Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
doc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. Katedra stavební mechaniky
Pružnost a
plasticita II 3. ročník bakalářského studia
1
Winklerův model podloží
Emil Winkler
1835-1888
yxwCyxp ,,
p(x,y) ... reakce podloží [kN.m-2]
C ... modul stlačitelnosti podkladu [kN.m-3]
w(x,y) ... přetvoření základové konstrukce [m]
p(x,y)
q(x,y)
q(x,y)
q(x,y) ... plošné zatížení na základ [kN.m-2]
3 www.fast.vsb.cz
Winklerův model podloží
EI
xqxw
EI
bC
x
xw
4
4
d
d
b ... šířka základu [m]
EI … konst.
Schwedlerovy vztahy
2
2
d
d
x
xwEIxM
x
xwx
d
d
?xw
3
3
d
d
x
xwEIxV
4
4
d
d
x
xwEIxq
Pro pružné podloží 4
4
d
d
x
xwEIxpxq
byxpxp ,
4 www.fast.vsb.cz
Metoda sítí (metoda konečných diferencí)
x
yy
x
yy
x
yy
x
y iiiiii
i
2d
d 1111
11 iiii xxxxx 112 ii xxx
2
11
11
2
2 2
d
d
x
yyy
x
x
yy
x
yy
x
y iii
iiii
i
3
21122
21
2
12
2
1
2
2
1
2
3
3
2
22
2
22
2
d
d
d
d
d
d
x
yyyy
x
x
yyy
x
yyy
x
x
y
x
y
x
y iiii
iiiiiiii
i
4
2112
2
2
21
2
11
2
12
2
1
2
2
2
2
1
2
2
4
4
464
22.2
2
d
d
d
d2
d
d
d
d
x
yyyyy
x
x
yyy
x
yyy
x
yyy
x
x
y
x
y
x
y
x
y
iiiii
iiiiiiiii
iii
i
1.
2.
3.
4.
5 www.fast.vsb.cz
Teoretické řešení základového pásu
EI
xqw
EI
bC
x
wwwwwi
iiiii
4
2112 464
EI
xqxw
EI
bC
x
xw
4
4
d
d
2
2
d
d
x
xwEIxM
3
3
d
d
x
xwEIxV
Výpočet průhybu
Výpočet vnitřních sil
2
11 2
x
yyyEIM iii
i
3
2112
2
22
x
yyyyEIV iiii
i
6 www.fast.vsb.cz
Zadání příkladu
Statické schéma:
l = 6 m
F = 1000 kN
Řez pásem
b = 1 m
h = 0,5 m E = 2.104 MPa
C = 36 MPa.m-1 = 36000 kN.m-3
Materiálové charakteristiky
7 www.fast.vsb.cz
Rozdělení na diference
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2
8 www.fast.vsb.cz
Sestavení soustavy lineárních rovnic
Bod 0:
EI
xqw
EI
bC
x
wwwww
04
21012 464i = 0 q = 0
0464 210
4
12
www
EI
xbCww
9 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2
EI
xqw
EI
bC
x
wwwwwi
iiiii
4
2112 464
Sestavení soustavy lineárních rovnic
Bod 1:
EI
xqw
EI
bC
x
wwwww
14
10123 464i = 1 q = 0
0464 101
4
23
www
EI
xbCww
10 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
0 i = 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2
EI
xqw
EI
bC
x
wwwwwi
iiiii
4
2112 464
Sestavení soustavy lineárních rovnic
Bod 2:
EI
xqw
EI
bC
x
wwwww
24
01234 464i = 2 q = 0
0464 012
4
34
www
EI
xbCww
11 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
0 1 i = 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2
EI
xqw
EI
bC
x
wwwwwi
iiiii
4
2112 464
Sestavení soustavy lineárních rovnic
Bod 3:
EI
xqw
EI
bC
x
wwwww
34
12345 464i = 3
0464 123
4
45
www
EI
xbCww
12 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
0 1 2 i = 3 4 5 6 7 8 -1 -2
EI
xqw
EI
bC
x
wwwwwi
iiiii
4
2112 464
x
Fq
Sestavení soustavy lineárních rovnic
Bod 4:
EI
xqw
EI
bC
x
wwwww
44
23456 464i = 4
0464 234
4
56
www
EI
xbCww
13 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
0 1 2 3 i = 4 5 6 7 8 -1 -2
EI
xqw
EI
bC
x
wwwwwi
iiiii
4
2112 464
q = 0
Sestavení soustavy lineárních rovnic
Bod 5:
EI
xqw
EI
bC
x
wwwww
54
34567 464i = 5
0464 345
4
67
www
EI
xbCww
14 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
0 1 2 3 4 i = 5 6 7 8 -1 -2
EI
xqw
EI
bC
x
wwwwwi
iiiii
4
2112 464
q = 0
Sestavení soustavy lineárních rovnic
Bod 6:
EI
xqw
EI
bC
x
wwwww
64
45678 464i = 6
0464 456
4
78
www
EI
xbCww
15 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
0 1 2 3 4 5 i = 6 7 8 -1 -2
EI
xqw
EI
bC
x
wwwwwi
iiiii
4
2112 464
q = 0
Soustava lineárních rovnic
0464 456
4
78
www
EI
xbCww
0464 345
4
67
www
EI
xbCww
0464 234
4
56
www
EI
xbCww
EIx
xFwww
EI
xbCww
4
123
4
45 464
0464 012
4
34
www
EI
xbCww
0464 101
4
23
www
EI
xbCww
0464 210
4
12
www
EI
xbCwwBod 0:
Bod 1:
Bod 2:
Bod 3:
Bod 4:
Bod 5:
Bod 6:
7 rovnic / 11
neznámých
Nutno
sestavit 4
okrajové
podmínky
16 www.fast.vsb.cz
Okrajové podmínky
1012
1010 20
2www
x
wwwEIM
01223
210120
3
21120
4402
222
2
22
wwwwx
wwwwwEIV
x
wwwwEIV
17 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2
Bod 0:
i = 0
02
2
11
x
wwwEIM iii
i 02
223
2112
x
wwwwEIV iiii
i
Okrajové podmínky
5672
5676 20
2www
x
wwwEIM
65483
455686
3
45786
4402
222
2
22
wwwwx
wwwwwEIV
x
wwwwEIV
18 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
0 1 2 3 4 5 i = 6 7 8 -1 -2
Bod 6:
i = 6
02
2
11
x
wwwEIM iii
i 02
223
2112
x
wwwwEIV iiii
i
Výsledná soustava
lineárních rovnic
0242 456
4
www
EI
xbC
0452 345
4
6
www
EI
xbCw
0254 01
4
23
ww
EI
xbCww
0242 0
4
12
w
EI
xbCww
7 rovnic / 7
neznámých
Kořeny soustavy
– průhyb v
bodech
0 až 6
101 2 www
0122 44 wwww
567 2 www
6548 44 wwww
Z okrajových
podmínek
19 www.fast.vsb.cz
Bod 0:
Bod 1:
Bod 2:
Bod 3:
Bod 4:
Bod 5:
Bod 6:
0464 012
4
34
www
EI
xbCww
EIx
xFwww
EI
xbCww
4
123
4
45 464
0464 234
4
56
www
EI
xbCww
Maticový zápis soustavy lineárních rovnic
0
0
0
0
0
0
2420000
2541000
1464100
0146410
0014641
0001452
0000242
4
6
5
4
3
2
1
0
4
4
4
4
4
4
4
EIx
xF
w
w
w
w
w
w
w
EI
xbC
EI
xbC
EI
xbC
EI
xbC
EI
xbC
EI
xbC
EI
xbC
20 www.fast.vsb.cz
Příklad: nosník na pružném podkladu,
sestavení a řešení lineárních rovnic
21 www.fast.vsb.cz
Kořeny w [m]
1,3740E-03 w0
3,6945E-03 w1
5,8963E-03 w2
7,2222E-03 w3
5,8963E-03 w4
3,6945E-03 w5
1,3740E-03 w6
bod w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6 PS
0 2,1728 -4,0000 2,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 -2,0000 5,1728 -4,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 1,0000 -4,0000 6,1728 -4,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000
3 0,0000 1,0000 -4,0000 6,1728 -4,0000 1,0000 0,0000 0,0048
4 0,0000 0,0000 1,0000 -4,0000 6,1728 -4,0000 1,0000 0,0000
5 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 -4,0000 5,1728 -2,0000 0,0000
6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2,0000 -4,0000 2,1728 0,0000
Výpočet reakcí Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
0 1 2 3 4 5 6
iQ iQ iQ
06
0
i
iiz QFlpFR
22 www.fast.vsb.cz
yxwCyxp ,, byxpxp ,
ii wbCp … reakce podloží [kN/m]
xpQ ii … reakce v uzlech 1..5 [kN]
2
xpQ ii
… reakce v krajních uzlech 0 a 6 [kN]
Výpočet vnitřních sil
2
11 2
x
wwwEIM iii
i
3
2112
2
22
x
wwwwEIV iiii
i
21
1 1
lxFxxQM i
i
j
Qiji j
2
lxi
FQVi
j
ji 1
2
lxi
2. podle principů
statiky 23 www.fast.vsb.cz
Statické schéma
l = 6 m
F = 1000 kN
x = 1 m x x x x x
0 1 2 3 4 5 6
jQ jQ jQ
1. podle diferenčních
vztahů
Příklad: nosník na pružném podkladu,
výpočet reakcí a složek vnitřních sil
24 www.fast.vsb.cz
xQi [m] xi [m]
p0 49,4649 Q0 24,7325 0,2500 0,0000
p1 133,0022 Q1 133,0022 1,0000 1,0000
p2 212,2658 Q2 212,2658 2,0000 2,0000
p3 259,9990 Q3 259,9990 3,0000 3,0000
p4 212,2658 Q4 212,2658 4,0000 4,0000
p5 133,0022 Q5 133,0022 5,0000 5,0000
p6 49,4649 Q6 24,7325 5,7500 6,0000
S 1000,0000
Reakce Qi [kN]pi [kN/m]
V iL [kN] V iP [kN]
M0 0,0000 V0 0,0000
M1 18,5494 V1 91,2336
M2 176,2841 V2 263,8676
M3 546,2846 V3 500,0000 -500,0000
M4 176,2841 V4 -263,8676
M5 18,5494 V5 -91,2336
M6 0,0000 V6 0,0000
M i [kNm]
Podle principů statiky
M0 0,0000 V0 0,0000
M1 24,7325 V1 91,2336
M2 182,4672 V2 263,8676
M3 552,4677 V3 0,0000
M4 182,4672 V4 -263,8676
M5 24,7325 V5 -91,2336
M6 0,0000 V6 0,0000
M i [kNm]
Pomocí diferenčních vztahů
V i [kN]
Numericky: