Prva kragujevačka gimnazija

MATURSKI RAD

Tema: InverzijaPredmet: Geometrija

Učenik: Mentor:Milan Micić Profesor Slavica Jevtić

Kragujevac Jun 2007

1

SADRŽAJ

1. Uvod ...................................................................................................................... 32. Definicije inverzije i opšti pojmovi ....................................................................... 33. Konstrukcije inverznih tačaka:

Lenjirom i šestarom ......................................................................................... 4 Samo šestarom ................................................................................................. 5 Samo lenjirom .................................................................................................. 5

4. Osobine inverzije ................................................................................................... 65. Inverzne slike geometrijskih objekata ................................................................... 86. Invarijante ............................................................................................................ 107. Apolonijevi problemi o dodiru krugova .............................................................. 128. Primene inverzije

Zglobni spojevi .............................................................................................. 14 Zadaci ............................................................................................................. 15

9. Zaključak .............................................................................................................. 1910. Literatura ............................................................................................................. 20

2

Uvod

„Neka ne ulazi onaj ko ne zna geometriju” pisalo je na vratima Platonove Akademije. Naravno, pod tim se nisu podrazumevala samo puka geometrijska znanja, već mogućnost stvaranja ideja i zamišljanja geometrijskih objekata, ali i uopšte – sposobnosti uma da u svemu vidi geometriju. Mudrosti i znanja antičkog doba su kao istinske vredno-sti morale ostati sačuvane. Geometrijska dela ruke prirode, svuda možemo pronaći uz sasvim malo volje, međutim, moramo priznati da čak i kada ne primećujemo geometrij-ske zakonitosti, sami njima težimo kao nečemu najsigurnijem.

Primeri inverzije se u prirodi ne pronalaze često, ali kao relativno mlada metoda ona predstavlja veliku olakšicu u mnogim geometrijskim problemima, pa čak i u proble-mima mehaničke prirode.

Po rečima Roberta Jeitsa (Robert C. Yates) u delu „Kružnice i njihove osobine” iz 1952. godine, geometrijska inverzija je nastala zahvaljujući Jakobu Štajneru („najvećem geometričaru nakon Apolonija“), kada je nagovestio saznanja na ovu temu 1824. godine, ali bez objavljivanja. Ubrzo nakon njega je i Kvitlet iz Belgije (Lambert Adolphe Jacques Quetelet) 1825. izložio neke primere inverzije, dok su nezavisno jedna od drugog, u nekoliko narednih godina, usledila otkrića u tom polji i od strane: Belavitisa iz Italije (Bellavitis Giusto) 1836. godine, zatim Staba i Ingrama u Irskoj (J.W. Stubbs, J.R. Ingram) 1842-3. što je na kraju Kelvinu (Lord Kelvin) 1845. godine donelo veliki uspeh u električnim istraživanjima.

U ovom radu će biti predstavljeni zaključci o geometrijskoj inverziji, do kojih su svi pomenuti matematičari dolazili, a na kraju će biti reči o njenoj primeni kroz zanimlji-ve zadatke i korišćenju u realnom svetu.

Definicija inverzije i opšti pojmovi

Na samom početku definisaćemo jedno preslikavanje koje će, na neki način, pred-stavljati "refleksiju" u odnosu na krug. Prirodno je da takvo preslikavanje ima neka ista svojstva kao i osna refleksija. Naravno, ono neće biti izometrija, ali istaći ćemo sledeća željena zajednička svojstva:

1. Osna refleksija je bijektivno preslikavanje.2. Osna refleksija je involucija.3. Osna refleksija preslikava jednu od oblasti na koju osa te refleksije deli ravan u

drugu.4. Sve invarijantne tačke osne refleksije su na osi te refleksije.5. Ako je X’ slika tačke X u osnoj refleksiji tada je prava XX' normalna na osu te

refleksije.Dakle, preslikavanje koje sada uvodimo trebalo bi da zadovoljava sva ova

svojstva gde bi samo reč osa bila zamenjena rečju krug.

3

Uvedimo najpre oznaku: , gde je O tačka ravni E2.Definicija: Neka je k(O, r) krug ravni E2. Preslikavanje: definisano

sa: pripada polupravoj OX i , naziva se inverzija u odnosu na krug k .

Osnovni pojmovi koje na početku moramo definisati, jer se uvek pojavljuju prilikom korišćenja inverzije, su:

- tačka O: centar ili središte inverzije;- duž r: poluprečnik kruga;- krug k: kružnica inverezije i - veličina : stepen inverzije.

Razlog što smo za domen i kodomen izabrali baš upravo je vezan za svojstvo 1. Najpre, centar O nema svoju sliku jer bi bilo , sto nije moguće. Sa druge strane O nije slika nijedne tačke pa, kako želimo da preslikavanje bude bijektivno, biramo i za kodomen.

Konstrukcije inverznih tačaka

Konstruišimo sliku proizvoljne tačke A u inverziji u odnosu na krug k(O, r).U nastavku će biti predstavljen opis i dokaz konstrukcije na 3 načina: lenjirom i šesta-rom, zatim samo šestarom i samo lenjirom.

1. Lenjirom i šestarom

a) Kada se tačka A nalazi u spoljašnjosti kruga k:Neka je T dodirna tačka tangente iz tačke A na

krug k, i A’ podnožje normale iz te tačke na pravu OX. Dokažimo sada da je tačka A’ slika tačke A u inverziji .

Dokaz: Pravougli trouglovi OTA i OA’T su slični ( ), na osnovu čega je OT:OA’ = OA:OT. Dakle, , pa je zaista .b) Slučaj kada je tačka A u unutrašnjosti kruga k je skoro identičan a kada se kasnije budemo bavili osobinama inverzije biće jasno da se konstrukcija može ižvršiti obrnutim postupkom slučaja a).

4

Slika 1

O

k

rO

k

r

Slika 2

AO

k

A'

T

AO

k

A'

T

Slika 3

A

k

O A'

B

C

k1

k2

k3A

k

O A'

B

C

k1

k2

k3

Slika 5

AA'

a

O

k

AA'

a

O

k

a

A'AO

k

a

A'AO

k

2. Samo šestarom

a) Ukoliko se tačka A nalazi van kružnice k(O,r): Konstruišemo redom kružnice:

, i . Presek kružnica i čine tačke O i A’ gde je A’ tražena tačka. Dokaz: Kako su tačke O i A’ podjednako

udaljene od tačke B imamo da je jednakostraničan pa samim tim i da važi:

,jer je i takođe jednakostraničan. Dakle, trouglovi i imaju po dva jednaka ugla što je dovoljan uslov za sličnost, pa važi: , tj.

, pa je zaista .

b) U drugom slučaju, ukoliko se tačka A nalazi unutar kružnice k(O, r):

Najpre konstruišemo tačku B tako da je n najmanji broj za koji važi . To se postiže ponavljanjem dužine OA dovoljan broj puta. Zatim se konstruiše B’ – inv-erzna slika tačke B u odnosu na krug k(O, r). Prenošenjem n - 1 puta dužine OB’ u pravcu poluprave OB’ od tačke B’, dobićemo tačku A’. Dokaz: Samom konstrukcijom tačaka B, B’ i A’ važe sledeći uslovi: i

, a na osnovu inverzije: , tako da je:

,

pa je zaista .

3. Samo lenjirom

Bilo da je tačka A unutar kruga inverzije, bilo da je u spo-ljašnjosti, na jedinstven način je moguće konstruisati polaru a u odnosu na krug k i datu tačku A tako da je: .

Osobine inverzije

Slika 4

O A BB' A'

k

O A B

O A BB' A'

k

O A B

5

U ovom delu ćemo kroz razne teoreme i njihove dokaze iskazati jos neke osobine i korisna svojstva inverzije.

Teorema 1. Inverzija je bijektivno preslikavanje.

Teorema 2. Ako su A i A’ parovi odgovarajućih tačaka neke inverzije tada je prava AA’ normalna na krug te inverzije.

Dokaz: Tvrđenje neposredno sledi iz same definicije inverznog preslikavanja, jer su po njoj A, A’ i centar kruga tri kolinearne tačke.

Teorema 3. Inverzija je involu-cija.

Dokaz: Neka je inverzija u odnosu na krug k(O, r). Ako biće da je tačka poluprave OT takva da je

. Stoga je i tačka T' na polupravoj OT' takva da je

, pa je i .

Međutim, važno je napomenuti da iako je inverzija involuciona transformacija, inverzijom se centar kružnice ne preslikava u centar slike kružnice.

Teorema 4. U inverziji tački X, koja se nalazi u kružnici k, odgovara tačka X' koja se nalazi izvan kružnice k, ali važi i obratno, tački X, koja se nalazi izvan kružnice k, odgovara tačka X’ koja se nalazi unutar kružnice k.

Dokaz : Neka je O srediste a r poluprečinik inverzije . Ako je tačka X u kružnici k, tada je OX < r, te iz relacije sledi da je OX’ > r, pa je tačka X' izvan kružnice. Obratno, ako je tačka X izvan kružnice k, tada je OX > r, te opet iz relacije sledi da je OX’ < r, pa je tačka X’ unutar kružnice k.

Teorema 5. Svaku kružnicu koja je ortogonalna na kružnicu inverzije, inverzija preslikava u istu kružnicu.

Slika 6

T'T

B'

OAA'

B

SS'

k

T'T

B'

OAA'

B

SS'

k

Slika 7

SAA'

ks

s'

O S' TT'

SAA'

ks

s'

O S' TT'

Slika 8

k

s = s'

OA

A'

XX'

Tk

s = s'

OA

A'

XX'

T

6

Dokaz: Neka je k kružnica inverzije , a s kružnica normalna na nju. Uočimo tačke A, A’ s tako da su O, A i A’ kolinearne tačke (Slika 8). Tada je na osnovu tange-ntnog ugla , pa su trouglovi OTA i OBT slični i važi:

, odnosno ,na osnovu čega zaključujemo da je .

Preslikavanje o kome se govori u ovoj teoremi nije identično. Postoje samo dve tačke od kojih se svaka preslikava u samu sebe. To su tačke preseka kružnice inverzije i ortogonalne kružnice. Ostale tačke ortogonalne kružnice su ili spoljašnje ili unutrašnje u odnosu na kružnicu inverzije. Spoljašnje tačke se na osnovu Teoreme 4 preslikavaju na unutrašnje, a unutrašnje na spoljašnje.

Teorema 6. Neka su O, A, B tri neko-linearne tačke i inverzija u odnosu na krug k(O, r). Ako su A' i B' slike tačaka A i B u toj inverziji, tada važi .

Dokaz: Kako , to je . Na osnovu toga je:

OA:OB'=OB:OA', pa zbog jednakosti zaista imamo .

Posledica: Neka je inverzija u odnosu na krug k(O, r) i A’ i B' slike nekih ta-

čaka A i B u toj inverziji. Tada važi: .

Dokaz: Razmotrimo dva slučaja: 1) Neka su tačke O, A, B nekolinearne. Tada je, na osnovu prethodne teoreme

pa je A'B':AB = OB':OA. Kako je B' slika tačke B u inverziji

važi: , tj. iz čega sledi tražena relacija.

2) Neka su O, A, B kolinearne i neka je na primer B(O, A, B). Tada je B(O, B',

A') pa je: .

Naravno, u slučaju 1) duž AB iz teoreme se ne preslikava u duž A’B', već u luk A’B’. Dokazana relacija samo daje vezu među dužinama duži AB i A'B'.

Slika 9

O AA'

B

B'k

O AA'

B

B'k

7

Slika 11

O

s

s'

k

AA'

X

X'

O

s

s'

k

A = A'

X

X' k

O

s

s'

AA'

X

X'

O

s

s'

k

AA'

X

X'

O

s

s'

k

AA'

X

X'

O

s

s'

k

A = A'

X

X'

O

s

s'

k

A = A'

X

X' k

O

s

s'

AA'

X

X'k

O

s

s'

AA'

X

X'

Inverzne slike geometrijskih objekata

Inverzija nije izometrijska transformacija, a sada ćemo dokazati da inverzija ne čuva kolinearnost, tj. da se inverzijom jedan objekat ne slika u oblik iste vrste. Naredne teoreme će ilustrovati preslikavanje prave i kružnice, ali pre toga uvedimo oznaku: ako je

neka figura ravni i O tačka te ravni, tada je .

Teorema 7. Neka je inverzija u odnosu na krug k(O, r) ravni E2. Ako je s pra-va a s’ krug te ravni, tada:

(i) ako , tada je ;(ii) ako , tada je gde je s’ krug koji sadrži tačku O; Dokaz: (i) Neka je i

. Ako , tačka A’ će po definiciji biti na polupravoj OA, pa će i

. Obratno, ako je , biće , pa je

tačka A na polupravoj OA’, i prema tome . Samim tim imamo da je: .(ii) U ovom slučaju, kada prava s ne prolazi kroz centar inverzije, postoje tri mogućnosti: da s uopšte ne dodiruje krug inverzije, da oni imaju jednu zajdničku tačku i da prava s ceče krug k.

Ako obeležimo sa A podnožje normale iz tačke O na pravu s, sa X bilo koju drugu tačku prave p, sa A' i X' tačke koje dobijamo inverzijom , na osnovu Teoreme 6 imamo sličnost trouglova i tako da je i

. Stoga tačka X' pripada krugu s’ kome je duž OA' pre-čnik. Obratno, ako je , tada je oštar tako da prava s, normalna na duž OA’, seče krak OX' u nekoj tački X. Pri tome je i , pa su trouglovi AOX i X’OA’ slični. Sledi da je , dakle , i prema tome .

Slika 10

s = s'O A A'B B'

k

s = s'O A A'B B'

k

8

Ovaj dokaz podjednako važi za svaku od tri mogućnosti položaja prave s u odnosu na krug inverzije k.

Teorema 8. Neka je inverzija u odnosu na krug k(O, r) ravni E2. Ako je s krug te ravni, tada:

(i) ako , tada je , gde je s’ prava koja ne sadrži tačku O;(ii) ako , tada je , gde je s’ krug koji ne sadrži tačku O;

Dokaz: (i) Kako je inverzija involucija, ovaj deo teoreme je direktna posle-dica Teoreme 7 pod (ii).(ii) Neka je , i X" druga zajednička tačka prave OX i kruga s. Ako obeležimo sa t stepen inverzije ( ), sa p potenciju tačke O u odnosu na krug s, imamo da je i . Deljenjem odgovarajućih strana ovih jednakosti, nalazimo da je:

.Stoga tačka X' pripada

krugu s’ koji u homotetiji odgovara krugu s.

Obratno, neka je , i X druga

zajednička tačka prave OX’’ sa krugom s. Ako ponovo obeležimo sa t stepen inverzije i sa p potenciju tačke O u odnosu na krug s, imaćemo:

i .Sada, množenjem odgovarajućih strana ovih jednakosti nalazimo da je . Samim tim je

.Naravno, dokaz je potpuno isti u sva tri slučaja koji se javljaju kada kruž-

nica s sa kružnicom inverzije k ima jednu, dve ili nijednu zajedničku tačku.

Slika 12

k

O A = A'B'

ss'

k

O A = A'B'

ss'

A

k

O BA'B'

ss'

A

k

O BA'B'

ss'

AA' B

XX’’

X'

O B'

k

s

s'AA' B

XX’’

X'

O B'

k

s

s'

9

Invarijante

Pored osnovnih osobina inverzije važnu olakšicu pri rešavanju određenih proble-ma pomoću inverzije, predstavljaju njene invarijante. Invarijante kod primene inverzije su tačke i uglovi između geometrijskih tela.

Teorema 9. U inverziji tačka X je invarijantna ako i samo ako je , gde je k – kružnica inverzije.

Dokaz: Ako je tačka invarijantna, imamo da je , pa je , i prema tome . Obratno, ako je biće tačka na polupravoj OX takva da je , , i prema tome imamo da je X = X’.

Pored invarijantnih tačaka mnogo važniju invarijantu predstavljaju uglovi između geometrijskih ibjekata čija se inverzija posmatra. Kroz sledeću teoremu ćemo razmotriti invarijantnost tih uglova.

Teorema 10. Ako je inverzija u odnosu na krug k(O, r) ravni E2 onda:(i) ugao izmedju dve prave je jednak uglu koji zaklapaju njihove slike;(ii) ugao pod kojim se seku dve linije p i q ravni E2 u presečnoj tački S, jednak je uglu pod kojim se seku njima inverzne krive p’ i q’ u odgovarajućoj tački S’.Dokaz:(i) U ovom delu ćemo razmotriti 3 različita slučaja i to zasnovana na među-sobnim položajima prava kao i na osnovu položaja prave u odnosu na centar inverzije.

a) kada obe prave prolaze kroz centar inverzije O;Inverzna slika prave koja prolazi kroz centar inverzije je po Teoremi 7 (i)

jednaka toj pravoj. Samim tim početni ugao između dve prave se ne menja.b) kada prava t prolazi kroz

centar inverzije O a druga prava s, ne prolazi; Inverzne slike ovih dveju prava t’ i s’ bi po Teoremi 7 red-om bile prava i kružnica koje prolaze kroz centar inverzije. Na osnovu osobine tangentnog i tet-ivnog ugla imamo da za ugao izmedju t’ i s’ važi:

.Na osnovu Teoreme 6

trouglovi OB’A’ i OBA su slični pa je što predstavlja ugao između pravih t i s.

Slika 13

s

t = t'

s'

O BB'

A

A'

k

l

s

t = t'

s'

O BB'

A

A'

k

l

10

Ukoliko bi prave t i s bile zadate kao paralel-ne prave presečni ugao bi bio , a inverzne slike t’ i s’, koje bi prolazile kroz centar inverzije bi bile u odnosu tangente na kruž-nicu i kružnice koje tako-đe zaklapaju ugao od .

c) kada nijedna prava ne prolazi kroz centar inverzije;Neka je ugao , ugao

između kružnica s’ i t’ koje su po Teoremi 7 redom inverzne slike prava s i t. Ugao pod kojim se seku dve kružnice je, naravno, ugao između dve tangente na kružnice – m i n, koje ih dodiruju u presečnoj tački A’. Takođe će i ugao između tangenti p i q biti jer su to tangente u drugoj presečnoj tački – centru inverzije O. Ako imamo da su tačke S i T podnožja normala iz centra inverzije redom na prave s i t, na osnovu definicije inverzije, te normale će prolaziti kroz središta krugova s’ i t’ pa će samim tim biti normalne redom na tangente p i q. Sada na osnovu osobine uglova sa normalnim kracima imamo da je i . Kako četvorougao OSAT, gde je A presečna tačka pravih s i t, ima dva prava ugla zaključujemo da je tetivan pa se na osnovu toga ugao javlja i između prava s i t čime je dokaz završen.

U slučaju da su prave s i t paralelne, njihove inverzne slike bi bile dve kružnice koje po Teoremi 7 prolaze kroz centar inverzije i pritom bi im to bila jedina zajednička tačka (Slika 14 b). Samim tim bi njihov zajednički ugao kao i ugao između dve paralelne prave bio .

(ii) Neka je O središte inv-erzije i l prava koja sadrži tačku O i seče linije p i q redom u tačkama P i Q i neka je S presečna tačka linija p i q. Zatim , i . Iz

,

Slika 14

O O

k k

st

s = s'

s't'

t

t'

O O

k k

st

s = s'

s't'

t

t'

Slika 15

A

A'

O

k

ss'

tt' mn

p

qS

T

A

A'

O

k

ss'

tt' mn

p

qS

T

Slika 16S S’

PQ

Q’q

q’

p

p’k

P’

O

11

sledi da su četvorouglovi PP’S’S i QQ’S’S tetivni, odakle je i .

Tada je . Smanjivanjem ugla izmedju pravih l i SS’ tačke P i Q kreću se po krivama

p i q ka tački S. Istovremeno, tačke P’ i Q’ se približavaju tački S’ krećući se po linijama p’ i q’. U graničnom slučaju sečice SP i SQ predstavljaju tangente linija p i q u tački S, dok sečice S’P’ i S’Q’ predstavljaju tangente linija p’ i q’ u presečnoj u tački S’. Dakle, ugao koji odredjuju tangente na linije p i q u presečnoj tački S jednak je uglu koji odredjuju tangente na linije p’ i q’ u presečnoj tački S’.

Apolonijevi problemi o dodiru krugova

U ovom odeljku razmatraćemo tzv. Apolonijeve probleme o dodiru krugova, starogrčkog matematičara Apolonija iz Perge (III – II v. pre n.e.), koji se mogu na ele-gantan način rešiti primenom inverzije. Radi se o problemima koji su sledećeg oblika:

• Konstruisati krug k koji zadovoljava tri uslova, od kojih je svaki jednog od oblika:

(i) sadrži datu tačku;(ii) dodiruje datu pravu;(iii) dodiruje dati krug.Pretpostavlja se da su sve tačke, prave i krugovi iz pomenutih uslova u istoj ravni. Neke od tih problema sretali smo ranije. Npr: konstruisati krug koji sadrži dve

date tačke i dodiruje datu pravu. Lako je zaključiti da ima deset Apolonijevih problema. Oni se obično navode

sledećim redom:Konstruisati krug koji1. sadrži tri date tačke. (A, B, C)2. sadrži dve date tačke i dodiruje datu pravu. (A, B, p)3. sadrži dve date tačke i dodiruje dati krug. (A, B, k)4. sadrži datu tačku i dodiruje date dve prave. (A, p, q)5. sadrži datu tačku i dodiruje datu pravu i dati krug. (A, p, k)6. sadrži datu tačku i dodiruje data dva kruga. (A, , )7. dodiruje date tri prave. (p, q, r)8. dodiruje date dve prave i dati krug. (p, q, k)9. dodiruje datu pravu i data dva kruga. (p, , )10. dodiruje data tri kruga. ( , , )

Primetimo odmah da su prvi i sedmi problem trivijalni. I svi ostali problemi mogu se rešiti i bez primene inverzije. Inverzija, međutim, daje opšti metod za njihovo reša-vanje. On se zasniva na činjenici da se u određenom slučaju krug inverzijom preslikava u pravu (Teorema 8 (i)). Taj metod ilustrujmo na primeru petog Apolonijevog problema:

12

Neka su dakle dati tačka A, prava p i krug k neke ravni i neka je x krug kojeg je potrebno konstruisati tako da sadrži tačku A i dodiruje pravu p i krug k.

Razmotrimo opšti slučaj kada ni p ni k ne sadrže tačku A. Sa i ozna-čimo krug sa centrom A i proizvoljnim poluprecnikom r. Neka je , inverzija u odnosu na taj krug i p’, k’, x’ inverzne slike prave p i krugova k i x u toj inverziji. Kako

i , na osnovu Teoreme 7 i 8, p' i k’ su krugovi, a x' je prava. Prava p i krug x imaju jednu zajedničku tačku pa to važi i za figure p' i x' tj. prava x' je tangenta kruga p’. Analogno, prava x' je tangenta kruga k'.

Dakle, zadatak se svodi na konstrukciju prave x' kao zajedničike tangente krugova p' i k'. Dalje je .

Odmah možemo zaključiti, da u rešavanju ovog problema nije bilo od značaja da su p i k baš prava i krug, već da su p' i k' krugovi. Ali p' i k’ bi bili krugovi i u slučaju kada su na primer p i k dve prave, a . Dakle, četvrti i šesti Apolonijev problem rešavaju se na potpuno isti način kao i peti.

Drugi i treći problem rešavaju se takođe primenom inverzije u odnosu na neki krug sa centrom u A. Oba problema svode se na konstrukciju tangente iz tačke B na krug p’ odnosno k'

Osmi, deveti i deseti problem se redom svode na probleme 4, 5 i 6. Ideja se sastoji u tome, da najpre konstruišemo koncentričan krug u odnosu na traženi, i to takav da sadrži centar datog kruga sa najmanjim poluprečnikom, a zatim iskoristimo konstrukcije četvrtog, petog i šestog Apolonijevog problema.

Slika 17

x

i

A

x'

k'

k

p

p'

x

i

A

x'

k'

k

p

p'

Slika 18p

p*

k2

K2

k1 k1*

K1

xx*T

p

p*

k2

K2

k1 k1*

K1

xx*T

13

Slika 19

Primene inverzije

Zglobni spojevi. Poselijeov i Hartov inverzor

Zglobni spojevi predstavljaju najjednostavnije mehaničke instrumente za crtanje krivih. Zglobni spoj, iz samog značenja reči, predsavlja izvestan broj čvrstih sklopova koji su povezani pokretnim zglobovima tako da ceo sistem ima mogućnost da predstavi određenu krivu posmatranjem samo jedne njegove tačke prilikom kretanja. Recimo, šestar je jednostavan zglobni spoj koji u principu sadrži samo jedan štap pričvršćen u jed-noj tački – u jednom kraju, dok posmatranjem njegovog drugog kraja prilikom rotacije dobijamo sliku kružnice.

Zglobni spojevi imaju veliku ulogu u mašinskim konstrukcijama. Jedan od istorijski čuvenih primera – „Vatov paralelogram“, pronašao je Džejms Vat u želji povezivanja klipa njegove parne mašine sa tačkom na točku tako da rotacija točka pruzrokuje pravolinijsko kretanje klipa. Međutim, Vatovo rešenje je bilo samo aproksimativno i uprkos naporima mnogih istaknutih matematičara, problem konstruisanja zglobnog spoja koji bi tačku pokretao baš po pravoj liniji ostao je nerešen. Čak je usled silnih neuspelih pokušaja, postavljena hipoteza da je to nemoguće. Zbog toga je bilo veliko iznenađenje, kada je 1864. godine francuski pomorski oficir Poselije (Charles-Nicolas Peaucellier, 1832-1913.) pronašao jednostavan zglobni spoj koji je rešio problem.

Poselijeov inverzorCilj Poselijevog zglobnog spoja

je transformacija kružnog u pravolinijsko kretanje. Ono se zasniva na teoriji inverznog preslikavanja o kojoj je u ovom radu bilo reči. Kao što je predstavljeno na slici, zglobni spoj se sastoji od sedam čvrstih štapova: dva dužine t, četiri dužine s, dok je sedmi proizvoljne dužine. Fiksirane tačke su O i R koje su postavljene tako da važi OR = PR, dok ostatak zglobnog spoja može da se kreće. Dokazećemo da kada P opisuje luk oko tačke R sa poluprečnikom PR, tačka Q se kreće po pravoj liniji.

Neka je T podnožje normale iz S na OQ. Tada imamo da važi:

Veličina je konstantna i neka je . Pošto je imamo da su P i Q inverzne tačke u odnosu na krug sa centrom u O i poluprečnikom r. Kako P opisuje kružnu putanju koja prolazi kroz tačku O, na osnovu Teoreme 8 (i), imamo da će

Slika 20

t

t

s s

ssO

P

S

Q

R

T

14

inverzna slika te putanje biti upravo prava linija, koju smo dakle nacrtali bez upotrebe lenjira.

Hartov inverzorJoš jedan spoj, koji rešava isti prob-

lem kao i Poselijev, nosi naziv Hartov in-verzor. On se sastoji iz pet štapova koji su povezani kao na slici. Imamo da je AB = CD i BC = AD, dok su O, P i Q tačke koje su fiksirane redom na štapovima AB, AD i CB i to tako da važi:

.

Tačke O i S su fiksirane u ravni tako da je OS = PS dok je ostali deo instrumenta slobodan i može se kretati. Kao i u prethodnom slučaju, potrebno je dokazati da se tačka Q prilikom rotacije instrumenta, kreće po pravoj liniji.

Očigledno je da je AC uvek paralelno sa BD. Znači tačke O, P i Q su kolinearne i OP je paralelno sa AC. Konstruišimo AE i CF kao normale na BD. Tada imamo da važi:

Međutim, i tako da je.

Sa druge strane imamo da je i , što znači

.

Ova veličina je ista za sve moguće položaje instrumenta pa zaključujemo da su P i Q inverzne tačke u odnosu na krug sa centrom u O i poluprečnikom

. Kada je zglobni spoj pomeren, tačka P opisuje kružnicu oko S

koja prolazi kroz O, dok njena inverzna tačka Q opisuje pravu.

Zadaci

Mnogi geometrijski problemi imaju dobru osobinu da se mogu rešavati na nekoliko potpuno različitih načina. Međutim, ponekad je zaista potrebno nešto iskustva na prvom mestu, ali i nešto sreće da bi se upotrebio pravi način koji vodi rešenju na naj-jednostavniji – najelegantniji način. Inverzija se naravno može primeniti u mnogim pro-blemima ali karakteristični slučajevi za njenu primenu su problemi za koje možemo reći da su „prenatrpani kružnicama“. Inverzija sve te kružnice „prepravlja“ u prave sa kojima je u nekim slučajevima lakše rukovati. To ćemo pokušati da predstavimo u nekoliko nare-dnih primera.

Slika 21

E

S

O

A

B

Q

C

P

FD

15

Zadatak 1. Ako su d1, d2, ..., dn rastojanja temena A1, A2, ..., An pravilnog n-tougla od proizvoljne tačke P koja se nalazi na manjem luku A1An kružnice opisane oko tog mnogougla, dokazati da je:

.

Rešenje: Obeležimo sa k kružnicu čije je središte P, a poluprečnik proizvoljna duž r, i neka su A1’, A2’, ..., An’ inverzne slike tačaka A1, A2, ..., An u odnosu na krug k. Kako temena n-tougla pripadaju kružnici, inverzne slike će pripadati pravoj. Na osnovu Teoreme 6 imamo da važe sledeće relacije:

, , …, .

Kako je i sabiranjem dobijenih prvih n - 1 relacija

imamo:

,

tako da smenom poslednje relacije i deljenjem sa ar2 dobijamo upravo traženu jednakost:

.

Zadatak 2. Ako su d1, d2, ..., dn rastojanja prizvoljne tačke P kruga l od pravih koje sadrže stranice A1A2, A2A3, ..., A2nA1 poligona A1, A2, ..., A2n upisanog u krug l, do-kazati da je:

.

Rešenje: Obeležimo sa k kružnicu čije je središte P, a poluprečnik proizvoljna duž r. Kako se tačke A1, A2, ..., A2n nalaze na kružnici l koja sadrži tačku P, njihove odgovarajuće inverzne slike u odnosu na krug k biće tačke koje se nalaze na jednoj pravoj. Neka je d rastojanje tačke P od te prave. Iz sličnosti trouglova PA1A2 i PA2’A1’ imamo da je:

, tj. .

Slika 22P

A1

A2

A3

An

An-1

An-2

A1’A2’ A3’ An-1’An-2’

An’...

k

Slika 23

A1A1’A2’

A2

A3

A3’

P

A2n’

A2nk

r

l

l’

d1

d

16

Na isti način dobijamo i relacije za ostale stranice poligona:

, ,

, …, .

Ako bismo sve ove jednakosti pomnožili, dobili bismo:

i ,

pa je jasno da je , što je i trebalo dokazati.

Zadatak 3. Neka se četiri kružnice jednakih poluprečnika seku u tački O. Ozna-čimo presečne tačke susednih krugova (u nekom smeru) sa A, B, C i D. Dokazati da važi:

.

Rešenje: Neka su O1, O2, O3 i O4

centri datih kružnica i O1’, O2’, O3’ i O4’ tačke u kojima prave O1O, O2O, O3O i O4O seku odgovarajuće krugove. Iz sa-mog uslova zadatka imamo da je:

, gde je r poluprečnik zadatih kružnica. Dakle, kružnica k(O, 2r) spolja dodiruje sve četiri kružnice.

Posmatrajmo inverziju u odnosu na krug sa centrom u presečnoj tački O i poluprečnikom r. Neka su A’, B’, C’ i D’ slike tačaka A, B, C i D pri toj inverziji. Na osnovu Teoreme 8 (ii) imamo da su duži A’B’, B’C’, C’D’ i D’A’ redom inverzne slike spoljašnjih delova zadatih kružnica. Kako kružnica k dodiruje sa spoljašnje strane zadate kružnice, ona se ovom inverzijom preslikava u kružnicu koja iznutra dodiruje duži A’B’, B’C’, C’D’ i D’A’ pa četvorougao A’B’C’D’ mora biti tangentni. Na osnovu toga imamo da važi jednakost tangentnog četvorougla:

odnosno, na osnovu Teoreme 6:

.

I na kraju, deljenjem jednakosti sa i množenjem sa dobijamo traženo:

.

Slika 24O4’

O3’

O2’

O1

O2

O3

O4

O

A

BC

D

k

A’

B’ C’

D’

ω

O1’

17

Zadatak 4. Dokazati da Ojlerov krug trougla dodiruje upisanu i spolja upisanu kružnicu tog trougla u tzv. Fojerbahovim1 tačkama tog trougla.

Rešenje: Neka su P i Pa dodirne tačke upisane kružnice k i spolja upisane kružnice ka trougla ABC sa ivicom BC. Ojlerov krug e tog trougla po samoj definiciji, sadrži središta A1, B1, C1 odgovarajućih ivica i podnožje visine A’ iz temena A. Kako imamo da je:

, gde je s poluobim datog trougla, tačka A1 je središte duži PPa. Inverzijom u odnosu na krug , kružnice k i ka se na osnovu Teoreme 5 preslikavaju u sebe jer su normalne na kružnicu i. Kružnica e sadrži centar inverzije, pa se tom inverzijom preslikava u neku pravu e’.

Ostaje nam da dokažemo da prava e’ dodiruje kružnice k i ka. Kako su centri upisane i spolja upisane kružnice trougla ABC harmonijski spregnute sa tačkama A’ i E (jer se središta tih kružnica nalaze na simetralma spoljašnjeg i unutrašnjeg ugla kod temena B) imamo i da su njihove normalne projekcije P i Pa harmonijski spregnute sa tačkama A’ i E. Samim tim je , tako da prava e’ sadrži tačku

koja predstavlja presek simetrale unutrašnjeg ugla kod temena A sa ivicom BC trougla ABC, ali sadrži i tačke: i . Trougao A1B1C1 je sličan sa trouglom A1B1’C1’ pa prava e’ sa pravom AB određuje ugao ACB, pa, kako pravu BC seče u tački E koja pripada simetrali ugla BAC, predstavlja drugu zajedničku tangentu kružnica k i ka. Potpuno analogno se dokazuje da kružnica e dodiruje i kružnice kb i kc.

1 K. V. Fojrbah (1800-1834), nemački matematičar, dokazao je ovo tvrđenje 1822. godine.

Slika 25

B A’ A1

B1C1

CPa

ika

ee’

k

P E

A

18

Zaključak

Nakon svega, ostaje nam još samo da konstatujemo par očiglednih stvari. Pre svega geometrijska inverzija u odnosu na krug, sa svojim mnogobrojnim i veoma pogo-dnim osobinama, ima veoma veliku primenu u nestandardnim geometrijskim proble-mima, prilikom čijeg korišćenja uz pomoć invarijanti prilikom samog preslikavanja, mnoge teško uočljive zavisnosti između kružnica postaju očigledne kao zavisnosti između pravih. Pored toga, predstavili smo i primenu inverzije i u realnom životu koja je pronađena u pokušaju pretvaranju kružnog u pravolinijsko kretanje.

Pored zanimljivih slika koje nastaju usled primene inverzije na površinu, nalik šahovskoj tabli, u odnosu na mali krug u sredini povr-šine, kao i primene inverzije na sin-usoidu u odnosu na „žute“ krugove kao na slici, interesantnost i koris-nost same inverzije se ogleda i u sledećem probelmu: Kako uhvatiti lava u Sahari?2 Odgovor je jedno-stavan – metodom geometrijske in-verzije: Smestiti kavez kružnog ob-lika u pustinju, ući u njega i zaklju-čati se unutra. Zatim primeniti inv-erzno preslikavanje u odnosu na kavez. Tada ćemo se mi naći spolja a lav unutra, zaključan u kavezu.

Jednostavno, zar ne, među-tim, zbog ograničenosti prostora ovog maturskog rada, nismo se bavili inverznim preslikavanjem u trodimenzionalnom sistemu (u odnosu na sferu) što bi predstavljalo moguću temu za neki od narednih radova.

2 H. Petard, Princeton, New Jersey, 1938.

19

Literatura

[1.] M. Mitrović, S. Ognjanović, M. Veljković, Lj. Petković, N. Lazarević: GEO-METRIJA za prvi razred Matematičke gimnazije, Krug, Beograd, 1988.

[2.] D. Lopandić: GEOMETRIJA za treći razred usmerenog obrazovanja, Naučna knjiga, Beograd, 1980.

[3.] Lj. Petković, M. Petković: MATEMATRIX iz života velikih matematičara, Nova Jugoslavija, Vranje, 2000.

[4.] http://mathworld.wolfram.com/Inversion.html[5.] http://en.wikipedia.org/wiki/Inversive_geometry[6.] http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Inversion_dir/inversion.html

20

21