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Prueba de hipotesis sobre laexistencia de una raız fraccional enuna serie de tiempo no estacionaria
Diego Fernando Lemus Polanıa
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Escuela de Estadıstica
Medellın, Colombia
2012
Prueba de hipotesis sobre laexistencia de una raız fraccional enuna serie de tiempo no estacionaria
Diego Fernando Lemus Polanıa
Tesis presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:
Magister en Ciencias - Estadıstica
Director:
Elkin Argemiro Castano Velez, M.Sc.
Lınea de Investigacion:
Procesos de memoria larga
Series de Tiempo, Sede Medellın
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Escuela de Estadıstica
Medellın, Colombia
2012
Dedicatoria
A mi novia, mis padres y mis hermanos.
Agradecimientos
Agradezco a todas las personas que hicieron posible el exitoso desarrollo de este trabajo
de grado, especialmente al profesor Elkin Argemiro Castano Velez, pues su trabajo como
asesor fue clave para lograr los objetivos propuestos, y al profesor Norman Diego Giraldo
por sus comentarios y el apoyo brindado a este proyecto.
Tambien agradezco al magister en estadıstica Jhonatan Cardona Jimenez por su asesorıa
sobre programacion en paralelo, y a los profesores Rene Iral Palomino, Juan Carlos Salazar
Uribe, Vıctor Ignacio Lopez Rıos, Carlos Mario Lopera Gomez y Mario Cesar Jaramillo
Elorza por facilitarme los recursos computacionales requeridos para el trabajo de simu-
lacion.
ix
Resumen
En este trabajo se propone una modificacion de la prueba de hipotesis propuesta por
Castano, Gomez & Gallon (2008) para determinar la existencia de memoria larga de un
modelo ARFIMA (p,d,q) estacionario e invertible. En el caso puntual de los modelos
ARFIMA (p,d,q), esta modificacion permite determinar la existencia de una raız frac-
cional en una serie de tiempo no estacionaria cuyo componente ARMA de corto plazo es
indeterminado o desconocido. Vıa simulacion se validan los resultados analıticos obtenidos
en el trabajo y se demuestra el buen comportamiento de la prueba propuesta en terminos
de potencia y tamano, en comparacion con otras metodologıas disponibles en la literatura.
Al final de este trabajo se presenta una aplicacion empırica de los contrastes presentados.
Palabras claves: Series de tiempo de memoria larga, parametro de diferenciacion frac-
cional, aproximacion autorregresiva, proceso ARFIMA no estacionario.
Abstract
In this work we present a modification for the hypothesis testing procedure for the exis-
tence of long memory in an stationary and invertible ARFIMA (p,d,q) process, proposed
by Castano et al. (2008). This modification allows to assess the existence of a fractional
root in a non-stationary time series when the short-term ARMA component is undeter-
mined or unknown, especially in ARFIMA (p,d,q) processes. We validate, via Monte Carlo
simulations, the analytical results and demonstrate the good performance of the proposed
test in terms of both, power and size, in comparison to other well-known tests in the lit-
erature. This work ends with an empirical application of the presented methodologies.
Keywords: Long memory time series, fractional differencing parameter, autoregressive
approximation, non-stationary ARFIMA process
Indice general
1. Introduccion 3
2. Procesos estacionarios y no estacionarios: conceptos y modelos 7
2.1. Procesos de memoria larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Modelos ARFIMA(p,d,q): Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . 9
3. Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios 13
3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Metodologıas consideradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1. La prueba de Geweke & Porter-Hudak (GPH) . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2. La prueba de Robinson (ROB95) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.3. La prueba de Tanaka (TAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.4. La prueba de Harris, McCabe y Leybourne (HML) . . . . . . . . . 20
3.2.5. La prueba de Dolado, Gonzalo & Mayoral (DGM) . . . . . . . . . . 21
3.2.6. La prueba de Lobato & Velasco (LV) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Prueba propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2. Metodologıa propuesta -Prueba (CL)- . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Analisis de simulacion 31
4.1. Factores considerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1. Variables de interes en el estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.2. Observaciones del trabajo de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3. Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas . . . . . . . . . . . . 66
4.3.1. Pruebas de raız unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2. Pruebas de raız fraccional no estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.3. Procedimiento de identificacion y estimacion . . . . . . . . . . . . . 71
xii Indice general
5. Conclusiones y trabajo futuro 81
5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A. Apendice: Algunas definiciones consideradas 85
A.1. Movimiento Browniano estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2. Movimiento Browniano fraccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
B. Apendice: Programacion en paralelo con R 89
B.1. Rutina implementada en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C. Apendice: Resultados de simulacion 107
Bibliografıa 126
Indice de figuras
4-1. Curvas de potencia. Caso1: ARFIMA(0,d,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4-2. Curvas de potencia promedio. Caso 2: ARFIMA(1,d,0). φ′s > 0 . . . . . . 40
4-3. Curvas de potencia promedio. Caso 3: ARFIMA(1,d,0). φ′s < 0 . . . . . . 43
4-4. Curvas de potencia promedio. Caso 4: ARFIMA(0,d,1). θ′s > 0 . . . . . . . 46
4-5. Curvas de potencia promedio. Caso 5: ARFIMA(0,d,1). θ′s < 0 . . . . . . . 49
4-6. Curvas de potencia promedio. Caso 6: ARFIMA(1,d,1). φ′s > 0 y θ′s > 0 . 52
4-7. Curvas de potencia promedio. Caso 7: ARFIMA(1,d,1). φ′s > 0 y θ′s < 0 . 55
4-8. Curvas de potencia promedio. Caso 8: ARFIMA(1,d,1). φ′s < 0 y θ′s > 0 . 59
4-9. Curvas de potencia promedio. Caso 9: ARFIMA(1,d,1). φ′s < 0 y θ′s < 0 . 63
4-10.Serie de la concentracion de hierro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4-11.Serie transformada de la concentracion de hierro . . . . . . . . . . . . . . . 67
4-12.ACF - PACF de la serie transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4-13.Serie transformada diferenciada fraccionalmente . . . . . . . . . . . . . . . 72
4-14.ACF - PACF de la serie diferenciada fraccionalmente . . . . . . . . . . . . 73
4-15.EACF de la serie diferenciada fraccionalmente . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4-16.ACF - PACF. Serie de residuales al cuadrado del modelo identificado ARFIMA(0,d,1) 75
4-17.Normal QQ plot - Residuales del modelo identificado ARFIMA(0,d,1) . . . 76
4-18.Densidad muestral de los residuales del modelo identificado ARFIMA(0,d,1) 76
4-19.t de student QQ plot - Residuales del modelo completo ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1) 78
5-1. Cluster de las pruebas de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Indice de cuadros
4-1. Potencias y tamano de las pruebas. Caso 1. T = 500 . . . . . . . . . . . . 37
4-2. Potencias y tamano de las pruebas. Caso 1. T = 1000 . . . . . . . . . . . . 37
4-3. Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 2. T = 500 . . . . . . . 41
4-4. Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 2. T = 1000 . . . . . . 41
4-5. Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 3. T = 500 . . . . . . . 44
4-6. Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 3. T = 1000 . . . . . . 44
4-7. Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 4. T = 500 . . . . . . . 47
4-8. Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 4. T = 1000 . . . . . . 47
4-9. Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 5. T = 500 . . . . . . . 50
4-10.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 5. T = 1000 . . . . . . 50
4-11.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 6. T = 500 . . . . . . . 53
4-12.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 6. T = 1000 . . . . . . 53
4-13.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 7. T = 500 . . . . . . . 56
4-14.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 7. T = 1000 . . . . . . 56
4-15.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 8. T = 500 . . . . . . . 60
4-16.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 8. T = 1000 . . . . . . 60
4-17.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 9. T = 500 . . . . . . . 64
4-18.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 9. T = 1000 . . . . . . 64
4-19.Prueba ADF - Caminata aleatoria con deriva y sin tendencia determinıstica 69
4-20.Regresion ajustada - Caminata aleatoria con deriva y sin tendencia determinıstica 69
4-21.Prueba ADF -Caminata Aleatoria con deriva alrededor de una tendencia determinıstica 69
4-22.Regresion ajustada - Caminata Aleatoria con deriva alrededor de una tendencia determinıstica
4-23.Resultados de las diferentes pruebas de raız fraccional no estacionaria . . . 70
4-24.Estimacion del modelo aproximado ARFIMA(p∗, d, 0) . . . . . . . . . . . 71
4-25.Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo aproximado ARFIMA(p∗, d, 0) 72
4-26.Estimacion del modelo identificado para la componente a corto plazo ARFIMA(0,d,1) 74
4-27.Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo identificado ARFIMA(0,d,1) 74
4-28.Prueba de McCleod-Li para heterocedasticidad condicional . . . . . . . . . 75
4-29.Estimacion del modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Indice de cuadros 1
4-30.Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo completo ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1) 77
4-31.Prueba de McCleod-Li para heterocedasticidad condicional . . . . . . . . . 78
4-32.Prueba de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B-1. Comparacion de tiempos de ejecucion usando 1 vs 30 procesadores . . . . . 90
1. Introduccion
Una actividad rutinaria en la creacion de modelos para series temporales consiste en
realizar pruebas de no estacionariedad empleando alguno de los diferentes enfoques de
pruebas de raız unitaria I(0) vs I(1)1. Granger (1980) y Granger & Joyeux (1980) de-
mostraron que algunas series de tiempo no estan bien representadas como un proceso
estacionario de memoria corta I(0) o como un proceso no estacionario con raız unitaria
I(1). De igual manera, demostraron que para la correcta modelizacion de estas series de
tiempo, la diferenciacion entera hasta conseguir estacionariedad es excesiva (sobredifer-
enciacion), debido a que usualmente la serie diferenciada pierde su componente de bajas
frecuencias importante para las predicciones a largo plazo (pero la no diferenciacion tam-
poco es adecuada).
Granger & Joyeux (1980) y Hosking (1981) proponen una clase de procesos intermedios en
los cuales el orden de integracion puede tomar un valor cualquiera en un intervalo contin-
uo de numeros reales. La correcta estimacion de este parametro permite una modelacion
adecuada de series de tiempo estacionarias y no estacionarias. Se trata de los procesos au-
torregresivos y de medias moviles fraccionalmente integrados ARFIMA(p,d,q), los cuales
segun Beran (1993) y Granger & Joyeux (1980) han resultado ser muy utiles en la cap-
tura de las propiedades de persistencia de muchos procesos de memoria larga. Segun los
autores, estos procesos tienen como finalidad cubrir el vacıo entre los casos extremos de
modelos con raıces unitarias, usualmente empleados en series no estacionarias homogeneas
por su grado extremo de persistencia en las autocorrelaciones muestrales -modelos ARIMA
(p,d,q)- y los modelos estacionarios que imponen un patron de decrecimiento exponencial
en las autocorrelaciones muestrales - modelos ARMA(p,q)-.
Segun Diebold & Rudebush (1989) y Lee & Schmidt (1996), las pruebas de raız unitaria
clasicas son consistentes cuando la alternativa es un proceso fraccionalmente integrado
-FI(d)-, pero su potencia resulta ser bastante baja. Esta falta de potencia ha motivado el
desarrollo de nuevos enfoques (nuevas pruebas) en los cuales se consideran explıcitamente
1I(0): Proceso estacionario de memoria corta vs I(1):Proceso no estacionario de raız unitaria
4 1 Introduccion
este tipo de alternativas .
En Castano et al. (2008) se aborda el problema de determinar la existencia de memoria
larga en un proceso ARFIMA (p,d,q) estacionario e invertible, y se presenta una prueba
para el parametro de diferenciacion fraccional basada en una aproximacion autorregresiva
de su componente a corto plazo. Los autores demuestran que la prueba propuesta tiene
generalmente potencias superiores, conservando un tamano adecuado a las obtenidas con
algunas de las pruebas mas utilizadas en la literatura y la practica, entre las cuales re-
saltan la prueba de Geweke & Porter-Hudak (1983), el contraste de Kwiatkowski, Phillips,
Schmidt & Shin (1992), la prueba de Robinson (1994), la prueba de Lobato & Robinson
(1998), la prueba de Tanaka (1999) y la prueba de Harris, McCabe & Leybourne (2008).
Los objetivos de este trabajo son desarrollar una modificacion de la prueba propuesta
por Castano et al. (2008) que permita identificar la existencia de una raız fraccional en
una serie de tiempo no estacionaria cuyo componente ARMA(p,q) de corto plazo es inde-
terminado o desconocido, y determinar, vıa simulacion Monte Carlo, el comportamiento
de la prueba propuesta en terminos de potencia y tamano bajo diferentes escenarios de
simulacion (diferentes tamanos de muestra y valores en los coeficientes del componente
ARMA del proceso) en comparacion con los resultados obtenidos por otras metodologıas
disponibles en la literatura para tal fin, entre las cuales se presentan la prueba de Geweke
& Porter-Hudak (1983), la prueba de Robinson (1995), la prueba de Tanaka (1999), la
prueba de Dolado, Gonzalo & Mayoral (2002), la prueba de Lobato & Velasco (2007) y la
prueba de Harris et al. (2008). Para cumplir el segundo objetivo del presente trabajo se
considero el intervalo de valores del parametro de diferenciacion fraccional d que mayor
atencion ha recibido en la literatura revisada (1/2 ≤ d < 3/2).
En el Capıtulo 1 se plantean las definiciones del fenomeno de memoria larga y de no
estacionaridad, y del modelo ARFIMA(p,d,q), con algunas propiedades basicas del mis-
mo. En el Capıtulo 2 se describe la prueba propuesta y sus antecedentes, y cada una de
las metodologıas alternativas enunciadas en el parrafo anterior. En el tercer capıtulo se
enuncian los factores y escenarios considerados en el estudio de simulacion y los resulta-
dos del mismo, seguidos por una aplicacion empırica de los contrastes considerados. En el
capıtulo final se presentan las conclusiones y recomendaciones del estudio y algunas ideas
para trabajos posteriores.
Por ultimo, tres apendices: en el primero se enuncian algunas definiciones empleadas en
5
este trabajo de grado, en el segundo se presenta el significado de programacion en paralelo
en el software estadıstico R y sus ventajas sobre la programacion lineal usualmente em-
pleada, y la rutina en R disenada para el estudio vıa simulacion de este trabajo, donde el
lector puede encontrar el codigo desarrollado para implementar cualquiera de los contrates
enunciados en el parrafo anterior, incluyendo el de la prueba propuesta; en el tercero se
presentan las tablas con todos los resultados obtenidos en el trabajo de simulacion desar-
rollado.
2. Procesos estacionarios y no
estacionarios: conceptos y modelos
El objeto de estudio en este trabajo son los fenomenos cuantificables que evolucionan en el
tiempo segun un mecanismo no determinıstico. La variabilidad inherente a estos procesos
genera una secuencia de observaciones con caracterısticas irreproducibles. Sin embargo,
hay ciertas propiedades que son transversales a cualquier sistema temporal: tendencia,
fluctuaciones, estacionalidad, entre otras. Una de estas tiene especial interes tanto teorico
como practico: el grado de interdependencia muestral.
Este trabajo esta enfocado en aquellas series de tiempo con una clase particular de inter-
dependencia muestral, conocidas en la literatura relacionada como procesos de memoria
larga o con dependencia muestral a largo plazo. En la siguiente seccion se presentan algu-
nas definiciones formales de los procesos de memoria larga. En la Seccion 2.2 se presenta
la definicion de una de las clases de modelos de fuerte interdependencia muestral mas
importantes en la literatura, los procesos autorregresivos y de medias moviles fraccional-
mente integrados ARFIMA(p,d,q).
2.1. Procesos de memoria larga
La propiedad de memoria larga en una serie temporal suele entenderse como la existencia
de una dependencia no despreciable entre observaciones que distan entre sı largos periodos
de tiempo.
Muchos autores definen la memoria de un proceso segun el comportamiento asintotico
de su funcion de autocovarianza. Si {Xt : t ∈ Z} es un proceso estacionario con funcion
de autocovarianza γ(k), se puede afirmar que este proceso tiene memoria larga, si y solo si:
8 2 Procesos estacionarios y no estacionarios: conceptos y modelos
∞∑
k=−∞
| γ(k)| = ∞. (2-1)
Por lo tanto, si las autocovarianzas de un proceso estacionario son absolutamente sum-
ables, se puede afirmar que el proceso en cuestion tiene memoria corta. Por el contrario,
un proceso tiene memoria larga si sus autocovarianzas no son absolutamente sumables.
Por otra parte, Beran (1993) demostro que cualquier proceso estacionario {Xt} con funcion
de autocorrelacion ρ(k) y densidad espectral f(λ) tiene esta propiedad, si existe un numero
real 0 < α < 1 y una constante Cρ > 0, tales que,
ρ(k) ∼ Cρk−α cuando k → ∞, (2-2)
o de igual manera, si existe un numero real 0 < β < 1 y una constante Cf > 0, tales que,
f(λ) ∼ Cf |λ|−β cuando λ→ 0+, (2-3)
Una definicion alternativa del comportamiento de memoria larga esta basada en la des-
composicion de Wold del proceso {Xt} -Subseccion 1.1.3 de Palma (2007)-
ψj ∼ jd−1ℓ(j) para j > 0, (2-4)
donde ℓ(j) es una funcion de variacion lenta (inducida por una sucesion de variacion lenta)
y d es el parametro de memoria larga asociado al proceso.
NOTA: En las ecuaciones (2-2), (2-3) y (2-4) el sımbolo ∼ indica que el cociente de los
terminos a la derecha e izquierda convergen hacia uno.
En la Seccion 3.1 de Palma (2007) se informa que desafortunadamente las definiciones
enunciadas en (2-1),(2-2), (2-3) y (2-4) no son necesariamente equivalentes y presenta el
siguiente teorema donde plantea algunas relaciones entre estas.
Teorema 1.1 Sea {Xt : t ∈ Z} un proceso estacionario con expansion de Wold
Xt =
∞∑
j=0
ψjǫt−j
donde {ǫt} es una sucesion de variables aleatorias no observables. Asumiendo que d ∈(0, 1/2).
2.2 Modelos ARFIMA(p,d,q): Definicion y propiedades 9
Si {Xt : t ∈ Z} satisface (2-4) entonces cumple con (2-2).
Si {Xt : t ∈ Z} satisface (2-2) entonces cumple con (2-1).
Si se satisfacen las dos condiciones anteriores entonces se cumple (2-3).
Beran (1993) define en el caso de la funcion de densidad espectral, que esta contiene
informacion sobre el peso relativo de cada frecuencia en la variabilidad total de la serie,
siendo el periodo asociado a cada frecuencia λ igual a 2π/λ. Cuando λ = 0, el periodo
correspondiente es infinito, y por tanto, en series con memoria larga, donde la densidad
espectral no esta acotada en el dominio de la frecuencia para λ = 0, el componente a
largo plazo domina a cualquier otro componente de corto plazo.
Es importante senalar que las definiciones de memoria larga planteadas son asintoticas,
en el sentido que informan sobre la tasa de convergencia hacia cero de las correlaciones
cuando k → ∞, o el comportamiento del espectro cuando λ→ 0+. Estas definiciones son
suficientes para abordar los procesos ARFIMA(p,d,q), los cuales se consideran en este
trabajo por ser modelos muy utilizados en el analisis empırico de series de tiempo.
2.2. Modelos ARFIMA(p,d,q): Definicion y propiedades
Una clase de modelos de memoria larga muy difundida en la literatura y en la practi-
ca son los procesos autorregresivos y de medias moviles fraccionalmente integrados -
ARFIMA(p,d,q)-, introducidos por Granger & Joyeux (1980) y Hosking (1981).
Se dice que un proceso estocastico {Xt : t ∈ Z} sigue un proceso ARFIMA(p,d,q) si es
una solucion a la ecuacion:
φ(B)(1− B)dXt = θ0 + θ(B)at, t = 1, ..., T (2-5)
donde φ(B) = 1−φ1B−· · ·−φpBp y θ(B) = 1−θ1B−· · ·−θqBq son respectivamente los
polinomios autorregresivo y de medias moviles de orden p y q en terminos del operador
de rezago B de un proceso ARMA(p,q), cuyas raıces estan fuera del cırculo unitario y no
se encuentran raıces comunes entre estos. θ0 es un numero real cualquiera, el proceso ates una sucesion de variables aleatorias no observables, con media cero y varianza finita σ2
a
y (1− B)d =∞∑
k=0
(
d
k
)
(−B)d es el operador de diferencia fraccional.
10 2 Procesos estacionarios y no estacionarios: conceptos y modelos
En estos modelos, el grado de memoria y de estacionaridad del proceso esta definido por
el parametro de diferenciacion fraccional d, el cual toma valores en un intervalo continuo
de numeros reales. Su valor es de interes para el analista de series temporales por las
propiedades caracterısticas de los procesos obtenidos dependiendo del valor de este, donde:
Si d=0, el proceso {Xt} en (2-5) corresponde a una serie de tiempo estacionaria de
memoria corta ARMA(p,q).
Si d=1, el proceso {Xt} en (2-5) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria
que posee una raız unitaria. En este caso, la primera diferencia del proceso {Xt} es
estacionaria.
Si d es otro numero entero, el proceso {Xt} en (2-5) corresponde a una serie de tiem-
po no estacionaria que posee d raıces unitarias. Por lo tanto, la d-esima diferencia
del proceso {Xt} es estacionaria.
Si d es un numero real no entero, el proceso {Xt} en (2-5) corresponde a un proceso
fraccionalmente integrado ARFIMA (p,d,q).
Hosking (1981) analizo el comportamiento asintotico de la funcion de autocorrelacion del
caso mas sencillo de los procesos ARFIMA (p,d,q): el caso donde no hay dependencia
dinamica a corto plazo en la serie {Xt} en (2-5), es decir, cuando p = q = 0. El proce-
so resultante, conocido como ruido blanco fraccionalmente integrado o ARFIMA(0,d,0),
viene dado por la siguiente ecuacion:
(1−B)dXt = at, t = 1, ..., T (2-6)
donde at es una sucesion de variables aleatorias no observables, con media cero y varianza
finita σ2a. Para el proceso (2-6) Hosking (1981) demostro que:
Si −1/2 < d el proceso {Xt} en (2-6) es invertible.
Si d < 1/2 el proceso {Xt} en (2-6) es estacionario.
Por lo tanto, si −1/2 < d < 1/2, el proceso {Xt} en (2-6) es estacionario e invertible.
Ahora, si {Xt} en (2-6) es invertible, el proceso admite la siguiente representacion AR(∞):
(1− B)dXt =
∞∑
k=0
ΠkZt−k = at, t = 1, ..., T
2.2 Modelos ARFIMA(p,d,q): Definicion y propiedades 11
donde Πk = Γ(k−d)Γ(−d)Γ(k+1)
.
Ademas, si {Xt} es estacionario, el proceso tiene ademas una representacion MA(∞)
dada por:
Xt =
∞∑
k=0
ΨkZt−k = (1− B)−dat, t = 1, ..., T
donde Ψk = Γ(k+d)Γ(d)Γ(k+1)
.
Mediante la aproximacion [Γ(a + x)/Γ(b + x)] ≈ xa−b cuando x → ∞, Hosking (1981)
encontro que los coeficientes de la representacion de Wold del proceso ARFIMA(0,d,0)
convergen hiperbolicamente hacia cero. Es decir, los coeficientes satisfacen la condicion de
estacionariedad
(
∞∑
k=0
Ψ2k <∞
)
pero no son absolutamente sumables
(
∞∑
k=0
|Ψk| = ∞)
.
De lo anterior, se derivan las siguientes expresiones para la funcion de autocovarianza y
la varianza del proceso ARFIMA(0,d,0), respectivamente:
γ(k) = σ2a
(
Γ(1− 2d)Γ(k + d)
Γ(d)Γ(1− d)Γ(k + 1− d)
)
(2-7)
γ(0) = σ2a
(
Γ(1− 2d)
Γ(1− d)2
)
(2-8)
Dividiendo (2-7) entre (2-8) se obtiene la funcion de autocorrelacion del proceso ARFI-
MA(0,d,0):
ρ(k) =
(
Γ(1− d)Γ(k + d)
Γ(d)Γ(k + 1− d)
)
(2-9)
Para k → ∞ se puede emplear la aproximacion [Γ(a + x)/Γ(b + x)] ≈ xa−b en (2-9) y se
obtiene la siguiente expresion:
ρ(k) =
(
Γ(1− d)
Γ(d)
)
× k2d−1 (2-10)
De la definicion (2-3) y la ecuacion (2-10) se obtienen las propiedades mas importantes
del proceso ARFIMA(0,d,0). En primer lugar, si 0 < d < 1/2 la densidad espectral es
una funcion decreciente de λ, no acotada en el origen y concentrada en las bajas frecuen-
cias, en segundo lugar, las autocorrelaciones son todas positivas, decaen lentamente a un
12 2 Procesos estacionarios y no estacionarios: conceptos y modelos
ritmo hiperbolico de orden aproximado k2d−1 y no son absolutamente sumables. Estas
propiedades son precisamente las que caracterizan los modelos con memoria larga, por lo
que se puede concluir que en el intervalo 0 < d < 1/2, el proceso ARFIMA(0,d,0) es un
proceso estacionario con memoria larga.
Por el contrario, cuando −1/2 < d < 0, la densidad espectral se anula en el origen y
esta dominada por las frecuencias altas, y las autocorrelaciones son todas negativas y ab-
solutamente sumables. Estas propiedades son precisamente las que caracterizan los mod-
elos con memoria corta, por lo tanto se puede concluir que en el intervalo −1/2 < d < 0,
el proceso ARFIMA(0,d,0) es un proceso estacionario con memoria corta.
A pesar de la falta de formulas explıcitas para el analisis del comportamiento a largo plazo
del proceso general ARFIMA(p,d,q), el comportamiento asintotico del valor absoluto de
las autocorrelaciones parciales del proceso general es similar al obtenido para el proceso
ARFIMA(0,d,0), ya que para observaciones muy distantes los efectos de los parametros
ARMA son practicamente despreciables.
Como conclusion, si el valor del parametro de diferenciacion se encuentra entre −1/2 <
d < 1/2, {Xt} en (2-5) corresponde a un proceso fraccionalmente integrado ARFI-
MA(p,d,q), estacionario e invertible, en el cual:
Si −1/2 < d < 0, {Xt} en (2-5) es un proceso estacionario que exhibe una fuerte
reversion a la media y su funcion de autocovarianza decrece mas rapidamente a
cero que la de un proceso ARMA(p,q). En este caso, el proceso es llamado anti-
persistente.
Si 0 < d < 1/2, {Xt} en (2-5) es un proceso estacionario de memoria larga.
Ahora, si el parametro de diferenciacion fraccional es d ≥ 1/2 el proceso es, en general,
no estacionario. Sin embargo, los procesos fraccionalmente integrados con 1/2 < d < 1
permiten modelar el comportamiento de series no estacionarias, pero que finalmente re-
vierten hacia la media; mientras si d ≥ 1 permiten modelar procesos no estacionarios sin
reversion a la media.
3. Pruebas para procesos
fraccionalmente integrados -FI(d)-
no estacionarios
En Diebold & Rudebush (1989) y Lee & Schmidt (1996), los autores encontraron evidencia
de memoria a larga en cada una de las series macroeconomicas estudiadas y demostraron
que su grado de persistencia no esta asociado al caso de raız unitaria. Las estimaciones
puntuales del parametro de memoria d obtenidas en estos artıculos son todas menores a la
unidad (0.5 < d < 0.90) y ofrecen al lector una perspectiva diferente sobre la persistencia
de los shocks en diferentes actividades economicas.
Dichas estimaciones puntuales sugieren fuertemente que las innovaciones del proceso se
disipan parcialemente y que las parametrizaciones d = 1 y d = 0 que surgen en la mod-
elizacion de los procesos ARIMA estandar (objeto implıcito de la literatura sobre raıces
unitarias) pueden ser demasiado restrictivas dado el grado de persistencia de las series
estudiadas.
Sin embargo, los errores estandar de estas estimaciones puntuales de d son muy grandes,
por lo cual, al construir intervalos de confianza para el parametro de interes, en muchas
circunstancias se incluye la raız unitaria (30%-60% dependiendo del caso), imposibilitan-
do ası la inferencia sobre d, dado que en el mismo intervalo de confianza se encuentran
la hipotesis nula y la alternativa. Estos resultados han motivado una exploracion mas
detallada de la naturaleza de la dinamica de las bajas frecuencias en este tipo de series
economicas y el desarrollo de nuevos enfoques y nuevas teorıas de optimalidad asintotica,
de las cuales surgieron nuevas pruebas de hipotesis que toman en consideracion los pro-
cesos fraccionalmente integrados FI(d).
La creciente literatura sobre este tema se puede clasificar basicamente en dos lıneas. En
primer lugar, hay pruebas de tipo Wald que, trabajando bajo la hipotesis alternativa,
14 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios
realiza estimaciones puntuales de los parametros de memoria larga y construye intervalos
de confianza alrededor de estas estimaciones. En segundo lugar, hay pruebas basadas en
multiplicadores de Lagrange (LM), en las cuales los estadısticos de prueba son evaluados
bajo la correspondiente hipotesis nula.
Dentro del primer grupo, existen diversos metodos parametricos y semiparametricos, tan-
to en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, desarrollados para
estimar el parametro de diferenciacion d y poder hacer inferencia sobre las caracterısticas
del proceso estacionario estudiado -ver Geweke & Porter-Hudak (1983), Robinson (1994),
Sowell (1992), Beran (1995)-. Sin embargo, la mayorıa de estas pruebas tienen muy poca
potencia cuando son empleadas para contrastar la presencia de memoria larga en una
serie temporal.
Por un lado, las tecnicas semiparametricas tienden a producir intervalos de confianza muy
amplios, que incluyen con una frecuencia no despreciable la hipotesis nula. Por otro lado,
aunque en general los metodos parametricos presentan intervalos de confianza mas estre-
chos, la precision en la estimacion de los parametros depende de la especificacion correcta
del modelo.
Dentro del segundo grupo, Tanaka (1999) y Robinson (1994) proponen pruebas LM en
el dominio del tiempo y la frecuencia, respectivamente. Una caracterıstica distintiva de
ambos enfoques es que, a diferencia de las pruebas clasicas de raız unitaria, donde las
distribuciones asintoticas no son normales y requieren de tabulacion numerica, en estas
pruebas las distribuciones asintoticas sı lo son. A pesar de la ventaja de tener una dis-
tribucion lımite normal, un defecto del enfoque de LM es que, al trabajar bajo la hipotesis
nula, estas pruebas no brindan informacion directa sobre el verdadero valor del parametro
de larga memoria d cuando esta hipotesis se rechaza.
3.1. Planteamiento del problema
Para cubrir el vacıo entre los casos extremos de modelos con raıces unitarias, usualmente
empleados en series no estacionarias homogeneas por su grado extremo de persistencia
en las autocorrelaciones muestrales -Modelos ARIMA (p,d,q)- y los modelos estacionarios
que imponen un patron de decrecimiento exponencial en las autocorrelaciones muestrales
-Modelos ARMA(p,q)-, Granger & Joyeux (1980) y Hosking (1981) proponen una clase
3.1 Planteamiento del problema 15
de procesos intermedios en los cuales el orden de integracion es fraccionario -Modelos
ARFIMA(p,d,q)-.
En estos modelos, la memoria y la no estacionaridad del proceso estan definidas por el
parametro de diferenciacion fraccional d, el cual puede tomar un valor cualquiera en un
intervalo continuo de numeros reales. Su correcta estimacion puede permitir una mod-
elacion adecuada de series de tiempo estacionarias y no estacionarias.
En este trabajo, se considera el modelo ARFIMA (p,d,q) presentado en (2-5) con d ≥ 0.5.
Especıficamente se consideran los procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no esta-
cionarios en el rango de valores entre 1/2 ≤ d < 3/2, por ser el intervalo de mayor interes
en la literatura relacionada, en el cual:
Si d = 1. Xt en (2-5) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que posee
una raız unitaria. En este caso, la primera diferencia del proceso Xt es estacionaria.
Si d 6= 1 y el valor del parametro de diferenciacion se encuentra entre 1/2 ≤ d < 3/2,
entonces Xt en (2-5) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que posee
una raız fraccional.
Para esta ultima situacion se identifican los siguientes casos:
• Si 1/2 ≤ d < 1, el proceso Xt en (2-5) es no estacionario de memoria larga
con reversion a la media. La primera diferencia de esta serie es estacionaria y
exhibe una fuerte reversion a la media; en decir, la nueva serie temporal sera un
proceso antipersistente.
• Si 1 < d < 3/2, el proceso Xt en (2-5) es no estacionario de memoria larga sin
reversion a la media. La primera diferencia de esta serie sera estacionaria de
memoria larga.
Los objetivos de este trabajo son desarrollar una modificacion de la prueba propuesta
por Castano et al. (2008) que permita identificar la existencia de una raız fraccional en
una serie de tiempo no estacionaria cuyo componente ARMA(p,q) de corto plazo es inde-
terminado o desconocido, y determinar, vıa simulacion Monte Carlo, el comportamiento
de la prueba propuesta en terminos de potencia y tamano bajo diferentes escenarios de
simulacion (diferentes tamanos de muestra y valores en los coeficientes del componente
ARMA del proceso) en comparacion con los resultados obtenidos por otras metodologıas
disponibles en la literatura para tal fin, entre las cuales se presentan la prueba de Geweke
16 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios
& Porter-Hudak (1983), la prueba de Robinson (1995), la prueba de Tanaka (1999), la
prueba de Dolado et al. (2002), la prueba de Lobato & Velasco (2007) y la prueba de
Harris et al. (2008).
Para cumplir el segundo objetivo del presente trabajo se considero el intervalo de valores
del parametro de diferenciacion fraccional d que mayor atencion ha recibido en la literatu-
ra revisada (1/2 ≤ d < 3/2). A continuacion se describe brevemente la prueba propuesta,
sus antecedentes y cada uno de los contrastes alternativos considerados.
3.2. Metodologıas consideradas
Las metodologıas consideradas en este estudio se pueden clasificar en dos grupos: en el
primero, las pruebas que fueron disenadas originalmente para determinar la existencia de
una raız fraccional en una serie de tiempo estacionaria, que segun Robinson (1995) tambien
pueden ser empleadas en el caso no estacionario si se diferencia la serie de tiempo observa-
da hasta obtener un valor de d en el intervalo estacionario e invertible (−1/2 < d < 1/2),
luego se ejecuta la prueba sobre la serie diferenciada y posteriormente se ajusta la esti-
macion con el numero de diferencias tomadas. Dentro del segundo grupo se encuentran las
pruebas que abordan el problema de forma directa, es decir, las metodologıas que realizan
el contraste de interes sin necesidad de diferenciar la serie temporal.
Dentro del primer grupo se destacan en este estudio las pruebas de Geweke & Porter-
Hudak (1983), de Robinson (1995), de Tanaka (1999), de Harris et al. (2008) y la modifi-
cacion propuesta de la prueba de Castano et al. (2008); del segundo grupo se consideran
la prueba de Dolado et al. (2002) y la prueba de Lobato & Velasco (2007).
3.2.1. La prueba de Geweke & Porter-Hudak (GPH)
Geweke & Porter-Hudak (1983) proponen un estimador semiparametrico del parametro
de diferenciacion fraccional d en el dominio de las frecuencias. Para el desarrollo teorico
de la prueba, los autores consideran el proceso (1 − B)dXt = Zt, donde Zt ∼ I(0). Este
proceso se puede representar en el dominio de las frecuencias por
fx(w) = |1− exp(−iw)|2dfz(w) (3-1)
3.2 Metodologıas consideradas 17
donde fx(w) y fz(w) son las densidades espectrales de los procesos Xt y Zt, respecti-
vamente. Evaluando el logaritmo de la expresion (3-1) y mediante algunas operaciones
algebraicas se puede obtener la siguiente expresion:
log{fx(wj)} = log{fz(0)} − d log{
4sen2(wj
2
)}
+ log
{
fu(wj)
fz(0)
}
(3-2)
donde fu(w) es la densidad espectral de un proceso de ruido blanco en la frecuencia w.
El contraste semiparametrico propuesto por Geweke & Porter-Hudak (1983) se basa en
la inferencia sobre el parametro de diferenciacion fraccional d a partir de su estimador
por mınimos cuadrados ordinarios en el modelo de regresion para el logaritmo del peri-
odograma de Xt, el cual esta dado por la siguiente expresion:
log{Ix(wj)} = β0 + β1 log{
4sen2(wj
2
)}
+ νj (3-3)
donde Ix(wj) es la j-esima ordenada del periodograma de Xt, wj = 2πj/T es la j-esima
frecuencia de Fourier y νj = log
{
fu(wj)
fz(0)
}
es el termino de error en la regresion, el cual
se asume i.i.d de media cero y varianza constante π/6, ∀j = 1, . . . , m, siendo m =⌊
T 1/2⌋
el mayor entero que es menor o igual a T 1/2. Al comparar las expresiones (3-2) y (3-3)
se puede determinar facilmente que el orden de diferenciacion fraccional d en (3-2) cor-
responde al negativo del coeficiente de regresion β1 en (3-3), por lo tanto, el contraste
I(0) vs FI(d) se realiza por medio de una prueba de dos colas para determinar la sig-
nificancia del coeficiente β1 en (3-3), y de esa manera hacer inferencia sobre el parametro d.
Los autores argumentan que para −1/2 < d < 0 y asumiendo algunas condiciones adi-
cionales, el estadıstico de prueba converge a una distribucion normal estandar
dGPH−d√var(d)
d→ N(0, 1)
donde
√
var(d) =π2
6
(
m∑
j=1
Rj − R
)−1
con Rj = log(4sin2(wj/2).
El estimador GPH es simple de aplicar y robusto a no normalidad; sin embargo, presenta
problemas de sesgo y eficiencia en presencia de componentes a corto plazo con raıces
cercanas al cırculo de unidad del proceso Xt. Como se enuncio anteriormente, esta prueba
18 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios
requiere de una prediferenciacion de la serie temporal antes de realizar el contraste de
interes en este estudio.
3.2.2. La prueba de Robinson (ROB95)
Robinson (1995) considerando el mismo proceso en Geweke & Porter-Hudak (1983) -
(1 − B)dXt = Zt, donde Zt ∼ I(0)- demostro que el estimador del parametro de difer-
enciacion fraccional dGPH propuesto por dichos autores es consistente y asintoticamente
normal para todo el rango de valores donde el proceso ARFIMA(p,d,q) es estacionario e
invertible (−1/2 < d < 1/2), y propone una version modificada y mas eficiente de este.
Una de las principales innovaciones del estimador propuesto por Robinson (1995) es que
solo requiere que la densidad espectral del proceso Xt -fx(w)- en (3-1) verifique la siguiente
condicion en las bajas frecuencias
fx(w) ∼ C|w|−2d cuando w → 0+
donde C es una constante positiva cualquiera. De igual manera comprueba que el modelo
de regresion propuesto por Geweke & Porter-Hudak (1983) es asintoticamente equivalente
al modelo:
log{Ix(wj)} = β0 + 2d log(|wj|) + νj (3-4)
donde Ix(wj) es la j-esima ordenada del periodograma de Xt, wj = 2πj/T es la j-esima
frecuencia de Fourier y νj = log
{
fu(wj)
fz(0)
}
es el termino de error en la regresion, el cual
se asume i.i.d, de media cero y varianza constante π/6, ∀j = 1, . . . , m.
Finalmente, determino que el estimador del parametro de diferenciacion fraccional d
obtenido por mınimos cuadrados ordinarios, utilizando las m primeras frecuencias en
torno al origen en la regresion (3-4) es consistente y asintoticamente normal, bajo la
hipotesis de normalidad para el proceso ARFIMA(p,d,q) definido en (2-5)√m(drob − d)
d→ N(0, π2
24)
El contraste I(0) vs FI(d) se realiza por medio de una prueba de dos colas para determinar
la significancia del coeficiente drob en (3-4). Como se enuncio anteriormente, esta prueba
requiere de una prediferenciacion de la serie temporal para realizar el contraste de interes
en este estudio.
3.2 Metodologıas consideradas 19
3.2.3. La prueba de Tanaka (TAN)
Tanaka (1999) considera el modelo
Zj = X ′jβ + Yj, con (1− B)d+θYj = µj, (3-5)
donde j = 1, 2, . . . , T , {Xj} es una secuencia de k x 1 variables no estocasticas, β es un
vector k x 1 de coeficientes desconocidos, d es un valor preasignado para el parametro de
diferenciacion fraccional con el fin de poder implementar la prueba, {µj} se asume que es
un proceso ARMA(p,q) de la forma φ(B)µj = θ(B)aj , con φ(B), θ(B) y {aj} tal y como
fueron definidos en (2-5).
Asumiendo, sin perdida de generalidad que β = 0, la prueba de hipotesis para contrastar la
hipotesis nula de corta memoria contra la alternativa ya sea de memoria larga estacionaria
o de antipersistencia en el proceso Zj es
H0 : θ = 0 vs H1 : θ 6= 0
Note que bajo este esquema se asume en (3-5) que d = 0 y −1/2 < θ < 1/2. El estadıstico
LM propuesto por Tanaka (1999) para implementar la prueba esta dado por la siguiente
expresion:
LMTan =1
σ2
T∑
j=2
(
j−1∑
k=1
1
kǫj−k
)
ǫj = T
T−1∑
k=1
1
kρk (3-6)
donde ρk es la autocorrelacion de orden k de los residuales ǫj = φ(B)θ−1(B)(1 − B)dZj .
Bajo θ = δ/√T , con δ fijo, de manera que δ → 0 mientras k → ∞, Tanaka (1999)
demostro que el estadıstico enunciado tiene una distribucion lımite normal
1√TLMTan =
√T
T−1∑
k=1
1
kρk
d→ N(δω2, ω2)
donde
ω2 =π2
6− (κ1, . . . , κp, λ1, . . . , λp)Φ
−1(κ1, . . . , κp, λ1, . . . , λp)′,
con
20 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios
κi =∞∑
j=1
1
jcj−i, λi = −
∞∑
j=1
1
jdj−i
donde cj y dj son los coeficientes de Bj en la expansion1
φ(B)y
1
θ(B)respectivamente, y
Φ es la matriz de informacion de Fisher para los coeficientes en φ(B) y θ(B). Note que
el esquema de prueba en (3-5) es bastante general y da la posibilidad de implementar
la prueba en el caso no estacionario cambiando d por el numero de diferencias enteras
que necesita Yj para que {µj} en (3-5) sea un proceso ARMA(p,q) estacionario. Se debe
informar al lector que esta prueba asume conocido el verdadero modelo a corto plazo
del proceso Zj para poder ser implementada, situacion que difıcilmente es cierta en la
practica.
3.2.4. La prueba de Harris, McCabe y Leybourne (HML)
Harris et al. (2008) proponen una modificacion de la prueba de Tanaka (1999) para con-
trastar la hipotesis nula de memoria corta con alternativas de memoria larga sobre el pro-
ceso considerado en (3-5). Asumiendo de igual manera que β = 0, la prueba de hipotesis
considerada esta dada por:
H0 : θ = 0 vs H1 : θ > 0
Note que bajo este esquema, se asume para el caso de los procesos ARFIMA(p,d,q) esta-
cionarios que d = 0 y 0 < θ < 1/2. El estadıstico LM propuesto por Harris et al. (2008)
para implementar la prueba se construye solamente con las autocorrelaciones muestrales
de orden superior del proceso Xt y esta dado por la siguiente expresion:
LMHML =Nk
ωℓ
(3-7)
Las formulas matematicas para el numerador y denominador en (3-7) son las siguientes
Nk = (T − h)−1/2T−1∑
k=h
(
1
k − h+ 1
)
ρk y ω2ℓ =
ℓ∑
j=−ℓ
hj
ℓ∑
i=−ℓ
ρiρi+j
donde h0 = φ2/6, hj = H|j|/|j| para j = ±1,±2, . . . , y H|j| son los numeros armonicos.
Los autores demuestran que para
k = (cT )1/2, siendo c alguna constante positiva.
3.2 Metodologıas consideradas 21
ℓ→ ∞ a medida que T → ∞, tal que, ℓ2/T → 0
el estadıstico en (3-7) tiene una distribucion asintotica normal estandar
(
Nk
ωℓ
d→ N(0, 1)
)
.
Tambien determinaron, vıa simulacion, que la prueba propuesta obtiene los mejores re-
sultados en termino de potencia y tamano para k = ⌊(cT )1/2⌋, con c = 1 y ℓ =
⌊
2
3T 12/25
⌋
.
La novedad del estadıstico modificado radica en que este elimina los efectos de la presencia
de parametros ruidosos inducidos por la autocorrelacion de memoria corta no observada,
o el efecto presentado cuando el modelo parametrico a corto plazo ajustado ARMA(p,q)
no aproxima el verdadero proceso generador de los datos, lo cual segun Harris et al. (2008)
causa problemas de distorsion en el tamano en las pruebas.
3.2.5. La prueba de Dolado, Gonzalo & Mayoral (DGM)
Los contrastes DGM son pruebas tipo Wald en el dominio del tiempo cuya aplicacion
proporciona informacion sobre el valor del parametro d bajo la hipotesis alternativa. Esta
prueba es una generalizacion de la conocida prueba de Dickey-Fuller (DF) y fue disenada
para poder considerar directamente los procesos fraccionalmente integrados -FI(d0) frente
a FI(d1) con d1 < d0-, por lo cual estos autores le asignaron el nombre de prueba Dickey-
Fuller fraccional (DF-F).
Prueba Dickey-Fuller fraccional estandar
Especıficamente, la prueba DF-F consiste en probar la significancia de parametro φ en el
siguiente modelo de regresion:
(1−B)d0Xt = φ(1− B)d1Xt−1 + µt (3-8)
donde Xt es la serie de tiempo observada y µt = at es una secuencia de variables aleatorias
independientes e identicamente distribuidas de media cero y varianza desconocida σ2.
La prueba DF-F estandar esta basada en un modelo de regresion donde la variable res-
puesta y la variable explicativa corresponden al proceso {Xt} diferenciado de acuerdo
al grado de integracion bajo la hipotesis nula (d0) y bajo la hipotesis alternativa (d1)
respectivamente. En Dolado et al. (2002) se plantea la siguiente prueba de hipotesis para
contrastar la presencia de memoria larga en Xt:
22 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios
H0 : φ = 0, el proceso Xt es FI(d0).
H1 : φ < 0, el proceso Xt es FI(d1).
Notese que si d0 = 1 y d1 = 0 se recupera el marco convencional de la prueba de Dickey-
Fuller (DF) - I(1) vs I(0)-. Los autores restringen su analisis al caso puntual donde Xt
bajo la hipotesis nula es un proceso no estacionario con raız unitaria (d0 = 1) y bajo
la hipotesis alternativa es un proceso fraccionalmente integrado FI(d1), en el rango de
valores 0 ≤ d1 < 1.
El estimador de φ y su estadıstico de prueba tφ estan dados por las expresiones usuales
obtenidas por el metodo de mınimos cuadrados ordinarios (MCO) en el modelo de regre-
sion en (3-8).
φMCO =
T∑
t=2
(1− B)Xt(1− B)d1Zt−1
T∑
t=2
((1− B)d1Xt−1)2
(3-9)
tφMCO=
T∑
t=2
(1− B)Xt(1−B)d1Xt−1
ST
(
T∑
t=2
((1−B)d1Xt−1)2
)1/2(3-10)
donde la varianza de los residuales en (3-10) se define como
S2T =
∑Tt=2
((1−B)Xt−φMCO(1−B)d1Xt−1)2
T
Los autores demostraron que bajo la hipotesis nula (Xt ∼ I(1)), φMCO en (3-9) es un
estimador consistente de φ = 0 y su distribucion asintotica esta dada por:
T 1−d1φMCOw→
∫
1
0W
−d1(r)dB(r)∫
1
0W 2
−d1(r)dr, si 0 < d1 < 1/2
(T logT )1/2φMCOw→ N(0, π), si d1 = 1/2
T 1/2φMCOw→ N
(
0, Γ2(d1)Γ(2d1−1)
)
, si 1/2 < d1 < 1
Tambien determinaron que la distribucion asintotica de tφMCOen (3-10) esta dada por:
3.2 Metodologıas consideradas 23
tφMCO
w→∫
1
0W
−d1(r)dB(r)
(∫
1
0W 2
−d1(r)dr)1/2, si 0 ≤ d1 < 1/2
tφMCO
w→ N(0, 1) si 1/2 ≤ d1 < 1
donde B(∗) representa un movimiento browniano estandar y Wd(∗) un movimiento brow-
niano fraccionario estandar. En el apendice A se presentan las definiciones formales de
los movimiento brownianos enunciados. Por lo tanto, los estadısticos de prueba φMCO o
tφMCO, basados en la regresion (3-8) con d0 = 1 son consistentes para cualquier valor de
d1 ∈ [0, 1).
Prueba Dickey-Fuller fraccional aumentada
La prueba DF-F aumentada asume el modelo de regresion planteado en (3-8) con d0 =
1, pero ahora µt es un proceso autoregresivo de orden p, tal que φ(B)µt = at, donde
φ(B) = 1 − φ1B − · · · − φpBp es el polinomio AR en terminos del operador de rezagos
B de un proceso ARIMA cuyas raıces estan todas por fuera del cırculo unitario y at es
un proceso de ruido blanco gaussiano. Bajo estas condiciones, la prueba Dickey-Fuller
fraccional aumentada se basa en el siguiente modelo de regresion:
(1−B)Xt = φ(1−B)d1Xt−1 +
p∑
i=1
ζi(1−B)Xt−i + at (3-11)
Bajo la hipotesis nula -φ = 0 en (3-11)- donde Xt es un proceso ARIMA(p,1,0), los autores
comprobaron que:
La distribucion asintotica de tφMCOen (3-11) es la misma obtenida para este es-
tadıstico en el modelo de regresion en (3-8), siempre y cuando sean incluidos un
numero suficientes de rezagos.
Los coeficientes de regresion estimados (ζ1, . . . , ζp)′ son asintoticamente normales
para cualquier valor del parametro de diferenciacion fraccional d1 ∈ [0, 1) utilizado
en la regresion (3-11).
Notese que para poder ejecutar cualquiera de las pruebas DF-F propuestas (estandar o
aumentada) se necesita un valor para el parametro de memoria del proceso d1 bajo la
hipotesis alternativa. En Dolado et al. (2002) determinaron que para cualquier estimador
consistente de d1 dentro del rango considerado y con tasa de convergencia T 1/2 a su valor
real, la distribucion asintotica de tφMCObajo la hipotesis nula es una normal estandar.
24 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios
Los autores proponen el uso del estimador generalizado de mınima distancia propuesto por
Mayoral (2007) en el dominio del tiempo para d1 afirmando que tiene mejores propiedades
estadısticas que algunos de los metodos de estimacion mas utilizados en la practica, con
el fin de hacer mas eficiente las pruebas DF-F propuestas (en terminos de potencia y
tamano).
3.2.6. La prueba de Lobato & Velasco (LV)
Lobato & Velasco (2007) definen inicialmente el proceso fraccionalmente integrado
(1−B)dXt1{t > 0} = at, (t = 1, 2, . . . , T ) (3-12)
donde at es un proceso ruido blanco con media cero y varianza finita, y 1{∗} denota una
funcion indicadora.
En su trabajo, dichos autores cuestionan el uso del regresor propuesto por Dolado et al.
(2002) y examinan cuidadosamente la optima seleccion de esta variable en el modelo de
regresion (3-8), con el fin de poder hacer inferencia sobre el grado de integracion del
proceso Xt. Para tal fin, consideran todas las posibles variables regresoras que permitan
obtener un estadıstico de prueba cuya distribucion asintotica bajo la hipotesis nula sea
normal estandar (con d1 > 0.5). Dentro de este grupo de variables regresoras, la prueba
de maxima potencia es aquella basada en un modelo de regresion donde los errores son
incorrelacionados entre sı e incorrelacionados con la variable regresora, es decir, la prueba
bajo el modelo donde la correlacion entre la variable respuesta y la explicativa es maxima.
Lobato & Velasco (2007) se afirma que un regresor de la forma (1− B)d1Xt−1 propuesto
por Dolado et al. (2002) no puede ser optimo. Esto debido a que bajo la hipotesis alter-
nativa no existen valores de φ y d1 que garanticen que el termino de error µt en el modelo
(3-8), sea serialmente incorrelacionado y ortogonal con el regresor (1−B)d1Xt−1. En este
sentido, el modelo (3-8) esta mal especificado por la no inclusion del proceso definido
en (3-12) como un caso particular bajo la hipotesis alternativa. Esta mala especificacion
implica que la estimacion por mınimos cuadrados ordinarios y la prueba t resultante basa-
da en la regresion (3-8) son ineficientes, incluso cuando d1 es escogido de forma optima.
Posteriormente proponen el uso de un modelo de regresion alternativo basado en (3-12).
3.2 Metodologıas consideradas 25
Prueba Lobato & Velasco estandar
La prueba de Lobato y Velasco estandar (LV) consiste en probar la significancia del
parametro φ2 en el siguiente modelo de regresion reescalado:
(1−B)Xt = φ2Zt−1(d) + µt, para t = 1, . . . , T (3-13)
donde Zt−1(d) =(
(1−B)d−1−11−d
)
(1− B)Xt.
Al igual que la prueba DGM estandar, la prueba LV estandar necesita un valor para el
parametro de memoria del proceso bajo la hipotesis alternativa, y ası poder ser imple-
mentada. Sea d2 el parametro de entrada de esta prueba, para distinguirla del parametro
entrada d1 de la prueba de Dolado et al. (2002).
En Lobato & Velasco (2007) se plantea la siguiente prueba de hipotesis para contrastar
la presencia de memoria larga en Xt:
H0 : φ2 = 0, el proceso Xt en (3-13) es I(1).
H1 : φ2 < 0, el proceso Xt en (3-13) es FI(d2), con d2 > 1/2.
Para realizar el contraste de interes, los autores emplean una prueba de cola izquierda
donde el estadıstico de prueba tφ2se obtiene al utilizar d2 como el parametro de entrada
en el modelo de regresion (3-13) y ası poder determinar la significancia del coeficiente de
regresion φ2 asociado a la covariable Zt−1(d2).
Los autores demostraron que el regresor Zt−1(d) propuesto en (3-13) contiene toda la
informacion relevante del pasado para pronosticar (1 − B)Xt, mientras que el regresor
(1−B)d1Zt−1 propuesto por Dolado et al. (2002) no la contiene, independientemente del
valor de d1 -Ver (3-8)-. Tambien comprobaron que bajo alternativas locales (d = 1−δ/√T ,
para δ > 0), la prueba LV es asintoticamente equivalente a la prueba LM optima de
Robinson (1994), cuando d2 es elegido de manera optima, mediante una funcion h definida
por la siguiente expresion:
h(d2) =
∞∑
j=1
j−1πj(d2 − 1)
√
√
√
√
√
√
∞∑
i=1
πi(d2 − 1)2,
26 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios
para d2 > 1/2 y d2 6= 1, donde πj(.) son los coeficientes de la expansion en series de Taylor
del proceso alrededor de πj(0) para j > 0. Ahora si d2 = 1 la funcion h esta definida por:
h(1) =
√
√
√
√
∞∑
j=1
j−2 =√
π2/6
Finalmente, encontraron que bajo el proceso definido en (3-12), las propiedades del es-
tadıstico para probar φ2 = 0 en (3-13) cuando el estimador del parametro de entrada d2cumple la siguiente condicion
d2 = d2 + op(T−τ ), con y d2 > 1/2 (3-14)
para algun d2 fijo y mayor que 1/2 estan dadas por las siguientes premisas:
Bajo la hipotesis nula (d = 1): tφ2
d→ N(0, 1)
Bajo la hipotesis alternativa (d < 1): La prueba basada en tφ2es consistente.
Prueba Lobato & Velasco aumentada
La prueba LV aumentada considera el caso donde el proceso Xt sigue el modelo autore-
gresivo fraccionalmente integrado de media movil ARFIMA (p,d,0)
α(B)(1−B)dXt1{t > 0} = at, (t = 1, 2, . . . , T ) (3-15)
donde α(B) = 1−α1B − · · · −αpBp es un polinomio AR(p) en terminos del operador de
rezagos B de un proceso ARIMA cuyas raıces estan todas por fuera del cırculo unitario
y at es un proceso de ruido blanco gaussiano. Bajo estas condiciones y de forma similar
al caso de ruido blanco (prueba LV estandar), los autores proponen utilizar el siguiente
modelo de regresion reescalado por razones de continuidad:
(1− B)Xt = φ2{α(B)Zt−1(d)}+p∑
j=1
αj(1−B)Xt−j + µt, para t = 1, . . . , T (3-16)
con la variable Zt−1(d) definida en (3-13). Bajo la hipotesis nula (φ2 = 0) el proceso Xt
en (3-16) sigue el modelo ARIMA (p,d,0) definido en (3-15) con µt = at. Bajo la alterna-
tiva, el modelo en (3-16) esta correctamente especificado, con regresoras α(B)Zt−1(d) y
3.2 Metodologıas consideradas 27
{(1−B)Xt−j}pj=1 independientes del termino de error µt = at.
Comparado con el caso de ruido blanco, el problema en (3-16) surge porque el vector de
coeficientes α = (α1, . . . , αp)′ es desconocido, por lo cual no se podrıa obtener la covaria-
ble α(B)Zt−1(d). Para solucionar este inconveniente, los autores proponen el siguiente
procedimiento:
PRIMER PASO: Estimar por mınimos cuadrados ordinarios la siguiente regresion:
(1− B)d2Xt =
p∑
j=1
αj(1− B)d2Xt−j + µt, (3-17)
donde la entrada d2 es cualquier estimador consistente de d que satisfaga la condicion
planteada en (3-14).
SEGUNDO PASO: Estimar por mınimos cuadrados ordinarios la siguiente regresion:
(1− B)Xt = φ2{α(B)Zt−1(d2)}+p∑
j=1
αj(1− B)Xt−j + µt, (3-18)
La distribucion asintotica bajo la hipotesis nula del estadıstico tφ2resultante para probar
φ2 = 0 en (3-18), siendo α(B) es el estimador de α(B) obtenido en (3-17) y donde d2 es
el mismo estimador de d utilizado en la regresion (3-17), estan dadas por las siguientes
premisas:
Bajo la hipotesis nula (d = 1): tφ2
d→ N(0, 1)
Bajo la hipotesis alternativa (d < 1): La prueba basada en tφ2es consistente.
ya que bajo la alternativa, α converge hacia el verdadero valor de α y d2 hacia el verdadero
valor de d. Los autores consideran el estimador semiparametrico Gaussiano propuesto por
Velasco (1999) con ancho de banda de m = T 0.55 como el valor para el parametro de
memoria del proceso bajo la hipotesis alternativa d2.
28 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios
3.3. Prueba propuesta
3.3.1. Antecedentes
En Castano et al. (2008) consideran el caso estacionario e invertible del proceso ARFI-
MA(p,d,q) definido en (2-5). Como el proceso es invertible (-1/2 < d), los autores pueden
especificar el modelo por medio de la siguiente forma alternativa (1 − B)dπ(B)Xt = at,
donde π(B) = φ(B)/θ(B) = 1 − π1B − π2B2 − · · · , es el componente dual autoregresivo
infinito del modelo de corto plazo ARMA(p,q) del proceso ARFIMA(p,d,q) considerado.
Siguiendo a Said & Dickey (1984), los autores aproximaron el proceso anterior por medio
del modelo (1 − B)dπ∗(B)Xt = at, donde π∗(B) = 1 − π∗
1B − π∗2B
2 − · · · − π∗p∗B
p∗ es el
componente a corto plazo aproximado, por medio de un orden adecuado p∗, del polinomio
π(B) especificado en el parrafo anterior.
El procedimiento propuesto por Castano et al. (2008) sugiere contrastar la hipotesis
nula de memoria corta (H0 : d = 0), contra la alternativa de memoria larga (Ha :
0 < d < 1/2), empleando la estimacion por maxima verosimilitud del modelo aproxi-
mado ARFIMA(p∗,d,0) y los resultados asintoticos del estimador maximo verosımil del
parametro d obtenido. Por lo tanto, el estadıstico de prueba empleado en el contraste es:
td =d
ˆse(d)(3-19)
donde d y ˆse(d) en (3-19) son respectivamente el estimador maximo verosımil de d y la
estimacion de su error estandar. Bajo la hipotesis nula estadıstico td tiene una distribucion
lımite normal estandar (tdd→ N(0, 1)).
Como resultado, los autores mostraron que bajo una aproximacion autoregresiva, cuyo
orden esta dado por el entero mas proximo a T 1/4 (p∗ ≈ T 1/4), la prueba mantiene en
general un tamano promedio adecuado para el caso de memoria corta y una potencia
promedio mayor, con valores mas estables bajo la hipotesis alternativa, en comparacion
con las pruebas mas utilizadas en la practica para el contraste en interes segun et al. (2008).
De igual manera determinaron que una vez estimado el modelo preliminar se pueden u-
sar los resultados obtenidos en la aproximacion para identificar un modelo a corto plazo
mas adecuado para el proceso y ası obtener una mejor inferencia sobre el parametro de
3.3 Prueba propuesta 29
diferenciacion fraccional d.
3.3.2. Metodologıa propuesta -Prueba (CL)-
Para realizar el contraste de interes en este trabajo se considera el modelo ARFIMA(p,d,q)
presentado en (2-5) con d ≥ 0.5, es decir, se considera el rango de valores para d donde
el proceso Xt es no estacionario. Este proceso estocastico se puede expresar de forma
equivalente como
φ(B)(1−B)1+d∗Xt = θ0 + θ(B)at (3-20)
que tiene las siguientes propiedades:
Si d∗ = 0. Xt en (3-20) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que posee
una raız unitaria. En este caso, la primera diferencia del proceso Xt es estacionaria.
Si d∗ 6= 0 y el valor del parametro de diferenciacion se encuentra entre −1/2 ≤ d∗ <
1/2, entonces Xt en (3-20) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que
posee una raız fraccional.
Para esta ultima situacion se identifican los siguientes casos:
• Si −1/2 ≤ d∗ < 0, el proceso Xt en (3-20) es no estacionario de memoria
larga con reversion a la media. La primera diferencia de esta serie sera un
proceso estacionario con una fuerte reversion a la media, es decir, un proceso
antipersistente.
• Si 0 < d∗ < 1/2, el proceso Xt en (3-20) es no estacionario de memoria larga
sin reversion a la media. La primera diferencia de esta serie sera un proceso
estacionario de memoria larga.
El problema a desarrollar en este trabajo consiste en contrastar vıa simulacion la hipotesis
nula de que Xt es un proceso no estacionario de raız unitaria (H0 : d∗ = 0), contra la
alternativa de que Xt es un proceso no estacionario de raız fraccional (Ha : d∗ 6= 0), en el
caso particular de un proceso ARFIMA (p,d,q) no estacionario, empleando el estadıstico
de prueba propuesto por Castano et al. (2008) sobre la primera diferencia del proceso
Xt en (3-12), ası:
φ(B)(1− B)d∗
(1− B)Xt = θ0 + θ(B)at
30 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios
De forma similar a la prueba bilateral, se pueden realizar pruebas laterales contrastando
vıa simulacion la hipotesis nula que Xt es un proceso no estacionario de raız unitaria
(H0 : d∗ = 0) contra la alternativa de memoria larga con reversion a la media (Ha : d
∗ < 0),
o contra la alternativa de memoria larga sin reversion a la media (Ha : d∗ > 0), usando
el mismo estadıstico de prueba y calculando el percentil adecuado para cualquiera de los
casos planteados anteriormente.
4. Analisis de simulacion
4.1. Factores considerados
Para la comparacion de las diferentes metodologıas vıa simulacion se consideraron los
siguientes factores con sus respectivos niveles:
Valores reales parametro de diferenciacion fraccional d: 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1,
1.2, 1.3, 1.4. Se escogieron estos valores por pertencer al intervalo real que mayor
atencion ha recibido en la literatura revisada para el parametro de diferenciacion
fraccional d (1/2 ≤ d < 3/2).
Numero de realizaciones del proceso o longitud de las series simuladas (T): 500 y
1000.
Numero de simulaciones por escenario (Nsim): 5000.
Nivel de significancia nominal empleado para el calculo de todas las potencias (α):
0.05
La perturbacion del modelo at sigue una distribucion N(0,1).
Los Modelos ARFIMA considerados en el estudio son los siguientes:
Modelo ARFIMA(0, d, 0)
Modelo ARFIMA(1, d, 0)
Modelo ARFIMA(0, d, 1)
Modelo ARFIMA(1, d, 1)
• Los valores reales del coeficiente autorregresivo φ propuestos son: =±0.3,±0.6,±0.9
• Los valores reales del coeficiente de media movil θ propuestos son: = ±0.4,±0.8
32 4 Analisis de simulacion
4.1.1. Variables de interes en el estudio
Con el fin de encontrar el metodo mas eficiente para determinar la existencia de una raız
fraccional en una serie de tiempo no estacionaria, se estimaron y compararon las potencias
y tamanos de cada uno de los contrastes enunciados en el capıtulo anterior. Las defini-
ciones de potencia y tamano de una prueba consideradas en el trabajo son:
Potencia de una prueba estadıstica: Si β es la probabilidad de cometer un error
tipo II, β sera la probabilidad de aceptar la hipotesis nula (H0) cuando esta es falsa.
Por lo tanto, la potencia de una prueba estadıstica se define como la probabilidad
de rechazar H0 cuando esta es falsa, es decir, 1− β.
Tamano de una prueba estadıstica: Si α es la probabilidad de cometer un error
tipo I, el tamano de la prueba α sera la probabilidad de no aceptar la hipotesis nula
(H0), siendo esta verdadera.
4.1.2. Observaciones del trabajo de simulacion
Para que los resultados obtenidos en este estudio de simulacion puedan ser replicados por
algun usuario interesado, en el apendice B se comentara sobre la programacion en para-
lelo en el software estadıstico R y sus ventajas sobre la programacion lineal en estudios de
simulacion intensivos. En dicho apendice se presenta tambien el codigo disenado en R con
el fin de ilustrar el procedimiento empleado en este trabajo para reducir significativamente
los tiempos de calculo y ası obtener los resultados de interes.
Para implementar la metodologıa propuesta en este trabajo se utilizaron los siguientes
ordenes para el polinomio autorregresivo aproximado del componente a corto plazo del
modelo (1 − B)dπ∗(B)Xt = at enunciado en la subseccion “antecedendes” del capıtulo
anterior (ver el codigo de la prueba propuesta en el apendice B):
Para los procesos simulados de longitud T = 500 , el orden considerado fue p∗ =
T 1/4 ≈ 5
Para los procesos simulados de longitud T = 1000 , el orden considerado fue p∗ =
T 1/4 ≈ 6
Se debe informar tambien que para realizar el contraste propuesto por Tanaka (1999) se
asume conocido el verdadero modelo a corto plazo del proceso ARFIMA(p,d,q) simulado,
situacion que difıcilmente es cierta en la practica.
4.2 Resultados 33
4.2. Resultados
Debido a la gran cantidad de resultados puntuales obtenidos vıa simulacion en los dife-
rentes escenarios definidos en la primera seccion de este capıtulo, se presentan a conti-
nuacion las potencias y tamanos promedio de los diferentes contrastes bajo el siguiente
esquema:
Caso 1: Proceso Ruido Blanco fraccionalmente integrado ARFIMA(0,d,0). En este
caso no hubo necesidad de promediar el unico resultado obtenido para el rango de
valores del parametro de diferenciacion fraccional d, los cuales se presentaron en la
seccion factores considerados del presente capıtulo.
Caso 2: Proceso autorregresivo fraccionalmente integrado ARFIMA(1,d,0) para valo-
res positivos del coeficiente φ. En este caso se promediaron los resultados obtenidos
por los contrastes cuando el coeficiente autorregresivo φ toma los valores de 0.3, 0.6
y 0.9, a lo largo del rango de valores considerados para el parametro d.
Caso 3: Proceso autorregresivo fraccionalmente integrado ARFIMA(1,d,0) para valo-
res negativos del coeficiente φ. En este caso se promediaron los resultados obtenidos
por los contrastes cuando φ toma los valores de -0.3, -0.6 y -0.9, a lo largo del rango
de valores considerados para el parametro d.
Caso 4: Proceso de media movil fraccionalmente integrado ARFIMA(0,d,1) para
valores positivos del coeficiente θ. En este caso se promediaron los resultados obteni-
dos por los contrastes cuando θ toma los valores de 0.4 y 0.8, a lo largo del rango
de valores considerados para el parametro d.
Caso 5: Proceso de media movil fraccionalmente integrado ARFIMA(0,d,1) para
valores negativos del coeficiente θ. En este caso se promediaron los resultados obteni-
dos por los contrastes cuando θ toma los valores de -0.4 y -0.8, a lo largo del rango
de valores considerados para el parametro d.
Caso 6: Proceso autorregresivo de media movil fraccionalmente integrado ARFI-
MA(1,d,1) para valores positivos del coeficiente φ y del coeficiente θ, a lo largo del
rango de valores considerados para el parametro d.
Caso 7: Proceso autorregresivo de media movil fraccionalmente integrado ARFI-
MA(1,d,1) para valores positivos del coeficiente φ y negativos del coeficiente θ, a lo
largo del rango de valores considerados para el parametro d.
34 4 Analisis de simulacion
Caso 8: Proceso autorregresivo de media movil fraccionalmente integrado ARFI-
MA(1,d,1) para valores negativos del coeficiente φ y valores positivos del coeficiente
θ, a lo largo del rango de valores considerados para el parametro d.
Caso 9: Proceso autorregresivo de media movil fraccionalmente integrado ARFI-
MA(1,d,1) para valores negativos del coeficiente φ y del coeficiente θ, a lo largo del
rango de valores considerados para el parametro d.
La siguiente gama de colores indica la curva de potencia obtenida por cada una de las
pruebas consideradas en el estudio y es la misma para todas las graficas que se presentan
a continuacion:
La prueba propuesta en este trabajo -Prueba (CL)- se representa por medio de la
lınea color aguamarina.
La prueba LV estandar se representa por medio de la lınea de color negro.
La prueba LV aumentada se representa por medio de la lınea de color rojo.
La prueba DGM estandar se representa por medio de la lınea de color verde.
La prueba DGM aumentada se representa por medio de la lınea de color azul.
La prueba GPH se representa por medio de la lınea de color fucsia.
La prueba ROB95 se representa por medio de la lınea de color amarillo.
La prueba TAN se representa por medio de la lınea de color gris.
No se presentaran los resultados obtenidos para la prueba de Harris et al. (2008) pues
se determino vıa simulacion que no tiene interpretacion bajo el contraste que se esta re-
solviendo en este trabajo. Hay dos formas de plantear esta prueba en el rango de valores
considerado para el parametro d (1/2 ≤ d < 3/2): realizar el contraste directamente sobre
el proceso ARFIMA(p,d,q) simulado o realizarlo sobre su primera diferencia.
Para el primer caso, el contraste es el siguiente:
H0 : d = 0 vs H1 : d > 0 (4-1)
En el apendice C, casilla HML, se pueden ver los resultados de la prueba considerando
el esquema (4-1). Notese que para d = 1 la prueba HML rechaza casi siempre la hipotesis
4.2 Resultados 35
nula -Xt en (2-5) es un proceso estacionario de memoria corta-, lo cual implica que la
prueba bajo el esquema (4-1) no permite hacer inferencia sobre el grado de estacionaridad
del proceso, ni tampoco determinar si la raız del proceso es entera o es fraccional, solo
informa si tiene o no memoria larga.
Para el segundo caso, el contraste es el siguiente:
H0 : d∗ = 0 vs H1 : d
∗ > 0 (4-2)
donde d∗ es el valor del parametro de diferenciacion fraccional despues de diferenciar el
proceso.
Considerense los procesos ARFIMA(p,d,q) no estacionarios de memoria larga con rever-
sion a la media -procesos ARFIMA(p,d,q) con d ∈ (1/2, 1)-, cuya primera diferencia entera
sera un proceso estacionario antipersistente. Notese que bajo el esquema (4-2) la prueba
HML no puede detectar la fuerte reversion a la media caracterıstica de los procesos an-
tipersistentes, y en este rango de valores del parametro d tiende a aceptar la hipotesis nula.
Lo anterior se ve reflejado en el apendice C -casillaHML(dif)- por las bajısimas potencias
presentadas por la prueba para d ∈ (1/2, 1). Por lo tanto, bajo el esquema (4-2) la
prueba HML solo permite hacer inferencia sobre el grado de estacionaridad del proceso
y determinar si la raız del proceso es entera o es fraccional si el verdadero valor del
parametro d se encuentra dentro del rango [1, 3/2).
364
Analisisdesimulacion
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #+ +
+
+
+
+
+
++0 0
0
0
0
0
00
0
α = 0.05 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 1000
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #+ +
+
+
+
+
+
+ +
0 0
0
0
0
0
0
00
α = 0.05
Figura
4-1.:Curvas
depotencia.
Caso1:ARFIM
A(0,d,0)
4.2 Resultados 37
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9470 0.9579 0.9252 0.9337 0.9389 0.7418 0.6070 0.9766
0.7 0.9696 0.9749 0.9266 0.9441 0.9534 0.5458 0.4584 0.9982
0.8 0.7840 0.7989 0.7654 0.7996 0.7999 0.3350 0.3272 0.8346
0.9 0.6438 0.6698 0.6252 0.6566 0.6828 0.1738 0.2414 0.1730
1.0 0.0552 0.0562 0.0542 0.0576 0.0534 0.2608 0.2196 0.0090
1.1 0.6850 0.7038 0.6588 0.6734 0.6740 0.2288 0.3046 0.3216
1.2 0.7948 0.7962 0.7635 0.7756 0.7648 0.4740 0.4798 0.7456
1.3 0.9682 0.9765 0.8772 0.8156 0.9746 0.6206 0.4910 0.4174
1.4 0.9400 0.9684 0.9104 0.9370 0.9743 0.8086 0.6480 0.5276
Tabla 4-1.: Potencias y tamano de las pruebas. Caso 1. T = 500
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 1.0000 1.0000 0.9412 1.0000 1.0000 0.8804 0.8300 1.0000
0.7 1.0000 1.0000 0.9482 1.0000 1.0000 0.6930 0.6512 1.0000
0.8 0.8896 0.8721 0.8622 0.8678 0.8581 0.4380 0.4540 0.9960
0.9 0.6890 0.6926 0.6204 0.6624 0.6822 0.2038 0.2912 0.4740
1.0 0.0596 0.0632 0.0527 0.0552 0.0515 0.2596 0.2166 0.0108
1.1 0.6708 0.6684 0.6180 0.6826 0.7690 0.1930 0.2546 0.1108
1.2 0.7910 0.7882 0.7580 0.7888 0.8032 0.3872 0.3632 0.3240
1.3 0.9861 0.9904 0.9244 0.9660 1.0000 0.7472 0.6778 0.7290
1.4 0.9568 0.9714 0.9344 0.9360 1.0000 0.9082 0.8378 0.6964
Tabla 4-2.: Potencias y tamano de las pruebas. Caso 1. T = 1000
En el Grafico 4.1 (a) y la Tabla 4-1 se observa que:
Para series de tiempo de 500 observaciones y valores del parametro d ∈ [0.6, 0.7], la po-
tencia de la prueba propuesta (CL) es levemente inferior a la obtenida por las pruebas de
Lobato & Velasco (2007) y Tanaka (1999) y superior a las alcanzadas por las demas; como
resultado de interes, se aprecia como la prueba CL mejora su comportamiento a medida
que el valor del parametro d se acerca a la hipotesis nula, alcanzando la mayor potencia
de todos los contrastes para d = 0.9.
38 4 Analisis de simulacion
Para d mayores a uno (d > 1), la prueba de CL, de Lobato & Velasco (2007) y de
Dolado et al. (2002) tienen un desempeno similar, alcanzando potencias muy parecidas y
considerablemente altas cuando d se encuentra cerca a la raız unitaria, cuyos valores se
incrementan a medida que aumenta el grado de no estacionaridad del proceso. Se resalta
que para d > 1 la prueba CL alcanza de nuevo la mayor potencia de todos los contrastes
considerados.
Tambien se puede apreciar que para todo el rango de valores del parametro d considerado,
los valores de las potencias de las pruebas enunciadas anteriormente son muy estables, y
como era de esperarse, segun Lobato & Velasco (2007), la prueba LV obtiene potencias
levemente superiores a las logradas por la prueba DGM.
La prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, notese que
para d ∈ [0.6, 0.8] alcanza las mayores potencias de todas las pruebas consideradas, pero
para valores del parametro cercanos a la hipotesis nula la prueba tiene una disminucion
considerable en su capacidad de detectar raıces fraccionales. Como caso particular se
puede observar que para d = 1.3 y d = 1.4 dicha prueba tiene el peor comportamiento
con las potencias mas bajas.
Las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robinson (1995) pre-
sentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considerado para el parametro
d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior, estos contrastes presen-
tan las potencias mas bajas bajo la hipotesis alternativa y pronunciadas distorsiones en
el tamano bajo la hipotesis nula. El resto de las pruebas consideradas presentan tamanos
bastante cercanos al nivel de significancia nominal considerado en este trabajo. Se observa
que despues de la prueba de Tanaka, la prueba CL tiene la menor desviacion en el tamano
de todos los contrastes considerados.
Se debe analizar con cuidado el resultado enunciado en el parrafo anterior para la prueba
de Tanaka. En el capıtulo anterior se explico que para poder implementar dicha prue-
ba se asume conocido el verdadero modelo a corto plazo del proceso, situacion bastante
improbable en la practica, resultando inviable su aplicacion en la mayorıa de los casos.
Lo anterior resalta las ventajas de la prueba propuesta en este trabajo, la cual no asume
conocido el grado de no estacionaridad del proceso, ni su componente a corto plazo.
4.2 Resultados 39
En el Grafico 4.1 (b) y la Tabla 4-2 se observa que:
En general, todas las potencias obtenidas son mayores al aumentar la longitud de la serie
usada en las pruebas. Otra caracterıstica radica en el hecho de que la prueba propues-
ta tiene la mayor potencia de todos los contrastes considerados para cualquier valor del
parametro d mayor a uno (d ∈ [1.1, 1.4]) y la menor desviacion en el tamano bajo la
hipotesis nula.
Con excepcion de las caracterısticas enunciadas en el parrafo anterior, las pruebas pre-
sentaron un comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 obser-
vaciones.
404
Analisisdesimulacion
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #
+
+
++
+
+
+
+ +0
0
0
0
0
0
0
00
α = 0.05 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 1000
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #
+
+
+
+
+
+
+
+ +0
0
0
0
0
0
0
0 0
α = 0.05
Figura
4-2.:Curvas
depotenciapromedio.Caso2:ARFIM
A(1,d,0).Promedioresultad
os
φ′ s>
0
4.2 Resultados 41
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9534 0.9637 0.8845 0.9138 0.9429 0.5095 0.4553 0.3494
0.7 0.9486 0.9534 0.8322 0.8513 0.9107 0.3815 0.4064 0.2553
0.8 0.6704 0.6927 0.4119 0.4377 0.6332 0.3071 0.3838 0.0585
0.9 0.4350 0.4687 0.3626 0.3770 0.3787 0.2834 0.3939 0.0057
1.0 0.0893 0.0875 0.0963 0.0881 0.0840 0.4359 0.4305 0.0027
1.1 0.4312 0.4333 0.3702 0.3967 0.3325 0.4471 0.5001 0.0487
1.2 0.6401 0.6715 0.6033 0.6337 0.6583 0.6046 0.5965 0.2933
1.3 0.9313 0.9542 0.9109 0.9441 0.9393 0.7675 0.7106 0.4191
1.4 0.9346 0.9508 0.8972 0.9219 0.9492 0.8838 0.8040 0.5268
Tabla 4-3.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 2. T = 500
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9883 0.9913 0.9030 0.9448 0.9786 0.6680 0.6001 0.5575
0.7 0.9953 0.9956 0.7476 0.7735 0.9800 0.4889 0.5097 0.3551
0.8 0.7908 0.7939 0.5568 0.5767 0.7025 0.3149 0.4483 0.2339
0.9 0.4821 0.4907 0.3907 0.4009 0.4297 0.2297 0.4252 0.0200
1.0 0.0761 0.0727 0.0843 0.0835 0.0797 0.4191 0.4560 0.0025
1.1 0.4707 0.5223 0.3746 0.4301 0.3595 0.2409 0.3171 0.1145
1.2 0.6863 0.6885 0.6332 0.6773 0.6677 0.6478 0.6903 0.3671
1.3 0.9697 0.9874 0.9419 0.9646 0.9941 0.8373 0.8199 0.4320
1.4 0.9487 0.9721 0.9358 0.9713 0.9670 0.9406 0.9119 0.5700
Tabla 4-4.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 2. T = 1000
En el Grafico 4.2 (a) y la Tabla 4-3 se observa que:
Para series de tiempo de 500 observaciones y para el intervalo de valores considerado del
parametro d, la prueba propuesta (CL) y la de Lobato & Velasco (2007) tienen un muy
buen comportamiento con potencias promedio superiores a las logradas por los demas
contrastes. Puntualmente, para d ∈ [0.6, 0.9] las potencias promedio de la prueba pro-
puesta -CL- son un poco menores a las obtenidas por las pruebas LV, pero mayores a
las alcanzadas por el resto de metodologıas. Para d ∈ [1.1, 1.4] la prueba DGM tiene una
42 4 Analisis de simulacion
mejora considerable en su capacidad para detectar raıces fraccionales obteniendo poten-
cias levemente inferiores a las presentadas por las pruebas previamente enunciadas, las
cuales son muy parecidas entre sı.
Un comportamiento contrario al enunciado anteriormente es el presentado por las pruebas
propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983), por Robinson (1995) y por Tanaka (1999).
Notese que para cualquier valor del parametro de diferenciacion fraccional estas pruebas
tienden a aceptar la hipotesis nula de raız unitaria, por lo cual presentan las potencias
mas bajas entre todos los contrastes. Los resultados menos satisfactorios en terminos de
potencia son los presentados por la ultima prueba enunciada.
Con excepcion de la prueba de Tanaka, el resto de los contrastes considerados presentan
tamanos con algun grado de alejamiento del nivel de significancia nominal, sobresaliendo
la extrema distorsion presentada por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y
de Robinson (1995). Como resultado de interes se puede observar que para series de 500
observaciones la prueba CL alcanza la desviacion promedio mas pequena.
En el Grafico 4.2 (b) y la Tabla 4-4 se observa que:
En general, al aumentar la longitud de la serie simulada se incrementan las potencias
promedio obtenidas por las diferentes metodologıas. Para d = 1.1 la prueba propuesta
no tuvo un aumento considerable en la potencia promedio (al aumentar la longitud de la
serie) y es superada por las pruebas de Lobato & Velasco (2007) y de Dolado et al. (2002),
pero a medida que el valor del parametro d aumenta, la prueba mejora su comportamiento
alcanzando potencias promedio similares o mayores a las obtenidas por los contrastes mas
eficientes.
Con excepcion de las caracterısticas enunciadas en el parrafo anterior, las pruebas pre-
sentaron un comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 obser-
vaciones.
4.2
Resultad
os43
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
## #
+ +
+
+
+
+
++
+
0 0
0
0
0
00
0
0
α = 0.05 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 1000
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
## #
+ +
+
+
+
+
+
+
+0 0
0
0
0
0
0
0
0
α = 0.05
Figura
4-3.:Curvas
depotenciapromedio.Caso3:ARFIM
A(1,d,0).Promedioresultad
os
φ′ s<
0
44 4 Analisis de simulacion
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9677 0.9758 0.9425 0.9666 0.9845 0.6997 0.6208 0.9729
0.7 0.9581 0.9740 0.9277 0.9530 0.9679 0.5322 0.4746 0.9688
0.8 0.7662 0.7960 0.7426 0.7792 0.8052 0.3383 0.3376 0.9931
0.9 0.6675 0.6899 0.6362 0.6755 0.7309 0.1810 0.2467 0.6999
1.0 0.0631 0.0657 0.0749 0.0715 0.0599 0.2565 0.2097 0.0673
1.1 0.7742 0.8135 0.7395 0.7561 0.7786 0.1860 0.2525 0.5911
1.2 0.9017 0.9253 0.6839 0.7093 0.9451 0.3736 0.3495 0.9357
1.3 0.9461 0.9650 0.6563 0.6567 0.9841 0.6027 0.4809 0.9262
1.4 0.9644 0.9778 0.8749 0.9036 0.9848 0.8003 0.6455 0.8916
Tabla 4-5.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 3. T = 500
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 1.0000 1.0000 0.9477 1.0000 1.0000 0.8373 0.8331 1.0000
0.7 1.0000 1.0000 0.9563 0.9928 1.0000 0.6820 0.6643 1.0000
0.8 0.8599 0.8719 0.8325 0.8493 0.8822 0.4296 0.4675 1.0000
0.9 0.7031 0.7226 0.6663 0.6897 0.7317 0.2082 0.2947 0.9293
1.0 0.0653 0.0659 0.0699 0.0723 0.0646 0.2693 0.2375 0.0727
1.1 0.8277 0.8452 0.8082 0.8147 0.8533 0.2187 0.3048 0.8706
1.2 0.9471 0.9633 0.6950 0.7305 0.9665 0.4761 0.4799 0.9959
1.3 0.9786 0.9854 0.8659 0.8826 1.0000 0.7438 0.6735 0.9853
1.4 0.9679 0.9959 0.9467 0.9817 1.0000 0.9044 0.8351 0.9393
Tabla 4-6.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 3. T = 1000
En el Grafico 4.3 (a) y la Tabla 4-5 se observa que:
Para series de tiempo de 500 observaciones la mayorıa de las metodologıas (con excepcion
de las pruebas GPH y Rob95) tuvieron un desempeno similar a lo largo del intervalo de
valores considerado para el parametro d, mostrando potencias promedio que disminuyen
a medida que dicho parametro se acerca a la hipotesis nula y aumentan a medida que lo
hace el grado de no estacionaridad bajo la alternativa, excepto por los resultados presen-
tados por la prueba DGM para d = 1.2 y 1.3 (ver disminucion en la potencia promedio
4.2 Resultados 45
de dicha prueba).
Se resaltan las potencias promedio considerablemente altas alcanzadas por dichas metodo-
logıas para valores de d cercanos a la raız unitaria (d = 0.9 y 1.1). Tambien se destaca
que para d = 0.6, 0.9 y d > 1.1 la prueba propuesta alcanza las mayores potencias prome-
dio entre todos los contrastes considerados. Se ratifica nuevamente que para todo el rango
de valores del parametro d la prueba LV obtiene mejores resultados que los obtenidos por
la prueba DGM.
Las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robinson (1995) pre-
sentan un pobre desempeno mostrando las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis
alternativa y pronunciadas distorsiones en el tamano bajo la hipotesis nula. El resto de las
pruebas consideradas presentan tamanos bastante cercanos al nivel de significancia nomi-
nal considerado en este trabajo. De nuevo se observa que la prueba CL tiene la menor
desviacion en el tamano de todos los contrastes considerados.
En el Grafico 4.3 (b) y la Tabla 4-6 se observa que:
En general, al aumentar la longitud de la serie simulada se incrementan las potencias
promedio obtenidas por las pruebas. Con excepcion de la caracterıstica enunciada en la
oracion anterior, las metodologıas presentaron un comportamiento similar al descrito para
las series temporales de 500 observaciones.
464
Analisisdesimulacion
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
#
#
+
+ + +
+
+
+
+
+
0
00 0
0
0
0
0
0
α = 0.05 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
#
#
+
+ + +
+
+
+
+
+
0
00 0
0
0
0
0
0
α = 0.05
Figura
4-4.:Curvas
depotenciapromedio.Caso4:ARFIM
A(1,d,0).Promedioresultad
os
θ′s>
0
4.2 Resultados 47
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9716 0.9829 0.3637 0.3577 0.9630 0.7348 0.6023 0.9998
0.7 0.9696 0.9771 0.6397 0.6320 0.9768 0.5454 0.4461 0.9599
0.8 0.8098 0.8342 0.6398 0.6541 0.8204 0.3329 0.3248 0.4322
0.9 0.6455 0.6563 0.6342 0.6519 0.7497 0.1770 0.2343 0.0308
1.0 0.0628 0.0590 0.0728 0.0636 0.0669 0.2631 0.2151 0.0006
1.1 0.7321 0.7526 0.6677 0.7140 0.7631 0.1897 0.2623 0.0010
1.2 0.9219 0.9517 0.9064 0.9432 0.9752 0.3792 0.3645 0.0188
1.3 0.8624 0.8954 0.6334 0.6596 0.9780 0.6150 0.4880 0.1069
1.4 0.9316 0.9640 0.9244 0.9415 0.9696 0.7973 0.6498 0.2766
Tabla 4-7.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 4. T = 500
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 1.0000 1.0000 0.5203 0.5567 1.0000 0.8694 0.8293 1.0000
0.7 1.0000 1.0000 0.5841 0.5892 1.0000 0.6926 0.6708 1.0000
0.8 0.8608 0.8752 0.6730 0.6794 0.8756 0.4313 0.4424 0.9675
0.9 0.6863 0.6868 0.6255 0.6599 0.7192 0.2107 0.2902 0.2538
1.0 0.0543 0.0530 0.0644 0.0544 0.0568 0.2670 0.2296 0.0026
1.1 0.7734 0.8176 0.6682 0.7080 0.8669 0.2225 0.3131 0.0079
1.2 0.9429 0.9582 0.9335 0.9497 0.9730 0.4799 0.4944 0.1695
1.3 0.9819 0.9865 0.9766 0.9844 1.0000 0.7502 0.6923 0.3590
1.4 0.9270 0.9736 0.8762 0.9198 1.0000 0.9101 0.8367 0.4442
Tabla 4-8.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 4. T = 1000
En el Grafico 4.4 (a) y la Tabla 4-7 se observa que:
Para series de tiempo de 500 observaciones y d = 0.6, la potencia de la prueba CL es leve-
mente inferior a la obtenida por las pruebas de Lobato & Velasco (2007) y Tanaka (1999)
y superior a las alcanzadas por las demas; como resultado de interes, se aprecia como
la prueba CL mejora su comportamiento a medida que el valor del parametro d se ac-
erca a la hipotesis nula alcanzando la mayor potencia de todos los contrastes para d = 0.9.
48 4 Analisis de simulacion
De igual manera, se observa que para valores positivos del coeficiente media movil y
d = 0.6, 0.7 y 0.8, la prueba DGM (estandar y aumentada) presenta un desempeno defi-
ciente para detectar las raıces fraccionales no estacionarias presentes en las series tempo-
rales simuladas, con potencias promedio muy inferiores a las metodologıas mas eficientes.
Para d mayores a uno (d > 1), las pruebas de Lobato & Velasco (2007), de Dolado
et al. (2002) y la propuesta -CL- tienen un desempeno similar, pues alcanzan potencias
promedio considerablemente altas para valores del parametro de diferenciacion fraccional
cercanos a la raız unitaria, las cuales se incrementan a medida que aumenta el grado de
no estacionaridad del proceso, con excepcion de los resultados para d = 1.3 donde las
pruebas LV y DGM tienen una disminucion considerable en sus potencias promedio. Se
resalta el hecho de que para cualquier valor del parametro d mayor a uno (d > 1) la prue-
ba CL alcanza las mayores potencias promedio entre todos los contrastes considerados.
Se ratifica nuevamente que para todo el rango de valores del parametro d la prueba LV
obtiene mejores resultados que los obtenidos por la prueba DGM.
La prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, observese
que para d ∈ [0.6, 0.7] alcanza las mayores potencias promedio entre todas las metodologıas,
pero para valores del parametro cercanos y mayores a la hipotesis nula la prueba tiene una
disminucion considerable en su capacidad de detectar raıces fraccionales no estacionarias.
Como caso puntual se puede observar que para d > 1 dicha prueba tiene el peor compor-
tamiento con las potencias promedio mas bajas.
Las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robinson (1995) pre-
sentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considerado para el parametro
d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior, estos contrastes presen-
tan las potencias mas bajas bajo la hipotesis alternativa y pronunciadas distorsiones en
el tamano bajo la hipotesis nula. El resto de las pruebas consideradas presentan tamanos
bastante cercanos al nivel de significancia nominal considerado en este trabajo.
En el Grafico 4.4 (b) y la Tabla 4-8 se observa que:
En general, todas las potencias obtenidas son mayores al aumentar la longitud de la serie
usada en las pruebas. Con excepcion de la caracterıstica enunciada en la oracion anterior,
las pruebas presentaron un comportamiento similar al descrito para las series temporales
de 500 observaciones.
4.2
Resultad
os49
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #+ +
+
+
+
+
++
+
0 0
0
0
0
0
0
0
0
α = 0.05 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 1000
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #+ +
+
+
+
+
++
+
0 0
0
0
0
0
0
0
0
α = 0.05
Figura
4-5.:Curvas
depotenciapromedio.Caso5:ARFIM
A(1,d,0).Promedioresultad
os
θ′s<
0
50 4 Analisis de simulacion
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9664 0.9716 0.9372 0.9722 0.9726 0.7745 0.7876 0.9603
0.7 0.9526 0.9760 0.9284 0.9574 0.9868 0.6670 0.6719 0.9664
0.8 0.7874 0.7973 0.7478 0.7656 0.5748 0.4971 0.5465 0.9750
0.9 0.6451 0.6712 0.6526 0.6726 0.2615 0.3308 0.4273 0.9937
1.0 0.0636 0.0737 0.0775 0.0787 0.0854 0.3658 0.3201 0.9272
1.1 0.7193 0.7443 0.6224 0.6728 0.2525 0.1516 0.2763 0.5728
1.2 0.8619 0.8672 0.8310 0.8562 0.6549 0.2469 0.2733 0.6298
1.3 0.9581 0.9652 0.7818 0.7890 0.9832 0.4271 0.3339 0.8551
1.4 0.9602 0.9626 0.8179 0.8665 0.9875 0.6337 0.4253 0.7665
Tabla 4-9.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 5. T = 500
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 1.0000 1.0000 0.9466 0.9908 0.9805 0.8658 0.9117 1.0000
0.7 1.0000 1.0000 0.9356 0.9906 0.9880 0.7580 0.8036 1.0000
0.8 0.8228 0.8785 0.8391 0.8538 0.6645 0.5485 0.6504 1.0000
0.9 0.7786 0.7904 0.7388 0.7714 0.4893 0.3021 0.4663 1.0000
1.0 0.0503 0.0441 0.0520 0.0468 0.0728 0.3372 0.3272 0.0778
1.1 0.7402 0.7466 0.6705 0.7109 0.3722 0.1628 0.2894 0.6006
1.2 0.8650 0.8853 0.8520 0.8561 0.8025 0.3559 0.3502 0.7941
1.3 0.9741 0.9991 0.9005 0.9148 0.9902 0.6282 0.4884 0.9687
1.4 0.9807 0.9931 0.9363 0.9722 0.9722 0.8398 0.6674 0.8294
Tabla 4-10.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 5. T = 1000
En el Grafico 4.5 (a) y la Tabla 4-9 se observa que:
Para series de 500 observaciones, las pruebas de Lobato & Velasco (2007) y Dolado et al.
(2002) tuvieron un desempeno parecido a lo largo del intervalo de valores del parametro
d considerado, alcanzando potencias promedio considerablemente altas para valores de d
cercanos a la raız unitaria, las cuales aumentan a medida que el grado de no estacionar-
idad del proceso se aleja de la hipotesis nula, con excepcion del resultado de la prueba
DGM para d = 1.3 y 1.4 (ver disminucion en las potencias promedio). Se ratifica nueva-
mente que para todo el rango de valores del parametro d la prueba LV obtiene mejores
4.2 Resultados 51
resultados que los obtenidos por la prueba DGM.
De igual manera, se observa que para procesos simulados con componente media movil
cuyo coeficiente toma valores negativos y los valores del parametro de diferenciacion frac-
cional mas alejados de la hipotesis inicial (d = 0.6, 0.7, 1.3 y 1.4), la prueba CL tiene el
mejor desempeno presentando las mayores potencias promedio de todas la metodologıas
consideradas, situacion que se va deteriorando a medida que el valor del parametro d
se encuentra mas cerca de la raız unitaria, donde la prueba propuesta exhibe una gran
disminucion en su capacidad de detectar las raıces fraccionales no estacionarias presentes
en las series temporales simuladas.
Las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robinson (1995) pre-
sentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considerado para el parametro
d, ya que con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior para d = 0.9 estos
contrastes presentan las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis alternativa. La
prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, observese que
para d ∈ [0.6, 0.9] alcanza potencias promedio muy altas, pero para valores del parametro
d mayores a la hipotesis nula la prueba tiene una disminucion considerable en su capaci-
dad de detectar raıces fraccionales.
Se puede observar una ostensible distorsion en el tamano presentado por la prueba de
Tanaka, cuyo valor cercano a uno se aleja bastante del nivel de significancia nominal
considerado en este trabajo, lo que indica una tendencia de esta a rechazar la hipotesis
inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiables los resultados presentados por
la misma. El resto de los contrastes considerados presentan tamanos con algun grado de
alejamiento del nivel de significancia nominal definido, sobresaliendo la notoria distorsion
presentada por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995).
En el Grafico 4.5 (b) y la Tabla 4-10 se observa que:
En general, todas las potencias promedio obtenidas son mayores al aumentar la longitud
de la serie usada en las pruebas. Se puede apreciar que la metodologıa de Tanaka ya no
presenta la extrema distorsion en el tamano presentada por esta para las series simuladas
de 500 observaciones. Con excepcion de las caracterısticas enunciadas en el parrafo an-
terior, las pruebas presentaron un comportamiento similar al descrito para las series de
tiempo de menor longitud.
524
Analisisdesimulacion
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
##
++
+
+
+
+
+
++0
0
0
0
0
0
0
00
α = 0.05 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 1000
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #+
+
+
+
+
+
+
++0 0
0
0
0
0
0
00
α = 0.05
Figura
4-6.:Curvas
depotenciapromedio.Caso6:ARFIM
A(1,d,1).Promedioresultad
os
φ′ s>
0yθ′s>
0
4.2 Resultados 53
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9434 0.9798 0.8957 0.8989 0.9445 0.4953 0.4595 0.3075
0.7 0.9681 0.9855 0.9274 0.9496 0.8948 0.3787 0.4098 0.2207
0.8 0.7855 0.8082 0.7496 0.7740 0.7945 0.2992 0.3846 0.2863
0.9 0.4757 0.5026 0.4270 0.4324 0.3692 0.2813 0.3952 0.4601
1.0 0.1286 0.1248 0.1428 0.1448 0.1338 0.4351 0.4378 0.5230
1.1 0.5347 0.5418 0.4726 0.5233 0.5270 0.4081 0.5097 0.6503
1.2 0.8354 0.8620 0.7972 0.8214 0.8351 0.6082 0.6087 0.7664
1.3 0.8928 0.9167 0.8543 0.8791 0.9489 0.7732 0.7135 0.8038
1.4 0.9258 0.9593 0.8931 0.9160 0.9697 0.8861 0.8096 0.8058
Tabla 4-11.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 6. T = 500
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9610 0.9897 0.9266 0.9524 0.9804 0.6623 0.5978 0.4836
0.7 0.9851 0.9930 0.9468 0.9616 0.9528 0.4865 0.5121 0.4076
0.8 0.8404 0.8595 0.8279 0.8406 0.8714 0.3115 0.4383 0.4811
0.9 0.4992 0.4821 0.4288 0.4401 0.4598 0.2322 0.3864 0.5031
1.0 0.1021 0.0926 0.1233 0.1060 0.0956 0.4180 0.4524 0.3684
1.1 0.5916 0.6074 0.5219 0.5513 0.5787 0.4312 0.4713 0.8186
1.2 0.8679 0.8828 0.8295 0.8568 0.8823 0.6233 0.6896 0.8707
1.3 0.9668 0.9853 0.9567 0.9780 0.9900 0.8411 0.8198 0.9050
1.4 0.9456 0.9765 0.9300 0.9516 0.9688 0.9448 0.9121 0.8904
Tabla 4-12.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 6. T = 1000
En el Grafico 4.6 (a) y la Tabla 4-11 se observa que:
Para series de 500 observaciones, la mayorıa de las pruebas (con excepcion de la prueba
GPH, Rob95 y Tanaka) tuvieron un desempeno similar para todo el intervalo de valores
del parametro d considerado. Las pruebas obtienen bajas potencias para valores cercanos
a la raız unitaria, las cuales aumentan a medida que el grado de no estacionaridad del
proceso se aleja de la hipotesis nula. Se resalta que para d > 1.2 la prueba propuesta (CL)
alcanza las mayores potencias promedio entre todos los contrastes considerados. Nueva-
mente se hace evidente la superioridad de la prueba LV sobre la prueba DGM, al obtener
54 4 Analisis de simulacion
potencias superiores para cualquier valor del parametro d.
La prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, se observa
que para d ∈ [0.6, 0.8] la prueba alcanza las potencias promedio mas bajas de todos los
contrastes considerados, pero para valores del parametro d mayores a la hipotesis nula
la prueba tiene un aumento considerable en su capacidad de detectar raıces fraccionales
no estacionarias. De igual manera, las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak
(1983) y por Robinson (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del intervalo de
valores considerado para el parametro d, ya que con excepcion del compotamiento descrito
en el parrafo anterior, estos contrastes presentan las potencias promedio mas bajas bajo
la hipotesis alternativa.
Se observa nuevamente que la mayor distorsion en el tamano promedio es presentada por
la prueba de Tanaka, cuyo valor cercano a 0.5 se aleja bastante del nivel de significan-
cia nominal considerado en este trabajo, lo cual indica una tendencia de esta prueba a
rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiables los resulta-
dos presentados por la misma. El resto de los contrastes considerados presentan tamanos
promedio con algun grado de alejamiento del nivel de significancia nominal definido, las
desviaciones presentadas por la prueba propuesta, la de Lobato & Velasco (2007) y Dolado
et al. (2002) son muy similares entre sı, pero considerablemente menores a las notorias
distorsiones exhibidas por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson
(1995) y de Tanaka (1999).
En el Grafico 4.6 (b) y la Tabla 4-12 se observa que:
Al aumentar la longitud de las series simuladas, las metodologıas bajo estudio presentaron
un mejor comportamiento con potencias promedio mayores bajo la hipotesis alternativa,
y menores desviaciones en sus tamanos bajo la nula. Con excepcion de la caracterıstica
enunciada en la oracion anterior, las pruebas presentaron un comportamiento similar al
descrito para series de tiempo de 500 observaciones.
4.2
Resultad
os55
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #++
+
+
+
+
+
+
+
0 0
0
0
0
0
0
0
0
α = 0.05 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 1000
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #+
+
+
+
+
+
+
+
+
00
0
0
0
0
0
0
0
α = 0.05
Figura
4-7.:Curvas
depotenciapromedio.Caso7:ARFIM
A(1,d,1).Promedioresultad
os
φ′ s>
0yθ′s<
0
56 4 Analisis de simulacion
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9773 0.9864 0.9243 0.9285 0.8427 0.6033 0.5827 0.8787
0.7 0.9507 0.9778 0.8827 0.9116 0.6526 0.4887 0.5143 0.6834
0.8 0.7454 0.7441 0.5520 0.5721 0.5085 0.3844 0.4587 0.5436
0.9 0.4868 0.5196 0.4590 0.4732 0.3863 0.3127 0.4285 0.4786
1.0 0.1019 0.1005 0.1126 0.1038 0.1071 0.4341 0.4097 0.4954
1.1 0.5418 0.5452 0.4487 0.4674 0.4865 0.3640 0.4298 0.5548
1.2 0.8354 0.8583 0.7986 0.8232 0.6423 0.4818 0.4766 0.5075
1.3 0.9368 0.9586 0.8898 0.9091 0.7215 0.6327 0.5575 0.4727
1.4 0.9314 0.9476 0.7390 0.7620 0.8796 0.7834 0.6440 0.5219
Tabla 4-13.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 7. T = 500
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9778 0.9930 0.9408 0.9665 0.8526 0.7338 0.6945 0.9787
0.7 0.9704 0.9927 0.8962 0.9334 0.8818 0.5764 0.6055 0.8909
0.8 0.8421 0.8608 0.8113 0.8337 0.6108 0.3934 0.5235 0.6268
0.9 0.5193 0.5371 0.4774 0.4920 0.4286 0.2683 0.4454 0.5851
1.0 0.0821 0.0818 0.1043 0.1061 0.1093 0.4112 0.4395 0.3518
1.1 0.5712 0.5975 0.5177 0.5424 0.5290 0.3289 0.4290 0.7405
1.2 0.8906 0.9165 0.8629 0.8825 0.8428 0.5345 0.5621 0.6777
1.3 0.9796 0.9883 0.9494 0.9682 0.8709 0.7565 0.6870 0.6089
1.4 0.9719 0.9863 0.8761 0.9017 0.9711 0.9011 0.8036 0.6247
Tabla 4-14.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 7. T = 1000
En el Grafico 4.7 (a) y la Tabla 4-13 se observa que:
Para series de 500 observaciones, las pruebas de Lobato & Velasco (2007) y Dolado et al.
(2002) tuvieron un desempeno parecido a lo largo del intervalo de valores del parametro
d considerado. Con excepcion de los resultados de la prueba DGM para d = 0.8 y 1.4
(ver disminucion en la potencia promedio), estas metodologıas obtuvieron bajas potencias
para d cercanos a la raız unitaria, y su magnitud aumenta a medida que el grado de no
estacionaridad del proceso se aleja de la hipotesis nula.
4.2 Resultados 57
Se puede observar que para los procesos ARFIMA(1,d,1) con valores positivos del coefi-
ciente φ y negativos del coeficiente θ, la prueba de Lobato & Velasco (2007) obtuvo las
potencias promedio mas altas de todas las metodologıas en el rango de valores considera-
dos para el parametro de diferenciacion fraccional d. De igual manera, se observa que para
este caso la prueba propuesta presenta un debil desempeno en comparacion con las pruebas
enunciadas en los parrafos anteriores, exhibiendo potencias promedio inferiores sobre todo
para valores del parametro d mas alejados de la hipotesis inicial (d = 0.6, 0.7, 1.3 y 1.4).
La prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, se observa
que para d < 1 dicha prueba alcanza las potencias promedio mas altas que las presentadas
por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson (1995) y la propuesta en
este trabajo, pero para valores del parametro d mayores a la hipotesis nula dicha prue-
ba tiene una disminucion considerable en su capacidad de detectar raıces fraccionales no
estacionarias, lo cual se ve reflejado al obtener las menores potencias para d ≥ 1.2.
De igual manera, las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robin-
son (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del intervalo de valores considerado
para el parametro d, ya que con excepcion del comportamiento descrito en el parrafo
anterior, estos contrastes presentan las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis
alternativa.
Se observa nuevamente que la mayor distorsion en el tamano promedio es presentada por
la prueba de Tanaka, cuyo valor cercano a 0.5 se aleja bastante del nivel de significan-
cia nominal considerado en este trabajo, lo cual indica una tendencia de esta prueba a
rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiable los resulta-
dos presentados por la misma. El resto de los contrastes considerados presentan tamanos
promedio con algun grado de alejamiento del nivel de significancia nominal definido. Las
desviaciones presentadas por la prueba propuesta, la de Lobato & Velasco (2007) y Dolado
et al. (2002) son muy similares entre sı, pero considerablemente menores a las notorias
distorsiones exhibidas por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson
(1995) y de Tanaka (1999).
En el Grafico 4.7 (b) y la Tabla 4-13 se observa que:
Al aumentar la longitud de las series simuladas, las metodologıas bajo estudio presentaron
un mejor comportamiento con potencias promedio mayores bajo la hipotesis alternativa,
58 4 Analisis de simulacion
y menores desviaciones en sus tamanos bajo la nula. Con excepcion de la caracterıstica
enunciada en la oracion anterior, las pruebas presentaron un comportamiento similar al
descrito para series de tiempo de 500 observaciones.
4.2
Resultad
os59
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
##
+
+
+
+
+
+
+
+ +
0
0
0
0
0
0
0
00
α = 0.05 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 1000
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #
+ +
+
+
+
+
++
+0 0
0
0
0
0
0
0
0
α = 0.05
Figura
4-8.:Curvas
depotenciapromedio.Caso8:ARFIM
A(1,d,1).Promedioresultad
os
φ′ s<
0yθ′s>
0
60 4 Analisis de simulacion
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9642 0.9897 0.8687 0.8869 0.9686 0.7389 0.6074 0.9983
0.7 0.9618 0.9848 0.7784 0.8124 0.9664 0.5473 0.4588 0.9128
0.8 0.8375 0.8745 0.6779 0.6835 0.8409 0.3418 0.3301 0.6365
0.9 0.5072 0.5288 0.3503 0.3766 0.5150 0.1830 0.2398 0.2369
1.0 0.1466 0.1510 0.1604 0.1584 0.1331 0.2563 0.2148 0.1989
1.1 0.6576 0.6811 0.5472 0.5651 0.6386 0.1992 0.2584 0.3505
1.2 0.8374 0.8586 0.6917 0.7176 0.8845 0.3844 0.3588 0.4734
1.3 0.8940 0.9144 0.8393 0.8695 0.9454 0.6167 0.4920 0.5069
1.4 0.9527 0.9630 0.8321 0.8431 0.9789 0.7964 0.6437 0.6050
Tabla 4-15.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 8. T = 500
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9981 1.0000 0.9013 0.9328 0.9995 0.8715 0.8323 1.0000
0.7 0.9973 1.0000 0.8930 0.9167 0.9842 0.6924 0.6566 0.9838
0.8 0.8922 0.9104 0.7800 0.7893 0.8887 0.4322 0.4491 0.7977
0.9 0.5847 0.5915 0.5484 0.5792 0.6871 0.2056 0.2940 0.5484
1.0 0.0975 0.0942 0.1052 0.1043 0.0820 0.2677 0.2343 0.0905
1.1 0.6953 0.7144 0.6260 0.6600 0.7318 0.2224 0.3133 0.4888
1.2 0.8679 0.8747 0.8223 0.8213 0.8700 0.4773 0.4839 0.6540
1.3 0.9805 0.9920 0.8544 0.8884 0.9836 0.7478 0.6829 0.6896
1.4 0.9589 0.9748 0.9357 0.9532 0.9939 0.9057 0.8359 0.7037
Tabla 4-16.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 8. T = 1000
En el Grafico 4.8 (a) y la Tabla 4-15 se observa que:
Para series de tiempo de 500 observaciones y para el intervalo de valores considerado del
parametro d, la prueba propuesta (CL) y la de Lobato & Velasco (2007) tienen un muy
buen comportamiento con potencias promedio superiores a las logradas por los demas con-
trastes. Puntualmente, para d ∈ [0.6, 0.9] las potencias promedio de la prueba propuesta
-CL- son un poco menores a las obtenidas por la prueba LV aumentada, pero mayores a
las alcanzadas por el resto de metodologıas. Para d > 1.1 se destaca que la prueba pro-
puesta alcanza las mayores potencias promedio entre todos los contrastes considerados, y
4.2 Resultados 61
que la prueba DGM tiene una mejora considerable en su capacidad para detectar raıces
fraccionales obteniendo potencias levemente inferiores a las presentadas por las pruebas
previamente enunciadas.
La prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, se observa
que para d = 0.6 y 0.7 dicha prueba alcanza una de las potencias promedio mas altas,
superando las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson (1995) y de Dola-
do et al. (2002), pero para valores del parametro d cercanos a la hipotesis nula y mayores
a esta (d ≥ 0.9, con d 6= 1), dicha prueba tiene una disminucion considerable en su ca-
pacidad de detectar raıces fraccionales no estacionarias, lo cual se ve reflejado al obtener
potencias promedio bastante menores a las exhibidas por los contrastes mas eficientes.
De igual manera, las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robin-
son (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del intervalo de valores considerado
para el parametro d, ya que con excepcion del comportamiento descrito en el parrafo
anterior, estos contrastes presentan las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis
alternativa.
En este caso se observa que la mayor distorsion en el tamano promedio es presentada por la
prueba de Geweke & Porter-Hudak (1983), cuyo valor cercano a 0.25 se aleja bastante del
nivel de significancia nominal considerado en este trabajo, y es seguida por los resultados
obtenidos con la metodologıa de Robinson (1995) y de Tanaka (1999) respectivamente.
El resto de los contrastes bajo estudio presentan tamanos promedio con algun grado de
alejamiento del nivel de significancia nominal definido, resaltando como caracterıstica de
interes que la desviacion presentada por la prueba propuesta es la menor de todas las
metodologıas consideradas, seguida por el contraste de Lobato & Velasco (2007) y de
Dolado et al. (2002) con distorsiones muy similares entre sı.
En el Grafico 4.8 (b) y la Tabla 4-16 se observa que:
En general, al aumentar la longitud de la serie simulada se incrementan las potencias
promedio obtenidas por las diferentes metodologıas y se presentan menores desviaciones
en sus tamanos bajo la nula, excluyendo los resultados presentados por las pruebas de
Geweke & Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995), cuyas desviaciones son mayores a
las obtenidas por dichas pruebas para series de tiempo de menor longitud. Con excep-
cion de las caracterısticas enunciadas en el parrafo anterior, las pruebas exhibieron un
62 4 Analisis de simulacion
comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 observaciones.
4.2
Resultad
os63
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 500
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #+
+
+
+
+
+
+
+
+
00
0
0
0
0
0
0
0
α = 0.05 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Número Observaciones Simuladas: 1000
Cu
rva
s d
e P
ote
ncia
LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka
d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4
# #
#
#
#
#
#
# #+ +
+
+
+
+
+
++
0 0
0
0
0
0
0
00
α = 0.05
Figura
4-9.:Curvas
depotenciapromedio.Caso9:ARFIM
A(1,d,1).Promedioresultad
os
φ′ s<
0yθ′s<
0
64 4 Analisis de simulacion
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9624 0.9873 0.9388 0.9474 0.9309 0.5433 0.7758 1.0000
0.7 0.9602 0.9868 0.8888 0.9162 0.8415 0.4957 0.6702 1.0000
0.8 0.8444 0.8828 0.8049 0.8194 0.6762 0.3965 0.5536 1.0000
0.9 0.4719 0.5051 0.4483 0.4658 0.3306 0.2755 0.4318 1.0000
1.0 0.0931 0.0952 0.1129 0.1227 0.1030 0.3282 0.3280 0.9998
1.1 0.5973 0.6278 0.5632 0.5962 0.2781 0.1581 0.2758 0.9555
1.2 0.8300 0.8573 0.7947 0.8181 0.5690 0.2399 0.2832 0.7033
1.3 0.9567 0.9706 0.8856 0.8948 0.8322 0.4149 0.3279 0.8054
1.4 0.9556 0.9677 0.8313 0.8423 0.8981 0.6230 0.4268 0.9501
Tabla 4-17.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 9. T = 500
d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka
0.6 0.9888 1.0000 0.9402 0.9531 0.9815 0.6305 0.9068 1.0000
0.7 0.9977 1.0000 0.9238 0.9628 0.9589 0.5783 0.8031 1.0000
0.8 0.8722 0.9016 0.8365 0.8580 0.8179 0.4540 0.6483 1.0000
0.9 0.5374 0.5532 0.5138 0.5492 0.3593 0.2711 0.4716 1.0000
1.0 0.0862 0.0853 0.0951 0.0964 0.0958 0.3166 0.3341 0.0682
1.1 0.6744 0.7040 0.6370 0.6865 0.4290 0.1609 0.2829 0.9855
1.2 0.8782 0.8826 0.8368 0.8580 0.8386 0.3428 0.3394 0.7333
1.3 0.9763 0.9844 0.9406 0.9670 0.9138 0.6135 0.4863 0.9375
1.4 0.9639 0.9876 0.8954 0.9178 0.9695 0.8341 0.6583 0.9803
Tabla 4-18.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 9. T = 1000
En el Grafico 4.9 (a) y la Tabla 4-17 se observa que:
Para series de 500 observaciones, las pruebas de Lobato & Velasco (2007) y Dolado et al.
(2002) tuvieron un desempeno similar a lo largo del intervalo de valores del parametro d
considerado, con excepcion de los resultados de la prueba DGM para d = 1.4 (ver dis-
minucion en la potencia promedio). Estas metodologıas obtuvieron bajas potencias para
d cercanos a la raız unitaria, y su magnitud aumenta a medida que el grado de no esta-
cionaridad del proceso se aleja de la hipotesis nula.
4.2 Resultados 65
Notese que la prueba de Lobato & Velasco (2007) obtuvo las potencias promedio mas
altas para d > 1.1. De manera similar, se observa que para este caso la prueba propuesta
presenta un debil desempeno, exhibiendo potencias promedio inferiores en comparacion
con las pruebas enunciadas en el parrafo anterior, sobre todo para d = 1.1 y d = 1.2.
La prueba propuesta por Tanaka tuvo un comportamiento bastante irregular; se observa
que para d < 1 dicha prueba alcanza las potencias promedio mas altas entre todas las
metodologıas para los procesos ARFIMA(1,d,1) con valores positivos del coeficiente φ,
negativos del coeficiente θ, pero para valores del parametro d mayores a la hipotesis nula,
dicha prueba tiene una disminucion considerable en su capacidad de detectar raıces frac-
cionales no estacionarias, lo cual se ve reflejado en la disminucion de la potencia promedio
de esta para d > 1.1.
Nuevamente, las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robinson
(1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del intervalo de valores considerado para
el parametro d, exhibiendo las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis alternativa.
Se observa nuevamente que la mayor distorsion en el tamano promedio es presentada por
la prueba de Tanaka, cuyo valor cercano a uno se aleja ostensiblemente del nivel de sig-
nificancia nominal considerado en este trabajo; lo anterior indica que en este caso dicha
prueba tiene una tendencia a rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, hacien-
do poco confiables los resultados presentados por la misma.
El resto de los contrastes considerados presentan tamanos promedio con algun grado de
alejamiento del nivel de significancia nominal definido. Las desviaciones presentadas por
la prueba propuesta, la de Lobato & Velasco (2007) y Dolado et al. (2002) son muy sim-
ilares entre sı, pero considerablemente menores a las notorias distorsiones exhibidas por
las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson (1995) y de Tanaka (1999).
En el Grafico 4.9 (b) y la Tabla 4-18 se observa que:
Al aumentar la longitud de las series simuladas, las metodologıas bajo estudio presentaron
un mejor comportamiento con potencias promedio mayores bajo la hipotesis alternativa
y menores desviaciones en sus tamanos bajo la nula, excluyendo los resultados presen-
tados por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995), cuyas
desviaciones son mayores a las obtenidas por dichas pruebas para series de tiempo de
66 4 Analisis de simulacion
menor longitud. Con excepcion de las caracterısticas enunciadas en la oracion anterior,
las pruebas exhibieron un comportamiento similar al descrito para series de tiempo de
500 observaciones.
4.3. Aplicacion empırica de las metodologıas
consideradas
Con el fin de ofrecer un ejemplo empırico donde se ilustre la aplicacion de las diferentes
metodologıas enunciadas en este trabajo para probar la existencia de una raız fraccional
no estacionaria, se examino una serie facilitada por el Biologo de la Universidad Nacional
de Colombia - Sede Medellın y candidato a doctor Carlos Albeiro Monsalve Marın, quien
actualmente esta realizando estudios sobre la composicion quımica de ciertos elementos
contenidos en los sedimentos de lagos, turberas y humedales continentales y depositos
marinos con el fin de usarlos como indicadores de cambios paleoambientales.
En su ultimo estudio obtuvo un nucleo (corte y extraccion de 12 metros de suelo) en el
paramo de Frontino, norte de la cordillera Occidental de Colombia y se midio cada medio
centımetro la concentracion de Hierro, Titanio y Manganeso y otros elementos con el fin
de observar la evolucion de estas variables a traves del tiempo.
Aunque la secuencia de observaciones de este fenomeno no esta indexada en el tiempo,
estan ordenadas de forma secuencial en intervalos de longitud equidistantes a lo largo
del nucleo (series de tiempo discreta, equiespaciada), lo que permite emplear las tecnicas
tradicionales y los diferentes contrastes de interes para el analisis de estas series. Sin
perdida de generalidad se escogio la serie de la concentracion de hierro obtenida de los 6
metros mas profundos del nucleo por ser los mas estables (Segun Carlos Albeiro Monsalve).
A continuacion se presenta el grafico de esta serie.
4.3 Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas 67
Conteos por segundo Hierro
Profundidad
Con
teos
por
seg
undo
0 200 400 600 800 1000 1200
1000
2000
3000
4000
Figura 4-10.: Serie de la concentracion de hierro
Tras la observacion del Grafico 4.10, se puede concluir que la varianza incondicional de la
serie no es estable, aumentando en algunas partes de esta. El empleo de la transformacion
Box-Cox -Box & Cox (1964)- sugiere que la transformacion raız cuarta es adecuada para
estabilizar dicha varianza. Por lo tanto el analisis de la serie se realizara sobre la raız
cuarta de la concentracion de hierro. Veamos la grafica de la serie transformada.
Serie transformada de la concentración de Hierro
Profundidad
0 200 400 600 800 1000 1200
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
Figura 4-11.: Serie transformada de la concentracion de hierro
68 4 Analisis de simulacion
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
ACF − Serie transformada de la concentración de Hierro
Lag
AC
F
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
Lag
Pa
rtia
l A
CF
PACF − Serie transformada de la concentración de Hierro
Figura 4-12.: ACF - PACF de la serie transformada
En el Grafico 4.12 se observa que el patron de decrecimiento de las autocorrelaciones
muestrales de esta serie presenta una dependencia no despreciable entre observaciones
que distan entre sı largos periodos de tiempo (definicion de memoria larga). A conti-
nuacion se determinara si su grado de interdependencia muestral corresponde al de un
proceso estacionario o al de un proceso no estacionario.
4.3.1. Pruebas de raız unitaria
En la tabla 4-19 se presentan los resultados obtenidos para la prueba ADF bajo el modelo
∆Xt = β0 + φXt−1 +∑p
j=1 δj∆Xt−j + ǫt, incluyendo un numero maximo de rezagos igual
a la raız cubica de la longitud de la serie. En la tabla 4-20 se presentan los resultados de
la regresion ajustada en este caso.
4.3 Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas 69
Valores crıticos
Estadısticos de Prueba Valor Obtenido 1pct 5pct 10pct
tau2 -4.7276 -3.43 -2.86 -2.57
phi1 11.2142 6.43 4.59 3.78
Tabla 4-19.: Prueba ADF - Caminata aleatoria con deriva y sin tendencia determinıstica
Variable Coeficiente Error Estandar Estadıstico t Valor P
Intercepto 0.6484 0.1467 4.42 0.0000
z.lag.1 -0.0989 0.0222 -4.46 0.0000
z.diff.lag1 -0.4983 0.0341 -14.61 0.0000
z.diff.lag2 -0.3088 0.0366 -8.44 0.0000
z.diff.lag3 -0.2475 0.0367 -6.74 0.0000
z.diff.lag4 -0.2308 0.0361 -6.40 0.0000
z.diff.lag5 -0.1806 0.0353 -5.12 0.0000
z.diff.lag6 -0.1356 0.0336 -4.04 0.0001
z.diff.lag7 -0.0956 0.0289 -3.31 0.0010
Tabla 4-20.: Regresion ajustada - Caminata aleatoria con deriva y sin tendencia deter-
minıstica
En la tabla 4-21 se presentan los resultados obtenidos para la prueba ADF bajo el modelo
∆Xt = β0 + β1 + φXt−1 +∑p
j=1 δj∆Xt−j + ǫt, incluyendo un numero maximo de rezagos
igual a la raız cubica de la longitud de la serie. En la tabla 4-22 se presentan los resultados
de la regresion ajustada en este caso.
Valores crıticos
Estadısticos de Prueba Valor Obtenido 1pct 5pct 10pct
tau3 -6.7149 -3.96 -3.41 -3.12
phi2 15.0645 6.09 4.68 4.03
phi3 22.5717 8.27 6.25 5.34
Tabla 4-21.: Prueba ADF -Caminata Aleatoria con deriva alrededor de una tendencia
determinıstica
70 4 Analisis de simulacion
Variable Coeficiente Error Estandar Estadıstico t Valor P
Intercepto 1.3348 0.2019 6.61 0.0000
z.lag.1 -0.1849 0.0275 -6.71 0.0000
tt -0.0002 0.0001 -3.95 0.0001
z.diff.lag1 -0.4115 0.0357 -11.54 0.0000
z.diff.lag2 -0.2202 0.0364 -6.05 0.0000
z.diff.lag3 -0.1592 0.0354 -4.49 0.0000
z.diff.lag4 -0.1432 0.0336 -4.26 0.0000
z.diff.lag5 -0.0809 0.0289 -2.80 0.0052
Tabla 4-22.: Regresion ajustada - Caminata Aleatoria con deriva alrededor de una ten-
dencia determinıstica
De la Tabla 4-19 y la Tabla 4-21 se concluye que no hay raız unitaria en la serie transfor-
mada de la concentracion de hierro en el nucleo del paramo de Frontino. La aplicacion de
la prueba de raız unitaria de Phillips & Perron (1988) conduce al mismo resultado.
4.3.2. Pruebas de raız fraccional no estacionaria
A continuacion se determinara si la serie estudiada tiene o no una raız fraccional no esta-
cionaria empleando las diferentes metodologıas enunciadas en este trabajo.
Prueba d Error Estandar Estadıstico de prueba Valor crıtico
Lemus-Castano 0.661 0.052 -6.51 -1.65
LV Aumentada 0.618 0.059 -15.86 -1.65
LV 0.618 0.059 -13.27 -1.65
DGM Aumentada 0.653 0.068 -9.92 -1.65
DGM 0.653 0.068 -8.88 -1.65
GPH 0.582 0.134 3.10 2.01
ROB95 0.560 0.165 3.85 2.07
Tabla 4-23.: Resultados de las diferentes pruebas de raız fraccional no estacionaria
Al observar los resultados de la Tabla 4-23, vemos que todos los contrastes rechazan la
hipotesis nula de raız unitaria, por lo cual se concluye que existe una raız fraccional no
4.3 Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas 71
estacionaria en la serie transformada de la concentracion de hierro en el nucleo del paramo
de Frontino.
4.3.3. Procedimiento de identificacion y estimacion
A continuacion se ilustra la aplicacion del procedimiento propuesto en este trabajo para
la identificacion y estimacion de un modelo adecuado para la serie transformada de la
concentracion de hierro en el nucleo del paramo de Frontino.
Primer paso: Despues de diferenciar la serie se aproxima la componente a corto plazo
del proceso resultante por medio del modelo aproximado ARFIMA(6,d,0). Los resultados
se presentan en la siguiente tabla:
Parametro Estimador Error Estandar t value Pr(> |t|)ar1 -0.270398 0.058055 -4.6577 0.000003
ar2 -0.106317 0.048828 -2.1774 0.029452
ar3 -0.090727 0.040308 -2.2508 0.024395
ar4 -0.106757 0.037083 -2.8789 0.003991
ar5 -0.064780 0.035430 -1.8284 0.067491
ar6 -0.040583 0.031305 -1.2964 0.194849
d -0.338870 0.050602 -6.6967 0.000000
sigma 0.458994 0.009452 48.5596 0.000000
Tabla 4-24.: Estimacion del modelo aproximado ARFIMA(p∗, d, 0)
De la Tabla 4-24 se puede concluir que la estimacion de d∗ en el modelo aproximado es
significativa para un nivel de significancia de 0.05. En la siguiente tabla (Tabla 4-25) se
presenta el estadıstico de Ljung-Box para los residuales del modelo aproximado:
72 4 Analisis de simulacion
Q(Lag) Estadıstico Valor P
Lag10 3.181 0.5281
Lag15 7.242 0.6120
Lag20 11.020 0.6844
Tabla 4-25.: Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo aproximado
ARFIMA(p∗, d, 0)
Los resultados de esta prueba indican que el modelo aproximado captura la correlacion
serial de corto plazo presente en la serie fraccionalmente diferenciada; por tanto la aprox-
imacion es adecuada.
Segundo paso: Usar d = 1+d∗ = 1−0.33887 = 0.66113 para diferenciar fraccionalmente
la serie transformada y sobre el proceso resultante utilice las tecnicas de identificacion de
un modelo ARMA(p,q) para el componente a corto plazo del proceso.
Serie transformada diferenciada fraccionalmente
Profundidad
0 200 400 600 800 1000 1200
−2
−1
01
2
Figura 4-13.: Serie transformada diferenciada fraccionalmente
4.3 Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas 73
0 50 100 150 200 250
−0
.20
−0
.05
0.0
5
ACF − Serie transformada diferenciada fraccionalmente
Lag
AC
F
0 50 100 150 200 250
−0
.20
−0
.05
0.0
5
Lag
Pa
rtia
l AC
F
PACF − Serie transformada diferenciada fraccionalmente
Figura 4-14.: ACF - PACF de la serie diferenciada fraccionalmente
Figura 4-15.: EACF de la serie diferenciada fraccionalmente
De los resultados obtenidos en el Grafico 4-14 y 4-15 se puede concluir que el modelo
ARMA(p,q) para el componente a corto plazo de la serie estudiada parece ser consistente
con un MA(1).
Tercer paso: Estimar el modelo ARFIMA(0,d,1) identificado y validar los supuestos
74 4 Analisis de simulacion
sobre sus residuales. La siguiente tabla presenta los resultados de la estimacion de dicho
modelo:
Parametro Estimador Error Estandar t value Pr(> |t|)ma1 -0.15360 0.047641 -3.224 0.001264
d -0.45318 0.034950 -12.967 0.000000
sigma 0.46059 0.009485 48.559 0.000000
Tabla 4-26.: Estimacion del modelo identificado para la componente a corto plazo
ARFIMA(0,d,1)
De la Tabla 4-26 se puede concluir que la estimacion de d∗ en el modelo identificado para
el componente a corto plazo es significativa para un nivel de significancia de 0.05. En la
siguiente tabla (Tabla 4-27) se presenta el estadıstico de Ljung-Box para los residuales
del modelo identificado ARFIMA(0,d,1):
Q(Lag) Estadıstico Valor P
Lag10 10.76 0.2927
Lag15 14.31 0.4268
Lag20 18.38 0.4975
Tabla 4-27.: Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo identificado
ARFIMA(0,d,1)
Los resultados de esta prueba confirman que el modelo MA(1) es adecuado para captura
la correlacion serial a corto plazo presente en la serie transformada fraccionalmente difer-
enciada.
En la siguiente tabla (Tabla 4-28) se presentan los resultados de la prueba de McCleod-Li
para heterocedasticidad condicional, con el fin de probar la existencia o no de efectos
GARCH en los residuales. Esta dada por el mismo estadıstico Q de Ljung-Box pero
aplicado a la serie de residuales al cuadrado.
4.3 Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas 75
Q(Lag) Estadıstico Valor P
Lag10 74.91 1.647e-12
Lag15 86.31 1.882e-12
Lag20 100.86 3.736e-13
Tabla 4-28.: Prueba de McCleod-Li para heterocedasticidad condicional
Los resultados de esta prueba indican la posible existencia de efectos GARCH en la
varianza de la serie transformada fraccionalmente diferenciada.
0 50 100 150 200 250
−0
.05
0.0
50
.15
ACF − Serie de residuales estandarizados al cuadrado del modelo ARFIMA(0,d,1)
Lag
AC
F
0 50 100 150 200 250
−0
.05
0.0
50
.15
Lag
Pa
rtia
l AC
F
PACF − Serie de residuales estandarizados al cuadrado del modelo ARFIMA(0,d,1)
Figura 4-16.: ACF - PACF. Serie de residuales al cuadrado del modelo identificado
ARFIMA(0,d,1)
Del Grafico 4-16 se puede concluir que el modelo GARCH(1,1) parece ser consistente
para modelar la heterocedasticidad condicional de la serie transformada fraccionalmente
diferenciada. A continuacion se verificara el supuesto de normalidad de los residuales del
modelo identificado ARFIMA(0,d,1).
76 4 Analisis de simulacion
−3 −2 −1 0 1 2 3
−4−2
02
4
Normal Q−Q plot − Residuales estandarizados Modelo ARFIMA(0,d,1)
Cuantiles Teóreticos
Cua
ntile
s M
uest
rale
s
Figura 4-17.: Normal QQ plot - Residuales del modelo identificado ARFIMA(0,d,1)
En el Grafico 4-17 se presenta la desviacion del supuesto de normalidad presentada por
los residuales del modelo identificado ARFIMA(0, d, 1). Las pruebas de Shapiro-Wilk y
de Jarque-Bera confirmaron la no normalidad de los residuales del modelo identificado.
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sample density
N = 1179 Bandwidth = 0.1878
Den
sity
Figura 4-18.: Densidad muestral de los residuales del modelo identificado
ARFIMA(0,d,1)
En el Grafico 4-18, se observa que la distribucion de probabilidad muestral de los resid-
4.3 Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas 77
uales no tiene problemas serios de asimetrıa, pero tiene un pico mas agudo en torno a
la media y colas mas pesadas que las de la distribucion normal estandar (leptocurtosis).
Tomando la distribucion normal como referencia de apuntamiento se calculo la curtosis
muestral y el coeficiente de asimetrıa muestral y se confirmo el exceso positivo de curtosis
de la distribucion de probabilidad de los residuales -Kurtosis(residuales) = 2.203897 y
Skewness(residuales)= -0.0179616-.
Cuarto paso: Estimar simultaneamente todos los parametros del modelo identificado
especificando que los residuales del modelo siguen una distribucion t de student con el
fin de capturar la leptocurtosis enunciada. La siguiente tabla presenta los resultados de
la estimacion del modelo ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1):
Parametro Estimador Error Estandar t value Pr(> |t|)ma1 -0.20335 0.059190 -3.4355 0.000591
arfima -0.39631 0.039174 -10.1167 0.000000
alpha1 0.06787 0.018646 3.6399 0.000273
beta1 0.91313 0.020188 46.1241 0.000000
shape 6.54737 0.947844 6.9077 0.000000
Tabla 4-29.: Estimacion del modelo completo
De la Tabla 4-29 se puede concluir que la estimacion de d∗ en el modelo completo es
significativa para un nivel de significancia de 0.05. En la siguiente tabla (Tabla 4-30) se
presenta el estadıstico de Ljung-Box para los residuales del modelo completo:
Q(Lag) Estadıstico Valor P
Lag10 10.72 0.2954
Lag15 13.64 0.4766
Lag20 17.59 0.5502
Tabla 4-30.: Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo completo
ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1)
Los resultados de esta prueba confirman que el modelo MA(1) es adecuado para captura
la correlacion serial a corto plazo presente en la serie fraccionalmente diferenciada.
78 4 Analisis de simulacion
−4 −2 0 2 4
−6−4
−20
24
6
std − QQ Plot
Theoretical Quantiles
Sam
ple
Qua
ntile
s
GAR
CH
mod
el :
fGAR
CH
fGAR
CH
sub
mod
el: G
ARC
H
Figura 4-19.: t de student QQ plot - Residuales del modelo completo ARFIMA(0,d,1)-
GARCH(1,1)
En la siguiente tabla (Tabla 4-31) se presentan los resultados de la prueba de McCleod-Li
para heterocedasticidad condicional, con el fin de probar la existencia o no de efectos
GARCH en los residuales del modelo completo.
Q(Lag) Estadıstico Valor P
Lag10 12.67 0.1783
Lag15 14.09 0.4428
Lag20 14.97 0.7244
Tabla 4-31.: Prueba de McCleod-Li para heterocedasticidad condicional
Los resultados de esta prueba indican el modelo GARCH(1,1) es adecuado para capturar
la heterocedasticidad condicional del proceso estudiado. A continuacion se validara el
supuesto de que los residuales del modelo completo siguen una distribucion t de student:
Se utilizo la prueba de Kolmogorov-Smirnov para determinar la bondad de ajuste de la
distribucion de los residuales del modelo completo con la distribucion t de student teorica
con 7 grados de libertad. El resultado obtenido se presenta en la siguiente tabla:
4.3 Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas 79
Estadıstico Valor P
D = 0.0339 0.5061
Tabla 4-32.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov
El resultado de la prueba de Kolmogorov-Smirnov nos indica que los residuales del modelo
completo se ajustan adecuadamente a una distribucion t de student con 7 grados de liber-
tad, confirmando ası que el modelo ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1) ajustado es adecuado
para explicar el comportamiento de la serie transformada de la concentracion de hierro
en el nucleo del paramo de Frontino.
5. Conclusiones y trabajo futuro
5.1. Conclusiones
Al comparar los resultados obtenidos, vıa simulacion por las diferentes metodologıas en los
casos de interes, se puede observar que ninguna de las pruebas bajo analisis es mas potente
que las demas para todo el conjunto de valores del parametro de diferenciacion fraccional;
tampoco se percibe que una unica prueba presente las menores desviaciones respecto al
nivel de significancia nominal considerado, pero sı se puede apreciar que existen algunas
pruebas con mejor comportamiento a lo largo de los diferentes escenarios de simulacion
estudiados. A continuacion se presenta un grafico en el que se resumen los resultados de
las pruebas de interes:
Figura 5-1.: Cluster de las pruebas de interes
82 5 Conclusiones y trabajo futuro
El agrupamiento de las pruebas por su eficiencia para detectar raıces fraccionarias se
obtuvo siguiendo las siguientes consideraciones:
Prueba de Castano & Lemus:
• En general, la potencia promedio de la prueba propuesta es, en muchos de los
casos estudiados, mayor que la obtenida por los demas contrastes considerados
en el estudio, y sus valores son muy estables.
• De igual manera, se determino que la aproximacion autorregresiva para la
componente a corto plazo del modelo ARFIMA permite conservar un tamano
promedio adecuado para la prueba de raız unitaria, por lo que usualmente la
metodologıa propuesta presenta las menores desviaciones en el tamano bajo la
hipotesis nula.
• Se puede apreciar que para todos los casos estudiados y todo el rango de valores
del parametro d, la metodologıa propuesta obtiene potencias promedio conside-
rablemente superiores a las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y de
Robinson (1995).
• La unica falencia encontrada reside en el hecho de que, cuando el coeficiente
del polinomio MA del proceso ARFIMA toma valores negativos, la prueba
propuesta tiene una disminucion considerable en su potencia promedio, partic-
ulamente para valores del parametro de diferenciacion fraccional cercanos a la
raız unitaria.
• Una ventaja de la prueba propuesta radica en su facilidad de aplicacion practica
al ser una de las metodologıas menos costosas computacionalmente.
• La prueba propuesta no asume normalidad en el termino de error del proceso
y por tal motivo obtiene una ventaja importante sobre las demas metodologıas
consideradas, las cuales estan definidas bajo este supuesto.
Prueba de Lobato & Velasco (2007):
• La potencia promedio de esta prueba es, en muchos de los casos estudiados,
mayor que la obtenida por los demas contrastes del estudio, y sus valores
son muy estables. Tambien se puede verificar que esta metodologıa exhibe en
muchos casos un tamano promedio menor que la mayorıa de los contrastes
presentados.
• Se puede apreciar que, para todos los casos estudiados y todo el rango de valores
del parametro d, esta metodologıa obtiene potencias levemente superiores a las
5.1 Conclusiones 83
logradas por la prueba DGM, y considerablemente superiores a las pruebas de
Geweke & Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995).
Prueba de Dolado et al. (2002):
• La potencia promedio de esta prueba es, en muchos de los casos estudiados,
menor que la obtenida por la prueba de Castano & Lemus y de Lobato &
Velasco (2007), pero mayor a la obtenida por los demas contrastes del estudio,
y sus valores son muy estables. Tambien se puede verificar que esta metodologıa
presenta una distorsion en el tamano de la prueba superior a las presentadas
por las pruebas anteriormente mencionadas e inferior al resto.
• Se puede apreciar que para todos los casos estudiados y para casi todo el
rango de valores del parametro d, esta metodologıa obtiene potencias conside-
rablemente superiores a las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y de
Robinson (1995).
Prueba de Tanaka (1999): Este contraste tiene un comportamiento bastante irregular
a lo largo de los casos estudiados; en algunos de estos la metodologıa tiene potencias
promedio muy altas para d < 1, una disminucion considerable en su capacidad de
detectar raıces fraccionarias para d > 1 y elevadas desviaciones en el tamano con
valores cercanos a la unidad. En otros casos ocurre lo contrario: potencias promedio
muy bajas para d < 1 y un aumento considerable en su capacidad de detectar raıces
fraccionarias para d > 1, con altas distorsiones en el tamano de la prueba.
Lo anterior indica que para algunos casos esta prueba tiene una altısima tendencia a
rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiables los re-
sultados presentados por la misma. Por otra parte, en el capıtulo tres se explico que
para poder implementar dicha prueba se asume conocido el verdadero modelo a
corto plazo del proceso, situacion bastante improbable en la practica, resultando
inviable su aplicacion en la mayorıa de los casos.
Prueba de Geweke & Porter-Hudak (1983) y prueba de Robinson (1995): Estas
pruebas presentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considerado
para el parametro d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior,
estos contrastes presentan las potencias mas bajas bajo la hipotesis alternativa y
pronunciadas distorsiones en el tamano bajo la hipotesis nula.
84 5 Conclusiones y trabajo futuro
Prueba Harris et al. (2008): Se determino vıa simulacion que esta prueba no tiene in-
terpretacion bajo el contraste que se esta resolviendo en este trabajo. La explicacion
detallada de esta conclusion se presenta en el capıtulo tres.
Para todas las pruebas presentadas en este trabajo resulta evidente que a medida
que el tamano muestral crece, la potencia de la prueba aumenta y su tamano tiende
al valor nominal considerado, salvo unas pocas excepciones.
5.2. Trabajo futuro
A continuacion se presentan algunas consideraciones para posibles trabajos futuros:
En este trabajo, se considero la situacion donde la perturbacion del modelo at en
2-5 sigue una distribucion N(0,1). Una extension de interes practico es la de de
examinar la robustez de estos procedimientos cuando la perturbacion del modelo no
es Gaussiana.
Otra posible extension, que permitira fortalecer la investigacion realizada, es la de
estudiar la sensibilidad de estas metodologıas cuando el proceso ARFIMA(p,d,q)
simulado esta contaminado con observaciones atıpicas, intervenciones y/o cambios
estructurales.
A. Apendice: Algunas definiciones
consideradas
A.1. Movimiento Browniano estandar
En Capıtulo 10 de Ross (2010) se afirma que los procesos de Movimiento Browniano, a
veces llamados procesos de Wiener, son de los mas importantes procesos estocasticos en la
teorıa de probabilidad aplicada. En este libro se considera una caminata al azar simetrica
en la cual, en cada unidad de tiempo es igualmente probable que se de un paso hacia la
izquierda o hacia la derecha. Esto es una cadena de Markov con:
Pi,i+1 =1
2= Pi,i−1, i = 0,±1, · · ·
Ahora, si se acelera el proceso enunciado dando pasos cada vez mas cortos en intervalos de
tiempo mas cortos y tomamos el lımite de la manera correcta obtenemos el Movimiento
Browniano estandar.
Definicion
Se dice que un proceso estocastico {Xt : t ≥ 0} es un movimiento Browniano si cumple
las siguientes condiciones:
X(0) = 0 casi seguramente.
Para cada t > 0, {Xt} tiene incrementos estacionarios e independientes.
Para cada t > 0, {Xt} esta normalmente distribuida con media cero y varianza finita
t.
La variable Xt −Xs tiene distribucion N(0, t− s) para 0 ≤ s < t.
La interpretacion del Movimiento Browniano como el lımite de caminatas al azar sugiere
que X(t) debe ser una funcion continua de t. Como X(t) para cada t > 0 es normal con
media cero y varianza t, su funcion densidad esta dada por:
86 A Apendice: Algunas definiciones consideradas
ft(x) =1√2πt
e−x2
2t
La funcion densidad conjunta de X(t1), · · · , X(tn) para t1 < · · · < tn es:
f(x1, · · · , xn) =exp
{
−1
2
[
x21t1
+(x2 − x1)
2
t2 − t1+ · · ·+ (xn − xn−1)
2
tn − tn−1
]}
(2π)n/2 [t1(t2 − t1) · · · (tn − tn−1)]1/2
A partir de esta funcion de densidad se puede calcular cualquier probabilidad deseada.
A.2. Movimiento Browniano fraccional
En Cavanzo & Blanco (2005) se afirma que el proceso estocastico llamado movimiento
browniano fraccional (mBf) desde el punto de vista teorico, es interesante, pues no es
proceso de Markov ni una semimartingala.
Definicion
Un proceso gaussiano centrado BH={BHt : 0 ≤ t < ∞} con BH
0 = 0, es un movimiento
browniano fraccional con parametro H∈ (0, 1), si y solo si, cumple con alguna de las
siguientes condiciones:
1. V ar(BHt −BH
s ) = |t− s|2HV ar(BH1 ), ∀ t, s ≥ 0.
2. Cov(BHt , B
Hs ) = 1
2(t2H + s2H − |t− s|2H)V ar(BH
1 ), ∀ t, s ≥ 0.
3. (BHt2− BH
t1, BH
s2− BH
s1)
d= (BH
t2+h − BHt1+h, B
Hs2+h − BH
s1+h), ∀ t2, t1, s2, s1yh ≥ 0, y si
existe un H ∈ (0, 1) tal que:
BHt+τ −BH
td= h−H(BH
t+hτ −BHt ), ∀ t, τ, h ≥ 0.
Como consecuencia de la definicion anterior se tiene que el mBf posee incrementos esta-
cionarios y se tiene que:
Cov(BHt2−BH
t1, BH
s2−BH
s1) =
1
2[(s2− t1)
2H +(s1− t2)2H − (s2− t2)
2H − (s1− t1)2H ] (A-1)
A.2 Movimiento Browniano fraccional 87
De (A-1) se tiene que si H < 1 , el mBf esta negativamente correlacionado, si H > 1
el mBf esta positivamente correlacionado y cuando H = 1/2 la covarianza es cero y por
ser el mBf un proceso gaussiano, se tiene la independencia de los incrementos, esto es,
el movimiento browniano estandardar visto anteriormente. De la definicion de covarianza
del mBf se puede ver que es un proceso de Markov, si y solo si, H = 1/2.
Tambien se deduce que el mBf es un proceso autosimilar, es decir, es invariante en dis-
tribucion bajo un adecuado cambio de escala de tiempo y espacio. Este tipo de proceso
es usado para modelar fenomenos aleatorios con dependencia a gran distancia.
Rigurosamente hablando un proceso estocastico {Xt : t ≥ 0} es autosimilar, H − ss, si
existe H > 0 tal que para todo a > 0 se tiene que:
Xatd= aHXt (A-2)
donded= denota la igualdad de las distribuciones finito dimensionales. Intuitivamente
la relacion (A-2) indica que aunque las trayectorias de los procesos Xat y aHXt no son
identicas, son visualmente similares.
B. Apendice: Programacion en paralelo
con R
Programar en paralelo es una manera de realizar varios calculos de manera simultanea. En
la forma tradicional de programar los calculos que se realizan en serie, lo cual en ocasiones
puede ser desfavorable por los altos tiempos de espera. Cuando se programa una tarea
en paralelo, dicha tarea se distribuye a varios procesadores (fısicos o virtuales), los cuales
por separado realizan la parte que les corresponde. En cambio, cuando se programa en
serie, toda la tarea es asignada a un solo procesador.
Existen tres formas para realizar un calculo en paralelo:
Varios procesadores en un mismo chip (procesadores virtuales).
Varios chips en un mismo computador (procesadores fısicos).
Varios computadores conectados en una red o cluster.
En R existen varias formas de realizar la paralelizacion. Entre las mas efectivas se encuen-
tran:
Snow, el cual se basa en codigos vectorizados por medio de funciones como apply()
para realizar la division de las tareas.
Foreach, el cual usa un bucle for para realizar la division de las tareas.
Multicore, que solo es adecuado para hardware de varios nucleos.
Para paralelizar el codigo desarrollado en este trabajo se recurrio a la librerıa snow,
pero para poder usar este paquete, el codigo fue completamente vectorizado. Dado que el
problema de simulacion planteado en este trabajo es computacionalmente extensivo, ya
que por cada escenario considerado se simulaban 5000 series de 500 o 1000 observaciones
segun el caso, cuando se programaba en serie los tiempos de espera eran de un poco mas
90 B Apendice: Programacion en paralelo con R
de 18 horas, pero cuando se paralelizo los tiempos se redujeron drasticamente a tiempos
de espera de hasta de dos horas al usar seis procesadores. Tierney, Rossini & Li (2003)
comenta algunas escalas de tiempo comparando algoritmos programados en serie y en
paralelo:
Un procesador Treinta procesadores
1 minuto 2 segundos
1 hora 2 minutos
1 dıa 1 hora
1 mes 1 dıa
1 ano 2 semanas
Tabla B-1.: Comparacion de tiempos de ejecucion usando 1 vs 30 procesadores
Todos los calculos realizados en este trabajo se ejecutaron en los computadores asignados
a los profesores Rene Iral Palomino, Juan Carlos Salazar Uribe, Vıctor Ignacio Lopez
Rıos, Carlos Mario Lopera Gomez y Mario Cesar Jaramillo Elorza de la Escuela de Es-
tadıstica, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia Sede Medellın. Las
caracterısticas de cada uno de los equipos son las siguientes:
Marca: Dell Vostro 460.
Procesador: Intel Core i7 - 2600.
8GB DDR3 SDRAM de dos canales a 1333MHz.
Disco Duro de 750GB Serial ATA (7200RPM).
Sistema operativo: Windows 7 Professional Original de 64-Bit.
Al emplear los cuarenta procesadores (8 por computador) el tiempo de espera se redujo
de 1 ano aproximadamente a solo 3 semanas de simulacion.
B.1. Rutina implementada en R
##################################
## Paquetes Necesarios para el ###
B.1 Rutina implementada en R 91
## Procesamiento en paralelo ###
##################################
require(snow)
require(nws)
############################################
## Funcion para simular el proceso ###
## ARFIMA (p,d,q) no estacionario ###
############################################
saca.arfimas<-function(x){
library(rugarch)
T<- 500
if(x[1]==0 && x[2]==0){
spec = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,1),arfima = TRUE,
include.mean = TRUE), distribution.model = "norm")
setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=0,ma1=0,arfima=x[3],sigma = 1)
x <- arfimapath(spec, n.sim = T, n.start = 2000, m.sim = 1)
resultadp = as.data.frame(x)
}else{
if(x[1]==0 && x[2]!=0){
spec = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,1),arfima = TRUE,
include.mean = TRUE), distribution.model = "norm")
setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=0,ma1=x[2],arfima=x[3],sigma = 1)
x <- arfimapath(spec, n.sim = T, n.start = 2000, m.sim = 1)
resultadp = as.data.frame(x)
}else{
if(x[2]==0 && x[1]!=0){
spec = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,1),arfima = TRUE,
include.mean = TRUE), distribution.model = "norm")
setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=x[1],ma1=0,arfima=x[3],sigma = 1)
x <- arfimapath(spec, n.sim = T, n.start = 2000, m.sim = 1)
resultadp = as.data.frame(x)
}else{
spec = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,1),arfima = TRUE,
92 B Apendice: Programacion en paralelo con R
include.mean = TRUE), distribution.model = "norm")
setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=x[1],ma1=x[2],arfima=x[3],sigma = 1)
x <- arfimapath(spec, n.sim = T, n.start = 2000, m.sim = 1)
resultadp = as.data.frame(x)
}
}
}
z <- sapply(resultadp,cumsum)
return(z)
}
############################################
## Funcion para simular el proceso ###
## ARIMA (p,1,q) no estacionario ###
############################################
saca.arimas<-function(x){
T<-500
if(x[1]==0 && x[2]==0){
paso=arima.sim(list(order=c(0,1,0)), n=T,n.start=2000)
z=paso[2:length(paso)]
}else{
if(x[1]==0 && x[2]!=0){
paso=arima.sim(list(order=c(0,1,1),ma=x[2]), n=T,n.start=2000)
z=paso[2:length(paso)]
}else{
if(x[2]==0 && x[1]!=0){
paso=arima.sim(list(order=c(1,1,0),ar=x[1]), n=T,n.start=2000)
z=paso[2:length(paso)]
}else{
paso=arima.sim(list(order=c(1,1,1),ar=x[1],ma=x[2]), n=T,n.start=2000)
z=paso[2:length(paso)]
}
}
}
return(z)
B.1 Rutina implementada en R 93
}
###############################
## PRUEBA CASTANO - LEMUS ###
###############################
castano.et.al<-function(z){
library(rugarch)
library(fracdiff)
paso<-function(z){
dif.entera<-diff(z)
n.ar<-round((length(z))^(1/4))-1
spec1 = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(n.ar,0),arfima = TRUE,
include.mean = FALSE), distribution.model = "norm")
mod.aprox= try(arfimafit(spec1,dif.entera,solver = "gosolnp"))
coeficientes<-coef(mod.aprox)
dif.frac <-diffseries(z,coeficientes[(n.ar+1)])
spec2 = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,1),arfima = TRUE,
include.mean = FALSE), distribution.model = "norm")
modelo2<- try(arfimafit(spec2,dif.entera,solver = "gosolnp"))
tcal=as.numeric(modelo2@fit$coef[3]/modelo2@fit$se.coef[3])
res<-ifelse(abs(tcal)>qt(0.95,(length(dif.entera))-2),1,0)
return(res)
}
resultado<-try(paso(z))
res<-ifelse(class(resultado)=="try-error",0,resultado)
cont<-ifelse(class(resultado)=="try-error" || class(resultado)=="NA",1,0)
return(c(res,cont))
}
###################
## PRUEBA GPH ###
###################
gph.met<-function(z){
dif.entera<-diff(z)
94 B Apendice: Programacion en paralelo con R
y.esp<-spectrum(dif.entera,plot=FALSE)
vresp<-log(y.esp$spec)
cova<-log(4*((sin(y.esp$freq/2))^2))
m<-round(sqrt(length(dif.entera)))
gph.reg<-lm(vresp[1:m]~cova[1:m])
gph.sum<-summary(gph.reg)
tcal=(gph.reg$coefficients[2]*(-1))/sqrt(gph.sum$cov.unscaled*pi/6)[2,2]
res<-ifelse(abs(tcal)>qt(0.975,m-2),1,0)
return(res)
}
###################
## PRUEBA ROB95 ###
###################
rob.met<-function(z){
dif.entera<-diff(z)
y.esp<-spectrum(dif.entera,plot=FALSE)
vresp<-log(y.esp$spec)
cova<-2*(log(abs(y.esp$freq)))
m<-round((length(dif.entera))^0.55)
rob.reg<-lm(vresp[seq(3,m,2)]~cova[seq(3,m,2)])
rob.sum<-summary(rob.reg)
tcal=(rob.reg$coefficients[2]*(-1))/sqrt(rob.sum$cov.unscaled*pi/6)[2,2]
res<-ifelse(abs(tcal)>qt(0.975,(length(vresp[seq(3,m,2)])-2)),1,0)
return(res)
}
######################################
## PRUEBA DGM estandar y aumentada ###
######################################
prueba.DGM<-function(z){
library(fracdiff)
library(dynlm)
#Funcion para obtener una matriz de parametros
B.1 Rutina implementada en R 95
mat.para<-function(a,b){
x<-seq(a,b,0.05)
y<-round(seq(-0.9,0.9,0.3),1)
z<-c(-0.7,-0.4,-0.1,0,0.1,0.4,0.7)
paramet<-rbind(cbind(rep(z,length(x)),sort(rep(x,length(y))),r
ep(y,length(x))),cbind(rep(-z,length(x)),sort(rep(x,length(y))),
rep(y,length(x))))
return(paramet)
}
########################################################################
# Funcion para obtener los residuales
fun.res<-function(x,z){
library(rugarch)
if (x[2]!=1){
spec = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,1),arfima = TRUE,
include.mean = TRUE), distribution.model = "norm")
setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=x[1],ma1=x[3],arfima=x[2],sigma = 1)
x <- arfimafilter(spec,z)
res<-residuals(x)
} else {
if(x[1]==0 && x[3]==0){
y<-arima(z,c(0,1,0))
res<-y$residuals
}else{
if(x[1]==0 && x[3]!=0){
y<-arima(z,c(0,1,1),fixed=c(x[3]))
res<-y$residuals
}else{
if(x[1]!=0 && x[3]==0){
y<-arima(z,c(1,1,0),fixed=c(x[1]))
res<-y$residuals
}else{
y<-arima(z,c(1,1,1),fixed=c(x[1],x[3]))
96 B Apendice: Programacion en paralelo con R
res<-y$residuals
}
}
}
return(res)
}
}
############################################################################
#Funcion para buscar el valor de d que minimiza Vte
min.dis.est<-function(x,z){
T<-length(z)
residuos<-fun.res(x,z)
correla<-(acf(residuos,lag.max = NULL,plot=FALSE,type
="correlation")$acf)^2
# VTe(lambda) estimation
V.res<-sum(correla[1:round(T^(1/4))])
return(c(x[2],V.res))
}
matriz.para<-mat.para(0.6,1.4)
est.MDE<-t(apply(matriz.para,1,min.dis.est,z))
d.est<-est.MDE[which.min(est.MDE[,2])]
#Prueba DGM Estandar
dgm<-function(z,d){
dif.entera<-diff(z)
dif.frac <-diffseries(z,d)
mod1<- lm(dif.entera ~ dif.frac[1:(length(dif.frac)-
floor(d.est[1]+.5))]-1)#omitiendo el intercepto
res<-ifelse(summary(mod1)$coefficients[3]< qt(0.05,
(length(dif.entera)-1)),1,0)
return(res)
}
#Prueba DGM Aumentada
B.1 Rutina implementada en R 97
#Modelos de Regresion - sin tendencia incluyendo rezagos
dgm.aum<-function(z,d){
dif.entera<-diff(z)
dif.frac <-diffseries(z,d)
reg.drift1 <- lm(dif.entera[2:length(dif.entera)] ~
dif.frac[1:(length(dif.frac)-2)] +
dif.entera[1:(length(dif.entera)-1)] -1)
reg.drift2 <- lm(dif.entera[3:length(dif.entera)] ~
dif.frac[2:(length(dif.frac)-2)] +
dif.entera[2:(length(dif.entera)-1)]
+ dif.entera[1:(length(dif.entera)-2)] -1)
reg.drift3 <- lm(dif.entera[4:length(dif.entera)] ~
dif.frac[3:(length(dif.frac)-2)] +
dif.entera[3:(length(dif.entera)-1)]
+ dif.entera[2:(length(dif.entera)-2)] +
dif.entera[1:(length(dif.entera)-3)] -1)
modelos = list(reg.drift1,reg.drift2,reg.drift3)
criterio.AIC = lapply(modelos,AIC)
posi = which.min(criterio.AIC)
p<-summary(modelos[[posi]])
posi2=p[["coefficients"]][1,3]
res2<-ifelse(posi2<qt(0.05,(length(dif.entera)-(posi+1))),1,0)
return(res2)
}
intento1<-try(dgm(z,d.est))
if(class(intento1)=="try-error"){
res<-0
} else {
res<-intento1
}
intento2<-try(dgm.aum(z,d.est))
if(class(intento2)=="try-error"){
res2<-0
98 B Apendice: Programacion en paralelo con R
} else {
res2<-intento2
}
return(c(res,res2))
}
######################################
## PRUEBA LV estandar y aumentada ###
######################################
prueba.lv<-function(z){
library(fracdiff)
library(rugarch)
est.LV.cal<-function(z){
cal.Qp.Rp<-function(x){
#Calculo Qp (d )
#Siguiente Lınea: Vector con G*lambda_j^(-2d )
vect.paso1<-x[2]*(mat.paso[,2]^(-2*x[1]))
#Siguiente Lınea: Vector con log(G*lambda_j^(-2d ))
vect.paso2<-log(vect.paso1)
#Siguiente Lınea: Vector con Ip(lambda_j) / G*lambda_j^(-2d )
vect.paso3<-mat.paso[,1]/vect.paso1
qp.min<-(x[4]/x[3])*sum(vect.paso2[seq(x[4],x[3],x[4])]+
vect.paso3[seq(x[4],x[3],x[4])])
#Calculo Rp (d )
vect.paso4<-mat.paso[,1]*(mat.paso[,2]^(2*x[1]))
est.Gpd<-(x[4]/x[3])*sum(vect.paso4[seq(x[4],x[3],x[4])])
vect.paso5<-log(mat.paso[,2])
est.Rpd<-log(est.Gpd)-(2*x[1]*(x[4]/x[3])*
(sum(vect.paso5[seq(x[4],x[3],x[4])])))
return(c(qp.min,est.Rpd))
}
y.esp<-spec.pgram(z,kernel("modified.daniell"),taper=0.1,plot=FALSE)
vresp<-log(y.esp$spec)
cova<-2*(log(y.esp$freq))
m<-round((length(z))^0.55)
B.1 Rutina implementada en R 99
lv.reg<-lm(vresp[seq(1,(2*m),2)]~cova[seq(1,(2*m),2)])
d.est1<-round((-1)*lv.reg$coefficients[2],2)
secuen<-as.vector(rep(d.est1,9)+seq(-0.4,0.4,0.1))
ifelse(lv.reg$coefficients[1]>700,
lv.reg$coefficients[1]<-700,lv.reg$coefficients[1])
G<-exp(lv.reg$coefficients[1])
mat.paso<-cbind(y.esp$spec,y.esp$freq)
vect.paso<-cbind(secuen,as.numeric(rep(G,length(secuen)))
,rep(m,length(secuen)),rep(3,length(secuen)))
enc.min<-apply(vect.paso,1,cal.Qp.Rp)
paso<-c(secuen[which.min(enc.min[1,])],secuen[which.min(enc.min[2,])])
d.est2<-paso[which.min(paso)]
paso1<-c(d.est1,d.est2)
d.fin<-paso1[which.min(paso1)]
return(d.fin)
}
d.est<-est.LV.cal(z)
lv.test<-function(z,d){
#Prueba LV Estandar
dif.entera<-diff(z)
dif.frac <-diffseries(z,d)
z.dest.lv<-(dif.frac[1:length(dif.entera)]-dif.entera)/(1-d)
mod1<- try(lm(dif.entera ~ z.dest.lv -1))#omitiendo el intercepto
res<-ifelse(class(mod1)=="try-error",0,ifelse(summary(mod1)
$coefficients[3]<qt(0.05,(length(dif.entera))-1),1,0))
return(res)
}
#Prueba LV Aumentada
lv.aumen<-function(z,d){
dif.entera<-diff(z)
dif.frac <-diffseries(z,d)
z.dest.lv<-(dif.frac[1:length(dif.entera)]-dif.entera)/(1-d)
100 B Apendice: Programacion en paralelo con R
coef.reg1 <- lm(dif.frac[2:length(dif.frac)] ~
dif.frac[1:(length(dif.frac)-1)]-1)
coef.reg2 <- lm(dif.frac[3:length(dif.frac)] ~
dif.frac[2:(length(dif.frac)-1)]+dif.frac[1:(length(dif.frac)-2)] -1)
coef.reg3 <- lm(dif.frac[4:length(dif.frac)] ~
dif.frac[3:(length(dif.frac)-1)]+dif.frac[2:(length(dif.frac)-2)]
+dif.frac[1:(length(dif.frac)-3)] -1)
vec.coef1<-round(as.numeric(coef.reg1$coefficients),2)
vec.coef2<-round(as.numeric(coef.reg2$coefficients),2)
vec.coef3<-round(as.numeric(coef.reg3$coefficients),2)
ser.fil1<-na.omit(filter(z.dest.lv,c(1,-vec.coef1),method = "convolution"))
ser.fil2<-na.omit(filter(z.dest.lv,c(1,-vec.coef2),method = "convolution"))
ser.fil3<-na.omit(filter(z.dest.lv,c(1,-vec.coef3),method = "convolution"))
reg.drift1 = lm(dif.entera[2:length(dif.entera)] ~
ser.fil1 + dif.entera[1:(length(dif.entera)-1)] -1)
reg.drift2 = lm(dif.entera[3:length(dif.entera)] ~
ser.fil2 + dif.entera[2:(length(dif.entera)-1)] +
dif.entera[1:(length(dif.entera)-2)] -1)
reg.drift3 = lm(dif.entera[4:length(dif.entera)] ~
ser.fil3 + dif.entera[3:(length(dif.entera)-1)] +
dif.entera[2:(length(dif.entera)-2)] +
dif.entera[1:(length(dif.entera)-3)]-1)
modelos = list(reg.drift1,reg.drift2,reg.drift3)
criterio.AIC = lapply(modelos,AIC)
posi = which.min(criterio.AIC)
p<-summary(modelos[[posi]])
posi2=p[["coefficients"]][1,3]
res2<-ifelse(posi2<qt(0.05,(length(dif.entera)-(posi+1))),1,0)
return(res2)
}
intento1<-try(lv.test(z,d.est))
B.1 Rutina implementada en R 101
if(class(intento1)=="try-error"){
res<-0
} else {
res<-intento1
}
intento2<-try(lv.aumen(z,d.est))
if(class(intento2)=="try-error"){
res2<-0
}else{
res2<-intento2
}
return(c(res,res2))
}
####################
## PRUEBA TANAKA ###
####################
pruebaTAN<-function(z){
fun.resp.mod1<-function(z){
inf.mod1<-arima(z, order = c(1,1,0))
res1<-inf.mod1$residuals
vec.corr1<-acf(res1,lag.max=(length(z)-1),type="correlation",plot=F)$acf
vec.paso1<-vec.corr1[2:length(vec.corr1)]/seq(2:length(vec.corr1))
a<-as.numeric(inf.mod1$coef[1])
w1<- ((pi^2)/6)-(((1-a^2)/a^2)*(log(1-a))^2)
tan1<-sum(vec.paso1)*sqrt(length(z))
est.tan1<-tan1/sqrt(w1)
resp1<-ifelse(abs(tan1)>qnorm(0.975),1,0)
return(resp1)
}
inf.mod<-try(arima(z, order = c(1,1,0)))
102 B Apendice: Programacion en paralelo con R
if(class(inf.mod)=="try-error"){
resp<-0
} else {
resp<-fun.resp.mod1(z)
}
return(resp)
}
####################
## PRUEBA HML ###
####################
prueba.HML<-function(z){
fun.wl<-function(z){
l<-floor((2/3)*(length(z))^(12/25))
vec.corr<-acf(diff(z),lag.max=(length(diff(z))-1),type="covariance",plot=F)$acf
vec.paso<-c(vec.corr[(l+1):1],vec.corr[2:(l+1)])
mat.paso<-matrix(0,((2*(l+1))-1),((2*(l+1))-1))
for(i in 2:((2*(l+1))-1)){
mat.paso[1,]<-c(vec.corr[((2*(l+1))-1):1])
mat.paso[i,]<-c(vec.corr[(((2*(l+1))-1)+1-i):1],vec.corr[2:i])
}
product<-vec.paso*mat.paso
vec.paso2<-apply(product,2,sum)
hj<-c((pi^2)/6,cumsum(1/seq(1,l,1))/seq(1,l,1))
vec.paso3<-c(hj[length(hj):1],hj[2:length(hj)])
prod.fin<-vec.paso2*vec.paso3
return(sum(prod.fin))
}
k<-floor(sqrt(length(z)))
vec.corr<-acf(diff(z),lag.max=(length(diff(z))-1),type="covariance",plot=F)$acf
vec.paso<-vec.corr[k:(length(diff(z))-1)]/seq(1:(length(diff(z))-1-k))
Nk.est<- sum(vec.paso)*sqrt(length(z)-k)
Sk.est<-Nk.est/sqrt(fun.wl(z))
res<-ifelse(Sk.est>qt(0.95,(length(z)-k)),1,0)
B.1 Rutina implementada en R 103
return(res)
}
prueba.HML2<-function(z){
fun.wl<-function(z){
l<-floor(2/3*length(z)^(12/25))
vec.corr<-acf(z,lag.max=(length(z)-1),type="covariance",plot=F)$acf
vec.paso<-c(vec.corr[(l+1):1],vec.corr[2:(l+1)])
mat.paso<-matrix(0,((2*(l+1))-1),((2*(l+1))-1))
for(i in 2:((2*(l+1))-1)){
mat.paso[1,]<-c(vec.corr[((2*(l+1))-1):1])
mat.paso[i,]<-c(vec.corr[(((2*(l+1))-1)+1-i):1],vec.corr[2:i])
}
product<-vec.paso*mat.paso
vec.paso2<-apply(product,2,sum)
hj<-c((pi^2)/6,(cumsum(1/seq(1,l,1))/seq(1,l,1)))
vec.paso3<-c(hj[length(hj):1],hj[2:length(hj)])
prod.fin<-vec.paso2*vec.paso3
return(sum(prod.fin))
}
k<-floor(sqrt(length(z)))
vec.corr<-acf(z,lag.max=(length(z)-1),type="covariance",plot=F)$acf
vec.paso<-vec.corr[k:(length(z)-1)]/seq(1:(length(z)-1-k))
Nk.est<- sum(vec.paso)*sqrt(length(z)-k)
Sk.est<-Nk.est/sqrt(fun.wl(z))
res<-ifelse(Sk.est>qnorm(0.95),1,0)
return(res)
}
############################################
## Funcion para crear Cluster ###
## y realizar los calculos ###
## de potencias y tama~nos ###
############################################
104 B Apendice: Programacion en paralelo con R
sim.fin.pot<-function(x){
cl <- makeCluster(c("localhost","localhost","localhost","localhost"),
type="SOCK")
mat.paso<-matrix(rep(c(x[1],x[2],x[3]),100),byrow=T,ncol=3)
z<-parApply(cl,mat.paso,1,saca.arfimas)
simul.cast<-parApply(cl,z,2,castano.et.al)
simul.gph<-parApply(cl,z,2,gph.met)
simul.rob<-parApply(cl,z,2,rob.met)
simul.DGM<-parApply(cl,z,2,prueba.DGM)
simul.lv<-parApply(cl,z,2,prueba.lv)
simul.TAN<-parApply(cl,z,2,pruebaTAN)
simul.HML<-parApply(cl,z,2,prueba.HML)
simul.HML2<-parApply(cl,z,2,prueba.HML2)
stopCluster(cl)
return(c((sum(na.omit(simul.cast[1,]))/(100-sum(na.omit(simul.cast[2,])))),
mean(simul.gph),mean(simul.rob),mean(simul.DGM[1,]),
mean(simul.DGM[2,]),mean(simul.lv[1,]),mean(simul.lv[2,]),mean(simul.TAN),
mean(simul.HML),mean(simul.HML2)))
}
sim.fin.tam<-function(x){
cl <- makeCluster(c("localhost","localhost","localhost","localhost"),
type="SOCK")
mat.paso<-matrix(rep(c(x[1],x[2],x[3]),100),byrow=T,ncol=3)
z<-parApply(cl,mat.paso,1,saca.arimas)
simul.cast<-parApply(cl,z,2,castano.et.al)
simul.gph<-parApply(cl,z,2,gph.met)
simul.rob<-parApply(cl,z,2,rob.met)
simul.DGM<-parApply(cl,z,2,prueba.DGM)
simul.lv<-parApply(cl,z,2,prueba.lv)
simul.TAN<-parApply(cl,z,2,pruebaTAN)
simul.HML<-parApply(cl,z,2,prueba.HML)
simul.HML2<-parApply(cl,z,2,prueba.HML2)
stopCluster(cl)
}
B.1 Rutina implementada en R 105
system.time(pot1<-sim.fin.pot(c(0.3,0.8,-0.4)))
system.time(tam1<-sim.fin.tam(c(0.3,-0.8)))
C. Apendice: Resultados de simulacion
A continuacion se presentan las tablas con todos los resultados de simulacion obtenidos.
Las primeras 9 tablas presentan las potencias y tamanos obtenidos para series de tiempo
de 500 observaciones a lo largo del intervalo de valores considerados del parametro de
diferenciacion d. Las 9 tablas restantes presentan las potencias y tamanos obtenidos para
series de tiempo de 1000 observaciones a lo largo del intervalo de valores considerados del
parametro de diferenciacion d.
108
CApendice:
Resultad
osdesimulacion
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 0.6 y T = 500
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 0.6 0.9470 0.9579 0.9252 0.9337 0.9389 0.7418 0.6070 0.9766 0.0432 0.6410
0.3 0 0.6 0.9672 0.9767 0.9206 0.9360 0.9794 0.7310 0.5722 0.9870 0.0244 0.6362
0.6 0 0.6 0.9703 0.9831 0.8308 0.8714 0.9498 0.6698 0.4838 0.0612 0.0234 0.6500
0.9 0 0.6 0.9226 0.9312 0.9021 0.9340 0.8994 0.1276 0.3100 0 0.0012 0.8052
-0.3 0 0.6 0.9627 0.9704 0.9364 0.9641 0.9816 0.7456 0.6062 0.9818 0.0352 0.6404
-0.6 0 0.6 0.9691 0.9725 0.9232 0.9540 0.9883 0.7370 0.6304 0.9746 0.0360 0.6380
-0.9 0 0.6 0.9714 0.9845 0.9678 0.9816 0.9836 0.6166 0.6258 0.9622 0.0074 0.4814
0 0.4 0.6 0.9686 0.9822 0.4406 0.4138 0.9709 0.7360 0.6054 0.9998 0.0326 0.6502
0 0.8 0.6 0.9745 0.9836 0.2868 0.3016 0.9551 0.7336 0.5992 0.9998 0.0260 0.6600
0 -0.4 0.6 0.9617 0.9719 0.9334 0.9690 0.9834 0.7424 0.6528 0.9627 0.0354 0.6442
0 -0.8 0.6 0.9710 0.9714 0.9410 0.9755 0.9619 0.8066 0.9224 0.9579 0.0426 0.5068
0.3 0.4 0.6 0.9520 1 0.7796 0.7424 0.9988 0.7190 0.5672 0.9536 0.0242 0.6444
0.3 0.8 0.6 0.9257 1 0.9188 0.9210 0.9992 0.7162 0.5758 0.0792 0.0250 0.6424
0.3 -0.4 0.6 0.9462 0.9612 0.9320 0.9474 0.8698 0.7492 0.6458 1 0.0326 0.6396
0.3 -0.8 0.6 0.9666 0.9825 0.9378 0.9446 0.8998 0.8812 0.9164 1 0.0408 0.5720
0.6 0.4 0.6 0.9598 0.9783 0.9243 0.9406 0.9534 0.6490 0.4666 0 0.0150 0.6504
0.6 0.8 0.6 0.9526 0.9898 0.9270 0.9440 0.9576 0.6628 0.4754 0 0.0154 0.6514
0.6 -0.4 0.6 0.9848 0.9984 0.9364 0.9534 0.9616 0.6936 0.5274 0.8628 0.0264 0.6424
0.6 -0.8 0.6 0.9976 1 0.9292 0.9448 0.8921 0.8784 0.8686 1 0.0404 0.5816
0.9 0.4 0.6 0.9472 0.9584 0.9124 0.9220 0.8702 0.1112 0.3426 0.0004 0.0006 0.7928
0.9 0.8 0.6 0.9232 0.9524 0.9121 0.9234 0.8878 0.1136 0.3294 0.8118 0.0020 0.7912
0.9 -0.4 0.6 0.9698 0.9774 0.8822 0.8008 0.7234 0.1116 0.2860 0.4752 0.0022 0.7838
0.9 -0.8 0.6 0.9986 0.9990 0.9282 0.9798 0.7094 0.3058 0.2518 0.9340 0.0222 0.7582
-0.3 0.4 0.6 0.9458 0.9838 0.9196 0.9362 0.9898 0.7390 0.6124 1 0.0326 0.6504
-0.3 0.8 0.6 0.9594 0.9993 0.5766 0.5292 0.9148 0.7328 0.6052 1 0.0344 0.6478
-0.3 -0.4 0.6 0.9576 0.9856 0.9338 0.9436 0.8954 0.7384 0.6570 1 0.0366 0.6218
-0.3 -0.8 0.6 0.9549 0.9742 0.9364 0.9544 0.9648 0.6710 0.9198 1 0.0460 0.3694
-0.6 0.4 0.6 0.9613 0.9896 0.9256 0.9598 0.9746 0.7392 0.6064 1 0.0358 0.6592
-0.6 0.8 0.6 0.9839 0.9998 0.9308 0.9856 0.9868 0.7538 0.6028 1 0.0302 0.6410
-0.6 -0.4 0.6 0.9758 0.9918 0.9388 0.9423 0.8894 0.6568 0.6590 1 0.0360 0.6192
-0.6 -0.8 0.6 0.9555 0.9873 0.9352 0.9402 0.9608 0.4906 0.9236 1 0.0378 0.1622
-0.9 0.4 0.6 0.9584 0.9700 0.9276 0.9433 0.9628 0.7194 0.6020 0.9902 0.0090 0.6172
-0.9 0.8 0.6 0.9766 0.9957 0.9322 0.9672 0.9826 0.7492 0.6156 0.9998 0.0156 0.6520
-0.9 -0.4 0.6 0.9643 0.9960 0.9372 0.9659 0.8822 0.4386 0.6478 1 0.0080 0.1462
-0.9 -0.8 0.6 0.9660 0.9891 0.9514 0.9382 0.9926 0.2646 0.8474 1 0.0088 0.0118
109
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 0.7 y T = 500
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 0.7 0.9696 0.9749 0.9266 0.9441 0.9534 0.5458 0.4584 0.9982 0.0308 0.7734
0.3 0 0.7 0.9587 0.9651 0.6900 0.7122 0.9770 0.5310 0.4324 0.7644 0.0252 0.7694
0.6 0 0.7 0.9754 0.9870 0.9292 0.9562 0.9034 0.4626 0.3344 0.0014 0.0128 0.7734
0.9 0 0.7 0.9116 0.9082 0.8773 0.8854 0.8518 0.1510 0.4524 0 0.0014 0.8828
-0.3 0 0.7 0.9488 0.9573 0.9256 0.9441 0.9599 0.5558 0.4694 0.9627 0.0346 0.7594
-0.6 0 0.7 0.9568 0.9804 0.9270 0.9489 0.9675 0.5518 0.4744 0.9583 0.0356 0.7814
-0.9 0 0.7 0.9687 0.9842 0.9304 0.9659 0.9762 0.4890 0.4800 0.9854 0.0068 0.7094
0 0.4 0.7 0.9662 0.9713 0.5692 0.5962 0.9717 0.5562 0.4524 0.9952 0.0280 0.7618
0 0.8 0.7 0.9729 0.9829 0.7102 0.6678 0.9818 0.5346 0.4398 0.9246 0.0254 0.7686
0 -0.4 0.7 0.9405 0.9733 0.9276 0.9622 0.9892 0.5780 0.4906 0.9735 0.0360 0.7598
0 -0.8 0.7 0.9647 0.9786 0.9292 0.9526 0.9843 0.7560 0.8532 0.9593 0.0342 0.7136
0.3 0.4 0.7 0.9838 0.9902 0.9018 0.9584 0.9848 0.5254 0.4254 0.2612 0.0204 0.7726
0.3 0.8 0.7 0.9624 0.9902 0.9438 0.9567 0.9864 0.5226 0.4378 0 0.0212 0.7846
0.3 -0.4 0.7 0.9532 0.9886 0.9246 0.9518 0.9122 0.5660 0.4902 1 0.0334 0.7798
0.3 -0.8 0.7 0.9474 0.9946 0.9316 0.9410 0.6230 0.7986 0.8398 1 0.0372 0.7312
0.6 0.4 0.7 0.9534 0.9742 0.9240 0.9340 0.9432 0.4564 0.3420 0 0.0124 0.7772
0.6 0.8 0.7 0.9740 0.9844 0.9381 0.9322 0.8052 0.4572 0.3326 0 0.0096 0.7728
0.6 -0.4 0.7 0.9603 0.9972 0.9284 0.9524 0.7194 0.4864 0.3718 0.2628 0.0218 0.7724
0.6 -0.8 0.7 0.9783 0.9963 0.7362 0.7888 0.7062 0.7736 0.7618 1 0.0406 0.7454
0.9 0.4 0.7 0.9682 0.9978 0.9276 0.9671 0.8098 0.1588 0.4560 0.0714 0.0008 0.8692
0.9 0.8 0.7 0.9670 0.9760 0.9292 0.9494 0.8396 0.1518 0.4650 0.9914 0.0010 0.8702
0.9 -0.4 0.7 0.9320 0.9456 0.8816 0.9096 0.6388 0.1452 0.4026 0.5222 0.0022 0.8690
0.9 -0.8 0.7 0.9330 0.9442 0.8938 0.9258 0.3162 0.1626 0.2194 0.3156 0.0116 0.8466
-0.3 0.4 0.7 0.9603 0.9842 0.9160 0.9328 0.9634 0.5462 0.4606 0.9980 0.0236 0.7698
-0.3 0.8 0.7 0.9568 0.9790 0.0890 0.1248 0.9983 0.5370 0.4526 1 0.0268 0.7776
-0.3 -0.4 0.7 0.9646 0.9878 0.7352 0.7535 0.8204 0.5796 0.5168 1 0.0336 0.7640
-0.3 -0.8 0.7 0.9589 0.9888 0.9326 0.9731 0.7806 0.6838 0.8576 1 0.0358 0.6332
-0.6 0.4 0.7 0.9632 0.9859 0.9302 0.9604 0.9824 0.5466 0.4550 0.9836 0.0336 0.7832
-0.6 0.8 0.7 0.9506 0.9871 0.8702 0.9238 0.9138 0.5664 0.4636 1 0.0296 0.7694
-0.6 -0.4 0.7 0.9544 0.9769 0.9096 0.9394 0.9250 0.5292 0.5100 1 0.0372 0.7584
-0.6 -0.8 0.7 0.9655 0.9872 0.9246 0.9468 0.7274 0.5130 0.8544 1 0.0398 0.4274
-0.9 0.4 0.7 0.9591 0.9896 0.9314 0.9712 0.9751 0.5474 0.4646 0.5580 0.0074 0.7560
-0.9 0.8 0.7 0.9808 0.9828 0.9338 0.9615 0.9656 0.5404 0.4566 0.9370 0.0166 0.7626
-0.9 -0.4 0.7 0.9569 0.9866 0.9194 0.9522 0.8972 0.3870 0.4956 1 0.0078 0.4300
-0.9 -0.8 0.7 0.9610 0.9934 0.9112 0.9323 0.8984 0.2818 0.7866 1 0.0110 0.0262
110
CApendice:
Resultad
osdesimulacion
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 0.8 y T = 500
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 0.8 0.7840 0.7989 0.7654 0.7996 0.7999 0.3350 0.3272 0.8346 0.0234 0.8616
0.3 0 0.8 0.6594 0.6962 0.1314 0.1450 0.6960 0.3360 0.3018 0.1730 0.0194 0.8558
0.6 0 0.8 0.6684 0.6726 0.5248 0.5692 0.6190 0.2706 0.2498 0 0.0114 0.8716
0.9 0 0.8 0.6833 0.7094 0.5794 0.5988 0.5846 0.3148 0.5998 0.0026 0.0046 0.9284
-0.3 0 0.8 0.7633 0.7990 0.7316 0.7634 0.7867 0.3536 0.3378 0.9810 0.0308 0.8642
-0.6 0 0.8 0.7487 0.7898 0.7328 0.7938 0.8090 0.3338 0.3304 0.9986 0.0340 0.8596
-0.9 0 0.8 0.7865 0.7992 0.7634 0.7805 0.8198 0.3276 0.3446 0.9998 0.0088 0.8470
0 0.4 0.8 0.8457 0.8698 0.5498 0.5578 0.8510 0.3244 0.3322 0.7038 0.0216 0.8676
0 0.8 0.8 0.7738 0.7986 0.7298 0.7504 0.7898 0.3414 0.3174 0.1606 0.0176 0.8580
0 -0.4 0.8 0.7866 0.7958 0.7286 0.7416 0.6228 0.3548 0.3566 0.9709 0.0364 0.8554
0 -0.8 0.8 0.7881 0.7988 0.7671 0.7897 0.5268 0.6394 0.7364 0.9792 0.0382 0.8276
0.3 0.4 0.8 0.8154 0.8304 0.7886 0.7958 0.8268 0.3180 0.3146 0.0016 0.0158 0.8650
0.3 0.8 0.8 0.8699 0.8876 0.8410 0.8738 0.9156 0.3270 0.3074 0 0.0146 0.8664
0.3 -0.4 0.8 0.8649 0.8998 0.7998 0.8254 0.6976 0.3554 0.3412 0.9916 0.0268 0.8656
0.3 -0.8 0.8 0.8933 0.8995 0.8599 0.8312 0.6502 0.6468 0.7286 1 0.0400 0.8356
0.6 0.4 0.8 0.8262 0.8566 0.8134 0.8382 0.8484 0.2612 0.2372 0 0.0072 0.8602
0.6 0.8 0.8 0.8624 0.8993 0.8348 0.8551 0.8712 0.2560 0.2344 0.1186 0.0108 0.8636
0.6 -0.4 0.8 0.8884 0.7902 0.0700 0.0942 0.3568 0.2900 0.2690 0.0120 0.0162 0.8722
0.6 -0.8 0.8 0.7930 0.8066 0.7308 0.7462 0.6200 0.5990 0.6198 1 0.0340 0.8502
0.9 0.4 0.8 0.6959 0.6978 0.5853 0.6310 0.6554 0.3134 0.6072 0.5980 0.0046 0.9276
0.9 0.8 0.8 0.6434 0.6776 0.6346 0.6501 0.6494 0.3194 0.6070 0.9996 0.0024 0.9304
0.9 -0.4 0.8 0.5788 0.5994 0.5314 0.5538 0.5574 0.2952 0.5524 0.2392 0.0056 0.9234
0.9 -0.8 0.8 0.4540 0.4690 0.3202 0.3818 0.1692 0.1202 0.2412 0.0190 0.0122 0.9120
-0.3 0.4 0.8 0.8699 0.8990 0.8474 0.8536 0.8976 0.3464 0.3294 0.8674 0.0218 0.8568
-0.3 0.8 0.8 0.8026 0.8288 0.1558 0.1782 0.8290 0.3370 0.3352 0.9492 0.0208 0.8686
-0.3 -0.4 0.8 0.8493 0.8851 0.8159 0.8324 0.7298 0.3728 0.3752 1 0.0388 0.8570
-0.3 -0.8 0.8 0.8558 0.8925 0.8193 0.8380 0.5586 0.5914 0.7500 1 0.0374 0.8090
-0.6 0.4 0.8 0.8551 0.8926 0.8492 0.8643 0.8970 0.3452 0.3272 0.6114 0.0320 0.8616
-0.6 0.8 0.8 0.8106 0.8628 0.5670 0.5256 0.7778 0.3436 0.3238 0.9656 0.0236 0.8576
-0.6 -0.4 0.8 0.8575 0.8999 0.8187 0.8280 0.8804 0.3552 0.3632 1 0.0384 0.8588
-0.6 -0.8 0.8 0.8609 0.8934 0.8486 0.8657 0.6202 0.4826 0.7494 1 0.0370 0.7128
-0.9 0.4 0.8 0.8368 0.8642 0.8222 0.8394 0.8135 0.3380 0.3316 0.0336 0.0092 0.8600
-0.9 0.8 0.8 0.8498 0.8994 0.8256 0.8397 0.8306 0.3406 0.3332 0.3920 0.0126 0.8566
-0.9 -0.4 0.8 0.8223 0.8808 0.7174 0.7370 0.7534 0.3038 0.3686 1 0.0088 0.7116
-0.9 -0.8 0.8 0.8205 0.8449 0.8092 0.8156 0.5150 0.2734 0.7154 1 0.0096 0.0984
111
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 0.9 y T = 500
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 0.9 0.6438 0.6698 0.6252 0.6566 0.6828 0.1738 0.2414 0.1730 0.0250 0.9238
0.3 0 0.9 0.5201 0.5477 0.4956 0.5113 0.4244 0.1716 0.2282 0.0048 0.0136 0.9158
0.6 0 0.9 0.4185 0.4586 0.3307 0.3322 0.3616 0.1518 0.2218 0 0.0102 0.9220
0.9 0 0.9 0.3665 0.3999 0.2616 0.2875 0.3500 0.5268 0.7316 0.0124 0.0128 0.9630
-0.3 0 0.9 0.6451 0.6876 0.6338 0.6807 0.7076 0.1832 0.2496 0.4978 0.0284 0.9202
-0.6 0 0.9 0.6662 0.6896 0.6176 0.6572 0.7388 0.1780 0.2436 0.7386 0.0302 0.9190
-0.9 0 0.9 0.6912 0.6924 0.6572 0.6886 0.7464 0.1818 0.2468 0.8632 0.0066 0.9178
0 0.4 0.9 0.6796 0.6814 0.6710 0.6722 0.7284 0.1730 0.2418 0.0612 0.0182 0.9270
0 0.8 0.9 0.6114 0.6312 0.5974 0.6316 0.7710 0.1810 0.2268 0.0004 0.0156 0.9262
0 -0.4 0.9 0.6534 0.6855 0.6397 0.6684 0.2906 0.2066 0.2646 0.9998 0.0322 0.9222
0 -0.8 0.9 0.6368 0.6568 0.6655 0.6768 0.2324 0.4550 0.5900 0.9876 0.0378 0.9090
0.3 0.4 0.9 0.5439 0.5971 0.4189 0.4086 0.3548 0.1726 0.2288 0 0.0136 0.9236
0.3 0.8 0.9 0.5676 0.5746 0.4553 0.4503 0.4034 0.1674 0.2198 0 0.0136 0.9242
0.3 -0.4 0.9 0.5873 0.5912 0.4957 0.5116 0.4142 0.1938 0.2590 0.6144 0.0266 0.9166
0.3 -0.8 0.9 0.5132 0.5970 0.5476 0.5875 0.3052 0.4408 0.5812 1 0.0380 0.9032
0.6 0.4 0.9 0.4963 0.4132 0.3560 0.3544 0.2358 0.1360 0.2148 0.0006 0.009 0.9270
0.6 0.8 0.9 0.4152 0.4558 0.4370 0.4676 0.2472 0.1360 0.2194 0.7964 0.0096 0.9278
0.6 -0.4 0.9 0.4231 0.4644 0.4326 0.4124 0.2886 0.1458 0.2166 0.0054 0.0152 0.9228
0.6 -0.8 0.9 0.4673 0.4956 0.4424 0.4546 0.5362 0.3814 0.4814 1 0.0382 0.9088
0.9 0.4 0.9 0.4209 0.4968 0.4591 0.4653 0.4694 0.5282 0.7426 0.9634 0.0130 0.9614
0.9 0.8 0.9 0.4102 0.4782 0.4360 0.4484 0.5048 0.5478 0.7456 1 0.0108 0.9626
0.9 -0.4 0.9 0.4580 0.4990 0.4185 0.4388 0.4916 0.5026 0.6974 0.0184 0.0100 0.9648
0.9 -0.8 0.9 0.4722 0.4706 0.4174 0.4344 0.2818 0.2120 0.3354 0.2336 0.0156 0.9488
-0.3 0.4 0.9 0.3472 0.3886 0.1432 0.1624 0.2328 0.1846 0.2400 0.2210 0.0174 0.9164
-0.3 0.8 0.9 0.4864 0.4921 0.4340 0.4776 0.4174 0.1900 0.2354 0.2486 0.0192 0.9252
-0.3 -0.4 0.9 0.4231 0.4992 0.4724 0.4878 0.3664 0.2008 0.2584 1 0.0398 0.9200
-0.3 -0.8 0.9 0.4619 0.4863 0.4188 0.4264 0.3924 0.4392 0.6116 1 0.0440 0.8988
-0.6 0.4 0.9 0.5313 0.5278 0.4409 0.4896 0.5790 0.1802 0.2380 0.0520 0.0272 0.9230
-0.6 0.8 0.9 0.5771 0.5860 0.0388 0.0626 0.4928 0.1816 0.2350 0.4412 0.0194 0.9256
-0.6 -0.4 0.9 0.4488 0.4678 0.3403 0.3662 0.3136 0.1996 0.2640 1 0.0408 0.9230
-0.6 -0.8 0.9 0.3965 0.3954 0.3643 0.3763 0.2274 0.3842 0.6054 1 0.0392 0.8764
-0.9 0.4 0.9 0.5125 0.5876 0.5263 0.5272 0.6994 0.1816 0.2428 0.4278 0.0086 0.9246
-0.9 0.8 0.9 0.5884 0.5908 0.5186 0.5403 0.6688 0.1802 0.2474 0.0306 0.0126 0.9174
-0.9 -0.4 0.9 0.5324 0.5788 0.5651 0.5916 0.3858 0.1836 0.2572 1 0.0096 0.8708
-0.9 -0.8 0.9 0.5686 0.6031 0.5288 0.5467 0.2978 0.2456 0.5942 1 0.0090 0.3470
112
CApendice:
Resultad
osdesimulacion
Tamanos obtenidos por las pruebas para d = 1.0 y T = 500
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.0 0.0552 0.0562 0.0542 0.0576 0.0534 0.2608 0.2196 0.0090 0.0238 0.9532
0.3 0 1.0 0.0834 0.0844 0.0846 0.0762 0.0642 0.2574 0.2066 0.0012 0.0196 0.9550
0.6 0 1.0 0.0862 0.0840 0.0856 0.0834 0.0664 0.2518 0.2408 0 0.0162 0.9566
0.9 0 1.0 0.0982 0.0940 0.1188 0.1046 0.1084 0.7984 0.8442 0.0068 0.0360 0.9790
-0.3 0 1.0 0.0594 0.0644 0.0688 0.0626 0.0612 0.2544 0.2118 0.0316 0.0302 0.9512
-0.6 0 1.0 0.0658 0.0661 0.0768 0.0754 0.0668 0.2672 0.2018 0.0658 0.0350 0.9598
-0.9 0 1.0 0.0640 0.0666 0.0791 0.0766 0.0516 0.2480 0.2156 0.1044 0.0086 0.9566
0 0.4 1.0 0.0485 0.0476 0.0697 0.0683 0.0548 0.2630 0.2172 0.0012 0.0214 0.9564
0 0.8 1.0 0.0772 0.0704 0.0759 0.0788 0.0790 0.2632 0.2130 0.0000 0.0224 0.9592
0 -0.4 1.0 0.0588 0.0714 0.0728 0.0782 0.0764 0.2632 0.2072 0.8544 0.0340 0.9562
0 -0.8 1.0 0.0683 0.0760 0.0822 0.0792 0.0692 0.4684 0.4330 1 0.0390 0.9528
0.3 0.4 1.0 0.0552 0.0550 0.0786 0.0754 0.0656 0.2524 0.2168 0 0.0188 0.9536
0.3 0.8 1.0 0.0686 0.0594 0.0928 0.0984 0.0676 0.2522 0.2084 0.0026 0.0204 0.9568
0.3 -0.4 1.0 0.0676 0.0694 0.0693 0.0734 0.0822 0.2562 0.1990 0.0614 0.0248 0.9568
0.3 -0.8 1.0 0.0758 0.0788 0.0804 0.0668 0.0992 0.4390 0.4168 1 0.0364 0.9472
0.6 0.4 1.0 0.0932 0.0940 0.0985 0.0996 0.0920 0.2512 0.2460 0.1438 0.0162 0.9584
0.6 0.8 1.0 0.1113 0.1222 0.1190 0.1043 0.1180 0.2662 0.2566 0.9928 0.0150 0.9622
0.6 -0.4 1.0 0.0882 0.0878 0.0993 0.0985 0.1076 0.2420 0.2220 0.0426 0.0204 0.9596
0.6 -0.8 1.0 0.0904 0.0910 0.1040 0.1188 0.1084 0.4162 0.3454 0.9864 0.0360 0.9498
0.9 0.4 1.0 0.1858 0.1736 0.1830 0.1994 0.1732 0.7964 0.8574 0.9990 0.0362 0.9826
0.9 0.8 1.0 0.2576 0.2444 0.2852 0.2915 0.2867 0.7924 0.8414 1 0.0416 0.9598
0.9 -0.4 1.0 0.1490 0.1412 0.1908 0.1332 0.1248 0.7652 0.8202 0.2306 0.0368 0.9778
0.9 -0.8 1.0 0.1406 0.1346 0.1317 0.1324 0.1205 0.4860 0.4546 0.6512 0.0328 0.9770
-0.3 0.4 1.0 0.0532 0.0528 0.0536 0.0548 0.0610 0.2560 0.2128 0.0078 0.0242 0.9518
-0.3 0.8 1.0 0.0634 0.0674 0.0721 0.0788 0.0600 0.2570 0.2158 0.0040 0.0212 0.9584
-0.3 -0.4 1.0 0.0638 0.0698 0.0654 0.0686 0.0618 0.2596 0.2016 0.9988 0.0344 0.9550
-0.3 -0.8 1.0 0.0523 0.0376 0.0490 0.0448 0.0622 0.4530 0.4560 1 0.0390 0.9482
-0.6 0.4 1.0 0.0950 0.1008 0.0932 0.1018 0.0562 0.2618 0.2270 0.0978 0.0246 0.9538
-0.6 0.8 1.0 0.1250 0.1241 0.1343 0.1312 0.1308 0.2544 0.2056 0.0252 0.0242 0.9572
-0.6 -0.4 1.0 0.0828 0.0825 0.1011 0.1184 0.0710 0.2576 0.2024 1 0.0366 0.9580
-0.6 -0.8 1.0 0.0758 0.0676 0.0782 0.0731 0.0718 0.4310 0.4562 1 0.0354 0.9418
-0.9 0.4 1.0 0.2038 0.2486 0.2809 0.2706 0.1618 0.2574 0.2198 0.9706 0.0080 0.9560
-0.9 0.8 1.0 0.3390 0.3124 0.3285 0.3132 0.3289 0.2512 0.2080 0.0882 0.0152 0.9516
-0.9 -0.4 1.0 0.1478 0.1516 0.1975 0.1926 0.1832 0.2530 0.2156 1 0.0080 0.9470
-0.9 -0.8 1.0 0.1362 0.1620 0.1861 0.2388 0.1680 0.3148 0.4364 1 0.0084 0.6794
113
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 1.1 y T = 500
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.1 0.6850 0.7038 0.6588 0.6734 0.6740 0.2288 0.3046 0.3216 0.0352 0.9274
0.3 0 1.1 0.5804 0.5826 0.4792 0.5060 0.4720 0.2032 0.2656 0.0076 0.0316 0.9706
0.6 0 1.1 0.4168 0.4314 0.3326 0.3926 0.2794 0.2700 0.3322 0.0016 0.0370 0.9578
0.9 0 1.1 0.2964 0.2858 0.2988 0.2914 0.2462 0.8680 0.9026 0.1368 0.1068 0.9678
-0.3 0 1.1 0.7204 0.7584 0.6236 0.6732 0.7037 0.1882 0.2460 0.3574 0.0388 0.9402
-0.6 0 1.1 0.8368 0.8656 0.8166 0.8236 0.8464 0.1844 0.2562 0.6272 0.0370 0.9506
-0.9 0 1.1 0.7654 0.8166 0.7783 0.7716 0.7856 0.1854 0.2554 0.7888 0.0062 0.9792
0 0.4 1.1 0.7350 0.7656 0.7060 0.7390 0.7954 0.1844 0.2636 0.0008 0.0324 0.9764
0 0.8 1.1 0.7292 0.7396 0.6294 0.6890 0.7308 0.1950 0.2610 0.0012 0.0374 0.9788
0 -0.4 1.1 0.7566 0.7963 0.6098 0.6872 0.2770 0.1688 0.2324 0.1456 0.0440 0.9762
0 -0.8 1.1 0.6820 0.6922 0.6350 0.6584 0.2280 0.1344 0.3202 1 0.0380 0.9599
0.3 0.4 1.1 0.4973 0.4969 0.3944 0.4940 0.4202 0.2144 0.2674 0.0004 0.0356 0.9542
0.3 0.8 1.1 0.4658 0.4524 0.3948 0.4070 0.4316 0.2130 0.2740 0.1934 0.0344 0.9467
0.3 -0.4 1.1 0.4660 0.4638 0.0732 0.0950 0.4320 0.1896 0.2412 0.0730 0.0362 0.9796
0.3 -0.8 1.1 0.4990 0.4992 0.4349 0.4360 0.2482 0.1356 0.2998 1 0.0412 0.9740
0.6 0.4 1.1 0.4708 0.4968 0.4128 0.4950 0.4896 0.2618 0.3400 0.7084 0.0358 0.9512
0.6 0.8 1.1 0.4582 0.4418 0.3952 0.4234 0.4858 0.2570 0.3464 0.9996 0.0388 0.9792
0.6 -0.4 1.1 0.4882 0.4890 0.4722 0.5028 0.3956 0.2444 0.2984 0.1006 0.0348 0.9665
0.6 -0.8 1.1 0.4762 0.4742 0.4286 0.4499 0.4240 0.1200 0.2470 0.5724 0.0424 0.9722
0.9 0.4 1.1 0.6192 0.6456 0.6142 0.6341 0.6364 0.6294 0.9148 1 0.0944 0.9726
0.9 0.8 1.1 0.6970 0.7172 0.6243 0.6864 0.6986 0.8728 0.9154 1 0.1024 0.9674
0.9 -0.4 1.1 0.6980 0.7052 0.6868 0.6956 0.6608 0.8652 0.8846 0.8256 0.1026 0.9633
0.9 -0.8 1.1 0.6234 0.6396 0.5967 0.6252 0.7586 0.6290 0.6076 0.7570 0.0754 0.9638
-0.3 0.4 1.1 0.6329 0.6782 0.5505 0.5650 0.5664 0.1998 0.2610 0.0340 0.0386 0.9794
-0.3 0.8 1.1 0.6756 0.6664 0.5884 0.6278 0.6562 0.1960 0.2534 0.0010 0.0386 0.9635
-0.3 -0.4 1.1 0.6046 0.6392 0.6184 0.6594 0.2268 0.1744 0.2316 0.7524 0.0370 0.9794
-0.3 -0.8 1.1 0.6292 0.6445 0.5408 0.5806 0.2284 0.1454 0.3282 1 0.0448 0.9736
-0.6 0.4 1.1 0.6086 0.6432 0.2412 0.2520 0.5144 0.2024 0.2524 0.5838 0.0378 0.9710
-0.6 0.8 1.1 0.6880 0.7182 0.6476 0.6518 0.6904 0.1968 0.2536 0.0104 0.0340 0.9688
-0.6 -0.4 1.1 0.6224 0.6892 0.6387 0.6828 0.3186 0.1746 0.2270 0.9812 0.0374 0.9724
-0.6 -0.8 1.1 0.6580 0.6802 0.6122 0.6153 0.2436 0.1472 0.3260 1 0.0338 0.9692
-0.9 0.4 1.1 0.6918 0.6973 0.6057 0.6383 0.7180 0.2050 0.2654 1 0.0098 0.9764
-0.9 0.8 1.1 0.6489 0.6835 0.6499 0.6557 0.6862 0.1952 0.2648 0.4740 0.0274 0.9786
-0.9 -0.4 1.1 0.5578 0.5602 0.4737 0.5014 0.3884 0.1686 0.2244 0.9996 0.0096 0.9738
-0.9 -0.8 1.1 0.5120 0.5536 0.4951 0.5377 0.2630 0.1386 0.3174 1 0.0092 0.8760
114
CApendice:
Resultad
osdesimulacion
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 1.2 y T = 500
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.2 0.7948 0.7962 0.7635 0.7756 0.7648 0.4740 0.4798 0.7456 0.0810 0.9683
0.3 0 1.2 0.6566 0.6834 0.5690 0.6191 0.6652 0.3990 0.3758 0.0342 0.0826 0.9664
0.6 0 1.2 0.6042 0.6358 0.5826 0.5924 0.6122 0.4706 0.4646 0.0280 0.0810 0.9779
0.9 0 1.2 0.6596 0.6953 0.6582 0.6896 0.6976 0.9441 0.9492 0.8176 0.2150 0.9854
-0.3 0 1.2 0.8602 0.8768 0.2704 0.2894 0.8710 0.3764 0.3420 0.8276 0.0884 0.9791
-0.6 0 1.2 0.9158 0.9358 0.8878 0.9098 0.9848 0.3686 0.3592 0.9806 0.0666 0.9889
-0.9 0 1.2 0.9292 0.9633 0.8936 0.9286 0.9796 0.3758 0.3472 0.9988 0.0104 0.9891
0 0.4 1.2 0.9244 0.9572 0.9042 0.9476 0.9614 0.3786 0.3664 0.0200 0.0828 0.9729
0 0.8 1.2 0.9194 0.9462 0.9086 0.9388 0.9890 0.3798 0.3626 0.0176 0.0760 0.9702
0 -0.4 1.2 0.8896 0.8890 0.8228 0.8644 0.6112 0.3520 0.3214 0.2808 0.0752 0.9891
0 -0.8 1.2 0.8342 0.8454 0.8393 0.8480 0.6986 0.1418 0.2252 0.9787 0.0400 0.9853
0.3 0.4 1.2 0.8328 0.8792 0.8084 0.8586 0.8066 0.4016 0.3852 0.0114 0.1590 0.9983
0.3 0.8 1.2 0.8414 0.8836 0.8012 0.8102 0.8660 0.3950 0.3852 0.6560 0.1556 0.9888
0.3 -0.4 1.2 0.8626 0.8868 0.8122 0.8358 0.8116 0.3634 0.3424 0.3700 0.1496 0.9877
0.3 -0.8 1.2 0.8154 0.8304 0.8137 0.8292 0.4878 0.1424 0.2072 0.9920 0.0576 0.9826
0.6 0.4 1.2 0.8466 0.8699 0.8081 0.8330 0.8322 0.4798 0.4758 0.9310 0.1596 0.9870
0.6 0.8 1.2 0.8438 0.8560 0.8264 0.8232 0.8806 0.4820 0.4958 0.9998 0.1668 0.9684
0.6 -0.4 1.2 0.8482 0.8952 0.7775 0.8165 0.7160 0.4602 0.4222 0.1008 0.1540 0.9898
0.6 -0.8 1.2 0.7732 0.7932 0.7317 0.7647 0.5150 0.1704 0.2070 0.0804 0.0948 0.9696
0.9 0.4 1.2 0.7922 0.7958 0.7382 0.7525 0.7744 0.9468 0.9546 1 0.2774 0.9605
0.9 0.8 1.2 0.8554 0.8876 0.8011 0.8510 0.8507 0.9438 0.9558 1 0.2842 0.9733
0.9 -0.4 1.2 0.8552 0.8824 0.8354 0.8497 0.4898 0.9422 0.9378 0.9606 0.2728 0.9696
0.9 -0.8 1.2 0.8576 0.8620 0.8208 0.8436 0.8334 0.8122 0.7432 0.5410 0.2426 0.9778
-0.3 0.4 1.2 0.8518 0.8613 0.7788 0.7929 0.8034 0.3884 0.3604 0.1548 0.1474 0.9694
-0.3 0.8 1.2 0.8350 0.8550 0.7757 0.7972 0.9332 0.3896 0.3646 0.0240 0.1506 0.9778
-0.3 -0.4 1.2 0.8320 0.8754 0.8145 0.8656 0.5930 0.3528 0.3110 0.1776 0.0804 0.9656
-0.3 -0.8 1.2 0.8380 0.8781 0.8307 0.8655 0.4814 0.1350 0.2430 1 0.0470 0.9787
-0.6 0.4 1.2 0.8042 0.8141 0.3858 0.3662 0.8338 0.3954 0.3626 0.8442 0.1510 0.9694
-0.6 0.8 1.2 0.8686 0.8856 0.8238 0.8678 0.9478 0.3746 0.3550 0.0938 0.1522 0.9740
-0.6 -0.4 1.2 0.8212 0.8505 0.7743 0.7967 0.7060 0.3542 0.3284 0.3548 0.0544 0.9693
-0.6 -0.8 1.2 0.8583 0.8708 0.8158 0.8244 0.4290 0.1332 0.2438 1 0.0404 0.9682
-0.9 0.4 1.2 0.8459 0.8932 0.8098 0.8881 0.8922 0.3808 0.3536 1 0.1168 0.9735
-0.9 0.8 1.2 0.8187 0.8422 0.5762 0.5932 0.8964 0.3778 0.3564 0.7234 0.1534 0.9754
-0.9 -0.4 1.2 0.8450 0.8751 0.8039 0.7763 0.7174 0.3444 0.3264 0.6876 0.0596 0.9793
-0.9 -0.8 1.2 0.7855 0.7938 0.7289 0.7798 0.4872 0.1198 0.2466 1 0.0646 0.9666
115
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 1.3 y T = 500
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.3 0.9682 0.9765 0.8772 0.8156 0.9746 0.6206 0.4910 0.4174 0.1806 0.9558
0.3 0 1.3 0.9266 0.9522 0.9224 0.9392 0.9482 0.6352 0.5246 0.1890 0.1860 0.9556
0.6 0 1.3 0.9460 0.9528 0.8948 0.9348 0.9672 0.6924 0.6320 0.0706 0.1872 0.9656
0.9 0 1.3 0.9214 0.9576 0.9156 0.9582 0.9024 0.9750 0.9752 0.9978 0.3622 0.9970
-0.3 0 1.3 0.8922 0.9377 0.5502 0.5170 0.9744 0.6084 0.4798 0.8368 0.1690 0.9956
-0.6 0 1.3 0.9682 0.9697 0.4960 0.4800 0.9884 0.5996 0.4810 0.9794 0.1606 0.9944
-0.9 0 1.3 0.9780 0.9876 0.9226 0.9730 0.9896 0.6000 0.4818 0.9624 0.0166 0.9932
0 0.4 1.3 0.8712 0.9132 0.4412 0.4312 0.9746 0.6154 0.4882 0.1286 0.1712 0.9950
0 0.8 1.3 0.8536 0.8775 0.8256 0.8880 0.9814 0.6146 0.4878 0.0852 0.1684 0.9968
0 -0.4 1.3 0.9454 0.9556 0.6464 0.6492 0.9768 0.5912 0.4498 0.7144 0.1574 0.9946
0 -0.8 1.3 0.9708 0.9748 0.9172 0.9288 0.9896 0.2630 0.2180 0.9958 0.0520 0.9944
0.3 0.4 1.3 0.8716 0.8846 0.8294 0.8476 0.9534 0.6402 0.5314 0.0874 0.3340 0.9998
0.3 0.8 1.3 0.8502 0.8878 0.7750 0.8108 0.8680 0.6300 0.5334 0.7598 0.3324 1
0.3 -0.4 1.3 0.9484 0.9888 0.8986 0.9176 0.8334 0.6028 0.4784 0.5474 0.3320 1
0.3 -0.8 1.3 0.9394 0.9450 0.8774 0.8842 0.5624 0.2802 0.2136 0.6714 0.1458 1
0.6 0.4 1.3 0.8652 0.8998 0.8262 0.8822 0.9686 0.7030 0.6302 0.9774 0.3382 0.9998
0.6 0.8 1.3 0.9086 0.9190 0.8636 0.8834 0.9720 0.7084 0.6326 1 0.3436 0.9996
0.6 -0.4 1.3 0.8824 0.9218 0.8680 0.8854 0.7092 0.6724 0.5840 0.2592 0.3342 1
0.6 -0.8 1.3 0.9490 0.9682 0.8408 0.8706 0.4892 0.3532 0.2528 0.1146 0.2452 0.9998
0.9 0.4 1.3 0.9494 0.9558 0.9034 0.9170 0.9396 0.9766 0.9776 0.9994 0.4922 1
0.9 0.8 1.3 0.9118 0.9530 0.9282 0.9336 0.9916 0.9812 0.9756 0.9988 0.4904 1
0.9 -0.4 1.3 0.9402 0.9590 0.9020 0.9348 0.8444 0.9758 0.9728 0.8348 0.4908 1
0.9 -0.8 1.3 0.9615 0.9690 0.9518 0.9622 0.8904 0.9120 0.8434 0.4086 0.4584 0.9998
-0.3 0.4 1.3 0.8436 0.8656 0.8508 0.8618 0.8658 0.6184 0.4834 0.2626 0.3134 0.9998
-0.3 0.8 1.3 0.9280 0.9550 0.9238 0.9364 0.9958 0.6108 0.5042 0.1082 0.3184 0.9998
-0.3 -0.4 1.3 0.9928 0.9944 0.7836 0.7296 0.9432 0.5886 0.4518 0.7080 0.2372 1
-0.3 -0.8 1.3 0.9530 0.9550 0.9378 0.9541 0.7774 0.2668 0.2140 1 0.0532 1
-0.6 0.4 1.3 0.9038 0.9356 0.7070 0.7670 0.9020 0.6146 0.4924 0.7826 0.3186 1
-0.6 0.8 1.3 0.9388 0.9522 0.9140 0.9386 0.9414 0.6326 0.4898 0.2170 0.3264 1
-0.6 -0.4 1.3 0.9786 0.9928 0.9034 0.9334 0.9490 0.5768 0.4420 0.6148 0.1158 1
-0.6 -0.8 1.3 0.9306 0.9686 0.9016 0.9248 0.6596 0.2582 0.2196 1 0.0458 1
-0.9 0.4 1.3 0.8810 0.8868 0.8086 0.8628 0.9966 0.6136 0.4830 0.9960 0.2944 1
-0.9 0.8 1.3 0.8688 0.8909 0.8318 0.8506 0.9708 0.6102 0.4990 0.6750 0.3298 1
-0.9 -0.4 1.3 0.9380 0.9475 0.8734 0.8984 0.9564 0.5528 0.4398 0.5096 0.0682 1
-0.9 -0.8 1.3 0.9474 0.9655 0.9138 0.9287 0.7074 0.2464 0.2002 1 0.0568 0.9996
116
CApendice:
Resultad
osdesimulacion
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 1.4 y T = 500
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.4 0.9400 0.9684 0.9104 0.9370 0.9743 0.8086 0.6480 0.5276 0.3092 0.9970
0.3 0 1.4 0.9262 0.9376 0.8816 0.9230 0.9674 0.8104 0.6654 0.5084 0.3308 0.9986
0.6 0 1.4 0.9420 0.9637 0.8950 0.9160 0.9373 0.8490 0.7562 0.0802 0.3264 0.9980
0.9 0 1.4 0.9356 0.9510 0.9150 0.9268 0.9428 0.9920 0.9904 0.9918 0.5306 0.9984
-0.3 0 1.4 0.9367 0.9604 0.8018 0.8450 0.9756 0.8052 0.6520 0.7884 0.3132 0.9976
-0.6 0 1.4 0.9683 0.9789 0.8900 0.8938 0.9861 0.7924 0.6356 0.8978 0.2998 0.9982
-0.9 0 1.4 0.9882 0.9942 0.9330 0.9720 0.9927 0.8034 0.6488 0.9886 0.0582 0.9982
0 0.4 1.4 0.9418 0.9838 0.9146 0.9438 0.9773 0.7966 0.6540 0.3830 0.3186 0.9976
0 0.8 1.4 0.9214 0.9442 0.9342 0.9392 0.9619 0.7980 0.6456 0.1702 0.3160 0.9982
0 -0.4 1.4 0.9627 0.9818 0.8174 0.8734 0.9778 0.7880 0.5940 0.7702 0.3036 0.9972
0 -0.8 1.4 0.9578 0.9434 0.8184 0.8596 0.9972 0.4794 0.2566 0.7628 0.1066 0.9974
0.3 0.4 1.4 0.9214 0.9358 0.8782 0.9136 0.9572 0.8080 0.6690 0.1792 0.5602 1
0.3 0.8 1.4 0.9102 0.9687 0.8760 0.8984 0.9484 0.8122 0.6760 0.7066 0.5358 1
0.3 -0.4 1.4 0.9546 0.9614 0.8608 0.9073 0.9152 0.7934 0.6248 0.6386 0.5412 1
0.3 -0.8 1.4 0.9598 0.9630 0.2260 0.2344 0.7422 0.5138 0.2786 0.3182 0.3768 0.9998
0.6 0.4 1.4 0.9416 0.9614 0.9152 0.9479 0.9772 0.8610 0.7724 0.9980 0.5678 1
0.6 0.8 1.4 0.9360 0.9526 0.9168 0.9288 0.9628 0.8538 0.7612 1 0.5542 1
0.6 -0.4 1.4 0.9082 0.9136 0.8698 0.9102 0.8656 0.8436 0.7114 0.6508 0.5524 1
0.6 -0.8 1.4 0.8942 0.8988 0.6876 0.6458 0.8788 0.5954 0.3528 0.4280 0.4946 1
0.9 0.4 1.4 0.9238 0.9700 0.9154 0.9078 0.9850 0.9900 0.9886 0.9794 0.7073 1
0.9 0.8 1.4 0.9216 0.9674 0.8570 0.8996 0.9878 0.9914 0.9902 0.9716 0.6962 1
0.9 -0.4 1.4 0.9296 0.9486 0.8538 0.8980 0.9440 0.9886 0.9878 0.2872 0.7004 1
0.9 -0.8 1.4 0.9420 1 0.9358 0.9762 0.9320 0.9656 0.9088 0.8086 0.668 1
-0.3 0.4 1.4 0.9184 0.9288 0.8658 0.8912 0.9564 0.7924 0.6414 0.4836 0.5528 1
-0.3 0.8 1.4 0.9508 0.9618 0.9349 0.9528 0.9960 0.7982 0.6524 0.3600 0.5594 1
-0.3 -0.4 1.4 0.9598 0.9674 0.4034 0.3994 0.9458 0.7828 0.6012 0.8582 0.5098 1
-0.3 -0.8 1.4 0.9876 0.9982 0.9366 0.9646 0.7854 0.4814 0.2446 0.9636 0.105 1
-0.6 0.4 1.4 0.9517 0.9642 0.9008 0.9154 0.9970 0.7944 0.6496 0.7446 0.5452 1
-0.6 0.8 1.4 0.9372 0.9564 0.9290 0.9468 0.9686 0.7950 0.6394 0.4574 0.5514 1
-0.6 -0.4 1.4 0.9018 0.9164 0.8626 0.8696 0.9148 0.7856 0.5996 0.9136 0.3732 1
-0.6 -0.8 1.4 0.9406 0.9520 0.9252 0.9016 0.9358 0.4724 0.2576 0.9962 0.055 1
-0.9 0.4 1.4 0.9652 0.9704 0.4452 0.4266 0.9986 0.7988 0.6396 0.9304 0.5568 1
-0.9 0.8 1.4 0.9930 0.9961 0.9171 0.9257 0.9570 0.7998 0.6396 0.6538 0.5596 1
-0.9 -0.4 1.4 0.9808 0.9932 0.9277 0.9630 0.9472 0.7684 0.5948 0.9692 0.1044 0.9998
-0.9 -0.8 1.4 0.9633 0.9792 0.9325 0.9556 0.8594 0.4474 0.2632 0.9996 0.0656 0.9998
117
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 0.6 y T = 1000
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 0.6 1 1 0.9412 1 1 0.8804 0.8300 1 0.0362 0.8720
0.3 0 0.6 1 1 0.8842 0.9499 1 0.8716 0.8150 1 0.0354 0.8736
0.6 0 0.6 1 1 0.8906 0.9010 0.9982 0.8478 0.7480 0.6726 0.0266 0.8756
0.9 0 0.6 0.9648 0.9739 0.9342 0.9834 0.9376 0.2846 0.2372 0 0.0022 0.9256
-0.3 0 0.6 1 1 0.9450 1 1 0.8758 0.8396 1 0.0396 0.8712
-0.6 0 0.6 1 1 0.9557 1 1 0.8600 0.8324 1 0.0424 0.8736
-0.9 0 0.6 1 1 0.9424 1 1 0.7760 0.8272 1 0.0636 0.8612
0 0.4 0.6 1 1 0.6282 0.6812 1 0.8708 0.8354 1 0.0342 0.8678
0 0.8 0.6 1 1 0.4124 0.4322 1 0.8680 0.8232 1 0.0288 0.8662
0 -0.4 0.6 1 1 0.9348 0.9815 0.9782 0.8764 0.8486 1 0.0388 0.8702
0 -0.8 0.6 1 1 0.9584 1 0.9828 0.8552 0.9748 1 0.0440 0.8012
0.3 0.4 0.6 0.9650 1 0.8576 0.8983 1 0.8672 0.8038 1 0.0304 0.8756
0.3 0.8 0.6 0.9331 1 0.9432 0.9875 1 0.8760 0.8168 0.8982 0.0244 0.8694
0.3 -0.4 0.6 0.9689 1 0.9419 0.9436 0.9818 0.8770 0.8436 1 0.0408 0.8658
0.3 -0.8 0.6 0.9838 1 0.9316 0.9554 0.7728 0.9196 0.9740 1 0.0388 0.8370
0.6 0.4 0.6 0.9885 1 0.9358 0.9629 0.9982 0.8430 0.7352 0.0008 0.0222 0.8620
0.6 0.8 0.6 0.9669 1 0.9436 0.9563 0.9980 0.8368 0.7480 0 0.0246 0.8732
0.6 -0.4 0.6 1 1 0.9498 0.9677 0.9326 0.8494 0.7860 0.9986 0.0318 0.8746
0.6 -0.8 0.6 0.9574 1 0.9406 0.9691 0.8564 0.9338 0.9546 1 0.0430 0.8480
0.9 0.4 0.6 0.9602 0.9624 0.9313 0.9464 0.9472 0.2824 0.2376 0.0030 0.0014 0.9266
0.9 0.8 0.6 0.9522 0.9756 0.9484 0.9630 0.9390 0.2686 0.2454 0.9996 0.0008 0.9298
0.9 -0.4 0.6 0.9566 0.9582 0.9292 0.9632 0.8672 0.2984 0.2366 0.8748 0.0016 0.9318
0.9 -0.8 0.6 1 1 0.9516 1 0.7048 0.5244 0.3720 0.9990 0.0268 0.9082
-0.3 0.4 0.6 1 1 0.9444 1 0.9990 0.8782 0.8304 1 0.0356 0.8778
-0.3 0.8 0.6 1 1 0.6920 0.7388 0.9998 0.8704 0.8298 1 0.0360 0.8694
-0.3 -0.4 0.6 1 1 0.9321 0.9357 0.9876 0.8628 0.8472 1 0.0432 0.8652
-0.3 -0.8 0.6 1 1 0.9429 0.9430 0.9746 0.7312 0.9768 1 0.0430 0.6864
-0.6 0.4 0.6 0.9960 1 0.9567 0.9436 0.9998 0.8752 0.8312 1 0.0420 0.8712
-0.6 0.8 0.6 0.9927 1 0.9278 0.9694 0.9986 0.8642 0.8362 1 0.0394 0.8742
-0.6 -0.4 0.6 0.9731 1 0.9400 0.9352 0.9808 0.8130 0.8574 1 0.0388 0.8534
-0.6 -0.8 0.6 0.9600 1 0.9398 0.9702 0.9748 0.5372 0.9784 1 0.0400 0.3836
-0.9 0.4 0.6 1 1 0.9422 0.9594 1 0.8614 0.8350 1 0.0606 0.8698
-0.9 0.8 0.6 1 1 0.9446 0.9859 0.9996 0.8798 0.8310 1 0.0482 0.8664
-0.9 -0.4 0.6 1 1 0.9402 0.9691 0.9730 0.5640 0.8418 1 0.0616 0.5866
-0.9 -0.8 0.6 1 1 0.9462 0.9653 0.9984 0.2748 0.9392 1 0.0692 0.0932
118
CApendice:
Resultad
osdesimulacion
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 0.7 y T = 1000
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 0.7 1 1 0.9482 1 1 0.6930 0.6512 1 0.0292 0.9398
0.3 0 0.7 1 1 0.3724 0.3734 1 0.6928 0.6366 0.9970 0.0254 0.9436
0.6 0 0.7 1 1 0.9296 0.9704 0.9720 0.6378 0.5478 0.0682 0.0170 0.9424
0.9 0 0.7 0.9860 0.9868 0.9408 0.9768 0.9680 0.1360 0.3448 0 0.0006 0.9734
-0.3 0 0.7 1 1 0.9686 1 1 0.7038 0.6812 1 0.0396 0.9416
-0.6 0 0.7 1 1 0.9592 0.9963 1 0.6908 0.6548 1 0.0336 0.9386
-0.9 0 0.7 1 1 0.9412 0.9820 1 0.6514 0.6568 1 0.0622 0.9476
0 0.4 0.7 1 1 0.3256 0.3120 1 0.6902 0.6466 1 0.0218 0.9484
0 0.8 0.7 1 1 0.8426 0.8664 1 0.6950 0.6950 1 0.0284 0.9490
0 -0.4 0.7 1 1 0.9378 0.9813 0.9902 0.7110 0.6780 1 0.0376 0.9472
0 -0.8 0.7 1 1 0.9334 1 0.9858 0.8050 0.9292 1 0.0438 0.9238
0.3 0.4 0.7 1 1 0.9338 0.9667 1 0.6994 0.6304 0.9938 0.0226 0.9400
0.3 0.8 0.7 1 1 0.9415 0.9823 1 0.6868 0.6326 0.0172 0.0224 0.9420
0.3 -0.4 0.7 0.9343 0.9854 0.8856 0.9230 0.9316 0.6998 0.6674 1 0.0330 0.930
0.3 -0.8 0.7 0.9475 1 0.9042 0.9398 0.9268 0.8408 0.9156 1 0.0422 0.9286
0.6 0.4 0.7 0.9730 0.9877 0.9538 0.9641 0.9762 0.6430 0.5498 0 0.0120 0.9438
0.6 0.8 0.7 0.9796 0.9998 0.9635 0.9504 0.9642 0.6334 0.5492 0.0090 0.0160 0.9414
0.6 -0.4 0.7 0.9974 1 0.9521 0.9996 0.9638 0.6662 0.5916 0.7388 0.0278 0.9372
0.6 -0.8 0.7 0.9851 1 0.7664 0.8392 0.7898 0.8364 0.8804 1 0.0404 0.9340
0.9 0.4 0.7 0.9822 0.9858 0.9479 0.9516 0.8320 0.1240 0.3618 0.4254 0.0014 0.9724
0.9 0.8 0.7 0.9760 0.9844 0.9401 0.9542 0.9442 0.1326 0.3490 1 0.0002 0.9672
0.9 -0.4 0.7 0.9728 0.9822 0.9396 0.9497 0.8066 0.1348 0.3272 0.9428 0.0018 0.9720
0.9 -0.8 0.7 0.9856 0.9886 0.9294 0.9488 0.7314 0.2802 0.2508 0.6638 0.0180 0.9612
-0.3 0.4 0.7 1 1 0.9414 0.9484 0.9656 0.6990 0.6621 1 0.0316 0.9394
-0.3 0.8 0.7 0.9918 1 0.9472 0.9326 1 0.6938 0.6396 1 0.0330 0.9434
-0.3 -0.4 0.7 1 1 0.8378 0.8322 0.9686 0.7070 0.6998 1 0.0418 0.9412
-0.3 -0.8 0.7 0.9942 1 0.9434 1 0.8920 0.7094 0.9198 1 0.0394 0.8962
-0.6 0.4 0.7 1 1 0.8646 0.8948 0.9994 0.6978 0.6518 1 0.0350 0.9308
-0.6 0.8 0.7 0.9951 1 0.9172 0.9407 0.9424 0.6840 0.6514 1 0.0308 0.9396
-0.6 -0.4 0.7 0.9962 1 0.9376 0.9862 0.9720 0.6642 0.6966 1 0.0406 0.9336
-0.6 -0.8 0.7 0.9956 1 0.9406 1 0.9586 0.5638 0.9258 1 0.0442 0.7560
-0.9 0.4 0.7 0.9971 1 0.7978 0.8390 1 0.6872 0.6712 0.9034 0.0662 0.9402
-0.9 0.8 0.7 1 1 0.8899 0.9446 0.9980 0.6924 0.6636 0.9994 0.0504 0.9468
-0.9 -0.4 0.7 1 1 0.9329 0.9782 0.9702 0.5202 0.6854 1 0.0656 0.8680
-0.9 -0.8 0.7 1 1 0.9508 0.9805 0.9918 0.3054 0.8914 1 0.0696 0.2080
119
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 0.8 y T = 1000
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 0.8 0.8896 0.8721 0.8622 0.8678 0.8581 0.4380 0.4540 0.9960 0.0294 0.9744
0.3 0 0.8 0.7880 0.7938 0.3518 0.3514 0.7830 0.4298 0.4330 0.6910 0.0220 0.9776
0.6 0 0.8 0.7974 0.7906 0.6350 0.6810 0.7228 0.3832 0.3654 0.0004 0.0128 0.9770
0.9 0 0.8 0.7870 0.7972 0.6836 0.6978 0.6016 0.1318 0.5466 0.0104 0.0020 0.9884
-0.3 0 0.8 0.8796 0.8863 0.8490 0.8714 0.8894 0.4276 0.4628 1 0.0318 0.9738
-0.6 0 0.8 0.8498 0.8585 0.8309 0.8434 0.8808 0.4306 0.4752 1 0.0378 0.9738
-0.9 0 0.8 0.8504 0.8710 0.8175 0.8332 0.8764 0.4306 0.4646 1 0.0582 0.9778
0 0.4 0.8 0.8624 0.8796 0.5100 0.5090 0.8818 0.4324 0.4458 0.9988 0.0250 0.9758
0 0.8 0.8 0.8591 0.8708 0.8360 0.8498 0.8693 0.4302 0.4390 0.9362 0.0204 0.9748
0 -0.4 0.8 0.8211 0.8763 0.8478 0.8672 0.8064 0.4526 0.4852 1 0.0348 0.9738
0 -0.8 0.8 0.8246 0.8807 0.8304 0.8405 0.5226 0.6444 0.8156 1 0.0372 0.9716
0.3 0.4 0.8 0.8584 0.8736 0.8362 0.8555 0.8744 0.4230 0.4186 0.1472 0.0198 0.9818
0.3 0.8 0.8 0.8526 0.8577 0.8401 0.8488 0.8626 0.4406 0.4196 0 0.0164 0.9742
0.3 -0.4 0.8 0.8256 0.8408 0.8250 0.8486 0.7522 0.4490 0.4744 1 0.0296 0.9772
0.3 -0.8 0.8 0.8673 0.8915 0.8392 0.8518 0.5802 0.6562 0.7852 1 0.0434 0.9742
0.6 0.4 0.8 0.8304 0.8537 0.8204 0.8302 0.8728 0.3644 0.3580 0 0.0108 0.9748
0.6 0.8 0.8 0.8488 0.8768 0.8288 0.8322 0.8926 0.3710 0.3424 0.7666 0.0120 0.9732
0.6 -0.4 0.8 0.9064 0.8962 0.8094 0.8336 0.7160 0.3828 0.3898 0.0466 0.0204 0.9774
0.6 -0.8 0.8 0.8860 0.8994 0.8384 0.8906 0.6296 0.6136 0.7338 1 0.0390 0.9702
0.9 0.4 0.8 0.8151 0.8520 0.8120 0.8386 0.8678 0.1362 0.5542 0.9728 0.0026 0.9868
0.9 0.8 0.8 0.8373 0.8432 0.8299 0.8384 0.8580 0.1338 0.5368 1 0.0022 0.9908
0.9 -0.4 0.8 0.7191 0.7466 0.7098 0.7396 0.6124 0.1294 0.5056 0.6940 0.0020 0.9880
0.9 -0.8 0.8 0.8484 0.8904 0.8458 0.8382 0.3746 0.1294 0.2524 0.0204 0.0088 0.9836
-0.3 0.4 0.8 0.8607 0.8699 0.8430 0.8166 0.8484 0.4382 0.4522 0.9984 0.0256 0.9754
-0.3 0.8 0.8 0.8698 0.8882 0.3640 0.3692 0.8453 0.4338 0.4430 1 0.0262 0.9724
-0.3 -0.4 0.8 0.8359 0.8817 0.8010 0.8384 0.8965 0.4584 0.4778 1 0.0434 0.9722
-0.3 -0.8 0.8 0.8594 0.8781 0.8382 0.8491 0.7890 0.6150 0.8158 1 0.0404 0.9612
-0.6 0.4 0.8 0.9342 0.9892 0.9168 0.9258 0.9240 0.4224 0.4414 0.9390 0.0306 0.9748
-0.6 0.8 0.8 0.8896 0.8994 0.8004 0.8521 0.8316 0.4224 0.4372 1 0.0278 0.9786
-0.6 -0.4 0.8 0.9512 0.9773 0.8425 0.8386 0.9369 0.4464 0.4954 1 0.0420 0.9764
-0.6 -0.8 0.8 0.9095 0.9786 0.9002 0.9408 0.6342 0.5102 0.8168 1 0.0362 0.9378
-0.9 0.4 0.8 0.9376 0.9426 0.9094 0.9192 0.9876 0.4384 0.4568 0.0432 0.0518 0.9782
-0.9 0.8 0.8 0.8612 0.8728 0.8463 0.8528 0.8952 0.4382 0.4638 0.8054 0.0418 0.9790
-0.9 -0.4 0.8 0.8429 0.8506 0.8104 0.8346 0.8620 0.3818 0.4922 1 0.0648 0.9654
-0.9 -0.8 0.8 0.8345 0.8431 0.8265 0.8466 0.7888 0.3124 0.7920 1 0.0642 0.5406
120
CApendice:
Resultad
osdesimulacion
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 0.9 y T = 1000
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 0.9 0.6890 0.6926 0.6204 0.6624 0.6822 0.2038 0.2912 0.4740 0.0254 0.9906
0.3 0 0.9 0.5834 0.5908 0.4502 0.4050 0.4812 0.1930 0.3066 0.0402 0.0214 0.9912
0.6 0 0.9 0.4540 0.4616 0.3722 0.3996 0.4080 0.1704 0.2444 0 0.0110 0.9916
0.9 0 0.9 0.4088 0.4198 0.3498 0.3980 0.3998 0.3256 0.7246 0.0198 0.0064 0.9970
-0.3 0 0.9 0.6602 0.6910 0.6512 0.6670 0.6814 0.2040 0.2950 0.8418 0.0324 0.9906
-0.6 0 0.9 0.6898 0.6973 0.6145 0.6426 0.7120 0.2082 0.3020 0.9552 0.0384 0.9914
-0.9 0 0.9 0.7592 0.7794 0.7331 0.7594 0.8016 0.2124 0.2870 0.9910 0.0566 0.9813
0 0.4 0.9 0.6856 0.6880 0.6124 0.6781 0.7120 0.2056 0.2920 0.4868 0.0222 0.9930
0 0.8 0.9 0.6870 0.6856 0.6386 0.6417 0.7264 0.2158 0.2884 0.0208 0.0200 0.9928
0 -0.4 0.9 0.7901 0.7964 0.7406 0.7640 0.7194 0.2116 0.3062 1 0.0358 0.9862
0 -0.8 0.9 0.7671 0.7844 0.7370 0.7787 0.2592 0.3926 0.6264 1 0.0362 0.9884
0.3 0.4 0.9 0.5784 0.5842 0.4873 0.5056 0.4532 0.1964 0.2792 0 0.0172 0.9214
0.3 0.8 0.9 0.5768 0.5786 0.4814 0.4990 0.5082 0.1972 0.2824 0 0.0152 0.9264
0.3 -0.4 0.9 0.6477 0.6922 0.6414 0.6676 0.4652 0.2090 0.2878 0.9480 0.0248 0.9232
0.3 -0.8 0.9 0.5856 0.5906 0.5120 0.5225 0.2602 0.4080 0.6096 1 0.0368 0.9922
0.6 0.4 0.9 0.5870 0.5568 0.4913 0.5147 0.5116 0.1746 0.2434 0.0186 0.0108 0.9910
0.6 0.8 0.9 0.4562 0.3681 0.3392 0.3315 0.4074 0.1746 0.2428 1 0.0116 0.9928
0.6 -0.4 0.9 0.4618 0.4634 0.4464 0.4412 0.3052 0.1888 0.2574 0.0046 0.0182 0.9910
0.6 -0.8 0.9 0.4599 0.4798 0.4552 0.4718 0.4670 0.3530 0.5284 1 0.0424 0.9894
0.9 0.4 0.9 0.3986 0.4050 0.3880 0.3927 0.4274 0.3216 0.6362 1 0.0074 0.9940
0.9 0.8 0.9 0.3984 0.3998 0.3856 0.3970 0.4508 0.3290 0.6346 1 0.0092 0.9952
0.9 -0.4 0.9 0.4854 0.4992 0.3990 0.4254 0.5246 0.2964 0.6010 0.0480 0.0076 0.9974
0.9 -0.8 0.9 0.4752 0.4972 0.4106 0.4236 0.5492 0.1548 0.3882 0.5100 0.0114 0.9968
-0.3 0.4 0.9 0.4806 0.4914 0.4428 0.4696 0.4170 0.2084 0.2916 0.6298 0.0220 0.9900
-0.3 0.8 0.9 0.4876 0.4912 0.4502 0.4760 0.6762 0.2090 0.2868 0.8702 0.0180 0.9920
-0.3 -0.4 0.9 0.4760 0.4964 0.4900 0.4993 0.3968 0.2164 0.3054 1 0.0410 0.9914
-0.3 -0.8 0.9 0.4754 0.4956 0.4358 0.4998 0.4114 0.3788 0.6294 1 0.0420 0.9878
-0.6 0.4 0.9 0.6752 0.6876 0.6480 0.6833 0.7734 0.1906 0.2972 0.1014 0.0318 0.9928
-0.6 0.8 0.9 0.5850 0.5888 0.5648 0.5886 0.7414 0.2094 0.2866 0.8892 0.0222 0.9894
-0.6 -0.4 0.9 0.4934 0.4978 0.4396 0.4793 0.4114 0.2052 0.3146 1 0.0388 0.9924
-0.6 -0.8 0.9 0.4705 0.4886 0.4394 0.4685 0.2426 0.3644 0.6352 1 0.0422 0.9846
-0.9 0.4 0.9 0.5892 0.5993 0.5354 0.5876 0.7826 0.2126 0.3114 0.7460 0.0616 0.9924
-0.9 0.8 0.9 0.6904 0.6908 0.6494 0.6698 0.7320 0.2038 0.2904 0.0538 0.0330 0.9908
-0.9 -0.4 0.9 0.6768 0.6998 0.6374 0.6858 0.4296 0.2116 0.3132 1 0.0610 0.9896
-0.9 -0.8 0.9 0.6323 0.6407 0.6408 0.6626 0.2640 0.2502 0.6320 1 0.0630 0.8674
121
Tamanos obtenidos por las pruebas para d = 1.0 y T = 1000
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.0 0.0596 0.0632 0.0527 0.0552 0.0515 0.2596 0.2166 0.0108 0.0370 0.9964
0.3 0 1.0 0.0572 0.0522 0.0588 0.0572 0.0540 0.2672 0.2420 0.0010 0.0270 0.9980
0.6 0 1.0 0.0716 0.0754 0.0849 0.0874 0.0782 0.2654 0.2576 0 0.0210 0.9966
0.9 0 1.0 0.0994 0.0904 0.1091 0.1058 0.1198 0.7248 0.8684 0.0066 0.0350 0.9980
-0.3 0 1.0 0.0590 0.0600 0.0640 0.0658 0.0543 0.2744 0.2380 0.0334 0.0356 0.9964
-0.6 0 1.0 0.0622 0.0660 0.0716 0.0724 0.0618 0.2684 0.2346 0.0770 0.0416 0.9956
-0.9 0 1.0 0.0748 0.0718 0.0741 0.0788 0.0778 0.2650 0.2400 0.1078 0.0612 0.9964
0 0.4 1.0 0.0418 0.0449 0.0506 0.0443 0.0542 0.2730 0.2304 0.0052 0.0266 0.9972
0 0.8 1.0 0.0668 0.0612 0.0782 0.0646 0.0594 0.2610 0.2288 0 0.0260 0.9954
0 -0.4 1.0 0.0603 0.0566 0.0612 0.0530 0.0736 0.2602 0.2288 0.0908 0.0322 0.9976
0 -0.8 1.0 0.0402 0.0316 0.0428 0.0406 0.0972 0.4142 0.4256 0.0649 0.0434 0.9956
0.3 0.4 1.0 0.0460 0.0447 0.0577 0.0516 0.0597 0.2602 0.2310 0 0.0288 0.9972
0.3 0.8 1.0 0.0496 0.0425 0.0556 0.0516 0.0365 0.2650 0.2294 0.0686 0.0240 0.9966
0.3 -0.4 1.0 0.0659 0.0662 0.0770 0.0774 0.1178 0.2736 0.2282 0.1178 0.0292 0.9972
0.3 -0.8 1.0 0.0581 0.0580 0.0828 0.0894 0.1220 0.3796 0.4038 0.0603 0.0420 0.9966
0.6 0.4 1.0 0.0637 0.0674 0.0755 0.0698 0.0533 0.2666 0.2588 0.0750 0.0232 0.9972
0.6 0.8 1.0 0.0862 0.0648 0.1521 0.1190 0.0680 0.2680 0.2616 0.0666 0.0230 0.9972
0.6 -0.4 1.0 0.0974 0.0943 0.1174 0.1172 0.0978 0.2680 0.2408 0.1516 0.0258 0.9968
0.6 -0.8 1.0 0.0310 0.0316 0.0998 0.0908 0.0882 0.3482 0.3372 0.4996 0.0372 0.9958
0.9 0.4 1.0 0.1686 0.1577 0.1996 0.1486 0.1610 0.7268 0.8676 1 0.0340 0.9986
0.9 0.8 1.0 0.1987 0.1788 0.1992 0.1956 0.1954 0.7216 0.8658 1 0.0356 0.9986
0.9 -0.4 1.0 0.1323 0.1378 0.1365 0.1444 0.1418 0.7028 0.8422 0.3150 0.0348 0.9980
0.9 -0.8 1.0 0.1081 0.1026 0.1124 0.1173 0.0880 0.4952 0.5848 0.9667 0.0308 0.9982
-0.3 0.4 1.0 0.0543 0.0507 0.0558 0.0523 0.0564 0.2734 0.2406 0.0170 0.0266 0.9968
-0.3 0.8 1.0 0.0576 0.0588 0.0601 0.0522 0.0570 0.2656 0.2266 0.0314 0.0264 0.9960
-0.3 -0.4 1.0 0.0603 0.0557 0.0591 0.0589 0.0552 0.2688 0.2280 0.0666 0.0374 0.9970
-0.3 -0.8 1.0 0.0518 0.0559 0.0574 0.0594 0.0537 0.3930 0.4410 0.0699 0.0422 0.9946
-0.6 0.4 1.0 0.1168 0.1158 0.1197 0.1138 0.0516 0.2660 0.2386 0.2326 0.0316 0.9954
-0.6 0.8 1.0 0.0720 0.0748 0.0885 0.0967 0.1036 0.2684 0.2386 0.0548 0.0286 0.9972
-0.6 -0.4 1.0 0.0782 0.0542 0.1008 0.1048 0.0558 0.2744 0.2288 0.0688 0.0414 0.9966
-0.6 -0.8 1.0 0.0627 0.0622 0.0790 0.0746 0.1058 0.3832 0.4268 0.0675 0.0418 0.9956
-0.9 0.4 1.0 0.1654 0.1554 0.1877 0.1808 0.1174 0.2604 0.2352 0.0060 0.0610 0.9982
-0.9 0.8 1.0 0.1190 0.1100 0.1195 0.1300 0.1062 0.2722 0.2260 0.2012 0.0380 0.9968
-0.9 -0.4 1.0 0.1340 0.1386 0.1367 0.1421 0.1434 0.2680 0.2426 0.0674 0.0642 0.9972
-0.9 -0.8 1.0 0.1304 0.1452 0.1376 0.1383 0.1608 0.3120 0.4374 0.0689 0.0608 0.9822
122
CApendice:
Resultad
osdesimulacion
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 1.1 y T = 1000
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.1 0.6708 0.6684 0.6180 0.6826 0.7690 0.1930 0.2546 0.1108 0.0556 0.9386
0.3 0 1.1 0.5638 0.5790 0.4362 0.4952 0.4334 0.2290 0.3346 0.0248 0.0568 0.9286
0.6 0 1.1 0.4446 0.4886 0.3490 0.3992 0.2482 0.2620 0.3804 0.0014 0.0556 0.9192
0.9 0 1.1 0.4038 0.4992 0.3386 0.3958 0.3970 0.2316 0.2362 0.3174 0.1172 0.9596
-0.3 0 1.1 0.7804 0.7826 0.7674 0.7690 0.8372 0.2186 0.3138 0.7208 0.0570 0.9696
-0.6 0 1.1 0.8692 0.8662 0.8194 0.8348 0.8574 0.2078 0.3030 0.9154 0.0446 0.9792
-0.9 0 1.1 0.8335 0.8869 0.8379 0.8404 0.8653 0.2296 0.2976 0.9756 0.0614 0.9888
0 0.4 1.1 0.7720 0.8252 0.6382 0.6966 0.8788 0.2216 0.3140 0.0052 0.0526 0.9188
0 0.8 1.1 0.7748 0.8100 0.6982 0.7194 0.8550 0.2234 0.3122 0.0106 0.0574 0.9090
0 -0.4 1.1 0.7556 0.7628 0.6426 0.6980 0.3958 0.2074 0.2880 0.2012 0.0504 0.9980
0 -0.8 1.1 0.7247 0.7304 0.6984 0.7238 0.3486 0.1182 0.2908 1 0.9980 0.9792
0.3 0.4 1.1 0.5078 0.5086 0.3988 0.4450 0.4870 0.2158 0.3298 0.0130 0.0604 0.9592
0.3 0.8 1.1 0.4772 0.4808 0.4087 0.4499 0.4930 0.2282 0.3400 0.9024 0.0646 0.9278
0.3 -0.4 1.1 0.4656 0.5288 0.4180 0.4224 0.4160 0.2210 0.3058 0.1802 0.0530 0.9392
0.3 -0.8 1.1 0.4878 0.4987 0.4027 0.4425 0.4598 0.1210 0.2674 1 0.0408 0.9786
0.6 0.4 1.1 0.4762 0.5272 0.4124 0.4364 0.4428 0.2686 0.3862 0.9964 0.0602 0.9190
0.6 0.8 1.1 0.4719 0.4858 0.4198 0.4664 0.4383 0.2646 0.3852 1 0.0562 0.9090
0.6 -0.4 1.1 0.4666 0.4884 0.4520 0.4714 0.3856 0.2540 0.3680 0.3978 0.0618 0.9392
0.6 -0.8 1.1 0.5090 0.5430 0.4987 0.4876 0.4316 0.1198 0.2348 0.9066 0.0508 0.9492
0.9 0.4 1.1 0.6996 0.7062 0.5876 0.5920 0.7180 0.7268 0.7432 1 0.1194 0.9690
0.9 0.8 1.1 0.9170 0.9356 0.9042 0.9180 0.8932 0.8832 0.6436 1 0.1142 0.9996
0.9 -0.4 1.1 0.6990 0.7274 0.6132 0.6761 0.6802 0.6114 0.6362 0.9794 0.1200 1
0.9 -0.8 1.1 0.7994 0.7986 0.7214 0.7546 0.8006 0.6464 0.7616 0.9790 0.1010 0.9496
-0.3 0.4 1.1 0.6753 0.6806 0.6252 0.6498 0.7054 0.2236 0.3098 0.1136 0.0584 0.9494
-0.3 0.8 1.1 0.6378 0.6748 0.6255 0.6337 0.6716 0.2258 0.3106 0.0042 0.0572 0.9588
-0.3 -0.4 1.1 0.6802 0.6986 0.6346 0.6596 0.3968 0.2000 0.2874 0.9134 0.0424 0.9586
-0.3 -0.8 1.1 0.6856 0.6903 0.6284 0.6960 0.3430 0.1112 0.2742 1 0.0414 0.9588
-0.6 0.4 1.1 0.7658 0.7672 0.7071 0.7292 0.7404 0.2226 0.3182 0.9248 0.0580 0.9596
-0.6 0.8 1.1 0.7240 0.7684 0.6136 0.6922 0.7531 0.2188 0.3234 0.0314 0.0558 0.9994
-0.6 -0.4 1.1 0.7048 0.7400 0.6726 0.6869 0.4070 0.2098 0.2902 0.9994 0.0398 0.9896
-0.6 -0.8 1.1 0.7121 0.7350 0.6424 0.6998 0.3888 0.1216 0.2844 1 0.0428 0.9886
-0.9 0.4 1.1 0.6994 0.6984 0.5512 0.6183 0.7796 0.2242 0.3040 1 0.0602 0.9886
-0.9 0.8 1.1 0.6694 0.6970 0.6334 0.6370 0.7408 0.2194 0.3138 0.8586 0.0594 0.9794
-0.9 -0.4 1.1 0.6446 0.6964 0.6234 0.6998 0.5126 0.2020 0.2922 1 0.0628 0.9390
-0.9 -0.8 1.1 0.6192 0.6638 0.6206 0.6768 0.5256 0.1206 0.2688 1 0.0576 0.9590
123
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 1.2 y T = 1000
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.2 0.7910 0.7882 0.7580 0.7888 0.8032 0.3872 0.3632 0.3240 0.1454 0.9298
0.3 0 1.2 0.6926 0.6934 0.6246 0.6886 0.6692 0.4844 0.5080 0.1020 0.1474 0.9837
0.6 0 1.2 0.6680 0.6834 0.6378 0.6604 0.6400 0.5226 0.5830 0.0220 0.1518 0.9725
0.9 0 1.2 0.6984 0.6888 0.6372 0.6830 0.6940 0.9364 0.9798 0.9772 0.2756 0.9896
-0.3 0 1.2 0.8940 0.8950 0.2396 0.2380 0.8996 0.4844 0.4814 0.9876 0.1286 0.9398
-0.6 0 1.2 0.9746 0.9948 0.8940 0.9602 1 0.4606 0.4758 1 0.1088 0.9494
-0.9 0 1.2 0.9728 1 0.9514 0.9932 1 0.4834 0.4826 1 0.0670 0.9532
0 0.4 1.2 0.9406 0.9542 0.9332 0.9482 0.9459 0.4870 0.4948 0.0898 0.1568 1
0 0.8 1.2 0.9452 0.9622 0.9338 0.9512 1 0.4728 0.4940 0.2492 0.1602 1
0 -0.4 1.2 0.8684 0.8934 0.8502 0.8756 0.8892 0.4560 0.4598 0.5882 0.1302 0.8996
0 -0.8 1.2 0.8616 0.8772 0.8538 0.8366 0.7158 0.2558 0.2406 1 0.0496 0.9334
0.3 0.4 1.2 0.8662 0.8810 0.8137 0.8426 0.8622 0.4994 0.5166 0.2532 0.1468 0.9697
0.3 0.8 1.2 0.8464 0.8696 0.8252 0.8628 0.9090 0.4766 0.5096 0.9728 0.1574 0.9472
0.3 -0.4 1.2 0.9133 0.9736 0.9386 0.9500 0.9888 0.4684 0.4706 0.7832 0.1490 0.9451
0.3 -0.8 1.2 0.9256 0.9776 0.9288 0.9428 0.8604 0.2462 0.2336 0.9990 0.0660 0.9794
0.6 0.4 1.2 0.8572 0.8670 0.8334 0.8308 0.8750 0.5374 0.5704 0.9980 0.1646 0.9094
0.6 0.8 1.2 0.8684 0.8843 0.8325 0.8466 0.8904 0.5526 0.5842 1 0.1588 0.9192
0.6 -0.4 1.2 0.8768 0.8974 0.8218 0.8820 0.7964 0.5146 0.5430 0.3412 0.1456 0.9698
0.6 -0.8 1.2 0.8442 0.8540 0.7740 0.7830 0.6582 0.2996 0.2726 0.1192 0.1070 0.9718
0.9 0.4 1.2 0.8897 0.8968 0.8324 0.8736 0.8768 0.8364 0.9758 1 0.2836 0.9298
0.9 0.8 1.2 0.8796 0.8980 0.8398 0.8846 0.8802 0.8372 0.9808 1 0.2772 0.9298
0.9 -0.4 1.2 0.8868 0.8984 0.8518 0.8624 0.8568 0.8390 0.9786 0.9998 0.2622 1
0.9 -0.8 1.2 0.8972 0.8980 0.8622 0.8748 0.8964 0.8390 0.8744 0.8236 0.2252 0.9798
-0.3 0.4 1.2 0.8728 0.8866 0.8658 0.8684 0.8898 0.4840 0.4842 0.5068 0.1480 0.9190
-0.3 0.8 1.2 0.8718 0.8754 0.8606 0.8692 0.8992 0.4824 0.4790 0.1268 0.1486 0.9688
-0.3 -0.4 1.2 0.8878 0.8912 0.8680 0.8724 0.9078 0.4596 0.4420 0.2528 0.0878 0.9996
-0.3 -0.8 1.2 0.8740 0.8772 0.8398 0.8707 0.7088 0.2336 0.2402 1 0.0434 0.9794
-0.6 0.4 1.2 0.8745 0.8870 0.6806 0.6464 0.8154 0.4774 0.4886 0.9908 0.1390 0.9688
-0.6 0.8 1.2 0.8870 0.8962 0.8652 0.8754 0.8988 0.4602 0.4798 0.3322 0.1510 0.9496
-0.6 -0.4 1.2 0.8832 0.8910 0.8271 0.8450 0.9168 0.4638 0.4308 0.3734 0.0564 0.9896
-0.6 -0.8 1.2 0.8782 0.8788 0.8317 0.8394 0.6910 0.2330 0.2316 1 0.0436 0.9898
-0.9 0.4 1.2 0.8658 0.8668 0.8332 0.8470 0.8675 0.4760 0.4860 1 0.1226 0.9790
-0.9 0.8 1.2 0.8354 0.8364 0.8286 0.8214 0.8494 0.4840 0.4858 0.9676 0.1612 0.9198
-0.9 -0.4 1.2 0.8674 0.8791 0.8402 0.8542 0.9254 0.4490 0.4542 0.7736 0.0678 1
-0.9 -0.8 1.2 0.8784 0.8786 0.8138 0.8661 0.8820 0.2180 0.2376 1 0.0638 0.9098
124
CApendice:
Resultad
osdesimulacion
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 1.3 y T = 1000
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.3 0.9861 0.9904 0.9244 0.9660 1 0.7472 0.6778 0.7290 0.3358 0.9631
0.3 0 1.3 0.9776 0.9872 0.9630 0.9758 1 0.7524 0.7058 0.2144 0.3404 0.9608
0.6 0 1.3 0.9692 0.9884 0.9272 0.9688 0.9866 0.7808 0.7612 0.0816 0.3326 0.9842
0.9 0 1.3 0.9622 0.9866 0.9356 0.9492 0.9958 0.9788 0.9928 1 0.4868 0.9821
-0.3 0 1.3 0.9886 1 0.9724 0.9806 1 0.7452 0.6748 0.9572 0.3344 0.9750
-0.6 0 1.3 0.9696 0.9798 0.6634 0.6794 1 0.7528 0.6730 0.9988 0.3076 0.9998
-0.9 0 1.3 0.9776 0.9763 0.9620 0.9878 1 0.7334 0.6728 1 0.1184 0.9998
0 0.4 1.3 0.9976 0.9998 0.9897 0.9924 1 0.7518 0.6940 0.2140 0.3276 0.9998
0 0.8 1.3 0.9662 0.9732 0.9636 0.9764 1 0.7486 0.6906 0.5040 0.3374 1
0 -0.4 1.3 0.9994 0.9996 0.8694 0.8718 0.9992 0.7436 0.6402 0.9382 0.3084 1
0 -0.8 1.3 0.9488 0.9986 0.9316 0.9578 0.9812 0.5128 0.3366 0.9992 0.0782 0.9998
0.3 0.4 1.3 0.9640 0.9876 0.9336 0.9754 0.9762 0.7534 0.6972 0.4800 0.3348 0.9998
0.3 0.8 1.3 0.9470 0.9691 0.9222 0.9534 0.9726 0.7668 0.6966 0.9502 0.3254 0.9998
0.3 -0.4 1.3 0.9978 0.9964 0.9632 0.9864 0.9226 0.7410 0.6754 0.8268 0.3200 0.9998
0.3 -0.8 1.3 0.9586 0.9624 0.9214 0.9644 0.7398 0.5338 0.3448 0.7912 0.1340 0.9998
0.6 0.4 1.3 0.9852 0.9992 0.9710 0.9968 0.9990 0.7864 0.7664 0.9996 0.3464 0.9998
0.6 0.8 1.3 0.9699 0.9810 0.9718 0.9866 0.9994 0.7734 0.7744 1 0.3418 0.9998
0.6 -0.4 1.3 0.9676 0.9846 0.9486 0.9622 0.8782 0.7708 0.7416 0.2824 0.3414 1
0.6 -0.8 1.3 0.9830 0.9986 0.9290 0.9440 0.7608 0.5652 0.4168 0.2710 0.2516 0.9998
0.9 0.4 1.3 0.9508 0.9870 0.9690 0.9728 0.9932 0.9852 0.9920 1 0.4866 0.9998
0.9 0.8 1.3 0.9836 0.9878 0.9726 0.9832 0.9998 0.9816 0.9924 1 0.4876 0.9998
0.9 -0.4 1.3 0.9858 0.9942 0.9686 0.9782 0.9693 0.9828 0.9910 0.9844 0.4754 1
0.9 -0.8 1.3 0.9846 0.9938 0.9658 0.9742 0.9546 0.9452 0.9524 0.4974 0.4548 0.9998
-0.3 0.4 1.3 0.9842 0.9928 0.9044 0.9412 0.9732 0.7480 0.6798 0.5536 0.3262 0.9998
-0.3 0.8 1.3 0.9468 0.9748 0.9100 0.9638 1 0.7508 0.6948 0.2960 0.3358 0.9998
-0.3 -0.4 1.3 0.9994 0.9996 0.9390 0.9874 0.9932 0.7170 0.6572 0.9466 0.2488 0.9998
-0.3 -0.8 1.3 0.9768 0.9976 0.9394 0.9766 0.8210 0.5116 0.3284 1 0.0534 0.9998
-0.6 0.4 1.3 0.9970 0.9992 0.9364 0.9520 0.9750 0.7558 0.6754 0.9216 0.3218 0.9998
-0.6 0.8 1.3 0.9786 0.9894 0.9332 0.9446 0.9540 0.7416 0.6800 0.4882 0.3296 0.9998
-0.6 -0.4 1.3 0.9785 0.9974 0.9446 0.9860 0.9692 0.7308 0.6400 0.8920 0.1160 1
-0.6 -0.8 1.3 0.9514 0.9544 0.9386 0.9529 0.8218 0.5092 0.3226 1 0.0402 1
-0.9 0.4 1.3 0.9996 0.9994 0.6018 0.6302 1 0.7506 0.6846 0.9998 0.3032 0.9998
-0.9 0.8 1.3 0.9769 0.9962 0.8408 0.8984 0.9994 0.7398 0.6828 0.8784 0.3424 1
-0.9 -0.4 1.3 0.9990 0.9992 0.9426 0.9534 0.9984 0.7274 0.6526 0.7864 0.0710 1
-0.9 -0.8 1.3 0.9528 0.9582 0.9392 0.9458 0.8792 0.4852 0.3170 1 0.0660 1
125
Potencias obtenidas por las pruebas para d = 1.4 y T = 1000
AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML
0 0 1.4 0.9568 0.9714 0.9344 0.9360 1 0.9082 0.8378 0.6964 0.5422 1
0.3 0 1.4 0.9256 0.9590 0.9194 0.9586 0.9978 0.9058 0.8500 0.5228 0.5492 1
0.6 0 1.4 0.9358 0.9690 0.9122 0.9692 0.9434 0.9198 0.8880 0.1876 0.5508 1
0.9 0 1.4 0.9846 0.9882 0.9758 0.9860 0.9598 0.9962 0.9976 0.9996 0.6992 1
-0.3 0 1.4 0.9706 0.9896 0.9220 0.9744 1 0.9110 0.8390 0.8676 0.556 1
-0.6 0 1.4 0.9688 0.9980 0.9652 0.9848 1 0.8992 0.8404 0.9530 0.529 1
-0.9 0 1.4 0.9642 1 0.9530 0.9860 1 0.9030 0.8260 0.9974 0.3098 1
0 0.4 1.4 0.9162 0.9735 0.8722 0.9120 1 0.9100 0.8396 0.4208 0.5490 1
0 0.8 1.4 0.9378 0.9736 0.8802 0.9276 1 0.9102 0.8338 0.4676 0.5478 1
0 -0.4 1.4 0.9766 0.9876 0.9438 0.9760 1 0.9038 0.8132 0.8832 0.5326 1
0 -0.8 1.4 0.9848 0.9986 0.9288 0.9684 0.9582 0.7758 0.5216 0.7756 0.2146 1
0.3 0.4 1.4 0.9120 0.9748 0.9112 0.9302 0.9976 0.9130 0.8486 0.4366 0.5554 1
0.3 0.8 1.4 0.9258 0.9716 0.9104 0.9254 0.9954 0.9108 0.8480 0.9108 0.5552 1
0.3 -0.4 1.4 0.9523 0.9578 0.9176 0.9572 0.9786 0.9070 0.8278 0.7822 0.5450 1
0.3 -0.8 1.4 0.9863 0.9974 0.5666 0.5686 0.9528 0.7828 0.5322 0.3748 0.3632 1
0.6 0.4 1.4 0.9432 0.9736 0.8848 0.9488 0.9672 0.9282 0.8958 1 0.5570 1
0.6 0.8 1.4 0.9682 0.9726 0.9458 0.9526 0.9732 0.9260 0.8842 1 0.5658 1
0.6 -0.4 1.4 0.9426 0.9876 0.9140 0.9784 0.9638 0.9200 0.8744 0.6802 0.5546 1
0.6 -0.8 1.4 0.9880 0.9790 0.9368 0.9466 0.9828 0.8142 0.6092 0.6416 0.4910 1
0.9 0.4 1.4 0.9256 0.9666 0.9458 0.9533 0.8796 0.9972 0.9988 0.9982 0.6954 1
0.9 0.8 1.4 0.9987 1 0.9818 0.9994 0.9998 0.9936 0.9972 0.9970 0.6942 1
0.9 -0.4 1.4 0.9664 0.9960 0.9344 0.9608 0.9700 0.9952 0.9966 0.3996 0.6988 1
0.9 -0.8 1.4 0.9958 0.9998 0.9873 0.9988 0.9788 0.9876 0.9816 0.8696 0.6588 1
-0.3 0.4 1.4 0.9364 0.9696 0.9302 0.9520 0.9948 0.9144 0.8420 0.6024 0.5686 1
-0.3 0.8 1.4 0.9696 0.9710 0.9320 0.9620 0.9990 0.8992 0.8426 0.4602 0.5496 1
-0.3 -0.4 1.4 0.9552 0.9991 0.9264 0.9406 0.9990 0.9054 0.8042 0.9356 0.5182 1
-0.3 -0.8 1.4 0.9788 0.9990 0.9268 0.9865 0.9316 0.7794 0.5132 0.9712 0.1056 1
-0.6 0.4 1.4 0.9740 0.9736 0.9360 0.9564 0.9785 0.9136 0.8324 0.8438 0.5520 0.9998
-0.6 0.8 1.4 0.9344 0.9742 0.9420 0.9526 0.9920 0.9040 0.8272 0.5548 0.5542 1
-0.6 -0.4 1.4 0.9520 0.9998 0.7178 0.7594 0.9998 0.8974 0.8116 0.9782 0.3660 1
-0.6 -0.8 1.4 0.9610 0.9688 0.9407 0.9466 0.9450 0.7648 0.5112 0.9988 0.0584 1
-0.9 0.4 1.4 0.9720 0.9913 0.9522 0.9450 0.9992 0.9032 0.8412 0.9664 0.5492 1
-0.9 0.8 1.4 0.9668 0.9694 0.9220 0.9510 1 0.8996 0.8300 0.7944 0.5552 1
-0.9 -0.4 1.4 0.9574 0.9598 0.9230 0.9476 0.9896 0.8918 0.8046 0.9986 0.1048 1
-0.9 -0.8 1.4 0.9788 0.9994 0.9378 0.9262 0.9520 0.7660 0.5048 0.9996 0.0676 1
Bibliografıa
Beran, J. (1993), ‘Fitting long-memory models by generalized linear regression’, Biometri-
ka 80(4), 817–822.
Beran, J. (1995), ‘Maximum likelihood estimation of the differencing parameter for in-
vertible short and long memory autoregressive integrated moving average models’,
Journal of the Royal Statistical Society 57(4), 659–672.
Box, G. & Cox, D. (1964), ‘An analysis of transformations’, Journal of the Royal Statistical
Society 26(B), 211–252.
Castano, E., Gomez, K. & Gallon, S. (2008), ‘Una nueva prueba para el parametro de
diferenciacion fraccional’, Revista Colombiana de Estadıstica 31, 67–84.
Cavanzo, A. & Blanco, L. (2005), ‘El movimiento browniano fraccional como lımite de
ciertos tipos de procesos estocasticos’, Revista Colombiana de Estadıstica 28(2), 173–
191.
Diebold, F. & Rudebush, G. (1989), ‘Long memory and persistence in aggregate output’,
Journal of Monetary Economics 24, 189–209.
Dolado, J., Gonzalo, J. & Mayoral, L. (2002), ‘A fractional dickey-fuller test for unit
roots’, Econometrica 70(5), 1963–2006.
Geweke, J. & Porter-Hudak, S. (1983), ‘The estimation and application of long-memory
time series models’, Journal of Time Series Analysis 4(4), 221–238.
Granger, C. & Joyeux, K. (1980), ‘An introduction to long-memory time series and frac-
tional differencing’, Journal of Time Series Analysis 1, 15–29.
Granger, C. W. J. (1980), ‘Long memory relationships and the aggregation of dynamic
models’, Journal of Econometrics 14(2), 227–238.
Harris, D., McCabe, B. & Leybourne, S. (2008), ‘Testing for long memory’, Econometric
Theory 24(1), 143–175.
128 Bibliografıa
Hosking, J. R. M. (1981), ‘Fractional differencing’, Biometrika 68(1), 165–176.
Kwiatkowski, D., Phillips, P. C. B., Schmidt, P. & Shin, Y. (1992), ‘Testing the null
hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root: How sure are we
that economic time series have a unit root?’, Journal of Econometrics 54, 159–178.
Lee, D. & Schmidt, P. (1996), ‘On the power of the kpss test of stationarity against
fractionally integrated alternatives’, Journal of Econometrics 73(1), 285–302.
Lobato, I. N. & Robinson, P. M. (1998), ‘A nonparametric test for i(0)’, Review of Eco-
nomic Studies 65, 475–495.
Lobato, I. & Velasco, C. (2007), ‘Efficient wald tests for fractional unit roots’, Economet-
rica 75(2), 575–589.
Mayoral, L. (2007), ‘Minimum distance estimation of stationary and non-stationary arfima
processes’, The Econometrics Journal 10(1), 124–148.
Palma, W. (2007), Long-Memory Time Series. Theory and Methods, Jhon Wiley and
Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.
Phillips, P. & Perron, P. (1988), ‘Testing for a unit root in time series regression’, Biometri-
ka 75(2), 335–346.
Robinson, P. M. (1994), ‘Efficient tests of nonstationary hypotheses’, Journal of the Amer-
ican Statistical Association 89(428), 1420–1437.
Robinson, P. M. (1995), ‘Log-periodogram regression of time series with long range de-
pendence’, The Annals of Statistics 23(3), 1048–1072.
Ross, S. M. (2010), Introduction to Probability Models, Elsevier, Inc., San Diego, Califor-
nia.
Said, S. & Dickey, D. (1984), ‘Testing for unit roots in autoregressive-moving average
models of unknown order’, Biometrika 71(3), 599–607.
Sowell, F. (1992), ‘Maximum likelihood estimation of stationary univariate fractionally
integrated time series models’, Journal of Econometrics 53(1), 165–188.
Tanaka, K. (1999), ‘The non-stationary fractional unit root’, Econometric Theory
15(4), 549–582.
Bibliografıa 129
Tierney, L., Rossini, A. J. & Li, N. (2003), ‘Simple parallel statistical computing in r’,
www.cs.uiowa.edu/ luke/talks/uiowa03.pdf .
Velasco, C. (1999), ‘Gaussian semiparametric estimation of non-stationary time series’,
Journal of Time Series Analysis 20(1), 87–127.