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CONCEPTUALIZACION DE LAS PROPIEDADES METRICAS DE LOSTRINGULOS RESPECTO A SUS ANGULOS, CON NIOS Y NIAS SORDOS

DE GRADO QUINTO DE PRIMARIA DEL ITSOR, MEDIANTE EL USO DELSOFTWARE GEOGEBRA

LINA MARCELA BERNAL MARULANDA

GERARDO PATIO VARON

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

IBAGUE-TOLIMA

2011

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CONCEPTUALIZACION DE LAS PROPIEDADES METRICAS DE LOSTRINGULOS RESPECTO A SUS ANGULOS, CON NIOS Y NIAS SORDOS

DE GRADO QUINTO DE PRIMARIA DEL ITSOR, MEDIANTE EL USO DELSOFTWARE GEOGEBRA

LINA MARCELA BERNAL MARULANDA

GERARDO PATIO VARON

Requisito de aprobacin para el

DIPLOMADO EN USO PEDAGGICO DE SOFTWARE EDUCATIVO

Asesor

Jaime Humberto Vera

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

IBAGUE-TOLIMA

2011

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ADVERTENCIA

La Facultad de Ciencias de la Educacin de la Universidad del Tolima, el director deltrabajo y el jurado calificador, no son responsables de los conceptos ni de las ideasexpuestas por el autor del presente trabajo.

Artculo 16, Acuerdo 032 de 1976 y Artculo 29, acuerdo 064 de 1991, Consejo Acadmicode la Universidad del Tolima.

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AGRADECIMIENTOS

Los autores expresan sus agradecimientos a:

JAIME HUMBERTO VERA, Director del programa Licenciatura en Matemticas por surespaldo y orientacin en la realizacin de este trabajo.

MIGUEL ERNESTO VILLARRAGA, EDGAR DIEGO ERAZO Y CARLOS MORA,profesores del Diplomado Uso Pedaggico de Software Educativo en Matemticas por susorientaciones.

LA UNIVERSIDAD DEL TOLIMA, y a todas las personas que de una u otro formacolaboraron en la realizacin de ste trabajo.

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RESUMEN

En el siguiente trabajo buscamos reconocer las ventajas didcticas que proporciona el usodel software Geogebra a los nios y nias sordas del grado quinto del ITSOR, yaprovecharlas en la conceptualizacin de las propiedades mtricas de los tringulosrespecto a sus ngulos, con el fin de encontrar y desarrollar una estrategia que permitaincorporar adecuadamente el software en el aula, para que proporcione un enfoquedidctico que les permita la conceptualizacin del algunas propiedades mtricas de lostringulos.

Palabras clave: Propiedades mtricas de los tringulos, conceptualizacin, educacingeomtrica para sordos.

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ABSTRACT

In the following work we seek to recognize the didactic advantages that there provides theuse of the software Geogebra to the children and deaf girls of the fifth degree of the ITSOR,and to take advantage of them in the conceptualization of the metric properties of thetriangles, in order to find and to develop a strategy that allows to incorporate adequately thesoftware in the classroom.

Key words: Metric Properties of the triangles, conceptualization, geometric education fordeaf.

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CONTENIDO

Pg.

INTRODUCCION 11

1. REA PROBLEMTICA 12

1.1 DESCRIPCIN DEL CONTEXTO 12

1.2 ANTECEDENTES 13

1.3 JUSTIFICACIN 14

1.4 FORMULACIN DEL PROBLEMA 16

1.4.1 Preguntas de investigacin 16

1.5 OBJETIVOS 16

1.5.1 Objetivo general 16

1.5.2 Objetivos especficos 17

2. REFERENTE TERICO 18

2.1 ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS 18

2.1.1 Importancia de la enseanza de las matemticas 18

2.1.2 Necesidad de un cambio en la forma de presentacin del conocimiento matemtico 18

2.1.3 Objetos matemticos y sistemas de representacin 19

2.1.4 Representaciones semiticas y su importancia el la conceptualizacin 20

2.1.5 Traducciones entre sistemas de representacin 20

2.2 GEOMETRA 21

2.2.1 La geometra a travs del tiempo 21

2.2.2 Euclides vs enseanza 22

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2.3 DIDCTICA DE LA GEOMETRA 26

2.3.1 El modelo de los niveles de van Hiele 26

2.3.1.1 Visualizacin. 27

2.3.1.3 Deduccin informal 27

2.3.1.2 Anlisis 27

2.3.2 Procesos de visualizacin 27

2.3.2.1 Nivel global de percepcin visual 28

2.3.2.2 Nivel de percepcin de elementos constitutivos 28

2.3.2.3 Nivel operatorio de percepcin visual 29

2.3.3 Ventajas de la geometra dinmica 30

2.4 TECNOLOGA 31

2.4.1 Las TIC como herramienta mediacional en el proceso de enseanza 31

2.4.2 Aporte de las TIC a la enseanza de las matemticas 31

2.4.3 Geogebra mediador en el aprendizaje matemtico 33

2.4.4 ngulos del tringulo y Geogebra 34

3. DISEO METODOLGICO 38

3.1 PERSPECTIVA EPISTEMOLGICA 38

3.2 POBLACIN Y MUESTRA 38

3.3 MTODO 39

3.3.1 Fase 1 39

3.3.2 Fase 2 39

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3.3.3 Fase 3 40

3.3.4 Fase 4 413.4 DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES DIDCTICAS 41

3.5 CRONOGRAMA DE LA ELABORACIN DE LAS ACTIVIDADES 42

BIBLIOGRAFIA 44

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LISTA DE FIGURAS

Pg.

Figura. 1. Tringulo ABC 24

Figura. 2. Tringulo issceles 24

Figura. 3. Nivel global de percepcin visual 28

Figura. 4. Nivel de percepcin de elementos constitutivos 29

Figura. 5. Nivel operatorio de percepcin visual 30

Figura. 6. Tringulo ABC con sus lados prolongados 35

Figura. 7. Tringulo ABC con sus ngulos exteriores 36

Figura. 8. Triangulo ABC modificado con la adicin de los ngulos exteriores 36

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INTRODUCCIN

La educacin para sordos, tanto desde el punto de vista cognitivo como desde el punto devista social a sido analizado desde diferentes pticas, en lo cognitivo desde elcuestionamiento de sus capacidades cognitivas, hasta la aceptacin de sus diferencias en laforma de aprendizaje, en el presente trabajo se propone una forma de aproximar a nios ynias del grado quinto de primaria del Instituto Tolimense para Sordos ITSOR a laspropiedades mtricas de los tringulos respecto de sus ngulos, dado que reconocemos lanecesidad de una educacin geomtrica con caractersticas distintas a la educacin paranios oyentes.

En el buscamos reconocer las ventajas didcticas que proporciona el uso del software

Geogebra, aprovechar las ventajas didcticas que nos brindan, y aproximar a los estudiantesa la conceptualizacin de las propiedades mtricas de los tringulos.

De este modo en una educacin para nios sordos es necesario encontrar y desarrollar unaestrategia que permita incorporar adecuadamente el software en el aula, para que proporcione un enfoque didctico que les permita la conceptualizacin de algunaspropiedades mtricas de los tringulos.

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1. REA PROBLEMTICA

1.1 DESCRIPCIN DEL CONTEXTO

El sistema de educacin para los nios y nias con dificultes auditivas se enfoca en laconstruccin de una educacin bilinge (lenguaje de seas colombiana y lengua castellana),donde intervienen intrpretes, modelos lingsticos, profesores oyentes y estudiantessordos.

El Instituto Tolimense para Sordos ITSOR esta ubicado en el barrio el Jordn segundaetapa, carrera 1 A calle 64. Acoge permanentemente a nios y nias con discapacidades

auditivas, definindose como una institucin para la comunidad sorda. La institucin ofreceeducacin en bsica primaria, y est compuesta por seis maestros, tres modelos lingsticosy hasta el momento cincuenta y cuatro estudiantes con edades entre los cinco y diecisieteaos.

Su modalidad de trabajo consiste en determinar aulas para cada asignatura, en donde se procura ensear utilizando representaciones visuales; los profesores adquieren algnconocimiento del lenguaje de seas en capacitaciones, pero la habilidad y el aprendizaje loobtienen mediante la interaccin con los estudiantes y los modelos lingsticos; personassordas con conocimiento en lenguaje de seas que ayuda a nios y nias a aprender yperfeccionar el lenguaje, adems estos acompaan a profesores y alumnos en su proceso

pedaggico y son mediadores en la transmisin de la cultura de la comunidad sorda.A partir de nuestra prctica docente e interaccin con los nios y nias sordas hemosexplorado sus habilidades y dificultades respecto a los contenidos curriculares de lageometra, y llegamos a la conclusin que por condiciones adversas, como lo pueden ser eltiempo, la necesidad de cumplir con otros componentes del curso y el inters por abarcar elcontenido aritmtico; se le ha restado importancia al estudio de la geometra, hasta el punto,de limitar su estudio al reconocimiento de algunos objetos y la realizacin de clculos quereduce el desarrollo del razonamiento geomtrico.

Adems de esto, la edad avanzada con la que ingresan a la escolaridad los nios sordosdefine unas dificultades en el desarrollo del aprendizaje, es una condicin necesaria la

atencin educativa temprana para el desarrollo fonolgico del nio sordo.

La profesora encargada del curso en el cual se realizar la experiencia ha mostrado interstanto por el uso de software como por el desarrollo del proyecto. Por tal motivo, setrabajara geometra con la aplicacin del software dinmico para comprobar si por estemedio y las actividades didcticas que se realicen con las nias y nios sordos del gradoquinto mejoran las concepciones geomtricas de los tringulos; para as utilizarlo en la

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clase y tomarlo como un recurso que aporte actividades significativas, que le permitan anios y nias sordas la asimilacin de estos conceptos.

1.2 ANTECEDENTES

Tomaremos inicialmente como antecedente la tesis doctoral, Estudio de una EstrategiaDidctica Basada en las Nuevas Tecnologas para la Enseanza de la Geometra Dinmicade Jos Mara Sordo Juanena de la universidad Complutense de Madrid.

Sordo (2005) muestra algunas de las ventajas al utilizar el software Geometers sketchpadpara la enseanza de la geometra. Entre las conclusiones de ste estudio se destacan lassiguientes:

Obliga a saber lo que se est haciendo.

Facilita la experimentacin y la investigacin.

Por su visualizacin.

Centra mejor la atencin de sus alumnos.

Se hace geometra dinmica.(P. 383)

Sordo (2005) tambin concluye que con la utilizacin de Geometers sketchpad, losestudiantes han conseguido dominar los contenidos relativos a segmentos, a ngulos, a

paralelismo y perpendicularidad, relaciones entre lados y ngulos de un tringulo y apolgonos y reas planas (Sordo 2005 P. 383). El estudio nos sirve de antecedente a pesarde no a verse aplicado a estudiantes con discapacidad auditiva, pues los resultados respectoa uno de sus contenidos esenciales, nos demuestran la importancia que tiene lavisualizacin para la comprensin de contenidos en geometra, y en particular, que lautilizacin del software favoreci la conceptualizacin de los contenidos que son de nuestrointers: los tringulos.

Carrasumada (1995), muestra las diferentes posturas a lo largo de la historia en el estudiosobre el desarrollo intelectual de los nios y nias sordas. Partiendo de Pintner, Eisenton yTanton (1941) quienes concluyeron que los sordos tenan un menor nivel intelectual y una

forma distinta de razonar a los de los oyentes, pero el desarrollo de mas investigaciones nosafirma con Myklebust (1960) citado tambin por Carrasumada que el desarrollo intelectualde los sordos presenta caractersticas idiosincrticas, perfiles y orientaciones especificasdistintas a las de los oyentes, ya en 1966 Furth citado tambin por Carrasumada nos afirmaque aunque el desarrollo intelectual del sordo es mas lento y menos flexible que la deloyente, no existen apenas diferencias respecto a su competencia cognitiva, consideramosas pertinente, hacer una revisin de las investigaciones que dan cuenta de las

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caractersticas que presenta el desarrollo intelectual de los nios sordos. La investigacintambin aborda el aprendizaje de la geometra en nios sordos, y reconoce el reducido

nmero de trabajos de investigacin sobre enseanza y aprendizaje de la geometra conalumnos sordos hasta 1995. Un ejemplo de los trabajos citados por Carrasumada estaRosich (1993) sobre el conocimiento y las habilidades geomtricas, que tienen los sordosprofundos, sobre cuestiones de lxico geomtrico y algunos conceptos relacionados con ellenguaje escrito.

1.3 JUSTIFICACIN

La educacin no es solo un proceso de formacin para el acceso al conocimiento, esadems el mecanismo que permite el desarrollo de la identidad y la autonoma; excluir a un

individuo de ella, seria abolirlo lentamente de la sociedad. Sin embargo, durante variasdcadas, la sociedad y el Estado marginaron y limitaron la educacin para los sordos.

La visin que se tena respecto a las dificultades auditivas eran medicas y no prevaleca laoportunidad de construir conocimiento, puesto que lo fundamental era recuperar al sujetoque por cuestiones naturales u ocasionadas haba perdido la audicin. De tal forma que eracatalogado como un sujeto con capacidades cognitivas insuficientes, sin lenguaje y muyequivocadamente argumentaban la dependencia entre el desempeo de lengua oral ydesarrollo cognitivo. Es decir, si la persona era diagnosticada como sorda entonces se creaque esta careca de capacidades intelectuales que le hicieran una persona autnoma.

Esto explica en cierta forma, la posicin que an se tiene de rehabilitar a las personas que

tienen esta discapacidad fsica. Sabiendo que ellos poseen las mismas capacidades para eldesarrollo del pensamiento, y como miembros de una comunidad, necesitan de unaformacin integra y la aceptacin pblica, pues ellos al igual que nosotros son miembros dela sociedad, con las mismas necesidades laborales, polticas y primordialmente educativas.

Hoy podemos decir que la educacin para sordos por medio de la inclusin escolar es unarealidad, aunque en el aula no los encontremos en su totalidad, ni con las condicionesadecuadas; podemos decir que tienen la condicin de ser social, caracterizado por decidir,razonar, interactuar y lo ms importante: inquietarse por conocer; lo cual genera todo uncambio en la metodologa de la enseanza.

Se entiende, que las personas sordas utilizan bsicamente la visin para captar la realidad,en la forma en que lo expresa Skilar en Pensamiento geomtrico y tcnica computacionales;la experiencia visual de las personas sordas incluye todo tipo de significacin,representaciones y/o producciones en el campo intelectual, lingstico, tico, esttico,artstico, cognitivo, lo cual, permite el desarrollo de un lenguaje que define la importanciade participar como miembro de una comunidad.

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Desde este punto de vista, consideramos indispensable trabajar en el aula de clase consistemas de representacin computacionales, para la adquisicin de un conocimiento en los

nios y nias sordos; en nuestro caso: el conocimiento matemtico.Debido a que estas herramientas tecnolgicas permiten la exploracin y manipulacindinmica de cada una de las representaciones de los objetos matemticos, obtendremos laconstruccin de habilidades mentales por parte de los nios y nias sordas; lo que posibilitara acceder posteriormente al estudio formal de algn componente de lasmatemticas: La Geometra.

La enseanza de la geometra ofrece un gran desarrollo en los procesos de formalizacinque son ejemplo de rigor, abstraccin y generalidad, al mismo tiempo otorga procesos devisualizacin que estn en la base de la actividad cognitiva de la geometra.

Ahora, como se plantea en Pensamiento Geomtrico y Tecnologas Computacionales(2004) sobre los procesos de visualizacin y de razonamiento discursivo descansanotros procesos presentes en la actividad matemtica (P. 9), adems proponen diversasformas argumentativas que poco a poco van alcanzando mejores niveles de sofisticacin.

De tal modo que, la visualizacin geomtrica se caracteriza en tres niveles: el nivel globalde visualizacin, nivel de percepcin de elementos constitutivos, nivel operacional depercepcin visual; las cuales, acceden al estudio y la conceptualizacin de las propiedadesinvariantes de las figuras geomtricas.

Con lo anterior, se pensara que el estudio de la geometra es de vital importancia en laeducacin escolar de los sordos; pero a pesar de que la geometra proyecta un conocimiento

significativo para los sordos, en la escuela se no se estudia con el rigor que se merece;causando insuficiencias en el aprendizaje de dicha disciplina.

Tal vez, no se logren realizar la asimilacin de conceptos geomtricos por el mtodo deenseanza poco dinmico como puede ser el tablero, el lpiz y el papel; posiblemente senecesite de la utilizacin de algn software geomtrico dinmico para el discernimiento,entendimiento, comprensin e interpretacin de los conceptos. Esto no quiere decir que elsoftware geomtrico dinmico va a solucionar todas las necesidades de enseanza-aprendizaje que se nos puede presentar al respecto, lo que se desea es abrirle un espacio enel cual puedan mostrar su potencialidad, de acuerdo al fin al que vaya enfocado.

El proyecto pretende disminuir en cierta medida cada una de estas dificultades,aprovechando el lenguaje visual que ellos desarrollan y la interaccin entre sujetos ymedios dinmicos para la construccin de estos objetos geomtricos.

El proyecto planea dinamizarse con la incorporacin del software al aula de clase con niossordos, debido a que nace la dificultad de crear conceptos geomtricos cuando el lenguajede seas carece de semntica y diversidad de palabras, es decir, que en la geometra se usan

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palabras especificas que tienen diferente significado o que no existe en el lenguaje de seas,lo cual dificulta el aprendizaje de estas.

Este proyecto de investigacin busca dar un enfoque didctico y pedaggico al softwareGeogebra en el Instituto Tolimense para Sordos (ITSOR), de tal forma que permita a losnios y nias del grado quinto conceptualizar algunas propiedades mtricas de lostringulos.

1.4 FORMULACIN DEL PROBLEMA

Qu ventajas didcticas proporciona el uso del software Geogebra a los nios y niassordas del grado quinto del ITSOR y cmo podemos aprovecharlas en la conceptualizacinde las propiedades mtricas de los tringulos respecto a sus ngulos?

1.4.1 Preguntas de investigacin.

Tienen los nios y nias del quinto grado del instituto los conocimientos bsicos engeometra que les permita identificar los elementos que constituyen los tringulos?

Qu dificultades presentan los nios y nias sordas con la asimilacin depropiedades y caractersticas de tringulos?

Posibilita Geogebra a nios y nias sordas la exploracin de la geometra,

permitindole la construccin de conocimientos relacionados con caractersticas ypropiedades de tringulos?

Cules son las estrategias que debemos utilizar, cuando incorporemosadecuadamente el software Geogebra en el aula de clase de nios y nias sordas,para reconocer y aprovechar las ventajas didcticas que este proporciona?

1.5 OBJETIVOS

1.5.1 Objetivo general.

Reconocer las ventajas didcticas que proporciona el uso del software Geogebra a los niosy nias sordas del grado quinto del ITSOR, y aprovecharlas en la conceptualizacin de laspropiedades mtricas de los tringulos respecto a sus ngulos.

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1.5.2 Objetivos especficos.

Determinar si los nios y nias sordas del instituto tienen los conocimientos bsicosen geometra, que les permita identificar los elementos que constituyen a lostringulos.

Analizar y registrar las dificultades que presentan los nios y nias sordas con laasimilacin de las propiedades y caractersticas de tringulos.

Hacer de Geogebra un software que invite a nios y nias sordas a la exploracin dela geometra, posibilitndole la construccin de conocimientos geomtricos que lepermita identificar las propiedades de tringulos.

Encontrar y desarrollar una estrategia que permita incorporar adecuadamente el

software Geogebra en el aula, para que proporcione un enfoque didctico.

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2. REFERENTE TERICO

2.1 ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS

2.1.1 Importancia de la enseanza de las matemticas.

La enseanza de las matemticas contribuye al desarrollo cognitivo en general, su estudiorequiere del anlisis de actividades cognitivas bsicas, como afirma Duval (1999) elaprendizaje de las matemticas constituye, evidentemente, un campo de estudio privilegiado para el anlisis de actividades cognitivas fundamentales como laconceptualizacin, el razonamiento, la resolucin de problemas, e incluso, la comprensin

de textos (P. 13); existen adems de estos, otros procesos que tienen lugar durante elaprendizaje de las matemticas, como los propuestos en los lineamientos curriculares parala educacin matemtica; la comunicacin, la modelacin y la elaboracin deprocedimientos.

Rico (1995) reconoce que la importancia del estudio de las matemticas responde a trestipos de argumentos; el primero es que desarrolla las capacidades de razonamiento lgico,de generalizar, y hacer abstraccin; son habilidades potenciadas durante la enseanza de lasmatemticas, por ello su estudio tiene un alto nivel formativo con objetivos siemprevinculados al desarrollo de habilidades cognitivas.

Un segundo argumento que justifica el estudio de las matemticas es su utilidad practica, esdecir, al relacionar los objetos matemticos con las situaciones de la vida cotidiana lasmatemticas se hacen funcionales. Las matemticas estn presentes en todas las formas deexpresin humana, y por su utilidad prctica, el aprendizaje de las matemticas se hacenecesario para un mejor desenvolvimiento en la vida.

Por ultimo, el estudio de las matemticas junto con el lenguaje contribuyen a la formacinintelectual de los individuos, estas dos reas del conocimiento son los principalesindicadores del desarrollo intelectual del los alumnos, por un lado el lenguaje desarrolla lacapacidad de expresin oral, y por el otro la matemtica, su capacidad de razonamiento,por otra parte debido a su carcter de herramienta las matemticas suponen un instrumentocomn de trabajo para el resto de las disciplinas (P. 13).

2.1.2 Necesidad de un cambio en la forma de presentacin del conocimiento matemtico.

Existen diferentes concepciones en torno a la naturaleza de las matemticas, posiciones queconsideran su existencia independiente de la mente humana, y otras que la consideran unacreacin humana, se habla tambin de la perfeccin de las matemticas, otros la niegan. Por

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considerarlo un elemento secundario en nuestra investigacin no abordaremos estascorrientes con profundidad, pero si consideramos pertinente aclarar que la forma de

presentacin del conocimiento matemtico depende del enfoque de la ideologa delprofesor.

Estamos entonces en desacuerdo con el modelo pedaggico tradicional, pues creemos quela labor del docente no puede reducirse a la mera trasmisin del conocimiento, creemos quelos estudiantes deben tomar parte activa en su proceso de formacin.

Presentar las matemticas como un cuerpo acabado de conocimiento adems de falsear suhistoria, tambin oculta a los estudiantes los procedimientos y esfuerzos que llevaron a la produccin de conjeturas, todos estas tentativas y procedimientos en ocasionesinfructuosos, son fundamentales para los estudiantes en la construccin del conocimientomatemtico, adems como dice Verdejo (2004) se les priva del placer del descubrimiento y

conseguiremos que pierdan la confianza en si mismos al ocultarles la dificultad deldescubrimiento de un teorema correcto. (P. 70). Los contenidos matemticos debenentonces, ser presentados como un conjunto de conocimientos que se han desarrollado conel tiempo, reconociendo su aspecto constructivo, este enfoque permite el avance a nivelessuperiores de razonamiento y de abstraccin, adems promueve la confianza y permite laconstruccin del conocimiento matemtico.

2.1.3 Objetos matemticos y sistemas de representacin.

Antes de hablar de sistemas de representacin es pertinente hacer una reflexin en torno a

los objetos de estudio de las matemticas; de naturaleza distinta a los objetos quepercibimos por nuestros sentidos, los objetos de estudio de la matemtica son intangibles,no podemos ver un triangulo ni sus lados o sus alturas, nos es imposible sentirlo, pues suexistencia, aunque incuestionable es como dijimos de naturaleza distinta a la que nuestrossentidos percibe, lo que si podemos ver es las distintas representaciones de triangulo, ydependiendo del tipo de representacin es posible que podamos sentir los componentes quelo constituyen.

La naturaleza abstracta de estos objetos requiere de cierta capacidad de razonamiento parasu conceptualizacin, pero adems durante el desarrollo de las habilidades de razonamientoy para la conceptualizacin de los conceptos geomtricos, es fundamental que el mediador

de este conocimiento maneje un discurso en el que se distinga entre el objeto de estudio ysus distintas representaciones pues como afirma Duval (1999) no puede haber comprensinen matemticas si no se distingue un objeto de su representacin. (P. 13). Segn esto esimportante no confundir los lados de un triangulo, sus alturas o ngulos con los grficos ysmbolos que lo representan.

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Hasta ahora hemos utilizado el trmino representacin para referirnos a unos tipos particulares de representaciones, las representaciones externas, pero existen adems

representaciones metales de carcter interno, que son el conjunto de imgenes y deconcepciones que los individuos tienen acerca de los objetos. En adelante nos referiremos alas representaciones de carcter externo, representaciones que el individuo utiliza paraexteriorizar sus representaciones mentales por medio de signos.

2.1.4 Representaciones semiticas y su importancia el la conceptualizacin.

Cuando un sujeto utiliza signos para producir representaciones externas, visibles oaccesibles a otros, estas representaciones se denominan representaciones semiticas, lasrepresentaciones semiticas son el medio por el cual el sujeto exterioriza sus

representaciones mentales, entonces es claro que estas representaciones dependen de lasrepresentaciones mentales del sujeto. El hecho de ser un medio por el cual se hace accesiblea otro todo tipo de representaciones mentales nos dice que es un medio para comunicar,pero adems, este tipo de representaciones son consideradas como fundamentales en eldesarrollo de la actividad matemtica.

El proceso de producir o interpretar representaciones semiticas se llama semiosis, suimportancia en el estudio se debe a que en la construccin del conocimiento matemtico, esnecesario hacer transformaciones entre los distintos tipos de representacin de los objetos,por ejemplo para la identificacin de las propiedades geomtricas de los tringulos y suscomponentes, podemos dar definiciones, o teoremas, que corresponden a representacionesde tipo oral, o podemos tambin hacer representaciones graficas, la aprehensin delconcepto de triangulo o sus propiedades depende del tipo de representacin utilizado, porello la capacidad de hacer cambios entre los sistemas de representacin es de gran ayuda enla construccin de un pensamiento geomtrico.

Ligado al concepto de semiosis esta el de noesis, que se refiere a los actos cognitivos quepermiten la aprehensin conceptual de los objetos, as es correcto afirmar que no existenoesis sin semiosis.

2.1.5 Traducciones entre sistemas de representacin.

Existen como hemos mencionado diferentes formas de representar un objeto matemtico, elxito en el proceso de aprehensin conceptual, depende entre otros factores, del nmero derepresentaciones utilizadas y de las traducciones que se hagan entre las diferentesrepresentaciones del objeto, es decir, entre mas representaciones se estudien y mastraducciones se hagan entre los diferentes sistemas de representacin, se comprendermejor el concepto matemtico.

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Es importante hacer una reflexin en torno al cuidado que debe tenerse cuando sedesarrollan estas tareas, pues se ha probado que cambiar la forma de presentacin es, para

muchos alumno de los diferentes niveles de la enseanza, una operacin difcil e incluso enocasiones imposible. Todo sucede como si para la mayora de los alumnos la comprensinque logran de un contenido quedara limitada a la forma de representacin utilizada (Duval,1999, P. 28), es por esto que consideramos importante resaltar la diferencia entre el objetomatemtico y sus sistemas de representacin, y adems utilizar diferentes representacionesal estudiar los objetos matemticos.

2.2 GEOMETRA

El estudio de la geometra es antiguo, as como el desarrollo de las matemticas a partir de

esta; pues es lgico que el origen de la geometra coincida con el origen de la humanidad,cuando se hace nfasis a la necesidad del hombre de recurrir a conocimientos prcticoscomo medir longitudes, reas y volmenes para el tratamiento de tierras y fenmenos(climticos, econmicos o sociales). En este sentido y despus de tantos siglos la geometrasigue siendo tomada con descripciones que etimolgicamente la representan. Y es quizspor esto, que sea la rama de la matemtica que ha estado sometida a ms cambios a lolargo de la historia.

2.2.1 La geometra a travs del tiempo.

Como lo afirma la historia de la evolucin de la ciencia, fueron los griegos con susdiferentes tendencias de concebir el mundo que lograron dar los primeros indicios deciencia, a pesar de que los persas tuvieron un desarrollo evolutivo y cognitivo ms fuerte,que se mantuvo esttico con la llegada e invasin de los mongoles. La discusin ydemostracin influenciada por las ideas de Platn y Aristteles, eran recursosfundamentales para el desarrollo del pensamiento griego.

De tal manera, la geometra alcanzo su cumbre, cuando deja de ser un instrumentonetamente de medida, para convertirse en toda una disciplina que se estructura a partir de lalgica y de la teora de ciencia deductiva, construyndose la obra quizs ms reconocida yestudiada en su tiempo y sin duda en el nuestro; actualmente aferrada al currculo dematemticas para la enseanza de esta: Los Elementos de Euclides.

Campos, (1981) afirma que los griegos conocieron la demostracin desde los tiempos dePitgoras y despues de tres siglos de investigaciones lograron, gracias a ella, una de lasobras maestras de la matematica, los Elementos de Geometria de Euclides.

Los Elementos de geometra de Euclides fue el primer sistema axiomtico conocido, quecon un conjunto de axiomas y postulados, Euclides organizo los diversos conocimientos

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que se tenan en las matemticas de esa poca en forma rigurosa, interpretando el idealaxiomtico de los griegos que consolido el enfoque lgico y estableci la relacin entre

matemticas y el estudio de la naturaleza. Los Elementos daban una versin geomtrica dela totalidad de las matemticas conocidas por los griegos.

No obstante, fue el inicio del algebra, que con su rpido desarrollo opaco en cierta medida ala geometra. La investigacin geomtrica revive unos siglos ms adelante con Descartes,quien desempolva la geometra para fusionarla con el lgebra y darle paso al desarrollo delanlisis, escaln que eleva el grado de interpretacin.

Con la inclusin del algebra y el anlisis a la geometra, se le asigna una tarea que competea todas las matemticas: ensear a pensar y ensear a aplicar. Esta concepcin de lageometra influye directamente con la enseanza; y es ah donde desafortunadamente se hafallado, pues seguir una cadena lgica de teoremas, basados en unas definiciones,

postulados y demostraciones, generan desinters e incomprensin en el desarrollogeneralizador del pensamiento matemtico debido a su poca aplicacin en la realidad.

2.2.2 Euclides vs enseanza

En el libro Los Elementos de Euclides se han detectado un sin nmero de erroresmatemticos y de rigurosidad, los ms conocidos estn relacionados con la descripcin dela teora, uno de ellos, es el famoso postulado quinto y la primera proposicin. Debemosaclarar que en esa poca de Euclides no se tena la cobertura de conocimiento con la cualcontamos ahora, uno de ellos es el estudio ordenado y completo de los reales; que no nos

detendremos a explicar en este apartado, no por que carezca de importancia sino porque loque nos interesa son las falencias que se puedan presentar en el momento de enseargeometra.

Entonces desde esta perspectiva podramos preguntarnos: Qu sucede si la educacingeomtrica se fundamenta nicamente en el libro de Euclides? (acontecimientorepresentado en primaria y secundaria).

El libro de Euclides ha sido el estmulo y gua del pensamiento cientfico durante muchossiglos. Como lo afirma Bostch, citado por Alberto Campos (1981):

El sistema de Euclides ha sobrevivido a siglos de crecimiento

matemtico. Los objetivos de la instruccin escolar moderna trasciendenlos lmites de Euclides menos de lo que podemos suponer. Pero Euclideses una caja prefabricada y su enseanza es esttica. Es nuestro propsitohacer una dinmica, y esto no es posible dando a nuestros alumnos uncatlogo sistemticamente ordenado de tareas para efectuar, que esesencialmente lo que hacemos al ensear a Euclides(P.42)

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La geometra no se debe quedar en un modelo nico de deduccin como se puede seguircon el libro de Euclides, que pretende la axiomatizacin para ensear a razonar.

El trabajo logstico para aprender a razonar axiomticamente las nociones fsicas delespacio, perdur hasta la invencin de las geometras no Euclideas. Es decir que se abripaso a la geometra formal a partir de la demostracin o reformacin del quinto postuladode Euclides, de tal manera que se oblig a distinguir entre la geometra como sistemaformal y la geometra fsica.

Fue Flix Klein, quien descubri un objeto matemtico, que caracterizaba a un conjunto uespacio definido en una operacin binaria a partir de unos axiomas. A esta singularidadFlix le llamo grupo, la cual despus origino la llamada teora de grupos que posibilitaba laorganizacin de las diferentes geometras y caracteriza las situaciones de una formasencilla.

Segn Campos (1986) Klein hace notar que la geometra clsica esta compuesta porpropiedades invariantes respecto a un determinado grupo. De donde, l infiere el principiode generalizacin de la geometra (P.201)

Este objeto matemtico llamado grupo de transformaciones se define como el estudio de losinvariantes de la geometra en ciertas transformaciones. Desde este punto de vista, Alsina,Prez y Ruiz (1989) ilustran que la geometra ya no solo consta de algebra y magnitudessino que consta de invariantes. La geometra seria desde entonces el estudio de laspropiedades de las figuras que permanecen invariantes con respecto a un grupo especficode transformaciones. La geometra no es esttica como en tiempos de Euclides, esdinmica. (P. 15)

Ahora sabiendo que existen otras geometras Por qu nos dedicamos al estudio solo de laaxiomatizacin y de repente reproducimos las fallas que existen del texto de Euclides?

Primero, cabe observar que en la escuela se ensea una extraa mezcla entre la geometraEuclidiana y de Hilbert o una en forma de la otra, es decir muestran, como teoremas sonpostulados de Euclides, adems se enfatiza en la memorizacin de un procedimientodeductivo.

La geometra no solo debe quedarse como un modelador intuitivo, ya que depender de laintuicin geomtrica no representa un anlisis ni una argumentacin rigurosa; aunque esteinstinto deductivo genere gran ayuda para la comprensin de las diversas representacionesde conceptos y objetos matemticos.

A partir de un ejemplo, mostraremos que la grfica geomtrica o como se especificara enmatemticas, la representacin geomtrica y la deduccin no permitira examinar porcompleto el anlisis que se merece el objeto matemtico.

Observemos el tringulo de la figura 1:

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Figura. 1. Tringulo ABC

Con el tringulo ABC, verificar que un lado del tringulo es menor que la suma de los otrosdos lados. En otra palabras se tiene que probar que AB < AC+CB

Si se sigue la axiomatizacin de la geometra euclidiana y de Hilbert tendramos lasiguiente deduccin:

Sea D un punto en la recta CB tal que C esta entre D y B y AC es congruente con DC,entonces el tringulo ACD es issceles y por tanto, el ngulo CDA es congruente con elngulo CAD

Figura. 2. Tringulo issceles

A simple vista, podemos observar que se empieza a armar supuestos y a realizar hiptesis apartir de la grfica del tringulo, sin tener hasta el momento un anlisis riguroso quejustifique cada paso.

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Lo mismo sucedera si se basa en la secuencia de hiptesis deductivas sin tener larepresentacin geomtrica pues esta se caracteriza por dar cierta claridad al momento de

analizar el problema.En un segundo momento tendramos que seguir la extensin del libro de Euclides y lageometra de Hilbert adaptada a partir de este, generara la creencia de un modelodeductivo insustituible que recorren cadenas de razones. Pero si no es la recitacin de losteoremas, entonces parece que la geometra en estos grados de enseanza pierde su raznde ser (P. 267).

La enseanza de la geometra consiste en hacer que un tipo de experienciaparticular se organice de una manera especial de modo que se conviertaen una rama de la actividad intelectual del alumno. Por ejemplo, utilizarun comps para trazar circunferencias no es todava una actividad

intelectual, pero saber lo que se puede hacer con un comps en el plano, silo es La demostracin axiomtica no es rigurosa y convincente por seraxiomtica, sino porque detrs del sistema lgico se encuentra laexperiencia del buen sentido y emprica que garantiza que los axiomasafirman un hecho intelectualmente aceptable. De donde resulta que laenseanza geomtrica no se empleara de un modo uniforme dedemostracin sino que, segn el nivel, se aceptara tal o cual pruebaGattegno.(P.153).

De tal modo que la enseanza de la geometra estara cuestionada por la finalidad delproceso de aprendizaje y del currculo desarrollado por las instituciones educativas, que en

definitiva se reduce al estudio memorstico y poco analtico de planas aritmticas quedescriben una etapa no plenamente desarrollada: hipottico-deductivo*1

Segn lo expresa Beth en Reflexiones sobre la organizacin y el mtodo de enseanzamatemtica citado por Alberto Campos (1987), el papel de la formacin matemtica en laenseanza geomtrica en la escuela consiste exclusivamente en: familiarizar a los alumnoscon el mtodo deductivo, pues creer que los nios no se encuentran en el nivel adecuadopara el desarrollo de un proceso ms avanzado que el emprico es catastrfico para eldesarrollo del aprendizaje matemtico; ya que bajo este pretexto no se tratara sino deensear a los alumnos un cierto nmero de teoremas geomtricos, que seran preferible presentarlos en forma dogmtica, pero este no soporta ningn examen crtico de losteoremas ni del procedimiento axiomtico manejado.

1*Mtodo que describe el desarrollo de un procedimiento cientfico a partir de la induccin, donde se forjanhiptesis para llegar a predicciones generales que rigen un todo; es decir, que a partir de hiptesis particularesse va a lo general. El trmino es utilizado en el libro Educacin Geomtrica de Campos, para especificar y encierta medida justificar porque no se logra la interpretacin de la geometra de acuerdo con la evolucin

psicolgica y a las etapas establecidas por Piaget para el desarrollo del pensamiento.

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Por tal razn, es conveniente hablar de generalidades a partir de propiedades algebraicasque describiran otro tipo de geometra que permita

enriquecer al aprendiz con ciertos hbitos de clculo, tratar de captar loque puedan tener en comn ciertas situaciones as como elentrelazamiento de las componentes de cada una de ellas; ejercicio deabstraccin de anlisis y de sntesis posiblemente ms enriquecedorcuanto que no debe consistir en recitar un texto sino en construiractivamente una experiencia. (P. 205)

Cabe especificar que al desarrollo de dicha geometra se divide en lo que hasta ahora seconocen como geometra topolgica, proyectiva, mtrica, fractal, hiperblica,.. etc., ynombrar que este trabajo va dirigido hacia la geometra mtrica que describe invariantescon respecto a la medida, es importante ya que el estudio de esta se enfocara en la medida

de los ngulos que posee el tringulo, para qu, por medio de estas lograr: conocer odeducir otras propiedades fundamentales de este.

2.3 DIDCTICA DE LA GEOMETRA

2.3.1 El modelo de los niveles de van Hiele.

El modelo de van Hiele tiene su origen en 1957 con las disertaciones doctorales de Dinavan Hiele-Geldof y Pierre van Hiele, esta es una teora de la didctica de la geometra quepropone cinco niveles jerrquicos que describen la evolucin del pensamiento geomtrico.

El modelo indica que el aprendizaje de la geometra se alcanza pasando por los niveles delpensamiento, y solo alcanzando un nivel se puede pasar al siguiente. Este modelo es la propuesta que consideramos describe de manera mas exacta como se desarrolla el pensamiento geomtrico en los individuos, y en consecuencia como debe orientarse eldesarrollo de las habilidades geomtricas desde formas intuitivas inciales, hasta nivelesformales finales.

Antes de describir los niveles, es necesario sealar otra consideracin alrededor de lapertinencia de la inclusin del modelo de Van Hiele como referente terico; en el procesode desarrollo del pensamiento geomtrico, todos los individuos alcanza niveles delpensamiento geomtrico superando otro, es decir, nos encontramos siempre en alguno delos niveles del pensamiento geomtrico, o alcanzando un nivel superior, el caso de nios ynias sordas no es diferente, menos aun considerando la habilidad de los nios y niassordas para la visualizacin, entendida esta de forma diferente a la percepcin.

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2.3.1.1 Visualizacin.

Es llamado tambin de familiarizacin, la caracterstica principal de este nivel es que losobjetos son percibidos como un todo, no se reconocen sus caractersticas y propiedades, porejemplo el individuo es capaz de reconocer algunos cuadrilteros, pero es incapaz de ver elcuadrado como un tipo especial de rombo, o el rombo como un paralelogramo.

2.3.1.2 Anlisis

En este nivel se perciben los componentes y algunas propiedades de los objetos, esta percepcin es conseguida no solo por medio de la visualizacin sino adems de laexperimentacin, y esta a su vez permite el reconocimiento de nuevas propiedades, sinembargo, en este nivel el individuo es incapaz de clasificar los objetos por sus propiedades.

2.3.1.3 Deduccin informal

Denominado tambin nivel de ordenacin o clasificacin, los estudiantes empiezan a pensarsobre las propiedades de los objetos, sin la limitacin de objetos particulares, en este nivel,son capaces de desarrollar relaciones entre objetos que tienen las mismas propiedades,dando lugar a la clasificacin lgica. Si los cuatro ngulos son rectos, la figura es unrectngulo. Si es un cuadrado, todos sus ngulos son rectos. Si es un cuadrado, entoncesdebe ser un rectngulo (Godino 1999) (P. 298). La clasificacin es posible por que se

adquiere un nivel de razonamiento que permite la utilizacin de silogismos, los sujetos eneste nivel, no solo comprenden las definiciones, sino que adems se reconoce laimportancia de estas en la geometra. Su razonamiento sobre las propiedades ycomponentes de los objetos, les permite por medio de anlisis informal hacer conjeturas.

Los dos niveles siguientes son de carcter ms formal, se denominan Deduccin formal yRigor, la no inclusin de sus respectivas descripciones responde a que los individuos quetienen las caractersticas de cada uno de estos niveles pertenecen generalmente, a nivelessuperiores de la educacin, no pretendemos con esta exclusin decir que los nios y niassordas estn imposibilitados a alcanzar estos niveles superiores del razonamientogeomtrico, lo que se pretende es aclarar que nuestros esfuerzos estn dirigidos hadesarrollo de la visualizacin, del anlisis y al desarrollo de la deduccin informal.

2.3.2 Procesos de visualizacin.

Dada la importancia de los procesos de visualizacin en el desarrollo del pensamientogeomtrico, es importante hacer una distincin entre los diferentes tipos de visualizacinpropuestos por Duval (1998). Los tipos de visualizacin tambin muestran la evolucin que

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puede tener la forma de mirar los objetos geomtricos, evolucionando desde nivelessimples de percepcin hasta el nivel en que se tiene la capacidad de operar los objetos.

2.3.2.1 Nivel global de percepcin visual.

Es nivel ms elemental de visualizacin, en que los objetos son concebidos como un todo,los conocimientos alcanzados este nivele de visualizacin son intuitivos, as, lacaracterstica principal de este tipo de visualizacin es la asociacin de las figuras con losobjetos conocidos por los individuos en la cotidianidad, en el nivel global de percepcinvisual se reconocen las formas prototpicas de las figuras geomtricas y se asocia a losnombres.

Figura. 3.Nivel global de percepcin visual

Por ejemplo, en el grafico no se reconocen aun los vrtices, ngulos, o segmentos de rectaque lo constituyen.

2.3.2.2 Nivel de percepcin de elementos constitutivos.

Es cuando se reconoce que un objeto geomtrico puede estar compuesto por elementoscomo ngulos, caras, y otros elementos que pueden no ser de su misma dimensin sino dedimensiones inferiores como puntos y segmentos.

Por ejemplo el estudiante reconocer los segmentos, los puntos, como elementosconstituyentes de los tringulos y adems, en este nivel de percepcin podr visualizarque un triangulo tiene tres alturas sin estar las alturas explcitamente graficadas, podr notartres ngulos internos que a su vez estn constituidos por lados y puntos que se llamanvrtices como en la figura 4.

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Figura. 4.Nivel de percepcin de elementos constitutivos

2.3.2.3 Nivel operatorio de percepcin visual.

En este nivel de visualizacin el individuo puede hace operaciones sobre las figuras, comotransformaciones geomtricas que le permitan hacer conjeturas, las rotaciones ytraslaciones juegan un papel importante durante el nivel operatorio de percepcin visual, pues en este nivel adems de ser importante el reconocimiento de los elementosconstitutivos de las figuras, tambin es importante hacer manipulaciones sobre estos

objetos, para obtener disposiciones distintas a las inciales.

Este nivel de visualizacin el individuo puede hacer conjeturas o verificar teoremas, escuando el estudiante puede notar que un ngulo externo de un triangulo es igual a la sumade los dos ngulos internos no adyacentes a l.

En efecto, un estudiante que visualice el triangulo ABC de la figura 4

En el nivel operatorio de percepcin visual en estudiante podr hacer proyecciones yrotaciones del triangulo ABC, de tal manera que el ngulo C y el ngulo A se hagacorresponder con el ngulo externo en B, como en la figura 5:

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Figura. 5.Nivel operatorio de percepcin visual

2.3.3 Ventajas de la geometra dinmica.

Para justificar el uso de las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin en laenseanza de la geometra, ya hemos aclarado la importancia que tienen los sistemas derepresentacin semitica en la educacin. Aunque las formas tradicionales de enseanza dela geometra tambin ofrecen la posibilidad de manejar sistemas de representacin, estasson generalmente representaciones estticas, as la utilizacin de software responde a lanecesidad de incorporar la geometra dinmica en el aula, pues como afirma Gmez (1997)

a la posibilidad de manejar los sistemas de representacin se agrega el aspecto dinmicode los sistemas que le permite al sujeto manipular los objetos matemticos y sus relaciones,construyendo una experiencia matemtica difcil de vivir de otra manera(P. 98).

Geogebra posibilita la percepcin de caractersticas en las figuras, adems su dinamismoofrece la posibilidad de manipular los objetos de estudio, permitiendo poner en evidenciaaspectos invariantes de estos, es decir, en un grfico se puede desplazar algunos elementosque lo constituyen, y se obtienen nuevos grficos que puede o no conservar lascaractersticas del inicial, lo anterior da cuenta de algunas ventajas que se tienen con lageometra dinmica, y que en comparacin con la geometra esttica permite lageneralizacin por medio de la manipulacin.

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2.4 TECNOLOGA

2.4.1 Las TIC como Herramienta Mediacional en el Proceso de Enseanza Aprendizaje.El desarrollo de las TIC ha generado grandes expectativas educativas durante las ltimasdcadas, su incorporacin en los currculos ha generado cambios en los modos deenseanza y aprendizaje, y consideramos pertinente reconocer las TIC como herramientamediacional en el proceso de enseanza aprendizaje. Debido a que las grandespotencialidades que estas pueden prestar a la exploracin, acercamiento y adquisicin delconocimiento.

Sin pretender que la utilizacin de las TIC en el aula sea la solucin a todos los problemasde enseanza y aprendizaje, reconocemos los aportes de las TIC a la educacin, y los

avances en el campo de la didctica de las matemticas, se hace adems importante analizarla influencia que tienen los software en la enseanza, influencia que analizamos acontinuacin y que justifican la utilizacin de las TIC como herramienta til para laeducacin y en particular la educacin matemtica.

3.4.2 Aporte de las TIC a la enseanza de las matemticas

Segn Pea, 1985; Cole & Griffin, 1980 (citado por Salat Figols, 2009), la tecnologa, msque una herramienta para ampliar las capacidades del ser humano, permite crear nuevasestructuras cognitivas (P.12) Y es a partir de este contexto que se pueden desprender laimportancia y modo de uso de esta en el aula de clase; ya que, la tecnologa transformapaulatinamente la naturaleza de las actividades y/o tareas, y a la vez los sistemas cognitivosde los individuos.

La construccin de conceptos matemticos requiere como hemos mencionado, de lainteriorizacin de objetos abstractos y para ello es indispensable pensar en sistemas derepresentacin que permitan visualizar los objetos de estudio.Las metodologas empleadas para la enseanza de las matemticas con tecnologa(computadores, programas de computador, calculadoras), no se pueden reducir a lamecanizacin de procedimientos algortmicos calculados a travs de estos, ni mucho menosproporcionar actividades sin sentido cognitivo.

El uso adecuado de la tecnologa en el aula de clase, debe proporcionar la resolucin deproblemas, la familiarizacin con los conceptos involucrados y un espacio para la reflexiny el desarrollo de conceptos.

Gmez (1997) manifiesta que la tecnologa

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Puede y debe ser catalizador de un proceso en el que diversos agentesdidcticos (profesor, diseadores de currculo, programa de computador)

crean espacios en los que el sujeto se enfrenta a un medio que les creaconflictos (perturbaciones del sistema) con los cuales el sujeto puedeavanzar en la construccin de su conocimiento matemtico (bsqueda deequilibrio del sistema) (P.99)

Por lo que es necesario reflexionar sobre el papel que los agentes didcticos (en particularel profesor) desempean cuando se incorpora la tecnologa en el aula, puesto que paracreacin de estos espacios perturbadores, se requiere de un profesor que los propicie, y elsujeto construya su conocimiento matemtico.

La necesidad de incorporar la tecnologa como apoyo para el aprendizaje de las

matemticas, se sustenta en el dinamismo que esta proporciona, segn Gmez (1997);La tecnologa ofrece la oportunidad para que se consolide no solamenteuna visin del contenido matemtico sino tambin nuevas visiones acercade las relaciones didcticas y del papel de los diversos agentes didcticosen el proceso de construccin del conocimiento matemtico por parte delsujeto (P.99).

Es decir, la tecnologa permite vivir experiencias matemticas que le concede materializar ymanipular directamente los objetos matemticos, adems ofrece retroalimentacininmediata para que el estudiante pueda descubrir sus errores, analizarlos y corregirlos.

Es importante reconocer que el profesor no puede ser sustituido por la tecnologa, pues del depende el sentido que se le otorgue al uso de esta. Lo que posiciona al profesor con unaresponsabilidad bidireccional: en primera instancia a la realizacin consciente de laintencionalidad con la cual realice la actividad y por efecto tendramos la construccinconceptual a travs de las dificultades y necesidades del estudiante.Segn Gmez (1997) tanto el profesor como el estudiante, al enfrentarse a estas nuevassituaciones pueden construir una nueva visin del contenido matemtico, del proceso deenseanza y aprendizaje y del papel que cada uno de ellos puede jugar en la construccindel conocimiento; por lo anterior, es fundamental fortalecer la formacin de los profesores,tanto en aspectos matemticos como pedaggicos para mejorar la enseanza de las

matemticas, sin recaer en la inconformidad, miedo y apata al uso de herramientastecnologas como Geogebra.

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2.4.3 Geogebra mediador en el aprendizaje matemtico.

Geogebra es un software libre, distribuido bajo la Licencia GNU GPL creado en el ao2001 por el profesor Markus Hohenwarter en la Universidad de Salzburgo, comoherramienta de enseanza- aprendizaje de las matemticas para secundaria. Aunque elsoftware no se hizo con el fin de aplicarlo para la enseanza de la geometra, este agrupauna serie de aplicaciones que permite desarrollar el entendimiento geomtrico.

Dado a que Geogebra recoge todas las herramientas de un software geomtrico dinmico,permite reconocer y conservar las diversas representaciones mediante diferentes sistemasde notacin, ya que facilita la construccin y razonamiento de objetos matemticos, dondedichas construcciones se definen a partir de propiedades cualitativas, premeditando lainterpretacin de las ecuaciones y en general, la geometra analtica.

Bsicamente Geogebra es un ordenador algebraico y geomtrico que esquematiza y renegeometra, algebra y calculo. Es quizs este tratamiento que le da a la notacin algebraicacon respecto a los elementos geomtricos dibujados de forma clsica, una de lascaractersticas ms relevantes de este software: la dualidad de la pantalla cuando seincorporan elementos algebraicos y de clculo, que desarrolla una relacin de equivalencia.Es decir, una expresin en la ventana algebraica se corresponde con un objeto de la ventanageomtrica, y viceversa; esto evita en cierta medida los problemas que se pueden generarcuando ocurren cambios de representaciones y adems permite la traduccin de lenguajes:natural (espaol-seas) y matemtico.Lo cual, causa una ventaja sobre los dems softwaregeomtricos existentes hasta el momento.

Adems de esto, Geogebra ofrece un sin nmero de caracterizas, no menos importante peroque si presentan los dems software por ser interactivos.

Las construcciones geomtricas jerarquizadas

Medio Interactivo.

Recuperacin y recopilacin de procedimientos

Geogebra posibilita la construccin mediante objetos dependientes e independientes, sepueden construir: puntos, segmentos, rectas, cnicas, polgonos; definir funciones; calculary graficar derivadas e integrales; transferir y trazar medidas, figuras, etc. De tal forma de

que algn cambio en los parmetros de la construccin de nivel superior generenmodificaciones en las construcciones o elementos dependientes.

A travs de esto, el estudiante puede crear un vnculo de descubrimiento con el software yapreciar las acciones realizadas cuantas veces sean necesario, ya que permite recolectar losmovimientos ejecutados y la informacin que genera el proceso de construccin.

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La desventaja de Geogebra es que no cuenta con una herramienta de animacin automticade objetos, lo que limita su potencial al momento de visualizar los objetos.

2.4.4 ngulos del tringulo y Geogebra

Segn Dieudonne, citado por Alberto Campos (1987), la nocin de triangulo es artificial,esto es por la poca interpretacin grfica, lgica y analtica que se genera respecto alconcepto.

El tringulo es la figura geomtrica quizs ms simple y ms utilizada en la escuela y en elentorno, tal vez lo sea por las representaciones que este adquiera en el camino de lasobservaciones y percepciones experimentadas de la cotidianidad, pero a pesar de esto, elconcepto de este se reduce a dos simples definiciones que lo caracterizan: la de tener tres

lados y tres ngulos (por etimologa de la palabra).

Como lo afirma Gmez (1993)

Es evidente que desde hace unos veinte aos el pensamiento geomtricoviene pasando por una profunda depresin en nuestra enseanzamatemtica inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del pensamientogeomtrico no me refiero a la enseanza de la geometra ms o menosfundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo mucho ms bsico y profundo que es el cultivo de aquellas porciones de lamatemtica que provienen de y tratan de estimular la capacidad del

hombre para explorar racionalmente el espacio fsico en que vive, lafigura, la forma fsica. (P. 21).

Geogebra permite estudiar figuras geomtricas en movimiento. Esta facultad adecua elestudio de la rigidez y deformabilidad del tringulo, logrando movimientos que conservanalgunas propiedades que definen el tringulo, es decir, con el fin de que tengan propiedadesinvariantes que estn sometidas a movimientos de las componentes de este.

La definicin del tringulo a travs de sus elementos permite comprobar de formaaproximada algunas propiedades de simetra e igualdad, mediante movimientos queconllevan al estudio mtrico.

Una de las propiedades del tringulo respecto a sus ngulos es: los ngulos externos que locomponen, que cumplen una medida especfica.

En un tringulo cualquiera ABC, tazar sus ngulos externos y calcular la suma de estos.

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Primero trazamos el tringulo ABC y prolongamos sus lados de modo que podamos hallarla medida de sus ngulos exteriores.

Figura. 6. Tringulo ABC con sus lados prolongados

Sabiendo que el ngulo exterior de un tringulo se define como el ngulo formando por unlado y la prolongacin de un lado adyacente a este, por tanto cada ngulo externo esconsecutivo y suplementario con un respectivo ngulo interno.

Notemos que al trazar las rectas AB, BC y AC, se forman en total cuatro ngulos alrededorde cada vrtice, estos ngulos son congruentes dos a dos por ser opuestos por el vrtice, elngulo opuesto al interno no es ngulo exterior, ya que ninguno de sus lados es ladotriangulo, por tanto consideramos cualquiera de los ngulos restante, pues son congruentes.

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Figura. 7. Tringulo ABC con sus ngulos exteriores

Podremos verificar que la suma de los ngulos externos de cualquier triangulo mide 360 yque as se modifique el tringulo la suma de ellos sigue siendo la misma.

Figura. 8. Triangulo ABC modificado con la adicin de los ngulos exteriores

La facilidad de definicin de estos movimientos, semejanzas y simetras; y la posibilidad deocultar lneas auxiliares nos admiten la bsqueda de elementos notables entre figurashomologas:

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Bsqueda por tanteo del centro y ngulo de giro o de ejes de simetra

Construccin de vectores de traslacin Construccin de figuras mediante movimientos

Con Geogebra es muy interesante la combinacin de elementos fijos y mviles paraestudiar cmo cambian algunas relaciones segn la distinta posicin de algunos elementos,como lo es diferenciar entre altura, bisectriz y mediana en un tringulo y de ellas recurrir alas relaciones mtricas de este.

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3. DISEO METODOLGICO

3.1 PERSPECTIVA EPISTEMOLGICA

Dado que nuestro objetivo es el grado de identificacin y reconocimiento que los nios ynias sordas poseen con respecto a las propiedades mtricas de los tringulos apoyndonosel software Geogebra, nuestra perspectiva epistemolgica atiende a intereses emprico-analticos, pues para reconocer el impacto de la utilizacin del software en el aula esnecesaria la interaccin directa con los objetos de investigacin. El diseo de lainvestigacin tiene segn lo anterior, un carcter cuantitativo, en el que se propone unahiptesis descrita mas adelante, que predice de alguna forma el xito de la utilizacin delsoftware Geogebra, frente al modelo tradicional utilizado por los docentes de dichainstitucin.

3.2 POBLACIN Y MUESTRA

Nuestra investigacin tendr lugar en el Instituto Tolimense para Sordos ITSOR, y lamuestra sern los estudiantes del grado quinto, en numero de estudiantes depender del aoen que tengamos la posibilidad de desarrollar nuestra investigacin. En este sentido,sabemos que la muestra en el grado quinto no va a exceder los 12 nios, debido a lascondiciones para adquirir a un centro escolar y a la edad con la que ingresan a ella.

En el momento, contamos con ocho nios, y por contar con una muestra tan pequeadebemos recurrir a una aplicacin generalizada de anlisis pre y post-test, que se define apartir de una prueba diagnostico a todo el curso de grado quinto donde la edad de los niosvara entre los 14 a 17 aos y son de estrato 1 y 2.

A groso modo lo que se pretende es realizar una prueba con pre-test para lograr identificarcada una de las carencias y falencias que poseen con respecto al desarrollo geomtrico delos tringulos, ms concretamente las propiedades y caractersticas de estos, luego con eldesarrollo de una unidad didctica y por medio del software se vern evaluados durantecada sesin que se acuerde con la profesora y el horario designado para las matemticas en

la institucin.Luego de permanecer varios meses en esta actividad, pues se regula un tiempo de un periodo acadmico para que los nios analicen e interpreten las propiedades de lostringulos que los lleve a la argumentacin no solo de tringulos sino de aquellas quefaciliten el proceso para la aprehensin de otros polgonos.

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Culminando esta etapa se recurrir a la prueba post test para observar si las actividadesdidcticas lograron los objetivos esperados a partir del software.

En las fases de la explicacin del mtodo a utilizar, se especificara ms detalladamente loque se pretende ejecutar y obtener a travs de esta tcnica de recoleccin de datos.

3.3 MTODO

El mtodo de la investigacin es de carcter cuasi-experimental, pues aunque es posiblecontrolar algunas variables que afectaran los resultados, sabemos tambin que existen otrasvariables sobre las cuales no tenemos control absoluto, en este caso la variable dependienteva ser medida antes y despus con un test para todo el grupo, con ello podremos observar sicon la utilizacin adecuada del software Geogebra mejoran las concepciones de triangulo,el mtodo consta de 4 fases as:

3.3.1 Fase 1

En esta fase se desarrollara y aplicara una prueba diagnstico y el test. Es necesarioreconocer en esta instancia la importancia que tiene el desarrollo y la aplicacin de estaprueba, pues con base en resultados arrojados, se diseara la estrategia didctica y lasunidades con las que pretendemos obtener los objetivos propuestos en nuestrainvestigacin, dada la importancia de la prueba diagnostico consideramos pertinente en esta

fase someterla al anlisis por parte de docentes con experiencia en investigacin, as comoal anlisis tambin de profesores con experiencia en educacin con nios y nias sordas.

Con la aplicacin de la prueba diagnostico pretendemos buscar respuesta a una de laspreguntas de investigacin; Tienen los nios y nias del quinto grado del instituto losconocimientos bsicos en geometra que les permita identificar los elementos queconstituyen los tringulos?, que darn paso al diseo del test.

El test nos conducir a la apropiacin y desarrollo de la actividad didctica, por tanto el testestar diseado con el fin de reconocer los conocimientos previos que poseen losestudiantes, y que consideramos bsicos para el estudio de las propiedades y caractersticasde los tringulos, y por tanto en nuestra investigacin.

El perfeccionamiento del test y sus resultados, incidirn de manera significativa en eldiseo de nuestra estrategia didctica que tiene lugar un la segunda fase.

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3.3.2 Fase 2

Durante la segunda fase se utilizaran los resultados arrojados en el test para conocer lasdificultades y fortalezas que presentan los nios y nias sordas, en esta fase tendremos losresultados de dicha prueba y por tanto, respuesta a una de las preguntas planteadas, enefecto, su diseo ser tal que se reconocern si los nios o nias tienen los conocimientosbsicos en geometra para conocer los elementos que constituyen los triangulo, as, eldiseo de la estrategia y de las unidades didcticas tendr como referencia los resultadosarrojados en la prueba y el test, esta estrategia y sus unidades didcticas.

Estos resultados arrojados por el test son la base para trabajar el grupo, pero la diferencia esque a cada nio se aplicaran estrategias distintas, debido a las diversas formas de

concepcin matemtica que pueden surgir mediante sus interpretaciones y posibleslimitaciones del lenguaje, cuando nos basemos en el uso de Geogebra.

3.3.3 Fase 3

La utilizacin de la estrategia didctica y el desarrollo de las unidades didcticas tendrnlugar en la fase tres de la investigacin, el desarrollo de la unidad didctica estarsupeditada en primera instancia al reconocimiento de la figura triangulo, y cada una de suscaractersticas de forma.

En un segundo momento, las actividades estaran dirigidas a la resolucin de problemas, apartir de la comprensin de cada uno de los componentes del tringulo, de tal forma que seaposible comprender algunas de las propiedades de estos, haciendo nfasis en la propiedadde los ngulos que componen el tringulo. Debido a que consideramos que esta propiedades la base de la cual se desprende el desarrollo de las restantes propiedades que caracterizana los tringulos.

Como tercera instancia se trabajara la profundizacin del tema mediante la actividaddirecta e individualizada de la interpretacin de la situacin problema mediante el uso deGeogebra, para as garantizar en cierta medida el anlisis meticuloso de la propiedad deltringulo.

Ya trabajado esta parte, nos restara interpretar cada una de las propiedades que se logrendesarrollar en problemas o situaciones con mayor grado de dificultad.

A manera dar un paso ms, relacionaramos las propiedades de los tringulos con la deotros polgonos regulares, para tratar de establecer un avance no solo en las nociones ypropiedades de triangulo sino de diversos polgonos fundamentales.

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El desarrollo de las actividades didcticas irn fundamentadas por el uso del softwareGeogebra, por tal motivo , estos tres momentos que se plantearon anteriormente, deben ir

justificados con las ventajas que el software puede brindarnos a la hora de realizarse lacompresin de dicho objeto matemtico.

3.3.4 Fase 4

En esta fase recogeremos y analizaremos los resultados arrojados por el test, ycomprobaremos que la incorporacin del software con las caractersticas que proponemoses en efecto til para la conceptualizacin de las propiedades mtricas de los tringulos, portanto es posterior a esta ltima fase que haremos las conclusiones respectivas.

3.4 DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

Las actividades didcticas se piensan desarrollar en sesiones de dos horas semanales deacuerdo al horario que se le otorgue al desarrollo de la geometra en la institucin y ladisponibilidad del profesor para trabajar geometra de los tringulos durante 3 meses.

Con respecto a los recursos tecnolgicos que posee la institucin, no presentamos mayordificultad, debido al limitado nmero de estudiantes que se tiene el grado quinto.

No obstante, por los pasos definidos para el desarrollo de la actividad, debemos darprioridad al desarrollo visual que ejecutan los nios sordos, para promover el aprendizajede la geometra, a partir de las diversas representaciones que Geogebra le permitevisualizar: sistema algebraico, grfico y aritmtico.

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