Prva kosmička brzina

Prva kosmička brzina

Prva kosmička brzina je brzina koju je potrebno dati objektu,

zanemarujući otpor vazduha, tako da objekt može ostati u kružnojorbiti s

radijusom jednakim radijusu planete. Drugim riječima, to je najmanja brzina pri

kojoj objekt ostaje u kružnoj orbiti tangencijalnojna površinu planete a da ne

padne na nju.

Za proračun prve kosmičke brzine potrebno je

razmotriticentrifugalnu i centripetalnu silu koje djeluju na objekt.

gdje je m — masa objekta, M — masa planete, G — gravitaciona

konstanta−11 m³·Kg−1·s−2), — prva kosmička brzina, R — radijus planete. Na

Zemlji, M = 5,97·1024 Kg, R = 6 378 000 m), nalazimo(6,67259·10

7,9 Km/s

Prvu kosmičku brzinu je moguće odrediti i iz ubrzanja slobodnog

pada:g = GM/R², i dobijamo

Objavio/la fizikamina u 16:56, 0 komentar(a), print, #

16.10.2009.

O kosmickim brzinama

Svi smo vec culi kako se iznad nasih glava nalaze kojekakvi vjestacki sateliti,

hidrometeoroloski, telekomunikacioni, vojni i sl. Postoje stacionarni koji se

nalaze stalno iznad iste tacke na Zemlji jer se krecu istom brzinom kao i Zemlja

i nestacionarni koji zavisno od potrebe kruze oko planete Zemlje od jedne do

druge tacke i snimaju ono sto nas na Zemlji interesuje. Malo toga znamo o

tome kako oni to kruze i kako su dospjeli tamo.

Posto se gravitaciono polje Zemlje teoretski proteze u beskonacnost tako i na

satelite kao i na ostala tijela na i oko Zemlje djeluje isto gravitaciono polje.

Princip kruzenja satelita oko Zemlje samim tim i Mjeseca, a koji vazi za bilo koji

svemirski objekat kao sto je Sunce, zvijezde,... zasniva se na principu

horizontalnog hica kao sto je kamen, koji pada, ali nikada ne padne nego

pocinje da kruzi zbog zakona o konzervaciji (ocuvanju) energije. To vazi za

odredjenu brzinu. Posmatracemo sada primjer Zemlje i njenih satelita. Da bi se

neko tijelo kretalo po kruznoj putanji oko Zemlje mora imati tacno odredjenu

brzinu za datu visinu na kojoj se to tijelo nalazi. Tako npr. prvi Zemljin vjestacki

satelit Sputnjik I (SSSR), koji je lansiran 04.10.1957.g., mase 83,6 kg na visinu

od 900 km je morao da se krece brzinom od oko 7,4 km/s. Kad bi se kretao

svakom brzinom manjom od te pao bi na Zemlju. Ova brzina se naziva Prva

kosmicka brzina za datu visinu, a to je ona minimalna brzina kojom se moraju

kretati tijela da ne bi pala na Zemlju vec da postanu njeni sateliti i da kruze oko

nje. Da kazemo jos par stvari vezanih za ovu kosmicku brzinu. Ova kosmicka

brzina zavisi od visine jer se sa porastom visine smanjuje jacina gravitacionog

djelovanja Zemlje tako da nam je potrebna manja brzina da savladamo ovo

djelovanje. Ako bi tijelo imalo vecu brzinu od Prve kosmicke brzine tijelo se

vise ne bi kretalo po kruznici nego bi njegova putanja poprimila izgled elipse u

cijoj se jednoj zizi nalazi Zemlja. Ako bi brzina bila jos veca izgled putanje bi

poprimao oblik parabole, a zatim hiperbole dok bi pri odredjenim mnogo vecim

brzinama izasao iz Zemljine orbite i ne bi vise bio njen satelit.

Tijelo kada dobije minimalnu brzinu od 11,2 km/s prestaje biti Zemljin satelit i

izlazi iz njegove orbite. Medjutim, to tijelo nece nastaviti da se krece

pravolinijski nego ce poceti da se krece po elipsi oko Sunca i time postati

Suncev satelit. Ovo je minimalna brzina da se tijelo oslobodi uticaja Zemljinog

gravitacionog polja i da njegovo kretanje zavisi samo od Suncevog

gravitacionog polja i naziva se Druga kosmicka brzina. Moramo imati na umu

da je tijelo i kad se kretalo oko Zemlje bilo pod uticajem Suncevog

gravitacionog polja, ali nije igralo toliku ulogu jer je Zemljino polje bilo jace.

Ako bi brzina tijela bila veca od ove Druge kosmicke brzine onda bi se tijelo

kretalo po slicnom principu kao i oko Zemlje, dakle po paraboli pa po hiperboli

da bi se na kraju pri odredjenoj brzini oslobodilo Suncevog gravitacionog

polja.

Da bi tijelo prestalo biti Suncev satelit i napustilo nas Suncev sistem i postalo

satelit centra nase galaksije po imenu Mlijecni put mora imati brzinu od oko

16,2 km/s. Ova minimalna brzina koju mora imati tijelo naziva se Treca

kosmicka brzina.

Cetvrtom kosmickom brzinom se naziva ona brzina kojom moramo lansirati

tijelo da bi izaslo izvan nase galaksije i iznosi oko 290 km/s.

Ono sto je zanimljivo je to da brzina Sunca oko centra Mlijecnog puta iznosi

oko 285 km/s i nalazi se negdje na periferiji kruznog diska kakav oblik ima

Mlijecni put. Srednja brzina Zemlje oko Sunca iznosi oko 30 km/s, a radi

usporedbe to je oko 100 puta brze od brzine zvuka. Zamislite samo koje su to

brzine.

Ovdje smo naveli neke zakonitosti koje vladaju oko nas, navescu ovdje samo

jos jedan primjer skladnosti Allahovog uredjenja svemira. Naucnici kada su

otkrili odredjene zakone vezane za gravitaciju i svemir provjerili su sva svoja

dotadasnja mjerenja i uocili da se rezultati ne poklapaju, odnosno da bi trebalo

da postoji jos jedna planeta u ovom nasem Suncevom sistemu. Izvrsili su

potrebne proracune i uperili teleskope prema mjestu proracuna. Nakon

odredjenog vremena posmatranja uocili su 1929.g. malu planetu koju mi danas

znamo kao Pluton (engl. Pluto). To je jedna vrlo mala planeta koja je udaljena

od Sunca oko 5,9 milijardi km (oko 39 puta dalja nego Zemlja) i potpuno se

okrene oko Sunca za oko 248 Zemaljskih godina, a njen precnik nije ni koliko

pola Zemljinog. Masa joj je oko 10 puta manja od Zemljine.

Horizontalni hitac

Kretanje tijela koje nastaje kada se ono baci sa neke visine početnom brzinom

u horizontalnom pravcu. Ovo kretanje može se razložiti na dvakretanja :

ravnomerno pravolinijsko duž

horizontalnog pravca i

ravnomerno ubrzano duž vertikalnog pravca.

Odgovarajuće jednačine :

x = v0t

y = h - gt2 / 2

vx = v0

vy = gt

x i y su koordinate tela u trenutku t, h je

visina

sa koje je bačeno telo, v0

je početna brzina tela usmerena u pravcu x

ose.

Treba znati da se jednačine mogu upotrebiti

u slučaju da se kretanje vrši blizu zemljine

površine i da je sila otpora vazduha

zanemarljivo mala.

RAVNOMJERNO PRAVOLINIJSKO KRETANJE I HORIZONTALNI HITAC

Kosi hitac

Kosi hitac je složeno gibanje koje se može podijeliti na dva

nezavisna gibanja, vertikalno i horizontalno. Dok je

komponenta horizontalnog gibanja ista cijelo vrijeme tokom

gibanja, vertikalna komponenta se smanjauje za gt zbog

gravitacijske sile koja vuće kuglu prema dolje (slobodni

pad).

Tijelo je bačeno u kosom smjeru brzinom v0, Početnu

brzinu rastavimo na horizontalnu komponentu v0x i

vertikalnu komponentu v0y. Vidite da je os ordinata

usmjerena prema gore što je obrnuto od smjera

akceleracije sile teže. To treba paziti kad se bude unosilo

u formulu. Akceleracija sila teže ne utječe na horizontalnu

komponentu. Horizontalna komponenta u bilo kojem

trenutku t ostaje nepromjenjena i iznosi

vx = v0x

Zato se u horizontalnom smjeru tijelo giba jednoliko po

pravcu brzinom v0x

x = v0xt

U vertikalnom smjeru tijelo se giba stalnom akceleracijom.

Na vertikalnu komponentu primjenit ćemo formulu za

jednoliko ubrzano gibanje.

v = v0 + at

s = v0 t + ½ at2

v0 je početna brzina pri gibanju duž pravca, a je

akceleracija. Za početnu brzinu v0 uvrštavamo vertikalnu

komponentu početne brzine. Umjesto s uvest ćemo

vertikalnu kordinatu y tijela u trenutku t, a za v uvrstit

ćemo vy vertikalnu komponentu brzine u trenutku t, a=-g.

Sada dobivamo sljedeće formule:

vy = v0y – gt

y = v0yt – ½gt2

Iz ovih izraza se može izračunati izraz za putanju tijekom

kosog hitca. To je parabula ao jednadžba je:

α - kut elevacije

- početna brzinad – dometh - maksimalna visinat - vrijeme leta

U vodoravnom smjeru gibanje je jednoliko, a u okomitom

ubrzano s akceleracijom .

Kosi hitac je kretanje koje se sastoji od jednolikog kretanja brzinom V0 po pravcu koji zatvara neki ugao α osom x i slobodnog pada.Sljedeće formule opisuju kosi hitac:

smjeru x ose

smjeru y ose

prijeđeni put u smjeru ose

prijeđeni put u smjeru ose

potrebno da

postigne najvišu tačku

postignuta

Domet zavisi o uglu pod kojim je tijelo bačeno. Najveći mogući domet je za ugao od 45o. (Hitac broj 2 na slici.) Za uglove različite od

domet se smanjuje.

UGAO >45 o UGAO=45 o UGAO<45 o


09.10.2009.

Slobodan pad

Slobodni pad je jednoliko ubrzano

pravocrtno gibanje tijela bez početne

brzine, uzrokovano djelovanjem Zemljine

privlačne sile ili ti sile teže, kao i pojava

težine tijela. Pri tome tijelo pri padu uz

stalnu akceleraciju prevaljuje

sve veći put, jer je brzina pada sve veća.

Kao iznos ubrzanja uzima se ubrzanje

gravitacijske sile i iznosi ~9,81 m/s2. Pri

tome se za izračunavanje ostalih fizikalnih

veličina koriste formule za jednoliko

ubrzano gibanje.

U slobodnom padu visina s koje tijelo pada

se označava sa h, akceleracija sa g, vrijeme

sa t, a brzina sa v.Oznaka h, tu označava

dakle put koji tijelo prevaljuje pri padanju.

Za brzinu se uzima iznos srednje ili

prosječne brzine:

iz čega se može izračunati visina:

Zbog Zemljine rotacije ona je sferoidnog

oblika, tj. spljoštena na polovima. Zbog

toga što je djelovanje sile teže manje

(zanemarivo manje) na većim udaljenostima

od središta Zemlje gravitacijska sila je

veća na ekvatoru nego na polovima. Uz to

ovisno o geografskoj širini i dužini

gravitacijska sila je različita čak i za

pojedine djelove većih gradova.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/Free-fall.gif


04.10.2009.

TEZINA TIJELA

Pod dejstvom Zemljine teže sva tela pritiskaju

podlogu koja ih sprečava da padaju, zatežu

konac o koji su obešene i slično.

Sila kojom telo, pod dejstvom Zemljine teže,

deluje na horizontalnu podlogu ili zateže konac

o koji je obešeno naziva se težina tela.

Treba razlikovati težinu tela od sile Zemljine

teže.

Sila teže i težina tela imaju isti intenzitet, pravac

i smer ali nemaju istu napadnu tačku. Napadna

tačka sile teže nalazi se u tački tela koja se

naziva težište ( na slici tačka S) dok težina tela

deluje na tačku oslonca ili vešanja.

Težina tela je fizička veličina, najčešće se

obeležava sa Q.

Jedinica za težinu u Medjunarodnom sistemu

jedinica jeste Njutn (N).

Jačina gravitacionog polja Zemlje je:

To znači da Zemlja na telo mase 1kg deluje

silom intenziteta:

Težina tela je jednaka intenzitetu ove sile:

Težina tela u jednoj tački gravitacionog polja

Zemlje jednaka je proizvodu mase tela i jačine

gravitacionog polja na posmatranom mestu, a

usmerena je ka centru Zemlje.

Masa i težina

MASA je svojstvo svakog tijela koje određuje

njegovo ponašanje pri djelovanju sile: što je

masa tijela veća, ono je tromije i to ga je teže

ubrzati ili usporiti, tj. promijeniti mu stanje

gibanja.

Tijelo se opire promjeni stanja svoga gibanja.

Svojstvo tijela da održava svoje stanje gibanja

(odnosno,u posebnom slučaju, mirovanja)

zovemo ustrajnost, tromost ili inercija. Masa je

kvantitativna mjera tromosti tijela.

Masa nekog tijela ovisi o njegovu volumenu V i

o materijalu od kojega je tijelo napravljeno, tj. o

gustoći materijala ρ:

m=V·ρ

Na svako tijelo koje se nalazi na Zemljinoj

površini djeluje privlačna sila vertikalno prema

dolje koju nazivamo SILA TEŽE. Pod

djelovanjem sile teže sva tijela padaju na

Zemlju ili pritišću njezinu podlogu.

TEŽINA tijela je sila kojom tijelo zbog Zemljina

privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili

ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno

ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s

obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom

jednaka sili teži.

Težina tijela G je razmjerna masi tijela:

G<


04.10.2009.

SILA ZEMLJINE TEŽE

Zemlja privlači sva tijela koja se nalaze na njoj

ili u njenoj blizini. Privlačnu silu Zemlje

nazivamo Zemljina teža.

Ova sila nije ništa drugo nego gravitaciona sila

kojom se medjusobno privlače Zemlja i druga

tijela, medjutim sva tela sa kojima se srećemo

imaju zanemarljivu malu masu u odnosu na

Zemlju tako da se umesto "uzajamno

privlačenje" češće kaže "Zemlja privlači tijela" tj.

"na tijela djeluje sila teže". Na osnovu definicije

gravitacione sile, zaključujemo da za silu

Zemljine teže važi sledeće:

Jačina Zemljine teže utoliko je veća ukoliko je

veća masa tela koje Zemlja privlači.

Sila Zemljine teže se smanjuje pri udaljavanju

od Zemlje.

Na osnovu ovoga moglo bi se pomisliti da će se

sa prodiranjem ka centru Zemlje povećavati

intenzitet sile teže (a samim tim i težine tela).

Medjutim, dešava se obrnuto. Ukoliko je telo na

većoj dubini u Zemlji, sila Zemljine teže (kao i

težina tela) je sve manja. To se dešava jer njega

ne privlači samo onaj deo Zemlje koji je ispod

njega već i onaj iznad njega. Kada bi se telo

našlo u središtu Zemlje bilo bi u bestežinskom

stanju, jer bi tada na njega delovale jednake

privlačne sile.

Dakle, Zemljina teža je najveća na površini

Zemlje.

U prostoru oko Zemlje (kao i svih drugih tela)

postoji gravitaciono polje. Posredstvom tog polja

Zemlja privlači tela, koja se u njemu nalaze.

Jačina gravitacionog polja je vektorska

veličina. Intenzitet gravitacionog polja brojno je

jednak intenzitetu sile kojom Zemlja deluje na

telo jedinične mase:

Pravci vektora gravitacionog polja u bilo kojoj

tački poklapaju se sa pravcem koji prolazi kroz

centar Zemlje.

Smer vektora gravitacionog polja je ka centru

Zemlje.

Gravitaciono polje Zemlje u bilo kojoj tački

postoji, bez obzira na to da li se u toj tački

nalazi ili ne nalazi neko drugo telo.

Intenzitet gravitacionog polja ne zavisi od toga

kolika je masa stavljena u datu tačku polja.

Merna jedinica intenziteta vektora jačine

gravitacionog polja je:

Podudaranje ove jedinice sa jedinicom za

ubrzanje možemo objasniti pomoću drugog

Njutnovog zakona.

Ako se u neku tačku polja postavi telo mase ,

onda će na to telo delovati sila Zemljine teže:

koja ima isti pravac i smer kao i gravitaciono

polje u toj tački.

Zemlja je malo spljoštena na polovima pa jačina

Zemljine teže veća na polovima nego na

ekvatoru.

Prema drugom Njutnovom zakonu sila koja

deluje na telo je jednaka proizvodu mase i

ubrzanja tj. F=ma. To znači da je intenzitet

gravitacionog polja Zemlje brojno jednak

ubrzanju koje telo dobija usled privlačne sile

Zemlje. To se ubrzanje naziva ubrzanje

Zemljine teže i najčešće se obeležava sa g.

Ubrzanje Zemljine teže, kao i intenzitet

gravitacionog polja, različito je na različitim

udaljenostima od centra Zemlje. Ali, na

odredjenom mestu ubrzanje Zemljine teže ne

zavisi od mase tela na tom mestu.

Intenzitet ubrzanja tijela koje slobodno pada na

Zemljuna geografskoj širini od 45°, približno

iznosi:

Često se ova vrednost u izračunavanjima

zaokružuje na 10 .

SILA TEŽE I TEŽINA Kada držimo kamen u

ruci,osjećamo da on potiskuje ruku ili je vuče

naniže.Kažemo da kamen ima izvjesnu težinu.Odakle

tijelima težina?Zemlja privlači sva tijela koja se

nalaze oko nje.Sila kojom Zemlja privlači tijelo zove

se sila teže. Saznali smo da pod uticajem sile

Zemljine teže,tijela dobivaju ubrzanje g.Prema

2.Newtonovom zakonu jačina sile Zemljine teže je,F=ma,F=mg. Obilježava se

obično slovom Fg ili G. Vektor sile teže usmjeren je vertikalno prema Zemlji.

Sila teže brojno je jednaka proizvodu mase tijela i ubrzanja sile Zemljine teže.

G=m *g U svakodnevnoj praksi se češče koristi termin težina tijela.Međutim u

značenju tog termina u svijetu nije postignut dogovor.Stara definicija:težina

tijela je sila kojom Zemlja privlači tijelo jednaka je definiciji sile teže i koristi se

u zapadnim zemljama.U ruskim udžbenicima preovladava definicija:težina tijela

je sila kojom tijelo pritiskuje podlogu na kojoj leži ili tačku vješanja na kojoj je

okačeno.U jednostavnijim statičkim primjerima iznos težine je jednak mg

prema obje definicije.U složenijim situacijama nije Da ne bi bilo

pomutnje,termin težina tijela koristit ćemo samo u jednostavnijim,statičkim

primjerima(kada podloga na kojoj se nalazi tijelo miruje ili se kreće

ravnomjerno).U tom slučaju kažemo da je težina tijela sila kojom Zemlja privlači

tijelo. Primjer: Kolika je težina tijela mase 1 kg?Tijelo miruje na horizontalnoj

podlozi. Rješenje:Težina tijela je G=mg=1kg*9,81 m/s2 ; G=9,81 N Tijelo mase 1

kg ima težinu 9,81 N

ELASTIČNA SILA.DINAMOMETAR Elastična sila je sila koju možemo mjeriti na

osnovu efekta kojeg ona proizvodi.Za mjerenje sile najčešče se koristi

dinamometar sa elastičnom oprugom.Opruga mora imati svojstvo da se na

poslije prestanka djelovanja spoljašnje sile vraća u prvobitan položaj. Pri

istezanju(ili sabijanju) opruge spoljašnjom silom F u opruzi se javlja sila

subrotnog smjera kao sila reakcije na spoljašnju silu.Ta sila se zove elastična

sila Fel .Ona je uvijek orijentisana prema ravnotežnom položaju i njen iznos je

Fel=-k*x Gdje je X-veličina istezanja opruge, k-krutost opruge. Znak ˛-˛

pokazuje da elastična sila i istezanje imaju suprotan smjer.


02.10.2009.

Newtonov zakon gravitacije

Isak Njutn je otkrio zakon gravitacije kad mu je

pala jabuka na glavu dok je spavao.

F=γ*m1*m2/r*r

γ je gravitaciona konstanta

m1 je masa prvog tela

m2 je masa drugog tela

r je međusobno rastojanje dva tela

Newtonov zakon gravitacije je prirodni

zakon koji opisuje pojavu općeg privlačenja

među svim tijelima u svemiru. Smatra se

``najveličanstvenijim poopćenjem koje je

ikad učinio ljudski um'': ista ona sila, koja

privlači poslovičnu Newtonovu jabuku tlu,

održava Mjesec u njegovoj putanji oko

Zemlje i planete u njihovim putanjama oko

Sunca (a danas je jasno da se to privlačenje

prostire i dalje, u međuzvjezdana i

međugalaktička prostranstva).

Pretpostavljajući važenje prvih dvaju

Keplerovih zakona, Newton u Principia

pokazuje da iz njih slijedi da dva tijela

djeluju jedno na drugo silom koja je

proporcionalna umnošku njihovih masa, a

obrnuto proporcionalna kvadratu njihove

međusobne udaljenosti:

F = G ,

F je intenzitet sile

G je gravitaciona konstanta,G = (66, 73 0, 03) . 10-12 m3/(kg . s2)

m1 je masa prvog tjjela

m2 je masa drugog tijela

r je međusobno rastojanje dva tijela

Gravitacijska je sila razmjerno slaba (omjer

električnog odbijanja i gravitacijskog

privlačenja dvaju elektrona je 4, 17 . 1042)

-- težina je tijela zamjetna zato što je

masa Zemlje velika. Težina tijela mase m

na površini Zemlje bit će T = G , gdje je

M masa Zemlje, a R njen `polumjer'; kako

Zemlja nije kugla nego, približno, spljošteni

rotacijski elipsoid (tzv. geoid), R, a time i

T, ovise o položaju na njenoj površini. Iz T

= mgg = ; slijedi da je gravitacijsko ubrzanje njegova vrijednost varira

od

g = 9, 781 m/s2 na ekvatoru do g = 9,

833 m/s2 na polovima.


02.10.2009.

Treci Newtonov zakon - zakon akcije i reakcije

Svakom djelovanju postoji uvijek suprotno i

jednako protudjelovanje, odnosno djelovanja

dvaju tijela jedno na drugo su jednaka i

suprotnog smjera - m1a1=m2a2.

Treći Newtonov zakon kaže da taj stol

djeluje na taj predmet silom istog iznosa,

mg, ali suprotnog smjera. Tj. predmet

osjeća silu kojom ga gura stol.

Isto tako, kada ti guraš neki predmet silom

F (savladavajući npr. trenje s predmeta s

podlogom), istovremeno ti osjećaš silu F, ali

suprotnog smjera. Ovdje je bitno primijetiti

da te dvije sile ne djeluju na predmet, već

jedna na tijelo, a druga na tebe.

Prema tome, nema razloga da se tijelo ne

miče.

Sile koje djeluju na neko tijelo, potjecu iz

okoline tog tijela. Treci Newtonov zakon

govori o interakciji ili međudjelovanju tijela

i njegove okoline. Ako tijelo A djeluje na

tijelo B, tada i tijelo B djeluje na tijelo A

jednako velikom silom po iznosu, ali

suprotnog smjera.

Prvu silu zovema sila akcije a drugu sila

reakcije, pa je:

SILA AKCIJE = -SILA REAKCIJE

Ako dva tijela međusobno djeluju silama,

tada te dvije sile djeluju duž jednog pravca,

imaju hvatišta u suprotnim tijelima, jednake

su po iznosu ali im je smjer suprotan.

Sila teža

Silu kojom Zemlja privlači neko tijelo

nazivamo silom težom. Na osnovu drugog

Newtonovog zakona možemo ju prikazati

kao: Fg = m·g. Ovdje je g akceleracija sile

teže i ona ovisi o visini iznad površine

Zemlje kao i o geografskoj širini. Za našu

geografsku širinu uzimamo da je g = 9.81

ms-2. Ponekad se može uzeti njezina

približna vrijednost g = 10 ms-2. Ovo

vrijedi samo u slučaju kada se otpor zraka

može zanemariti. Sila teža ima hvatište u

tijelu, točnije, u njegovom težištu.

Težina tijela

Težina tijela je sila kojom tijelo, u

okomitom smjeru, djeluje na podlogu na

kojoj se nalazi. Ukoliko je tijelo pomoću niti

ovješeno, onda je njegova težina jednaka

sili kojom, u okomitom smjeru, tijelo djeluje

na ovjes. Dok sila teža ima hvatište u

tijelu, težina ima hvatište izvan tijela: u

podlozi ili ovjesu. Težinu tijela najčešće

označavamo sa G.

Iz ove slike vidimo razliku između sile teže i

težine. Iako su im u ovom slučaju iznosi

isti, radi se o različitim silama: sila teža

ima hvatište u tijelu a težina u podlozi,

odnosno ovjesu.

Ako se tijelo nalazi na kosini, odnosno ako

je nit otklonjena od vertikalnog položaja,

onda ni iznosi ovih sila nisu jednaki.

U slučaju (a) tijelo se nalazi na

horizontalnoj podlozi, a u slučaju (b)

podloga je vertikalna i tijelo slobodno pada.

U stanju slobodnog pada tijelo nema težine

i govorimo o beztežinskom stanju.

Sila trenja

Ako se dva tijela dodiruju a jedno od njih

nastojimo pokrenuti, između dodirnih

površina javlja se sila koju nazivamo sila

trenja, Ft. Ona ima smjer suprotan od

vučne sile Fv. Dok se tijelo ne pokrene, tu

silu nazivamo statičkim trenjem. Kada je

vučna sila postala jednaka najvećoj sili

statičkog trenja, tijelo se pokrene i njegovo

je gibanje jednoliko jer je ukupna sila

jednaka nuli. Sada govorimo o dinamičkom

trenju. Ako vučna sila postane veća od

najveće sile dinamičkog trenja, tijelo se

giba jednoliko ubrzano. U posljednja je dva

slučaja sila trenja suprotna brzini tijela.

Ako vučna sila prestane djelovati, tijelo se,

zbog djelovanja sile trenja giba jednoliko

usporeno sve dok se ne zaustavi.

U posljednjem je slučaju predznak

akceleracije negativan, a to znači da je

smjer akceleracije suprotan smjeru brzine i

gibanje je jednoliko usporeno.

Sila trenja između dvaju tijela koja su u

dodiru ovisi o vrsti materijala i sili kojom

podloga, u okomitom smjeru, djeluje na

tijelo. Faktor trenja, µ, ovisi o vrsti

materijala. Sila trenja ne ovisi o veličini

dodirnih površina.

Kao i uvijek u dinamici, prva je zadaća

odrediti koje sve sile djeluju na tijelao,

zatim odrediti rezultantu tih sila i konačno,

primjenom osnovnog zakona gibanja,

akceleraciju.

U primjeru na slici, na tijelo djeluju vučna

sila, Fv, sila trenja, Ft, sila teža, Fg i

reakcija podloge, N.

Prema trećem Newtonov zakonu je N = G.

Kako je u ovom slučaju G = mg, to je i N =

Fg. To znači da se tijelo u vertikalnom

smjeru ne giba. U horizontalnom smjeru je

rezultantna sila jednaka Fv - Ft pa je

akceleracija tijela jednaka:


30.09.2009.

Indijski matematičari i diferencijalni račun

Dva britanska istraživača suprostavila su se

konvencionalnom konceptu historijskog razvoja

matematike, s obzirom da su u mjesecu junu objavili vijest

o tome da imaju dokaze da je beskonačni niz, jedan od

glavnih koncepata diferencijalnog računa, razvio indijski

matematičar još u 14 stoljeću.

Oni također vjeruju da mogu detaljno objasniti i pokazati

kako su ovi zapisi došli do Isaaca Newtona i Gottfrieda Wilhelma Leibniza

kojima se pripisije otkriće diferencijalnog računa i to 250 godina kasnije.

“Zapisi su nešto drugačiji, ali ih je veoma lako prepoznati onako kako ih mi

danas razumijemo,“ kaže historičar na području matematike, George

Gheverghese Joseph sa Mančesterskog Univerziteta, koji je zajedno sa

Dennisom Almeida-om sa Univerziteta u Ekseteru radio na ovom istraživanju.

Historičari već odavno poznaju radove matematičara iz Kerala, a pogotovo rad

Madhave i njegovih sljedbenika, ali Joseph kaže da do sada niko nije potvrdio

kako su ovi radovi utjecali na matematičare kao što su Newton i Leibniz.

Joseph i Almeida proveli su tri godine na proučavanju drevnih indijskih

tekstova i vatikanske arhive što ih je dovelo do zaključka da su jezuitski

svećenici bili ti koji su prenijeli naučna saznanja iz Indije na tlo zapadne

Europe. Sredinom 16. stoljeća, ovi svećenici su bili misionari u Indiji i tokom

svog boravka su naučili lokalni jezik, što im je omogućilo da šalju detaljne

izvještaje u Europu o razvoju nauke u Indiji.

Osnovni teoremi diferencijalnog racuna

U ovoj tacki navodimo pet teorema (Fermatov,

Rolleov, Lagrangeov, Cauchyjev

i Taylorov) i neke njihove posljedice u kojima

su sadrzane osnove za teorijski

razvoj i prakticnu primjenu diferencijalnog

racuna.

Fermatov teorem:

Neka funkcija f : [a, b] → R u tacki x0 < a,b > ima lokalni∈

ekstrem.

Ako je f derivabilna u tacki x0, onda je f '(x0) = 0.

Rolleov teorem:

Neka je funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna

na intervalu < a,b > . Ako je f(a) = f(b) = 0, onda postoji tacka c

< a,b > takva da je f '(c) = 0.∈

Lagrangeov teorem:

Ako je funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna na

intervalu < a,b >, onda postoji toˇcka c < a,b > takva da je∈

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a).

Primjene diferencijalnog racuna

Neka je I jedan od skupova: segment [a,

b], interval < a,b >, s lijeva

zatvoreni interval [a, b > ili zdesna

zatvoreni interval < a,b]. Ako je

funkcija f : I → R derivabilna na intervalu

< a,b >, onda vrijedi:

a) Funkcija f raste na skupu I onda i samo

onda ako je f(x) ≥ 0 za

svaki x < a,b > . Ako je f(x) > 0 za∈

svaki x < a,b >, onda∈

funkcija f strogo raste na skupu I.

b) Funkcija f pada na skupu I onda i samo

onda ako je f(x) ≤ 0 za

svaki x < a,b > . Ako je f(x) < 0 za∈

svaki x < a,b >, onda∈

funkcija f strogo pada na skupu I.

Documents

Prva kosmička brzina