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1Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
Les quadripôles
ÉÉcole Polytechnique Universitaire de Nice Sophiacole Polytechnique Universitaire de Nice Sophia--AntipolisAntipolisCycle Initial PolytechniqueCycle Initial Polytechnique
1645 route des Lucioles, 06410 BIOT1645 route des Lucioles, 06410 BIOT
Christian PETER
&
Pascal MASSON([email protected]
quadripôle
I1 I2
V1 V2
I1
V1= 0
V2Y1 Y3
Y2
I2
I1 I2
V1 V2
I1’ I2
’
V1’ V2
’Q’
I1’ ’ I2
’ ’
V1’ ’ V2
’ ’Q ’’
Q
Edition 2008-2009
2Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
Sommaire
I. Généralités
II. Le quadripôle en représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
III. Le quadripôle en représentation admittance
IV. Le quadripôle en représentation hybride
V. Le quadripôle en représentation transfert
II.3. Schéma équivalent
II.2. Grandeurs fondamentales
II.4. Association en série
VI. Lien entre tous les paramètres
3Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I.1. Définition
I. Généralités
� Un quadripôle est un composant ou un circuit (ensemble de composants) à
deux entrées et deux sorties qui permet le transfert d’énergie entre deux
dipôles.
� Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature
différente (tension, courant, puissance)
� On distingue deux types de quadripôles : actifs et passifs
I.2. Représentation
quadripôle
I1 I2
V1 V2
I.3. Origine
� On doit les premières études sur les quadripôles au mathématicien
Allemand Franz BREISIG (1868 – 1934) dans les années 1920.
� Par convention, on donne le sens
positif aux courants qui pénètrent
dans le quadripôle
4Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I.4. Intérêt de la représentation quadripôle
� La représentation quadripôle a pour principal intérêt de considérablement
simplifier l’étude des circuits électroniques.
� Exemples : le filtre sélectif passe bas du 5ème ordre
I. Généralités
C
R
VE VS
R R R R
C1 C1
C2 C2
5Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I.5. Rappel sur les matrices 2×2
� Multiplication
=
2
1
2
1X
X.
dc
ba
Y
Y
+=
+=
212
211X.dX.cY
X.bX.aY
� Inversion
−
−
−=
=
−
2
1
2
11
2
1Y
Y.
ac
bd
c.bd.a1
Y
Y.
dc
ba
X
X0c.bd.a ≠−avec
++
++=
h.df.cg.de.c
h.bf.ag.be.a
hg
fe.
dc
ba!
Ce produit n’est
pas commutatif.
I. Généralités
6Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
II. Représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
� On exprime les tensions en fonction des courants. Les éléments de la matrice
ont la dimension d’impédances (résistances).
quadripôle
I1 I2
V1 V2
� Définition
� Représentation matricielle
=
2
1
2221
1211
2
1I
I.
ZZ
ZZ
V
V
+=
+=
2221212
2121111I.ZI.ZV
I.ZI.ZV
7Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1 I2
V1 V2
2221
1211ZZ
ZZ
� Détermination de Z11 : Si I2 = 0 alors V1 = Z11.I1
2121
111 RR
0IIV
Z +==
=
� Détermination de Z21 : Si I2 = 0 alors V2 = Z21.I1
I1
V1 V2
R1 R3
R2
I2 = 0
V2
I1
� Exemple : association de résistances en étoile (1ère méthode)
==
=0II
VZ
21
221
II.1. Les paramètres impédances
II. Représentation impédance
8Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
01II
VZ
2
112
==
� Détermination de Z12 : Si I1 = 0 alors V1 = Z12.I2
� Détermination de Z22 : Si I1 = 0 alors V2 = Z22.I2
I1 I2
V1 V2
2221
1211ZZ
ZZV1 V2
R1 R3
R2
I2
I2
V1
I1 = 0
� Exemple : association de résistances en étoile (1ère méthode)
==
=0II
VZ
12
222
II. Représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
9Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
+
+=
322
221
2221
1211RRR
RRR
ZZ
ZZ
� Écriture de la matrice :
I1 I2
V1 V2
2221
1211ZZ
ZZ
I1
V1 V2
R1 R3
R2
I2
I1 + I2
� Exemple : association de résistances en étoile (1ère méthode)
II. Représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
10Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
( ) ( )
=
+=++=++=
V
I.ZI.ZI.RI.RRII.RI.RV
2
21211122121212111
� Autre méthode : on écrit la loi des mailles en entrée et en sortie:
� Exemple : association de résistances en étoile
I1 I2
V1 V2
2221
1211ZZ
ZZ
I1
V1 V2
R1 R3
R2
I2
I1 + I2
1 2
1
2
� Exemple : association de résistances en étoile (2ème méthode)
II. Représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
11Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Quand le quadripôle est attaqué par un générateur (EG, RG) et qu’il est fermé
sur une charge (RC), il existe un état électrique du quadripôle qui dépend du
générateur et de la charge.
� Il est possible de définir des grandeurs caractéristiques comme l’impédance
d’entrée, l’impédance de sortie, les gains en courant, tension et puissance.
I1
V2
I2
V1
RG
EG RC
Générateur Charge
quadripôle
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
12Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
C22
211211
1
1E RZ
Z.ZZ
IV
R+
−==
� Si le quadripôle n’est pas chargé (RC → ∞) alors RE = Z11.
� RE est l’impédance vue en entrée quand la sortie est chargée par une
impédance RC. La matrice impédance permet d’écrire :
−=+=
+=
2C2221212
2121111I.RI.ZI.ZV
I.ZI.ZV
I1
V2
I2
V1
RG
EG RC
RE
quadripôle
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
� Impédance d’entrée RE
13Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1
V2
I2
V1
RG
EG RC
RS
quadripôle
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
� Impédance de sortie RS
� RS est l’impédance vue en sortie quand l’entrée est fermée par l’impédance
du générateur RG. La matrice impédance permet d’écrire :
+=
−=+=
I.ZI.ZV
I.RI.ZI.ZV
2221212
1G2121111 ==2
2S I
VR
14Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1
V2
I2
V1
RG
EG RCRE
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
� Gain en courant Ai
2C2221212 .IR I.ZI.ZV −=+= ==1
2i I
IA
15Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1
V2
I2
V1
RG
EG RCRE
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
� Gain en tension AV
==1
2v V
VA
16Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1
V2
I2
V1
RG
EG RCRE
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
� Gain composite en tension AVG
GE
Ev
G
1
1
2
G
2vg RR
R.A
EV
.VV
EV
A+
===
� Si le quadripôle n’est pas chargé (RC → ∞) alors :11
21
GE
Evg Z
ZRR
RA
+=
17Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1
V2
I2
V1RGIG RCRE
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
� Gain composite en courant AiG
EG
Gi
G
1
1
2
G
2ig RR
R.A
II
.II
II
A+
===
� Ce gain n’a de sens que si la charge est présente : I2 ≠ 0
18Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1
V2
I2
V1
RG
EG RCRE
RGS
EGS
II. Représentation impédance
� Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a :
+=
+=
2221212
121111I.ZI.ZV
2I.ZI.ZV
+=
−=
2GSGS2
1GG1I.REV
I.REV
avec :
+−+
+=+
+
−=
−=+=
2G11
211222G
G11
21222
G11
12G212
1GG121111
I.RZ
Z.ZZ.E
RZZ
I.ZRZ
2I.ZE.ZV
I.RE2I.ZI.ZV
II.2. Les grandeurs fondamentales
19Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1
V2
I2
V1
RG
EG RCRE
RGS
EGS
II. Représentation impédance
� Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a :
=+
=
+−==
+−=
GvgGG11
21GS
G11
211222SGS
C22
211211E
E.A.ERZ
ZE
RZ
Z.ZZRR
RZ
Z.ZZR
II.2. Les grandeurs fondamentales
20Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
II. Représentation impédance
II.3. Schéma équivalent
� Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son schéma
équivalent donné par la matrice du quadripôle.
� La connaissance de ce schéma équivalent est particulièrement utile lorsque
le réseau réel n’est pas connu et que la détermination des paramètres résulte
de mesures.
I1 I2
V1 V2
2221
1211ZZ
ZZ
I1
V1 V2
Z11 Z22
Z12.I2
I2
Z21.I1
21Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
II. Représentation impédance
II.3. Schéma équivalent
� Schéma équivalent en étoile (en T) uniquement si Z12 = Z21
+
+=
322
221
2221
1211RRR
RRR
ZZ
ZZ
I1
V1 V2
R1 R3
R2
I2
I1 + I2
avec :
� Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son schéma
équivalent donné par la matrice du quadripôle.
� La connaissance de ce schéma équivalent est particulièrement utile lorsque
le réseau réel n’est pas connu et que la détermination des paramètres résulte
de mesures.
22Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
II. Représentation impédance
� On utilise les matrices
impédances [Z’] et [Z’’] des deux
quadripôles associés.
II.4. Association série
=
'I
'I.
'Z'Z
'Z'Z
'V
'V
2
1
2221
1211
2
1
et
� Comme et
=
''I
''I.
''Z''Z
''Z''Z
''V
''V
2
1
2221
1211
2
1
==
==
''I'II
''I'II
222
111
+=
+=
''V'VV
''V'VV
222
111
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]
=
+=
+
=
+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1I
I.Z
I
I.''Z'Z
''I
''I.''Z
'I
'I.'Z
''V
''V
'V
'V
V
Valors :
I1 I2
V1 V2
I1’
I2’
I1’ ’ I2
’ ’
Q ’’
Q
Q’
I1’
I2’
V1’ V2
’
V1’ ’ V2
’ ’
I1 I2
23Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
� Définition
� On exprime les courants en fonction des tensions. Les éléments de la matrice
ont la dimension d’admittances.
quadripôle
I1 I2
V1 V2
� Représentation matricielle
=
2
1
2221
1211
2
1V
V.
YY
YY
I
I
+=
+=
2221212
2121111V.YV.YI
V.YV.YI
24Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1 I2
V1 V2
2221
1211YY
YY
� Détermination de Y11 : Si V2 = 0 alors I1 = Y11.V1
2121
111 YY
0VVI
Y +==
=
� Détermination de Y21 : Si V2 = 0 alors I2 = Y21.V1
I1
V1 V2= 0
Y1 Y3
Y2
I2
� Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode)
==
=0VV
IY
21
221
III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
25Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1 I2
V1 V2
2221
1211YY
YY
� Détermination de Y12 : Si V1 = 0 alors I1 = Y12.V2
� Détermination de Y22 : Si V1 = 0 alors I2 = Y22.V2
==
=0VV
IY
12
222
I1
V1= 0
V2Y1 Y3
Y2
I2
� Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode)
III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
==
=0VV
IY
12
112
26Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
+−
−+=
3YYY
YYY
YY
YY
22
221
2221
1211
� Écriture de la matrice :
I1 I2
V1 V2
2221
1211YY
YY
I1
V1 V2Y1 Y3
Y2
I2
� Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode)
III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
27Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Autre méthode : on écrit la loi des noeuds en entrée et en sortie:
( ) ( )
=
+=−+=−+=
I
V.YV.YV.YV.YYVV.YV.YI
2
212111221212121111
2
I1 I2
V1 V2
2221
1211YY
YY
I1
V1 V2Y1 Y3
Y2
I21 2
� Exemple : association de résistances en triangle (2ème méthode)
III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
28Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
I1 I2
V1 V2
2221
1211YY
YY
I1
V1 V2
Y11 Y22
I2
Y12.V2 Y21.V1
+−
−+=
3YYY
YYY
YY
YY
22
221
2221
1211
I1
V1 V2Y1 Y3
Y2
I2
avec :
III. Représentation admittance
III.2. Schéma équivalent
� Schéma équivalent avec admittances et sources de courant
� Schéma équivalent en triangle (en ππππ) uniquement si Y12 = Y21.
29Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
III.3. Association parallèle
I2’
V1’ V2
’
I1’ ’ I2
’ ’
V1’ ’ V2
’ ’Q ’’
Q
Q’
I1’
V1 V2
I1 I2
� On utilise les matrices
admittances [Y’] et [Y’’] des deux
quadripôles associés.
=
'V
'V.
'Y'Y
'Y'Y
'I
'I
2
1
2221
1211
2
1
et
� Comme et
=
''V
''V.
''Y''Y
''Y''Y
''I
''I
2
1
2221
1211
2
1
+=
+=
''I'II
''I'II
222
111
==
==
''V'VV
''V'VV
222
111
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]
=
+=
+
=
+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1V
V.Y
V
V.''Y'Y
''V
''V.''Y
'V
'V.'Y
''I
''I
'I
'I
I
Ialors :
III. Représentation admittance
30Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Pour des raisons de simplicité, la détermination de la matrice admittance
peut passer par la détermination de la matrice impédance .
III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances
=
2
1
2221
1211
2
1I
I.
ZZ
ZZ
V
V
=
=
−
2
11
2221
1211
2
1
2221
1211
2
1V
V.
ZZ
ZZ
V
V.
YY
YY
I
I
−
−
−=
1112
2122
211222112221
1211ZZ
ZZ.
Z.ZZ.Z1
YY
YYavec
III. Représentation admittance
31Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Exemple : association de résistances en étoile
I1
V1
I2
I1 + I2
I1 I2
V1 V2
2221
1211YY
YY
� Détermination de Y11 : Si V2 = 0 alors I1 = Y11.V1
( )
323121
32
321
132
21
111 R.RR.RR.R
RRYYYY.YY
0VVI
Y++
+=
++
+=
==
V2= 0
� Détermination de Y21 : Si V2 = 0 alors I2 = Y21.V1
==
=0VV
IY
21
221
Y1 = 1/R1 Y3 = 1/R3
Y2 = 1/R2
III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances
III. Représentation admittance
32Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� La matrice admittance s’obtient plus rapidement à partir de la matrice
impédance (plus simple à déterminer) :
� Exemple : association de résistances en étoile
I1 I2
V1 V2
2221
1211YY
YYV
I1
V1
I2
I1 + I2
V2
+−
−+
++=
+
+=
−
212
232
323121
1
322
221
2221
1211RRR
RRR.
R.RR.RR.R1
RRR
RRR
YY
YY
Y1 = 1/R1 Y3 = 1/R3
Y2 = 1/R2
III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances
III. Représentation admittance
33Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
IV.1. Les paramètres hybrides
� On exprime le courant de sortie et la tension d’entrée en fonction du courant
d’entrée et de la tension de sortie. C’est une représentation utilisée pour
l’étude des transistors.
quadripôle
I1 I2
V1 V2
� Définition
� Représentation matricielle
=
2
1
2221
1211
2
1V
I.
hh
hh
I
V
+=
+=
2221212
2121111V.hI.hI
V.hI.hV
� h11 est une impédance, h22 une admittance, h12 et h21 sont des nombres.
IV. Représentation hybride
34Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode)
I1 I2
V1 V2
2221
1211hh
hh
� Détermination de h11 : Si V2 = 0 alors V1 = h11.I1
21
21
21
111 RR
R.R0VI
Vh
+=
==
I1
V1 V2= 0
R1 R3
R2
I2
� Détermination de h21 (gain en courant): Si V2 = 0 alors I2 = h21.I1
==
=0VI
Ih
21
221
IV.1. Les paramètres hybrides
IV. Représentation hybride
35Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode)
I1 I2
V1 V2
2221
1211hh
hh
� Détermination de h12 (gain en tension inverse): Si I1 = 0 alors V1 = h12.V2
I1 = 0
V1 V2R1 R3
R2
I2
� Détermination de h22 : Si I1 = 0 alors I2 = h22.V2
==
=0IV
Ih
12
222
IV.1. Les paramètres hybrides
IV. Représentation hybride
==
=0IV
Vh
12
112
36Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
( )
+
++
+
−
++=
321
321
21
121
1
21
21
2221
1211
R.RRRRR
RRR
RRR
RRR.R
hh
hh
� Écriture de la matrice :
I1 I2
V1 V2
2221
1211hh
hh
I1
V1 V2R1 R3
R2
I2
� Exemple : association de résistances en triangle (1ère méthode)
IV.1. Les paramètres hybrides
IV. Représentation hybride
37Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� On écrit la loi des mailles en entrée et des noeuds en sortie:
I1 I2
V1 V2
2221
1211hh
hh
I1
V1 V2R1 R3
R2
I2
� Exemple : association de résistances en triangle (2ème méthode)
1
2
1
2
−+=
2
12111 R
VVI.RV
=2I
IV.1. Les paramètres hybrides
IV. Représentation hybride
38Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
−=+=
+=
C
22221212
2121111
RV
V.hI.hI
V.hI.hV
� RE est l’impédance vue en entrée quand la sortie est chargée par une
impédance RC. La matrice impédance permet d’écrire :
I1
V2
I2
V1
RG
EG RC
RE
quadripôle
IV.2. Les grandeurs fondamentales
� Impédance d’entrée RE
C22
211211
1
1E
R1
h
h.hh
IV
R+
−==
IV. Représentation hybride
39Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
+=
−=+=
V.hI.hI
I.RV.hI.hV
2221212
1G2121111
IV.2. Les grandeurs fondamentales
I1
V2
I2
V1
RG
EG RC
RS
quadripôle
� Impédance de sortie RS
� RS est l’impédance vue en sortie quand l’entrée est fermée par l’impédance
du générateur RG. La matrice impédance permet d’écrire :
==2
2S I
VR
IV. Représentation hybride
40Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
IV.2. Les grandeurs fondamentales
I1
V2
I2
V1
RG
EG RCRE
� Gain en courant Ai
C22
21
1
2i R.h1
hII
A+
==
IV. Représentation hybride
2C221212221212 I.R.hI.hV.hI.hI −=+=
41Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
IV. Représentation hybride
I1
V2
I2
V1
RG
EG RCRE
IV.2. Les grandeurs fondamentales
� Gain en tension AV
==1
2v V
VA
42Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
IV.3. Schéma équivalent
� Le circuit équivalent est composé d’une impédance (h11), d’une admittance
(h22), d’une source de tension (h12.V2) et d’une source de courant (h21.I1).
I1
I1 I2
V1 V2
2221
1211hh
hhV2
h22
I2
h21.I1
V1
h11
h12.V2
IV. Représentation hybride
43Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires
� Les composants actifs utilisés en électronique sont très souvent non linéaire.
C’est le cas notamment des transistors bipolaires et MOS.
� Les valeurs des éléments de la matrice du quadripôle équivalent ne sont
valables que pour le point de fonctionnement : ils dépendent des potentiels et
courants en entrée du quadripôle.
� Le quadripôle équivalent n’est utilisable qu’en régime petit signal (petit
signal alternatif ajouté à la polarisation continue).
� On obtient les paramètres de la matrice par la connaissance des équations
qui régissent le fonctionnement du composant ou par l’utilisation des
caractéristiques (courbes) de ce composant.
IV. Représentation hybride
44Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal
� i et v correspondent à de petites variations de I et V
iB
vCE
h22
iC
h21.iB
vBE
h11
h12.vCE
� La matrice hybride s’écrit :
+=
+=
CE22B21C
CE12B11BEv.hi.hi
v.hi.hv
VCE+ vCE
IC + iCIB + iB
VBE + vBE
C
EB
iB iC
vBE vCE
2221
1211hh
hh
IV. Représentation hybride
IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires
45Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� On détermine le paramètre h11 à partir
de la courbe IB(VBE) qui correspond ici à
la caractéristique d’une diode.
� VCE est considéré comme constant.
� Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal
VBE
IB
0 VBE-P
IB-P
P_BEBE VVB
BE11 I
Vh
=∂
∂=
� h11 est égale à l’inverse de la pente de cette courbe au point de polarisation :
IV. Représentation hybride
IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires
46Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
IV.5. Association série parallèle
I2’
V1’ V2
’
I1’ ’ I2
’ ’
V1’ ’ V2
’ ’Q ’’
Q
Q’
I1’
V2
I2
I1
V1
I1’
I1’ ’
I1� On utilise les matrices hybrides
[h’] et [h’’] des deux quadripôles
associés.
=
'V
'I.
'h'h
'h'h
'I
'V
2
1
2221
1211
2
1
et
� Comme et
=
''V
''I.
''h''h
''h''h
''I
''V
2
1
2221
1211
2
1
==
==
''V'VV
''I'II
222
111
+=
+=
''I'II
''V'VV
222
111
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]
=
+=
+
=
+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1V
I.h
V
I.''h'h
''V
''I.''h
'V
'I.'h
''I
''V
'I
'V
I
Valors :
IV. Représentation hybride
47Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs d’entrée
quadripôle
I1 I2
V1 V2
� Définition
� Représentation matricielle
−
=
1
1
2221
1211
2
2I
V.
TT
TT
I
V
−=
−=
1221212
1121112I.TV.TI
I.TV.TV
� T12 est une impédance, T21 une admittance, T11 et T22 sont des nombres.
V. Représentation transfert
V.1. Les paramètres transferts
48Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Exemple : association de résistances en étoile
I1 I2
V1 V2
2221
1211TT
TTV1 V2
R1 R3
R2
I2
I1 + I2
2
32
11
211 R
RR0IV
VT
+=
==
� Détermination de T11 (gain en tension) : Si I1 = 0 alors V2 = T11.V1
I1 = 0
� Détermination de T21 : Si I1 = 0 alors I2 = T21.V1
==
=0IV
IT
11
221
V. Représentation transfert
V.1. Les paramètres transferts
49Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Exemple : association de résistances en étoile
I1 I2
V1 V2
2221
1211TT
TTV2
R1 R3
R2
I1 + I2
� Détermination de T12 : Si V1 = 0 alors V2 = T12.I1
� Détermination de T22 (gain en courant) : Si V1 = 0 alors I2 = T22.I1
I1
V1= 0
I2
==
−=0VI
IT
11
222
V. Représentation transfert
V.1. Les paramètres transferts
==
−=0VI
VT
11
212
50Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
+
+++
=
2
1
2
2
3121
2
3
2221
1211
RR
1R1
RR.R
RRRR
1
TT
TT
� Écriture de la matrice :
I1 I2
V1 V2
2221
1211TT
TT
I1
V1 V2
R1 R3
R2
I2
I1 + I2
� Exemple : association de résistances en étoile
V. Représentation transfert
V.1. Les paramètres transferts
51Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
V.1. Association en cascade (en chaîne)
I1 I2
V1 V2
I1’ I2
’
V1’ V2
’Q’
I1’ ’ I2
’ ’
V1’ ’ V2
’ ’Q ’’
Q
� On utilise les matrices de transfert [T’] et [T’’] des deux quadripôles associés.
−
=
'I
'V.
'T'T
'T'T
'I
'V
1
1
2221
1211
2
2
−
=
''I
''V.
''T''T
''T''T
''I
''V
1
1
2221
1211
2
2et
� Comme V1’’ = V2’ et I1’’ = I2’ alors :
−
=
=
1
1
2221
1211
2221
1211
2
2
2221
1211
2
2I
V.
'T'T
'T'T.
''T''T
''T''T
'I
'V.
''T''T
''T''T
I
V
� La matrice de transfert du quadripôle équivalent est donc égale au produit de
la deuxième matrice, [T’’], par la première, [T’].
V. Représentation transfert
52Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
� Exemple : association de résistances en étoile
I1 I2
V1 V2
2221
1211TT
TT
I1
V1
R1 R3
R2
I2
I1 + I2
V2
T1 T2 T3
V.2. Association en cascade (en chaîne)
� On décompose l’association de résistances en étoile en 3 quadripôles :
[ ] =1T [ ] =3T[ ] =2T
V. Représentation transfert
53Christian PETER & Pascal MASSON Les quadripôles
−
∆
222122
222212TTT1
TTTT
−
∆
222221
221222Z1ZZ
ZZZZ
∆
−
111121
111211YYYY
YYY1
2221
1211hh
hh
2221
1211TT
TT
−
∆−
212221
212111ZZZ1
ZZZZ
∆−
−
211121
212122YYYY
Y1YY
−−
−∆−
212122
211121h1hh
hhhh
∆
212221
212111TTT1
TTTT
2221
1211ZZ
ZZ
∆∆−
∆−∆
YYYY
YYYY
1121
1222
−
∆
222221
221222h1hh
hhhh
−
∆−
121112
121222TTT1
TTTT
∆∆−
∆−∆
ZZZZ
ZZZZ
1121
1222
2221
1211YY
YY
∆
−
111121
111211hhhh
hhh1
hYZT
h
Y
Z
T
VI. Lien entre tous les paramètres