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ConvecçãoemescoamentosabaixosnúmerosdeReynolds
Capítulo9
• Mesmoemescoamentoslentos,apesardomecanismodetransportedecalorserpredominantementedifusivo(condução),aconvecçãocontribuiparaatrocadecalor
Convecçãoforçada
• Exemplo:sólidoimersonumfluidoemmovimento(analogiacomatransferênciademassadeumasoluçãosendoliberadadasuperFciedomesmosólido)
• Propriedadesdepentesdatemperatura:soluçãoacopladadasequações• Hipótesedepropriedadesconstantes• Conveçãoforçada:convecçãonaturalédesprezada(i.e.,mesmoasvariaçõesdedensidadesãodesprezadas)
Equaçãodeenergia
€
ρcp∂T∂t
+ u•∇T
= k∇2T + 2µ E :E( )
CC : em S T = T0
r →∞ T→ T∞
• Parapropriedadesconstantes,aseqs.DeconOnuidadeemomentumsãoresolvidasparaencontraroscamposdevelocidadeepressão,eentãoresolve‐seaequaçãodeenergiaparadeterminarT.• Vamosconsiderarprimeiramenteosproblemasemregimepermanente.• OutraCCusualédefluxoconstanteaoinvésdeTconstante.
Adimensionalização
€
θ ≡T −T∞T0 −T∞
Pe u•∇θ( ) =∇2θ + 2Br E :E( )
Pe =U∞lκ
κ =kρcp
Br =µU∞
2
k T0 −T∞( )Pe =RePr ...magnitude relativa entre termos de convecção e de condução
Pr = µ/ρk/ρcp
=υκ... difusividade de momentum/difusividade térmica
Br... magnitude relativa dos termos de dissipação viscosaBr → 0 : Pe u•∇θ( ) =∇2θ
CC : em S, θ =1r →∞,θ → 0
€
θ = θ r,Re,Pr( )
• FluxodecalornasuperFcie:
€
Q = −k ∇T •n( )A∫ S
dA
Fluxo de calor adimensional :
Nu = 2QAsk(T0 −T∞) / l
= −2l2
As
∇θ •n( )SA
∫ dA
Nu = Nu(Re,Pe) = Nu Re,Pr( )
AdependênciadatemperaturacomReéporqueu=u(r,Re).Nosescoamentosunidrecionais,enaquelesondeRe<<1,u=u(r)eentão,θ=θ(Pe)eNu=Nu(Pe).Asoluçãoexatadaeq.DeenergiaemgeralédiFcil,pelacomplexidadedeu:soluçõesparacasoslimitesparaReePe(p.ex.Pe<<1,convecçãofraca,ouPe>>1,convecçãoextremamenteimportante)
Analogiacomtransferênciademassa
• SubsOtuiçãodeTporc,κporD(difusividadedosolutonosolvente):
• CCsimilares(concentraçãodesolutoconstantenasuperFciedosólido,1solutoapenas)
• Emgeral,Sc>Pe(líquidos:Sc~O(103),Pe~O(5);gases:Sc~O(1),Pe~O(0,01‐0,1))
• Transferênciademassaalteraocampodevelocidade(velocidadenãonulanasuperFcie)
€
Pe ≡U∞l /D Pe =ReSc Sc =υ /D
• cA(conc.Solvente),c(conc.Soluto):cA+c=1.Logo,
• Comonãopodehaverfluxolíquidodosolvente(inerte)paraasuperFcie,temquehaverumavelocidadenormalparaforadasuperFcie,paracontrabalançarofluxodesolventeparaasuperFciedevidoaogradientenaconcentraçãodosolvente,:
€
∂cA /∂n = −∂c /∂n (derivadas normais à superfície)
€
∂cA /∂n
€
cAv'−D∂cA∂n'
= 0 em n'= 0 (superfície)
⇒ v'= DcA
∂cA∂n'
em n'= 0
ou :v'= − D1− c0
∂c∂n' n'= 0
Ccrescecomn’:sucçãonasuperFcie;quandoccaicomn’,geraçãonasuperFcie(blowing)
• Adimensionalizando,
• AdireçãodavelocidadeinduzidanasuperFciedependedosinaldeB.SeB/Pe<<1,podemosdesprezarasalteraçõesnoescoamentocausadaspelavelocidadenormalnafronteira
• NúmerodeSherwood(fluxodemassaadimensionalnasuperFcie):
€
θ ≡c − c∞( )c0 − c∞( )
B =c0 − c∞( )1− c0( )
("blowing number")
v = −BPe
∂θ∂n
em n = 0
€
J = − D∇'c •n( )A∫ S
dA + v'cA∫ S
dA
Sh ≡ 2JASD c0 − c∞( ) / l
= −2l2
AS
− ∇θ •n( )A∫ S
dA + B ∇θ •n( ) θ +c∞
c0 − c∞
A∫S
dA
B <<1: Sh = −2l2
AS
− ∇θ •n( )A∫ S
dA[ ]ExpressãosimilaraNuOEscoamentosónãoéafetadoseB/Pe<<1
Transferênciadecalorporcondução(Pe0)
€
Pe <<1:θ = θ0 x,Re( ) + Peθ1 x,Re( ) +O(Pe2)
⇒∇2θ0 = 0CC :θ0 =1 em Sθ0 → 0 quando r →∞
• Equaçãodeconduçãoemregimepermanente(análogaàeq.paraesc.lentos),aformadevnãoinfluieθindependedeRe,apenasdeS• EquaçãodeLaplace
• Exemplo:esferaaquecidaimersanumfluido• ComprimentocaracterísOco:l=R
• CC:θ=1emr=1
• SoluçãodaequaçãodeLaplace:
€
θ0 = Anrn + Bnr
−( n+1)[ ]Pn (η)n= 0
∞
∑
η = cosθAn ,Bn coeficientes a serem determinados das CCda CC r =1:B0 =1, n ≥1:Bn = 0
⇒θ0 =1r
Nu = −1
2π∂θ∂r
r=1
sinθdθdφ0
π
∫0
2π∫
Nu0 = 2
TrocadecalornumaesferasólidaimersanumescoamentoabaixosPe• ComoPeafetaasoluçãoanterior?• Vamosconsiderarinicialmentesomenteasegundaaproximaçãoθ1
€
∇2θ1 = u•∇θ0em S :θ1 = 0θ1→ 0 quando r →∞
• Nãoexistesolução:soluçãodeconduçãopuranãoéumaprimeiraaproximaçãoválidaparaocampodetemperaturasuniformemente• AaproximaçãoassintóOcanãoéválidalongedaesfera• ParaPe<<1,r>>1:
€
Peη∂θ0 /∂r ~ O(Pe / r2)
∂ 2θ /∂r2 ~ O(1/ r3)AdimensionalizaçãosóéválidaemumaPartedodomínio:expansãoassintóDcaregular(válidauniformemente)nãoexisteparaPe<<1
• Nestecaso,asoluçãodeveserobOdapelométododeexpansãoassintóOcasingular:2oumaisaproximaçõesassintóOcassãopropostasparaocampodetemperaturasparaPe<<1,cadaumaválidanumaregiãododomínio(masconectadasemumaregião,ondeas2aproximaçõessereduzemamesmaforma).Aadimensionalizaçãoéfeitadeformadiferenteparaas2regiões
• Expansãonaregiãointerna:lc=R,eaprimeiraaproximação(θ0)éválida
• CClongedaesferanãofazpartedodomínio
• AinfluênciadaconvecçãoparapequenosPeéumpequenoaumentodataxadetrocadecaloremrelaçãoaconduçãopura
€
θ =1r
+ +Pe 121r−1
+η
12−34r
+38r2
−18r3
+O( f2(Pe))
Nu = 2 1+12Pe +O( f2(Pe))
• Expansãonaregiãoexterna:novaadimensionalização()
€
lc =κ /U∞
€
Θ ρ,η,Pe( ) =Peρe−ρ(1−η ) / 2 +O(F1(Pe))
F1(Pe) /Pe→ 0 quando Pe→ 0ρ = rPe
• Podemosprocuraraindaaproximaçõesdeordemmaisalta(paramelhoraracomparaçãodas2soluçõesnaregiãodeoverlap)
• SoluçãoparaCCdefluxoconstante(NujáéfornecidoenestecasodesejamosdeterminaratemperaturanasuperFcie).Atemperaturaadimensionaldeveserredefinidapara
€
θ =T −T∞(qR /k)