lo tanto, para obtener la ecuacion de

Einstein simplemente tenemos que aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la metrica y a la

conexion. Para la metrica la ecuacion es muy sencilla

∂L∂gµν = 0,

ya que explıcitamente no aparecen derivadas de la metrica, todas las derivadas forman parte de

la conexion y hemos supuesto que no tiene relacion alguna con la metrica. Ahora bien, debemos

aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la conexion, obteniendo

Tρµν = 0 ; ∇µgνρ = 0

que son las condiciones 1.3 que satisfacıa la conexion de Levi-Civita. Por ello solo derivamos res-

pecto de la metrica solo donde esta aparezca explıcitamente.

A continuacion vamos a aplicar este formalismo a la accion para las ecuaciones de Einstein de un

objeto cargado

s =ˆ

d4x√|g|[

12κ

R− 14

FµνFµν

](3.2)

donde Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ es el tensor electromagnetico que es antisimetrico y que se define a

partir de derivadas de los potenciales electromagneticos Aµ. En terminos de los campos electrico~E y ~B, podemos escribir el tensor de la forma:

Fµν =

0 Er Eϕ Eθ

−Er 0 −Bθ Bϕ

−Eϕ Bθ 0 −Br

−Eθ −Bϕ Br 0

(3.3)

15 3 AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

La accion 3.2 es la suma de la accion 3.1 que nos da el vacıo de las ecuaciones de Einstein y la

accion de Maxwell del campo electromagnetico. Identificamos nuestro lagrangiano

L =√|g|[

12κ

R− 14

FµνFµν

]=√|g|[

12κ

gµνRµν −14

FµνgµαgνβFαβ

]y aplicamos el formalismo de Palatini, obteniendo

Rµν −12

Rgµν = κ

[FµρF ρ

ν −14

gµνFρλFρλ

]. (3.4)

Donde hemos hecho uso de las siguientes propiedades :

∂g∂gµν = −ggµν ; R = gµνRµν ; Fµν = gµαgνβFαβ.

Ahora debemos derivar respecto de nuestro otro campo independiente, que es el potencial elec-

tromagnetico Aµ. La ecuacion de Lagrange para este caso viene dada por

∂µ

(∂L

∂(∂µ Aν

)) = 0,

que teniendo en cuenta la definicion del tensor electromagnetico a partir de los potenciales (Fµν =

∂µ Aν − ∂ν Aµ), nos da

∂µ

(∂L

∂(∂µ Aν

)) = ∂µ

(√|g|Fµν

)= 0

A continuacion obtenemos la ecuacion de Einstein sin traza, para ello multiplicamos 3.4 por gµν,

obteniendo:

R = 0,

donde hacemos uso de que trabajamos en una variedad con cuatro dimensiones. En cualquier otro

caso, el escalar de Ricci dejarıa de ser nulo. La ecuacion de Einstein sin traza toma la forma mas

sencilla

Rµν = κ

[FµρF ρ

ν −14

gµνFρλFρλ

].

Por lo tanto, el problema a resolver viene dado por:

Rµν = κ

[FµρF ρ

ν −14

gµνFρλFρλ

](3.5)

∂µ

(√|g|Fµν

)= 0. (3.6)

De nuevo proponemos un Ansatz para la metrica esfericamente simetrico y estatico y otro para el

tensor electromagnetico 3.3 de forma que solo haya campo electrico de forma radial:

ds2 = e2A(r)dt2 − e2B(r)dr2 − r2dΩ22 (3.7)

Ftr = E (r) (3.8)

Con 3.7 podemos calcular el determinante de la metrica:


|g| = e2(A+B)r4 sin2 (θ)⇒√|g| = e(A+B)r2 sin (θ)

Por lo tanto, la unica derivada distinta de 0 es la siguiente:

∂r

(√|g|Frt

)= −∂r

(e(A+B)r2 sin (θ) e−2(A+B)E (r)

)= 0

Obteniendo

∂r

(e−(A+B)r2E (r)

)= 0.

Para que esta ultima derivada sea nula, lo que hay entre parentesis debe ser una constante que no

dependa de r, por ello el campo electrico debe ser de la forma:

E (r) = e(A+B) Qr2 (3.9)

siendo Q es una constante de integracion cuyo significado veremos mas adelante, pero que ya

intuimos que tiene que ver con la carga electrica de muestra solucion..

El tensor de Ricci, ya lo tenemos calculado de Schwarzschild, y tiene la forma 2.1. Ahora calcula-

mos el tensor de energıa-momento. Comparando 3.5 con 1.1 teniendo en cuenta que R = 0, vemos

que el tensor de energıa-momento viene dado por:

Tµν =14

gµνFρλFρλ − FµρF ρν =

14

gµνFρλFρλ − gνλFµρFλρ

Sustituyendo el Ansatz para el tensor electromagnetico y la metrica, tenemos que las componentes

no nulas del tensor de energıa-momento son:

Ttt =

12 e2A Q2

r4 Tθθ = 12

Q2

r2

Trr = − 12 e2B Q2

r4 Tϕϕ = sin2 (θ) Tθθ

Para obtener las funciones incognita, igualamos los dos miembros de la ecuacion de Einstein,

obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

− e2(A−B)[

A′′ +(

A′)2 − A′B′ + 2r−1 A′

]= − κ

2e2A Q2

r4 (3.10)

A′′ +(

A′)2 − A′B′ − 2r−1B′ =

κ

2e2B Q2

r4 (3.11)

e−2B [rA′ − rB′ + 1]− 1 = − κ

2Q2

r2 (3.12)

sin2 (θ) Rθθ = −κ sin2 (θ) Tθθ (3.13)

Este sistema de ecuaciones diferenciales se resuelve de forma identica que en el caso de Schwarzs-

child, obteniendo el resultado final para la metrica y el campo electrico

ds2 =

(1− 2M

r+

12

κQ2

r2

)dt2 −

(1− 2M

r+

12

κQ2

r2

)−1

dr2 − r2dΩ22 (3.14)

Ftr = E (r) =Qr2 (3.15)


donde de nuevo, las coordenadas t, r, θ, ϕ son las empleadas por un observador situado en el

infinito.

Para ver el significado de la constante de integracion Q, hacemos uso del teorema de Gauss:

q =

˛

S

~E · d~s = Q˛

S

1r2 r2 sin (θ) dθdϕ = Q

ˆ π

0sin (θ) dθ

ˆ 2π

0dϕ = 4πQ

A raız de esto, vemos que la constante de integracion es la carga encerrada en el espacio salvo por

un factor de normalizacion de 4π, por lo tanto esta solucion representa el campo creado por un

objeto de masa m = MG y carga q = 4πQ situado en r = 0.

Un aspecto llamativo de la metrica, es que depende de Q2, lo cual significa que una partıcula

de prueba neutra experimentara las consecuencias de la existencia del campo electrico, pero no

sera capaz de reconocer el signo de la carga. En el fondo no debe de extranarnos, ya que al intro-

ducir un campo electrico, que contiene energıa, se acopla a la gravedad y al espacio deformando

este ultimo de forma diferente a como lo harıa una masa por sı sola.

3.2. Estudio de los horizontes de la solucion de Reissner-Nordstrom

Como podemos ver a simple vista, la solucion se hace singular en varios puntos y tenemos que

distinguir si se tratan de singularidades fısicas o de coordenadas. Para verlo, calculamos un nuevo

invariante de curvatura, en este caso calcularemos RµνRµν, que sera distinto de cero, al contrario

que en Schwarzschild. Previamente escribimos Rµν:

Rµν = gµαgνβRαβ = κ

[Fµ

ρFνρ − 14

gµνFρλFρλ

]Calculamos el invariante:

RµνRµν = κ2[

FµρF ρν −

14

gµνFρλFρλ

] [Fµ

σFνσ − 14

gµνFαβFαβ

]y operando un poco obtenemos

RµνRµν = κ2 Q4

r8

Vemos de nuevo que la singularidad en r = 0 es una singularidad fısica, mientras que el resto

posiblemente sean de coordenadas.

Calculamos explıcitamente las otras singularidades, Para soluciones estaticas, los horizontes son

aquellos puntos en los que la componente gtt de la metrica se hace nula, como ya habıamos visto

en el caso de Schwarzschild:

1− 2Mr

+12

κQ2

r2 = 0⇒ r2 − 2Mr +12

κQ2 = 0 (3.16)

Como vemos, esta ecuacion es cuadratica en r, que puede tener dos, una o ninguna solucion real.

Todo dependera de la relacion entre sus parametros:

R± =2M±

√4M2 − 2κQ2

2

Por lo tanto, tenemos que distinguir los tres casos posibles:

• Si M2 < 12 κQ2, entonces no hay soluciones reales y la singularidad en r = 0 no tiene ho-

rizontes que la protejan, por lo que influencias causales pueden escapar de ella. Haciendo


uso de la hipotesis de censura cosmica mencionada arriba, descartamos este caso por ser no

fısico. CASO SOBREEXTREMAL.

• Si M2 = 12 κQ2, entonces hay una solucion y un unico horizonte degenerado. En este caso la

carga y la masa estan ajustadas. CASO EXTREMAL.

• Si M2 > 12 κQ2, entonces hay dos soluciones reales y dos horizontes. CASO SUBEXTREMAL.

3.3. Estructura causal de las diferentes soluciones

3.3.1. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordstrom subextremal

En este caso, tenemos dos horizontes situados en

R± = M±√

M2 − 12

κQ2.

Si escribimos la metrica en funcion de ellos, se nos queda la siguiente expresion:

ds2 =(r− R+) (r− R−)

r2 dt2 − r2

(r− R+) (r− R−)dr2 − r2dΩ2

2 (3.17)

Para obtener la estructura causal, hay que estudiar de nuevo el comportamiento de las geodesicas

radiales nulas, cuya expresion es la siguiente

t = ±[

r +R2+

R+ − R−ln |r− R+| −

R2−

R+ − R−ln |r− R−|

]+ C0.

Donde el signo + denota geodesicas salientes y el signo - geodesicas entrantes. A partir de ellas,

vamos a dibujar el diagrama de conos de luz de nuestra solucion que nos ayudara a ver claramente

la estructura causal de esta geometrıa

Figura 5: Conos de luz de la solucion de Reissner-Nordstrom subextremal en coordenadas deSchwarzschild

De nuevo, tenemos una zona asintoticamente plana donde los conos de luz se comportan como

en Relatividad Especial. Cerca del horizonte los conos de luz se van cerrando hasta que lo estan


totalmente: de nuevo nuestras coordenadas dejan de ser validas mas hacia delante, ya que la com-

ponente temporal de la metrica se anula y la radial diverge. Podemos ver de nuevo que el primer

horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador que se en-

cuentra en el infinito y que el segundo horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia

el azul para el observador que lo cruza. Veamos primero que el primer horizonte es una zona de

corrimiento infinito hacia el rojo. Para ello procedemos igual que en el caso de Schwarzschild e

integramos lo siguiente para r = cte

dτ2 =(r− R+) (r− R−)

r2 dt2.

Ası obtenemos

∆τ =

√(r− R+) (r− R−)

r∆t.

Si r = R+ y ∆τ es finito, ya que es el observador entrante es quien nos manda senales de periodo

∆τ, entonces ∆t = ∞, con lo cual el perıodo de una senal mandada desde el horizonte externo tiene

un perıodo infinito para el observador que esta en el infinito, lo cual implica un desplazamiento

infinito al rojo. Esto de nuevo nos dice, que el observador en el infinito jamas vera al otro cruzar el

primer horizonte.

Para saber lo que sucede mas alla del primer horizonte, volvemos a crearnos las coordenadas de

E-F avanzadas a partir de las geodesicas radiales nulas

t = t +R2+

R+ − R−ln |r− R+| −

R2−

R+ − R−ln |r− R−|.

Esto hace que nuestras geodesicas entrantes y salientes tengan la forma


t = r + 2R2+

R+−R− ln |r− R+| − 2R2−

R+−R− ln |r− R−|+ C0 salientes

y la metrica sea

ds2 =(r− R+) (r− R−)

r2 dt2 − 2(R+ + R−) r− R+R−

r2 drdt−(

1 +R+ + R−

r− R+R−

r2

)dr2 − r2dΩ2

2.

Vemos ahora que la metrica es totalmente regular ahora en r = R±, por lo que queda confirmado

que esos puntos eran singularidades de coordenadas, aunque de nuevo hemos vuelto a romper la

invariancia temporal de la metrica debido al termino cruzado que nos ha aparecido. A continua-

cion dibujamos los conos de luz.


Figura 6: Conos de luz de la solucion de Reissner-Nordstrom subextremal en coordenadas de E-Favanzadas

Como vemos, en r = R+, las geodesicas salientes tienen una pendiente infinita, con lo cual, en ese

punto se forma un horizonte de sucesos: ninguna senal que se emita desde dentro puede salir al

exterior. Ademas, por la orientacion de los conos, es imposible estar en reposo en la zona entre los

dos horizontes, ya que en ella las componentes temporal espacial de la metrica cambian de signo

y la coordenada radial se convierte en la coordenada temporal, y por ello, el observador que entre

en esta zona, esta inevitablemente destinado a cruzar el horizonte interior. Una vez allı, vemos

que sorprendentemente es una zona en la que el observador puede volver a estar en reposo y no

llegar a la singularidad, ya que las componentes temporal y radial de la metrica vuelven a cambiar

de signo y de nuevo a intercambiar sus papeles. Esta singularidad es muy diferente a la que nos

encontrabamos en el caso de Schwarzschild, ya que esta se encontraba en el futuro de cualquier

observador, mientras que esta es evitable, por ello, esta singularidad es de tipo temporal.

Ya que sabemos que las geodesicas radiales nulas son capaces de cruzar los dos horizontes, pode-

mos demostrar que el horizonte interior es una superficie de corrimiento infinito hacia el azul para

los observadores que lo cruzan. Para ello el observador en el infinito manda senales de perıodo

∆t, que cruzan los horizontes y llegan al observador que cae. Este medira:

∆τ =

√(R+ − r) (R− − r)

r∆t

Justo en el horizonte interior, r = R− ,donde se encuentra nuestro observador, medira un perıodo

nulo de las senales luminosas, lo cual supone para el un corrimiento infinito hacia el azul. Si

esto fuese ası, estas senales tendrıan una energıa infinita y desestabilizarıa toda la solucion en

esa zona, ya que esa energıa interactuarıa fuertemente con el campo creado por la carga masiva,

desestabilizando totalmente la solucion.

Veamos ahora que forma tienen las geodesicas radiales temporales para ver cual es el comporta-

miento de una partıcula masiva. Para ello, sabemos que la energıa es una magnitud conservada

en una metrica estatica y a su vez, la condicion de geodesica radial temporal impone que:

gtt t = E (3.18)

gµν xµ xν = 1. (3.19)

Combinando ambas ecuaciones, podemos despejar la velocidad radial del observador cayente

r = ±

√E2 − 1 +

2Mr− κQ2

2r2 (3.20)


El radicando se anula en los siguientes puntos de retorno:

rretorno = − ME2 − 1

±

√M2 + 1

2 κQ2 (E2 − 1)

E2 − 1(3.21)

Nos quedamos con la solucion de signo positivo que es la que hace que el punto de retorno sea

positivo, ya que en estas unidades la energıa es mayor que 1 y ese caso corresponderıa al de

una partıcula que cae desde el infinito con velocidad nula, como hemos visto en Schwarzschild..

Como vemos, la gravedad se hace repulsiva debida al termino con carga y la partıcula se frena,

algo realmente sorprendente, ya que ahora la partıcula invierte su movimiento y puede salir del

segundo horizonte. Esto es para una partıcula libre, es decir, solo actua sobre ella la gravedad,

ya que si nuestro observador llevase alguna fuente energetica consigo, serıa capaz de permanecer

en reposo en esa zona sin tener que moverse por la repulsion que genera el termino con carga e

incluso llegar a la singularidad, pero esta vez siguiendo lıneas no geodesicas.

Es facil, a partir de la ecuacion 3.20, obtener el tiempo que un observador cayendo desde el infinito

con velocidad nula, tardarıa en cruzar la zona entre los dos horizontes. Si la velocidad radial era:

r = ±

√E2 − 1 +

2Mr− κQ2

2r2 .

Podemos integrar facilmente y obtener

∆τ =2

3 (R+ + R−)2 (R+ − R−)3 .

donde como condicion de contorno hemos impuesto que la velocidad inicial era nula en el infinito,

o lo que es lo mismo E = 1. Vemos, que la partıcula tarda un tiempo finito en cruzar los dos

horizontes, algo que ya sabıamos debido a la inclinacion de los conos de luz que no permitıan

estar en reposo en la zona entre los dos horizontes. Si hacemos el lımite R+ = 2M y R− = 0,

entonces:

∆τ =4M

3.

Que es el tiempo que se tardarıa en llegar desde el horizonte a la singularidad en un agujero negro

de Schwarzschild desde el punto de vista del observador que cae.

De momento hemos visto que la partıcula llega al primer horizonte, lo cruza y se ve obligada a

cruzar el segundo hasta llegar a un punto en el que la gravedad se vuelve repulsiva. Pero para

conocer lo que sucede despues, debemos construir las coordenadas de E-F retardadas

t = t−R2+

R+ − R−ln |r− R+| −

R2−

R+ − R−ln |r− R−|,

haciendo que la expresion para nuestras geodesicas sea ahora:

t = −r− 2R2

+R+−R− ln |r− R+|+ 2R2

−R+−R− ln |r− R−|+ C0 entrantes


y nuestra metrica sea de la forma

ds2 =(r− R+) (r− R−)

r2 dt2 + 2(R+ + R−)− R+R−

r2 drdt−(

1 +R+ + R−

r− R+R−

r2

)dr2 − r2dΩ2

2.


Nuevamente rompemos la invariancia temporal de nuestra metrica, pero del caso anterior sabe-

mos que el cambio t ↔ t mapea una metrica en la otra. Dibujamos los conos de luz en estas

coordenadas:

Figura 7: Conos de luz de la solucion de Reissner-Nordstrom subextremal en coordenadas de E-Fretardadas

Aquı podemos ver, por la inclinacion que presentan las geodesicas, que se puede volver a cruzar el

horizonte interior, para cruzar seguidamente el exterior y salir a una nueva zona asintoticamente

plana, en principio diferente de la inicial. Ademas, nada indica que la partıcula no pueda volver a

repetir el proceso.

Esta solucion aporta respecto de la de Schwarzschild, que presenta dos horizontes, una exterior,

que forma un horizonte de sucesos y uno interior, que esconde una singularidad bastante diferen-

te, ya que esta es temporal y por ello no se encuentra inevitablemente en el futuro del observador

cayente, permitiendo estar en reposo cerca de ella si seguimos lıneas no geodesicas. La leccion mas

importante de este caso, es que la gravedad se vuelve repulsiva, algo que no es de esperar, pero

que en este caso gracias a la carga electrica, es posible. Por ello, la partıcula puede escapar de este

agujero negro a otra zona asintoticamente plana, en principio diferente a la inicial pero no hay que

olvidar algo importante, y es que el segundo horizonte es una superficie de corrimiento infinito

hacia el azul y esto hace que las caracterısticas de la solucion no sean del todo como las hemos

estudiado aquı, ya que la energıa infinita de las senales interactuarıa muy fuertemente con el cam-

po gravitatorio inicial destrozando posiblemente por completo, todas las caracterısticas anomalas,

pero por otro lado intrigantes, de esta solucion.

3.3.2. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordstrom extremal

Este caso es muy parecido al anterior salvo que tenemos un unico horizonte situado en r = M.

Veamos si preserva las caracterısticas principales de la anterior solucion, para ello sustituimos en

la metrica y en el campo electrico los dos horizontes por el valor mencionado, obteniendo

ds2 =(r−M)2

r2 dt2 − r2

(r−M)2 dr2 − r2dΩ22 ; Ftr = ±

√2κ

Mr2 .

De nuevo calculamos las geodesicas radiales nulas, cuya expresion difiere bastante de las del caso

anterior

t = ±[

r + 2M ln |r−M| − M2

r−M

]+ C0.

Los conos de luz en estas coordenadas son:


Figura 8: Conos de luz de la solucion de Reissner-Nordstrom extremal

Vemos que lejos del horizonte, la estructura causal es parecida a la de la Relatividad Especial

y que los conos de luz se cierran conforme nos acercamos al horizonte. Al igual que en el caso

subextremal, el horizonte vuelve a ser de nuevo una zona de corrimiento infinito hacia el rojo,

por lo que un observador en el infinito no vera jamas al observador cayente cruzar el horizonte.

Veamos que este horizonte es tambien un superficie de corrimiento infinito hacia el rojo. Para ello

procedemos igual que en el caso anterior, obteniendo

∆τ =r−M

r∆t.

Dado que las senales que manda el observador desde el horizonte, tienen perıodo ∆τ, eso obliga

a que ∆t sea infinito, ya que r = M, confirmando, por tanto, que se trata de una superficie de

corrimiento infinito hacia el rojo. Para saber lo que le sucede al observador cayente una vez ha

cruzado el horizonte y hacer que la metrica sea regular en el, construimos las coordenadas de E-F

avanzadas

t = t + 2M ln |r−M| − M2

r−M.

Lo cual hace que nuestras geodesicas sean:


t = r + 4M ln |r−M| − 2M2

r−M + C0 salientes

y la metrica:

ds2 =(r−M)2

r2 dt2 − 22Mr−M2

r2 drdt−(

1 +2M

r− M2

r2

)dr2 − r2dΩ2

2

La metrica se vuelve completamente regular en ese punto. En este caso, por existir un unico hori-

zonte, no existe zona intermedia en la cual no se pueda estar en reposo y por ello la coordenada

radial es espacial para r > M, nula en r = M y espacial de nuevo para r < M. En estas coordena-

das, los conos de luz son:


Figura 9: Conos de luz de la solucion de Reissner-Nordstrom extremal en coordenadas de E-Favanzadas

Como vemos, es totalmente analogo a la solucion subextremal pero sin zona intermedia. Las

geodesicas radiales nulas pueden cruzar el horizonte, pero no pueden salir de el. Una vez den-

tro, es posible mantenerse en reposo sin llegar a la singularidad, por lo que esta singularidad es

de tipo temporal tambien.

Una vez que sabemos que el observador cayente es capaz de cruzar el horizonte, calculamos las

geodesicas radiales temporales, para ver si de nuevo, como en el caso subextremal, tenemos pun-

tos de retorno:

r2 = E2 − (r−M)2

r2 .

Como vemos, la partıcula tendra un punto de retorno cuando la velocidad radial sea nula, esto es:

rretorno =M

E + 1

por lo que de nuevo la gravedad se vuelve repulsiva de nuevo, preservando esta cualidad del caso

subextremal. Una vez hemos determinado que el observador se detiene, construimos las coorde-

nadas de E-F retardadas

t = t− 2M ln |r−M| − M2

r−Mhaciendo que las geodesicas tomen la forma

t = −r− 4M ln |r−M|+ 2M2

r−M + C0 entrantes


y la metrica sea

ds2 =(r−M)2

r2 dt2 + 22Mr−M2

r2 drdt−(

1 +2M

r− M2

r2

)dr2 − r2dΩ2

2.

Dibujamos los conos de luz en estas coordenadas:


Figura 10: Conos de luz de la solucion de Reissner-Nordstrom extremal en coordenadas de E-Fretardadas

Es totalmente analogo al caso subextremal. Tenemos una singularidad cubierta por un horizonte

del cual las influencias causales pueden salir debido a que las geodesicas salientes pueden hacerlo

pero influencias causales del exterior no pueden cruzar el horizonte. El observador es capaz de

volver a cruzar de nuevo el horizonte para volver a una nueva zona asintoticamente plana.

Como vemos, esta solucion es muy parecida al anterior, salvo que no tenemos una zona interme-

dia en la cual inevitablemente tengamos que seguir hacia delante. El hecho de que la masa y la

carga esten ajustadas en esta solucion, hace que solo tengamos un unico horizonte, en este caso de

sucesos, y que presenta un corrimiento infinito hacia el rojo para el observador que se encuentra en

el infinito. Esta solucion es lo que esperarıamos encontrar si estudiaramos el lımite de la solucion

subextremal cuando |Q| →√

2κ M .

4 ESPACIO DE DE SITTER 26

4. Espacio de De Sitter

Este espacio es una solucion de las ecuaciones del vacıo pero con una constante cosmologica po-

sitiva. La constante cosmologica fue un termino que Einstein anadio a sus ecuaciones cuando se

dio cuenta de que predecıan un universo en expansion. Dado que el pensaba que el universo era

estatico y que no cambiaba en el tiempo, se vio obligado a anadir este parametro en las ecuaciones

de campo de forma que siguieran cumpliendose el Principio de Covariancia Generalizado y el

Principio de Equivalencia, aunque hay que renunciar a obtener el espacio de Minkowski, que nos

da toda la dinamica de Relatividad Especial, como solucion de las ecuaciones en el vacıo. Vamos

a estudiar este caso antes de pasar a estudiar un agujero negro en este espacio para comprobar si

al anadir el agujero negro se preservan algunas de las caracterısticas de esta solucion.

4.1. Derivacion de la solucion

Si a la accion de Einstein-Hilbert, le anadimos una constante cosmologica, que en principio no

supondremos que sea positiva o negativa

s =ˆ

d4x√|g|[

12κ

R−Λ]

,

de forma que Λ podemos interpretarla como la densidad de energıa del vacıo, obtenemos que la

ecuacion de Einstein es la siguiente

Rµν −12

Rgµν + κΛgµν = 0.

Como siempre, multiplicamos la ecuacion anterior por la metrica inversa para obtener el escalarde Ricci:

R = 4κΛ

que como vemos, en este caso no es nulo. Finalmente, la ecuacion de Einstein sin traza queda de la

forma

Rµν = κΛgµν (4.1)

Al igual que en los casos anteriores, proponemos el Ansatz para una metrica esfericamente simetri-

ca y estatica, teniendo que resolver un sistema de ecuaciones identico al de Reisnner Nordtrom

3.10, 3.11 3.12 3.13, con el tensor de energıa-impulso de 4.1. Una vez resuelto, obtenemos la metri-

ca general siguiente

ds2 =

(1− 1

3κΛr2 − 2M

r

)dt2 −

(1− 1

3κΛr2 − 2M

r

)−1dr2 − r2dΩ2

2. (4.2)

Donde hemos elegido una de las constantes de integracion que nos aparecen como −2M para

recuperar la metrica de Schwarzschild en el caso en que Λ = 0. Por lo tanto, esta metrica describe

el campo gravitatorio creado por un objeto de masa m = MG situado en r = 0, en un universo

con constante cosmologica tipo De Sitter o anti-De Sitter dependiendo del signo de la misma.

Particularizado 4.2 para una constante cosmologica positiva y un espacio sin presencia de materia,

obtenemos la metrica

ds2 =

(1− r2

R20

)dt2 −

(1− r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22. (4.3)

27 4 ESPACIO DE DE SITTER

Donde definimos el parametro:

R0 =

√3

κΛ(4.4)

4.2. Estructura causal de la solucion de De Sitter

En este caso, la metrica 4.3 tiende a la metrica de la Relatividad Especial cuando r → 0, por lo que

nuestras coordenadas seran las de un observador situado allı. Vemos que la componente temporal

de la metrica se anula en r = R0 y debemos determinar si se trata de una singularidad fısica o si

por el contrario es de coordenadas. Previamente vamos a calcular las geodesicas radiales nulas y

estudiar la estructura causal de la solucion. Las geodesicas en este caso son

t = ±12

R0 ln | r + R0r− R0

|.

Donde el signo + denota geodesicas salientes y el signo - hace referencia a geodesicas entrantes.

Vamos a ver que estructura causal nos ofrecen estas geodesicas. Para verlo dibujamos el diagrama

de conos de luz:

Figura 11: Conos de luz del espacio de de-Sitter

Los conos de luz se asemejan mucho a los de Relatividad Especial en la zona r < R0, como hemos

mencionado antes, y parece que las senales de luz no pueden salir de esa zona, ya que los conos de

luz estan totalmente degenerados, pero eso es lo que nos dice que precisamente nuestras coorde-

nadas dejan de ser validas mas alla. Vemos tambien que esta metrica no presenta singularidad en

r = 0, hecho decisivo para que nuestro observador que usa las coordenadas t, r, θ, ϕpueda si-

tuarse allı. Calculemos las geodesicas radiales temporales para saber que le sucede a una partıcula

masiva que parta desde la zona r < R0 con velocidad nula:

r = r0e±τ/R0 .

Es decir, una partıcula que estuviese en reposo se mueve por efecto de la expansion o contraccion

del propio espacio pudiendo, en principio llegar a cruzar el horizonte. Vemos de esta expresion

que las trayectorias con r = cte no son geodesicas, salvo la r = 0.

Podemos comprobar que el horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo parael observador situado en el origen, para ello procedemos igualmente que en los casos anteriores

∆τ =

√1− r2

R20

∆t.

Si el observador que va a cruzar el horizonte desde la parte interior manda senales luminosas de

periodo ∆τ al observador situado en el origen, entonces el periodo ∆t debe ser infinito, ya que

la componente temporal de la metrica es nula. Por lo tanto, para el observador en el origen la


senal sufre un corrimiento infinito hacia el rojo, y por ende, jamas vera al otro observador cruzar

el horizonte.

Para comprobar que la unica singularidad que tenemos es de coordenadas, construimos las coor-

denadas de E-F avanzadas a partir de las geodesicas radiales nulas

t = t +12

R0 ln | r + R0r− R0

| − r.

Con estas coordenadas, nuestras geodesicas tienen la forma


t = −r + R0 ln | r+R0r−R0|+ C0 salientes

.

y la metrica toma la forma:

ds2 =

(1− r2

R20

)dt2 −

(1 +

r2

R20

)dr2 − 2

r2

R20

dtdr− r2dΩ22.

Como vemos, la metrica es regular en el horizonte a pesar de que la componente temporal se anule

podemos calcular el determinante, con lo cual confirmamos que la singularidad en r = R0 es una

singularidad de coordenadas.

Veamos lo que sucede con las geodesicas una vez pasan el horizonte, para ello dibujamos los conos

de luz

Figura 12: Conos de luz del espacio de De Sitter en coordenadas de E-F avanzadas

Como vemos, es imposible estar en reposo en la zona r > R0 y cualquier partıcula estarıa obliga-

da a cruzar el horizonte, debido al cambio de signo de las componentes radial y temporal de la

metrica 4.3 Las coordenadas temporal y espacial han intercambiado su papel y por ello avanzar

en el tiempo en la zona exterior al horizonte, consiste en moverse hacia valores mas pequenos

de la coordenada radial. Las geodesicas radiales entrantes pueden cruzar el horizonte, pudien-

do influenciar causalmente esta zona, pero nada de lo que suceda en el interior del horizonte

podra afectar causalmente al exterior. En este caso tenemos un horizonte cosmologico, ya que este

horizonte no esconde una singularidad fısica del resto del universo. Con estas coordenadas vemos

la parte de la variedad que supone un universo en contraccion, ya que una partıcula en reposo en

la zona exterior, cruzarıa el horizonte.

Para ver la parte de la variedad que supone un universo en expansion, construimos las coordena-das de E-F retardadas

t = t− 12

R0 ln | r + R0r− R0

|+ r.

Nuestras coordenadas radiales nulas son:

29 4 ESPACIO DE DE SITTER

t = r− R0 ln | r+R0

r−R0+ C0 entrantes


Y la metrica toma la forma:

ds2 =

(1− r2

R20

)dt2 −

(1 +

r2

R20

)dr2 + 2

r2

R20

dtdr− r2dΩ22

Figura 13: Conos de luz del espacio de De Sitter en coordenadas de E-F retardadas

En este caso, una partıcula que se encuentre dentro del horizonte, se vera obligada a cruzarlo y

no podra volver a estar en contacto causal con la zona de la que provenıa ya que las geodesicas

entrantes tienen una pendiente de 90º en el horizonte. Ademas, no podra estar en reposo una vez lo

cruce, ya que las componentes temporal y espacial de la metrica cambian de signo e intercambian

su papel. Esta coordenadas son las que describen la parte de la variedad que conforma un universo

en expansion, finalmente todo sale de la parte interior del horizonte, para no volver a estar en

contacto causal nunca mas.

Con este par de sistemas de coordenadas, cubrimos la variedad entera y el cambio t ↔ t, mapea

una metrica en la otra conservando la invariancia ante traslaciones temporales y vemos dos com-

portamientos radicalmente opuestos de la misma variedad. Esto sera importante cuando anada-

mos un agujero negro a este espacio. Esta metrica, no tiene ningun punto preferido para situar

el origen, ya que no tenemos ninguna singularidad de tipo fısico que nos rompa la isotropıa del

espacio. Debido a esto, todo observador tiene derecho a considerarse r = 0 y estar en reposo y

ver una estructura como la que hemos presentado aquı. Esto es lo que diferencia al horizonte cos-

mologico de esta solucion del horizonte de sucesos de las soluciones anteriores: el hecho de que

no es absoluto y que dependa del observador.

4.3. Conclusiones

El espacio de De Sitter tiene dos componentes, que son un universo en expansion y un universo en

contraccion, algo que no pasaba en los anteriores casos. Algo tambien novedoso es que no tenemos

una singularidad fısica en ningun punto, pero sı tenemos un horizonte cosmologico en r = R0 con

corrimiento infinito hacia el rojo para el observador en el origen, que una vez atravesado, no se

puede acceder de nuevo a la zona de la que se procedıa. Lo que sorprende de este espacio es que

representa una solucion del vacıo y aun ası este espacio es dinamico e interactua con las partıculas

de prueba que podamos introducir en el, y esto es algo que no sucedıa en el vacıo de las ecuaciones

de Einstein sin masa, cuya solucion es el espacio de Minkowski. En el, una partıcula en reposo no


cambiarıa su estado, mientras que aquı la propia expansion o contraccion del espacio es la que hace

que se muevan las partıculas, ya que las colocamos con velocidad nula y no hay ninguna fuerza

que actue sobre ellas. Es interesante estudiar esta solucion, ya que el universo a escalas tales que

podamos suponer las galaxias como partıculas materiales, tiene un comportamiento analogo. Otro

hecho sorprendente es la existencia de este horizonte cosmologico, que como hemos mencionado,

no es absoluto y depende del observador debido a que la metrica de De Sitter es isotropa. Tambien

sera interesante comprobar como influyen todas estas propiedades cuando anadamos un agujero

negro.

31 5 ESPACIO DE ANTI DE SITTER

5. Espacio de Anti De Sitter

El espacio de Anti De Sitter es el analogo al espacio de De Sitter pero con constante cosmologi-

ca negativa. Este hecho puede parecer que no cambia las cosas en gran medida, pero vamos a

comprobar que el signo de la constante cosmologica es decisivo en la estructura causal de este

espacio.

5.1. Estructura causal de la solucion de anti De Sitter

Considerando que la constante cosmologica es negativa en la expresion 4.2 y que no hay masa en

este espacio, tenemos:

ds2 =

(1 +

r2

R20

)dt2 −

(1 +

r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22. (5.1)

Las coordenadas t, r, θ, ϕson las empleadas por un observador que se encuentre en el origen y

el parametro R0 se define ahora como

R0 =

√−3κΛ

para que sea positivo el radicando y poder calcular la raız.

La estructura matematica de la metrica es muy parecida a la del caso anterior, pero ese signo +

hace que la estructura causal de esta solucion sea totalmente diferente. Una caracterıstica notable

es que esta metrica no es singular en ningun punto (salvando como siempre los puntos que anulan

las componentes de la metrica relativas al elemento de lınea de la 2-esfera ), algo que no sucedıa

en el resto de casos estudiados. Para ver la estructura causal, calculamos las geodesicas radiales

nulas, obteniendo

t = ±R0 arctan(

rR0

)+ C0.

Donde el signo + denota geodesicas salientes y el signo - geodesicas entrantes. Esta expresion para

las geodesicas es sorprendente, porque en ellas aparece un funcion periodica. Un rayo de luz que

salga de r = 0, llegara al infinito en un tiempo ∆t = π2 R0, como podemos ver trivialmente al

sustituir esos valores en la expresion para la geodesica. Veamos a ver que podemos obtener de su

estructura causal, para ello dibujamos los conos de luz en las coordenadas que estamos usando.

Figura 14: Conos de luz de la solucion de anti De Sitter

Vemos que cuanto mas nos alejamos del origen, los conos de luz mas se abren, pudiendo influen-

ciar causalmente cada vez mas zonas del espacio, mientras que cerca del origen la solucion es

practicamente el espacio de Minkowski. Esto es de esperar, dado que si las geodesicas son pe-

riodicas y pueden llegar al infinito en un tiempo finito, cuanto mas nos alejemos del origen, mas

5 ESPACIO DE ANTI DE SITTER 32

zonas podremos influenciar causalmente. Esta metrica es, al igual que el caso De Sitter, isotropa.

Esto hace que cualquier observador pueda considerarse a sı mismo como r = 0 y ver la estructura

causal presentada en este diagrama.

Aunque la metrica es regular en todos los puntos, vamos a construimos las coordenadas de E-Favanzadas, que en este caso son

t = t + R0 arctan(

rR0

)− r.

Lo que hace que las geodesicas entrantes y salientes tengan las siguientes expresiones:


t = −r + 2R0 arctan(

rR0

)+ C0 salientes

Y que la metrica sea:

ds2 =

(1 +

r2

R20

)dt2 −

(1 +

r2

R20

)dr2 + 2

r2

R20

dtdr− r2dΩ22

Los conos de luz en este caso son de la forma:

Figura 15: Conos de luz de anti De Sitter en coordenadas de E-F avanzadas

Al no existir horizontes ni singularidades fısicas, en estas coordenadas vemos lo mismo que en

las coordenadas de Schwarzschild, es decir, cuanto mas lejos del origen mas regiones del espacio

podemos influenciar causalmente.

Por completitud, estudiamos la solucion en la coordenadas de E-F retardadas:

t = t− R0 arctan(

rR0

)+ r.

Las geodesicas son de la forma:

t = r− 2R0 arctan

(r

R0

)+ C0 entrantes


.

Y la metrica toma la forma:

ds2 =

(1 +

r2

R20

)dt2 −

(1 +

r2

R20

)dr2 − 2

r2

R20

dtdr− r2dΩ22.

Dibujamos los conos de luz en estas coordenadas:

33 5 ESPACIO DE ANTI DE SITTER

Figura 16: Conos de luz de la solucion de anti De Sitter en coordenadas de E-F retardadas

Como vemos, este cambio de coordenadas no nos aporta nada nuevo respecto a lo visto anterior-

mente.

Ahora que tenemos claro el comportamientos de las geodesicas radiales nulas, calculemos la forma

de las geodesicas radiales temporales para ver si conseguimos obtener mas informacion de este

espacio. La forma explıcita de las geodesicas radiales temporales viene dada por

r = ±R0

√E2 − 1 sin

(τ

R0

)que como vemos, son tambien periodicas. Pero hay una diferencia muy importante respecto de las

nulas y es que una partıcula situada en r = 0, debe tener una cierta energıa para poder moverse,

ya que la amplitud amplitud de su desplazamiento depende totalmente de ella. Una partıcula

con energıa mayor que la unidad en esas unidades, podra moverse del origen hasta una distancia

maxima, para luego retornar de nuevo a r = 0. Vemos entonces, que las trayectorias con r = cte

no son geodesicas salvo la r = 0 en caso de que la partıcula tenga una E = 0. Al contrario que las

geodesicas nulas, estas no son capaces de llegar al infinito, ya que para que lo hicieran deberıan

tener una energıa infinita para que la amplitud de su movimiento tambien lo fuera.

Si reparametrizamos la coordenada radial como

r = R0 tan ρ 0 < ρ <π

2,

podremos tener una visualizacion de este espacio como cilindro solido. Este cambio de coordena-

das hace que la metrica inicial 5.1tome la forma

ds2 = cos−2 ρdt2 − R20 cos−2 ρdρ2 − R2

0 tan2 ρdΩ22.

Vemos que cuando ρ → π2 , entonces gtt → ∞. Esta hipersuperficie ρ = π

2 o lo que es lo mismo,

r = ∞, es una hipersuperficie temporal ya que su vector tangente es temporal. Esto se puede ver

realizando el siguiente calculo, sabiendo que ρ = θ = ϕ = 0:

gµν xµ xν = cos−2 ρt2 > 0

Esto es cierto para todo valor de la coordenada ρ, en particular para ρ = π2

En estas coordenadas, las geodesicas radiales nulas y temporales son:

ρ = ± t

R0geodesicas radiales nulas

tan ρ = ±√

E2 − 1 sin(

τR0

)geodesicas radiales temporales

Gracias a este cambio de coordenadas, podemos representar las geodesicas en un cilindro de radio

5 ESPACIO DE ANTI DE SITTER 34

ρ = π2 en el que el eje vertical sea el tiempo:

Figura 17: Espacio de anti De Sitter como cilindro solido

En principio, este cilindro deberıa ser infinito debido a que la coordenada temporal corre desde

−∞ a +∞, pero debido a la periodicidad de las geodesicas, toda la informacion queda recogida

en el intervalo 0 < t < 2πR0, pudiendo asociar ambos extremos del intervalo, ya que las geodesi-

cas se repiten.. Otro hecho que podemos ver en esta representacion es que las geodesicas radiales

temporales jamas llegan a la frontera, debido a que la constante cosmologica negativa las atrae.

Deberıa emplearse una energıa infinita para que pudiesen llegar. En cambio, las geodesicas radia-

les nulas sı que llegan en un intervalo de tiempo ∆t = π2 R0 y retornan a ρ = 0 en un intervalo de

∆t = πR0.

5.2. Conclusiones

Este es un espacio que poco se parece a su analogo con constante cosmologica positiva: ya que no

hay horizontes de ningun tipo. Lo unico que preserva de su analogo es que es un espacio isotropo,

y todo observador tiene derecho a creerse en reposo en el y ver la misma estructura causal que

hemos presentado aquı. Lo mas remarcable de anti-De Sitter es la presencia de geodesicas radiales

periodicas y en concreto de geodesicas radiales nulas que llegan al infinito en un tiempo finito, algo

que no es de esperar. Pero es que este espacio es infinito, como todos los que hemos estudiado,

pero que presenta una frontera en el infinito, algo que es difıcil de visualizar, pero que hace que de

alguna forma las geodesicas radiales nulas lleguen allı y “reboten” para llegar de nuevo en tiempo

finito al origen. El hecho de que este espacio tenga estas propiedades tan patologicas hizo que

nunca se considerara como un modelo realista de nuestro universo al contrario de lo que sucede

con De Sitter.

35 6 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER

6. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de De Sitter

A continuacion, vamos a estudiar la metrica de un agujero negro de Schwarzschild en un espacio

en expansion o contraccion, como lo es el espacio de De Sitter. Este poseıa un valor positivo de la

constante cosmologica y esto hara que nos aparezcan diferentes casos que estudiar. Tambien vere-

mos hasta que punto influye la presencia del agujero negro en las caracterısticas de este espacio.

6.1. Estudio de los horizontes de la solucion de Schwarzschild De Sitter

La metrica 4.2 con valor positivo de la constante cosmologica, presentara horizontes cuando lacomponente gtt se anule:

1− r2

R20− 2M

r= 0. (6.1)

Donde el parametro R0 se define igual que en el espacio de De Sitter 4.4. El numero de solucionesque presenta la ecuacion 6.1 dependera de la relacion entre los parametros R0 y M. Estudiamosel comportamiento de la funcion que aparece en 6.1 y comenzamos por los lımites en cero y eninfinito:

lımr→0+

(1− r2

R20− 2M

r

)= −∞

lımr→∞

(1− r2

R20− 2M

r

)= −∞.

Debido a esto, nuestra funcion gtt debe presentar un maximo en algun punto. Calculemoslo:

ddt

gtt =2Mr2 −

2rR2

0= 0.

Despejando:

rmax =(

MR20

)1/3.

Debemos comprobar que el punto encontrado es, efectivamente, un maximo. Para ello estudiamosla derivada segunda

d2

dr2 gtt =−4M

r3 − 2rR2

0< 0 ∀r.

Con esto queda comprobado que es un maximo. Pero para presentar horizontes, dicha componen-

te de la metrica debe anularse en, al menos, un punto. Por eso, debemos calcular el valor que toma

la funcion en ese maximo y ver si es positivo, negativo o nulo:

gtt (rmax) = 1− 2M(MR2

0)1/3−(

MR20)2/3

R20

.

Si ese valor es positivo, la metrica tendra dos horizontes, debido a que los lımites en r = 0+ y

r = ∞ son −∞ y para que eso sea posible, la funcion debe cortar al eje radial en dos puntos; si

el valor es nulo, tendra un unico horizonte. Para que el valor anterior sea positivo o nulo debe

verificarse la siguiente condicion:

1− 2M(MR2

0)1/3−(

MR20)2/3

R20

≥ 0⇐⇒ R0 ≥ 3√

3M (6.2)

Por lo tanto, distinguimos tres casos:

1. Si R0 > 3√

3M tenemos dos horizontes situados en r− y r+ . Caso subextremal.

6 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER 36

2. Si R0 = 3√

3M tenemos un unico horizonte situado en rmax =(

MR20)1/3

= 3M. Caso extre-

mal.

3. Si R0 < 3√

3M tenemos una singularidad desnuda y por lo tanto lo consideraremos como

un caso no fısico aplicando de nuevo la hipotesis de censura cosmica. Caso sobreextremal

Hemos hablado de los horizontes, pero esta metrica presenta una singularidad, fısica en este caso,

en r = 0. No vamos a calcular ningun invariante y vamos a razonar con el siguiente argumento:

si el parametro R0 tiende a infinito o tomamos distancias pequenas en torno al origen, el termino

cuadratico r2

R20

es despreciable haciendo que la metrica tienda a la metrica de Schwarzschild, que

ya demostramos que poseıa una singularidad fısica en ese lugar. Por lo tanto, en estos casos la

singularidad tambien sera de tipo fısico, un lugar donde la curvatura va a ser infinita.

6.2. Caso subextremal R0 > 3√

3M

Comenzamos estudiando el caso subextremal, por analogıa con como lo hicimos cuando estudia-

mos el agujero negro de Reissner-Nordstrom. En este caso tenemos dos parametros independien-

tes que son la masa y la constante cosmologica.

6.2.1. Estructura causal del caso subextremal

La metrica venıa dada por:

ds2 =

(1− 1

3κΛr2 − 2M

r

)dt2 −

(1− 1

3κΛr2 − 2M

r

)−1dr2 − r2dΩ2

2.

Donde las coordenadas t , r, θ, ϕson las empleadas por un observador que se situa entre los dos

horizontesr− y r+. Escribimos la componente gtt de la siguiente forma

1− 2Mr− r2

R20= −

r3 − R20r + 2MR2

0R2

0r= − (r + r0) (r− r−) (r− r+)

R20r

.

Donde r0 es el valor absoluto del polo que presenta el polinomio del numerador en la parte nega-

tiva del eje radial, ya que si un polinomio cubico tiene dos soluciones, existe una tercera y por el

comportamiento que presenta la componente gtt, esta se haya en la parte negativa del eje, como

podemos apreciar en la Figura 18.

Figura 18: Comportamiento de la componente temporal de la metrica

Veamos las condiciones que tienen que satisfacer los parametros r0, r− y r+ para ser raıces del

polinomio cubico. Para ello deshacemos los parentesis del numerador en la expresion anterior y

comparamos termino a termino:


r3 − R20r + 2MR2

0 = r3 + (r0 − r+ − r−) r2 + (r+r− − r0r− − r0r+) r + r0r+r−

Facilmente, vemos que las condiciones que deben satisfacerse son las siguientes

r0 = r+ + r−

r2+ + r2

− + r+r− = R20

r2+r−+r+r2

−r2++r2

−+r+r−= 2M

.

Dado que al principio solo tenıamos dos parametros que eran M y R0, estas tres ecuaciones no

pueden ser linealmente independientes y dado que r0 no es un parametro fısico, por representar

la raız del polinomio cubico en la parte negativa del eje radial, nos podemos deshacer de el y

escribirlo en funcion de r− y r+como vemos en la primera de las ecuaciones, de tal forma que

no aparezca en las otras, que ha sido lo que hemos hecho al escribir las condiciones de la forma

anterior.

La coordenada t es temporal en la zona entre los dos horizontes y es espacial en todos los demas

puntos. Para que las geodesicas sean coherentes con ello, tomamos que las geodesicas salientes

tengan ahora el signo negativo y las entrantes el positivo:

t = ∓r2+ + r2

− + r+r−(r+ − r−) (r+ + 2r−) (2r+ + r−)

[r2+ ln | r− r+

r + r+ + r−|+ r2

− ln | r + r+ + r−r− r−

|+ 2r+r− ln | r− r+r− r−

|]+ C0

Los conos de luz de esta solucion vienen dados por:

Figura 19: Conos de luz de la solucion de Schwarzschild De Sitter subextremal

En este caso tenemos tres zonas claramente diferenciadas. Por un lado, tenemos un espacio de De

Sitter en expansion en el que no se puede estar en reposo, aislado por un horizonte de una zona

intermedia en la cual se puede estar en reposo y que a su izquierda tiene un horizonte que si se

atraviesa, se acaba en una singularidad de tipo espacial, por estar en el futuro de todo observador

que se adentre, como se puede deducir de la orientacion de los conos de luz en cada zona. La

metrica es degenerada en estos horizontes por lo que vamos a buscar un cambio de coordenadas

que nos la regularice en ambos horizontes.

Comenzamos construyendo las coordenadas de E-F avanzadas:

t = t−r2+ + r2

− + r+r−(r+ − r−) (r+ + 2r−) (2r+ + r−)

[r2+ ln | r− r+

r + r+ + r−|+ r2

− ln | r + r+ + r−r− r−

|+ 2r+r− ln | r− r+r− r−

|]− r,


las geodesicas entrantes y salientes vienen dadas por:t = −r + C0 entrantes

t = −r− 2(r2++r2

−+r+r−)(r+−r−)(r++2r−)(2r++r−)

[r2+ ln | r−r+

r+r++r− |+ r2− ln | r+r++r−

r−r− |+ 2r+r− ln | r−r+r−r− |

]+ C0 salientes

y la metrica toma la forma:

ds2 =

(1− r2

R20− 2M

r

)dt2 − 2

(r2

R20+

2Mr

)dtdr−

(1 +

r2

R20+

2Mr

)dr2 − r2dΩ2

2. (6.3)

Ahora la metrica es completamente regular en los horizontes. Los conos de luz son:

Figura 20: Conos de luz en las coordenadas de E-F avanzadas.

Estas coordenadas nos cubren la parte intermedia y la izquierda de la variedad ya que los conos de

luz en estas zonas preservan su orientacion con respecto a la Figura 19. Tenemos una zona inter-

media en la que se puede estar en reposo y que si desde allı cruzamos el horizonte interno, caemos

inevitablemente en la singularidad, por lo que esta singularidad es una singularidad espacial, ya

que de la orientacion de los conos, deducimos que esta se encuentra en el futuro del observador

que se adentre en esta zona. Esta orientacion es debida a que en al atravesar el horizonte interior,

las coordenadas espacial y temporal intercambian sus papeles y por ello, avanzar hacia el futuro

consiste en avanzar hacia valores de la coordenada radial decrecientes. Por lo tanto, el horizonte

interior es un horizonte de sucesos que aısla la singularidad del resto del universo.

Buscamos ahora unas coordenadas que nos regularicen la metrica en el horizonte exterior, para

ello construimos las coordenadas de E-F retardadas

t = t +r2+ + r2

− + r+r−(r+ − r−) (r+ + 2r−) (2r+ + r−)

[r2+ ln | r− r+

r + r+ + r−|+ r2

− ln | r + r+ + r−r− r−

|+ 2r+r− ln | r− r+r− r−

|]+ r,

que hacen que las geodesicas entrantes y salientes sean

t = r +

2(r2++r2

−+r+r−)(r+−r−)(r++2r−)(2r++r−)

[r2+ ln | r−r+

r+r++r− |+ r2− ln | r+r++r−

r−r− |+ 2r+r− ln | r−r+r−r− |

]+ C0 entrantes


,

y que la metrica venga dada por:

ds2 =

(1− r2

R20− 2M

r

)dt2 + 2

(r2

R20+

2Mr

)dtdr−

(1 +

r2

R20+

2Mr

)dr2 − r2dΩ2

2 (6.4)

Que tambien es regular en los dos horizontes. Los conos de luz son ahora


Figura 21: Conos de luz en las coordenadas de E-F retardadas

Estas coordenadas nos cubren la parte de la variedad que va desde la zona intermedia hacia la

parte derecha del segundo horizonte debido que en estas zonas la orientacion de los conos es la

misma que en la primera Figura 19 donde presentabamos los conos de luz de esta solucion. La

zona intermedia es una zona en la cual se puede estar en reposo debido a que las coordenadas

temporal y radial desempenan cada una su papel, pero al travesar el horizonte externo, estas

coordenadas intercambian sus papeles, por lo que avanzar hacia el futuro consiste en moverse

hacia valores de la coordenada radial crecientes. Dado que la gravedad decrece con el cuadrado

de la distancia, la presencia de la singularidad es despreciable a grandes distancias, por lo que este

horizonte es un horizonte cosmologico como lo era en el espacio de De Sitter. Cada observador

tiene derecho a creerse en reposo y por lo tanto tener su propio horizonte cosmologico.

6.2.2. Conclusiones

Este caso tiene dos horizontes, como acabamos de ver. Presenta una zona intermedia en la cual

se puede estar en reposo y dos zonas en la que esto no es posible. Para hacer que la metrica

sea regular en el horizonte interior hemos tenido que usar unas coordenadas que nos describıan la

zona intermedia y la zona interna al primer horizonte, no pudiendo decir nada sobre lo que pasaba

en la zona derecha, dado que los conos de luz habıan cambiado su orientacion. En cambio, las otras

coordenadas, nos cubrıan la zona intermedia de nuevo y la zona tras el horizonte exterior por el

mismo motivo de antes. Ahı tenemos un espacio de De Sitter con su expansion exponencial, donde

tampoco se puede estar en reposo, pero debido a que podemos despreciar el campo gravitatorio

en comparacion con la expansion del universo en esa zona, toda la estructura de De Sitter es valida

y cada observador puede creerse en reposo con su respectivo horizonte cosmologico. La “suma de

soluciones” ha preservado la estructura basica de ambos espacios ha pesar de que las ecuaciones

de Einstein son ecuaciones no lineales y la suma de soluciones no es una nueva solucion en general,

hecho por el cual hemos entrecomillado esta expresion. Ademas,en la zona intermedia se puede

estar en reposo. Para una completa descripcion de este espacio, es conveniente trabajar con la

metrica 6.3 para 0 < r < r+ y con la metrica 6.4 para r− < r para reproducir los resultados

de la Figura 19, puesto que sabemos que el cambio t ↔ t mapea una metrica en la otra. De los

intervalos que acabamos de definir, vemos que podemos utilizar la metrica que mas convenga en

la zona intermedia r− < r < r+.

6.3. Caso extremal R0 = 3√

3M

6.3.1. Estructura causal del caso extremal

Estudiamos ahora el caso extremal, que a priori puede parecer mas sencillo, pues presenta ununico horizonte situado en r = rmax = 3M donde hemos usado que la masa y el parametroR0 estan relacionados segun la igualdad en la expresion 6.2 para poder escribir la ubicacion del


horizonte de la forma anterior. Volviendo a usar esta relacion, podemos escribir la metrica enfuncion de uno de ellos, en este caso de la masa que parece mas intuitivo:

ds2 =

(1− r2

27M2 −2M

r

)dt2 −

(1− r2

27M2 −2M

r

)−1

dr2 − r2dΩ22

En este caso, las coordenadast , r, θ, ϕ, por analogıa con el caso anterior, son las que usa un

observador situado justo en el horizonte, ya que ahora no tenemos una zona extensa, razon por la

cual no son muy fiables ya que ahı la metrica en singular, ası que rapidamente construiremos las

coordenadas de E-F. Calculamos las geodesicas radiales nulas para estudiar la estructura causal

de esta solucion, que en principio esperamos que sea Schwarzschild para r < 3M y De Sitter para

r > 3M. La forma de las geodesicas viene dada por

t = ∓[

2M ln | r− 3Mr + 6M

| − 9M2

r− 3M

]+ C0.

Donde el signo - denota geodesicas salientes y el signo + geodesicas entrantes. Con estas expresio-

nes, podemos dibujar los conos de luz de esta solucion:

Figura 22: Conos de luz de la solucion de Schwarzschild- De Sitter extremal

Por la orientacion de los conos, vemos que es imposible estar en reposo en ninguna de las dos zo-

nas. La estructura causal de esta solucion es De-Sitter para r > 3M y Schwarzschild para r < 3M,

como esperabamos. Dado que la componente temporal de la metrica es negativa, la coordenada

r es temporal en toda la variedad salvo en el horizonte que es nula y la coordenada t es espacial,

salvo en el horizonte, que tambien es nula. La singularidad en el origen es de tipo espacial, ya

que se encuentra en el futuro de todo observador que se encuentre en la zona interior del horizon-

te, como podemos deducir de la orientacion de los conos. Construyamos las coordenadas de E-F

avanzadas para que nuestra metrica no este degenerada en r = 3M.

t = t− 2M ln | r− 3Mr + 6M

|+ 9M2

r− 3M− r.

Con lo cual, las geodesicas entrantes y salientes quedan de de la forma:


t = −r− 4M ln | r−3Mr+6M |+

18M2

r−3M + C0 salientes

.

La metrica se puede escribir:

ds2 =

(1− r2

27M2 −2M

r

)dt2 − 2

(r2

27M2 +2M

r

)dtdr−

(1 +

r2

27M2 +2M

r

)dr2 − r2dΩ2

2. (6.5)

que es lo que esperarıamos si sustituyesemos la igualdad en la condicion 6.2 en la metrica 6.3. Ve-

mos que estas coordenadas hacen que la metrica sea completamente regular en el horizonte y que


aparezca un termino cruzado que rompe la invariancia temporal. Dibujemos en estas coordenadas

los conos de luz.

Figura 23: Conos de luz de la solucion de Schwarzschild- De Sitter en coordenadas de E-F avanza-das.

En estas coordenadas, tenemos una singularidad en el futuro protegida por un horizonte de suce-

sos. Estas coordenadas no nos cubren la parte de la derecha del horizonte debido a que la orien-

tacion de los conos de luz ha cambiado radicalmente respecto a lo encontrado en las coordenadas

de Schwarzschild. Finalmente la partıcula caera inevitablemente en la singularidad., ya que esta

se encuentra en su futuro. Tenemos de nuevo una singularidad de tipo espacial protegida por un

horizonte de sucesos.

Si ahora nos construimos las coordenadas de E-F retardadas:

t = t + 2M ln | r− 3Mr + 6M

| − 9M2

r− 3M+ r.

Las geodesicas se escriben de la forma

t = r + 4M ln | r−3M

r+6M | −18M2

r−3M + C0 entrantes


.

Y la metrica se puede escribir de la siguiente forma:

ds2 =

(1− r2

27M2 −2M

r

)dt2 + 2

(r2

27M2 +2M

r

)dtdr−

(1 +

r2

27M2 +2M

r

)dr2 − r2dΩ2

2, (6.6)

que corresponde a sustituir la igualdad en la expresion 6.2 en la metrica 6.4. Los conos de luz en

estas coordenadas son:

Figura 24: Conos de luz en la coordenadas de E-F retardadas

Estas coordenadas nos cubren la parte de la derecha del horizonte y no la izquierda ya que en

esa zona los conos de luz han cambiado su orientacion respecto de la que tenıan en coordenadas

de Schwarzschild. Tenemos entonces un espacio de De Sitter a la derecha en expansion en el cual

cada observador puede creerse en reposo ya que el efecto de la singularidad una vez cruzado el

horizonte se vuelve cada vez mas despreciable (recordemos que la fuerza gravitatoria decae con el


cuadrado de la distancia) y por lo tanto ver la estructura del espacio de De Sitter con su horizonte

cosmologico y su expansion exponencial.

Vemos de nuevo, como parece que hemos roto la invariancia t ↔ −t, pero es que cada una de

estas dos metricas cubre solamente un parche de la variedad, no la variedad completa. El cambio

t ↔ t mapea una metrica en la otra y hace que se preserve la invariancia temporal de la solucion

estudiada.

6.3.2. Conclusiones

Este espacio no deparaba ninguna sorpresa respecto de lo que esperabamos, que era un espacio

de Schwarzschild para la parte interior del horizonte y un espacio de De Sitter para la parte exte-

rior. En este caso “la suma de soluciones” donde recordamos que entrecomillamos esta expresion

debido al hecho de que las ecuaciones de Einstein no son lineales y por lo tanto la suma de solu-

ciones no tiene porque ser solucion, ha preservado las partes mas importantes de cada uno de los

espacios. En unas coordenadas, tenemos un horizonte de sucesos y no un horizonte cosmologico

ya que dichas coordenadas solamente nos cubren la parte de la variedad que queda a la izquier-

da del horizonte, tras el cual se encuentra una singularidad de tipo fısico y espacial, dado que

como hemos visto las coordenadas temporal y radial cambian su papel en todas las zonas de la

variedad, en concreto en la zona izquierda del horizonte, haciendo que todo lo que se adentre mas

alla caiga irremediablemente a la singularidad. En las otras coordenadas, que nos cubren la parte

derecha de la variedad, tenemos un espacio de De Sitter en expansion exponencial con su hori-

zonte cosmologico, ya que suficientemente lejos de la fuente de campo gravitatorio, la expansion

exponencial del espacio es lo que predomina, por lo que cada observador puede creerse a sı mis-

mo en reposo y ver la estructura tıpica de De Sitter en la cual, cada observador tiene su propio

horizonte cosmologico. Al igual que en el caso subextremal, para la completa descripcion de lo

que muestra la Figura 22, debemos trabajar con la metrica 6.5, en el intervalo 0 < r < 3M y con la

metrica 6.6 en el intervalo 3M < r, puesto que como sabemos, el cambio t ↔ t mapea una en la

otra.

43 7 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER

7. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de anti-De Sit-

ter

En esta seccion se estudiara la influencia de un agujero negro de Schwarzschild en el espacio de

anti-de Sitter, que tenıa una constante cosmologica negativa. Veamos si sus propiedades asom-

brosas se preservan al igual que el caso anterior preservaba las propiedades mas importantes del

espacio de De Sitter y de Schwarzschild.

7.1. Estudio de los horizontes de la solucion de Schwarzschild Anti De Sitter

Si a la metrica 5.1, le anadimos, al igual que en el caso de De Sitter, el termino de masas

ds2 =

(1 +

r2

R20− 2M

r

)dt2 −

(1 +

r2

R20− 2M

r

)−1

dr2 − r2dΩ22,

esperamos que la estructura causal cambie radicalmente con respecto al caso anterior, como ya su-

cedıa entre los espacios de De Sitter de anti- De Sitter. Para comprobarlo, tenemos que estudiar las

geodesicas radiales nulas y para ello debemos saber cuantos horizontes puede presentar nuestra

solucion. Al igual que en el caso anterior, estudiamos el comportamiento de la componente gtt de

la metrica:

1 +r2

R20− 2M

r= 0

Estudiamos los lımites de la componente temporal de la metrica con r tendiendo a cero y a infinito.

lımr→0+

gtt = −∞

lımr→∞

gtt = +∞

Por continuidad, y usando el teorema de Bolzano, la grafica de la componente temporal de la

metrica al menos ha cruzado el eje radial una vez. Veamos si presenta maximos y mınimos para

ver si lo cruza en mas ocasiones:

ddr

gtt =2rR2

0+

2Mr2 = 0⇒ r3 = −2MR2

0

Ese extremo se encuentra en la parte negativa del eje radial y por lo tanto no nos interesa. Podemos

afirmar entonces, que existe un unico horizonte situado en r = rH . Veamos las condiciones que

debe cumplir este parametro para ser horizonte. Para ello factorizamos la componente gtt de la

forma:

r3 + R20r− 2MR2

0R2

0r=

(r2 + br + a2) (r− rH)

R20r

7 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER 44

Figura 25: Comportamiento de la componente temporal de la metrica

Donde los parametros a y b deben cumplir:

b2 − 4a2 < 0. (7.1)

para que el polinomio cuadratico no tenga raıces reales y permita la existencia de mas horizontes.

Deshaciendo los parentesis:

r3 + R20r− 2MR2

0 = r3 + (b− rH) r2 +(

a2 − brH

)r− a2rH .

Comparando termino a termino, obtenemos las siguientes condiciones:

b = rH

a2 − r2H = R2

0a2rH

a2−r2H= 2M

Veamos si se verifica 7.1:

b2 − 4a2 = r2H − 4

(R2

0 + r2H

)= −4R2

0 − 3r2H < 0

Con lo cual, esa es nuestra factorizacion correcta. La metrica en funcion de los nuevos parametros

introducidos queda de la siguiente forma

ds2 =

(1 +

r2

a2 − r2H− a2

a2 − r2H

rHr

)dt2 −

(1 +

r2

a2 − r2H− a2

a2 − r2H

rHr

)−1

dr2 − r2dΩ22

Donde las coordenadas t, r, θ, ϕ son las empleadas por un observador que se encuentre en la

parte que corresponde al espacio de anti De Sitter.

Ademas de los horizontes, volvemos a tener una singularidad fısica en r = 0, que para determinar

que efectivamente es fısica, nos basamos en el argumento que presentamos con el agujero negro de

Schwarzschild De Sitter, y es que cerca de la singularidad, el termino cuadratico de la componente

temporal de la metrica, es despreciable frente al termino que va como r−1 y por lo tanto la metrica

es practicamente Schwarzschild que presentaba una singularidad fısica en r = 0.

7.2. Estructura causal de la solucion de Schwarzschild Anti De Sitter

Para obtener la estructura causal de esta solucion, volvemos a calcular las geodesicas radiales

nulas, cuya expresion es

t = ±a2 − r2

H2r2

H + a2

rH ln | r− rH√r2 + rHr + a2

|+2a2 + r2

H√4a2 − r2

H

arctan

2r + rH√4a2 − r2

H

+ C0.


Vemos que el primer sumando rompe la periodicidad de las geodesicas en este caso, pero como

veremos, a grandes distancias del horizonte es despreciable y volvemos a tener geodesicas que

son periodicas.

Dibujamos los conos de luz:

Figura 26: Conos de luz de la solucion de Schwarzschild anti- De Sitter

Volvemos a tener dos zonas perfectamente diferenciadas: en la parte interior del horizonte tene-

mos un agujero negro de Schwarzschild, es decir, una zona en la que no se puede estar en reposo,

dado que la singularidad fısica vuelve a ser espacial y por ende se encuentra en el futuro de cual-

quier observador que se encuentre en esta zona. Como siempre, esto vuelve a ser debido a que las

coordenadas temporal y radial intercambian sus papeles e ir hacia el futuro consiste en ir hacia

valores decrecientes de la coordenada radial. En la zona exterior, tenemos un espacio de anti De

Sitter, cuyos conos de luz se asemejan mucho a los que vimos en la Seccion 5 y que finalmente

resultaron ser geodesicas radiales periodicas. Para ver que esta separacion entre las dos zonas es

un artificio del uso de las coordenadas empleadas, construimos las coordenadas de E-F avanzadas

t = t +a2 − r2

H2r2

H + a2


|+2a2 + r2

H√4a2 − r2

H

arctan

2r + rH√4a2 − r2

H

− r,

que hacen que as geodesicas entrantes y salientes sean


t = −r +2(a2−r2

H)2r2

H+a2

[rH ln | r−rH√

r2+rHr+a2 |+2a2+r2

H√4a2−r2

Harctan

(2r+rH√4a2−r2

H

)]+ C0 salientes

,

y que la metrica quede de la forma:

ds2 =

(1 +

r2

R20− 2M

r

)dt2 + 2

(r2

R20− 2M

r

)dtdr−

(1− r2

R20+

2Mr

)dr2 − r2dΩ2

2

Que es perfectamente regular en el horizonte. Los conos de luz son ahora de la siguiente forma:

7 AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER 46

Figura 27: Conos de luz de la solucion de Schwarzschild anti De Sitter en las coordenadas de E-Favanzadas

En este caso, tenemos un horizonte que protege una singularidad en el futuro, ya que cualquier

observador que se adentre en el horizonte, estara destinado a caer en la singularidad, ya que esta

es de tipo espacial. A la derecha del horizonte, tenemos un espacio de anti- De Sitter en el que

las geodesicas radiales nulas pueden llegar desde cualquier punto al infinito en un tiempo finito,

para luego retornar y caer en la singularidad, ya que los conos de luz son totalmente analogos a

los de anti- De Sitter y las geodesicas entrantes son capaces de cruzar el horizonte hasta llegar a

la singularidad. Estas coordenadas nos cubren toda la parte de la variedad que veıamos con las

coordenadas de Schwarzschild, a diferencia que en el caso del agujero negro de Schwarzschild-

De Sitter, en el que estas coordenadas solo describıan una parte debido a que en la otra los conos

de luz cambiaban su orientacion drasticamente.

Construimos ahora las coordenadas de E-F retardadas

t = t−a2 − r2

H2r2

H + a2


|+2a2 + r2

H√4a2 − r2

H

arctan

2r + rH√4a2 − r2

H

+ r,

lo que hace que las geodesicas entrantes y salientes sean

t = r− 2(a2−r2

H)2r2

H+a2

[rH ln | r−rH√

r2+rHr+a2 |+2a2+r2

H√4a2−r2

Harctan

(2r+rH√4a2−r2

H

)]+ C0 entrantes


,

quedando la metrica de la siguiente forma:

ds2 =

(1 +

r2

R20− 2M

r

)dt2 − 2

(r2

R20− 2M

r

)dtdr−

(1− r2

R20+

2Mr

)dr2 − r2dΩ2

2.

que tambien es regular en el horizonte. Los conos de luz quedan como:

Figura 28: Conos de luz de la solucion de Schwarzschild anti De Sitter en las coordenadas de E-Fretardadas


Aquı tenemos una singularidad en el pasado protegida por un horizonte de sucesos. Las influen-

cias causales pueden salir a traves del horizonte, pero nada puede pasar a traves de el. Una vez

fuera, tenemos un espacio de anti De Sitter en el que las geodesicas radiales nulas salientes pueden

llegar al infinito en un tiempo propio finito, para retornar de nuevo como geodesicas entrantes y

cruzarse con un horizonte que no las dejara cruzar hacia el interior. Estas coordenadas describen la

misma zona derecha que las otras, pero no la zona izquierda, ya que la orientacion de los conos de

luz es totalmente diferente a lo que veıamos en coordenadas de Schwarzschild y en coordenadas

de E-F avanzadas. Estas coordenadas cubren una zona diferente de la variedad.

7.3. Conclusiones

Este caso ha sido practicamente lo que esperabamos, un espacio de Schwarzschild en el interior

del horizonte y un espacio de anti- De Sitter en el exterior. La salvedad aquı es que las geodesi-

cas radiales nulas no pueden influenciar a todas las regiones del espacio debido a la presencia

del horizonte de sucesos que tenemos por la presencia del agujero negro. En un caso, si usamos

coordenadas de E-F avanzadas y mandamos senales desde fuera del horizonte al infinito, estas

llegaran en un tiempo finito y volveran como geodesicas entrantes, que son capaces de cruzar el

horizonte y llegar a caer a la singularidad. En otro caso, usado coordenadas de E-F retardadas,

la situacion es analoga, salvo que una vez lleguen al infinito y retornen, no seran capaces de cru-

zar el horizonte. Estos dos comportamientos de las geodesicas, es debido a que cada una de las

coordenadas usadas cubren solamente un parche de la variedad. Con las coordenadas avanza-

das, confirmamos lo que veıamos en las coordenadas de Schwarzschild, es decir, una singularidad

fısica y espacial protegida por un horizonte de sucesos en el futuro y a la derecha un espacio de

anti-De Sitter. En cambio, con las coordenadas retardadas, lo que vemos es un espacio de anti- De

Sitter en la zona derecha del horizonte y una singularidad espacial protegida por un horizonte de

sucesos en el futuro. Ambas coordenadas cubren igualmente la zona correspondiente al espacio

de anti-De Sitter.

8 CONCLUSIONES FINALES 48

8. Conclusiones finales

En este proyecto hemos visto diferentes tipos de agujeros negros, cada uno con sus peculiaridades.

Al comienzo vimos la estructura del agujero negro de Schwarzschild, que presentaba una singula-

ridad fısica protegida con un horizonte de sucesos, el cual actuaba como membrana unidireccional

para las influencias causales. En las coordenadas avanzadas vimos que la singularidad se situaba

en el futuro de todo observador que se adentrase hacia el horizonte, de forma que las influencias

causales no podıan salir de la singularidad hacia el resto del universo. Sin embargo, en las retra-

sadas vimos que esa singularidad se situaba en el pasado de todo observador, de forma que las

influencias causales podıan salir de la singularidad pero no entrar. Este comportamiento tan dife-

rente era debido a que con cada una de las coordenadas estabamos viendo una parte diferente de

la variedad diferencial.

Posteriormente, hicimos la extension natural del agujero negro anterior, que era anadirle una carga

electrica no trivial. Esto cambio por completo la solucion existiendo, dependiendo de la relacion

entre la masa y la carga, uno o dos horizontes que protegıan una singularidad muy diferente.

En este caso era evitable y no estaba necesariamente en el futuro de todo observador sino en

un lugar del espacio, aunque se podıa llegar a ella siguiendo trayectorias no geodesicas. Si el

observador se dejaba llevar por la gravedad, descubrimos que llega un punto en el esta se vuelve

repulsiva pudiendo volver de nuevo a cruzar los horizontes y volver a salir a una nueva zona

asintoticamente plana.

A continuacion estudiamos dos espacios soluciones del vacıo de la accion de Einstein-Hilbert con

constante cosmologica, que podıa interpretarse como la densidad de energıa del vacıo. Uno de

ellos, el espacio de De Sitter, poseıa una constante cosmologica positiva y representaba un universo

en expansion o contraccion exponencial. Era un espacio isotropo, en el que cada observador se

podıa creer en reposo y ver su propio horizonte cosmologico, una zona de corrimiento infinito al

rojo que cualquier cosa que la atravesase, perderıa contacto causal para siempre con el observador

de referencia en el caso de la expansion y una zona de la cual surgıan los objetos que no tenıan

contacto causal con este observador para estarlo en el caso de la contraccion. El espacio de anti-De

Sitter, poseıa un valor negativo de la constante cosmologica y no presentaba horizontes de ningun

tipo, ni cosmologico ni de sucesos. La caracterıstica que definıa a este espacio era la existencia de

geodesicas periodicas, tanto nulas como temporales. Mientras que las nulas llegaban en un tiempo

finito al infinito, las temporales no eran capaz de hacerlo, debido a que su amplitud dependıa de

su energıa y se necesitaba una energıa infinita para que pudiesen llegar.

La extension natural de estos espacios, y mas sencilla, es anadir un agujero negro. En el caso de De

Sitter, daba lugar a dos tipos de soluciones, una con dos horizontes en la cual tenıamos una parte

que correspondıa a puro Schwarzschild y otra a puro De Sitter separadas por una region central

delimitada por un horizonte de sucesos en la parte mas cercana a Schwarzschild y un horizonte

cosmologico en la zona mas proxima a De Sitter. Este horizonte cosmologico no era absoluto, al

igual que en De Sitter, sino que dependıa del observador, ya que lejos del agujero negro, el espacio

es isotropo viendo todas las caracterısticas de De Sitter. La otra solucion, poseıa un unico horizonte

degenerado, ya que nuestras coordenadas eran las de un observador que se situaba justo en el

horizonte y eso hacıa que no fuesen muy fiables. Dicho observador en unas coordenadas, ve que

todo cae a la singularidad que es de tipo espacial, por situarse en el futuro de todo observador

cayente. En las otras coordenadas, todo se veıa empujado hacia la zona de De Sitter y, como la

gravedad decae como el cuadrado de la distancia, en esa zona es despreciable y cada observador

49 8 CONCLUSIONES FINALES

se puede creer en reposo viendo un horizonte cosmologico.

Finalmente, al anadir el agujero negro en el espacio de De Sitter, tenıamos un horizonte de sucesos,

que protegıa una singularidad espacial, y una zona que asintoticamente era el espacio de anti-

De Sitter, en el que las geodesicas eran asintoticamente periodicas, ya que la parte que no lo era

decrece muy rapidamente una vez fuera del horizonte.

En todo este proyecto hemos repetido el mismo proceso para encontrar la solucion, es decir, par-

tir de un Ansatz para la metrica que reflejase todas las caracterısticas que buscabamos (simetrıa

esferica y estaticidad) e insertarlo en las ecuaciones de Einstein. Pero existen muchas soluciones

que no son de este tipo, es el caso del agujero negro de Kerr, que no es esfericamente simetrico ni

estatico, lo cual hace que el procedimiento para encontrar la metrica que lo describe sea diferente

al presentado aquı. Esperamos en anos sucesivos desarrollar los metodos que permiten llegar a

este tipo de soluciones a la par que emplear herramientas matematicas mas sofisticadas para es-

tudiar la estructura causal de estos espacios de forma mas sencilla, como lo son los diagramas de

Penrose.

REFERENCIAS 50

9. Bibliografıa

Referencias

[1] Carroll, S.M. 2004. Spacetime and Geometry. An introduction to General Relativity. University

of Chicago.

[2] d’ Inverno, R. 1998. Introducing Einstein’s Relativity. University of Southampton.

[3] Janssen. B. 2013. Teorıa de la Relatividad General. Universidad de Granada.

[4] Feynmann. R.P. 1995. Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley Publishing Com-

pany.

[5] Poisson, E. 2004. A relativist’s toolkit. The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge

University Press.

Documents

Proyecto de Iniciacion a la Investigaci´ on´ Estudio ...bjanssen/text/TFGPerezPoyatos.pdf · Antes de estudiar los diferentes tipos de agujeros negros, debemos conocer las matematicas