Upload
phamkhanh
View
248
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PROYEKSI PENDUDUK DENGAN PROSES
KELAHIRAN DAN KEMATIAN
SITI MARIA ULFA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Proyeksi
Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian adalah karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Oktober 2012
Siti Maria Ulfa
NIM G551090051
ABSTRACT
SITI MARIA ULFA. Population Projection with Birth and Death Process. Under
supervision of HADI SUMARNO and ALI KUSNANTO.
A population projection is a scientific calculation based on certain
assumptions of births, deaths, and migration. These three components determine
the size of the population in the future. The aims of this study are to develop
population projection model using birth and death process and to apply the model
to Indonesian population data. This study uses four steps of modelling process.
First, we develop a model of birth and death process with migration. Second, we
verify the model using 1990 Indonesian population data and compare the result
with the real data. Third, using the model we estimate population projection for
the years 2000-2025 based on Indonesian population data of the year 2000 and
compare the result with population projection for years 2000-2025 by BPS.
Finally, we estimate population projection for years 2010-2035 based on
Indonesian population data of the year 2010. The advantage of this model is that
we can give the confidence interval of the estimate besides the value of
estimation. The difference between our projection based on 1990 Indonesian data
and the real data is below 10%, and the difference between our projection based
on Indonesian data of the year 2000 and projection by BPS is less than 6%.
Keywords: population projection, birth and death process.
RINGKASAN
SITI MARIA ULFA. Proyeksi Penduduk dengan Proses kelahiran dan Kematian.
Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ALI KUSNANTO.
Dalam rangka perencanaan pembangunan di segala bidang, diperlukan
informasi mengenai keadaan penduduk seperti jumlah penduduk, persebaran
penduduk, dan susunan penduduk menurut umur. Hampir semua rencana
pembangunan perlu ditunjang dengan data jumlah penduduk. Data yang
diperlukan tidak hanya menyangkut keadaan pada waktu rencana itu disusun,
tetapi juga informasi masa lampau dan yang lebih penting lagi adalah informasi
perkiraan pada waktu yang akan datang. Data penduduk pada waktu yang lalu dan
waktu kini sudah dapat diperoleh dari hasil-hasil survey dan sensus, sedangkan
untuk memenuhi kebutuhan data penduduk pada masa yang akan datang perlu
dibuat proyeksi penduduk. Proyeksi penduduk merupakan suatu perhitungan
ilmiah yang didasarkan pada asumsi dari komponen-komponen laju pertumbuhan
penduduk, yaitu kelahiran, kematian dan perpindahan (migrasi). Ketiga komponen
inilah yang menentukan besarnya jumlah penduduk di masa yang akan datang.
Salah satu proses stokastik yang bisa di gunakan untuk proyeksi penduduk adalah
proses kelahiran dan kematian, dimana model tersebut dapat digunakan untuk
memprediksi laju pertumbuhan penduduk pada suatu negara.
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mengkaji model
kelahiran dan kematian tanpa dan dengan migrasi serta mempertimbangkan
varian. Selanjutnya mengaplikasikan model tersebut pada data penduduk
Indonesia tahun 1990-2010. Untuk melihat validitas dan realibilitas hasil proyeksi,
model dibandingkan denga data riil tahun 1995, 2000, 2005 dan 2010 serta
dibandingkan dengan data hasil proyeksi BPS tahun 2000-2025. Selanjutnya
model tersebut digunakan untuk memproyeksikan penduduk Indonesia sampai
dengan tahun 2035 berdasarkan data tahun 2010.
Penelitian ini menggunakan data sekunder, yaitu data jumlah penduduk
Indonesia tahun 1990-2010. Nilai awal yang digunakan untuk membandingkan
dengan data riil adalah data tahun 1990 yaitu CBR (Angka Kelahiran Kasar)
sebesar 0,0257, CDR (Angka Kematian Kasar) sebesar 0,007 dan angka migrasi
sebesar -0.0015. Sedangkan nilai awal untuk membandingkan dengan data hasil
proyeksi BPS adalah data tahun 2000, yaitu CBR (angka kelahiran kasar) sebesar
0,0184; CDR (angka kematian kasar) sebesar 0,00637 dan angka migrasi sebesar
0,0001.
Model ini memberikan tingkat kesalahan di bawah 10% dibandingkan
dengan data riil. Hasil Proyeksi Penduduk Indonesia sampai tahun 2025
berdasarkan data tahun 2000 memberikan selisih di bawah 6% dibandingkan
dengan proyeksi dari BPS.
Dengan demikian secara umum dapat disimpulkan bahwa hasil proyeksi
model ini tidak jauh berbeda dengan proyeksi BPS maupun kondisi riil. Kelebihan
dari model kelahiran dan kematian dibandingkan dengan model deterministik
adalah telah dipertimbangkannya pengaruh acak antar individu sehingga dapat
dihitung selang kepercayannya. Dari hasil proyeksi juga dapat dilihat bahwa
seiring dengan bertambahnya waktu, lebar dari selang kepercayaannya semakin
meningkat. Hal ini menunjukkan bahwa ketelitian hasil proyeksi semakin
menurun dengan bertambahnya waktu proyeksi.
Kata kunci: proyeksi penduduk, proses kelahiran dan kematian
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2012
Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian,
penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau
tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut
Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh
karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
PROYEKSI PENDUDUK DENGAN PROSES
KELAHIRAN DAN KEMATIAN
SITI MARIA ULFA
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul Tesis : Proyeksi Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian
Nama : Siti Maria Ulfa
NRP : G551090051
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana
Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr
Tanggal Ujian: 28-08-2012 Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-
Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih pada
penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Oktober 2011 ini adalah Proyeksi
Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian.
Dalam kesempatan kali ini penulis hendak menyampaikan terima kasih tak
hingga kepada Allah SWT, atas segala nikmat dan kasih sayang-NYA yang tiada
batas. Kepada suami tercinta, Hery Widiyanto, atas doa dan dukungannya.
Kepada Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si masing-masing
selaku ketua dan anggota Komisi Pembimbing.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I. Wayan Mangku, M.Sc
selaku penguji luar Komisi dan Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku ketua
Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak memberikan saran. Ucapan
terima kasih juga penulis disampaikan pada Departemen Agama Republik
Indonesia yang telah memberikan beasiswa.
Ungkapan terima kasih tak terhingga juga penulis sampaikan kepada suami,
bapak, ibu, adik-adikku dan seluruh keluarga, serta semua teman seperjuangan,
atas segala doa, pengorbanan, dukungan dan kasih sayangnya. Semoga karya
ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Oktober 2012
Siti Maria Ulfa
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Malang, Jawa Timur pada tanggal 3 Februari 1978 dari
ayah M. Hasyim dan ibu Mulyati. Penulis merupakan putri pertama dari lima
bersaudara.
Tahun 1995 penulis lulus dari Madrasah Aliyah Negeri I Malang, dan
masuk Universitas Muhammadiyah Malang. Penulis memilih Jurusan Matematika
pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan dan selesai pada tahun 2000.
Tahun 2003 penulis menjadi staf pengajar di Madrasah Aliyah Khairul
Bariyyah, Bekasi. Pada tahun 2009 penulis lulus seleksi masuk Program Magister
Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur
Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ………………………………………………………… xii
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………… xiii
DAFTAR LAMPIRAN……………………………………………………… xiv
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1
1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................... 2
II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Kelahiran Murni ..................................................................... 3
2.2 Proses Kematian Murni...................................................................... 5
III METODE PENELITIAN
3.1 Sumber Data ..................................................................................... 9
3.2 Prosedur Penelitian ............................................................................ 9
IV MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN
4.1 Model Kelahiran Murni ................................................................... 11
4.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi ................................. 13
4.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi .............................. 16
V APLIKASI MODEL
5.1 Model Kelahiran Murni ................................................................... 19
5.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi ................................. 19
5.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi .............................. 20
5.4 Proyeksi Penduduk menggunakan Data BPS Tahun 2000 ............... 21
5.5 Proyeksi Penduduk menggunakan Data BPS tahun 2010.................. 22
BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN
6.1 Kesimpulan ...................................................................................... 23
6.2 Saran ................................................................................................. 23
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Hasil simulasi model kelahiran murni dari tahun 1990 -2010 ……….. 19
2 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi dari tahun
1990- 2010 …………………………………………………………… 20
3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi dari
tahun 1990- 2010 ……………………………………………………. 20
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Perbandingan antara data hasil proyeksi memakai model dengan data
proyeksi BPS tahun 2000-2025 ............................................................ 21
2 Proyeksi penduduk tahun 2010-2035 berdasarkan data tahun 2010 .... 22
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Definisi-definisi .................................................................................... 27
2 Hasil simulasi model kelahiran murni tahun 1990-2010 berdasarkan
data tahun 1990 .................................................................................... 34
3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi tahun
1990-2010 berdasarkan data tahun 1990 ............................................. 35
4 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi tahun
1990-2010 berdasarkan data tahun 1990.............................................. 36
5 Proyeksi penduduk tahun 2001-2025 berdasarkan data tahun 2000 .... 37
6 Proyeksi penduduk tahun 2011-2035 berdasarkan data tahun 2010 .... 38
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam rangka perencanaan pembangunan di segala bidang, diperlukan
informasi mengenai keadaan penduduk seperti jumlah penduduk, persebaran
penduduk, dan susunan penduduk menurut umur. Hampir semua rencana
pembangunan perlu ditunjang dengan data jumlah penduduk. Data yang
diperlukan tidak hanya menyangkut keadaan pada waktu rencana itu disusun,
tetapi juga informasi masa lampau dan yang lebih penting lagi adalah informasi
perkiraan pada waktu yang akan datang. Data penduduk pada waktu yang lalu dan
waktu kini sudah dapat diperoleh dari hasil-hasil survey dan sensus, sedangkan
untuk memenuhi kebutuhan data penduduk pada masa yang akan datang perlu
dibuat proyeksi penduduk yaitu perkiraan jumlah penduduk di masa mendatang.
Demografi adalah studi tentang jumlah, komposisi dan distribusi
penduduk, manusia dan perubahan-perubahan dari aspek-aspek tersebut yang
senantiasa terjadi sebagai akibat bekerjanya 5 (lima) proses yaitu fertilitas
(kelahiran), mortalitas (kematian), perkawinan, migrasi dan mobilitas sosial.
Salah satu unsur demografi yang sering menarik perhatian bagi mereka yang
mempelajari ilmu kependudukan adalah proyeksi penduduk. Hal ini karena
pengetahuan yang berkaitan dengan keadaan penduduk suatu daerah di masa
depan mempunyai beragam kegunaan seperti penyusunan rencana pembangunan
sosial ekonomi daerah yang bersangkutan.
Ada banyak model proyeksi penduduk, di antaranya adalah model
pertumbuhan geometris, model eksponensial, dan model logistik. Semua model
tersebut termasuk model deterministik karena tidak memperhitungkan adanya
pengaruh acak antar individu. Model matematika lain yang dapat digunakan untuk
memprediksi ataupun menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan kita
sehari-hari adalah proses stokastik. Proses stokastik merupakan suatu model yang
berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Salah satu proses stokastik yang
bisa kita gunakan untuk proyeksi penduduk adalah proses kelahiran dan kematian.
Pentingnya proses stokastik dalam kaitannya dengan masalah
pertumbuhan penduduk ditunjukkan oleh Feller (1939), dalam proses kelahiran
2
dan kematian, dengan asumsi tingkat kelahiran dan kematian adalah konstan,
dilambangkan dengan λ0 dan µ0. Proses kelahiran murni pertama kali dipelajari
oleh Yule pada tahun 1924 dan Furry pada tahun 1937 (Ricciardi, 1986).
Kelemahan dari teori Yule-Furry adalah tidak diperhitungkannya peluang dari
spesies yang akan punah dan mengabaikan perbedaan banyaknya spesies yang ada
pada setiap populasi. Sehingga pada tahun 1939 Feller memperkenalkan suatu
teori tentang proses kelahiran dan kematian (Ricciardi, 1986). Sejak saat itu,
proses ini digunakan sebagai model untuk pertumbuhan populasi dan akan kita
pakai sebagai dasar membuat model yang bisa digunakan untuk memproyeksi
jumlah penduduk pada masa yang akan datang.
Penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Susilawati (2005) telah
membahas masalah model proses kelahiran sederhana dan model proses kematian
sederhana, model proses kelahiran dan kematian, tanpa dan dengan migrasi.
Namun pada model proses kelahiran dan kematian dalam penelitian Susilawati
(2005) belum membahas tentang varian. Berdasarkan hal itu, maka penulis
mencoba untuk melengkapi model tersebut dengan mencari varian pada model
proses kelahiran dan kematian, tanpa dan dengan migrasi, kemudian
mengaplikasikannya pada data penduduk Indonesia.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah:
1. Mengkaji model kelahiran dan kematian.
2. Mengkaji model kelahiran dan kematian dengan migrasi serta
mempertimbangkan varian.
3. Mengaplikasikan model proses kelahiran dan kematian tanpa dan dengan
migrasi pada data penduduk Indonesia.
3
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Kelahiran Murni
Proses kelahiran murni merupakan proses dimana ada individu yang
datang (lahir) pada suatu sistem (populasi) dan tidak pernah ada yang pergi (mati)
dari sistem tersebut. Diasumsikan peluang suatu individu akan menghasilkan satu
individu baru dalam interval waktu (𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡) adalah λ𝛿𝑡, dengan δ𝑡 yang cukup
kecil dan λ yang menunjukkan laju kelahiran, maka peluang dari seluruh populasi
yang terdiri atas 𝑋(𝑡) individu pada saat 𝑡 dengan interval waktu (𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡)
adalah λ𝑋(𝑡) 𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡). Laju perubahan peluang pada saat t ada sebanyak 𝑛
individu, dapat dirumuskan sebagai persamaan diferensial orde satu sebagai
berikut
𝑑𝑃𝑛𝑑𝑡
= λ(𝑛 − 1)𝑃𝑛−1(𝑡) − λ𝑛𝑃𝑛(𝑡). (1)
Persamaan tersebut diperoleh dengan menentukan peluang dari banyaknya
individu pada interval waktu (𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah 𝑛 individu.
𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑛)
= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛,𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝑋(𝑡) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 − 1, 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) −
𝑋(𝑡) = 1) + ∑ 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 − 𝑘,𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑋(𝑡) = 𝑘)𝑛𝑘=2
= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛)𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 − 1)𝑃(𝑋(𝛿𝑡) −
𝑋(0) = 1) + 𝑜(𝛿𝑡)
= 𝑃𝑛(𝑡)𝑃0 (𝛿𝑡) + 𝑃𝑛−1(𝑡)𝑃1(𝛿𝑡) + 𝑜(𝛿𝑡)
= 𝑃𝑛(𝑡)1 − λ𝑛𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) + 𝑃𝑛−1(𝑡)λ(𝑛 − 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) + 𝑜(𝛿𝑡)
= 𝑃𝑛(𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)λ𝑛𝛿𝑡 + 𝑃𝑛−1(𝑡)λ(𝑛 − 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) .
Kedua ruas dibagi dengan 𝛿𝑡, maka
𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)𝛿𝑡
=𝑃𝑛−1(𝑡)λ(n − 1)δt + o(δt) − 𝑃𝑛(𝑡)λnδt
δt
𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)𝛿𝑡
= 𝑃𝑛−1(𝑡)λ(𝑛 − 1) − 𝑃𝑛(𝑡)λ𝑛 +𝑜(𝛿𝑡)𝛿𝑡
Setelah dilimitkan dengan δt → 0, diperoleh persamaan (1).
4
Nilai awal 𝑃𝑛(0) = 𝑃𝑋(0) = 𝑛 = 1,𝑛 = 𝑗0,𝑛 ≠ 𝑗 , dengan 𝑗 > 0, yang
menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan. Dengan kata lain jika
𝑗 = 0, maka proses kelahiran tidak akan terjadi.
Solusi dari persamaan (1), untuk 𝑛 = 𝑗 adalah 𝑃𝑗(𝑡) = 𝑒−λ𝑗𝑡.
Untuk 𝑛 > 𝑗, diambil 𝑛 = 𝑗 + 1 sehingga diperoleh 𝑃𝑗+1(𝑡) = 𝑗𝑒−λ𝑗𝑡(1 −
𝑗𝑒−λ𝑡).
Untuk 𝑛 = 𝑗 + 𝑘 diperoleh 𝑃𝑗+𝑘(𝑡) = 𝑗+𝑘−1𝑗−1 𝑒−λ𝑗𝑡1 − 𝑒−λ𝑡𝑘.
Jika 𝑛 = 𝑗 + 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑛 + 𝑗, maka persamaannya menjadi sebagai berikut
𝑃𝑛(𝑡) = 𝑗+𝑛−𝑗−1𝑗−1 𝑒−λ𝑗𝑡1 − 𝑒−λ𝑡𝑛−𝑗
= 𝑛−1𝑗−1 𝑒−λ𝑗𝑡1 − 𝑒−λ𝑡
𝑛−𝑗. (2)
Persamaan (2) merupakan sebaran binom negatif, berarti banyaknya populasi
pada sebarang waktu t memiliki sebaran binom negatif dengan peluang sukses
𝑒−λ𝑡. Dengan 𝑝 = 𝑒−λ𝑡 dan 𝑞 = 1 − 𝑝 maka fungsi pembangkit momennya
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑝𝑗(−𝑗)(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗 (3)
Turunan pertama persamaan (3) pada t = 0 adalah :
𝑀′𝑥(𝑡) = 𝑝𝑗(−𝑗)(1− 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−1(−𝑞𝑒𝑡) = 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−1
𝑀′𝑥(0) = 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒0(1 − 𝑞𝑒0)−𝑗−1 = 𝑗𝑝𝑗𝑞(1 − 𝑞)−𝑗−1
= 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑝−𝑗−1
= 𝑗𝑞𝑝
.
Turunan keduanya pada t = 0 adalah:
𝑀′′𝑥(𝑡) = 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(−𝑗 − 1)(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−2(−𝑞𝑒𝑡)
= 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(𝑗 + 1)(1− 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−2(𝑞𝑒𝑡)
𝑀′′𝑥(0) = 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒0(1 − 𝑞𝑒0)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒0(𝑗 + 1)(1 − 𝑞𝑒0)−𝑗−2(𝑞𝑒0)
= 𝑗𝑝𝑗𝑞(1 − 𝑞)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞(𝑗 + 1)(1 − 𝑞)−𝑗−2(𝑞)
= 𝑗𝑝𝑗𝑞(𝑝)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞2(𝑗 + 1)(1 − 𝑞)−𝑗−2
= 𝑗𝑝−1𝑞 + 𝑗(𝑗 + 1)𝑝−2𝑞2 = 𝑗𝑞𝑝
+ 𝑗(𝑗 + 1) 𝑞2
𝑝2 .
Nilai harapan diperoleh dari turunan pertama persamaan (3) pada t = 0, sehingga
5
𝛦[𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗] = 𝑗(1−𝑒−𝜆𝑡)𝑒−𝜆𝑡
= 𝑗(𝑒𝜆𝑡 − 1) (4)
Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan (3) pada 𝑡 = 0 dikurangi kuadrat
dari turunan pertama persamaan (3) pada 𝑡 = 0,
𝑉𝑎𝑟𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗 = 𝑀′′𝑥(0) −𝑀′
𝑥(0))2
= 𝑗𝑞𝑝
+ 𝑗(𝑗 + 1) 𝑞2
𝑝2− (𝑗𝑞
𝑝)2
=𝑗𝑞𝑝
+ 𝑗2𝑞2
𝑝2+ 𝑗
𝑞2
𝑝2− (
𝑗𝑞𝑝
)2
= 𝑗𝑞𝑝
+ 𝑗 𝑞2
𝑝2
= 𝑗 𝑞𝑝
(1 + 𝑞𝑝
)
= 𝑗 1−𝑒−𝜆𝑡
𝑒−𝜆𝑡1 + 1−𝑒−𝜆𝑡
𝑒−𝜆𝑡
= 𝑗𝑒 𝜆𝑡 − 1(1 + 𝑒 𝜆𝑡 − 1)
= 𝑗𝑒 𝜆𝑡(𝑒 𝜆𝑡 − 1). (5)
Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa populasi akan semakin meningkat seiring
bertambahnya waktu t dengan keragaman yang semakin bervariasi.
2.2 Proses Kematian Murni
Proses kematian murni adalah proses di mana ada individu yang pergi
(mati) dari suatu sistem (populasi) dan tidak pernah ada yang datang (lahir) ke
sistem tersebut. Proses ini menyebabkan banyaknya populasi yang ada mengalami
penurunan. Diasumsikan peluang suatu individu akan mati pada interval waktu
(𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah µδ𝑡, dengan δ𝑡 yang cukup kecil dan µ yang menunjukkan laju
kematian, maka peluang dari seluruh populasi yang terdiri atas 𝑋(𝑡) individu pada
saat 𝑡 dengan interval waktu (𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah µ𝑋(𝑡) δ𝑡 + 𝑜(δ𝑡). Laju perubahan
peluang pada saat 𝑡 ada sebanyak 𝑛 individu, dapat dirumuskan sebagai
persamaan diferensial orde satu sebagai berikut
𝑑𝑃𝑛𝑑𝑡
= µ(𝑛 + 𝑡)𝑃𝑛+1(𝑡) − µ𝑛𝑃𝑛(𝑡). (6)
Persamaan tersebut didapat dengan menentukan peluang dari banyaknya
individu pada interval waktu (𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah 𝑛 individu.
𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑛)
= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛,𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝑋(𝑡) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 + 1, 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡 −
6
𝑋(𝑡) − 1 + ∑ 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 + 𝑘,𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑋(𝑡) = −𝑘)𝑛𝑘=2
= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛)𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 + 1)
𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = −1) + 𝑜(𝛿(𝑡)
= 𝑃𝑛(𝑡)𝑃0 (𝛿𝑡) + 𝑃𝑛+1(𝑡)𝑃−1(𝛿𝑡) + 𝑜(𝛿𝑡)
= 𝑃𝑛(𝑡)1 − µ𝑛𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) + 𝑃𝑛+1(𝑡)µ(𝑛 + 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡)
= 𝑃𝑛(𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)µ𝑛𝛿𝑡 + 𝑃𝑛−1(𝑡)µ(𝑛 − 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡)
Kedua ruas dibagi dengan 𝛿𝑡, maka
𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)𝛿𝑡
=𝑃𝑛+1(𝑡)µ(𝑛 + 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)µ𝑛𝛿𝑡
𝛿𝑡
𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)𝛿𝑡
= 𝑃𝑛+1(𝑡)λ(𝑛 + 1) − 𝑃𝑛(𝑡)µ𝑛 +𝑜(𝛿𝑡)𝛿𝑡
Setelah dilimitkan dengan δt → 0, diperoleh persamaan (6).
Nilai awal 𝑃𝑛(0) = 𝑃𝑋(0) = 𝑛 = 1,𝑛 = 𝑗0,𝑛 ≠ 𝑗 , dengan 𝑗 > 0 yang
menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan.
Solusi dari persamaan (6) untuk 𝑛 = 𝑗 adalah 𝑃𝑗(𝑡) = 𝑒−µ𝑗𝑡, untuk 𝑛 < 𝑗,
ambil 𝑛 = 𝑗 − 1, sehingga diperoleh 𝑃𝑗−1(𝑡) = 𝑗𝑒−µ(𝑗−1)𝑡(1 − 𝑗𝑒−µ𝑡). (7)
Nilai 𝑛≤𝑗 diambil karena pada proses kematian, banyaknya populasi semakin
menurun dari waktu ke waktu.
Selanjutnya persamaan (7) dibuat dalam bentuk kombinasi, sehingga
𝑃𝑗−1(𝑡) = 𝑗𝑗−1 (𝑒−µ𝑡)𝑗−1(1 − 𝑒−µ𝑡)𝑗−(𝑗−1).
Untuk 𝑛 = 𝑗 − 𝑘, diperoleh
𝑃𝑗−𝑘(𝑡) = 𝑗𝑗−𝑘 (𝑒−µ𝑡)𝑗−𝑘(1− 𝑒−µ𝑡)𝑗−(𝑗−𝑘).
Bentuk umumnya adalah,
𝑃𝑛(𝑡) = 𝑗𝑛(𝑒−µ𝑡)𝑛(1− 𝑒−µ𝑡)𝑗−𝑛. (8)
Persamaan (8) merupakan sebaran binom, berarti banyaknya populasi pada
sebarang waktu t memiliki sebaran binom dan mempunyai fungsi pembangkit
momen
𝑀𝑥(𝑡) = (𝑝𝑒𝑡(1 − 𝑝))𝑛, dengan 𝑝 = 𝑒−µ𝑡. (9)
Turunan pertama persamaan (3) pada 𝑡 = 0 adalah :
𝑀′𝑥(𝑡) = 𝑛(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒𝑡
𝑀′𝑥(0) = 𝑛(𝑝𝑒0 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒0 = 𝑛𝑝
7
Turunan keduanya pada 𝑡 = 0 adalah:
𝑀′′𝑥(𝑡) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−2𝑝𝑒𝑡𝑝𝑒𝑡 + 𝑛(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒𝑡
= 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−2𝑝𝑒2𝑒2𝑡 + 𝑛(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒𝑡.
𝑀′′𝑥(0) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝𝑒0 + (1 − 𝑝))𝑛−2𝑝2𝑒0 + 𝑛(𝑝𝑒0 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒0.
= 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 + 𝑛𝑝.
= 𝑛2𝑝2 − 𝑛𝑝2 + 𝑛𝑝.
Nilai harapan diperoleh dari turunan pertama persamaan (9) pada 𝑡 = 0,
sehingga
𝛦[𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗] = 𝑗𝑒−µ𝑡
Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan (9) pada 𝑡 = 0 dikurangi kuadrat
dari turunan pertama persamaan (5) pada 𝑡 = 0,
𝑉𝑎𝑟𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗 = 𝑀′′𝑥(0) −𝑀′
𝑥(0))2
= (𝑛2𝑝2 − 𝑛𝑝2 + 𝑛𝑝) − (𝑛𝑝)2
= 𝑛𝑝 − 𝑛𝑝2
= 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
= 𝑗𝑒−µ𝑡(1 − 𝑒−µ𝑡). (10)
Terlihat bahwa banyaknya populasi dan ragamnya menurun secara eksponensial
seiring bertambahnya waktu. Dapat diprediksikan populasi akan punah setelah
waktu yang lama. Definisi-definisi yang diperlukan dalam pembahasan ini dapat
dilihat pada Lampiran 1.
9
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Sumber Data
Penelitian ini menggunakan data sekunder dan merupakan data jumlah
penduduk yang ada di Indonesia. Data yang diambil adalah data hasil sensus BPS
tahun 1990, 2000, 2010 dan data hasil supas BPS tahun 1995, 2005, serta data
hasil proyeksi BPS selama lima belas tahun, dari tahun 2011-2025. Sumber data
diambil dari hasil Sensus dan Supas BPS Indonesia (http://www.datastatistik-
indonesia.com/proyeksi dan http://www.bps.go.id).
3.2 Prosedur Penelitian
1. Mengkaji teori proses kelahiran dan kematian.
2. Mengkaji model proses kelahiran dan kematian dengan migrasi, dengan
memasukkan unsur varian.
3. Mengevaluasi model pada data penduduk Indonesia berdasarkan data
tahun 1990 terhadap data BPS 1995, 2000, 2005 dan 2010.
4. Selanjutnya berdasarkan data tahun 2000 akan di kembangkan untuk
proyeksi penduduk sampai tahun 2025 dan membandingkannya dengan
data hasil proyeksi BPS untuk memperoleh selang kepercayaan.
5. Berdasarkan data BPS tahun 2010, akan buat proyeksi penduduk sampai
tahun 2035.
11
BAB IV
MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN
4.1 Model Kelahiran Murni
Model ini hanya mempertimbangkan jumlah kelahiran saja dan
mengabaikan jumlah kematian, dengan jumlah awal populasi pada waktu 𝑡 adalah
𝑋(𝑡), 𝑡 ≥ 0 dan λ menyatakan laju kelahiran. Karena 𝑀1(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑖]
maka akan didapatkan persamaan diferensial yang dipenuhi oleh 𝑀1(𝑡). Sebelum
mencari nilai harapan dari 𝑋(𝑡), sebagai awalan harus diingat bahwa:
𝑋(𝑡 + ℎ) = 𝑋(𝑡) + 1 , dengan peluang λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡)
, dengan peluang 1 − λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)
𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = (𝑋(𝑡) + 1)λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) + 𝑋(𝑡)1 − λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)
= 𝑋2(𝑡)λℎ + λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋(𝑡) − 𝑋2(𝑡)λℎ + 𝑜(ℎ) = 𝑋(𝑡) + λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)
Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡), sehingga:
𝐸[𝐸(𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡))] = 𝐸(𝑋(𝑡)ℎ) + 𝐸(λ𝑋(𝑡)ℎ) + 𝑜(ℎ)
𝑀1(𝑡 + ℎ) = 𝐸(𝑋(𝑡)) + λℎ𝐸(𝑋(𝑡)) + 𝑜(ℎ)
= 𝑀1(𝑡) + λℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)
Mengurangkan kedua ruas dengan 𝑀1(𝑡)
𝑀1(𝑡 + ℎ) − 𝑀1(𝑡) = λℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)
Ruas kanan dan kiri dibagi dengan ℎ, menghasilkan
𝑀1(𝑡+ℎ)− 𝑀1(𝑡)ℎ
= λℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)ℎ
Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh
𝑀′1(𝑡) = λ𝑀1(𝑡)
𝑀′1(𝑡)
𝑀1(𝑡) = λ
Kemudian diintegralkan, sehingga
∫𝑀′1(𝑡)
𝑀1(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ λ 𝑑𝑡
𝑙𝑛𝑀1(𝑡) = λ𝑡 + 𝑐
𝑀′1(𝑡) = 𝑒λ𝑡+𝑐
= 𝑘𝑒λ𝑡, dengan 𝑘 = 𝑒𝑐
12
Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡) dan 𝑀1(0) = 𝑘 = 𝑖 maka 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡) = 𝑖𝑒λ𝑡.
Selanjutnya akan dicari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah
mencari 𝐸[𝑋2(𝑡)].
𝐸[𝑋2(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = (𝑋(𝑡) + 1)2 λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋2(𝑡)[1 − λ𝑋(𝑡)ℎ] + 𝑜(ℎ)
=(X2(t) + 2X(t) + 1)X(t)λh + X2(t) − X3(t)λh + o(h)
= 𝑋3(𝑡)λℎ + 2𝑋2(𝑡)λℎ + 𝑋(𝑡)λℎ + 𝑋2(𝑡) − 𝑋3(𝑡)λℎ + 𝑜(ℎ)
= 2𝑋2(𝑡)λℎ + 𝑋(𝑡)λℎ + 𝑋2(𝑡) + 𝑜(ℎ)
= 𝑋2(𝑡) + λℎ2𝑋2(𝑡) + 𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ)
Selanjutnya dengan 𝑀2(𝑡) = 𝐸[𝑋2(𝑡)] maka
𝑀2(𝑡 + ℎ) = 𝑀2(𝑡) + +λℎ2𝑀2(𝑡) + 𝑀(𝑡) + 𝑜(ℎ)
𝑀2(𝑡 + ℎ) − 𝑀2(𝑡) = 2λℎ𝑀2(𝑡) + λℎ𝑀(𝑡) + 𝑜(ℎ)
Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan ℎ→0, maka diperoleh:
M2(t+h)− M2(t)ℎ
= 2λ𝑀2(𝑡) + λ𝑀𝑥(𝑡) + 𝑜(ℎ)ℎ
𝑑(M2(t))𝑑𝑡
= 2λ𝑀2(𝑡) + λ𝑀𝑥(𝑡)
𝑀′2 (𝑡) = 2λ𝑀2(𝑡) + 𝑖λ𝑒λ𝑡
Mengurangkan kedua ruas dengan 2λ𝑀2(𝑡), sehingga diperoleh:
𝑀′2(𝑡) − 2λ𝑀2(𝑡) = 𝑖λ𝑒λ𝑡
Selanjutnya mengalikan kedua ruas dengan 𝑒−2λ𝑡 sehingga diperoleh
𝑒−2λ𝑡𝑀′2(𝑡) − 2λ𝑀2 (𝑡) = 𝑖λ𝑒−λ𝑡 𝑑𝑑𝑡
𝑒−2λ𝑡 𝑀2 (𝑡) = 𝑖λ𝑒−λ𝑡
Kemudian kedua ruas diintegralkan
∫𝑑(𝑒−2λ𝑡 𝑀2 (𝑡)) = ∫ 𝑖λ𝑒−λ𝑡 𝑑𝑡
𝑒−2λ𝑡 𝑀2 (𝑡) = 𝑖λ−λ𝑒−λ𝑡 + 𝑐
𝑀2 (𝑡) = 𝑖λ−λ𝑒−λ𝑡 + 𝑐 𝑒2λ𝑡
Di lain pihak, 𝑀2 (0) = 𝐸(𝑋2(0) = 𝑖2, sehingga akan diperoleh 𝐶 = 𝑖2 + 1,
dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2
= 𝑀2 (𝑡) – (𝑀(𝑡))2
= −𝑖𝑒−λ𝑡 + (𝑖2 + 𝑖)𝑒2λ𝑡 − (𝑖2𝑒2λ𝑡)
= 𝑖𝑒λ𝑡(𝑒λ𝑡 − 1)
13
Model dengan pendekatan kedua ini mempunyai kemiripan dengan model (4),
dengan jumlah penduduk pada saat 𝑡 adalah 𝑖(𝑒𝜆𝑡 − 1) dan varian 𝑖𝑒λ𝑡𝑒λ𝑡 − 1.
Perbedaannya adalah bahwa pada model yang dihitung adalah jumlah penduduk
pada saat t, sedangkan pada model (4) hanya menghitung pertambahannya saja.
Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan kedua, dibuat model berikutnya,
yang merupakan kombinasi dari proses kelahiran dan kematian.
4.2 Model Kelahiran Dan Kematian tanpa Migrasi
Laju pertumbuhan penduduk dipengaruhi oleh proses kelahiran dan
kematian, keduanya tidak dapat dipisahkan, karena memberikan pengaruh pada
pertumbuhan penduduk secara bersamaan. Kedua proses tersebut sekarang
dikombinasikan menjadi satu dengan tingkat kelahiran 𝜆 dan tingkat kematian 𝜇.
Untuk mendapatkan nilai harapan dari 𝑋(𝑡), dengan 𝑡 ≥ 0, sebagai awalan harus
diingat bahwa:
𝑋(𝑡 + ℎ)=𝑋(𝑡) + 1, dengan peluang λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡) − 1, dengan peluang µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡), dengan peluang 1 − ( λ + µ)𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)
𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = λ𝑋2(𝑡)ℎ + λ𝑋(𝑡)ℎ + µ𝑋2(𝑡)ℎ − µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋(𝑡)
−( λ + µ)𝑋2(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)
= ( λ + µ)𝑋2(𝑡)ℎ + ( λ− µ)𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋(𝑡)
−( λ + µ)𝑋2(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)
= 𝑋(𝑡) + ( λ− µ)𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)
Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡), sehingga:
𝐸[𝐸(𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡))] = 𝐸(𝑋(𝑡) + ( λ− µ)𝐸(𝑋(𝑡)ℎ) + 𝑜(ℎ)
𝑀1(𝑡 + ℎ) = 𝐸(𝑋(𝑡) + ( λ− µ)ℎ𝐸𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ)
= 𝑀1(𝑡) + ( λ− µ)ℎ𝑀1(𝑡)) + 𝑜(ℎ)
Mengurangkan kedua ruas dengan 𝑀1(𝑡)
𝑀1(𝑡 + ℎ) − 𝑀1(𝑡) = ( λ− µ)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)
Ruas kanan dan kiri dibagi dengan h, menghasilkan
𝑀1(𝑡+ℎ)− 𝑀1(𝑡)ℎ
= ( λ− µ)𝑀1(𝑡)) + 𝑜(ℎ)ℎ
Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh
𝑀′1(𝑡) = ( λ− µ)𝑀1(𝑡)
14
𝑀′1(𝑡)
𝑀1(𝑡) = ( λ− µ)
Kemudian diintegralkan, sehingga
∫𝑀′1(𝑡)
𝑀1(𝑡)𝑑𝑡 = ∫( λ− µ) 𝑑𝑡
ln𝑀1(𝑡) = ( λ− µ)𝑡 + 𝑐
𝑀1(𝑡) = 𝑒( λ−µ)𝑡+𝑐
𝑀1(𝑡) = 𝑘𝑒( λ−µ)𝑡
Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡) dan 𝑀1(0) = 𝑘 = 𝑖 maka 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡) = 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡
Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama
adalah mencari 𝐸[𝑋2(𝑡)].
𝐸[𝑋2(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = (𝑋(𝑡) + 1)2λ𝑋(𝑡)ℎ + (𝑋(𝑡) − 1)2µ𝑋(𝑡)ℎ +
𝑋2[1 − (λ + µ)𝑋(𝑡)ℎ] + 𝑜(ℎ)
= (𝑋2(𝑡) + 2𝑋(𝑡) + 1)𝑋(𝑡)λℎ + (𝑋2(𝑡) − 2𝑋(𝑡) − 1)
𝑋(𝑡)µℎ + 𝑋2(𝑡)(1 − 𝑋(𝑡)λℎ − 𝑋(𝑡)µℎ + 𝑜(ℎ)
= 𝑋3(𝑡)λℎ + 2𝑋2(𝑡)λℎ + 𝑋(𝑡)λℎ + 𝑋2(𝑡) − 𝑋3(𝑡)λℎ + 𝑜(ℎ)
= 𝑋2(𝑡) + 2(λ− µ)ℎ𝑋2(𝑡) + (λ + µ)ℎ𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ).
Dengan 𝑀2(𝑡) = 𝐸[𝑋2(𝑡)] maka
𝑀2(𝑡 + ℎ) = 𝑀2(𝑡) + 2(λ− µ)ℎ𝑀2(𝑡) + (λ + µ)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ).
Kurangkan kedua ruas dengan 𝑀2(𝑡) , sehingga
𝑀2(𝑡 + ℎ) −𝑀2(𝑡) = 2(λ− µ)ℎ𝑀2(𝑡) + (λ + µ)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ).
Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan h→0, maka diperoleh:
𝑀2(𝑡+ℎ)− 𝑀2(𝑡)ℎ
= 2(λ− µ)𝑀2(𝑡) + (λ + µ)𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)ℎ
𝑑(𝑀2(𝑡))𝑑𝑡
= 2(λ− µ)𝑀2(𝑡) + (λ + µ)𝑀1(𝑡).
Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu 𝜆 ≠ 𝜇 dan 𝜆 = 𝜇.
1. λ ≠ µ
Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa (𝑡) = 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 , maka:
𝑑(M2(t))𝑑𝑡
= 2(λ− µ)M2(t) + (λ + µ)𝑖𝑒(λ−µ)𝑡
𝑑(M2(t))𝑑𝑡
- 2(λ− µ)M2(t) = (λ + µ)𝑖𝑒(λ−µ)𝑡
Selanjutnya dikalikan kedua ruas dengan 𝑒−2(λ−µ)𝑡 lalu diintegralkan,
𝑒2(λ−µ)𝑡 𝑑(M2(t))𝑑𝑡
- 2(λ− µ)M2(t)= (λ + µ)𝑖𝑒(λ−µ)𝑡𝑒−2(λ−µ)𝑡
15
𝑑𝑑𝑡
𝑒−2(λ−µ)𝑡 𝑀2 (𝑡) = (λ + µ)ie(µ−λ)t
∫𝑑(𝑒−2(λ−µ)𝑡 𝑀2 (𝑡)) = ∫(λ + µ)𝑖𝑒(µ−λ)𝑡 𝑑𝑡
𝑒−2(λ−µ)𝑡 𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ)µ−λ
𝑒(µ−λ)𝑡 + 𝑐
𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ)(µ−λ)𝑒−2(λ−µ)𝑡
𝑒(µ−λ)𝑡 + 𝑐𝑒2(λ−µ)𝑡
= 𝑖(λ+µ)(µ−λ)
𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝑐𝑒2(λ−µ)𝑡
Dengan 𝑀2 (𝑡) = i2, dan dievaluasi pada 𝑡 = 0, maka:
𝑀2 (0) = 𝑖(λ+µ) (µ−λ)
𝑒(λ−µ).0 + 𝑐 𝑒2(λ−µ).0
𝑖2 = i(λ+µ) µ−λ
+ c
𝑐 = 𝑖2 − 𝑖(λ+µ) µ−λ
Sehingga didapatkan:
𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ)(µ−λ)
e(λ−µ)t + [𝑖2 − i(λ+µ) µ−λ
] 𝑒2(λ−µ)𝑡
dan diperoleh Varian dari X(t) sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2
= 𝑀2 (𝑡) − (𝑀1 (𝑡))2
= 𝑖(λ+µ) µ−λ
𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝑖2 − 𝑖(λ+µ)µ−λ
𝑒2(λ−µ)𝑡 − [𝑖𝑒(λ−µ)𝑡]2
= 𝑖(λ+µ) µ−λ
𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝑖2 − 𝑖(λ+µ)µ−λ
𝑒2(λ−µ)𝑡 − 𝑖2𝑒2(λ−µ)𝑡
= 𝑖(λ+µ) µ−λ
𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝑖2(µ−λ)−𝑖(λ+µ)−𝑖2(µ−λ)
µ−λ 𝑒2(λ−µ)𝑡
= 𝑖(λ+µ) µ−λ
𝑒(λ−µ)𝑡 − 𝑖(λ+µ) µ−λ
𝑒2(λ−µ)𝑡.
2. Untuk λ = µ
Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa 𝑀1 (𝑡)= 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡. Jika λ = µ
maka 𝑀1 (𝑡)=𝑖 𝑑(𝑀2(𝑡))
𝑑𝑡 = (λ + µ)𝑖
𝑑(𝑀2 (𝑡)) =(λ + µ)𝑖 𝑑𝑡
Selanjutnya diintegralkan kedua ruas
∫𝑑 (𝑀2 (𝑡)) = ∫(λ + 𝜇)𝑖 𝑑𝑡
16
𝑀2 (𝑡) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑐
Dengan 𝑀2 (0) = 𝑖2, dan dievaluasi pada 𝑡 = 0, maka
𝑀2 (0) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑐
𝑖2 = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑐
c = 𝑖2 − (λ + 𝜇)𝑖
Sehingga didapatkan:
𝑀2 (𝑡) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑖2 − (λ + 𝜇)𝑖
𝑀2 (𝑡) = 𝑖2
dan diperoleh varian dari 𝑋(𝑡) sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2
= 𝑀2(𝑡) – (𝑀1 (𝑡))2
= 𝑖2 − 𝑖2
= 0
Jika tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian, maka pada akhirnya
jumlah penduduk akan konstan.
4.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi
Untuk mendapatkan nilai harapan dari 𝑋(𝑡), dengan 𝑡 ≥ 0, sebagai awalan
harus diingat bahwa:
𝑋(𝑡 + ℎ)=𝑋(𝑡) + 1, dengan peluang (λ𝑋(𝑡) + 𝜃)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡) − 1, dengan peluang µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡), dengan peluang 1 − ( λ + µ)𝑋(𝑡) + 𝜃)ℎ + 𝑜(ℎ)
Memakai cara yang sama dengan model sebelumnya, maka akan didapat nilai
harapan sebagai berikut:
𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = 𝑋(𝑡) + (( λ− µ)𝑋(𝑡) + 𝜃)ℎ + 𝑜(ℎ) .
Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡), sehingga 𝑀1 (𝑡) = 𝑘𝑒( λ−µ)𝑡 = 𝑘𝑒( λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡
Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡), 𝑀1 (0) = 𝑘 = 𝑖 maka,
𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡) = 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡.
Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah
mencari 𝐸[𝑋2(𝑡)].
𝐸[𝑋2(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = 𝑋2(𝑡) + 2(λ− µ)ℎ𝑋2(𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)ℎ𝑋(𝑡)
+𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)
17
Karena 𝑀2(𝑡) = 𝐸[𝑋2(𝑡)] maka,
𝑀2(𝑡 + ℎ) = 𝑀2(𝑡) + 2(λ− µ)ℎ𝑀2(𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)
Kurangkan kedua ruas dengan 𝑀2(𝑡) , sehingga
𝑀2(𝑡 + ℎ) −𝑀2(𝑡) = 2(λ− µ)ℎ𝑀2(𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)
Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan h→0, maka diperoleh:
𝑑(𝑀2(𝑡))𝑑𝑡
= 2(λ− µ)𝑀2(𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)𝑀1(𝑡) + 𝜃
Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu 𝜆 ≠ 𝜇 dan 𝜆 = 𝜇.
1. λ ≠ µ
Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa 𝑀𝑥(𝑡) = 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡 , maka:
𝑑(𝑀2(𝑡))𝑑𝑡
- 2(λ− µ)𝑀2(𝑡) = (λ + µ + 2𝜃)𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡 + 𝜃
Menggunakan cara yang sama dengan sebelumnya, maka diperoleh,
𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ+2𝜃) µ−λ
𝑒(µ−λ)𝑡 + (12𝜃𝑡2 + 𝜃𝑡 + 𝐶) 𝑒2(λ−µ)𝑡
Selanjutnya karena 𝑀2 (𝑡) = 𝑖2, dan dievaluasi pada t=0, maka:
C = 𝑖2 − 𝑖(λ+µ+2𝜃) µ−λ
Sehingga didapatkan:
𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ+2𝜃) µ−λ
𝑒(λ−µ)𝑡 + [12𝜃𝑡2 + 𝜃𝑡 + 𝑖2 − 𝑖(λ+µ+2𝜃)
µ−λ] 𝑒2(λ−µ)𝑡
dan diperoleh varian dari 𝑋(𝑡)sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2
= 𝑀2 (𝑡) − (𝑀1 (𝑡))2
= 𝑖(λ+µ+2𝜃)µ−λ
𝑒(µ−λ)𝑡 + 12𝜃𝑡2 + 𝜃𝑡 − 𝑖(λ+µ+2𝜃)
µ−λ 𝑒2(λ−µ)𝑡 +
2𝜃𝑡𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝜃2𝑡2 2. Untuk λ = µ
Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa 𝑀𝑥 (𝑡)= 𝑘𝑒(λ−µ)𝑡. Jika λ = µ
maka 𝑀𝑥 (𝑡)=𝑘 𝑑(𝑀2(𝑡))
𝑑𝑡 = (λ + µ)𝑘
𝑑(𝑀2 (𝑡)) =(λ + µ)𝑘 𝑑𝑡
Selanjutnya diintegralkan kedua ruas, sehingga:
18
∫𝑑 (𝑀2 (𝑡)) = ∫(λ + 𝜇)𝑘 𝑑𝑡
𝑀2 (𝑡) = (λ + 𝜇)𝑘 + 𝐶
Dengan 𝑀2 (0) = 𝑖2, dan dievaluasi pada 𝑡 = 0, maka
𝑀2 (0) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝐶
𝑖2 = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝐶
C = 𝑖2 − (λ + 𝜇)𝑖
Sehingga didapatkan:
𝑀2 (𝑡) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑖2 − (λ𝑝 + 𝜇)𝑖
𝑀2 (𝑡) = 𝑖2
dan diperoleh varian dari 𝑋(𝑡) sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2
= 𝑀2(𝑡) – (𝑀𝑥(𝑡))2
= 𝑖2 − 𝑖2
= 0
Jika λ = µ , artinya tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian dan pada
akhirnya jumlah penduduk akan konstan.
19
BAB V
APLIKASI MODEL
5.1 Model Kelahiran Murni
Pada bab sebelumnya telah diperoleh model kelahiran murni dengan
𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑖𝑒λ𝑡 dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝑖𝑒λ𝑡(𝑒λ𝑡 − 1). Selanjutnya akan diaplikasikan
pada data penduduk Indonesia, dan mengambil λ = 0,0257 yang merupakan
angka kelahiran kasar (CBR) data BPS tahun 1990. Sedangkan angka kematian
dan migrasi di anggap tidak ada. Hasil proyeksi yang diperoleh disajikan pada
Tabel 1.
Tabel 1 Hasil simulasi model kelahiran murni dari tahun 1990 -2010
Tahun Jumlah
penduduk Jumlah
penduduk Batas bawah
Batas atas |Error|
( data BPS) (model) (%) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1995 194.754.808 203.975.642 203.965.276 203.986.007 4,73 2000 205.132.458 231.945.072 231.928.913 231.961.231 13,07 2005 218.868.791 263.749.709 231.928.914 263.771.540 20,51 2010 237.641.326 299.915.444 231.928.915 299.943.269 26,21
Berdasarkan hasil pada tabel tersebut, dapat dilihat bahwa jika dibandingkan
dengan data penduduk riil tahun 1995-2000, tingkat kesalahan yang diperoleh
semakin membesar seiring bertambahnya waktu. Hal ini adalah wajar dalam
sebuah proyeksi, karena dengan semakin bertambahnya waktu berarti jarak tahun
yang diproyeksi terhadap angka awal yang diambil semakin besar. Hasil
selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2.
5.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi
Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 1990 dengan
λ = 0,0257 dan 𝜇 = 0,007, yang merupakan angka kelahiran kasar (CBR) dan
angka kematian kasar (CDR), sedangkan angka migrasi dianggap tidak ada. Hasil
proyeksi yang diperoleh disajikan pada Tabel 2.
20
Tabel 2 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi dari tahun
1990- 2010
Tahun Jumlah
penduduk Jumlah
penduduk Batas bawah Batas atas |Error|
( data BPS) (model) (%) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1995 194.754.808 196.959.985 196.948.597 196.971.372 1,13 2000 205.132.458 216.264.152 216.246.868 216.281.435 5,43 2005 218.868.791 237.460.332 237.437.605 237.483.058 8,49 2010 237.641.326 260.733.962 260.705.778 260.762.146 9,72
Berdasarkan hasil pada tabel tersebut, pada saat dibandingkan dengan data hasil
BPS tingkat kesalahan yang diperoleh semakin membesar seiring bertambahnya
waktu. Tetapi tingkat kesalahannya masih lebih kecil jika dibandingkan dengan
model sebelumnya, karena pada model ini sudah dikombinasi antara kelahiran dan
kematian. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 3.
5.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi
Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 1990 dengan
λ = 0,0257 , 𝜇 = 0,007 , dan 𝑟 = 0,0136. Angka migrasi (𝜃) diduga dengan
cara 𝜃 = 𝑟 − λ + 𝜇, sehingga diketahui 𝜃 = −0,0015. Hasil proyeksi yang
diperoleh disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi dari tahun
1990- 2010
Tahun Jumlah
penduduk Jumlah
penduduk Batas bawah Batas atas |Error|
( data BPS) (model) (%) 1990 179.378.946 179.378.946 179.306.164 179.451.728 0 1995 194.754.808 196.959.985 196.883.719 197.036.249 1,13 2000 205.132.458 216.264.152 216.184.237 216.344.067 5,43 2005 218.868.791 237.460.332 237.376.592 237.544.072 8,49 2010 237.641.326 260.733.962 260.646.214 260.821.709 9,72
Tingkat kesalahan yang diperoleh model ini tidak jauh berbeda dengan model
kelahiran dan kematian tanpa migrasi. Hal ini karena nilai migrasi di Indonesia
yang sangat kecil. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 4.
21
5.4 Proyeksi Penduduk Menggunakan Data BPS Tahun 2000
Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 2000 dengan
λ = 0,0206, 𝜇 = 0,007, dan 𝜃 = 0. Hasil penghitungan dapat dilihat pada
Gambar 1, dan hasil penghitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 5.
Gambar 1 Perbandingan antara data hasil proyeksi memakai model dengan data
proyeksi BPS tahun 2000-2025
Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya tahun proyeksi, selisih
antara data hasil proyeksi memakai model dan data hasil proyeksi BPS semakin
besar.
5.5 Proyeksi Penduduk Menggunakan Data BPS Tahun 2010
Data hasil sensus terakhir yang ada di Indonesia adalah data tahun 2010,
maka akan dilakukan proyeksi berdasarkan data tahun 2010 tersebut. Dengan
λ = 0,0184, 𝜇 = 0,0063 , dan 𝑟 = 0,0122 dimana 𝑟 merupakan angka laju
pertumbuhan penduduk dan digunakan untuk mencari angka migrasi, sehingga
-
50,000,000
100,000,000
150,000,000
200,000,000
250,000,000
300,000,000
350,000,000
2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2015 2017 2019 2021 2023 2025
Jum
lah
Pend
uduk
Tahun
Proyeksi BPS
Model
22
diketahui 𝜃 = 0,0001. Hasil penghitungan dapat dilihat pada Gambar 2, dan hasil
penghitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6.
Gambar 2 Proyeksi memakai model dengan data hasil proyeksi BPS tahun 2010
Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk Indonesia diprediksi akan
semakin meningkat dari tahun 2010-2035. Selanjutnya seperti disajikan pada
Lampiran 6, proyeksi penduduk tahun 2015, 2020, 2025, 2030 dan 2035 berturut
turut mempunyai hasil 252.462.445; 268.207.921; 284.935.404; 302.706.141 dan
321.585.196; dengan selang kepercayaan [252.446.931; 252.477.958],
[268.185.287; 268.230.554], [284.906.789; 284.964.020], [302.672.011;
302.740.271] dan [321.545.757; 321.624.634].
-
50,000,000
100,000,000
150,000,000
200,000,000
250,000,000
300,000,000
350,000,000
2010 2012 2015 2017 2019 2021 2023 2025 2027 2029 2031 2033 2035
Jum
lah
Pend
uduk
Tahun
Model
23
BAB VI
KESIMPULAN DAN SARAN
6.1 Kesimpulan
1. Kelebihan dari model kelahiran dan kematian dengan migrasi yang
dibahas dalam tulisan ini mampu memberikan selang kepercayaan, di
samping memberikan nilai estimasinya.
2. Setelah diaplikasikan pada data sebenarnya, model ini memberikan tingkat
kesalahan dibawah 10% dibandingkan dengan data sebenarnya dalam
jangka waktu 20 tahun.
3. Berdasarkan data tahun 2000, dapat dibuat proyeksi penduduk Indonesia
sampai tahun 2025. Hasil dari proyeksi ini memberikan selisih dibawah
6% dibandingkan dengan proyeksi dari BPS.
6.2 Saran
Dalam penelitian ini, penulis tidak memisahkan antara laki-laki dan perempuan,
selanjutnya disarankan untuk diadakan penelitian lebih lanjut dengan memisahkan
antara laki-laki dan perempuan.
25
DAFTAR PUSTAKA
Adioetomo SM & Samosir OB. 2010. Dasar-dasar Demografi. Lembaga
Demografi, Jakarta.
Bain LJ & Engelhart M. 2001. Introduction to Probability and Mathematical
Statistics. Oxford University Press, USA.
Bappenas. 2005. Proyeksi Penduduk Indonesia 2000-2025. BPS-Bappenas,
Jakarta (http://www.bps.go.id dan http://www. Datastatistik-
Indonesia.com/proyeksi) [23 Juli 2012]
Farlow SJ. 2006. An Intoduction to Differential Equation and their Aplication.
Dover Publication, New York.
Grimmet GR. & Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes.
3rd Ed. Oxford University Press, USA.
Hogg RV, Mc Kean JW, & Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical
Statistic. 6th Ed. Pearson Education, Michigan.
Ricciardi LM. 1986. Stochastic Population Theory: Birth and Death Processes
Mathematical Ecology an Introduction. Springer-Verlag. Berlin.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. 2nd Ed. John Wiley & Sons, Inc,
New York.
Susilawati W. 2005. Pemodelan stokastik suatu populasi dengan proses
kelahiran dan kematian. [Skripsi] Bogor : Program Sarjana, Institut
Pertanian Bogor.
Taylor HM. 1998. An Introduction to Stochastic Modeling. 3th Ed. Academic
Press, New York .
United Nations. 1983. Manual x : Indirect techniques for demographic estimation.
NewYork.
27
Lampiran 1 Definisi-definisi
Definisi 1 Sensus Penduduk
Sensus Penduduk adalah suatu proses pengumpulan, pengolahan, dan penyajian
data kependudukan termasuk ciri-ciri sosial ekonominya yang dilaksanakan dalam
suatu waktu tertentu terhadap semua orang dalam suatu negara atau suatu
teritorial tertentu.
[Lembaga Demografi FE UI 2010]
Definisi 2 Survei
Survei adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan suatu metode
pengumpulan data. Dalam bidang kependudukan, survei dilakukan untuk
memperoleh data yang terperinci dan spesifik serta untuk memenuhi kebutuhan
antar sensus (Survei Penduduk Antar Sensus atau SUPAS).
[Lembaga Demografi FE UI 2010]
Definisi 3 Percobaan Acak
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan, yang biasanya
dilakukan dalam kondisi yang sama. Walaupun dapat mengetahui semua
kemungkinan hasil yang akan muncul, tetapi hasil pada percobaan berikutnya
tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang dapat diulang dalam kondisi
yang sama semacam ini, disebut percobaan acak.
[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]
Definisi 4 Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω.. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari
ruang contoh Ω.
[Grimmet & Stirzaker 2001]
Definisi 5 Medan-σ dan Peubah Acak
Medan-σ adalah suatu himpunan Ƒ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, serta memenuhi kondisi berikut:
1. φ ∈ Ƒ.
28
2. Jika A1, A2, … 𝜖 Ƒ maka ⋃ 𝐴∞𝑖=1 𝑖 𝜖 Ƒ.
3. Jika A 𝜖 Ƒ, maka Ac ∈ Ƒ.
Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → R dengan sifat bahwa
𝑤 ∈ Ω; X(w) ≤ x ∈ Ƒ, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅
[Grimmet & Stirzaker 2001]
Definisi 6 Ukuran Peluang
Ukuran peluang adalah suatu fungsi 𝑃: Ƒ → [0,1] pada (Ω,Ƒ) yang memenuhi:
1. 𝑃(∅) = 0,𝑃(Ω) = 1
2. Jika A1, A2, … ∈ Ƒ adalah himpunan saling lepas, yaitu 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ untuk
setiap pasangan i≠j, maka 𝑃⋃ 𝐴∞𝑖=1 𝑖 = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 )∞
𝑖=1 . Pasangan (Ω,Ƒ,𝑃)
disebut ruang peluang.
[Grimmet & Stirzaker 2001]
Definisi 7 Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) . Secara
umum, himpunan kejadian 𝐴𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 dikatakan saling bebas jika 𝑃⋂ 𝐴𝑖𝑖𝜖𝐽 =
∏ 𝑃(𝐴𝑖)𝑖∈𝐽 , untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.
[Grimmet & Stirzaker 2001]
Definisi 8 Peubah Acak Diskret
Jika himpunan nilai semua kemungkinan dari peubah acak X adalah himpunan
yang dapat dicacah, maka X disebut peubah acak diskret.
[Bain & Engelhardt 2001]
Definisi 9 Peubah Acak Kontinu
Suatu peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan
sebagai 𝐹𝑋(𝑥) = ∫ 𝐹𝑋(𝑢)𝑑𝑢𝑥−∞ , 𝑥 ∈ 𝑅, dengan 𝑓:𝑅 → [0,∞) adalah fungsi yang
terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X.
[Grimmet & Stirzaker 2001]
29
Definisi 10 Fungsi Kerapatan Peluang
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi 𝑃:𝑅 → [0,1]
yang diberikan oleh 𝑃𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥).
[Grimmet & Stirzaker 2001]
Definisi 11 Nilai Harapan
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang 𝑃𝑋(𝑥), maka
nilai harapan dari X adalah: 𝑬[𝑋] = ∑ 𝑥𝑝𝑋(𝑥)𝑥 dengan syarat jumlahnya
konvergen. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
𝐹𝑋(𝑥), maka nilai harapan dari X adalah: 𝐄[𝑋] = ∫ 𝑥𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥∞−∞ , dengan syarat
integral tersebut konvergen mutlak.
[Bain & Engelhardt 2001]
Definisi 12 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
Misalkan X dan Y adalah peubah acak, fungsi sebaran bersama dari X dan Y
adalah 𝐹𝑋𝑌(𝑥,𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥,𝑌 ≤ 𝑦 ).
[Grimmet & Stirzaker 2001]
Definisi 13 Fungsi Kepekatan Peluang
Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang
bersama 𝑃𝑋𝑌(𝑥,𝑦), maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat
Y=y adalah 𝑝𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) = 𝑝𝑋,𝑌(𝑥,𝑦)𝑝𝑌(𝑦)
, dengan syarat 𝑝𝑌(𝑦) > 0.
[Grimmet & Stirzaker 2001]
Definisi 14 Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
bersama 𝐹𝑋𝑌(𝑥,𝑦), maka fungsi peluang bersyarat dari X dengan syarat Y=y
adalah 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) = 𝑓𝑋,𝑌(𝑥,𝑦)𝑓𝑌(𝑦)
, dengan syarat 𝑓𝑌(𝑦) > 0.
[Grimmet & Stirzaker 2001]
30
Definisi 15 Nilai Harapan Bersyarat
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) adalah fungsi
kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y =y. Nilai harapan dari X
dengan syarat Y=y adalah 𝐸[𝑋|𝑌 = 𝑦] = ∫ 𝑥 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)𝑑𝑥.∞−∞ Jika X dan Y
adalah peubah acak diskret dengan 𝑃𝑋𝑌(𝑥,𝑦), adalah fungsi kerapatan peluang
bersyarat dari X dengan Syarat Y=y, maka nilai harapan dari X dengan syarat Y=y
adalah 𝐸[𝑋|𝑌 = 𝑦] = ∑ 𝑥 𝑝𝑋|𝑌(𝑥|𝑦).𝑥
[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]
Definisi 16 Fungsi Pembangkit
Suatu barisan bilangan real 𝑎 = 𝑎𝑖, 𝑖 = 0, 1, 2, … berisi banyak informasi. Cara
singkat untuk menceritakan semua informasi yang ada pada bilangan-bilangan
tersebut secara bersamaan dinyatakan dalam suatu fungsi pembangkit. Fungsi
pembangkit dari barisan 𝑎 adalah fungsi 𝐺𝑎 yang didefinisikan oleh
𝐺𝑎(𝑠) = ∑ 𝑎𝑖𝑠𝑖,∞𝑖=0 untuk 𝑠 ∈ 𝑅 jika jumlahnya konvergen. Barisan 𝑎 dapat
dibentuk dari fungsi 𝐺𝑎, dengan membuat 𝑎𝑖 = 𝐺𝑎(𝑖)(0)𝑖!
, dimana fungsi 𝐺𝑎(𝑖) adalah
turunan ke 𝑖 dari fungsi 𝐺.
[Grimmett & Stirzaker 2001]
Definisi 17 Varian
Varian dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X
dengan nilai harapannya. Secara matematis dinyatakan sebagai
𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2].
[Bain & Engelhardt 2001]
Definisi 18 Fungsi Pembangkit Momen
Jika 𝑋 adalah peubah acak, maka 𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸[𝑒𝑡𝑋] disebut fungsi pembangkit
momen dari 𝑋 jika nilai harapannya ada untuk semua nilai 𝑡 pada suatu interval
−ℎ < 𝑡 < ℎ dengan ℎ > 0.
[Bain & Engelhardt 2001]
31
Definisi 19 Fungsi Pembangkit Peluang
Misalkan 𝑋 adalah peubah acak diskret yang nilainya berupa bilangan bulat tak
negatif 0,1,2, … dan fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh 𝑃(𝑋 = 𝑡) =
𝑃𝑡. Fungsi pembangkit peluang dari peubah acak 𝑋 didefinisikan oleh 𝐺𝑋(𝑠) =
𝐸(𝑠𝑋), dengan 𝐸(𝑠𝑋) = ∑ 𝑠𝑡𝑃(𝑋 = 𝑡) = ∑ 𝑠𝑡𝑃𝑡 ∞𝑡=0
∞𝑡=0 .
[Grimmett & Stirzaker 2001]
Definsi 20 Sebaran Eksponensial
Peubah acak 𝑋 disebut memiliki sebaran Eksponensial, jika fungsi kepekatan
peluangnya adalah 𝑓(𝑥) = λ 𝑒−λ𝑥 dengan λ > 0, 0 < 𝑥 < ∞.
[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]
Definisi 21 Sebaran Bernoulli
Suatu percobaan acak yang hanya menghasilkan dua kemungkinan (sukses dan
gagal) disebut percobaan Bernoulli. Peubah acak 𝑋 disebut mempunyai sebaran
Bernoulli jika 𝑋 merupakan peubah acak pada percobaan Bernoulli dengan
𝑋 = 1, jika sukses0, jika gagal .
Jika 𝑝 menyatakan peluang sukses, maka 𝑋 mempunyai fungsi kerapatan peluang
𝑝𝑥(𝑥) = 𝑝𝑥(1 − 𝑝)1−𝑥,𝑥 = 0, 1.
[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]
Definisi 22 Sebaran Binom
Jika percobaan Bernoulli diulang 𝑛 kali, dan setiap percobaan saling bebas, maka
peubah acak 𝑋 yang menyatakan banyaknya sukses dari 𝑛 kali percobaan
Bernoulli, disebut peubah acak Binom. Jika 𝑝 menyatakan peluang sukses dari
setiap percobaan Bernoulli, maka fungsi kerapatan peluang dari 𝑋 adalah
𝑝𝑋(𝑥) = 𝑛𝑥𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 dengan 𝑥 = 0, 1, 2, …
[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]
32
Definisi 23 Sebaran Binom Negatif
Sebaran Binom Negatif diperoleh dari percobaan Bernoulli yang dilakukan terus
menerus sampai 𝑟 sukses tercapai. Jika peubah acak 𝑌 menyatakan banyaknya
percobaan sampai r sukses tercapai, maka 𝑌 disebut memiliki sebaran Binom
Negatif. Jika 𝑝 menyatakan peluang sukses dari setiap percobaan Bernoulli, maka
fungsi kerapatan peluang dari 𝑌 adalah 𝑝𝑌(𝑦) = 𝑃(𝑌 = 𝑦) = 𝑦−1𝑟−1𝑝𝑟(1 −
𝑝)𝑦−𝑟 .
[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]
Definisi 24 Proses Stokastik
Proses Stokastik 𝑋(𝑡), 𝑡 𝜖 𝑇 adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state 𝑆.
[Ross 1996]
Definisi 25 Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Proses Stokastik 𝑋𝑛,𝑛 = 0, 1, 2, … dengan ruang state 0, 1, 2, … , disebut
rantai markov dengan waktu diskret jika untuk setiap 𝑛 = 0, 1, 2, … berlaku
𝑃(𝑋𝑛 + 1 = 𝑗 | 𝑋𝑛 = 𝑖,𝑋𝑛 − 1 = 𝑖 − 1, … ,𝑋0 = 𝑖0) = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗 | 𝑋𝑛 = 𝑖).
[Ross 1996]
Definisi 26 Rantai Markov dengan Waktu Kontinu
Suatu proses Stokastik dengan waktu kontinu 𝑋(𝑡), 𝑡≥0, dengan ruang state
diskret 0, 1, 2, … , disebut rantai markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap
t, 𝑠 > 0 dan 𝑖, 𝑗, 𝑥(𝑢) 𝜖 0, 1, 2, … , 0 ≤ 𝑢 < 𝑠 berlaku 𝑃(𝑋(𝑡, 𝑠) = 𝑗 | 𝑋(𝑠) =
𝑖,𝑋(𝑢) = 𝑥(𝑢); 0 ≤ 𝑢 < 𝑠 ) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 𝑠) = 𝑗 | 𝑋(𝑠) = 𝑖).
[Ross 1996]
Definisi 27 Proses Pencacahan
Suatu proses stokastik 𝑁(𝑡), 𝑡≥0 disebut proses pencacahan jika 𝑁(𝑡)
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu 𝑡.
[Ross 1996]
33
Definisi 29 Proses Poisson
Suatu proses stokastik 𝑁(𝑡), 𝑡≥0 disebut proses Poisson dengan laju λ,λ≥0, jika
memenuhi syarat berikut:
i) 𝑁(0) = 0
ii) Memiliki inkremen bebas dan inkremen stationer.
iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu 𝑡 memiliki sebaran
Poisson dengan nilai harapan λ𝑡.
[Ross 1996]
Definisi 28 Persamaan Diferensial Biasa
Suatu persamaan yang melibatkan variabel x dengan suatu fungsi tak bebas y dan
turunan-turunannya 𝐹(𝑥, 𝑦,𝑦(1),𝑦(2), … disebut persamaan diferensial biasa.
[ Farlow 2006]
Definisi 29 Persamaan Diferensial Biasa Linear
Jika persamaan diferensial dapat dituliskan dalam bentuk 𝑑𝑦𝑑𝑥
+ 𝑃𝑦 = 𝑄, dimana P
dan Q merupakan fungsi dalam x, maka persamaan tersebut disebut persamaan
diferensial linear orde satu.
[Farlow 2006]
Definisi 30 Persamaan Diferensial Parsial (PDP)
Adalah suatu persamaan yang memiliki bentuk sebagai berikut:
𝐹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛,𝑢,𝑢𝑥1 , … ,𝑢𝑥𝑛,𝑢𝑥1𝑥1 ,𝑢𝑥1𝑥2 , … ) = 0
yaitu persamaan yang menghubungkan nilai-nilai variabel bebas 𝑥𝑖 , 𝑖 =
1, … , 𝑛 , fungsi 𝑢(𝑥1, … , 𝑥𝑛) dan turunan-turunan parsialnya.
[Farlow 2006]
Definisi 31 PDP Linear dan Quasi linier
PDP adalah linier jika hubungan antara sebuah fungsi dan turunan-turunannya
adalah linear.
Suatu PDP berorde k disebut Quasi Linear jika turunan parsial ke k adalah linear
[Farlow 2006]
34
Lampiran 2 Hasil simulasi model kelahiran murni tahun 1990-2010 berdasarkan
data tahun 1990*
Zhitung = 1,96
λ1990 = 0,0257
µ1990 = 0
θ1990 = 0
Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|
Penduduk* penduduk
(%)
(Data BPS) (Model) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1991
184.048.735 184.044.444 184.053.025
1992
188.840.092 188.833.907 188.846.278 1993
193.756.184 193.748.460 193.763.908
1994
198.800.257 198.791.164 198.809.350 1995 194.754.808 203.975.642 203.965.277 203.986.008 4,73
1996
209.285.759 209.274.181 209.297.336 1997
214.734.114 214.721.363 214.746.865
1998
220.324.307 220.310.408 220.338.207 1999
226.060.030 226.044.997 226.075.063
2000 205.132.458 231.945.072 231.928.913 231.961.231 13,07 2001
237.983.319 237.966.037 238.000.602
2002
244.178.761 244.160.353 244.197.169 2003
250.535.489 250.515.950 250.555.029
2004
257.057.703 257.037.024 257.078.382 2005 218.868.791 263.749.710 263.727.880 263.771.540 20,51
2006
270.615.930 270.592.936 270.638.925 2007
277.660.900 277.636.726 277.685.074
2008
284.889.272 284.863.900 284.914.643 2009
292.305.821 292.279.233 292.332.408
2010 237.641.326 299.915.445 299.887.621 299.943.269 26,21
|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)− 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙)𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)
𝑥 100%
*Sumber :
Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]
35
Lampiran 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi tahun
1990-2010 berdasarkan data tahun 1990*
Zhitung = 1,96
λ1990 = 0,0257
µ1990 = 0,007
θ1990 = 0
Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|
Penduduk* penduduk
(%)
(Data BPS) (Model) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1991
182.764.892 182.760.078 182.769.706
1992
186.214.751 186.207.847 186.221.656 1993
189.729.730 189.721.154 189.738.306
1994
193.311.057 193.301.014 193.321.100 1995 194.754.808 196.959.985 196.948.597 196.971.372 1,13
1996
200.677.790 200.665.138 200.690.441 1997
204.465.771 204.451.912 204.479.631
1998
208.325.255 208.310.228 208.340.282 1999
212.257.590 212.241.424 212.273.756
2000 205.132.458 216.264.152 216.246.868 216.281.435 5,43 2001
220.346.341 220.327.955 220.364.727
2002
224.505.585 224.486.107 224.525.063 2003
228.743.339 228.722.776 228.763.903
2004
233.061.085 233.039.439 233.082.730 2005 218.868.791 237.460.332 237.437.605 237.483.058 8,49
2006
241.942.619 241.918.810 241.966.427 2007
246.509.513 246.484.619 246.534.407
2008
251.162.612 251.136.628 251.188.596 2009
255.903.542 255.876.462 255.930.622
2010 237.641.326 260.733.962 260.705.778 260.762.146 9,72
|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)− 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙)𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)
𝑥 100%
*Sumber :
Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]
36
Lampiran 4 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi tahun
1990-2010 berdasarkan data tahun 1990*
Zhitung = 1,96
λ1990 = 0,0257
µ1990 = 0,007
θ1990 = -0,0051
Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|
Penduduk* penduduk
(%)
(Data BPS) (Model) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1991
182.764.892 182.760.078 182.769.706
1992
186.214.751 186.207.847 186.221.656 1993
189.729.730 189.721.154 189.738.306
1994
193.311.057 193.301.014 193.321.100 1995 194.754.808 196.959.985 196.948.597 196.971.372 1,13 1996
200.677.790 200.665.138 200.690.441
1997
204.465.771 204.451.912 204.479.631 1998
208.325.255 208.310.228 208.340.282
1999
212.257.590 212.241.424 212.273.756 2000 205.132.458 216.264.152 216.246.868 216.281.435 5,43 2001
220.346.341 220.327.955 220.364.727
2002
224.505.585 224.486.107 224.525.063 2003
228.743.339 228.722.776 228.763.903
2004
233.061.085 233.039.439 233.082.730 2005 218.868.791 237.460.332 237.437.605 237.483.058 8,49 2006
241.942.619 241.918.810 241.966.427
2007
246.509.513 246.484.619 246.534.407 2008
251.162.612 251.136.628 251.188.596
2009
255.903.542 255.876.462 255.930.622 2010 237.641.326 260.733.962 260.705.778 260.762.146 9,72
|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)− 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙)
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆) 𝑥 100%
*Sumber :
Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]
37
Lampiran 5 Proyeksi penduduk tahun 2001-2025 berdasarkan data tahun 2000*
Zhitung = 1,96 λ1990 = 0,0257 µ1990 = 0,007 θ1990 = 0
Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|
Penduduk* penduduk (%)
(Proyeksi_BPS) (Model) 2000 206.264.595 206.264.595 206.264.595 206.264.595 0 2001 207.927.000 209.088.956 209.082.297 209.095.614 0,56 2002 210.736.300 211.951.990 211.942.508 211.961.471 0,57 2003 213.550.500 214.854.227 214.842.535 214.865.920 0,61 2004 216.381.600 217.796.205 217.782.610 217.809.800 0,65 2005 219.204.700 220.778.467 220.763.161 220.793.772 0,71 2006 222.051.300 223.801.564 223.784.681 223.818.448 0,78 2007 224.904.900 226.866.057 226.847.693 226.884.422 0,86 2008 227.779.100 229.972.511 229.952.740 229.992.282 0,95 2009 230.632.700 233.121.502 233.100.383 233.142.621 1,07 2010 233.447.400 236.313.612 236.291.192 236.336.032 1,21 2011 236.331.300 239.549.431 239.525.748 239.573.113 1,34 2012 239.174.300 242.829.557 242.804.644 242.854.470 1,51 2013 242.013.800 246.154.598 246.128.481 246.180.715 1,68 2014 244.814.900 249.525.169 249.497.869 249.552.468 1,89 2015 247.572.400 252.941.892 252.913.429 252.970.355 2,12 2016 250.342.100 256.405.400 256.375.789 256.435.011 2,36 2017 253.088.900 259.916.334 259.885.588 259.947.080 2,63 2018 255.792.900 263.475.342 263.443.472 263.507.213 2,92 2019 258.437.000 267.083.084 267.050.098 267.116.070 3,24 2020 261.005.000 270.740.226 270.706.132 270.774.320 3,60 2021 263.585.500 274.447.445 274.412.249 274.482.642 3,96 2022 266.102.800 278.205.427 278.169.132 278.241.721 4,35 2023 268.564.100 282.014.866 281.977.477 282.052.255 4,77 2024 270.917.600 285.876.468 285.837.986 285.914.949 5,23 2025 273.219.200 289.790.946 289.751.373 289.830.519 5,72
|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)− 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙)𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)
𝑥 100%
*Sumber :
Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]
38
Lampiran 6 Proyeksi penduduk tahun 2001-2035 berdasarkan data tahun 2010*
Zhitung = 1,96 λ1990 = 0,0184 µ1990 = 0,0063 θ1990 = 0,0001
Tahun Jumlah Batas bawah Batas atas
Penduduk*
(Model) 2010 237.641.326 237.641.326 237.641.326 2011 240.534.253 240.527.483 240.541.023 2012 243.462.397 243.452.764 243.472.030 2014 249.426.056 249.412.266 249.439.847 2015 252.462.445 252.446.931 252.477.958 2016 255.535.796 255.518.697 255.552.896 2017 258.646.562 258.627.977 258.665.146 2018 261.795.196 261.775.204 261.815.188 2019 264.982.160 264.960.822 265.003.498 2020 268.207.921 268.185.287 268.230.554 2021 271.472.950 271.449.061 271.496.839 2022 274.777.726 274.752.617 274.802.836 2023 278.122.733 278.096.432 278.149.035 2024 281.508.461 281.480.992 281.535.930 2025 284.935.404 284.906.789 284.964.020 2026 288.404.066 288.374.321 288.433.811 2027 291.914.953 291.884.094 291.945.812 2028 295.468.580 295.436.620 295.500.540 2029 299.065.467 299.032.418 299.098.517 2030 302.706.141 302.672.011 302.740.271 2031 306.391.135 306.355.932 306.426.337 2032 310.120.987 310.084.718 310.157.256 2033 313.896.246 313.858.916 313.933.575 2034 317.717.462 317.679.076 317.755.848 2035 321.585.196 321.545.757 321.624.634
*Sumber :
Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]