PSET Lesson03 Network Desc Part1

Lesson 3 –Network Descrip2on Using Graph Theory

Semester 3 – Power Systems for Electrical Transporta2on

Lecturer: Pablo Arboleya Arboleya

Sustainable Transporta2on and Electrical Power

Systems

Universidad de Oviedo

AC/DC AC/DCAC/DCAC/DC

G

G

a

b

c

2

Describing a trac2on network using graphs

AC subsystem

DC subsystem

Link subsystem

Each subsystem will be defined as a subgraph of the whole system.

The three subgraphs will be complementary graphs of the whole system graph

T h e v e r 2 c e s o f e a c h subgraph will be: DC Subsystem: Trains, DC substa2ons and bifurca2on points.

AC Subsystem: AC substa2ons and nodes and the secondary of power transformers (link nodes).

€

The total number of nodes nN = nNDC + nN

AC →nNDC = nt + nS

DC (trains + DC substations)nNAC = nN

L + nSAC (links + AC substations)

⎧ ⎨ ⎩


G

G

a

b

c

3


AC subsystem

DC subsystem

Link subsystem

The (nN,nN) adjacency matrix representing this system, can be calculated as:

The dimensions of all previous matrices are (nN,nN).

Each subgraph will have its particular adjacency matrix with its own dimension:

€

The total number of nodes nN = nNDC + nN

AC →nNDC = nt + nS

DC (trains + DC substations)nNAC = nN

L + nSAC (links + AC substations)

⎧ ⎨ ⎩

€

ΛTOT = ΛDC +ΛL +ΛAC

€

ΛAC* → nNAC ,nS

AC( )ΛDC* → nN

DC ,nNDC( )

ΛL* → nSAC ,nN

L( )

Node enumera2on criteria: The criteria used to list nodes

begins with the trains and get on with the rest of nodes in DC, then link nodes, and finally the AC network nodes. Thus the vector with all nodes in the system will be as follows:

4

28 2. Descripción gráfica del problema. Teoría de grafos


G

G

1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC

7link8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

Figura 2.6: Sistema AC/DC con los nodos numerados.

de dimensiones (nLN ,nL

N ) también será nulo, puesto que un nodo link nunca seráadyacente a otro nodo link. Quedan por tanto sólo los bloques mostrados en lafigura 2.7 correspondientes a las adyacencias entres trenes, trenes y nodos de latopología de DC, entre nodos de la topología de DC, entre estos últimos y losnodo link, y finalmente entre nodo link y nodos de AC, así como las adyacenciasentre ellos propias de la topología de AC. Cada uno de estos bloques, así como laformación de la !TOT se verá en los siguientes apartados.

({ { { {

{ {

(nt nDC

S nLN

nACS

nDCN

nACN

AC

DC

links

Figura 2.7: Formación de la matriz de adyacencia del sistema AC/DC completo.

€

vN = vNDC ,vN

AC[ ] →vNDC = t,sDC[ ]vNAC = l,sAC[ ]

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

The adjacency matrix described with the proposed enumera2on criteria is a block matrix



G

G

1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC

7link 8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

e1 e2

e3e4e5

e6

e7 e8 e9

e10 e11 e12

e13 e14

e15

e16 e17

e18

Figure 5: Edge and node enumeration criteria.

nition shown in (2) , the ! describing the RPSS will be a block matrix (see

Fig. 6) where lined zones correspond to non zero values.

({ { { {

{ {

({{{{

{{ nt

nt nDCS

nLN

nLN

nACS

nACS

nACS

nDCN

nDCN

nACN

nACN

AC

DC

link

Figure 6: Whole system block adjancecy matrix.

The (nDCN ,nDC

N ) dimension matrix !DC!will be defined as:

!DC!=

!

""#!tt

(nt,nt)!ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

$

%%& (9)

14

€

ΛTOT = €

DC

DC subsystem adjacency matrix:

5

€

Λtt : Adjacency between trainsΛts : Adjacency between trains and DC substationsΛss : Adjacency between substations


2.4. Grafo asociado a una red ferroviaria 29

2.4.1.1. Subsitema DC

El subsitema DC estará formado básicamente por la red ferroviaria, sin te-ner en cuenta la alimentación del sistema. Es decir, las catenarias y vías con suspuntos de unión o cambio de características (sección, material etc), los trenes, ylos terminales de DC de las subestaciones alimentadoras AC/DC. En la figura 2.8se observan los elementos propios del subsistema, dos trenes etiquetados como1DC y 2DC , las subestaciones rectificadoras 3DC , 5DC y 6DC y un punto 4DC deintersección de vías.

1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC

Figura 2.8: Subsistema DC.

La !DC! del subgrafo será por tanto de dimensiones (nDCN ,nDC

N ) y podrá for-marse según la ecuación (2.11):

!DC!=

!

" !tt(nt,nt) !ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

#

$ (2.11)

Donde !tt,!ts y !ss son las matrices de adyacencia entre trenes, trenes ynodos DC, y entre nodos DC respectivamente de dimensiones (nDC

N ,nDCN ). Estas

tres matrices definirían a su vez subgrafos del grafo que describe el sistema DC.Fijándose en la figura 2.6, en este caso la !tt sería nula también puesto que noexiste adyancencia entre los dos trenes, pero podría darse el caso en que ambostrenes estuviesen en la misma vía, dando lugar a una adyacencia entre ellos.

Según lo anteriormente explicado y con el fin de formular la !TOT tal comodescribe la ecuación (2.6), se ha de tratar con !DC de dimensiones totales:

!DC =

!

" !DC!0(nDC

N ,nACN )

0(nDCN ,nAC

N ) 0(nACN ,nAC

N )

#

$ (2.12)

2.4.1.2. Subsistema Links

El siguiente subsistema es el que se denomina de links, estará formado por losconversores AC/DC, luego tendrá unos edges propios que corresponderán a esosconversores, los edges serán incidentes en nodos de DC y nodos link. En cuanto




1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC




!DC!=

!

" !tt(nt,nt) !ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

#

$ (2.11)


N ,nDCN ). Estas



!DC =

!

" !DC!0(nDC

N ,nACN )

0(nDCN ,nAC

N ) 0(nACN ,nAC

N )

#

$ (2.12)






1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC




!DC!=

!

" !tt(nt,nt) !ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

#

$ (2.11)


N ,nDCN ). Estas



!DC =

!

" !DC!0(nDC

N ,nACN )

0(nDCN ,nAC

N ) 0(nACN ,nAC

N )

#

$ (2.12)




G

G

1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC

7link 8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

e1 e2

e3e4e5

e6

e7 e8 e9

e10 e11 e12

e13 e14

e15

e16 e17

e18




({ { { {

{ {

({{{{

{{ nt

nt nDCS

nLN

nLN

nACS

nACS

nACS

nDCN

nDCN

nACN

nACN

AC

DC

link


The (nDCN ,nDC


!DC!=

!

""#!tt

(nt,nt)!ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

$

%%& (9)

14

€

ΛTOT = €

DC

Links subsystem adjacency matrix: The link subsystem do not have own nodes, but the dimensions of its adjacency matrix depends on the link nodes (belonging to the AC subsystem) and the DC nodes no-‐train type (belonging to the DC subsystem)

6



a los nodos, no tiene nodos propios, puesto que en realidad los nodos link sonpropios del subsistema AC, figura 2.9.


3DC 5DC 6DC

7link 8link 9link

Figura 2.9: Subsistema links.

En la ecuación (2.13) se puede ver la formación de!L para cualquier sistema,esta como se observa solo tendrá términos no nulos en las posiciones correspon-dientes a los nodos de la topología de DC que no son trenes (nDC

S ) y los nodo link,luego la !L! será de dimensiones (nDC

S , nLN).

!L =

!

""""""#

0(nDCN ,nDC

N )

0 0

!L!0

0(nACN ,nDC

N ) 0(nACN ,nAC

N )

$

%%%%%%&(2.13)

2.4.1.3. Subsistema AC

Por ultimo el subsistema de AC, es la propia red de distribución desde la que sealimentan las subestaciones rectificadoras. Estará formado por unos edges propiosque corresponderán a las líneas de la red. Los edges incidentes en nodos link secorresponderán con los transformadores del sistema. En cuanto a los nodos (nAC

N )serán todos los de la red de AC mas los nodos link, figura 2.10.

La !AC! del subgrafo será por tanto de dimensiones (nACN ,nAC


!AC!=

!

# 0 !trafo

0 !sAC

$

& (2.14)




3DC 5DC 6DC

7link 8link 9link




S , nLN).

!L =

!

""""""#

0(nDCN ,nDC

N )

0 0

!L!0

0(nACN ,nDC

N ) 0(nACN ,nAC

N )

$

%%%%%%&(2.13)






!AC!=

!

# 0 !trafo

0 !sAC

$

& (2.14)

€

ΛL* → nSAC ,nN

L( )


G

G

1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC

7link 8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

e1 e2

e3e4e5

e6

e7 e8 e9

e10 e11 e12

e13 e14

e15

e16 e17

e18




({ { { {

{ {

({{{{

{{ nt

nt nDCS

nLN

nLN

nACS

nACS

nACS

nDCN

nDCN

nACN

nACN

AC

DC

link


The (nDCN ,nDC


!DC!=

!

""#!tt

(nt,nt)!ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

$

%%& (9)

14

€

ΛTOT = €

DC

AC subsystem adjacency matrix:

7

€

Λtrafo : Adjacency between link nodes and AC substations nNL ,nS

AC( )ΛsAC : Adjacency between AC substations nS

AC ,nSAC( )





3DC 5DC 6DC

7link 8link 9link




S , nLN).

!L =

!

""""""#

0(nDCN ,nDC

N )

0 0

!L!0

0(nACN ,nDC

N ) 0(nACN ,nAC

N )

$

%%%%%%&(2.13)






!AC!=

!

# 0 !trafo

0 !sAC

$

& (2.14)


G

G

7link8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

Figura 2.10: Subsistema AC.

Donde !trafo es la matriz de adyacencia que describe los transformadores dedimensiones (nL

N , nACS ), y!sAC es la matriz de adyacencia entre subestaciones de

AC, es decir las líneas de distribución de la red AC, de dimensiones (nACS , nAC

S ).La matriz !AC de dimensiones totales que describe todo el subgrafo corres-

pondiente al subsitema AC será:

!AC =

!

" 0(nDCN ,nDC

N ) 0(nDCN ,nAC

N )

0(nDCN ,nAC

N ) !AC!

#

$ (2.15)

Una vez estudiadas cada una de las matrices de adyacencia de los distintossubsistemas se puede completar la ecuación (2.6) de la siguiente forma:

!TOT = !DC +!L +!AC

=

!

%%%%%%"

!DC!0 0

!L!0

0 0 0!AC!

0 0 0

#

&&&&&&$(2.16)

2.4.2. Criterio de enumeración de edges y configuración de lamatriz de incidencia

A partir del criterio de enumeración de nodos y la formación de las matricesde adyacencia se establece un criterio de numeración de edges. Al igual que lanumeración de nodos, primero irán los edges del subsistema DC, luego los delsubsistema de links y por último los edges de la parte AC. Así comenzando por elsubgrafo de DC, la numeración de edges se inicia numerando todos los salientesdel nodo 1 siguiendo un criterio ascendente según el nodo final del edge, luego


G

G

7link8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

Figura 2.10: Subsistema AC.

Donde !trafo es la matriz de adyacencia que describe los transformadores dedimensiones (nL

N , nACS ), y!sAC es la matriz de adyacencia entre subestaciones de

AC, es decir las líneas de distribución de la red AC, de dimensiones (nACS , nAC

S ).La matriz !AC de dimensiones totales que describe todo el subgrafo corres-

pondiente al subsitema AC será:

!AC =

!

" 0(nDCN ,nDC

N ) 0(nDCN ,nAC

N )

0(nDCN ,nAC

N ) !AC!

#

$ (2.15)

Una vez estudiadas cada una de las matrices de adyacencia de los distintossubsistemas se puede completar la ecuación (2.6) de la siguiente forma:

!TOT = !DC +!L +!AC

=

!

%%%%%%"

!DC!0 0

!L!0

0 0 0!AC!

0 0 0

#

&&&&&&$(2.16)

2.4.2. Criterio de enumeración de edges y configuración de lamatriz de incidencia

A partir del criterio de enumeración de nodos y la formación de las matricesde adyacencia se establece un criterio de numeración de edges. Al igual que lanumeración de nodos, primero irán los edges del subsistema DC, luego los delsubsistema de links y por último los edges de la parte AC. Así comenzando por elsubgrafo de DC, la numeración de edges se inicia numerando todos los salientesdel nodo 1 siguiendo un criterio ascendente según el nodo final del edge, luego


G

G

1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC

7link 8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

e1 e2

e3e4e5

e6

e7 e8 e9

e10 e11 e12

e13 e14

e15

e16 e17

e18




({ { { {

{ {

({{{{

{{ nt

nt nDCS

nLN

nLN

nACS

nACS

nACS

nDCN

nDCN

nACN

nACN

AC

DC

link


The (nDCN ,nDC


!DC!=

!

""#!tt

(nt,nt)!ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

$

%%& (9)

14

€

ΛTOT = €

DC

Edge enumera2on criteria: With the same criteria used for nodes, the edges will be e nume ra ted . F i r s t DC subsystem edges, then links subsystem ones and finally the AC sub-‐ system edges. Thus star2ng with the DC s u b g r a p h , t h e e d g e enumera2on criteria starts numbering all outgoing node 1 ed ge s fo l l ow i n g a n ascending order based on the end node, then all the outgoing node 2 edges and so on. ThereaXer, with same criteria, link edges and AC edges will be numerated.

8



G

G

1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC

7link 8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

e1 e2

e3e4e5

e6

e7 e8 e9

e10 e11 e12

e13 e14

e15

e16 e17

e18




({ { { {

{ {

({{{{

{{ nt

nt nDCS

nLN

nLN

nACS

nACS

nACS

nDCN

nDCN

nACN

nACN

AC

DC

link


The (nDCN ,nDC


!DC!=

!

""#!tt

(nt,nt)!ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

$

%%& (9)

14

€

ve = eDC ,eL ,eAC[ ]

ne = neDC + ne

L + neAC →

neDC = ne

tt + nets + ne

ss

neL = nN

L

neAC = ne

trafo + nelineAC

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

Node Incidence Matrix calcula2on: ΓTOT could be obtained from ΛTOT

directly, each no null posi2on represents an edge, so, going through the rows of the ΛTOT we could ad a new edge to the ΓTOT each 2me we find a not-‐null element in ΛTOT , however by doing this, a link edge could be enumerated before a DC edge.

With the proposed edge enumera2on criteria, we first enumerate edges outgoing node 1, then node 2 and then node 3, but 3 shows an adjacency with a link node, this means that an edge from the link subsystem would be enumerated before the rest of DC edges.

That’s why we obtain:

9



G

G

1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC

7link 8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

e1 e2

e3e4e5

e6

e7 e8 e9

e10 e11 e12

e13 e14

e15

e16 e17

e18




({ { { {

{ {

({{{{

{{ nt

nt nDCS

nLN

nLN

nACS

nACS

nACS

nDCN

nDCN

nACN

nACN

AC

DC

link


The (nDCN ,nDC


!DC!=

!

""#!tt

(nt,nt)!ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

$

%%& (9)

14

transformers (ntrafoe ).

nACe = ntrafo

e + nlineACe (19)

From each subgraph, the incidence matrix is obtained from its adjacency

matrix. Then the !TOT with dimension (ne, nN ), is computed:

!TOT =

!

""""""#

!DC!0

0 !L!0

0 !AC!

$

%%%%%%&(20)

Being !DC!of dimension (nDC

e , nDCN ), !L!

of dimension (nLe , n

DCS +nL

N) and

!AC!of dimension (nAC

e , nACN ).

!TOT could be obtained from "TOT directly, however by doing this, a

link edge could be numerated before a DC edge. Based on Fig. 5, if the

incidence matrix is directly computed from "TOT , all edges outgoing 1 will

be first numerated, then all outgoing 2 and so on, but node 3 shows an adja-

cency with a link node, so an edge from link subsystem would be numerated

before the rest of the DC edges outgoing nodes 4 and 5. Consequently in

Fig. 5, e5 corresponding to adjacency (4, 5) would be (3, 7), changing the

!TOT structure substantially.

In Fig. 7 the graph representing whole system with the trains positioned

as in the example in Fig. 5 is depicted, in Fig. 8 the subgraphs representing

the three subsystems are shown.

19

€

ΓDC* from ΛDC*

ΓL* from ΛL*

ΓAC* from ΛAC*

10

Graph of the whole system


G

G

1DC

2DC3DC

4DC

5DC 6DC

7link 8link 9link

10AC

11AC

12AC 13AC14AC

15AC

e1 e2

e3e4e5

e6

e7 e8 e9

e10 e11 e12

e13 e14

e15

e16 e17

e18




({ { { {

{ {

({{{{

{{ nt

nt nDCS

nLN

nLN

nACS

nACS

nACS

nDCN

nDCN

nACN

nACN

AC

DC

link


The (nDCN ,nDC


!DC!=

!

""#!tt

(nt,nt)!ts

(nt,nDCS )

0 !ss(nDC

S ,nDCS )

$

%%& (9)

14

12

3

4

7

5

68

9

10

11

12

1314

15

1617

18

1

2 3

45

6

78

9

10

11

12

13

14

15

Figure 7: AC/DC system graph.

1

2

3

4

5

6

1

3

45

62

(a) DC subsystem sub-graph.

10

11

12

13

14

15

16

17

18

7

8

9

10

11

12

13

14

15

(b) AC subsystem sub-graph.

7 8 9

3 5 6

7 8 9

(c) links subsystem sub-graph.

Figure 8: System subgraphs.

4 Train movement and its influence in system di-

mension and topology

Until now, it was explained how RPSS can be represented with a graph, and

how this graph is completely defined through a set of matrices. However the

20

12

3

4

7

5

68

9

10

11

12

1314

15

1617

18

1

2 3

45

6

78

9

10

11

12

13

14

15


1

2

3

4

5

6

1

3

45

62


10

11

12

13

14

15

16

17

18

7

8

9

10

11

12

13

14

15


7 8 9

3 5 6

7 8 9







20

12

3

4

7

5

68

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12

1314

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1617

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1

2 3

45

6

78

9

10

11

12

13

14

15


1

2

3

4

5

6

1

3

45

62


10

11

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14

15

16

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18

7

8

9

10

11

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13

14

15


7 8 9

3 5 6

7 8 9







20

12

3

4

7

5

68

9

10

11

12

1314

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1617

18

1

2 3

45

6

78

9

10

11

12

13

14

15


1

2

3

4

5

6

1

3

45

62


10

11

12

13

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15

16

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18

7

8

9

10

11

12

13

14

15


7 8 9

3 5 6

7 8 9







20

Whole system graph

DC subsystem graph

AC subsystem graph

Link subsystem graph

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