Prueba para la Bondad de ajuste Validación de Modelo

Integrantes LERBY ARTEAGAFREDDY ARENAS

CARLOS ARIZALUIS MORENO

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA (UNEFA)

NUCLEO ZULIA

Prueba para la Bondad de ajuste

Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución, esta distribución puede estar completamente especificada (hipótesis simple) o perteneciente a una clase paramétrica (hipótesis compuesta).

La prueba de bondad de ajuste se aplica en diseños de investigación en los que se estudia a un único grupo.

La prueba compara la distribución de frecuencias observada (Fo) de una variable usualmente cualitativa, pero que también puede ser cuantitativa, con la distribución de frecuencias de la misma variable medida en un grupo de referencia.

Hipótesis estadística nula: Ho: Fo = Fe Hipótesis estadística alterna: Ha: Fo ≠ Fe

El procedimiento de la prueba incluye el cálculo de la medida de resumen llamada Chi cuadrada. El rechazo del Ho ocurre cuando el valor calculado con los datos resulta mayor que el valor crítico de dicha medida contenido en una tabla llamada Valores Críticos de Chi cuadrada.

Prueba para la Bondad de ajuste

En el caso de que el valor de Chi cuadrada calculada sea igual o menor al de Chi cuadrada crítica se dice que no se rechaza al Ho y, por tanto, se concluye que la Fo es semejante a la Fe. En otras palabras, se dice que ambas distribuciones se ajustan bien; de ahí el nombre de la prueba: bondad de ajuste.

Se propone que el número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson.

Se reúne una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se observa el número de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Prueba para la Bondad de ajuste

Una moneda fue lanzada al aire 1000 series, de 5 veces cada serie y se observó el número de caras de cada serie. El número de series en los que se presentaron 0, 1, 1, 3, 4 y 5 caras se muestra en la siguiente tabla.

Número de

caras

Número de series (frecuencia

observada)

0 38

1 144

2 342

3 287

4 164

5 25

Total 1000

Prueba para la Bondad de ajuste

Prueba para la Bondad de ajuste

Prueba para la Bondad de ajuste

Número de defectos

Frecuencia observada

0 321 152 9

3 ó más 4

Prueba para la Bondad de ajuste

Validación de modelos

Validación es el proceso de comprobar que los resultados aportados por el modelo para las variables de salida y de estado no son muy diferentes a los medidos en la realidad. Existen diferentes índices que permiten cuantificar el grado de ajuste entre los datos medidos y los resultados del modelo. Coeficiente de determinación r2, es decir el cuadrado del Coeficiente de correlación

El problema estadístico se convierte en que dado un conjunto de datos hipotéticamente relacionados entre sí ¿cómo evidenciar esa relación?

Desarrollar un modelo que permita ser posible validar con determinada certeza el valor de una variable dependiente con respecto a otra relacionada

Y=f(x)

Diagrama de DispersiónEs la representación gráfica de las observaciones de las variables

aparente o hipotéticamente relacionadas, con el objeto de evidenciar tal relación.

Por ejemplo

El ajuste de la curva es el procedimiento de hallar una curva que represente lo más eficazmente posible la distribución de los datos El objeto es determinar la ecuación de la curva que represente la menos desviación posible del conjunto de datos considerado. A estos efectos el procedimiento de mínimos cuadrados, es la técnica matemática de análisis numérico que permite encontrar la función que mejor se aproxime al conjunto de datos siguiendo el criterio del menor error cuadrático. Se trata de minimizar la suma de los cuadrados entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos

Regresión y regresión lineal simple

Se llama Regresión a la media de la distribución de una variable (dependiente) con respecto a un valor determinado de otra (independiente). Es el proceso de ajustar una recta a un conjunto de datos cuya dispersión sugiere este tipo de síntesis matemática. El modelo puede representarse como:Donde:Yᵢ= variable dependienteβ0=intersección con el eje de las ordenadasβ1=pendiente real de la poblaciónXᵢ=la variable independienteἑᵢ=error aleatorio en Y para la observación ᵢ

El método de mínimos cuadrados nos permite determinar, dentro de estas premisas, la ecuación bajo el siguiente modelo general:

 

Las ecuaciones normales de la regresión lineal

Resolviendo el sistema se obtiene

Donde ambas medias son las correspondientes al conjunto de

datos dado.

Si obtenemos la razón de la variación explicada a la variación

total podremos calcular el porcentaje de la variación explicada por

el modelo de regresión y por tanto una medida de cuán confiable

es el modelo. Esta medida se define como:

La variación explicada representa la diferencia entre la media de Y yYest;. La variación no explicada representa la parte de la variación no explicada por la regresión y está basada en la diferencia entre el valor observado Yi y el valor de Yest; el valor predicho por la recta de regresión para un Xi dado. Es claro que:

•Vtotal=Vexp - Vnexp

• Vtotal=variación total

Considerando:

• Vexp=Variación explicada

•Vnexp=Variación no explicada

Expresadas matemáticamente con los siguientes ecuaciones Variación total

Variación no explicada

Variación explicada

Área de la parcela (mts)2

Costo construcción

(bs)1 500 31,602 700 32,403 1000 41,704 1000 50,205 1200 46,206 2000 58,507 2200 59,308 1500 48,409 3000 63,70

10 4000 85,3011 1200 53,4012 1500 54,50

A partir de esta data, se construye un gráfico de dispersión con el objeto de determinar a grandes rasgos si su hipótesis es válida:

Ejercicio I

Ejercicio I El contador de costos de una empresa de

construcción tiene el problema de estimar los costos de construcción para viviendas unifamiliares en el próximo año, para asignar los posibles precios. Tiene a mano los registros de todas las viviendas construidas en el último año. Por experiencia supone como razonable la hipótesis que el costo de la construcción está relacionado con el tamaño de la parcela: (Y) decide tomar una muestra aleatoria de 12 casas, según tabla a continuación:

El gráfico demuestra que la hipótesis es más que razonablemente valida, por lo proceda a construir una recta de regresión y obtener así su modelo.

Área de la parcela (mts)2

Costo construcción

(bs)X.Y X2 Y2

1 500 31,6 15.800 250.000 998,562 700 32,4 22.680 490.000 1.049,763 1.000 41,7 41.700 1.000.000 1.738,894 1.000 50,2 50.200 1.000.000 2.520,045 1.200 46,2 55.440 1.440.000 2.134,446 2.000 58,5 117.000 4.000.000 3.422,257 2.200 59,3 130.460 4.840.000 3.516,498 1.500 48,4 72.600 2.250.000 2.342,569 3.000 63,7 191.100 9.000.000 4.057,69

10 4.000 85,3 341.200 16.000.000 7.276,0911 1.200 53,4 64.080 1.440.000 2.851,5612 1.500 54,5 81.750 2.250.000 2.970,25∑ 19.800 625,20 1.184.010 43.960.000 34.878,58

Ya que aplicando esta formula obtenemos b1

b1=0,90

b0=50.610

Ya aplicada esta formula se obtiene los siguiente resultados

b1=0,90 b0=50.610

Ya habiendo obtenido b1 y b0 procedemos a buscar a Y estimada utilizando la siguiente formula

i= b0+ b1* X i  Ῡ i=50.6+(0.90*500)=500.6Ῡ i=50.6+(0.90*700)=680.6Ῡ i=50.6+(0.901000)=950.6Ῡ i=50.6+(0.90*1000)=950.6Ῡ i=50.6+(0.90*1200)=1130.6Ῡ i=50.6+(0.90*2000)=1850.6Ῡ i=50.6+(0.90*2200)=2030.6Ῡ i=50.6+(0.90*1500)=1400.6Ῡ i=50.6+(0.90*3000)=2750.6Ῡ i=50.6+(0.90*4000)=3650.6Ῡ i=50.6+(0.90*1200)=1130.6Ῡ i=50.6+(0.90*1500)=1400.6

Aria de la parcela(mts)2

CostoConstrucción X.Y

2X

2Y Yest Y-Yest

1 500 31.60 15.800 250.000 998,56 5000.6 -4969

2 700 32.4 22.680 490.000 1.049,76 680.6 -648.2

3 1000 41.7 41.700 1.000.000 1.738,89 950.6 -908.9

4 1000 50.2 50.200 1.000.000 2.520,04 950.6 -900.4

5 1200 46.2 55.440 1.440.000 2.134,44 1130.6 -1084.4

6 2000 58.5 117.000 4.000.000 3.422,25 1850.6 -1792.1

7 2200 59.3 130.460 4.840.000 3.516,49 2030.6 -1971.3

8 1500 48.4 72.600 2.250.000 2.342,56 1400.6 -1352.2

9 3000 63.7 191.100 9.000.000 4.057,69 2750.6 -2686.9

10 4000 85.3 341.200 16.000.000 7.276,09 3650.6 -3565.3

11 1200 53.4 64.080 1.440.000 2.851,56 1130.6 -1077.2

12 1500 54.5 81.750 2.250.000 2.970,25 1400.6 -1346.1

sumatoria 19.800 625.2 1.184.01 43.960.000 34.878,58 22927.2 -22302

Variación total

Variación no explicada

Variación explicada

Vtotal = 2305.66

Vexp = - 30944.63

= r2=2305.66

30944.63 -= - 13.42 r2 = - 13.42

Ojo: Esta no se hace solo nos piden r2 = Vexp/Vtotal

Ejercicio II

Se desea estimar los costos para la construcción de un apartamento, para determinar los posibles precios, tomando en cuenta la relación costo-tamaño se decide tomar una muestra aleatoria de 7 expresada según la tabla a continuación

Área de la terreno (mts)2

Costo construcción (bs)

1 2000 41.20

2 1500 45.50

3 4000 54.10

4 3000 50,05

5 5000 63.40

6 2500 90.40

7 4500 85.70

El gráfico demuestra que la hipótesis es más que razonablemente valida, por lo proceda a construir una recta de regresión y obtener así su modelo.

Luego se obtienen los valores de la tabla de acuerdo a cada uno de ellos

Ejercicio II

Área del terreno (mts)2

Costo construcción (bs)

X.Y X2 Y2 Yest Y-Yest

1 2000 41.20 82.400 4.000.000 1.697,44 55.4 -14.2

2 1500 45.50 68.250 2.250.000 2.070,25 54.0 -8.5

3 4000 54.10 216.400 16.000.000 2.926,81 56.0 -1.9

4 3000 50.05 150.150 9.000.000 2.505,0025 56.2 -6.6

5 5000 63.40 317.000 25.000.000 4.019,56 57.8 5.6

6 2500 90.40 226.000 6.250.000 8.172,16 55.8 34.6

7 4500 85.70 385.650 20.250.000 7.344,49 57.4 28.3

∑ 22.500 430.35 1445.850 82750.000 27673.096 392.6 37.3

Ejercicio II

Al momento de aplicar la formula se obtiene los siguiente resultados:b1=0.0008b0=53.79

Ya habiendo obtenido b1 y b0 procedemos a buscar a Y estimada utilizando la siguiente formula

Ejercicio II

Ojo: No da el resultado hubo un error en la media se toma con N=7

Ya habiendo obtenido b1 y b0 procedemos a buscar a Y estimada utilizando la siguiente formula: Ῡ i= b0+ b1* X I

Ῡ i=53.79+(0.0008*2000)=55.4Ῡ i=53.79+(0.0008*1500)=54.0Ῡ i=53.79+(0.0008*4000)=56.0Ῡ i=53.79+(0.0008*3000)=56.2Ῡ i=53.79+(0.0008*5000)=57.8Ῡ i=53.79+(0.0008*2500)=55.8Ῡ i=53.79+(0.0008*4500)=57.4

Ejercicio II

Datos original EstimaciónÁrea de la terreno

(mts)2Costo construcción

(bs) Yest Y-Yest

1 2000 41.20 55.4 -14.1

2 1500 45.50 54.0 -8.5

3 4000 54.10 56.0 -1.9

4 3000 50.05 56.2 -6.6

5 5000 63.40 57.8 5.6

6 2500 90.40 55.8 34.6

7 4500 85.70 57.4 28.3

Igualmente puede observarse que en la estimación la mitad de los datos calculados están muy cercanos al dato observado

Ejercicio II

23.143013

91.90264

Vtotal=143013.223

Vnexp=30920.61

Vexp= 90264.91

= r2 = =0.631 r2=0.631

Ejercicio II

Gracias