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moise-vannier
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Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
A
C
B
est l’hypoténuse � du triangle ABC
On a quatre triangles rectangles identiquesa
bc a
bc a
bc a
bc
Démonstration
On dispose les quatre triangle rectangles
dans un carréa
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
On obtient un nouveau carré
XYZLa
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
X
Y
Z
L
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
X
Y
Z
L
L ’aire du carré XYZL est :
c²
dans le même carré d ’une autre façon .
On dispose ensuite les quatre triangles rectangles
a
b
a
b
a
b
a
b
On obtient deux nouveaux carrés :
DEFG
AB
C ABCDD G
FE
a
b
a
b
AB
C D G
FE
L ’aire de DEFG est :
a²
a
b
a
b
AB
C D G
FE
L ’aire de ABCD est :
b²
c
X
Y
Z
L a
b
a
b
AB
C E G
FE
L ’aire de XYZL est égale àla somme des aires de ABCD et de DEFG
c²a²
b²+
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
a
b
a
b
c2 = a2 + b2
Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de :
théorème de Pythagore
a
bc
On peut donc écrire pour le triangle
Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle , le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés .
hypoténuse
Le théorème de Pythagore un autre énoncé
A
C
B
Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC² = AB² + AC²
! Le théorème de Pythagore ne s’appliquequ’aux triangles rectangles.
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm.Calculer BC
B
A C
3
4
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
Puisque ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)
BC² = 16 + 9 (on calcule)
BC² = 4² + 3² (on remplace les lettres par les longueurs connues)
B
A C
3
4
BC = 5 cm (5 > 4, est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté)
BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)
BC
Démonstration:
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 12cm.Calculer EF
E
D F
5
12
E
D F
5
12Puisque DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres)
EF² = 25 + 144 (on calcule)
EF² = 5² + 12²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
EF= 13 cm (13 > 12, est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté)
EF² = 169 (on écrit la valeur exacte de EF)
EF = 169EF
Démonstration :
On applique le théorème de Pythagore :
On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC²
Ex1 ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 8cm et BC = 6cm.Calculer AC
A
B C
8
6
AC² = 64 + 36
AC² = 8² + 6²
AC² = 100
AC = 100AC = 10 cm
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle,on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm.Calculer IH G
I H
2 3
Puisque GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres)
Démonstration :
25 = 9 + IH² 5² = 3² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
IH = 4 cm
IH² = 25 - 9 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 de 25)
G
I H
3 5
IH² = 16
IH = 16
Démonstration : puisque STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU²
169 = 25 + TU² 13² = 5² + TU²
TU = 12 cm
TU² = 169 - 25
EX 2.STU est un triangle rectangle en T tel que ST = 5cm et SU = 6cm.Calculer TU
S
T U
5 13
TU² = 144
TU = 144
fin