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Quantizzazione delle energie
Tracciare ed identificare i primi tre livelli energetici per un elettroneconfinato in una buca di potenziale a pareti infinite un oscillatorearmonico e un atomo di idrogeno Si indichi la grandezza relativa delterzo e del secondo livello rispetto al primo eg E3 = 3E1
E
xL
E
xL
Infinite Well Oscillator
E1
E2 = 4E1
E3= 9E1
E0 = hf
E1 = 3E 0
E2 = 5E 0
E
x
minusE1
minusE2 = E1 4
minusE3 = E1 9
H Atom
V prop x2
V prop 1x
Oscillatore Atomo di idrogenoBuca di potenzialea pareti infinite
1 Llsquoatomo di idrogeno11 Comportamento in campo centrale
Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo
Coordinate sferichex=r sinθ cosφy= r sinθ sinφz=r cosθ
(xyz) rarr ( Rθφ )
∆
Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale
Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)
Dipende solo da r e θ Dipende solo da φ
Entrambi i membri devono essere posti uguali a una costante C1
Soluzione
Affincheacute la funzione sia univoca deve valere P(φ)=P(φ + nπ)
Dividiamo per Numero intero (m)
m=0 +1 +2
Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale
Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)
Dipende solo da rθ
m ε Z
C1 = ml2
Dipende solo da r
Entrambi i membri devono essere uguali a una costante C2
sostituzione ξ=cosθ Equazione diLegendre
Soluzione generale funzioni di Legendre Plm
C2 = l(l+1) l =m m+1 hellipT=Plm (cos(θ))
T(θ) P(φ) = Plm (cos(θ)) e imφ = Yl
m(θφ) Armoniche sferiche
Dipende soloda φ
Dipende solo da θ
euro
1
r 2
d
dξ1minus ξ 2( ) dT
dξ
+ C2 minus
m2
1minus ξ2
T = 0
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagrave di moto prarr
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagravedi moto prarr
l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico
Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso
m~
zxy componenti indeterminate Esempio l=2
m=-2-1012
euro
∆Lx ∆Ly ge1
2ψ Lx Ly[ ] ψ
euro
L2 e Lzsono misurabili simultaneamente
1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata
Asse di quantizzazione
sviluppare
Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2
Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)
negativo
Dipende da n e l
Limiti per lllt012 n
Come nel modello di Bohr
NONdipende da l
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
1 Llsquoatomo di idrogeno11 Comportamento in campo centrale
Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo
Coordinate sferichex=r sinθ cosφy= r sinθ sinφz=r cosθ
(xyz) rarr ( Rθφ )
∆
Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale
Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)
Dipende solo da r e θ Dipende solo da φ
Entrambi i membri devono essere posti uguali a una costante C1
Soluzione
Affincheacute la funzione sia univoca deve valere P(φ)=P(φ + nπ)
Dividiamo per Numero intero (m)
m=0 +1 +2
Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale
Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)
Dipende solo da rθ
m ε Z
C1 = ml2
Dipende solo da r
Entrambi i membri devono essere uguali a una costante C2
sostituzione ξ=cosθ Equazione diLegendre
Soluzione generale funzioni di Legendre Plm
C2 = l(l+1) l =m m+1 hellipT=Plm (cos(θ))
T(θ) P(φ) = Plm (cos(θ)) e imφ = Yl
m(θφ) Armoniche sferiche
Dipende soloda φ
Dipende solo da θ
euro
1
r 2
d
dξ1minus ξ 2( ) dT
dξ
+ C2 minus
m2
1minus ξ2
T = 0
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagrave di moto prarr
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagravedi moto prarr
l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico
Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso
m~
zxy componenti indeterminate Esempio l=2
m=-2-1012
euro
∆Lx ∆Ly ge1
2ψ Lx Ly[ ] ψ
euro
L2 e Lzsono misurabili simultaneamente
1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata
Asse di quantizzazione
sviluppare
Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2
Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)
negativo
Dipende da n e l
Limiti per lllt012 n
Come nel modello di Bohr
NONdipende da l
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale
Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)
Dipende solo da r e θ Dipende solo da φ
Entrambi i membri devono essere posti uguali a una costante C1
Soluzione
Affincheacute la funzione sia univoca deve valere P(φ)=P(φ + nπ)
Dividiamo per Numero intero (m)
m=0 +1 +2
Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale
Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)
Dipende solo da rθ
m ε Z
C1 = ml2
Dipende solo da r
Entrambi i membri devono essere uguali a una costante C2
sostituzione ξ=cosθ Equazione diLegendre
Soluzione generale funzioni di Legendre Plm
C2 = l(l+1) l =m m+1 hellipT=Plm (cos(θ))
T(θ) P(φ) = Plm (cos(θ)) e imφ = Yl
m(θφ) Armoniche sferiche
Dipende soloda φ
Dipende solo da θ
euro
1
r 2
d
dξ1minus ξ 2( ) dT
dξ
+ C2 minus
m2
1minus ξ2
T = 0
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagrave di moto prarr
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagravedi moto prarr
l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico
Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso
m~
zxy componenti indeterminate Esempio l=2
m=-2-1012
euro
∆Lx ∆Ly ge1
2ψ Lx Ly[ ] ψ
euro
L2 e Lzsono misurabili simultaneamente
1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata
Asse di quantizzazione
sviluppare
Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2
Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)
negativo
Dipende da n e l
Limiti per lllt012 n
Come nel modello di Bohr
NONdipende da l
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale
Separazione delle variabili Ψ(rθ φ )= R(r) T(θ) P(φ)
Dipende solo da rθ
m ε Z
C1 = ml2
Dipende solo da r
Entrambi i membri devono essere uguali a una costante C2
sostituzione ξ=cosθ Equazione diLegendre
Soluzione generale funzioni di Legendre Plm
C2 = l(l+1) l =m m+1 hellipT=Plm (cos(θ))
T(θ) P(φ) = Plm (cos(θ)) e imφ = Yl
m(θφ) Armoniche sferiche
Dipende soloda φ
Dipende solo da θ
euro
1
r 2
d
dξ1minus ξ 2( ) dT
dξ
+ C2 minus
m2
1minus ξ2
T = 0
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagrave di moto prarr
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagravedi moto prarr
l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico
Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso
m~
zxy componenti indeterminate Esempio l=2
m=-2-1012
euro
∆Lx ∆Ly ge1
2ψ Lx Ly[ ] ψ
euro
L2 e Lzsono misurabili simultaneamente
1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata
Asse di quantizzazione
sviluppare
Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2
Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)
negativo
Dipende da n e l
Limiti per lllt012 n
Come nel modello di Bohr
NONdipende da l
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagrave di moto prarr
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagravedi moto prarr
l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico
Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso
m~
zxy componenti indeterminate Esempio l=2
m=-2-1012
euro
∆Lx ∆Ly ge1
2ψ Lx Ly[ ] ψ
euro
L2 e Lzsono misurabili simultaneamente
1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata
Asse di quantizzazione
sviluppare
Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2
Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)
negativo
Dipende da n e l
Limiti per lllt012 n
Come nel modello di Bohr
NONdipende da l
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Osservazione Momento angolare in meccanica quantistica
Grandezza fisica Operatore
euro
vettore posizione rrarr
euro
quantitagravedi moto prarr
l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico
Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso
m~
zxy componenti indeterminate Esempio l=2
m=-2-1012
euro
∆Lx ∆Ly ge1
2ψ Lx Ly[ ] ψ
euro
L2 e Lzsono misurabili simultaneamente
1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata
Asse di quantizzazione
sviluppare
Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2
Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)
negativo
Dipende da n e l
Limiti per lllt012 n
Come nel modello di Bohr
NONdipende da l
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
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l = 0
l = 1
l = 2
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2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
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431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
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Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
l = 0123 Numero quantico azimutale -lltmlltl Numero quantico magnetico
Relazioni di indeterminazione per lrsquoimpulso
m~
zxy componenti indeterminate Esempio l=2
m=-2-1012
euro
∆Lx ∆Ly ge1
2ψ Lx Ly[ ] ψ
euro
L2 e Lzsono misurabili simultaneamente
1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata
Asse di quantizzazione
sviluppare
Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2
Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)
negativo
Dipende da n e l
Limiti per lllt012 n
Come nel modello di Bohr
NONdipende da l
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
1 La lunghezza del vettore eacute quantizzata2 Non puograve avere una direzione qualsiasi nello spazio La direzione eacute quantizzata
Asse di quantizzazione
sviluppare
Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2
Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)
negativo
Dipende da n e l
Limiti per lllt012 n
Come nel modello di Bohr
NONdipende da l
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
sviluppare
Per rrarrinfin si trascurano 1r e 1r2
Soluzione completa (Polinomi di Laguerre)
negativo
Dipende da n e l
Limiti per lllt012 n
Come nel modello di Bohr
NONdipende da l
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
principale n = 12
azimutale l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione del Momento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non crsquoeacute orbita di BohrMomento angolare NULLO
n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1
ldquodegenerirdquo (medesima energia)
n2 possibilitagrave
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVprobabilitagrave di trovare unelettrone in unelemento di volume dV adistanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 dr probabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo
ldquomassimordquo sul nucleo
Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
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2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
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400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
|Rnl(r)|2 dVProbabilitagrave di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo
r2|Rnl(r)|2 drProbabilitagrave di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo
punto nodale
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
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da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Regione Proibita
classicamente
Tunneling
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
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orbitale s
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2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse Z(asse di quantizzazione)
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
da httpwwwuniovies~quimicafisicaqcgharmonicscharmonicshtml
cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
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400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ
Y20=C4(2cos2θ ndashsin2θ)Y21=C5(cosθ ndashsinθ eiφ
Y22=C6 sin2θ e2iφ
Ψnlm(rθφ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)
Rappresentazione polare
Asse di quantizzazione
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
l = 3
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
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l = 0
l = 1
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6 lobi
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200 211 211210
100
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400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica
Densitagrave di probabilitagrave Orbite planetarie
rn=a0Z n2
Vicino a r=0 puograve essere max Nulla per r=0
rn
Momento angolare
Raggiodelllsquo bdquoorbitaldquo
Densitagrave di prob
Modello di BohrMeccanica quantistica
L=nh
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
orbitali d
orbitali f
Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
n = 3
l = 01
l = 012
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m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
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sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
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l = 0
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2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
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400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Funzioni drsquoondaFunzione drsquoonda completa ψnlm
l = 1 m = plusmn1
m = plusmn1
orbitale s
orbitali p
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Componente sferica Ylm
l = 0n = 1
n = 2
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l = 01
l = 012
l = 1
l = 0
l = 2
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m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
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2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
431 431430432 432 433433
da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
m = ndash3 m = ndash2 m = ndash1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3
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cosθsinθ sinφ sinθ cosφ
3cos2θndash1sinθcosθsinφ
sinθcosθcosφ
sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ
5cos3θndash3cosθ
sinθ(5cos2
θminus1) sinφsinθ(5cos2θ
minus1) cosφsin2θ cosθ
sin2φsin2θ cosθ
cos2φsin3θsin3φ
sin3θcos3φ
orbitale s
orbitali p
orbitali d
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
2 lobi
6 lobi
4 lobi
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
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da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
200 211 211210
100
300 311 311310 321 321320322 322
400 411 411410 421 421420422 422
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da httppcgatethchuni-bonndetcpeoplehanrathmichaelhanrathHAtomGifshtmll = 1 orbitali p
l = 2 orbitali d
l = 0 orbitali s
l = 3 orbitali f
Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
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Rimozione della degenerazione in l
principale n = 12
Momento angolare l = 01234 (n-1)
magnetico(proiezione delmomento angolare)
-l lt m lt l
Numero quantico Simbolo
spdf
Nelllsquoatomo di idrogeno E non dipende da l
Nelllsquoatomo di H influenzano la funzione dlsquoonda ma NON llsquoenergia
Uguali autovalori
Vale solo per il potenziale Coulombiano
Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
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Rimozione della degenerazione in l
Llsquoelettrone esterno bdquovedeldquo uno Z=1
En=136n2 per ngt2
Z=3
n=1
Litio
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di Litio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio
Rimozione della degenerazione in l
La degenerazione in l eacute rimossaLlsquoelettrone 2s eacute piugrave legato di quello 2p
probabilitagrave perllsquoelettrone 2s alllsquo interno
del guscio 1s
Z=1
Z=3
Potenziale schermato
ApprossimazioneSi trascurano le correlazioni elettroniche
Emissione nel giallo589 nm
Consideriamo il caso delllsquoatomo di sodio
Na 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2
1 elettroni per n=3
Diagramma di Grotrian per lrsquoatomo di sodio