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Erika Riveros Morán
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¿Qué es el CÁLCULO?
El Cálculo es la matemática de los cambios – velocidades y
aceleraciones. También son objeto del
Cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes,
longitud de arco, centroide,
curvaturas y una gran variedad de conceptos que han hecho
capaces a los científicos, ingenieros y
economistas de crear modelos para las situaciones de la vida
real.
Aunque las matemáticas previas al Cálculo también tratan las
velocidades, aceleraciones, rectas
tangentes, pendientes, etc. existe una diferencia fundamental
entre ellas y el Cálculo. Mientras
que las primeras son estáticas, el Cálculo es dinámico. Por
ejemplo:
Las matemáticas previas al Cálculo permiten describir la
pendiente de una recta, pero para
describir la pendiente de una curva es necesario el Cálculo.
Las matemáticas previas al Cálculo permiten describir el área de
un rectángulo pero para
describir el área bajo la curva se necesita del Cálculo.
Cada una de estas situaciones involucra la misma estrategia
general - la reformulación de las
matemáticas previas al Cálculo a través de un proceso de límite.
Así pues, una forma de
responder a la pregunta “¿Qué es el Cálculo?” es decir, el
Cálculo es una máquina que conlleva
tres estadios.
El primero lo constituyen las matemáticas previas al Cálculo,
con nociones como la pendiente de
una recta o el área de un rectángulo. El segundo es el proceso
del límite y el tercero es la nueva
formulación propia del Cálculo, en términos de derivadas e
integrales.
LÍMITE Y CONTINUIDAD
Límite de Funciones
Un aspecto importante del estudio del cálculo es el análisis de
cómo cambian los valores de
una función, o los valores de salida, cuando se modifican los
valores de entrada. La noción de
límite es básica para este estudio.
Suponga que los valores de entrada se acercan cada vez más a
determinado número. Si los
valores de salida correspondientes están cada vez más cerca de
un número, entonces ese número
se llama límite.
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La idea de límite de una función f es estudiar el comportamiento
de f(x) cuando x se
“acerca” a un valor determinado.
El límite de una función se puede obtener de forma intuitiva,
usando una tabla de valores
o mediante la gráfica de la función y el álgebra de límites.
Mediante tabla de valores:
Ejemplo 1:
Consideremos la función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 6. ¿Qué ocurre con f ( x )
cuando x es próximo
a 𝑥 = 5 ?
Algunos valores de f ( x ) para x cercanos a cinco están dados
en la Tabla
𝑥 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 6 𝑥 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 6
4.9 1.9493588 5.1 2.04939053
4.99 1.9949937 5.01 2.00499370
4.999 1.9994999 5.001 2.00049993
4.9999 1.9999499 5.0001 2.00004990
4.99999 1.9999950 5.00001 2.00000500
4.999999 1.9999995 5.000001 2.00000050
En la Tabla observamos que: “ f ( x ) se acerca a 2 ”, cuando “
x se acerca a 5 ”. Lo que en
símbolo matemático escribimos: lim𝑥→5 √2𝑥 − 6 = 2
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Ejemplo 2
Consideremos la función 𝑓(𝑥) =4(𝑥2−4)
𝑥−2 . ¿Qué ocurre con 𝑓(𝑥) cuando x es próximo a
𝑥 = 2 ?
Solución: En este caso la función no está definida para x = 2,
es decir, el 2 no posee imagen.
2 RfDom
Analizamos que ocurre con las imágenes para valores menores que
2 y para valores
mayores que 2.
Para 𝑥 < 2
𝑥 tiende a 2 por la izquierda (𝑥 < 2) se denota 𝑥 → 2−
x 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999
f(x) 14 15,6 15,96 15,996 15,9996
Se dice que f(x) tiende a 16 por la izquierda
Lo cual se escribe lim𝑥→2− 𝑓(𝑥) = 16 y se lee límite por la
izquierda de 2 es 16
Para 𝑥 > 2
𝑥 tiende a 2 por la derecha (𝑥 > 2) se denota (𝑥 → 2+)
x 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001
f(x) 18 16,4 16,04 16,004 16,0004
𝑓(𝑥) tiende a 16 por la derecha, denotándose por lim𝑥→2+ 𝑓(𝑥) =
16 lo que significa
que el límite por la derecha de 2 es 16.
La gráfica nos muestra el comportamiento de 𝑓(𝑥) =4(𝑥2−4)
𝑥−2
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Cuando x tiende a 2 desde cualquier lado de 2, f(x) tiende a 16.
En este caso decimos
que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 16, lo que
escribimos lim𝑥→24(𝑥2−16)
𝑥−2= 16
Notar que mediante álgebra elemental es posible transformar 𝑓(𝑥)
en otra función
𝑔(𝑥) de igual valor en la vecindad de x
)()2(42
)2)(2(4
2
)4(4)(
2
xgxx
xx
x
xxf
Si evaluamos g(x) se tienen los mismos valores que f(x)
Para x < 2
x 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999
g(x) 14 15,6 15,96 15,996 15,9996
Para x > 2
x 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001
g(x) 18 16,4 16,04 16,004 16,0004
Por lo que f(x) = g(x) en la vecindad de x.
2limx 2
)4(4 2
x
x=
2limx
)2(4 x =16
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Ejemplo 3
Consideramos la función 𝑓(𝑥) =𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥 ¿Qué sucede con los valores 𝑓(𝑥) cuando x toma
valores cercanos a 𝑥 = 0 ?
Solución: Ningún truco algebraico simplificará nuestra tarea;
ciertamente, no podemos
cancelar las x. Una calculadora nos ayudará a tener una idea del
límite. Utilice su propia
calculadora (en modo radianes) para verificar los valores en la
tabla siguiente. La figura
muestra la gráfica de 𝑓(𝑥) =𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥 . Nuestra conclusión, aunque admitimos que es poco
firme, es que lim𝑥→0𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥= 1
En la siguiente Tabla aparecen algunos valores de 𝑓(𝑥)
correspondientes a valores de
x cercanos a cero, por la izquierda de cero ( x < 0 ) y por
la derecha de cero ( x > 0 ).
𝑥 𝑓(𝑥)
=𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
𝑥 𝑓(𝑥)
=𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
- 0.1 0.998334166 0.1 0.998334166
- 0.01 0.999983333 0.01 0.999983333
- 0.001 0.999999833 0.001 0.999999833
0.0001
0.999999983 0.0001 0.999999983
En la Tabla podemos observar que 𝑓(𝑥) =𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥 se puede acercar a uno, tanto como se
quiera, siempre que se elija x suficientemente próximo a x = 0,
lo que en símbolos
matemáticos escribimosx
sen
x 0lim
= 1
Esto se lee: “ El límite, de ,x
xsen cuando x tiende a cero, es igual a 1 “
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Obtención del límite usando la gráfica de f
A partir de la gráfica de f deducir )(lim1
xfx
Observamos que lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 1
Ejemplo 5:
Dada la siguiente gráfica
Obtener:
a) lim𝑥→(−1)− 𝑓(𝑥) b) lim𝑥→(−1)+ 𝑓(𝑥) c) lim𝑥→(−1) 𝑓(𝑥) d)
lim𝑥→(0) 𝑓(𝑥)
e) lim𝑥→(∞) 𝑓(𝑥)
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De la gráfica podemos observar que
a) 0)(lim)1(
xfx
, b) 1)(lim)1(
xfx
c) )(lim)1(
xfx
no existe, porque
cuando x se acerca a -1, los valores de f(x) se acercan a dos
valores distintos el 0 y
el 1.
El límite de existir debe ser único.
De los ejemplos anteriores podemos deducir:
Teorema
lim ( )x a
f x L
i) ax
lim f ( x ) existe
ii) ax
lim f ( x ) existe
iii) ax
lim f ( x ) = ax
lim f ( x ) = L.
Para d) lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = +∞
es decir, cuando 𝑥 → 0 )(xf
Para e) lim𝑥→(+∞) 𝑓(𝑥) = 0
Límite de una función
La función f tiene el límite L cuando x tiende a 𝑎, lo que se
escribe Lxfax
)(lim
Si el valor de f(x) se puede hacer tan cercano a L como se
quiera, considerando a x suficientemente cerca de a (pero no igual
a a)
El procedimiento de comprobar límites de funciones mediante la
definición resulta en algunos casos sumamente complicado.
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Estudiaremos procedimientos simples para evaluarlos, basados en
ciertas propiedades de límites. Estas propiedades tratan, entre
otras, con límites de sumas, diferencias, productos y cuocientes de
funciones
Algebra de Límites
P 1) lim𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎
P 2) lim𝑥→𝑎 𝑐 = 𝑐 siendo c una constante.
P 3) Si c es una constante y f una función entonces lim𝑥→𝑎 𝑐𝑓(𝑥)
= 𝑐 lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
P 4) Límite de un producto, es el producto de los límites de las
funciones
lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
P 5) El límite de una suma (diferencia) de funciones es la suma
(diferencia) de los límites
de las funciones.
lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
P 6) El límite de un cuociente de funciones es el cuociente de
los límites de las
funciones
lim𝑥→𝑎 [𝑓
𝑔(𝑥)] =
lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) , siempre que lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0
Lo anterior se resume en el siguiente cuadro
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Ejemplos
Ejemplo 1)
Calcular lim𝑥→2(4𝑥2 + 3) = lim𝑥→2 4𝑥
2 + lim𝑥→2 3
= 4lim𝑥→2(𝑥2) + lim𝑥→2 3
= 4(22) + 3 = 19
Observamos que, en el ejemplo 1) el límite (cuando 𝑥 → 2) de la
función polinómica 𝑝(𝑥) = 4𝑥2 + 3 , es simplemente el valor de p en
𝑥 = 2
lim𝑥→2
𝑝(𝑥) = 𝑝(2) = 4(22) + 3 = 19
Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las
funciones polinómicas y todas
las racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto
considerado
Ejemplo 2)
Hallar el límite lim𝑥→1𝑥2+𝑥+2
𝑥+1
lim𝑥→1𝑥2+𝑥+2
𝑥+1=
(1)2+1+2
1+1=
4
2= 2
Se ha visto que los límites de muchas funciones algebraicas se
pueden calcular por
sustitución directa. Cada una de las seis funciones
trigonométricas también posee esta
deseable propiedad.
Ejemplo 3) lim𝑥→𝜋(𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥) = (lim𝑥→𝜋 𝑥)(lim𝑥→𝜋 cos 𝑥) = 𝜋 cos(𝜋)
= −𝜋
Ejemplo 4) lim𝑥→0 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = lim𝑥→0(𝑠𝑒𝑛𝑥)
2 = 02 = 0
Otra Propiedad de Límite
Propiedad:
Sean : Ra , xgyxf dos funciones tales que xgxf para ax
Si lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿 existe
Entonces lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿
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Ejemplo 5
Aplicación de la propiedad anterior
Consideremos la función 1
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x
xxf
Notemos que lim𝑥→(−1)(𝑥2 − 1) = 0 y lim𝑥→(−1)(𝑥 + 1) = 0
En este caso al evaluar directamente nos queda 0
0 arreglamos factorizando
𝑓(𝑥) =𝑥2−1
𝑥+1=
(𝑥+1)(𝑥−1)
𝑥+1= (𝑥 − 1) = 𝑔(𝑥) con 𝑥 ≠ −1
Como ,21limlim11
xxgxx
por propiedad anterior se
concluye que
lim𝑥→(−1)
𝑥2 − 1
𝑥 + 1= lim
𝑥→(−1)(𝑥 − 1) = (−1 − 1) = −2
Ejemplo 6) Calcular lim𝑥→24(𝑥2−4)
𝑥−2
En este caso al evaluar directamente nos queda 0
0 por lo que debemos arreglar la función en
otra, de uno de los primeros ejercicios sabemos que
𝑓(𝑥) =4(𝑥2−4)
𝑥−2= 4(𝑥 + 2) = 𝑔(𝑥) Por lo que
lim𝑥→2
4(𝑥2 − 4)
𝑥 − 2= lim
𝑥→24(𝑥 + 2) = 4(2 + 2) = 16
Ejemplo 7) Hallar el límite lim𝑥→1𝑥3−1
𝑥−1
Debemos arreglar factorizando
𝑓(𝑥) =𝑥3−1
𝑥−1=
(𝑥−1)(𝑥2+𝑥+1)
𝑥−1= 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 𝑔(𝑥)
lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1= lim
𝑥→1(𝑥2 + 𝑥 + 1) = 12 + 1 + 1 = 3
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Utilizando las propiedades de límite determinar:
1. 6lim 33
xx
Respuesta 33
2. 96lim 22
xxx
Respuesta 25
3. 6
1lim
31 xx Respuesta
7
1
4. xx
xx
x 53
23lim
2
2
2
Respuesta 6
5. 23
124lim
2
0
x
xx
x Respuesta
2
1
6. 1
52lim
2
2
1
x
xx
x Respuesta 4
7. 2
2lim
2
x
x
x Respuesta 0
8. 2
4lim
2
2
x
x
x Respuesta 4
9. 2
8lim
3
2
x
x
x Respuesta 12
10. 253
103lim
2
2
2 xx
xx
x
Respuesta 1
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Continuidad de una Función.
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La importancia de estudiar la CONTINUIDAD de las funcione nos
permite conocer sus características y propiedades. Por sus
propiedades las FUNCIONES CONTINUAS juegan un rol fundamental en el
estudio de la Matemática y en particular del Cálculo.
Definición Sea xf una función definida para todo x en un
intervalo abierto que contiene al número a. Entonces f es continua
en ax sí y sólo si afxf
ax
lim
Eejmplo: En los siguientes ejercicios, indicar para que valores
de x, la función es continua 0
discontinua y si presentan discontinuidad reparable.
