Upload
dinhkhue
View
300
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
QuadraticEquations/PersamaanKuadratikQuadraticFunctions/FungsiKuadratik
Progressions/JanjangLinearLaw/HukumLinear
Vectors/VektorTrigonometricFunctions/FungsiTrigonometri
MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]
2
TOPIC: QUADRATIC EQUATIONS / TOPIK: PERSAMAAN KUADRATIK
1. It is given that -2 is one of the roots of quadratic equation 𝑥! − 3𝑥 − 𝑞 = 0. Find the value of q.
Diberi bahawa -2 ialah satu daripada punca persamaan kuadratik 𝑥! − 3𝑥 − 𝑞 = 0. Cari nilai q.
2. The quadratic equation 𝑥! + 2𝑥 = − 𝑝! − 3𝑝𝑥, where p is a constant, has no roots.
Find the range of values of p.
Persamaan kuadratik 𝑥! + 2𝑥 = − 𝑝! − 3𝑝𝑥, dengan keadaan p ialah pemalar, tidak
mempunyai punca.
Cari julat nilai p.
3. The quadratic equation (2𝑚 − 1)𝑥! + 2𝑥 + 5 = 0, where m is a constant, has two different
roots. Find the range of values of m.
Persamaan kuadratik (2𝑚 − 1)𝑥! + 2𝑥 + 5 = 0 , dengan keadaan m ialah pemalar,
mempunyai dua punca berbeza. Cari julat nilai m.
4. The quadratic equation 𝑥! + 2 + ℎ 𝑥 + ℎ = −10, where h is a constant, has two equal
roots. Find the values of h.
Persamaan kuadratik 𝑥! + 2 + ℎ 𝑥 + ℎ = −10, dengan keadaan h ialah pemalar,
mempunyai dua punca sama. Cari nilai- nilai h.
5. It is given that quadratic equation 𝑥 2𝑥 − 7 = 3𝑥 + 2.
Diberi bahawa persamaan kuadratik 𝑥 2𝑥 − 7 = 3𝑥 + 2.
(a) Express the equation in the form 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
Ungkapkan persamaan itu dalam bentuk 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
(b) State the sum of roots of the equation.
Nyatakan hasil tambah punca bagi persamaan itu.
(c) Determine the types of roots of the equation.
Tentukan jenis punca bagi persamaan itu.
3472/2 © Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016
3
TOPIC: QUADRATIC FUNCTIONS / TOPIK: FUNGSI KUADRATIK
1. The diagram shows the graph of function f (x) = – ( x – p)2 – 4, where p is a constant. Find
Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik f (x) = – ( x – p)2 – 4, dengan keadaan p ialah pemalar. Cari
(a) the value of p,
nilai p,
(b) the equation of the axis of symmetry,
persamaan paksi simetri,
(c) the coordinates of the maximum point.
koordinat titik maksimum.
2. The diagram shows the graph of function f (x) = p ( x – 3)2 + q, where p and q are constants. The curve
has the minimum point (m, 5), where m is a constant. Find the value of p, q and m.
Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik f (x) = p ( x – 3)2 + q, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
Lengkung ini mempunyai titik minimum (m, 5), dengan keadaan m ialah pemalar . Cari nilai p, q dan m.
f(x)
xO
-8 (6,-8)
(m,5)
x
f(x)
O
14
MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]
4
3. The diagram shows the graph of function f (x) = 2( x + 2m)2 – 3, where m and n are constants. Find
Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik f (x) = 2 (x + 2m)2 – 3, dengan keadaan m dan n ialah
pemalar. Cari
(a) the value of m and n,
nilai m dan n,
(b) the equation of the axis of symmetry,
persamaan paksi simetri,
(c) the coordinates of the minimum point.
koordinat titik minimum.
4. Find the range of values of x for which (x – 2)2 > 18 + x.
Cari julat nilai-nilai x untuk (x – 2)2 > 18 + x.
5. The quadratic function f (x)= -2x2 -12x + p2, where p is a constant, has a minimum value of 34. Find the
possible values of p.
Fungsi kuadratik f (x)= -2x2 -12x + p2, dengan kedaan p ialah pemalar, mempunyai nilai minimum 34.
Cari nilai-nilai yang mungkin bagi p.
f(x)
xO
(4,n)
3472/2 © Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016
5
TOPIC: PROGRESSIONS / TOPIK: JANJANG
1. Find the sum of the first 20 terms of the sequence 3, 5, 7,….
Cari hasil tambah 20 sebutan pertama bagi jujukan 3, 5, 7,….
2. Determine the number of terms in the arithmetic progression 4, 7, 10, ..., 106.
Tentukan bilangan sebutan dalam janjang aritmetik 4, 7, 10, ..., 106.
3. It is given that 9, 3, 1, …, is a geometric progression. Find the fifth term of the progression.
Diberi bahawa 9, 3, 1, …, ialah satu janjang geometri. Cari sebutan kelima bagi janjang itu.
4. The first three positive terms of a geometric progression are 3, p and 75. Find the value of p and the
common ratio of the progression.
Tiga sebutan pertama yang positif bagi suatu janjang geometri ialah 3, p dan 75. Cari nilai p dan
nisbah sepunya bagi janjang itu.
5. Find the sum to infinity of the geometric progression −6, 3, − !!,….
Cari hasil tambah hingga ketakterhinggaan bagi janjang geometri −6, 3, − !!,….
MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]
6
TOPIC: LINEAR LAW / TOPIK: HUKUM LINEAR
1. The variables x and y are related by the equation 𝑦 = 𝑝𝑥! + 𝑞𝑥, where p and q are constants. A straight
line graph is obtained by plotting against x², as shown in diagram below.
Pemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan 𝑦 = 𝑝𝑥! + 𝑞𝑥, di mana p dan q adalah
pemalar. Graf garis lurus diperoleh dengan memplotkan melawan x², seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di bawah.
Find the values of p and of q.
Carikan nilai p dan nilai q.
2. The variables x and y are related by the equation , where p and q are constants. A straight
line graph is obtained by plotting xy against x², as shown in diagram below.
Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan , dengan p dan q ialah pemalar. Satu
graf garis lurus diperoleh dengan memplot xy melawan x², seperti yang ditunjukkan dalam rajah di
bawah.
Find the values of p and q.
Cari nilai p dan nilai q.
3. Given , find the values of p and q.
Diberi , cari nilai p dan nilai q.
(2, −4)
(5, −13)
3472/2 © Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016
7
4. Express y in terms of x.
Ungkapkan y dalam sebutan x.
5. Diagram below shows a straight line graph of lg y against x.
Rajah di bawah menunjukkan graf garis lurus lg y melawan x.
Express y in terms of x.
Ungkapkan y dalam sebutan x.
MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]
8
TOPIC: VECTORS / TOPIK: VEKTOR
1. The diagram shows the vector OP→
drawn on a Cartesian Plane.
Rajah menunjukkan vektor OP→
yang dilukis pada satu Satah Catesan.
(a) Express vector OP→
in the form of xy
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟.
Ungkapkan vektor OP→
dalam bentuk xy
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟.
(b) Find the unit vector in the direction of OP→
.
Cari vektor unit pada arah OP→
.
2. Given that m~=12 i
~+ 4 j
~and n
~= 8 i
~− p j
~, find
Diberi m~=12 i
~+ 4 j
~dan n
~= 8 i
~− p j
~, cari
(a) m~− n~
in the form of x i~+ y j
~.
m~− n~
dalam bentuk x i~+ y j
~.
(b) the values of p if m~− n~= 5 .
nilai-nilai p jika m~− n~= 5 .
y
xO
P(6,8)
3472/2 © Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016
9
3. The diagram shows the vectors OP→
and OQ→
.
Rajah menunjukkan vektor-vektor OP→
dan OQ→
.
(a) Express the vectors OP→
and OQ→
in the form of xy
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟.
Ungkapkan vektor-vektor OP→
dan OQ→
dalam bentuk xy
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟.
(b) Express the vector PQ→
in the form of x i~+ y j
~. Hence, find the unit vector in the direction of PQ
→
.
Ungkapkan vektorPQ→
dalam bentuk x i~+ y j
~. Seterusnya, cari vektor unit pada arah PQ
→
.
4. Given that P (-2, 5), Q (4, 3), R (m, n), where m and n are constants. Find the value of m and n such that
2PQ→
+QR→
= 2 i~−10 j
~.
Diberi P (-2, 5), Q (4, 3), R (m, n), dengan m dan n ialah pemalar. Cari nilai bagi m dan n supaya
2PQ→
+QR→
= 2 i~−10 j
~.
P(4,2)
y
xO
Q(-7,5)
MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]
10
5. The diagram shows a parallelogram ABCD. BED is a straight line.
Rajah menunjukkan sebuah segi empat selari ABCD. BED ialah satu garis lurus.
Given that AB→
=10 x~, AD
→
= 6 y~
and DE→
= 2EB→
. Express in terms of x~
and y~
,
Diberi AB→
=10 x~, AD
→
= 6 y~
dan DE→
= 2EB→
. Ungkapkan dalam sebutan x~
dan y~
,
(a) EB→
,
(b) CE→
.
D
A
C
B
E
3472/2 © Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016
11
TOPIC: TRIGONOMETRIC FUNCTIONS / TOPIK: FUNGSI TRIGONOMETRIK
1. Solve the equation 4 cos 𝑥 sin 𝑥 − sin 𝑥 = 0 for 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
Selesaikan persamaan 4 cos 𝑥 sin 𝑥 − sin 𝑥 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
2. Solve the equation 2 𝑡𝑎𝑛! 𝑥 − 1 = tan 𝑥 for 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
Selesaikan persamaan 2 𝑡𝑎𝑛! 𝑥 − 1 = tan 𝑥 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
3. Given that cos 𝜃 = 𝑝 such that 𝜃 is an acute angle, express in terms of 𝑝,
Diberi kos 𝜃 = 𝑝 dengan keadaan 𝜃 ialah sudut tirus, nyatakan dalam sebutan 𝑝,
(i) sec θ, sek 𝜃,
(ii) sin 2𝜃. sin 2𝜃.
4. (a) Prove the identity !"# !!!!!"# !
= 1 – cos x.
Buktikan identiti !"# !!!!!"# !
= 1 – cos x. (b) Solve the equation 𝑠𝑒𝑐 !𝑥 − 4 tan 𝑥 + 2 = 0 for 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°. Selesaikan persamaan 𝑠𝑒𝑐 !𝑥 − 4 tan 𝑥 + 2 = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°. 5. Given that sin𝐴 = − !
! and cos𝐵 = !
!" such that A and B are in the same quadrant. Find
the value of
Diberi sin𝐴 = − !!
dan cos𝐵 = !!"
dengan keadaan A dan B berada pada sukuan yang sama. Tentukan nilai bagi
(i) sin (A + B)
(ii) tan (A – B)
MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]
12
SOLUTION / JALAN PENYELESAIAN
TOPIC: QUADRATIC EQUATIONS / TOPIK: PERSAMAAN QUADRATIK
1. q = 10
2. −2 < 𝑝 < − !!
3. 𝑚 < !!
4. h = 6 or h = − 6
5. (a) x2 – 5x – 1 = 0
(b) Sum of roots = 5
(c) 29 > 0, two different roots
TOPIC: QUADRATIC FUNCTIONS / TOPIK: FUNGSI KUADRATIK
1. (a) p = 6
(b) x = 3
(c) (3, −4)
2. p = 1, q = 5, m = 3
3. (a) m = –2 and n = – 3
(b) x = 4
(c) (4, –3)
4. x < –2, x > 7
5. p = –4 or p = 4
3472/2 © Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016
13
TOPIC: PROGRESSIONS / TOPIK: JANJANG
1. 𝑎 = 3,𝑑 = 2, 𝑛 = 20
𝑆! =!!2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑
𝑆!" =!"!2 3 + 19 2
= 440
2. a = 4
d = 7 – 4 = 3
Tn = a + (n – 1)d = 106
4 + 3(n – 1) = 106
3(n – 1) = 102
n – 1 = 34
n = 35
There are 35 terms in the progression.
3. 𝑎 = 9
𝑟 =39=13, 𝑛 = 5
𝑇! = 𝑎𝑟!!!
𝑇! = 913
!=19
𝑟 = !!!!= !!
!!
𝑟 =𝑝3=75𝑝
𝑝! = 3 75
= 225
𝑝 = 15 (𝑝 𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒)
𝑟 =153= 5
5. 𝑎 = −6, 𝑟 = !!!= − !
!
𝑆! =𝑎
1 − 𝑟
𝑆! =−6
1 − − 12= −4
4.
MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]
14
TOPIC : LINEAR LAW / TOPIK: HUKUM LINEAR
1.
2.
×x, xy = p + qx2
xy = qx2 + p
q = Gradient of the graph
At point (2, −4), x2 = 2 and xy = −4
3.
×𝑥,
3472/2 © Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016
15
4.
5. Gradient of the straight line = = 2
Y-intercept = 1
The equation of the straight line is
Y = mX + c
lg y = 2x + 1
Thus, y = 102x + 1
TOPIC: VECTORS / TOPIK: VEKTOR
1. (a) OP→
= 68
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
(b) unit vector in direction of OP→
=35i~+45j~
or OP→
=15
68
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟.
2. (a) m~− n~= 4 i
~+ (p+ 4) j
~
(b) p = −1, p = −7
3. (a) OP→
= 42
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟, OQ
→
= −75
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟.
(b) PQ→
= −113
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ and unit vector in direction ofPQ
→
=−11130
i~+
3130
j~.
4. m = −6, m = −3
5. (a) EB→
=103x~− 2 y
~
(b) CE→
= −103x~− 4 y
~
MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]
16
TOPIC: TRIGONOMETRIC FUNCTIONS / TOPIK: FUNGSI TRIGONOMETRIK
1. 𝑥 = 0°, 75.52°, 90°, 180°, 284.48°, 360°
2. 𝑥 = 45°, 153.43°, 225°, 333.43°
3. (i) 1p
(ii) 2𝑝 1 − 𝑝!
5. (b) 𝑥 = 45°, 71.57°, 225°, 251.57°
6. (i) − 5665
(ii) 1663