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Introdução à Mecânica Quântica
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LO 3
Raul Jos Donangelo Rodrigo Barbosa Capaz
Volume 1 - Mdulo 12a edio
Introduo Mecnica Quntica
Apoio:
Material Didtico
2009/1 Referncias Bibliogrfi cas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
Copyright 2007, Fundao Cecierj / Consrcio Cederj
Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao.
D676m
Donangelo, Raul Jos.
Introduo mecnica quntica. v. 1 / Raul Jos Donangelo;
Rodrigo Barbosa Capaz. 2. ed. Rio de Janeiro : Fundao
CECIERJ, 2009.
120p.; 21 x 29,7 cm.
ISBN: 978-85-7648-395-3
1. Mecnica quntica. I. Capaz, Rodrigo Barbosa.
II. Ttulo.
CDD: 531.12
ELABORAO DE CONTEDORaul Jos DonangeloRodrigo Barbosa Capaz
COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISO Marcelo Bastos MatosPatrcia Alves
COORDENAO DE AVALIAO DO MATERIAL DIDTICODbora Barreiros
AVALIAO DO MATERIAL DIDTICOLetcia Calhau
EDITORATereza Queiroz
REVISO TIPOGRFICACristina FreixinhoElaine BaymaPatrcia Paula
COORDENAO DE PRODUOJorge Moura
PROGRAMAO VISUALSanny Reis
ILUSTRAOJefferson Caador
CAPAJefferson Caador
PRODUO GRFICAAndra Dias FiesFbio Rapello Alencar
Departamento de Produo
Fundao Cecierj / Consrcio CederjRua Visconde de Niteri, 1364 Mangueira Rio de Janeiro, RJ CEP 20943-001
Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725
PresidenteMasako Oya Masuda
Vice-presidenteMirian Crapez
Coordenao do Curso de FsicaLuiz Felipe Canto
Universidades ConsorciadasUENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho
UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Vieiralves
UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman
UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda
UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio Teixeira
UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles
Governo do Estado do Rio de Janeiro
Secretrio de Estado de Cincia e Tecnologia
Governador
Alexandre Cardoso
Srgio Cabral Filho
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Introduo Mecnica Quntica
SUMRIO
Volume 1 - Mdulo 1
Aula 1 Experincias com projteis e ondas ______________________________7 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Aula 2 Experincias com eltrons ___________________________________ 19 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Aula 3 O Princpio da Complementaridade e o papel do observador na Mecnica Quntica__________________________ 31 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Aula 4 Funo de onda e Equao de Schrdinger_______________________ 39 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Aula 5 Operadores momento e energia e o Princpio da Incerteza ___________ 49 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Aula 6 O caso estacionrio em uma dimenso _________________________ 59 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Aula 7 A partcula livre___________________________________________ 71 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Aula 8 O degrau de potencial. Caso I: energia menor que o degrau __________ 83 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Aula 9 O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau __________ 95 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Aula 10 Exerccios______________________________________________105 Raul Jos Donangelo / Rodrigo Barbosa Capaz
Referncias ___________________________________________119
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objetiv
os1AULAPr-requisitos
Meta da aula
Experincias com projteis e ondas
Descrever experincias de interferncia por uma fenda dupla com projteis e ondas.
analisar o comportamento de projteis ao passar por uma fenda dupla;
avaliar o comportamento de ondas ao passar por uma fenda dupla;
relembrar o conceito de interferncia em ondas.
Para esta aula, importante revisar interferncia de ondas: Aula 12 da disciplina Fsica 2B
e Aula 8 da disciplina Fsica 4A.
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Voc teve uma breve introduo a algumas idias e experimentos iniciais da fsica quntica na disciplina Fsica 4B. Na presente disciplina, vamos explorar com muito mais profundidade o mundo quntico.
A MECNICA DOS OBJETOS MICROSCPICOS
Iniciamos nosso estudo de Fsica pela chamada mecnica
newtoniana ou mecnica clssica. A mecnica clssica, que foi o objeto
de estudo nas disciplinas Fsica 1A e Fsica 1B, a mecnica dos objetos
macroscpicos, ou seja, aqueles de dimenses palpveis ou visveis a olho
nu: bolas, projteis, carros, avies, planetas etc. Aprendemos que tais
objetos obedecem muito bem s leis de Newton. Em muitas situaes,
podem ser descritos como partculas ou corpsculos, ou seja, sua estrutura
interna pode muitas vezes ser ignorada e eles podem ser descritos
como objetos pontuais que se movem no espao. O comportamento destes
objetos consiste na fsica mais corriqueira do nosso dia-a-dia, aquela que
aprendemos de forma intuitiva desde que somos bebs, de modo que
pensamos ter uma noo bem clara de como deve se comportar uma
partcula em uma determinada situao.
Em seguida, aprendemos a fsica das ondas na disciplina
Fsica 2A. Por exemplo, vimos que as ondas sonoras ou as ondas na
superfcie de um lago apresentam um comportamento bem diferente
daquele das partculas (apesar de o ar e a gua, os meios onde estas
ondas se propagam, serem formados por partculas). Surgem, por
exemplo, os fenmenos de difrao e interferncia, que no podem ser
descritos pela mecnica das partculas. Aprendemos, ainda, na disciplina
Fsica 4A, que a luz um tipo de onda eletromagntica.
Neste curso, iremos introduzir uma mecnica comple-
tamente nova e diferente da mecnica clssica e da mecnica
ondulatria. a mecnica que descreve os objetos microscpicos,
como tomos e eltrons, por exemplo. Veremos que tais objetos
se comportam em muitas situaes como partculas e, em
outras, como ondas. Mas no so nem uma coisa nem outra!
Eles obedecem s leis da mecnica quntica.
!
No leve essa aula muito a srio... apenas relaxe e desfrute dela.
Vou contar para vocs como a natureza se comporta. Se voc
admitir simplesmente que ela tem esse comportamento, voc
a considerar encantadora e cativante. No fique dizendo para
si prprio: Mas como ela pode ser assim? porque nesse caso
voc entrar em um beco sem sada do qual ningum escapou
ainda. Ningum sabe como a natureza pode ser assim.
Richard Feynman
Prmio Nobel de Fsica 1965
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Apesar de lidar com objetos de dimenses atmicas, pouco familiares a ns, a mecnica quntica no uma teoria abstrata ou sem aplicaes no mundo real. Pelo contrrio, muitas invenes que fazem parte do nosso dia-a-dia s foram possveis por causa da mecnica quntica: o computador, o laser, a energia nuclear, as imagens de ressonncia magntica etc. Em 2000, a revista Scientific American estimou que 1/3 do produto interno bruto dos EUA estava ligado mecnica quntica!
Apesar de estarmos descrevendo-a como nova, a mecnica quntica j uma anci, tem mais de 100 anos de idade! E ela no surgiu de uma inspirao terica, pelo contrrio, foi uma necessidade imposta (a contragosto de muitos) pelos experimentos realizados naquela poca, que mostravam resultados em contradio marcante com a fsica clssica. A histria destes experimentos e do desenvolvimento e aceitao graduais da nova teoria quntica est descrita em vrios livros e extremamente rica e interessante, mas est alm dos objetivos desta disciplina.
UMA EXPERINCIA COM PROJTEIS
Para mostrar que os objetos microscpicos no se comportam
nem como ondas nem como partculas, escolhemos um experimento
onde este comportamento se manifesta de forma marcante: a experincia
de interferncia por uma fenda dupla. Voc se lembra quando viu esta
experincia no caso de ondas de luz na Aula 8 da disciplina Fsica 4A?
Tornaremos a tratar deste caso (ondas) em breve, mas, inicialmente,
iremos descrever o comportamento de projteis (balas de canho ou
bolinhas de gude, por exemplo) ao passar por uma fenda dupla. Em
seguida, iremos analisar o comportamento das ondas e, finalmente, o
de objetos microscpicos, como os eltrons.
O aparato experimental est esquematizado na Figura 1.1.a.
H uma metralhadora que dispara projteis, um de cada vez, em direes
aleatrias. Em frente metralhadora, h uma parede que impede a
passagem dos projteis, exceto por dois pequenos buracos. Mais adiante,
h um anteparo, onde os projteis que conseguem passar pelos buracos se
alojam, e sua chegada verificada por um detetor deslocvel. Este detetor
pode ser uma caixa com areia, por exemplo, onde os projteis se depositam.
Depois, podemos contar quantos projteis chegaram em cada posio da
parede em um certo intervalo de tempo. A posio ao longo da parede
descrita por uma coordenada x, medida a partir do centro.
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Nossa primeira observao parece um pouco bvia, dada nossa
grande intuio com partculas clssicas: cada projtil chega intacto
ao detetor, como se fossem pacotes idnticos, um de cada vez.
claro, estamos supondo que so projteis indestrutveis... No se
observa a chegada de meio projtil ou a chegada de dois projteis
simultaneamente em lugares diferentes. Projteis sempre chegam em
pacotes idnticos.
Em seguida, usando esse aparato simples, podemos tentar
responder seguinte pergunta: Qual a probabilidade de um projtil
acertar a posio x? Naturalmente, temos de falar em probabilidades,
pois impossvel saber com certeza absoluta a trajetria de cada partcula,
j que elas so lanadas em direes aleatrias e podem ricochetear de
forma imprevisvel nas bordas dos buracos. Mas a probabilidade pode
ser facilmente medida, tomando-se a frao de projteis que chegam a
uma certa posio em relao ao nmero total de projteis que acertam
todo o anteparo, no mesmo intervalo de tempo. Se fizermos a medida,
obteremos a distribuio de probabilidades P12 mostrada na Figura
1.1.c, que tem este nome porque os projteis podem passar tanto pelo
buraco 1 como pelo buraco 2. A curva P12 tem um mximo em torno de
x = 0 e decai para valores muito pequenos se tomamos valores de x
muito distantes da origem.
Figura 1.1: (a) Esquema do experimento de fenda dupla com projteis. (b) Situao experimental e distribuies de probabilidades obtidas quando uma das fendas fechada. (c) Situao experimental e distribuio de probabilidade obtida quando as duas fendas esto abertas.
a b c
Detetor
P12 = P1 + P2
x
P12
P2
x
x
1
2
1
2
1
2
1
2
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ATIVIDADE
Mas por que o valor mximo de P12 fi ca em torno de x = 0? De fato,
isto acontece apenas se a distncia entre os buracos for sufi cientemente
pequena (veja a Atividade 1 desta aula), mas com esta situao
que queremos lidar. Podemos entender isto se fi zermos novamente o
experimento, mas, desta vez, fechando um dos buracos, como mostra
a Figura 1.1.b. Se fechamos o buraco 2, medimos a distribuio de
probabilidades P1 mostrada no painel superior. E se fechamos o buraco 1,
medimos a distribuio P2 mostrada do painel inferior. Como esperado,
a distribuio P1 tem seu valor mximo na posio x na parede que
est ao longo da reta tracejada que vai da metralhadora ao buraco 1.
E a distribuio P2 se comporta de forma anloga.
A distribuio conjunta P12 simplesmente a soma das distribuies
parciais:
P12 = P1 + P2 (1.1)
Ou seja, o efeito obtido quando temos os dois buracos abertos
a soma dos efeitos de cada buraco individualmente. Isto quer dizer que
projteis no sofrem interferncia, como veremos a seguir que ocorre
com ondas.
Isto resume nosso entendimento sobre projteis incidindo em uma
fenda dupla: primeiro, eles chegam em pacotes idnticos; segundo, no
apresentam interferncia.
Uma metralhadora despeja balas em uma fenda dupla, como mostrado na Figura 1.1. As balas passam pelo buraco 1. Elas, ento, se depositam no anteparo, de acordo com uma distribuio de probabilidades que pode ser aproximada por uma gaussiana com largura e mximo em x = d, ou seja, P1(x) = Ae
(x d)2/22, onde A um fator de normalizao. J as balas que passam pelo buraco 2 se depositam em torno de x = d de forma anloga: P2(x) = Ae
(x + d)2/22. Se a largura for muito maior que d, a distribuio resultante (P12 = P1 + P2) ter um nico pico, como na Figura 1.1.c. Porm, se for muito menor que d, a distribuio resultante ter dois picos. Encontre, em funo de d, o valor de que separa estes dois regimes.
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RESPOSTA COMENTADA
Graficamente, muito claro observar se uma curva tem um pico
ou dois picos. A dificuldade deste problema est em expressar
matematicamente estas situaes. Bem, sabemos que uma funo
que apresenta um mximo local tem derivada nula neste ponto e
derivada segunda negativa. J se a funo tiver um mnimo local,
ela ter derivada nula e derivada segunda positiva. Faa agora um
esboo da distribuio P12 nas duas situaes: com um pico e com
dois picos. Quais as diferenas essenciais entre os dois grficos que
voc fez? Uma delas bvia: uma distribuio tem um pico e a outra
tem dois. Mas repare tambm no comportamento de P12 na posio
x = 0. Note que P12 ser mxima neste ponto se tiver um pico (na
verdade, o pico ocorre precisamente em x = 0) ou ser mnima se
tiver dois picos. Como dissemos, o que distingue matematicamente
estas duas situaes o sinal da derivada segunda. Assim, o valor
limtrofe de d que separa estes dois regimes pode ser encontrado
impondo a condio de derivada nula, ou seja, nem positiva nem
negativa. Portanto, imponha a condio que voc
chegar na resposta depois de fazer um pouco de lgebra.
UMA EXPERINCIA COM ONDAS
Vamos ver agora o que acontece quando usamos o mesmo
aparato experimental para estudar o comportamento de ondas de gua
(e no mais de projteis). O esquema da experincia est mostrado na
Figura 1.2. No lugar do canho, temos agora um dispositivo gerador de
ondas circulares, uma fonte de ondas. Pode ser, por exemplo, um pequeno
objeto que oscila para cima e para baixo na superfcie da gua. Temos
ainda a parede com dois buracos e, mais adiante, um anteparo absorvedor
de ondas, construdo de modo que as ondas no sejam refletidas ao
incidirem sobre ele (uma praia em miniatura, por exemplo). No anteparo
absorvedor, coloca-se um pequeno detetor da intensidade das ondas, do
qual podemos variar a posio x. Este detetor pode ser uma pequena
bia que oscila para cima e para baixo, ao sabor das ondas que chegam
at ela. Lembre-se da Aula 11 de Fsica 2A: a intensidade da onda no
exatamente a amplitude da oscilao deste objeto, mas sim proporcional
ao quadrado da amplitude!
d Pdx
x
2122
0
0=
=
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O que observamos quando fazemos o experimento? Em primeiro
lugar, observa-se que a onda que chega ao detetor pode ter qualquer
intensidade. Ou seja, a bia pode ser mover com qualquer amplitude,
ainda que seja muito pequena. Este resultado bastante diferente do que
observamos com projteis: partculas chegam ou no chegam em
pacotes iguais, ou seja, com intensidades discretas ou quantizadas.
J as ondas chegam com qualquer intensidade, ou seja, a intensidade
varia de forma contnua.
Figura 1.2: Esquema do experimento de fenda dupla com ondas. As intensidades I1 e I2 correspondem s situaes onde apenas os buracos 1 ou 2 esto abertos, respectivamente. J a intensidade I12 corresponde situao em que os dois buracos esto abertos simultanemente.
Quando medimos a intensidade da onda I12 em funo da posio
x do detetor, obtemos o grfico mostrado na Figura 1.2. Note que a
intensidade oscila fortemente com a posio, passando por valores mximos
(picos) e mnimos (vales). Este grfico nos familiar dos nossos estudos
em fsica ondulatria e tica (Fsica 2A e Fsica 4A): trata-se do conhecido
padro de interferncia por uma fenda dupla. Conceitualmente, ele pode
ser entendido a partir da idia de que os buracos atuam como geradores
de novas ondas circulares, que interferem construtiva ou destrutivamente.
Se tamparmos um dos buracos, a interferncia desaparece. A curva I1 da
referida figura corresponde situao em que apenas o buraco 1 deixado
aberto e, para a curva I2, apenas o buraco 2 aberto. Note que estas
curvas no tm as oscilaes fortes da curva I12, de modo que, claramente,
notamos que I12 I1 + I2.
Detetor
I12
xAnteparo x
I1
I2
Fonte
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Se I12 I1 + I2 , como podemos ento obter matematicamente uma
expresso para a intensidade I12? Lembre-se: quando h interferncia, a
funo que representa a onda resultante a soma das funes das ondas
que a compem. No caso de ondas na superfcie da gua, a funo de
onda apropriada a altura do nvel da gua. Se soubermos a altura como
funo da posio e do tempo, teremos a informao completa sobre a
propagao da onda. Assim, podemos representar a altura da onda que
chega no detetor a partir do buraco 1 pela seguinte funo:
h1(x) = A1(x)eit , (1.2)
onde x a posio do detetor. O fator exponencial complexo eit
d conta da dependncia temporal da altura, enquanto a amplitude
A1 um nmero real e positivo, que depende da posio x. Como
dissemos, a intensidade desta onda proporcional a A12. Para nossa
argumentao, no necessrio saber exatamente quanto vale o fator
de proporcionalidade, de modo que podemos definir a intensidade desta
onda simplesmente como
I1 = A12 . (1.3)
De forma semelhante, a altura h2 da onda que chega no detetor
a partir do buraco 2 dada por:
h2(x) = A2(x)ei(t + ). (1.4)
Note que surge uma diferena de fase entre as duas ondas
devido diferena entre as distncias percorridas desde os dois buracos
at o ponto x. Da mesma forma, a intensidade dada pelo quadrado
da amplitude:
I2 = A22 . (1.5)
Na verdade, a altura deve ser uma quantidade real, de modo que altura da onda que vem do buraco 1 , de fato, a parte real de h1(x). O mesmo vale para a onda 2. Mas usamos o j familiar artifcio matemtico de generalizar as funes de onda para valores complexos, de modo a facilitar as contas, tendo sempre o cuidado de tomar a parte real no final delas. Note que a intensidade real, como deve ser!
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Estamos agora prontos para obter a altura da onda resultante h12.
Basta somarmos as alturas das duas ondas:
. (1.6)
mais fcil fazer esta soma graficamente, usando o conceito de
fasores, como voc viu na Aula 19 de Fsica 4A. Isto est mostrado na
Figura 1.3. A partir da lei dos cossenos, obtemos a intensidade da onda
resultante:
(1.7)
ou, em termos das intensidades:
(1.8)
Figura 1.3: Esquema da soma das duas funes complexas h1 e h2 atravs de fasores.
O ltimo termo precisamente o termo de interferncia. por
causa dele que I12 I1 + I2 .
Podemos, ento, resumir nosso entendimento sobre o experimento
da fenda dupla com ondas de gua nos seguintes resultados principais:
primeiro, a intensidade pode ter qualquer valor; segundo, h
interferncia.
h x h x h x A x e A x ei t i t12 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= + = + +
I A A A A A12 122
12
22
1 22= = + + cos .
I I I I I12 1 2 1 22= + + cos .
h2h12
t + h1
Re(h)
t
Im(h)
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Vamos recordar os conceitos mais importantes associados interferncia? Diz-se que h interferncia construtiva quando a intensidade atinge um valor mximo (picos na curva I12). Isto ocorre quando as ondas provenientes dos dois buracos esto em fase (ou seja, = 0). Note que a intensidade da onda resultante maior que a soma das intensidades das duas ondas! Geometricamente, esta condio obtida quando a diferena entre as distncias percorridas pelas duas ondas, desde os respectivos buracos at o detetor, for um mltiplo inteiro n do comprimento de onda : (interferncia construtiva)
J a situao de interferncia destrutiva corresponde aos mnimos de intensidade, ocorrendo quando as duas ondas estiverem fora de fase (ou, mais precisamente, com uma diferena de fase de ). Esta condio obtida quando a diferena das distncias percorridas for um mltiplo inteiro mpar de um meio comprimento de onda:
(interferncia destrutiva)
ATIVIDADE FINAL
Obtenha algebricamente a Equao (1.8) a partir da Equao (1.6).
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
RESPOSTA COMENTADA
Para chegar resposta, voc precisar apenas lembrar que
e, depois de chegar a uma expresso para h12 , obter seu mdulo ao quadrado | h12|
2.
d d n1 2 2 1 2 = +( )
d d n1 2 =
e cos iseni = +
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R E S U M O
Analisamos o experimento de fenda dupla realizado de duas formas distintas:
uma com projteis e a outra com ondas. Observamos que projteis chegam ao
detetor em pacotes idnticos e no apresentam interferncia. Em contraste com
este comportamento, as ondas podem ser detetadas com qualquer intensidade e
apresentam interferncia. Esses comportamentos so caractersticos das partculas
e das ondas clssicas. Ser interessante compar-los com o comportamento de
partculas qunticas, o que faremos na prxima aula.
INFORMAO SOBRE A PRXIMA AULA
Na prxima aula, descreveremos o experimento de fenda dupla realizado com
partculas qunticas, como eltrons.
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Meta da aula
Experincias com eltrons
Descrever uma experincia de interferncia por uma fenda dupla com partculas qunticas.
analisar o comportamento de eltrons ao passar por uma fenda dupla;
comparar este comportamento com o de projteis e ondas, descritos na aula anterior desta disciplina;
introduzir o conceito de interferncia de eltrons.
Para uma melhor compreenso desta aula, importante a reviso dos seguintes contedos: interferncia por uma fenda dupla
com ondas (Aula 8 de Fsica 4A); ftons e dualidade onda-partcula (Aula 8 de Fsica 4B); ondas de matria e o comprimento
de onda de de Broglie (Aula 9 de Fsica 4B).
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UMA EXPERINCIA COM ELTRONS
Vamos ver agora o que acontece quando realizamos o mesmo
experimento de fenda dupla, mas agora com eltrons. Para isso, usamos
um canho de eltrons. Este pode ser um fio metlico de tungstnio (como
o filamento de uma lmpada) que, quando aquecido, emite eltrons. Como
nos dois experimentos descritos na aula anterior, os eltrons incidem sobre
uma parede que tem dois buracos e atingem um anteparo no qual h um
detetor deslocvel. Um detetor para eltrons pode ser um CONTADOR GEIGER
ou um multiplicador de eltrons que, conectado a um alto-falante, produz
um rudo toda vez que for atingido por um eltron.
A primeira coisa que notamos que a chegada dos eltrons no
detetor produz sons de cliques bem definidos, vindos do alto-falante.
Se interpretamos um som de clique como sendo a chegada de um
eltron no detetor, quase todas as nossas observaes levam a crer que
os eltrons se comportam como projteis:
a. Todos os cliques so idnticos: no existem meios-cliques,
por exemplo. Portanto, os eltrons chegam em pacotes idnticos.
b. Os cliques acontecem de forma aleatria, ou seja, ouve-se
algo como: clique.... clique......... clique-clique.. clique..... clique-clique-
clique............ clique. A anlise desse padro parece indicar que o instante
de chegada de cada eltron imprevisvel.
c. Nunca escutamos dois cliques simultaneamente, mesmo que
coloquemos vrios detetores cobrindo totalmente o anteparo. Isso quer
dizer que os eltrons chegam um de cada vez.
d. Se aumentarmos a temperatura do fio, teremos mais eltrons
chegando ao detetor por unidade de tempo. Assim como fizemos com
projteis, podemos associar a taxa mdia de chegada dos eltrons
probabilidade de chegada, para cada posio x no anteparo.
CONTADOR GEIGER
Instrumento usado para detectar eltrons ou outros tipos de partculas qunticas. formado por um tubo de gs (normalmente argnio) que conduz a eletricidade quando uma partcula passa por ele, ionizando-o. O instrumento amplifica o sinal, produzindo um clique para cada partcula que passa pelo gs.
Figura 2.1: Esquema do experimen-to de fenda dupla com eltrons. As probabilidades P1 e P2 correspon-dem, respectivamente, s situaes nas quais apenas os buracos 1 ou 2 esto abertos. J a probabilidade P12 corresponde situao em que os dois buracos esto abertos simul-tanemente.
Fonte de eltrons
Detetor deslocvel
Anteparo P2
P1P12
xx
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O que acontece ento quando computamos esta probabilidade?
Bem, todos os resultados descritos anteriormente parecem ser consistentes
com o fato de o eltron ser um projtil, como uma pequenssima bolinha
de gude. Portanto, nada mais razovel do que esperar que observemos
a mesma curva descrita na Figura 1.1 da Aula 1 desta disciplina. Alis,
toda a nossa intuio clssica nos leva a pensar no eltron como uma
bolinha. Pois bem, este o momento crucial em que nossa intuio
falha. A probabilidade P12 que medimos para o eltron est mostrada
na Figura 2.1. Note que ela tem oscilaes que no existiam no caso dos
projteis. De fato, elas lembram muito as oscilaes que observamos no
caso das ondas e que interpretamos como interferncia.
Decididamente, o eltron no uma bolinha...
INTERFERNCIA DE ONDAS DE ELTRONS
Mas como pode surgir um padro de interferncia de
projteis? Vimos, no caso das ondas, que h uma interferncia entre
as ondas que passam pelo buraco 1 e as que passam pelo buraco 2.
As ondas passam ao mesmo tempo pelos dois buracos. Poderiam
os eltrons que passam pelo buraco 1 estar interferindo de alguma
forma com os que passam pelo buraco 2? Sabemos que os eltrons so
partculas carregadas negativamente e que, portanto, devem interagir
entre si de acordo com a Lei de Coulomb, como vimos na disciplina
Fsica 3A. Poderia o padro complicado de interferncia surgir por
meio da interao coulombiana ou, em outras palavras, a partir de um
intrincado mecanismo de colises entre os eltrons?
Podemos testar experimentalmente esta hiptese. J dissemos que
os eltrons chegam um de cada vez no anteparo. Mas talvez eles estejam
sendo emitidos com uma taxa muito alta, de modo que possamos ter
vrios eltrons em vo ao mesmo tempo e, portanto, interferindo uns
nas trajetrias dos outros. Mas se reduzirmos bastante a temperatura
do filamento, podemos diminuir cada vez mais a taxa de emisso de
eltrons, at o limite em que tivermos certeza de que h apenas um
eltron viajando de cada vez desde o emissor at o anteparo. Dessa
forma, no h como ocorrer uma interao entre eles. Se fizermos o
experimento, a taxa de deteco dos eltrons no anteparo realmente
diminui bastante. Os cliques se tornam cada vez mais espaados.
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Mas, depois de deixarmos o experimento funcionando por um longo
tempo, vai se formando, lentamente, o mesmo padro de interferncia
que observamos anteriormente. Nada muda. Parece incrvel, mas os
eltrons passam um de cada vez pelos buracos e, ainda assim, interferem!
como se o eltron interferisse com ele mesmo!
Dizer que um eltron interfere com ele mesmo parece ser uma contradio. Afi nal, a prpria palavra interferncia sugere a atuao de dois ou mais objetos no processo. Quem primeiro props esta expresso, propositalmente contraditria, para enfatizar a natureza no-intuitiva da interferncia quntica, foi o fsico ingls Paul Dirac. Na ocasio, ele se referia experincia de fenda dupla realizada com ftons, as partculas de luz que foram apresentadas a voc na Aula 8 de Fsica 4B. Mas a mesma idia vale para eltrons tambm.
Na sua edio de setembro de 2002, a revista Physics World elegeu o experimento de fenda dupla com eltrons como o mais belo da histria da Fsica! Veja este artigo em http://physicsweb.org/articles/world/15/9/1.
1. H vrios sites na internet nos quais voc pode explorar o experimento de fenda dupla de forma virtual. Um deles :
http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/Computer/Doppelspalt/dslit.html
Vamos aprender a interagir com este experimento virtual, pois ele ser muito til para nos ajudar a entender o fenmeno que estamos descrevendo. Siga os seguintes passos:
a. Entre no site e inicie o programa.
b. Voc ver um quadro com retratos dos grandes nomes da Fsica Quntica. Selecione a linguagem que lhe mais familiar e clique ok. O programa se iniciar imediatamente, abrindo uma janela.
c. Voc ver a montagem do experimento de fenda dupla, reproduzida na Figura 2.2. Esta montagem consiste em uma fonte de partculas, uma fenda dupla, uma lmpada e um anteparo.
ATIVIDADE
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Figura 2.2: Montagem experimental e painel de controle do experimento virtual de interferncia por uma fenda dupla.
d. No canto inferior direito da janela, voc ver um pequeno painel de controle. Do lado esquerdo deste painel, h setas para posicionar o ngulo de viso do experimento da maneira que voc achar melhor. Do lado direito, h vrios botes de controle pequenos. Vamos descrev-los um a um:
Fonte (source): Aqui voc selecionar o tipo de partcula que ir jogar de encontro fenda. Voc pode optar por projteis clssicos ou por diferentes partculas qunticas. Poder tambm selecionar a energia das partculas que, no caso de partculas qunticas, est relacionada ao comprimento de onda das mesmas. O pequeno boto vermelho direita do Fonte d incio simulao.
Abertura (aperture): Controla as propriedades da fendas, como a largura das mesmas (slit width) e o espaamento entre elas (slit distance). Pode-se tambm abrir ou fechar cada fenda separadamente.
Lmpada (lamp): Com este boto, podemos controlar a intensidade e o comprimento de onda dos ftons que podemos fazer incidir nos eltrons para visualizar sua trajetria, como ser descrito na prxima aula. direita deste boto, o pequeno boto com a figura de uma lmpada ativa o fluxo de ftons.
Anteparo (screen): Aqui voc controla as diversas opes de visualizao de seus resultados. A visualizao normal corresponde a fazer aparecer na tela pequenos pontos vermelhos nas posies em que cada eltron incidiu no anteparo. Se a opo resultado terico (theo. result) for ativada, aparecer, em azul, a distribuio de probabilidades prevista teoricamente para aquelas condies do experimento. Se a opo contagem (evaluation) for acionada,
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surgir na tela um histograma, em vermelho, com a contagem do nmero de partculas que chegam em cada ponto do detetor. possvel ainda combinar as opes resultado terico e contagem, para que elas apaream simultaneamente na simulao. H ainda botes para controlar a ampliao (zoom), apagar os resultados para iniciar uma nova simulao (reset) e para guardar fotografias de seus resultados em arquivos (photos).
Depois dessa longa (mas necessria) explicao sobre o funcionamento do experimento virtual, voc deve estar ansioso para fazer sua primeira simulao. Est pronto? Ento vamos l: selecione a fonte para eltrons com energia cintica de 100 keV, correspondendo a um comprimento de onda de 4 pm (vamos relembrar, ainda nesta aula, como se relaciona a energia do eltron a seu comprimento de onda). Ajuste a largura das fendas para 400 nm e a distncia entre as mesmas para 700 nm. Deixe a lmpada desligada. Inicie o experimento e veja o que acontece.
RESPOSTA COMENTADA
Observe que os eltrons colidem um de cada vez com o anteparo.
Mas, gradualmente, surgir na tela o padro de interferncias! No
interessante?
Ora, mas se os eltrons so pacotes idnticos e indivisveis,
poderamos dizer que, diferentemente das ondas, eles passam ou por
um buraco ou pelo outro, e no pelos dois ao mesmo tempo, certo? Est
a uma hiptese que poderamos testar:
Hiptese A: Cada eltron passa ou pelo buraco 1 ou pelo buraco 2.
Pela nossa intuio com partculas clssicas, nada parece mais
certo do que isso. Supondo que isto seja correto, todos os eltrons que
atingem o anteparo se dividem em dois grupos: aqueles que passaram
pelo buraco 1 e aqueles que passaram pelo buraco 2. Se isto for verdade,
a curva P12 deve ser obtida pela soma de duas curvas: P1, ou seja, a
distribuio de probabilidades computada usando apenas os eltrons que
passaram pelo buraco 1, e P2, idem para o buraco 2. Ser que podemos
fazer este experimento? Bem, parece fcil: basta fechar um dos buracos
de cada vez e repetir o experimento, como fizemos com os projteis na
aula passada.
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Bem, fi zemos o experimento e o resultado est reproduzido
esquematicamente na Figura 2.1. Espere um minuto. Nosso resultado
experimental mostra que P12 P1 + P2!
Tudo parece muito misterioso. Eltrons chegam em pacotes
e, ainda assim, exibem interferncia tpica das ondas. Este um dos
mistrios fundamentais da mecnica quntica: a dualidade onda-
partcula, que voc estudou na Aula 8 de Fsica 4B, no contexto do
fton. Como o fsico americano Richard Feynman sugeriu no incio deste
mdulo, vamos deixar de lado as tentativas de entender esse mistrio.
Tenha certeza de que muitos fsicos famosos dedicaram boa parte de suas
vidas tentando faz-lo, sem sucesso. Vamos apenas aceit-lo e explor-lo
um pouco mais. Ainda vamos descobrir coisas muito interessantes em
conseqncia dele!
ATIVIDADE
2. Vamos retornar ao nosso experimento virtual. Agora deixe apenas uma das fendas aberta. Observe o que acontece.
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RESPOSTA COMENTADA
Veja que as oscilaes rpidas que caracterizam a interferncia
desaparecem. Porm, perceba que algumas oscilaes de menor
periodicidade permanecem. Elas ocorrem devido difrao
dos eltrons pela fenda que est aberta, do mesmo modo que
ocorre com a luz (lembre-se da Aula 8 de Fsica 4A). No nos
preocupamos muito com a difrao porque queramos concentrar
nossa ateno no fenmeno da interferncia. Por isso, as curvas P1
e P2 da Figura 2.1 no mostram as oscilaes de difrao. Estas so
curvas apenas esquemticas. De fato, a difrao existe e tambm
uma manifestao da natureza ondulatria dos eltrons, mas no
momento ela no importante para a nossa argumentao.
Porm, preciso deixar este ponto bem esclarecido.
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A experincia de interferncia de eltrons por uma fenda dupla foi realizada pela primeira vez por Claus Jnsson, em 1961. Mais recentemente, em 1991, Carnal e Mlynek realizaram a mesma experincia com tomos em vez de eltrons. Sim, tomos, que so milhares de vezes mais pesados que os eltrons, e ainda assim so partculas qunticas. Surpreso? Pois bem, em 1999, Arndt e colaboradores viram interferncia de fenda dupla com molculas de C60, tambm chamadas de buckyballs. Estas molculas, mostradas na Figura 2.3, contm 60 tomos de carbono, dispostos como se formassem uma bola de futebol. So centenas de milhares de vezes mais pesadas que um eltron. Ento, qual o limite que separa o mundo clssico do mundo quntico? Ser que um dia poderemos ver interferncia entre bolas de futebol de verdade? Voltaremos a esta questo em breve.
Figura 2.3: Uma molcula de C60 , ou buckyball, formada por 60 tomos de carbono dispostos de forma idntica a uma bola de futebol.
Se P12 P1 + P2, haver alguma outra maneira de obtermos P12 a
partir de P1 e P2? Surpreendentemente, a resposta bastante simples.
Basta usarmos a matemtica das ondas, que relembramos na aula passada.
Note que a curva P12 muito parecida com a curva de intensidades I12
que obtivemos na Aula 1 para as ondas. Como no caso das ondas, a
intensidade no a quantidade fundamental, mas sim a funo de onda.
Lembre-se: para ondas na superfcie da gua, a funo de onda mais
conveniente era a da altura do nvel da gua, que consideramos como
uma varivel complexa, para facilitar a matemtica.
Vimos na Aula 9 de Fsica 4B que o fsico francs Pierre de Broglie
foi o primeiro a associar uma onda ao eltron. Na ocasio, chamamos
essas ondas de ondas de matria. Segundo de Broglie, um eltron (ou
qualquer partcula microscpica) que se desloca com momento linear p
tem associada a si uma onda com comprimento de onda tal que:
, (2.1) = hp
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onde h = 6,63 10-34 J.s a constante de Planck. Iremos mais a fundo
nesta idia e vamos supor que o eltron descrito por uma funo
de onda complexa . Cada situao corresponde a uma funo
de onda diferente: se apenas o buraco 1 estiver aberto, teremos
a funo de onda 1; se apenas o buraco 2 estiver aberto, teremos a funo
de onda 2; e se ambos os buracos, 1 e 2, estiverem abertos, teremos a
funo de onda 12. Em analogia com as ondas, temos .
A partir da, como podemos obter a probabilidade? Voc se lembra do
caso das ondas, onde a intensidade era proporcional ao quadrado da
amplitude da onda? Algo anlogo ocorre com o eltron, sendo que agora
a probabilidade proporcional ao mdulo quadrado da funo de onda.
Como fizemos com as ondas na aula anterior, ignoramos, por enquanto,
o coeficiente de proporcionalidade e escrevemos:
(2.2)
Diz-se que a funo de onda de uma partcula quntica uma
amplitude de probabilidade.
Lembre-se: para calcular o mdulo ao quadrado de um nmero complexo, multiplica-se o nmero pelo seu complexo conjugado, ou seja, . Repare que deve ser um nmero real e positivo. Afinal, toda probabilidade que se preza deve ser real e positiva.
Como se v, a matemtica das ondas nos explica naturalmente
o resultado encontrado no experimento, pois dela surge naturalmente o
fenmeno de interferncia. Mas ento, se a soma dos efeitos de cada um
dos buracos diferente do efeito conjunto dos dois buracos abertos, a
Hiptese A est incorreta! No verdade que os eltrons passam por um
buraco ou pelo outro. Mas como pode ser isto, se eles chegam em pacotes?
Ser que eles fazem algo complicado, como se dividir em dois, passar pelos
buracos e depois se juntar novamente em um s? Somos tentados a imaginar
qualquer coisa, por mais absurda que seja, para salvar os conceitos clssicos
de partcula e trajetria, bastante consolidados em nossa intuio fsica.
Esta nos parece to afrontada que no resistimos: temos de fazer um outro
experimento para testar a Hiptese A. Ser que no possvel observar os
eltrons e ver por onde eles passam? Faremos isso na prxima aula.
12 1 2= +
P
P
P
1 1
2
2 2
2
12 1 2
2
=
=
= +
2 = * 2
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ATIVIDADE FINAL
1. Vamos estudar de forma mais quantitativa a interferncia de eltrons. Vamos
supor que nossa fonte emita eltrons com energia cintica de 10eV.
a. Qual o comprimento de onda da onda associada aos eltrons?
b. Suponha agora que os dois buracos so fontes de ondas circulares, exatamente
como na experincia de interferncia de luz descrita na Aula 8 de Fsica 4A.
Reproduzimos a seguir a Figura 8.5 daquela aula, que descreve a geometria do
problema.
Por analogia com aquela situao (veja a Equao (8.18) da Aula 8 de Fsica 4A),
podemos propor as seguintes expresses para as funes de onda 1 e 2 no
ponto :
, (2.3)
r1
r2
R
d
d 2
1
2
Figura 2.4: Descrio geomtrica da experincia de fenda dupla.
x
x
1 21 2= =Ae Aeikr ikr;
(d sen )/2
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onde A uma constante. Usando as relaes geomtricas e
, e expressando sen em termos da coordenada x, obtenha 1 e 2
em funo de x. Dica: Use o limite R >> d, onde .
c. Calcule as probabilidades P1, P2 e P12 em funo de x. O que voc pode comentar
sobre o seu resultado?
d. Tome os valores numricos d = 1mm e R = 1m. Qual a distncia entre dois
mximos consecutivos de probabilidade no padro de interferncia?
e. Repita o item (d) para uma molcula de C60 e para uma bola de futebol de cerca
de 1kg. Nos dois casos, considere que a energia cintica no se altera, sendo ainda
10 eV (ainda que seja muito difcil imprimir uma energia cintica to baixa a uma
bola de futebol!). Considere apenas a variao na massa. Voc agora consegue
entender por que a manifestao interferncia quntica se torna impossvel com
objetos macroscpicos?
RESPOSTA COMENTADA
Inicialmente, no item a, voc ter de encontrar o comprimento de onda dos
eltrons, usando a relao de de Broglie ( = h/p) e a relao entre momento
linear e energia cintica de uma partcula (E = p2/2m). Tome cuidado com a
converso de unidades!
No item b, voc dever usar a aproximao (voc consegue
entender por qu?) e chegar ao seguinte resultado:
, onde .
No item c, usando a receita da Equao (2.2), voc chegar ao resultado
, ou seja, a probabilidade constante, no depende de x. Assim,
no h as oscilaes tpicas de interferncia. Mas voc pode agora estar confuso,
pois as probabilidades P1 e P2 mostradas na Figura 2.1 no so constantes, e sim
curvas com forma de sino. No se preocupe com este ponto. A razo disso que
o caminho que leva s expresses (2.3) envolve algumas aproximaes. Estas
aproximaes esto melhor descritas na Aula 8 de Fsica 4A. Mais uma vez, o ponto
que queremos enfatizar que no aparecem as oscilaes de interferncia.
No entanto, essas oscilaes aparecem claramente na distribuio de
probabilidades, no caso de ambos os buracos estarem abertos. Voc deve
encontrar . No item d, usando os valores numricos
propostos, voc dever encontrar algo da ordem de 0,1mm para distncias
entre mximos consecutivos de probabilidade. pequeno, mas mensurvel.
qkdR
=2
P A qx122 24= cos ( )
P P A1 22= =
1 2= =Ae e Ae eikR -iqx ikR iqx;
r Rd
1 2 sen
r Rd
1 2 sen
sen tan
sen d R
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Em contrapartida, no item e, voc ver que essas distncias se tornam
muito pequenas quando a massa da partcula aumenta. No caso de C60 ,
voc deve encontrar distncias cerca de mil vezes menores que no caso
de eltrons. No caso de uma bola de futebol, a distncia entre mximos
consecutivos menor por um fator 1017 em comparao com o caso
eletrnico, tornando-se impossvel de ser medida!
Explore um pouco mais o experimento virtual de interferncia por uma fenda dupla descrito nesta aula. Entre no site e brinque um pouco com ele, explorando e modificando os diversos parmetros, tentando entender os resultados de cada experimento.
R E S U M O
Partculas microscpicas, como eltrons, tm um comportamento peculiar ao passar
por uma fenda dupla. Este comportamento diferente tanto de projteis como
de ondas. Ele tem caractersticas de ambos, o que designamos como dualidade
onda-partcula. necessrio aprender tambm a usar a matemtica das ondas
para calcular as probabilidades de encontrar o eltron em determinadas posies
do espao.
INFORMAO SOBRE A PRXIMA AULA
Na prxima aula, tentaremos mais uma vez fazer uma medida da trajetria dos
eltrons, ou seja, procuraremos determinar por qual buraco eles passam. Veremos
que isto vai nos levar a efeitos muito interessantes!
objetiv
os3AULA
Pr-requisitos
Metas da aula
O Princpio da Complementaridade e o papel do observador na
Mecnica Quntica
Descrever a experincia de interferncia por uma fenda dupla com eltrons, na qual a trajetria
destes observada por partculas de luz (ftons), e discutir o Princpio da Complementaridade e o
papel do observador na Mecnica Quntica.
analisar o desaparecimento do padro de interferncia de eltrons, quando tentamos observ-los com ftons;
rever o conceito de ftons, as partculas de luz;
discutir o Princpio da Complementaridade;
discutir o papel do observador na Mecnica Quntica.
Para uma melhor compreenso desta aula, importante que voc revise: ftons e dualidade onda-partcula
(Aula 8 de Fsica 4B); ondas de matria e o comprimento de onda de de Broglie (Aula 9 de Fsica 4B).
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ATIVIDADE
OBSERVANDO OS ELTRONS
Como prometemos na Aula 2, vamos agora modifi car um pouco
nosso experimento para tentar observar os eltrons. Atrs da parede com
fenda dupla, introduzimos uma fonte de luz muito brilhante, como mostra
a Figura 3.1. Sabemos que os eltrons espalham a luz, de maneira que
veremos um fl ash luminoso toda vez que um eltron passar prximo
fonte de luz. Se o fl ash estiver vindo das proximidades do buraco 2, como
por exemplo do ponto A da Figura 3.1, saberemos que o eltron passou
pelo buraco 2. Idem para o buraco 1. Se virmos fl ashes simultneos vindos
das proximidades dos dois buracos, poderemos concluir que o eltron se
dividiu em dois. Parece simples, vamos ento fazer o experimento!
Figura 3.1: Esquema do experi-mento de fenda dupla com eltrons sendo observados por ftons. As probabilidades P1 e P2 correspondem s situaes nas quais apenas os buracos 1 ou 2 esto abertos, respec-tivamente. J a probabilidade P12 corresponde situao em que os dois buracos esto abertos simultanemente.
1. Vamos voltar ao nosso experimento virtual da fenda dupla descrito na Aula 2. Ajuste as condies do experimento de forma idntica ao que foi feito na Atividade 1 da Aula 2, com uma nica diferena: ajuste a lmpada, para que ela tenha uma intensidade mxima (100%) e um comprimento de onda de 380nm (cor azul). Execute o experimento com a lmpada ligada. O que voc observa?
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Fonte de eltrons
Detetor deslocvel
Fonte de luz
Anteparo
A
x x
P12
P1
P2
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RESPOSTA
Veja que a interferncia desaparece quando ligamos
a lmpada!
O que aconteceu? Se pudssemos analisar o experimento com mais
detalhe, iramos observar que sempre que ouvimos um clique do nosso
detetor, no importa onde ele esteja, vemos tambm um flash vindo do
buraco 1 ou do buraco 2, mas nunca dos dois ao mesmo tempo. Ficamos
um pouco aliviados: seria mesmo um pouco complicado descrever um
eltron que se divide. Conclumos, por esse experimento, que a hiptese
A correta, ou seja, que os eltrons passam por um buraco ou pelo
outro! Mas espere um minuto... Na aula passada, tnhamos concludo
exatamente o oposto, a partir da anlise das probabilidades (ou seja,
que P12 P1 + P2).
Vamos ento computar novamente as probabilidades, desta vez
com a nossa fonte de luz ligada. Cada vez que um eltron chega ao
detetor, olhamos a posio do flash para sabermos por onde ele passou.
Assim, podemos computar duas curvas de probabilidade: P1 (contendo
apenas os eltrons que passaram pelo buraco 1) e P2 (contendo apenas
os eltrons que passaram pelo buraco 2). Essas curvas esto mostradas
na Figura 3.1. Note que elas so bem parecidas com as curvas P1 e P2,
que computamos na Aula 2, fechando um dos buracos de cada vez. De
fato, as curvas so idnticas, ou seja, P1 = P1 e P2 = P2 . Isto timo!
Significa que no faz diferena a maneira como determinamos por qual
buraco o eltron passa, o resultado final o mesmo. Ou seja, no importa
se essa determinao feita bloqueando um dos buracos ou observando
a trajetria do eltron com luz, pois obteremos o mesmo resultado para
as distribuies de probabilidade. Temos a sensao de que estamos aos
poucos domando nosso experimento.
Mas o que obtemos agora para a probabilidade total P12 ? Na
verdade, bem simples obt-la, basta somarmos: P12 = P1 + P2 = P1 + P2.
como se fizssemos de conta que no prestamos ateno no flash que
indica por qual buraco o eltron passou. A distribuio de probabilidades
total tambm mostrada na Figura 3.1. Ora, ento conclumos que,
quando observamos os eltrons, o padro de interferncia desaparece!
Se desligamos a fonte de luz, a interferncia volta a existir.
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Como pode acontecer isto? A luz parece alterar o movimento dos
eltrons de alguma forma, pois com luz eles se distribuem de uma forma
no anteparo, sem luz, de outra forma. como se os eltrons fossem
muito delicados, e a luz desse um empurro neles, quando o flash
fosse produzido, alterando seu movimento. Isso faz algum sentido, pois,
como sabemos, a luz uma onda eletromagntica, e o campo eltrico da
luz pode produzir uma fora no eltron.
Bem, talvez possamos usar uma fonte de luz no to brilhante.
Pode ser que, diminuindo a intensidade da luz, possamos diminuir o
empurro que ela d no eltron, recuperando assim o padro de
interferncia e, ainda assim, observarmos o buraco por onde passa o
eltron. Vamos tentar?
Diminuindo cada vez mais a intensidade da luz, observamos
um efeito interessante. Nem todos os eltrons que chegam ao anteparo
tm sua trajetria marcada por um flash. Alguns passam sem serem
vistos. Porm, todos os flashes que ocorrem tm a mesma intensidade.
Interessante... Voc se lembra do conceito de fton, que foi introduzido
na Aula 8 de Fsica 4B? Naquela ocasio, j sabamos que a luz era uma
onda, mas aprendemos que ela tambm pode se comportar como um
pacote ou partcula, da mesma forma que os eltrons. Essas partculas
de luz so chamadas ftons. Quando diminumos a intensidade da luz,
reduzimos a taxa em que os ftons so emitidos. por isso que s vezes
os eltrons passam sem serem vistos. Provavelmente, no havia um
fton nas proximidades dos buracos, quando eles passaram. Mas cada
fton idntico aos demais. Por isso, produzem o mesmo flash, quando
esbarram nos eltrons.
Bem, vamos levar adiante o experimento com a luz de intensidade
reduzida. Desta vez, podemos classificar os eltrons em trs tipos:
(1) aqueles que so vistos passar pelo buraco 1; (2) aqueles que so vistos
passar pelo buraco 2; (3) e aqueles que no so vistos. Ao computarmos
as distribuies de probabilidades para cada um dos trs tipos de eltrons,
encontramos o seguinte: os eltrons do tipo 1 se distribuem como P1 ,
os do tipo 2 se distribuem como P2 e os do tipo 3 (aqueles que no so
vistos) se distribuem como P12 , ou seja, com interferncia. Bem, parece
ser esta a concluso de nosso experimento: eltrons que so vistos no
mostram interferncia, eltrons que no so vistos mostram interferncia.
Parece ser impossvel, reduzindo a intensidade da luz, observar os eltrons
e ao mesmo tempo manter o padro de interferncia.
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A difi culdade essencial que, ao reduzirmos a intensidade da
luz, no reduzimos a intensidade de cada fton ou, de forma mais
precisa, a energia que ele transporta. Apenas reduzimos o nmero de
ftons. Como possvel reduzir a energia de cada fton? Como vimos
na Aula 8 de Fsica 4B, uma das primeiras hipteses da teoria quntica
diz que a energia de cada fton proporcional freqncia da onda
associada a ele:
E = h, (2.1)
onde a frequncia da luz e h a constante de Planck. Por
exemplo, ftons de luz vermelha (freqncia menor) tm energia menor
do que ftons de luz azul (freqncia maior). Eis ento uma sada possvel
para o nosso enigma: em vez de diminuirmos a intensidade da luz, vamos
mudar sua cor. Assim, os ftons tero energia e momento linear menores
e vo dar empurres menores nos eltrons. Quem sabe poderemos
chegar a uma situao em que os eltrons podero ser vistos e, ainda
assim, mostrar interferncia?
Voltamos ao laboratrio. Fazemos o experimento. Iniciamos
com luz de alta freqncia (pequeno comprimento de onda): como
antes, enxergamos os eltrons passar pelos buracos 1 ou 2, mas no
h interferncia. Vamos, gradualmente, diminuindo a freqncia da luz
(aumentando seu comprimento de onda) at um certo ponto em que
ATIVIDADE
2. Verifi que, no experimento virtual, o fenmeno que acabamos de discutir. Para isso, reduza a intensidade da luz para 50% e execute o experimento novamente.
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RESPOSTA COMENTADA
Voc ver que o padro observado na tela parece ser uma mistura
dos padres com interferncia e sem interferncia. Isso corresponde
exatamente ao que discutimos anteriormente, ou seja, eltrons que
so observados no interferem, enquanto os eltrons que no so
observados interferem.
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recuperamos o padro de interferncia. Tudo parece funcionar bem. Mas
quando olhamos agora para os flashes, temos uma surpresa desagradvel.
Continuamos a v-los, mas eles agora esto maiores, mais difusos, como
grandes borres. To grandes que no conseguimos dizer se vm da regio
do buraco 1 ou do buraco 2! Ou seja, ao tentarmos usar ftons de baixa
energia, de modo que eles no atrapalhem o movimento dos eltrons,
esses ftons no permitem uma definio da trajetria do eltron.
Desistimos...
O que aconteceu? Na verdade, este um efeito familiar da tica.
Se temos dois objetos muito prximos, eles s so distinguveis entre si
se forem observados com uma luz de comprimento de onda menor que
a distncia entre eles. Caso contrrio, os dois objetos aparecero juntos,
como um borro, sem que possamos distingui-los. Diz-se, ento, que no
temos resoluo para identificar os dois objetos separadamente.
Esta a razo fundamental pela qual os microscpicos ticos tm um poder de aumento limitado. No importa o quo poderoso seja o sistema de lentes destes aparelhos, sua capacidade de amplificao est fundamentalmente limitada pelo comprimento da luz visvel, ou seja, no possvel distinguir objetos ou caractersticas menores que este comprimento de onda. Mas voc j deve ter ouvido falar que os microscpios eletrnicos tm maior poder de aumento que os microscpios ticos, certo? E agora voc pode entender como isto ocorre. Como estamos percebendo, os eltrons se comportam como ondas, e essas ondas podem ter comprimento de onda muito menor que o da luz visvel, permitindo que possamos enxergar objetos muito menores com essas ondas eletrnicas.
O PRINCPIO DA COMPLEMENTARIDADE E O PAPEL DO OBSERVADOR NA MECNICA QUNTICA
As concluses finais do nosso experimento so as seguintes:
1. Eltrons so descritos por funes de onda que fornecem
a amplitude de probabilidade de que certos eventos aconteam.
A probabilidade dada pelo mdulo quadrado da funo de onda:
.
2. Quando um evento pode ocorrer de duas formas distintas, a
funo de onda dada pela soma das funes de onda correspondentes
a cada uma das possibilidades: , e a probabilidade dada
por . Portanto, h interferncia.
P = 2
= +1 2P = + 1 2
2
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Introduo Mecnica Quntica | O Princpio da Complementaridade e o papel do observador na Mecnica Quntica
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3. Quando fazemos uma medida que permita determinar de
qual das duas maneiras o evento ocorreu, perdemos a interferncia, e a
probabilidade dada por .
Esta ltima concluso merece uma discusso mais profunda. Voc
se lembra de que falamos sobre a dualidade onda-partcula, isto , que
os objetos qunticos apresentavam caractersticas tanto de partculas
como de ondas? Pois bem, h um outro princpio quntico relacionado
a este conceito: o Princpio da Complementaridade, enunciado pela
primeira vez pelo fsico dinamarqus Niels Bohr. Segundo ele, as
caractersticas de onda e partcula so complementares e nunca se
manifestam simultaneamente, ou seja, se fizermos um experimento no
qual fique claramente caracterizada a natureza ondulatria de um objeto
quntico, suas caractersticas de partcula no iro se manifestar; e vice-
versa. No caso da experincia da fenda dupla, assim que conseguimos
determinar a trajetria (um conceito tpico das partculas) do eltron,
o padro de interferncias (um conceito tpico das ondas) desapareceu
completamente.
Toda esta discusso traz consigo aspectos interessantes no que se
refere ao papel do observador na Mecnica Quntica. Ao observarmos
a trajetria do eltron, destrumos sua natureza ondulatria. Na Fsica
clssica, sempre imaginamos o observador, isto , a pessoa que realiza
o experimento, como um ente passivo, que no interfere com o objeto
de medida. assim, por exemplo, quando observamos as estrelas no
cu: elas no alteram seu movimento por causa de nossa observao.
Porm, na Mecnica Quntica, o observador adquire um papel ativo
e fundamental para a teoria. Torna-se impossvel realizar uma medida
sem interferir com o objeto que estamos medindo. A medio destri
a interferncia quntica, causando o chamado colapso da funo
de onda. Assim, o efeito de observar o estado do sistema faz, como
conseqncia, que esse estado seja alterado. importante enfatizar que
isso ocorre no apenas no caso do eltron passando pela fenda dupla,
mas com todos os sistemas qunticos. Dessa forma, na Fsica Quntica,
a distino entre observador e observado deixa de ser clara; deve-se
considerar que o observador tambm um sistema fsico que interage
com o objeto de medida.
P P P= +1 2
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Introduo Mecnica Quntica | O Princpio da Complementaridade e o papel do observador na Mecnica Quntica
A interpretao probabilstica e do papel do observador na Fsica Quntica que descrevemos aqui conhecida como interpretao de Copenhagen, e seu principal formulador e defensor foi o fsico dinamarqus Niels Bohr. Essa a interpretao aceita pela grande maioria dos fsicos hoje em dia. Mas sempre houve fsicos que discordaram dessa interpretao, entre eles ningum menos que Albert Einstein. Segundo este, a crena em um mundo exterior independente do observador a base de toda a cincia natural.Os debates entre Bohr e Einstein sobre esse e outros aspectos da Fsica Quntica so uma das pginas mais interessantes da Fsica e de seus aspectos filosficos. Voc pode aprender mais sobre esses debates em http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr-Einstein_debates, por exemplo.
Intrigante a Mecnica Quntica, no? certamente uma das
disciplinas mais fascinantes de toda a Fsica. Nas prximas aulas,
entraremos a fundo em seus aspectos mais formais. Com isso, iremos nos
capacitar para prosseguir em nossa explorao do mundo quntico.
R E S U M O
Podemos utilizar ftons para visualizar a trajetria dos eltrons, quando estes
passam por uma fenda dupla. Mas, quando isso acontece, a natureza ondulatria dos
eltrons, caracterizada pelo padro de interferncia, desaparece completamente.
Entendemos isso como uma manifestao do Princpio da Complementaridade.
INFORMAO SOBRE A PRXIMA AULA
Na prxima aula, iniciaremos nosso estudo dos aspectos mais formais da Mecnica
Quntica, enunciando seus postulados fundamentais.
objetiv
os4AULAPr-requisito
Meta da aula
Funo de onda e Equao de Schrdinger
Introduzir a funo de onda e a Equao de Schrdinger.
interpretar fisicamente a funo de onda;
obter informao sobre um sistema microscpico, a partir da funo de onda.
Para uma melhor compreenso desta aula, preciso que voc reveja o conceito de equaes
em derivadas parciais, tais como a equao de ondas, vista na Aula 11 de Fsica 2B.
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FUNO DE ONDA E EQUAO DE SCHRDINGER
Vimos, nas aulas do Mdulo 1 desta disciplina, que as partculas
microscpicas, como os eltrons, no se movem seguindo as leis clssicas
do movimento, dadas pela Mecnica Newtoniana. Essas partculas,
porm, seguem outras leis que parecem ser mais apropriadas para
a propagao de ondas. Isso ficou claro, de forma qualitativa, na
Aula 2, na qual vimos surgir um padro de interferncia, quando um feixe
de eltrons passa atravs de uma fenda dupla. Neste mdulo, iniciaremos
um estudo quantitativo da dinmica das partculas qunticas, por meio
de seus postulados e de sua formulao matemtica precisa. Afinal, quais
so as leis que regem o movimento das partculas microscpicas?
Vamos considerar uma partcula microscpica (por exemplo,
um eltron) que se movimenta em trs dimenses. Vamos aceitar, como
postulado, que o estado dessa partcula, em um instante de tempo t,
completamente definido por uma quantidade complexa chamada
funo de onda, e indicada pelo smbolo (x,y,z,t), em que (x,y,z) so
as coordenadas espaciais.
O que queremos dizer com a expresso estado de uma partcula? Na mecnica clssica, o estado de uma partcula conhecido por meio de sua posio e de sua velocidade em um determinado instante. Este conhecimento, somado ao conhecimento da fora (ou, se preferirem, da energia potencial) que atua sobre esta partcula, permite a descrio completa da sua trajetria subsequente atravs da integrao da 2 Lei de Newton. J um movimento ondulatrio, como vimos no Mdulo 1, ser totalmente conhecido, se soubermos a dependncia espacial e temporal da funo de onda. Por exemplo, no caso de ondas na superfcie da gua, vimos que uma funo de onda apropriada era a altura do nvel da gua. Note que, no caso das partculas qunticas, a descrio matemtica muito mais parecida com a das ondas do que com a das partculas clssicas.
Como vimos na Aula 11 de Fsica 2B, no caso de ondas clssicas,
a funo de onda a soluo de uma equao em derivadas parciais
conhecida como equao da onda. Ento, razovel supor que a funo
de onda de uma partcula quntica deve tambm satisfazer a uma equao
de onda. Que equao esta? Veremos a seguir.
Suponha que a partcula quntica tenha massa m e se mova sob
a influncia de uma energia potencial V(x,y,z,t). Postula-se, ento, que a
funo de onda satisfaa seguinte equao em derivadas parciais:
(4.1) im x y z
V x,y,z,thh
=
+
+
+
t
2 2
2
2
2
2
22( )
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em que , sendo h a constante de Planck.
Esta a famosa Equao de Schrdinger, proposta pelo
fsico austraco Erwin Schrdinger (Figura 4.1), em 1926.
Note que essa equao parece um pouco mais complicada
que a equao da onda clssica que conhecemos. Mas no
se preocupe, em breve voc estar bastante familiarizado
com ela.
Figura 4.1: O fsico austraco Erwin Schrdinger (1887-1961), que, por seu trabalho de 1926, no qual props a equao que ganhou seu nome para a descrio da dinmica das partculas qunticas, foi agraciado, juntamente com o fsico ingls Paul Dirac, com o Prmio Nobel de Fsica de 1933.
Notem que estamos postulando que o estudo de um sistema microscpico consiste em encontrar a funo de onda , a qual satisfaz a Equao de Schrdinger. A nica justificativa para a descrio da Fsica Quntica ser baseada nessas suposies que elas funcionam. Em outras palavras, a Fsica Quntica baseada nessas suposies descreve corretamente todos os fenmenos aos quais tem sido aplicada. Existem, na literatura, apresentaes da Equao de Schrdinger como sendo derivada da equao de onda, fazendo, com isso, diversas consideraes que tentam mostrar a sua plausibilidade. Ns preferimos, entretanto, trat-la como de fato ela : um postulado. No possvel chegar Fsica Quntica a partir da Fsica Clssica apenas por uma argumentao lgica!
A partir de agora, vamos nos restringir ao caso unidimensional,
em que x a nica coordenada. Alm de levar a uma maior simplicidade,
esse caso ser suficiente para estudar a maioria das aplicaes que
consideraremos neste curso. No caso unidimensional, a Equao (4.1)
se escreve:
. (4.2)
Vemos imediatamente que, pelo fato de ser soluo de uma equao
complexa em derivadas parciais, a funo de onda ser necessariamente
uma funo complexa. Este fato ser discutido no prximo item. A funo
de onda (x,t) uma funo contnua e, sempre que o potencial V(x,t)
for finito, com derivada tambm contnua.
h = h / 2
ix,t
t m
x,t
xV x,t x,th
h
( )
= ( )
+ ( )
2 2
22( )
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INTERPRETAO FSICA DA FUNO DE ONDA
Antes de comearmos a resolver a Equao de Schrdinger
em situaes especficas, o que ser feito nas prximas aulas, vamos
entender melhor o significado da funo de onda. At o momento, ela
parece apenas como uma quantidade abstrata. Ser mesmo assim? Bem,
vemos que, pelo fato de a funo de onda ser uma quantidade complexa,
ela no pode ser medida diretamente por nenhum instrumento fsico.
Isso significa que no h um sentido fsico imediato para essa funo!
Portanto, vamos deixar bem estabelecido que, de fato, a funo de onda
de um sistema nada mais do que uma representao matemtica abstrata
do estado do sistema. Ela somente tem significado no contexto da teoria
quntica. Ento, de que nos serve esta funo? Podemos utiliz-la, de
alguma forma, para descrever o mundo fsico?
Max Born, em 1926, postulou que a densidade de probabilidade
p(x,t) de se encontrar a partcula na posio x, no instante t, poderia ser
obtida a partir da funo de onda pela relao:
, (4.3)
de modo que a probabilidade de encontrarmos a partcula em
uma regio no instante t dada por:
. (4.4)
Note que esta apenas uma verso matematicamente mais precisa
do que encontramos em nossos experimentos de fenda dupla descritos na
Aula 2. Esse resultado conhecido como interpretao probabilstica
da funo de onda. Como toda probabilidade que se preza, P[a,b]
deve ser real e positiva, qualquer que seja o intervalo considerado. Isto
garantido pelo fato de que real e positivo.
Lembre-se: o mdulo ao quadrado de um nmero complexo! Alm
disso, a probabilidade deve ser normalizada, ou seja, a probabilidade
de se encontrar a partcula em qualquer regio do espao, num dado
instante de tempo, deve ser igual a 1:
. (4.5)
Figura 4.2: O fsico alemo Max Born (1882-1970), que formulou a interpretao probabilstica da funo de onda e, por isso, foi agraciado com o Prmio Nobel de Fsica de 1954.
p x,t x,t( ) ( )= 2
a x b
P a,b x,t dxa
b[ ] ( )=
2
( ) ( ) ( )*x,t x,t x,t2 =
( )x,t dx2 1
+
=
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ATIVIDADE
Esta condio conhecida como normalizao da funo
de onda. Toda funo de onda que se preza deve estar devidamente
normalizada. Em trs dimenses, a relao correspondente
.
Figura 4.3: Energia potencial e funo de onda em t = 0 do estado de mais baixa energia do poo infi nito.
1. Vamos exercitar alguns conceitos associados interpretao probabilstica da funo de onda? A Figura 4.3 mostra, em t = 0, a funo de onda do chamado estado fundamental (o estado de energia mais baixa) do poo de potencial infi nito. O poo infi nito aquele em que a energia potencial zero numa certa regio (no caso mostrado na Figura 4.3, em a /2 < x < a / 2) e infi nita em todo o resto do espao. Trata-se de uma idealizao, mas muito til para estudar os poos de potencial encontrados na natureza. Veremos, nas prximas aulas, como resolver a Equao de Schrdinger para o poo infi nito, mas este no o nosso foco no momento. Conhecemos a soluo e vamos trabalhar um pouco com ela.
A funo de onda do estado fundamental a seguinte:
em que E a energia da partcula no referido estado e A um nmero real chamado de constante de normalizao, a ser determinado.
dx dy dz x,y,z,t
=( ) 2 1
( )cos ,/
x,tA
xe a x a
x
iEt
= <
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a. Usando o postulado de Born, obtenha a densidade de probabilidade p(x,t) de se encontrar a partcula em um ponto qualquer do eixo x, no instante t. Verifique que esta densidade real e positiva.
b. Imponha a condio de normalizao e encontre a constante A.
c. Ache a probabilidade de se encontrar a partcula na metade direita do poo (x > 0).
RESPOSTA COMENTADA
a. Para calcular a densidade de probabilidade, basta usar o postulado
de Born. Assim, obtemos
Como um cosseno ao quadrado sempre real e positivo, a densidade
de probabilidade tambm real e positiva. Note ainda que a densidade
mxima na origem.
b. A condio de normalizao imposta da seguinte forma: .
Assim, podemos obter a constante A:
c. A probabilidade de encontrarmos a partcula na metade direita do poo
dada pela Equao (4.5):
Ou seja, a partcula pode estar com igual probabilidade do lado direito
e do lado esquerdo do poo. Isto esperado, visto que o potencial
simtrico com relao origem!
OPERADORES E VALORES ESPERADOS
A esta altura, voc j deve estar convencido da natureza
probabilstica do mundo quntico (ou, ao menos, deve ter se conformado
com ela). Vimos, na experincia de fenda dupla (Aula 2), que no podemos
prever o resultado de um nico evento (como a posio do impacto de
um eltron no anteparo). Podemos, porm, fazer uma anlise estatstica
( )x,t dx2 =
1
P x,t dxa
xa
dxa
[ , ] ( ) cos %02 1
250
2
0
2
0
= = = =
.
.
. *( ) ( )
cos cos cos ,x,t x,t
Axa
e Axa
e Axa
a xiEt/ -iEt/=
=
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de um nmero muito grande de eventos. Por exemplo, se fizermos vrias
medidas da posio x do eltron no anteparo, que valor mdio ou valor
esperado da posio x iremos obter?
O resultado importantssimo descrito no item anterior nos permite
fazer este clculo. Uma vez que temos a distribuio de probabilidades,
isto se torna simples, basta usar um resultado bem conhecido de estatstica
elementar:
. (4.6)
Seguindo essa receita, podemos calcular outras quantidades de
interesse, tais como o valor esperado f de uma funo qualquer da
posio x, f(x). Essa quantidade dada pela expresso usual para o
valor esperado:
, (4.7)
mas que escreveremos na forma
(4.8)
A Equao (4.8) completamente equivalente Equao (4.7). Mas,
ento, qual a vantagem de escrev-la desta forma? Na verdade, a Equao
(4.8) apenas um caso particular do seguinte resultado mais geral:
(4.9)
em que O um operador quntico e O seu valor esperado.
Um operador quntico opera ou atua sobre uma funo de onda, e
o resultado uma outra funo. Indicamos por o resultado
da operao do operador O sobre a funo de onda . No caso mais
simples, um operador pode ser uma funo f(x). Quando isso acontece,
o resultado da operao simplesmente o produto da funo f pela
funo de onda , ou seja, . Neste caso, a ex-
presso (4.9) se reduz (4.8). Porm, no caso mais geral, um operador
quntico pode envolver operaes mais complicadas, como, por exemplo,
a diferenciao. Veremos exemplos desse tipo na Aula 5.
x x x,t dx=
( ) 2
f f x x,t dx=
( ) ( ) 2
f x,t f x x,t dx=
*( ) ( ) ( ) .
O x,t O x,t dx= [ ]
*( ) ( ) ,
O x,t( )[ ]
O x,t f x x,t ( ) ( ) ( )[ ] =
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Afinal, para que servem os operadores qunticos e a Equao
(4.9)? Certamente no so apenas uma curiosidade matemtica, muito
pelo contrrio. Os operadores desempenham um papel central no
formalismo da Fsica Quntica. Este papel definido pelo seguinte
postulado: A cada grandeza fsica corresponde um operador quntico.
E mais: supondo uma partcula no estado quntico definido pela funo
de onda , o valor esperado da medida da grandeza fsica correspondente
ao operador O (ou seja, o valor mdio estatstico de muitas medidas
desta grandeza) dado pela Equao (4.9).
Vale a pena meditar sobre a importncia desse resultado. Na
Aula 2, aprendemos que na Fsica Quntica impossvel prever, com
certeza, o resultado de uma nica medida. Na ocasio, voc pode ter
sentido uma limitao repentina em suas possibilidades de conhecer a
dinmica de um sistema fsico, algo que no existia na Fsica Clssica.
Agora, observamos que ao menos o valor mdio de um nmero muito
grande de medidas pode ser predito pela teoria. Recuperamos, ainda que
parcialmente, nosso poder preditivo.
Na prxima aula, conheceremos dois operadores bastante
importantes, associados energia e ao momento linear. Veremos que
eles no podem ser definidos por uma simples funo da posio f(x).
Mas, antes, que tal trabalharmos um pouco com alguns operadores
mais simples?
ATIVIDADE FINAL
Considere mais uma vez a funo de onda do estado fundamental do poo infinito
Equao (4.6).
a. Calcule o valor esperado da posio x e interprete seu resultado.
b. Alm do valor esperado de um conjunto de muitas medidas, podemos calcular
o desvio-padro . O desvio-padro mede a faixa de valores em
que a probabilidade de medida alta. Dessa forma, ele d uma idia da incerteza
da medida. Calcule o desvio-padro da posio para o estado fundamental do
poo infinito.
x x x= 2 2
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RESPOSTA COMENTADA
a. O valor esperado da posio obtido da seguinte forma:
Podemos entender este resultado por simetria: a partcula tem igual
probabilidade de ser encontrada do lado direito e do lado esquerdo do
poo, de modo que o valor mais provvel x = 0.
b. Calcular a incerteza
R E S U M O
O estado quntico de uma partcula descrito por sua funo de onda, que
satisfaz Equao de Schrdinger. O mdulo ao quadrado da funo de onda
nos d a amplitude de probabilidade de encontrarmos a partcula numa certa
posio. A cada grandeza fsica corresponde um operador quntico. Assim, com o
conhecimento da funo de onda, possvel obter o valor esperado das medidas
dessa grandeza.
x x,t x,t x x,t dxa
xa
e xxa
eiEt/h iEt= =
* *( ) ( ) ( ) cos cos
2 2 a
//h
a
a
a
a
dx
ax
xa
dx
=
= =
2
2
2
2
220cos .
x x x
xa
xxa
dxa
a
x
a
a
=
= =
=
2 2
2 2 2
2
2 2
2
222
2 61 0 033cos ,
== =x a2 0 18,
INFORMAES SOBRE A PRXIMA AULA
Na prxima aula, vamos conhecer os operadores energia e momento linear
e descreveremos o Princpio da Incerteza de Heisenberg.
.
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objetiv
os5AULAPr-requisitos
Metas da aula
Operadores momento e energia e o Princpio da Incerteza
Definir os operadores qunticos do momento linear e da energia e enunciar o Princpio da Incerteza de Heisenberg.
calcular grandezas associadas aos operadores momento linear e energia;
aplicar o Princpio da Incerteza de Heinsenberg.
Para uma melhor compreenso desta aula, importante que voc revise a Aula 4 desta
disciplina e o fenmeno de difrao da luz (Aula 8 de Fsica 4A).
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Introduo Mecnica Quntica | Operadores momento e energia e o Princpio da Incerteza
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OPERADORES QUNTICOS DO MOMENTO LINEAR E DA ENERGIA
Vimos, na Aula 4 desta disciplina, que devemos associar um
operador quntico a cada grandeza fsica. Observamos tambm que o
conhecimento da funo de onda nos permite calcular o valor esperado
(ou valor mdio) de um conjunto muito grande de medidas dessa grandeza
fsica. O momento linear (ou quantidade de movimento) e a energia de um
sistema so duas quantidades de importncia fundamental na Mecnica
Clssica e isto no diferente na Mecnica Quntica. Ento, quais so
os operadores qunticos associados a essas grandezas?
Podemos reescrever a equao de Schrdinger, Equao (4.2), de
uma forma um pouco diferente:
(5.1)
Note que, como esta equao deve ser vlida para qualquer soluo
(x,t), ela equivalente relao entre operadores diferenciais:
. (5.2)
Se compararmos esta relao com a relao clssica
, (5.3)
vemos que podemos associar as quantidades clssicas energia
E e momento linear p aos seguintes operadores diferenciais:
. (5.4)
Portanto, postular a equao de Schrdinger, como fizemos na
Aula 4, equivalente a postular a associao entre as quantidades
clssicas e as qunticas (5.4).
it
x,tm x
V x,t x,thh
=
+
( ) ( ) ( ).
2 2
22
it m
V x,thh
=
+
2 2
22 x( )
Epm
V x,t= +2
2( )
p ix
E it
h h,
O procedimento baseado na associao entre as quantidades clssicas e as qunticas (5.4) foi, essencialmente, o seguido por Schrdinger para derivar a sua equao.
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Introduo Mecnica Quntica | Operadores momento e energia e o Princpio da Incerteza
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A partir da defi nio do operador momento linear, primeira das
associaes da Equao (5.4), podemos calcular o valor esperado do
momento, utilizando a receita prescrita na Equao (4.9):
(5.5)
Da mesma forma, podemos calcular o valor esperado da energia,
(5.6)
1. Considere mais uma vez a funo de onda do estado fundamental do poo infi nito, descrita na Aula 4.
a. Calcule o valor esperado do momento linear p e interprete seu resultado.
__________________________________________________________________________________________________________________________
b. Calcule o desvio-padro ou incerteza para o estado fundamental do poo infi nito.
__________________