que hicieron todo en la vida para que nosotros ... · PDF fileMomento Flector de la Viga ... Diagram Fuerza Cortante del Portico ... momento de empotramiento y deﬂexiones por

DEDICATORIA:

Con todo mi cariño y mi amor para las personasque hicieron todo en la vida para que nosotroscumplieramos nuestros sueños, por motivarnos ydarnos su apoyo en todo momento.

A nuestros padres con mucho Amor.

RESUMEN

El Análisis Estructural es la parte del proceso de proyecto que comprende el diseño, cálculo y comprobación dela estructura. Es esta una disciplina técnica y científica que permite establecer las condiciones de idoneidad de laestructura, respecto a su cometido o finalidad. Por tanto, tiene establecido su objeto en la estructura y su finalidaden el cálculo como comprobación de lo diseñado.En el presente trabajo se presentan las experiencias obtenidas durante el proyecto de desarrollo e implementaciónpara la enseñanza del Método de la Rigidez de un programa de características didácticas que, funciona en elambiente MATLAB, con capacidad para la resolución de estructuras de barras (reticulados y pórticos en 3D)

Índice general

I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 80.1. El problema de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II FUNDAMENTO TEÓRICO 10

1. CONCEPTOS BASICOS DE DIFERENTES TIPOS DE ESTRUCTURA 111.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ . . . . . . . . . 11

1.1.1. Algunas visiones del conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2. Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3. Convencion de Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.4. Grados de Libertad (DOF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.5. Matrix Rigedez de Elemento[ke] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.6. Matrix Rigedez de La Estructura[K] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.7. Vector Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.8. Desplazamiento del Vector[U ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.9. Calculo Desconocido Desplazamiento y Reaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.10. Fuerzas en Los Miembros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. MATRIX DE RIGIDEZ DE UN PORTICO (FRAME 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D) . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.2. Matriz de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

III MEMORIA DE CALCULO DE LAS ESTRUCTURAS 23

2. APLICACION DE UNA BEAM POR EL METODO RIGIDEZ 242.1. EJEMPLO DE UN VIGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL

3. APLICACION DE UN FRAME 2D POR METODO REGIDEZ 403.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. APLICACION DE TRUSS 2D METODO RIGIDEZ 474.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. SOLUCION DE FRAME 3D METODO RIGIDEZ 605.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6. APLICACION DE TRUSS 3D METODO RIGIDEZ 646.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7. APLICACION DE UN GRID POR METODO RIGIDEZ 787.1. EJEMPLO DE UN GRID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

IV CONCLUSIONES 84

V RECOMENDACIONES 86

VI BIBLIOGRAFIA 88

UNSCH4

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

Índice de figuras

1.1. Sistema de Coordenadas Globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Sistema de Coordenadas Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Convension de Signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Sistema de Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Viga Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Portico 2D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Armadura 2D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8. Portico 3D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9. Armadura 3D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10. Parrilla Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11. Esquema Tipica de Una Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.12. Elemento Sometido a Flexion y Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.13. Elemento de la Primera Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.14. Elemento de la Segunda Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.15. Elemento de la Tercera Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.16. Elemento de la Cuarta Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1. Viga con Diferentes Cargas en los Mienbros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Seccion de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Notacion de los Grados de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Caracterizacion de la Viga Para Obtener Vector de Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8. Viga Con Sus Respectivas Fuerzas Primarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.9. Viga con Sus Respectivos Fuerzas y Momentos en Sus Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10. Seccion de Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.11. Viga Con Sus Fuerzas Externas en Los Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.12. Seccionamiento en Del Elemento I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.13. Seccionamiento en Del Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.14. Seccionamiento en Del Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.15. Seccionamiento en Del Elemento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.16. Seccionamiento en Del Elemento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.17. Viga Con Sus Respectivas Reacciones y Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.18. Momento Flector de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.19. Fuerza Cortante De La Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.20. Fuerzas Axiales De La Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Portico Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2. Numeracion Grados y Elementos del Portico Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Elemento Cargado con Una Fuerza Distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4. Portico Con Sus Cargas Puestas en su Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5. Portico Con Sus Respectivas Reaciones y Desplazamientos en Sus Nodos . . . . . . . . . . . . . 443.6. Diagram Fuerza Cortante del Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.7. Diagrama de Momento Flector del Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5

ÍNDICE DE FIGURAS ÍNDICE DE FIGURAS

3.8. Portico Con su Respectiva Fuerzas Axiales en Los Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1. Aramdura Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Designacion De Los Grados de Libertad de la Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Elemento (1) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4. Elemento (2) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5. Elemento (3) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6. Elemento (4) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.7. Elemento (5) y (6) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8. Elemento (7) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.9. Armadura Con Sus Respectivas Fuerzas Internas y Externas Finales . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1. Portico Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2. Numeracion de los Grados de Libertad de Portico Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1. Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2. Armadura Con Sus Respectivas Numeraciones en Los Nodos y Elementos . . . . . . . . . . . . . 656.3. Elemento (1) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4. Elemento (2) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5. Elemento (3) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.6. Elemento (4) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.7. Elemento (5) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8. Elemento (6) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.9. Elemento (7) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.10. Deformada de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.11. Equilibrio de Elementos de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.12. Equilibrio de Nodos de (IV) y (VI) De Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.13. Equilibrio de Nodos de (I) y (II) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.14. Equilibrio de Nodos de (V) y (VII) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.15. Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (I) y (IV) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . 756.16. Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (II) y (VI) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . 756.17. Armadura 3D Con Sus Respectivas Reacciones y Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1. Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2. Momento de Empotramiento del Elemento (1-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3. Momento de Empotramiento del Elemento (1-3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.4. Diagrama de Fuerza Cortante de la Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.5. Diagrama de Momento Flector de la Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.6. Diagrama de Fuerza Axial de la Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

UNSCH6


INTRODUCCIÓN

El análisis estructural es la columna vertebral de cualquier diseño de ingeniería al permitir que uno sabe deantemano el comportamiento de cualquier estructura de ingeniería bajo diferentes condiciones de carga a la quela estructura se encontrará a lo largo de su vida. Este informe muestra cómo podría ser definido y analizado unaestructura usando el programa MATLAB por el método de la rigidez .Por otra parte cómo un usuario puede uti-lizar este programa como una herramienta de aprendizaje para método rigidez .Matlab ha desarrollado un análisisestructural estático elástica de porticos y armaduras en 2D y 3D asi como tambien de una parrillas.

En la etapa de procesamiento, la entrada de datos se utiliza para preparar matrices elemento de rigidez ytransformación de cada uno en sistema de coordenadas globales antes suma para obtener la matriz de rigidezestructural global. Carga y el desplazamiento matriz es preparada. A continuación, mediante el uso de la fuerzade desplazamiento estándar relación y matriz de particionamiento, desplazamientos desconocidos, reacciones y secalculan las fuerzas miembros.

7

PARTE IPLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

8

0.1. EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN

0.1. El problema de la investigaciónElaborar una subrutina o programa que efectúe una adaptación al código en MATLAB, el cual resuelva los

dierentes tipos de estructuras como: BEAM, PORTICO 2D, TRUUS 2D, PORTICO 3D,TRUSS 3D y GRID conel método matricial de la rigidez, de tal modo que este sea capaz de resolver

0.2. Objetivos

0.2.1. Objetivo GeneralEl objetivo de este trabajo es desarrollar un análisis estructural basado en un programa MATLAB, que pueda

resolver cualquier tipo de estructura en 2D 3D y grid.

0.2.2. Objetivos Específicos

1 Calcular parámetros de rigideces, momento de empotramiento y deflexiones por el método de la rigideces.

2 Comparar los resutados obtenidos con el metodo rigidez y el programa matlab.

3 Identificar las propiedades paramétricas de las diferente estructuras analizadas.

4 La adición de todas las matrices elemento de rigidez en DOF pertinente para formar una matriz de rigidezestructural (K).

5 Comparar los resultados de los momentos finales, fuerzas internas y flechas con el programa realizado enmatlab.

6 Formación de elemento de carga Vector (Po) en coordenadas locales para viga, portico, armadura,portico3D,armadura 3D y parrilla.

7 Transformación de carga de elementos del vector en coordenadas globales para viga, portico, armadu-ra,portico 3D,armadura 3D y parrilla.

8 Formación de Nodal vector de desplazamiento (U).

9 Resolviendo P=KU para conseguir desplazamientos desconocidos en las juntas sin restricciones.

10 Haciendo uso de desplazamientos para el paso 6 para obtener reacciones en constreñido articulaciones.

11 Transformación de los desplazamientos globales a los desplazamientos locales a calcular las fuerzas en losmiembros.

UNSCH9


PARTE IIFUNDAMENTO TEÓRICO

10

CAPÍTULO 1

CONCEPTOS BASICOS DE DIFERENTES TIPOS DEESTRUCTURA

1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METO-DO RIGIDEZ

1.1.1. Algunas visiones del conjuntoPara el análisis de cualquier estructura, se modela como un conjunto de simple, idealizada elementos conecta-

dos a los nodos. Análisis por el método de la rigidez puede ser directa dividido en pasos siguientes.

1 La formulación de la matriz de rigidez elemental en coordenadas locales (Ke).

2 Formación de elemento de matriz de transformación T.

3 Transformación de la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales (Ke).

4 La adición de todas las matrices elemento de rigidez en DOF pertinente para formar una matriz de rigidezestructural (K).

5 Formación del vector de carga nodal (P) en coordenadas globales.

6 Formación de elemento de carga Vector (Po) en coordenadas locales para marcos solamente.

7 Transformación de carga de elementos del vector en coordenadas globales para marcos solamente.

8 Formación de Nodal vector de desplazamiento (U).

9 Resolviendo P=KU para conseguir desplazamientos desconocidos en las juntas sin restricciones.

10 Haciendo uso de desplazamientos para el paso 6 para obtener reacciones en constreñido articulaciones.

11 Transformación de los desplazamientos globales a los desplazamientos locales a calcular las fuerzas en losmiembros.

11

1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ CAPÍTULO 1

1.1.2. Sistema de CoordenadasGlobal: Estructura nodos siempre se describen en coordenadas globales. podría ser expresada por las letras

mayúsculas de X, Y y Z.

Figura 1.1: Sistema de Coordenadas Globales

Locales: fuerzas internas de elementos se describen en las coordenadas locales. Se representa por letras minús-culas de x, y y z.

Figura 1.2: Sistema de Coordenadas Locales

Estructuras 2D se definirán en el plano X-Y donde como estructuras 3D serán se define en X-Y-Z plano.

1.1.3. Convencion de SignoFuerza horizontal es positiva si se dirige a la derecha, fuerza vertical es positivo hacia arriba y momento es

positivo en la dirección hacia la izquierda como se muestra en la figura 3.3.

Figura 1.3: Convension de Signos

UNSCH12



1.1.4. Grados de Libertad (DOF)Se define como un desplazamiento independiente de un nodo a lo largo de X, Y o Z axis.These desplazamientos

son siempre independientes de cada other.For ejemplo, un soporte de la bisagra sólo puede tener un desplazamiento(rotación θ ) .Displazaniento Está siendo utilizado en un contexto generalizado aquí, ya que podría ser rotación,así como translation. Displazamiento en una estructura depende de tipo de estructura, ya que podría ser uno, dos oninguno. DOF tanto en el sistema local y global de coordenadas sigue siendo igual para un particular, caso. Peroen el caso de armazones este no es el caso ya que sólo hay uno axial deformación en coordenadas locales y doso tres traducciones en cada nodo en 2D y 3D cerchas respectivamente. Los grados de libertad asociados con cadatipo de elemento y su numeración se puede resumir como se muestra en la Fig (3.4)

Figura 1.4: Sistema de Grados de Libertad

1.1.5. Matrix Rigedez de Elemento[ke]

Cada elemento de propiedades de rigidez se calculan en función de la naturaleza del elemento DOF en cadanodo, estas propiedades se agrupan juntos para formar un elemento matriz de rigidez.

1.1.6. Matrix Rigedez de La Estructura[K]

Matrices de rigidez de elementos se luego se ha completado en una sola matriz que gobierna el comportamientode toda la estructura idealizada, conocida como matriz de rigidez estructural. Esto se obtiene por multiplicación deelemento de matriz de rigidez a la matriz de transformación como en (3.1a)

K = T T × ke×T (1.1)

K =

K11 K12 · · · K1nK21 K22 · · · K2nK31 K32 · · · K3n

......

. . ....

Km1 Km2 · · · Kmn

(1.2)

UNSCH13



1.1.7. Vector CargaCargar vector se calcula de manera que las fuerzas conocidas y desconocidas son reacciones dispuestos como.

P =

Pf· · ·Ps

(1.3)

Pf :are the known forcesPf :are the unknown rections

1.1.8. Desplazamiento del Vector[U ]

El desplazamiento Vector se obtiene mediante la colocación de desplazamiento desconocido en la parte superiory después de que los desplazamientos conocidos como

U =

U f· · ·Us

(1.4)

U f :are the unknown displacementsU f :are the known displacements

1.1.9. Calculo Desconocido Desplazamiento y ReaccionMatriz de rigidez estructural se reordena con respecto al desconocido desplazamientos y después se repartió

con respecto a la desconocida y conocida de tal manera que los desplazamientos.

Pf· · ·Ps

=

K f f... K f s

· · · · · · · · ·

Ks f... Kss

U f· · ·Us

(1.5)

U f =[K f f]−1×

(Pf −K f sUs

)(1.6)

Ps = Ks fU f +KssUs (1.7)

1.1.10. Fuerzas en Los MiembrosUna vez conocidos los desplazamientos nodales, fuerzas en los miembros son calculados por utilizando la

siguiente ecuación estándar.

P = KeU (1.8)

Pe = T P (1.9)

SOPe = T keU (1.10)

Whe are Pe denote the member forces

UNSCH14


1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM) CAPÍTULO 1

1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM)Una VIGA se define como una estructura larga y recta que se carga perpendicular a su eje longitudinal .

Las cargas se aplican generalmente en un plano de simetría de la sección transversal de la viga, causando a susmiembros a ser sometido sólo a la flexión momentos y fuerzas cortantes

Figura 1.5: Viga Idealizada De Una Estructura Real

1.3. MATRIX DE RIGIDEZ DE UN PORTICO (FRAME 2D)Un marco plano se compone de elementos rectos unidos entre sí por rígido o conexiones articuladas. Tienen

carga y reacciones que actúa siempre en el plano de la estructura. Debido a las cargas de la estructura puede sersometida a una fuerza axial así como de corte y momentos de flexión. Así marco presenta el comportamiento detanto barra y viga. Matriz de rigidez del bastidor se puede obtener combinación de viga y viga avión elementorigidez.

Una unión rígida puede transmitir axial, cortante y flexión fuerzas de momento. elemento puede ser cargado enlos nodos, así como entre los nodos tanto por cargas puntuales como así como cargas distribuidas uniformementeque podrían ser transferidos a las cargas nodales por las fórmulas estándar.

Figura 1.6: Portico 2D Idealizada De Una Estructura Real

UNSCH15


1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D) CAPÍTULO 1

1.3.1. Matriz de rigidez del elementoEn el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un marco de avión elemento puede ser

denotado por:

[k] =

AEL 0 0 −AE

L 0 00 12EI

L36EIL2 0 − 12EI

L36EIL2

0 6EIL2

4EIL 0 − 6EI

L22EI

L−AE

L 0 0 AEL 0 0

0 − 12EIL3 − 6EI

L2 0 12EIL3 − 6EI

L2

0 6EIL2

2EIL 0 − 6EI

L24EIL2

1.3.2. Matriz de transformaciónMatriz de transformación de un bastidor planar se denota por la fórmula estándar como:

{T}=

cos(θ) sin(θ) 0 0 0 0−sin(θ) cos(θ) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos(θ) sin(θ) 00 0 0 −sin(θ) cos(θ) 00 0 0 0 0 1

1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D)

Una armadura de avión es una estructura articulada pin que se encuentra sólo en un único plano (XY). Bragueroplano está formado por miembros conectados en bisagras. Por lo general, formar un patrón triangular con la cargay miembro acostado en el mismo plano en las juntas que se denominan como nodos.

Figura 1.7: Armadura 2D Idealizada De Una Estructura Real

1.4.1. Matriz de rigidez del elementoUna conexión de bisagra sólo puede transmitir fuerzas de un miembro a otro miembro, pero no el momento.

Para fines de análisis, la armadura se carga en el articulaciones. En el local de coordinar elemento del sistemamatriz de rigidez de un plano elemento de armazón puede ser denotado por:

[ke] =EAL

[1 −1−1 1

]

UNSCH16


1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) CAPÍTULO 1

1.4.2. Matriz de transformaciónMatriz de transformación de una armadura plana se denota por la fórmula estándar como:

{T}=

cos(θ) sin(θ) 0 0−sin(θ) cos(θ) 0 0

0 0 cos(θ) sin(θ)0 0 −sin(θ) cos(θ)

1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D)Marcos espaciales son las estructuras cuyos miembros podrían ser dirigidos en cualquier dirección en el es-

pacio y podrían ser conectados por conexiones de ambos rígido y el tipo flexible. Carga externa sobre las artic-ulaciones, así como en los miembros pueden estar en cualquier dirección arbitraria en el espacio tridimensional.Como resultado de aplicada carga externa estas estructuras son sometidas a momentos de flexión sobre su los dosejes principales, las fuerzas axiales, de torsión y fuerzas de cizallamiento en tanto el capital direcciones. Deberemarcarse que esos parámetros son distintos a los calculados para las barras prismáticas; por ejemplo, en la vigamostrada se tiene:Cualquier articulación sin apoyo de un marco tridimensional puede traducir así como girar encualquier dirección. Así seis grados de libertad siempre están asociadas a ninguna conjunta de una estructura demarco de los cuales tres son traducciones en X, Y y Z direcciones y otros tres son rotaciones alrededor de los ejesanteriores. Las articulaciones de un marco de espacio pueden numerarse de cualquier manera, sin embargo la gra-dos de libertad están numerados tal que al primer nodo de cada elemento primer número saldrá a la traducción X,segundo número será para la traducción Y y tercer número se adjudicará a Z dirección de traducción. Del mismomodo cuarta número será para rotación alrededor de X, quinto número será para rotación alrededor de Y y sextode numeración se le dará a la Z dirección de giro. Moda similar se llevarán a cabo en cada junta para numerar losgrados de libertad

Figura 1.8: Portico 3D Idealizada De Una Estructura Real

UNSCH17


1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) CAPÍTULO 1

1.5.1. Matriz de rigidez del elementoEn el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un elemento de estructura espacial puede

ser indicado por un elemento bisymmetric dimensiones 12x12 tres

Ke=

AEL 0 0 0 0 0 −AE

L 0 0 0 0 00 12EIZ

L3 0 0 0 6EIZL2 0 − 12EIZ

L3 0 0 0 6EIZL2

0 0 12EIYL3 0 − 6EIY

L2 0 0 0 − 12EIYL3 0 − 6EIY

L2 00 0 0 GJ

L 0 0 0 0 0 −GJL 0 0

0 0 − 6EIYL2 0 4EIY

L 0 0 0 − 6EIYL2 0 2EIY

L 00 6EIZ

L2 0 0 0 4EIZL 0 − 6EIZ

L2 0 0 0 2EIZL

−AEL 0 0 0 0 0 AE

L 0 0 0 0 00 − 12EIZ

L3 0 0 0 − 6EIZL2 0 12EIZ

L3 0 0 0 − 6EIZL2

0 0 − 12EIYL3 0 6EIY

L2 0 0 0 12EIYL3 0 6EIY

L2 00 0 0 −GJ

L 0 0 0 0 0 GJL 0 0

0 0 − 6EIYL2 0 2EIY

L 0 0 0 6EIYL2 0 4EIY

L 00 6EIZ

L2 0 0 0 2EIZL 0 − 6EIZ

L2 0 0 0 4EIZL

1.5.2. Matriz de transformaciónMatriz de transformación de un marco de espacio se denota por la fórmula estándar como:

T =

r 0 0 00 r 0 00 0 r 00 0 0 r

Donde “r”es la matriz de rotación que depende el ángulo entre eje Y locales y Y-eje global del elemento. Nodode inicio Elemento es “i” nodo final es “j” ,”z”

Fórmula estándar para la rotación de un elemento de 3D con ángulo α = 0 entre eje local y global y Y estádada por:

L =

√(Xi−X j)

2 +(Yi−Yj)2 +(Zi−Z j)

2

CX =Xi−X j

L CY =Yi−Y j

L CZ =Zi−Z j

L

CXZ =√

C2X +C2

Y

r =

CX CY CZ

− (CX×CY×cosα+CZ×senα)CXZ

CY × cosα − (CY×CZ×cosα+CX×senα)CXZ

− (CX×CY×cosα+CZ×senα)CXZ

−CY × cosα − (CY×CZ×cosα+CX×senα)CXZ

Fórmula estándar para la rotación de un elemento de 3D con ángulo de α = 90 o 270 entre eje local y globaly

Y está dada por:

r =

0 CY 0−CY × cosα 0 senα

CY × cosα 0 cosα

UNSCH18


1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D) CAPÍTULO 1

1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D)Una armadura de cubierta espacial es una estructura articulada pasador que se encuentra en una de tres dimen-

siones plano de cercha (X, Y, y Z) .espacio se compone de miembros prismáticos conectados en las juntas. Comocerchas planas cerchas espaciales también se cargan a sólo sus articulaciones con los miembros que tenga la ten-sión o compresión fuerzas en ella. El análisis estructural de cerchas espaciales y aviones es idéntico. En armadurade cubierta espacial, la ubicación de cada nodo está representado por tres mundial coordenadas (X, Y, y Z). Cadanodo en una armadura de cubierta espacial puede traducir en cualquier dirección en un espacio de tres dimensionespor lo que es importante encontrar los tres desplazamientos en X, Y y Z para definir completamente el desviadoforma de la estructura. Significa una armadura espacial tiene tres grados de libertad en cada uno tres coordenadasestructurales conjuntas y en cada junta a completamente analizar la estructura. Las juntas de una armadura espa-cial pueden numerarse de cualquier manera, sin embargo la grados de libertad están numerados tal que al primernodo de cada elemento primer número irá a X, el segundo número será de Y y tercer número será adjudicado a Zdirección. De manera similar se llevará a cabo en cada junta para numerar los grados de libertad.

Figura 1.9: Armadura 3D Idealizada De Una Estructura Real

1.6.1. Matriz de rigidez del elementoEn el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un elemento de celosía espacial puede ser

denotado por:

[ke] =EAL

[1 −1−1 1

]

1.6.2. Matriz de transformaciónMatriz de transformación de una armadura espacial se representa por la fórmula estándar como:

T =

[cos(αx) cos(βx) cos(γx) 0 0 0

0 0 0 cos(αx) cos(βx) cos(γx)

]

α:es el ángulo entre el elemento local de eje x y el eje X globalβ :es el ángulo entre el elemento de eje y local y Y-eje globalγ:es el ángulo entre el elemento local de eje Z y el eje Z global

UNSCH19


1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) CAPÍTULO 1

1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID)La parrilla son marcos planos cargado en el plano de la estructura, mientras que las cargas sobre las rejillas

se aplican en la dirección perpendicular al plano de la estructura (Fig. 1.7). Los miembros de las redes pueden,por lo tanto, ser sometido a momentos de torsión, además de la flexión momentos y cizallas correspondientes quehacen que los miembros se doblen fuera de la plano de la estructura. Grids son comúnmente utilizados para apoyarlos techos que cubren amplias zonas libres de columnas en este tipo de estructuras como estadios deportivos,auditorios, y hangares

Figura 1.10: Parrilla Idealizada De Una Estructura Real

las estructuras tipo parrilla son estructuras reticulares sometidos a cargas que actúan perpendicularmente a suplano. podemos encontrar muchas de ellas en las estructuras industriales,en losas de entrepiso con viguetas en dosdirecciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fabricas sometidas a la accion de viento. los nudosse suponen rigidos en consecuencia las acciones principales sobre sus mienbros son torsión,flexión y corte.

Figura 1.11: Esquema Tipica de Una Parrilla

UNSCH20



ELEMENTO SOMETIDO A FLEXION Y CORTE, ORIENTADO EN EL EJE “X”

Figura 1.12: Elemento Sometido a Flexion y Corte

PRIMERA COLUMNA

Figura 1.13: Elemento de la Primera Columna

POR MANEY

Mi j =2EI

L (2θi +θ j−3ϕi j) M ji =2EI

L (θi +2θ j−3ϕi j)

Mi j =2EI

L (2+0−3∗0) M ji =2EI

L (1+2−0−3∗0)

Mi j =4EI

L M ji =2EI

L

V =4EI

L + 2EIL

L

Vi =6EIL2 Vj =

6EIL2

SEGUNDA COLUMNA

Figura 1.14: Elemento de la Segunda Columna

POR MANEY

Mi j =2EI



Mi j =2EI

L

(0+0−3∗ 1

L

)M ji =− 6EI

L2

Mi j =2EI

L

(0+2∗0−3∗ 1

L

)M ji =− 6EI

L2

UNSCH21



V =−6EI

L2 + −6EIL2

L

Vi =12EI

L2 Vj =−12EI

L2

TERCERA COLUMNA

Figura 1.15: Elemento de la Tercera Columna

POR MANEY

Mi j =2EI



Mi j =2EI

L (0+1−3∗0) M ji =2EI

L (0+2∗1−3∗0)

Mi j =2EI

L M ji =4EI

L

V =4EI

L + 2EIL

L

Vi =6EIL2 Vj =

6EIL2

CUARTA COLUMNA

Figura 1.16: Elemento de la Cuarta Columna

POR MANEY

Mi j =2EI



Mi j =2EI

L

(0+0−3∗ 1

L

)M ji =

2EIL

(0+2∗0−3∗ 1

L

)Mi j =

6EIL2 M ji =

6EIL2

V =6EIL2 + 6EI

L2

L

Vi =−12EI

L2 Vj =12EI

L2

MYiZ

MYiZ

=

4EI

L−6EI

L24EI

L6EIL2

−6EIL2

12EIL2

−6EIL2

−12EIL2

4EIL

−6EIL2

4EIL

6EIL2

6EIL2

−12EIL2

6EIL2

12EIL2

∗

θyiwiθ jw j

UNSCH22


PARTE IIIMEMORIA DE CALCULO DE LAS ESTRUCTURAS

23

CAPÍTULO 2

APLICACION DE UNA BEAM POR EL METODO RIGIDEZ

2.1. EJEMPLO DE UN VIGAUse el análisis matricial de la rigidez para calcular las reacciones en los apoyos de la viga de tres claros que se

muestra en la figura. De igual forma, determine las funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal,de pendiente y de deflexión, y detalle los resultados.

Figura 2.1: Viga con Diferentes Cargas en los Mienbros

Figura 2.2: Seccion de la Viga

24

2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPÍTULO 2

2.1.1. Solucion:NOTACION DE LA VIGA

Figura 2.3: Notacion de los Grados de la Viga

HALLANDO VECTOR DE CARGAS

Obsérvese que sobre la longitud del elemento 1 se extiende una carga distribuida tipo parabólica, y que loselementos 2 y 3 soportan a la mitad de su claro y de forma respectiva, una carga puntual inclinada y un momentode par. El análisis matricial de la rigidez requiere que la carga externa se aplique en los nodos debido a que lamatriz de rigidez del elemento ha sido deducida para cargas aplicadas en sus extremos. Para atender esta situación,se usa el principio de superposición. Suponemos que cada nodo está restringido de movimiento, motivo por el cualse les impone un empotramiento.

Figura 2.4: Caracterizacion de la Viga Para Obtener Vector de Cargas

UNSCH25



A continuación se calculan las fuerzas de fijación y momentos de empotramiento perfecto asociadas a cadaelemento. Para ello remítase al tema 4.1 y note como los elementos 1 y 3 corresponden a vigas del tipo 4 y 7;además, el caso general para el elemento 2 ya fue resuelto en el tema 3.1.

ELEMENTO 1

Figura 2.5: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento I

RAY = RBY =wL3

=3∗2

3= 2T ↑

MA = MB =wL2

15=

3∗22

3= 0.8T.m

ELEMENTO 2

Figura 2.6: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento II

RAY = RBY =Psinα

2=

5∗ sin500

2= 1.915T ↑

RAX = RBX =Pcosα

2=

5∗ coos500

2= 1.6070T =⇒

MA = MB =P∗L∗ sinα

8=

5∗2∗ sin500

8= 0.9576T m

UNSCH26



ELEMENTO 3

Figura 2.7: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento III

RAY = RBY =3M2L

=3∗22∗2

= 1.5T ↑

MA = MB =M4

=24= 0.5T m

Las fuerzas de fijación y momentos de empotramiento calculados existirían si restringiéramos de movimientoa todos los nodos, algo que en no ocurre. En consecuencia, las fuerzas y momentos elásticos o efectivos actúansobre los nodos en sentido contrario al que definimos, por lo que para fines de análisis estas son las fuerzas queaparecen

Figura 2.8: Viga Con Sus Respectivas Fuerzas Primarios

Al hacer la suma algebraica de las fuerzas y momentos en cada nodo se obtiene la viga cargada que se analizarácon el método de la rigidez.

Figura 2.9: Viga con Sus Respectivos Fuerzas y Momentos en Sus Nodos

UNSCH27



ORDENANDO LOS VECTORES DE CARGA

D=(

CDCC

)=

C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12

=

0.50

1.4576−0.1576−1.6070RDY −1.5

RCY −0.4151RCX −1.6070RBY −3.9151

RAY −2RAX

MA−0.8

ENSAMBLAJE DE MATRIX DE RIGIDEZ DE CADA ELEMEMTO

Figura 2.10: Seccion de Viga

bloque Io(cm4

)A(cm2

)d(cm) Ad2

(cm4

)1 106.6667 80 9.5 72202 1125 60 0 03 106.6667 80 9.5 7220

∑ t 1338.3334 220 14440

Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene.Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene.

I = ∑ I0 +∑Ad2 = 1338.3334+14440 = 15778.3334cm4 = 0.000157783

El área de la sección transversal y el módulo de elasticidad del acero son

A = 220cm2 = 0.022 E = 2.1∗107 Tm2

Se calcula la matriz de rigidez global para cada elemento aplicando la ecuación (K). Los números de códigopara cada columna y fila de estas matrices, que tienen la peculiaridad de ser siempre simétricas, deben establecerseapropiadamente

K1 =

EAL 0 0 −EA

L 0 00 12EI

L36EIL2 0 − 12EI

L36EIL2

0 6EIL2

4EIL 0 − 6EI

L22EI

LEAL 0 0 EA

L 0 00 12EI

L3 − 6EIL2 0 12EI

L36EIL2

0 6EIL2

2EIL 0 − 6EI

L24EI

L

UNSCH28



ELEMENTO 1

K1 = 105

2.31 0 0 −2.31 0 0

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331

−2.31 0 0 2.31 0 00 −0.0497 −0.0497 0 0.0497 −0.04970 0.0497 0.0497 0 −0.0497 0.0663

ELEMENTO 2

K2 = 105

2.31 0 0 −2.31 0 0

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331

−2.31 0 0 2.31 0 00 −0.0497 −0.0497 0 0.0497 −0.04970 0.0497 0.0497 0 −0.0497 0.0663

ELEMENTO 3

K3 = 105

2.31 0 0 −2.31 0 0

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331

−2.31 0 0 2.31 0 00 −0.0497 −0.0497 0 0.0497 −0.04970 0.0497 0.0497 0 −0.0497 0.0663

ENSAMBLAJE TOTAL DE LA MATRIX DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Ya que las matrices de rigidez de todos los elementos fueron determinadas, se ensamblan para calcular “K” lacual también debe ser simétrica y tiene un orden de 12X12 debido a que doce grados de libertad fueron designadospara la viga.

K = 105 ∗

0.00663 0 0.0331 0 0 −0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 −2.31 0 0 0 0

0.0333 0 0.1325 0.0331 0 −0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331 0.1325 0 0 −0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 −2.31 0 0 −2.31 0

−0.0497 0 −0.0497 0 0 0.0497 −0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 −0.0497 0 −0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 0

0 −2.31 0 0 −2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0 0.0497 0 0 0 −0.0497 0 0.0497 −0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 −2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663

K =

(K11 K12K21 K22

)

CALCULOS DE LAS INCOGNITAS DE LA ESTRUCTURA

Al hacer C = K*D se tiene

0.50

1.4576−0.1576−1.6070

RDY −1.5RCY −0.4151RCX −1.6070RBY −3.9151

RAY −2RAX

MA −0.8

= 105 ∗

0.00663 0 0.0331 0 0 −0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 −2.31 0 0 0 0

0.0333 0 0.1325 0.0331 0 −0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331 0.1325 0 0 −0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 −2.31 0 0 −2.31 0

−0.0497 0 −0.0497 0 0 0.0497 −0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 −0.0497 0 −0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 0

0 −2.31 0 0 −2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0 0.0497 0 0 0 −0.0497 0 0.0497 −0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 −2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663

θD4HD

θCθB4HB

0000000

UNSCH29



El sistema matricial anterior es equivalente a(CCCD

)=

(K11 K12K21 K22

)(DDDC

)Se calculan los desplazamientos desconocidos al extraer y resolver un primer subsistema que corresponde a

CC = K11DD +K12DC

Como DC vale cero, la ecuación anterior pasa a ser

CC = K11DD

Por lo tanto:0.50

1.4576−0.1576−1.6070

= 105 ∗

0.0663 0 0.0331 0 0

0 2.31 0 0 00.0331 0 0.1325 0.0331 0

0 0 0.1325 0.1325 00 0 0 0 4.62

θD4HD

θCθB4HB

θD4HD

θCθB4HB

=

0.0000176rad

00.0001158rad−0.0000408rad−0.0000035m

Las reacciones se obtienen de resolver un segundo subsistema que es

CD = K21DD +K22DC

Como ya se mencionó,DC = 0 , así que

CC = K21DD

Al usar los desplazamientos calculados se tiene

RDY −1.5RCY −0.4151RCX −1.6070RBY −3.9151

RAY −2RAX

MA−0.8

=

−0.0497 0 −0.0497 0 00.0497 0 0 −0.0497 0

0 −2.31 0 0 −2.310 0 0.0497 0 00 0 0 0.0497 00 0 0 0 −2.310 0 0 0.0331 0

0.0000176

00.0001158−0.0000408−0.0000035

=

−0.66280.29020.80350.5755−0.20300.80350.1353

OPTENCION DE LAS RECCIONES

RDY -1.5=-0.6628 =⇒ RDY =−0.6628+1.5 = 0.8372T ⇒∴ RDY = 0.8372T ↑RCY -0.4151=0.0902 =⇒ RCY = 0.2902+0.4151 = 0.7053T ⇒∴ RCY = 0.7053T ↑

RCX -1.6070=0.8035 =⇒ RDY = 0.8530+1.6070 = 2.4105T ⇒∴ RCX = 2.4105→

RBY -3.9151=0.5755 =⇒ RBY = 0.5755+3.9151 = 4.4906T ⇒∴ RBY = 4.4906 ↑

RAY -2=-0.2030 =⇒ RAY =−0.2030+2 = 1.797T ⇒∴ RAY = 1.7970T ↑

RAX =0.8035 =⇒ RAX = 0.8035→

RA-0.8=-0.1353 =⇒MA =−0.1353+0.8 = 0.664T m.⇒∴ MA = 0.6647T x

UNSCH30



Se muestran los resultados obtenidos en el siguiente diagrama

Figura 2.11: Viga Con Sus Fuerzas Externas en Los Nodos

Se comprueba el equilibrio externo de la viga. Al resolver la fuerza de 5T en sus componentes x y y resulta

F1Y = 5∗ sin50o = 3.8302T F1X = 5∗ cos50o = 3.2139

La fuerza resultante de la carga distribuida y su punto de aplicación son.

CP =( 2

3

)(3)(2) = 4T X̄ = 1m.

+ ↑ ∑FY = 1.7970−4+4.4906−3.8302+0.7053+0.8372 = 0 OK

+→ ∑FX = 0.8035−3.2139+2.4105 = 0 OK

+y ∑MA =−0.6647+4−4.4906(2)+3.8302(3)−0.7053(4)+2−0.8372(6)≡ 0 OK

Funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal.

0≤ X≤ 2m.

Figura 2.12: Seccionamiento en Del Elemento I

AC =− 4w3L2 X3 + 2W

L X2 =− 4∗33∗22 X3 + 2∗3

2 X2 =−X2 +3X2

y su línea de acción se localiza a una distancia de

X̄ =− W

L2 X4+ 4W3L X3

AC=− 3

22 X4+ 4∗33∗2 X3

−X3+3X2 =− 3

4 X4+2X3

−X3+3X2

UNSCH31



+y ∑Mcorte =−M1−0.6647+1.7970X−(−X3 +3X2

)(− 34 X4+2X3

−X3+3X2

)= 0

M1 =X4

4 −X3 +1.7970X−0.6647

V1 =dM1dx = X3−3X2 +1.7970

+→ ∑FX = 0⇒ N1 +0.8035 = 0⇒ N1 =−0.8035

2m≤ X≤ 3m.

Figura 2.13: Seccionamiento en Del Elemento II

∑Mcorte = 0⇒−M2−0.6647+1.7970X−4(X−1)+4.4906(X−2) = 0

M2 = 2.2876X−5.6459 V2 =dM2dx = 2.2876

+→ ∑FX = 0⇒ N2 +0.8035 = 0⇒ N2 =−0.8035

3m≤ X≤ 4m.

Figura 2.14: Seccionamiento en Del Elemento II

UNSCH32



∑Mcorte = 0⇒−M3−0.6647+1.7970X−4(X−1)+4.4906(X−2)−3.8302(X−3) = 0

M3 = 5.8447−1.5426 V2 =dM3dx =−1.5426

+→ ∑FX = 0⇒ N3 +0.8035−3.2139 = 0⇒ N3 = 2.4104

4m≤ X≤ 5m.

Figura 2.15: Seccionamiento en Del Elemento III

∑Mcorte = 0−M4−0.6647+1.7970X−4(X−1)+4.4906(X−2)−3.8302(X−3)+0.7053(X−4) = 0

M4 = 3.0235−0.8373X V4 =dM4dx =−0.8373

+→ ∑FX = 0⇒ N4 +0.8035−3.2139+2.4105 = 0⇒ N4 = 0

5m≤ X≤ 6m.

∑Mcorte = 0⇒−M5−0.6647+1.7970X−4(X−1)+4.4906(X−2)−3.8302(X−3)+0.7053(X−4)+2 = 0

M5 = 5.0235−0.8373X V5 =dM5dx =−0.8373

+→ ∑FX = 0⇒ N5 = 0

Figura 2.16: Seccionamiento en Del Elemento III

UNSCH33



Se aplica el método de la doble integración. Al Aplicar la ecuación diferencial

EId2ydx2 = M

e integrarla dos veces en cada tramo se obtiene

0m≤ X≤ 2m.

EId2ydx2 =

X4

4−X3 +1.7970X−0.6647

EIˆ

d (dy)dx

=

ˆ (X4

4−X3 +1.7970X−0.6647

)dx

EIdydx

= 0.05x5−0.25x4 +0.8985x2−0.6647x+C1

EIθ = 0.05x5−0.25x4 +0.8985x2−0.6647x+C1............................(1)

EIˆ

dy =ˆ (

0.05x5−0.25x4 +0.8985x2−0.6647x+C1

)dx

EIy1 = 0.008333x6−0.05x5 +0.2995x3−0.33235x2 +C1 +C2...............(2)

2m≤ X≤ 3m.

EId2ydx2 = 2.287X−5.6459

EIˆ

d (dy)dx

=

ˆ(2.2876X−5.6459)dx

EIθ2 = 1.1438x2−5.6459x+C3............................(3)

EIˆ

dy =ˆ (

1.1438x2−5.6459x+C3)

dx

EIy2 = 0.38127x3−2.82295x2 +C3X +C4...............(4)

3m≤ X≤ 4m.

EId2ydx2 =−1.5426X +5.8447

EIˆ

d (dy)dx

=

ˆ(−1.5426X +5.8447)dx

EIθ3 = 5.8447X−0.7713X2 +C5............................(5)

EIˆ

dy =ˆ (

5.8447X−0.7713X2 +C5)

dx

EIy3 = 2.92235x2−0.2571X3 +C5X +C6...............(6)

UNSCH34



4m≤ X≤ 5m.

EId2ydx2 = 3.0235−0.8373X

EIˆ

d (dy)dx

=

ˆ(3.0235−0.8373X)dx

EIθ4 = 3.0235X−0.41865X2 +C7............................(7)

EIˆ

dy =ˆ (

3.0235X−0.41865X2 +C7)

dx

EIy4 = 1.51175x2−0.13955X3 +C7X +C8...............(8)

5m≤ X≤ 6m.

EId2ydx2 = 5.0235−0.8373X

EIˆ

d (dy)dx

=

ˆ(5.0235−0.8373X)dx

EIθ5 = 5.0235X−0.41865X2 +C9............................(9)

EIˆ

dy =ˆ (

5.0235X−0.41865X2 +C9)

dx

EIy5 = 2.51175x2−0.13955X3 +C9X +C10...............(10)

Se plantean diez condiciones que permitan resolver el sistema de ecuaciones. Se sabe que en el empotre A nohay rotación ni deflexión, así que se tienen las siguientes dos condiciones de frontera

1) si y = 0 en x = 0 y 2)θ = 0 en x = 0

Sustituyendo las condiciones 1) y 2) en (1) y (2) respectivamente, da

EI ((0)) = 0.05∗0−0.25∗0+0.8985∗0−0.6647∗0+C1⇒∴C1 = 0

EI ((0)) = 0.008333∗0−0.05∗0+0.2995∗0−0.33235∗0+C2⇒∴C2 = 0

Las otras ocho constantes se pueden conocer a partir de establecer un mismo número de condiciones de con-tinuidad, tal y como se efectúa a continuación

3) si θ1 = θ2 en x = 2m entonces

0.05∗25−0.25∗24 +0.8985∗22−0.6647∗2+C3⇒∴C3 = 6.5812

UNSCH35



4) si y1 = y2 en x = 2 tenemos

0.008333∗26−0.05∗25 +0.2995∗23−0.33235∗22 = 0.38127∗23−2.82295∗22 +6.5812∗2+C4

∴C4 =−4.920848


1.1438∗32−5.6459∗3+6.5812 = 5.844∗3−0.7713∗32 +C5

∴C5 =−10.6547

6) si y2 = y3 en x = 3m entonces

0.38127∗33−2.82295∗32 +6.5812∗3−4.920848 = 2.92235∗32−0.2751∗33−10.6547∗3+C6

∴C6 = 12.3151

7) si θ2 = θ3 en x = 4m .entonces

5.8447∗4−0.7713∗42−10.6547 = 30.235∗4−0.41865∗42 +C7

∴C7 =−5.0123

8) si y3 = y4 en x = 4m .entonces

2.92235∗42−0.2571∗43−10.6547∗4+12.3151 = 1.51175∗42−0.13955∗43−5.0123∗4+C8

∴C8 = 4.7919


3.0235∗5−0.41865∗52−5.0123 = 5.0235∗5−0.41865∗52 +C9

∴C9 =−15.0123

10) si y4 = y5 en Xx = 5m entonces

1.51175∗52−0.13955∗53−5.0123∗5+4.792.51175∗52−0.13955∗53−15.0123∗5+C10

∴C10 = 29.7919

UNSCH36



Las funciones de la pendiente y la deflexión de la viga se obtienen al sustituir las constantes de integración enlas ecuaciones correspondientes

EI =(2.1∗107)(0.000157) = 3313.443T.m2

0 6 x 0 2m

θ1 =

(1

3313.443

)(0.05x5−0.25x4 +0.8985x2−0.6647x

)y1 =

(1

3313.443

)(0.008333x6−0.05x5 +0.2995x3−0.33235x2

)2m 6 x 0 3m

θ2 =

(1

3313.443

)(1.1438x2−5.6459x+6.5812

)y2 =

(1

3313.443

)(0.38127x3−2.82295x2 +6.5812x−4.920848

)3m 6 x 0 4m

θ3 =

(1

3313.443

)(5.8447x−0.7713x2−10.6547x

)y3 =

(1

3313.443

)(2.92235x2−0.257x3−10.6547x+12.3151

)4m 6 x 0 5m

θ4 =

(1

3313.443

)(3.0235x−0.41865x2−5.0123

)y4 =

(1

3313.443

)(1.5117x2−0.13955x3−5.0123x+4.7919

)5m 6 x 0 6m

θ5 =

(1

3313.443

)(5.0235x−0.41865x2−15.0123

)y5 =

(1

3313.443

)(2.51175−0.13955x3−15.0123x+29.7919

)

UNSCH37



RESULTADOS FINALES DE LA VIGA

Figura 2.17: Viga Con Sus Respectivas Reacciones y Momentos

FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DE LA VIGA

Figura 2.18: Momento Flector de la Viga

UNSCH38



Figura 2.19: Fuerza Cortante De La Viga

Figura 2.20: Fuerzas Axiales De La Viga

UNSCH39


CAPÍTULO 3

APLICACION DE UN FRAME 2D POR METODO REGIDEZ

3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2DAnalice el portico de la figura

Figura 3.1: Portico Plano

40

3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D CAPÍTULO 3

3.1.1. Solucion:.Se adopta la siguiente numeración y orientación

Figura 3.2: Numeracion Grados y Elementos del Portico Plano

PROPIEDADES DE LOS MIEMBROS

Miembro θ o λ µAEL EI 2 EI

L 4 EIL 6 EI

L2 12 EIL3

1-2 26.56 0.89443 0.44721 44610 2037 911 1822 611 2734-1 53.13 0.60000 0.80000 34200 1282 513 1026 308 1232-3 -71.56 0.31623 -0.94868 27037 1282 406 811 192 61

OPTENCION DE LAS FUERZAS DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Figura 3.3: Elemento Cargado con Una Fuerza Distribuida

UNSCH41



XF12 = XF

21 = 0

Y F12 = Y F

21 = 2.8×2 = 5.60T

MF12 =−MF

21 =2.8×16

12= 3.733T −m

Figura 3.4: Portico Con Sus Cargas Puestas en su Nodos

Aplicando las ecuaciones a cada miembro obtenemos:BARRA 1

X12Y12M12X21Y21M21

=

35743 17735 −273 −35743 −17735 −273−17735 9141 546 −17735 −9141 546−273 546 1822 273 −546 911−3574 −17735 273 35743 17735 273−17735 −9141 −546 17735 9141 −546−273 546 911 273 −546 1822

U1V1θ1U2V2θ2

+

05.60

3.7330

5.60−3.733

(a)

UNSCH42



BARRA 2 X41Y41M41X14Y14M14

=

0 0 0 −12391 −16357 −2460 0 0 −16357 −21932 1850 0 0 246 −185 5130 0 0 12391 16357 2460 0 0 16357 21932 −1850 0 0 246 −185 1026

000

U1V1θ1

(b)

BARRA 3 X23Y23M23X32Y32M32

=

2758 −8093 182 0 0 0−8093 24339 61 0 0 0

182 61 811 0 0 0−2758 8093 −182 0 0 08093 −24339 −61 0 0 0182 61 406 0 0 0

U2V2θ2000

(c)

Al ensamblar los términos correspondientes a los nudos libres se llega a :

X1 = X12 + X41 = 1.5Y1 = Y12 + Y41 = 0M1 = M12 + M41 = 0X2 = X21 + X14 = 0Y2 = Y21 + Y14 = 0M2 = M21 + M14 = 0

=

48134 34092 −27 −35743 −17735 −27334092 31073 362 −17735 −9141 546−27 362 2848 273 −546 911−35743 −17735 273 38502 9642 456−17735 −9141 −546 9642 33480 −486−273 546 911 456 −486 2633

U1V1θ1U2V2θ2

+

05.60

3.7330

5.60−3.733

RESULTADO DE LOS DESPLAZAMIENTO

U1 = 13.29 × 10−3 m →V1 = −10.16 × 10−3 m ↓θ1 = −1.655 × 10−3 rad yU2 = 7.09 × 10−3 ms →V2 = 2.10 × 10−3 m ↑θ2 = 4.64 × 10−3 rad x

Reemplazando estos valores en las ecuacion (a), (b) y (c) se obtienen las fuerzas internas, referidas a coordenadasgenerales:

BARRA 1:

X12 = 3.428 T →Y12 = 5.155 T ↑M12 = −3.452 T −m y

X21 = −3.429 T ←Y21 = 6.045 T ↑M21 = −5.185 T −m y

BARRA 2:

X41 = X4 = 1.929 T →Y41 = Y4 = 5.156 T ↑M41 = M4 = 4.301 T −m x

X14 = −1.929 T ←Y14 = −5.156 T ↓M14 = 3.452 T −m x

BARRA 2:

X23 = 3.429 T →Y23 = −6.045 T ↓M23 = 5.185 T −m x

X32 = −3.429 T ←Y32 = 6.045 T ↑M32 = 3.303 T −m x

UNSCH43



Figura 3.5: Portico Con Sus Respectivas Reaciones y Desplazamientos en Sus Nodos

ΣFx = 0.000 Ton

ΣFy = 0.001 Ton

Para hallar las fuerzas internas referidas a coordenadas locales se utilizan las matrices de transformación[F]= [T ] [F ]

BARRA 1

X12Y 12M12X21Y 21M21

=

0.89443 0.44721 0 0 0 0−0.44721 0.89443 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 0.89443 0.44721 00 0 0 −0.44721 0.89443 00 0 0 0 0 1

3.4285.155−3.452−3.4296.045−5.185

=

5.372 T ↗3.078 T ↖−3.452 T −m y−0.364 T ↙6.940 T ↖−5.185 T −m y

BARRA 2

X41Y 41M41X14Y 14M14

=

0.6 0.8 0 0 0 0−0.8 0.6 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 0.6 0.8 00 0 0 −0.8 0.6 00 0 0 0 0 1

1.9295.156−4.301−1.929−5.1563.452

=

5.282 T ↗1.550 T ↖4.301 T −m x−5.282 T ↙−1.550 T ↘3.452 T −m x

UNSCH44



BARRA 3

X23Y 23M23X32Y 32M32

=

0.31623 −0.94868 0 0 0 00.94868 0.31623 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 0.31623 −0.94868 00 0 0 0.94868 0.31623 00 0 0 0 0 1

3.429−6.0455.185−3.4296.0453.303

=

6.819 T ↘1.342 T ↗5.185 T −m x−6.819 T ↖−1.342 T ↙3.303 T −m x

FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DEL PORTICO

Figura 3.6: Diagram Fuerza Cortante del Portico

UNSCH45



Figura 3.7: Diagrama de Momento Flector del Portico

Figura 3.8: Portico Con su Respectiva Fuerzas Axiales en Los Elementos

UNSCH46


CAPÍTULO 4

APLICACION DE TRUSS 2D METODO RIGIDEZ

4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2DEmpleando el método de la rigidez matricial, calcule las reacciones en los soportes y la fuerza en cada uno de

los elementos de la armadura mostrada en la figura 1-1a. La sección transversal de los elementos 1, 2, 3, 4 y 5 esrectangular con un ancho de 30cm y una altura de 40cm, mientras que la sección transversal de los elementos 6,7 y 8 es cuadrada de 40cm por lado. El módulo de elasticidad para todas las barras es el de las maderas duras, esdecir, 2.1×106 T

m2 .

Figura 4.1: Aramdura Plana

47

4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPÍTULO 4.

4.1.1. Solucion:A = (0.3m)(0.4m) = 0.12m2 AE =

(0.12m2

)(2.1×106 T

m2

)= 252000T

y para los elementos 6, 7 y 8 se sabe queA = (0.4m)(0.4m) = 0.16m2 AE = (0.16m)

(2.1×106 T

m2

)= 336000T

Figura 4.2: Designacion De Los Grados de Libertad de la Armadura

Se aislará cada elemento de la armadura, figuras 1-1c hasta 1-1j, con el objetivo de visualizar con mayorfacilidad individualmente su longitud y número, así como sus nodos N y F con sus correspondientes coordenadasglobales xN ,yN y Fx ,Fy, y sus debidos números de código de grado de libertad Nx ,Ny y Fx ,Fy. Además, con elúnico fin de esclarecer quienes son los cosenos directores de las barras, se coloca el sistema local x´, y´, y seidentifican los ángulos θx y θy.

ELEMENTO 1

L = 3m λx =3−0

3= 1 λy =

0−03

= 0

K1 =

84000 10 7 0

0 0 −84000 0−84000 0 0 0

0 0 84000 0

Figura 4.3: Elemento (1) Aislado de La Armadura

UNSCH48



ELEMENTO 2

L =

√(2m)2 +(3m)2 =

√13m λx =

5−3√13

= 0.5547 λy =3−0√

13= 0.8321

K2 =

21505.8375 32262.2509 −21505.8375 −32262.250932262.2509 48393.3764 −32262.2509 −48393.3764−21505.8375 −32262.2509 21505.8375 32262.2509−32262.2509 −48393.3764 48393.3764 48393.3764


ELEMENTO 3

L = 2m λx =5−3

2= 1 λy =

3−32

= 0

K3 =

126000 0 −126000 0

0 0 0 0−126000 0 126000 0

0 0 0 0


UNSCH49



ELEMENTO 4


L = 3m λx =3−0

3= 1 λy =

3−33

= 0

K4 =

84000 0 −84000 0

0 0 0 0−84000 0 84000 0

0 0 0 0

ELEMENTO 5

L = 3m λx =0−0

3= 0 λy =

3−03

= 1

K5 =

0 0 0 00 84000 0 −840000 0 0 00 −84000 0 84000

Figura 4.7: Elemento (5) y (6) Aislado de La Armadura

UNSCH50



ELEMENTO 6:

L =

√(3m)2 +(3m)2 = 3

√2m λx =

3−03√

2= 0.7071 λy =

0−33√

2=−0.7071

K6 =

39597.9798 −39597.9798 −39597.9798 39597.9798−39597.9798 39597.9798 39597.9798 −39597.9798−39597.9798 39597.9798 39597.9798 −39597.979839597.9798 −39597.9798 −39597.9798 39597.9798

ELEMENTO 7

L = 3√

2m = λx =3−03√

2= 0.7071 λy =

3−03√

2= 0.7071

K7 =

39597.9798 39597.9798 −39597.9798 −39597.979839597.9798 39597.9798 −39597.9798 −39597.9798−39597.9798 −39597.9798 39597.9798 39597.9798−39597.9798 −39597.9798 39597.9798 39597.9798


ELEMENTO 8

L = 3m λx =3−3

3= 0 λy =

3−03

= 1

K8 =

0 0 0 00 112000 0 −1120000 0 0 00 −112000 0 112000

UNSCH51



OPTENCION DE LA MATRIX DE RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO

Como se designaron diez grados de libertad para la armadura, figura 1-1b, la matriz de rigidez tiene un ordende 10 × 10 y se obtiene al sumar algebraicamente los elementos correspondientes a las ocho matrices anteriores.Para visualizar el proceso de ensamble con mayor facilidad, se expanden con ceros las filas y columnas numéricasfaltantes en cada Ki . Los valores calculados previamente cuando se empleó la ecuación 1 − 4 aparecen de colorazul con la finalidad de distinguirlos.

K1 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 84000 0 −84000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −84000 0 84000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K2 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 21505.8375 32262.2509 −21505.8375 −32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509 −48393.3764 0 00 0 0 0 −21505.8375 −32262.2509 21505.8375 32262.2509 0 00 0 0 0 −32262.2509 −48393.3764 32262.2509 48393.3764 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K3 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 126000 0 −126000 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −126000 0 126000 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K4 =

84000 0 −84000 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−84000 0 84000 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

UNSCH52



K5 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 84000 0 0 0 0 0 0 0 −840000 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 −84000 0 0 0 0 0 0 0 84000

K6 =

39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 −39597.9798 39597.9798 0 0−39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 −39597.9798 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 −39597.9798 0 039597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 −39597.9798 39597.9798 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K7 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 −39597.9798 −39597.97980 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 −39597.9798 −39597.97980 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.97980 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798

K8 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 112000 0 0 0 −112000 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −112000 0 0 0 112000 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Una vez efectuado el procedimiento de expansión en todas las Ki , estas se suman. Por consiguiente,

K = K1 +K2 +K3 +K4 +K5 +K6 +K7 +K8

K =

123597.9798 −39597.9798 −84000 0 0 0 −39597.9798 39597.9798 0 00 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798 −39597.9798 0 -840000 0 249597.9798 39597.9798 −126000 0 0 0 −39597.9798 -39597.97980 0 39597.9798 151597.9798 0 0 0 -112000 -39597.9798 −39597.97980 0 −126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.8375 -32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509 -48393.3764 0 0

−39597.9798 39597.9798 0 0 −21505.8375 −32262.2509 145103.8173 −7335.7289 -84000 039597.9798 −39597.9798 0 −112000 −32262.2509 −48393.3764 −7335.7289 199991.3562 0 0

0 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 −84000 0 123597.9798 39597.97980 −84000 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 123597.9798

UNSCH53



Para no realizar el proceso de ensamble anterior, obsérvese como puede calcularse cada entrada de la matrizde rigidez de la estructura. Por ejemplo, para obtener K1,1, es decir, la entrada de K correspondiente a la fila 1 ycolumna 1, se detectan todas las entradas 1,1 que son visibles en las matrices Ki sin expandir, en este caso, de loselementos 4,5 y 6 se tiene(K1,1)4 =84000, (K1,1)5 = 0 y (K1,1)6 = 39597.9798. Luego, es obvio que las Ki sinexpandir restantes almacenan valores nulos en sus respectivas entradas 1,1 al no ser visibles, así que, (K1,1)1 =(K1,1)2 = (K1,1)3 = (K1,1)7 = , (K1,1)8 = 0, por lo que podemos ignorarlos. En consecuencia,K1,1 = 84000 + 0 +39597.9798 = 123597.9798. Se debe efectuar un procedimiento análogo para las demás entradas hasta obtener Ken su totalidad. Ya que siete desplazamientos fueron identificados como desconocidos en la armadura, la matriz derigidez de la estructura se seccionó de tal forma que en la parte izquierda quedaran siete columnas y en la porciónsuperior se tuvieran siete filas; esta partición se efectuó con el fin de que sea compatible con las particiones de losvectores de desplazamientos y de cargas que en el próximo apartado se formularán. Entonces, K quedó divididaen cuatro submatrices que tienen la siguiente nomenclatura:

K =

(K11 K12K21 K22

)→ (1−5)

Vectores de desplazamientos y de cargas:

Se plantea el vector total de desplazamientos externos D y se divide en dos vectores: el de desplazamientosdesconocidos DD y el de desplazamientos conocidos DC . Como ya se había comentado en el apartado denotación, los desplazamientos codificados del 1 al 7 son desconocidos, por lo que DD comprende desdeD1 hasta D7, en tanto, los desplazamientos codificados del 8 al 10 corresponden a los conocidos, así queevidentemente DC abarca D8, D9 y D10.

Para denotar un desplazamiento en la dirección horizontal se usa 4H , mientras que para significar un de-splazamiento vertical se emplea δV ; en ambos símbolos aparece también como subíndice un número queindica el nodo donde ocurre el desplazamiento. Siendo así y con base en la figura 1-1b, obsérvese como,por ejemplo, el desplazamiento codificado con 1 es el desplazamiento horizontal en el nodo (5), es decir, D1=4H5, o bien, el desplazamiento 2 es el vertical del nodo (5), o sea, D2 =δV 5. A su vez, recordemos quelos desplazamientos codificados con 8,9 y 10 son nulos debido a que los soportes (2)y (1) los impiden demanera respectiva, dado que a esos apoyos no se les ha impuesto un desplazamiento, en consecuencia, D8=D9 =D10 =0

D =(

DDDC

)→ (1−6) D =

D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10

=

4H5δV 54H4δV 44H3δV 34H2

000

Se procede a plantear el vector total de cargas externas C, el cual se secciona dando origen al vector de cargasconocidas CC y al vector de cargas desconocidas CD. De la figura 1-1b, nótese que las cargas externas en lasdirecciones 5 y 6 son de 5T y y 6T actuando en las direccciones x positiva y y negativa respectivamente, porconsiguiente, C5 = 5T y C6 = −6T. También vease como no hay cargas externas aplicadas en las direcciones1, 2, 3, 4 y 7, de ahí que C1 = C2= C3 = C4 = C7 = 0. Así mismo, por inspección, se puede apreciar que enlas direcciones 8, 9 y 10 se presentan las reacciones en y del soporte (2), y en x y y del soporte (1); como sedesconoce la magnitud y el sentido de ellas, estas fuerzas deben proponerse en el vector como positivas, espor eso que C8 = R2y, C9 = R1x,C10 = R1y.

UNSCH54



C =(

CCCD

)→ (1−7) C =

C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10

=

00005−60

R2yR1xR1y

Cálculo de los desplazamientos incógnita y las reacciones en los soportes Luego de haber construido lamatriz de rigidez de la estructura, las componentes de la carga global C que actúan sobre la armadura sevinculan con sus desplazamientos globales D por medio de la ecuación de rigidez de la estructura que es

C = KD → (1−8)

Combinando las ecuaciones 1 − 5, 1 − 6 y 1 − 7 con la ecuación 1 − 8 da(CC

CD

)=

(K11 K12K21 K22

)(DDDC

)→ (1−9)

Ahora se infiere como este sistema de ecuaciones tiene la propiedad de que puede descomponerse en dossubsistemas de ecuaciones: el primero de estos sistemas relaciona únicamente los desplazamientos incógnitacon las fuerzas conocidas y los desplazamientos conocidos, y constituye un sistema compatible determinado,mientras que el segundo subsistema contiene las reacciones incógnita y una vez resuelto el primer subsistemaes de resolución trivial.

Expandiendo la ecuación 1 − 9 se tiene

C = K11DD +K12DC → (1−10)

CD = K21DD +K22DC → (1−11)

Atendemos al subsistema 1. Puesto que para esta armadura el vector de desplazamientos conocidos es unvector nulo dado que los soportes no se desplazan,DC = 0. De ese modo, la ecuación 1 − 10 se reducenotablemente a

CC = K11DD → (1−12)

Despejando DD de la ecuación 1 − 12, se obtienen evidentemente los desplazamientos incógnita directa-mente.

DD = (K11)−1 CC → (1−13)

De inmediato nos ocupamos del subsistema 2. La ecuación 1 − 11 también se simplifica notoriamente por elhecho de que DC es nulo. Por lo tanto, las reacciones en los soportes se infieren con la siguiente expresión:

CD = K21DD → (1−14)

Al plantear la ecuación 1 − 8 (o la ecuación 1 − 9) para esta armadura resulta

00005−60

R2yR1xR1y

=

123597.9798 −39597.9798 −84000 0 0 0 −39597.9798 39597.9798 0 0−39597.9798 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798 −39597.9798 0 -84000−84000 0 249597.9798 39597.9798 −126000 0 0 0 −39597.9798 -39597.9798

0 0 39597.9798 151597.9798 0 0 0 -112000 -39597.9798 −39597.97980 0 −126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.8375 -32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509 -48393.3764 0 0

−39597.9798 39597.9798 0 0 −21505.8375 −32262.2509 145103.8173 −7335.7289 -84000 039597.9798 −39597.9798 0 −112000 −32262.2509 −48393.3764 −7335.7289 199991.3562 0 0

0 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 −84000 0 123597.9798 39597.97980 −84000 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 123597.9798


000

Se extrae el primer subsistema y se resuelve. Puede verse que la ecuación resultante es como la ecuación 1 −12 y el despeje de la misma tiene la forma de la ecuación 1 − 13.

00005−60

=

123597.9798 −39597.9798 −84000 0 0 0 −39597.9798−39597.9798 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798−84000 0 249597.9798 39597.9798 −126000 0 0

0 0 39597.9798 151597.9798 0 0 00 0 −126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.83750 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509

−39597.9798 39597.9798 0 0 −21505.8375 −32262.2509 145103.8173


UNSCH55




=

123597.9798 −39597.9798 −84000 0 0 0 −39597.9798−39597.9798 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798−84000 0 249597.9798 39597.9798 −126000 0 0

0 0 39597.9798 151597.9798 0 0 00 0 −126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.83750 0 0 0 32262.2509 48393.3764 −32262.2509

−39597.9798 39597.9798 0 0 −21505.8375 −32262.2509 145103.8173

00005−60

RESULTADOS FINALES DE LOS DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Y VERTICALES EN LOS

NODOS


=

0.000135574m4.4452×10−5m0.000180026m

−4.7024×10−5m0.000251459m

−0.000293739m−3.1742×10−6m

Note como el nodo(5) se desplaza horizontalmente hacia la derecha 0.000135574m y verticalmente haciaarriba 4.4452 * 10−5 m, o percátese de la ocurrencia de un movimiento hacia la derecha y hacia abajodel nodo(4) de 0.000180026 m y 4.7024 * 10−5 m. También, vea como el nodo (3) tiene componenteshorizontal y vertical de desplazamiento de 0.000251459 m hacia la derecha y de 0.000293739 m haciaabajo. Por su parte, el nodo (2) se desplaza 3.1742 * 10−6 m hacia la izquierda.

Se escribe el segundo subsistema y se le da solución. Visualice como la ecuación originada que posee elaspecto de la ecuación 1 − 14 se simplifica sencillamente al realizar la multiplicación de matrices correspon-diente y con ello se llega a los valores de las fuerzas reactivas en los soportes (1) y (2).

R2yR1xR1y

=

39597.9798 −39597.9798 0 −112000 −32262.2509 −48393.3764 −7335.7289199991.3562000 0 −39597.9798 −39597.9798 0 0 −840000123597.979839597.97980 −84000 −39597.9798 −39597.9798 0 0 0039597.9798123597.9798

0.000135574m4.4452×10−5m0.000180026m

−4.7024×10−5m0.000251459m

−0.000293739m−3.1742×10−6m

=

15T−5T−9T

Los signos negativos de R1X y R1Y indican que estas reacciones actúan en las direcciones x negativa y ynegativa respectivamente. Por consiguiente,

R2y = 15T ↑

R1x = 5T ←

R1y = 15T ↓

CALCULANADO LAS FUERZAS EN LOS ELEMENTOS

Para determinar la fuerza de tensión q de un elemento i, se utiliza la ecuación que se muestra a continuación:

qi =AEL

(−λx −λy λx λy

)DNxDNyDFxDFy

→ (1−15)

dondeA =área de la sección transversal del elemento.E =módulo de elasticidad del elemento.L =longitud del elemento.λx ,λy = cosenos directores.DNx ,DNy = desplazamientos horizontal y vertical del nodo N del elemento en turno.DFx ,DFy= desplazamientos horizontal y vertical del nodo F del elemento en turno.

UNSCH56



Finalmente se aplica la expresión 1 − 15 en cada elemento. Si se obtiene un resultado negativo, entonces elelemento está en compresión.

ELEMENTO 1

AE = 252000T , L = 3m , λx = 1, λy = 0 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D9D10D7D8

=

004H2

0

q1 = 84000(−1 0 1 0

)00

−3.1742×10−6

0

=−0.266633T

ELEMENTO 2

AE = 252000T ,L =√

13m,λx = 0.5547,λy = 0.8321 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D7D8D5D6

=

4H2

04H3δV 3

q2 = 69892.2247(−0.5547 −0.8321 0.5547 0.8321

)3.1742×10−6

00.000251459−0.000293739

=−7.21114T

ELEMENTO 3

AE = 252000T , L = 2m , λx = 1, λy = 0 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D3D4D5D6

=

4H4δV 44H3δV 3

q3 = 126000(−1 0 1 0

)0.000180026−4.7024×10−5

0.000251459−0.000293739

= 9.00056T

ELEMENTO 4

AE = 252000T , L = 3m , λx = 1, λy = 0 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D1D2D3D4

=

4H5δV 54H4δV 4

q4 = 84000(−1 0 1 0

)0.000135574

4.7024×10−5

0.000180026−4.7024×10−5

= 3.73397T

UNSCH57



ELEMENTO 5

AE = 252000T , L = 3m , λx = 0, λy = 1 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D9D10D1D2

=

004H5δV 5

q5 = 84000(−1 0 1 0

)00

0.0001355744.4452×10−5

= 3.73397T

ELEMENTO 6

AE = 336000T , L = 3√

2m , λx = 0.7071, λy =−0.7071 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D1D2D7D8

=

4H5δV 54H2

0

q6 = 79195.9595(−0.7071 0.7071 0.7071 −0.7071

)0.000135574

4.4452×10−5

−3.1742×10−6

0

=−5.28054T

ELEMENTO 7

AE = 336000T , L = 3√

2m , λx = 0.7071, λy = 0.7071 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D9D10D3D4

=

004H4δV 4

q7 = 79195.9595(−0.7071 −0.7071 0.7071 0.7071

)00

0.0001800264.4452×10−5

= 7.44804T

ELEMENTO 8

AE = 336000T , L = 3m , λx = 0, λy = 1 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D7D8D3D4

=

4H2

04H4δV 4

q8 = 112000(

0 −1 0 1)−3.1742×10−6

00.000180026−4.7024×10−5

=−5.26669T

En la figura (0.12.9) k se aprecian los resultados obtenidos para las reacciones en los soportes y las fuerzasinternas de la armadura. Recuerde que un elemento en compresión “empuja” a la junta y un elemento en tensión“jala” a la junta.

UNSCH58



ARMADURA CON SUS RESPECTIVAS FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS

Figura 4.9: Armadura Con Sus Respectivas Fuerzas Internas y Externas Finales

UNSCH59


CAPÍTULO 5

SOLUCION DE FRAME 3D METODO RIGIDEZ

5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3DAverigue la matriz de rotación de cada elemento y parte de la matriz de rigidez de la estructura

Figura 5.1: Portico Espacial

60

5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D CAPÍTULO 7.

5.1.1. Solucion:La estructura espacial tiene seis grados de libertad, que son traducciones y las rotaciones de unión 1 en la

global, X, Y y Z. Estos están numerados 1, 2,3,4,5 y 6 respectivamente. Grados de libertad restringidos se numerana través de 7 a 24 en la figura.

Figura 5.2: Numeracion de los Grados de Libertad de Portico Espacial

PARA EL ELEMENTO 1

Conjunto 2 es el nodo de inicio y la articulación 1 es el nodo final de este elemento del modelo analítico.

L =

√(X1−X2)

2 +(Y1−Y2)2 +(Z1−Z2)

2

L =

√(240−0)2 +(0−0)2 +(0−0)2 = 240in

CX = X1−X2L = 240−0

240 = 1

CY = Y1−Y2L = 0

CZ = Z1−Z2L = 0

CXZ =√

C2X +C2

Y =√

12 +02 = 1

Ángulo entre el eje Y local y Y-eje global,α=0

cosα = cos0 = 1

sinα = sin0 = 0

UNSCH61



Mediante el uso de la matriz de rotación está dada por

r1 =

1 0 00 1 00 0 1

Matriz de transformación para el elemento 1 se calculará utilizando.

T1 =

r1 0 0 00 r1 0 00 0 r1 00 0 0 r1

PARA EL ELEMENTO 2


L =

√(X1−X3)

2 +(Y1−Y3)2 +(Z1−Z3)

2

L =

√(240−240)2 +(0−240)2 +(0−0)2 = 240in

CX = X1−X3L = 240−240

240 = 0

CY = Y1−Y3L = 0+240

240 = 1

CZ = Z1−Z3L = 0

CXZ =√

C2X +C2

Y =√

02 +12 = 1

Ángulo entre el eje Y local y Y-eje global,α=90 deg

cosα = cos90 = 0

sinα = sin90 = 1

Mediante el uso de la matriz de rotación está dada por

r2 =

0 1 00 0 11 0 0

Matriz de transformación para el elemento 2 se calculará utilizando

T2 =

r2 0 0 00 r2 0 00 0 r2 00 0 0 r2

PARA EL ELEMENTO 3


L =

√(X1−X4)

2 +(Y1−Y4)2 +(Z1−Z4)

2

L =

√(240−240)2 +(0−0)2 +(0−240)2 = 240in

CX = X1−X4L = 240−240

240 = 0

UNSCH62



CY = Y1−Y4L = 0+0

240 = 1

CZ = Z1−Z4L = 0

CXZ =√

C2X +C2

Y =√

02 +02 = 0

Ángulo entre el eje Y local y Y-eje global,α=30 deg

cosα = cos30 = 0.86603

sinα = sin30 = 0.5

Mediante el uso de matriz de rotación es dada por

r2 =

0 0 1−0.5 0.86603 0−0.86603 −0.5 0

Matriz de transformación para el elemento 3 se calculará utilizando

T3 =

r3 0 0 00 r3 0 00 0 r3 00 0 0 r3

K f f =

3990.3 −5.2322 0 −627.87 −1075.4 712.92−5.2322 4008.4 0 1800.4 627.87 −2162.9

0 0 3987.3 −712.92 712.92 0−627.87 1800.4 −712.92 402860 100460 0−1075.4 627.87 712.92 100460 286860 0712.92 −2162.9 0 0 0 460860

UNSCH63


CAPÍTULO 6

APLICACION DE TRUSS 3D METODO RIGIDEZ

6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3DEn la siguiente armadura espacial obtener los desplazamiento , fuerzas internas y externas de la estructura poer

metodo de ridez.

Figura 6.1: Armadura Espacial

∑Ei = 2×107Kn/m2

∑Ai = 0.05m2

64


6.1.1. Solucion:Todas las posiciónes de cada nodo del sistema, puntos de vista y los coeficientes de desplazamiento nodal

Figura 6.2: Armadura Con Sus Respectivas Numeraciones en Los Nodos y Elementos

Elementos No x(i)m y(i) z(i) x(J)m y(j)m. Z(j)m DesplasamientosI 0.00 4.00 0.00 4.00 8.00 0.00 1-0-0 2-3-4II 3.00 0.00 4.00 0.00 4.00 0.00 0-0-0 1-0-0III 3.00 0.00 4.00 4.00 8.00 0.00 0-0-0 2-3-4IV 8.00 4.00 0.00 4.00 8.00 0.00 5-0-0 2-3-4V 5.00 0.00 4.00 4.00 8.00 0.00 0-0-0 2-3-4VI 5.00 0.00 4.00 8.00 4.00 0.00 0-0-0 5-0-0VII 4.00 8.00 0.00 4.00 0.00 -4.00 2-3-4 0-0-0

UNSCH65



OPTENIENDO MATRIX DE TRANSFORMACION DE CADA ELEMENTO

Matriz de trasformcion del elemento I

Figura 6.3: Elemento (1) Aislado de La Armadura Espacial

l = cos(α) = 1√2

m = cos(β ) = 1√2

n = cos(γ) = 1√2

[T ]I =

1√2

1√2

0.00 0.00 0.00 0.00− 1√

21√2

0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1√

20.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 1√2

1√2

0.000.00 0.00 0.00 1√

21√2

0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Matriz de trasformcion del elemento II


l = cos(α) = 3√41

m = cos(β ) = 4√41

n = cos(γ) = 4√41

[T ]II =

3√41

4√41

− 4√41

0.00 0.00 0.00− 4√

41− 3√

410.00 0.00 0.00 0.00

4√41

0.00 − 3√41

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 − 3√

414√41

− 4√41

0.00 0.00 0.00 − 4√41− 3√

410.00

0.00 0.00 0.00 4√41

0.00 − 3√41

UNSCH66



Matriz de trasformcion del elemento III


l = cos(α) = 19

m = cos(β ) = 89

n = cos(γ) =− 49

[T ]III =

19

89 − 4

9 0.00 0.00 0.00− 8

919 0.00 0.00 0.00 0.00

49 0.00 1

9 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 1

989 − 4

90.00 0.00 0.00 − 8

9 − 19 0.00

0.00 0.00 0.00 49 0.00 − 1

9

Matriz de trasformcion del elemento IV


l = cos(α) = 1√2

m = cos(β ) =− 1√2

n = cos(γ) = 0.00[T ]IV =

1√2− 1√

20.00 0.00 0.00 0.00

1√2

1√2

0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1√

20.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 1√2− 1√

20.00

0.00 0.00 0.00 1√2

1√2

0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1√

2

UNSCH67



Matriz de trasformcion del elemento V


l = cos(α) =− 19

m = cos(β ) = 89

n = cos(γ) =− 49

[T ]V =

− 19

89 − 4

9 0.00 0.00 0.00− 8

9 − 19 0.00 0.00 0.00 0.00

49 0.00 − 1

9 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 − 1

989 − 4

90.00 0.00 0.00 − 8

9 − 19 0.00

0.00 0.00 0.00 49 0.00 − 1

9

Matriz de trasformcion del elemento VI


l = cos(α) = 3√41

m = cos(β ) = 4√41

n = cos(γ) =− 4√41

[T ]V I =

3√41

4√41− 4√

410.00 0.00 0.00

− 4√41

3√41

0.00 0.00 0.00 0.004√41

0.00 3√41

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 3√

414√41

− 4√41

0.00 0.00 0.00 − 4√41− 3√

410.00

0.00 0.00 0.00 4√41

0.00 3√41

UNSCH68



Matriz de trasformcion del elemento VII


l = cos(α) = 0.00m = cos(β ) =− 2√

5n = cos(γ) =− 1√

5

[T ]V II =

0.00 − 2√5− 1√

50.00 0.00 0.00

1√2

1√2

0.00 0.00 0.00 0.001√5

0.00 1√2

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 − 2√

50.00

0.00 0.00 0.00 2√5

0.00 0.000.00 0.00 0.00 1√

50.00 0.00

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE CADA ELEMENTO

Matriz de rigidez global del eje del elemento I

[K]I =AE

4√

2

0.00 − 2√5− 1√

50.00 0.00 0.00

1√2

1√2

0.00 0.00 0.00 0.001√5

0.00 1√2

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 − 2√

50.00

0.00 0.00 0.00 2√5

0.00 0.000.00 0.00 0.00 1√

50.00 0.00

Matriz de rigidez global del eje del elemento II

[K]II =AE√

41

941 − 12

411241 − 9

411241 − 12

41− 12

411641 − 16

411241 − 16

411641

1241 − 16

411641 − 12

411641 − 16

41− 9

411241

1241

941 − 12

411241

1241 − 16

411641 − 12

411641 − 16

411241

1241 − 16

411241 − 16

411641

UNSCH69



Matriz de rigidez global del eje del elemento III

[K]III =AE9

181 − 8

81 − 481 − 1

81 − 881

481

881

6481

3281

881 − 64

813281

− 481 − 32

811681

481

3281 − 16

81− 1

81 − 881

481

181 − 8

81481

− 881 − 64

813281

881

6481 − 32

81481

3281 − 16

814

81 − 3281

1681

Matriz de rigidez global del eje del elemento IV

[K]IV =AE

4√

42

12 − 1

2 0.00 0.00 − 12 0.00

− 12 − 1

2 0.00 0.00 − 12 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00− 1

212 0.00 0.00 − 1

2 0.00− 1

2 − 12 0.00 0.00 1

2 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Matriz de rigidez global del eje del elemento V

[K]V =AE9

181 − 8

81481 − 1

81 − 881 − 4

81− 8

816481 − 32

81881 − 64

813281

481 − 32

811681 − 4

813281 − 16

81− 1

81 − 881 − 4

81181 − 8

81481

881 − 64

813281 − 8

816481 − 32

81− 4

813281 − 16

81481 − 32

811681

Matriz de rigidez global del eje del elemento VI

[K]V I =AE√

41

941

1241 − 12

41 − 941 − 12

41 − 1241

1241

1641 − 16

411241 − 16

411641

− 1241 − 16

411641 − 12

411641 − 16

41− 9

41 − 1241

1241

941

1241 − 12

41− 12

41 − 1641

1641

1241 − 16

41 − 1641

1241

1241 − 16

41 − 1241 − 16

411641

Matriz de rigidez global del eje del elemento VII

[K]V II =AE

4√

45

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 4

525 0.00 − 4

5 − 25

0.00 25

15 0.00 − 2

5 − 15

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 − 4

5 − 25 0.00 2

5 − 25

0.00 25 − 1

5 0.00 − 25

15

UNSCH70



OBTENCION DE MA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

K11 = AE ∗[

12 ∗

14√

2+ 9

41 ∗141

]= 0.12267AE

K12 = AE ∗[− 1

2 ∗1

4√

2

]= 0.08838AE

K13 = AE ∗[− 1

2 ∗1

4√

2

]= 0.08838AE

K14 = AE ∗ [0.00] = 0.00

K15 = AE ∗ [0.00] = 0.00

K22 = AE ∗[

12 ∗

14√

2+ 1

81 ∗19 +

12 ∗

14√

2+ 1

81 ∗19 +0.00

]= 0.17952AE

K23 = AE ∗[

12 ∗

14√

2+ 8

81 ∗19 +

12 ∗

14√

2− 8

81 ∗19 +0.00

]= 0.000

K24 = AE ∗[0.00− 4

81 ∗19 +0.00+ 4

81 ∗19 +0.00

]= 0.00

K25 = AE ∗[− 1

2 ∗1

4√

2

]=−0.08838AE

K33 = AE ∗[

12 ∗

14√

2+ 64

81 ∗19 +

12 ∗

14√

2+ 64

81 ∗18 +

45 ∗

14√

5

]= 0.26869AE

K34 = AE ∗[0.00+ 32

81 ∗19 +0.00+ 32

81 ∗18 +

25 ∗

14√

5

]=−0.043070AE

K35 = AE ∗[

12 ∗

14√

2

]= 0.26869AE

K36 = AE ∗[0.00+ 16

81 ∗19 +0.00+ 16

81 ∗19 +

15 ∗

14√

5

]= 0.066256AE

K44 = AE ∗[

12 ∗

14√

2− 9

41 ∗1√41

]= 0.122670AE

K45 = AE ∗ [0.00] = 0.00

K55 = AE ∗[

12 ∗

14√

2− 9

41 ∗1√41

]= 0.122670EA

RESULTADO DE LOS DESPLAZAMIENTOS DEL SISTEMA GLOBAL

[K]{D}= {P}

0.122760 −0.088388 −0.088388 0.000 0.000−0.088388 0.179250 0.000 0.000 −0.088388−0.088388 0.000 0.441802 −0.04307 0.08838

0.000 0.000 −0.04307 0.066256 0.0000.000 −0.00388 0.088388 0.000 0.122670

∗

D1D2D3D4D5

=

10.000.00−30.00

0.00−10.00

D1 =

42.3AE = 42.30

2∗10E+7∗0.005 = 0.4230E−4metro = 0.042mm

D2 = 0.00

D3 =−54.4444

AE = −54.44442∗10E+7∗0.005 =−0.5443E−4metro =−0.054mm

D4 =−35.380

AE = −35.3802∗10E+7∗0.005 = 0.3538E−4metro =−0.035mm

D5 =−42.300

AE = −42.3002∗10E+7∗0.005 = 0.4230E−4metro =−0.042mm

UNSCH71



DEFORMADA DE LA ARMADURA ESPACIAL

Figura 6.10: Deformada de La Armadura Espacial

OBTENCION DE LAS REACCIONES GLOBALES EN NODOS Y ELEMNTOS

Reacciones en los nodos globales de elementos I

[Pg]I =AE

4√

2

12 − 1

2 0.00 0.00 − 12 0.00

− 12 − 1

2 0.00 0.00 − 12 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00− 1

2 − 12 0.00 0.00 1

2 0.00− 1

2 − 12 0.00 0.00 1

2 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

42.3000.0000.000−54.444−35.380−42.300

=

8.548.54980.000−8.5498−8.5498

0.000

Reacciones en los nodos globales de elementos II

[Pg]II =AE√

41

941 − 12

411241 − 9

411241 − 12

41− 12

411641 − 16

411241 − 16

411641

1241 − 16

411641 − 12

411641 − 16

41− 9

411241

1241

941 − 12

411241

1241 − 16

411641 − 12

411641 − 16

411241

1241 − 16

411241 − 16

411641

0.0000.0000.00042.3000.0000.000

−1.45021.9337−1.93371.4502−1.93371.9337

UNSCH72



Reacciones en los nodos globales de elementos III

[Pg]III =AE9

181 − 8

81481 − 1

81 − 881 − 4

81− 8

816481 − 32

81881 − 64

813281

481 − 32

811681 − 4

813281 − 16

81− 1

81 − 881 − 4

81181 − 8

81481

881 − 64

813281 − 8

816481 − 32

81− 4

813281 − 16

81481 − 32

811681

∗

0.0000.0000.0000.000−54.444−35.380

=

0.40313.2251−1.6126−0.4031−3.22511.6126

Reacciones en los nodos globales de elementos IV

[Pg]IV =AE

4√

42

12 − 1

2 0.00 0.00 − 12 0.00

− 12 − 1

2 0.00 0.00 − 12 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00− 1

2 − 12 0.00 0.00 1

2 0.00− 1

2 − 12 0.00 0.00 1

2 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

−42.3000.0000.0000.000−54.444−35.380

=

−8.54988.54980.0008.5498−8.5498

0.000

Reacciones en los nodos globales de elementos V

[Pg]V =AE9

181 − 8

814

81 − 181 − 8

81 − 481

− 881

6481 − 32

81881 − 64

813281

481 − 32

811681 − 4

813281 − 16

81− 1

81 − 881 − 4

81181 − 8

81481

881 − 64

813281 − 8

816481 − 32

81− 4

813281 − 16

81481 − 32

811681

∗

0.0000.0000.0000.000−54.444−35.380

=

−0.40313.2251−1.61260.4031−3.22511.6126

Reacciones en los nodos globales de elementos VI

[Pg]V I =AE√

41

941 − 12

411241 − 9

411241 − 12

41− 12

411641 − 16

411241 − 16

411641

1241 − 16

411641 − 12

411641 − 16

41− 9

411241

1241

941 − 12

411241

1241 − 16

411641 − 12

411641 − 16

411241

1241 − 16

411241 − 16

411641

0.0000.0000.000−42.300

0.0000.000

1.45021.9337−1.9337−1.4502−1.93371.9337

Reacciones en los nodos globales de elementos VII

[Pg]V II =AE

4√

45

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 4

525 0.00 − 4

5 − 25

0.00 25

15 0.00 − 2

5 − 15

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 − 4

5 − 25 0.00 2

525

0.00 − 25 − 1

5 0.00 25

15

∗

0.000−54.44−35.380

0.0000.0000.000

=

0.000−6.4502−3.2251

0.0006.45023.2251

UNSCH73



OBTENCION DE LAS REACCIONES DE NODO BORDE LOCALES DE CADA ELEMENTO

Figura 6.11: Equilibrio de Elementos de La Armadura Espacial

EQULIBRIO DE ELEMENTOS

Figura 6.12: Equilibrio de Nodos de (IV) y (VI) De Armadura Espacial

Figura 6.13: Equilibrio de Nodos de (I) y (II) DeArmadura Espacial

Figura 6.14: Equilibrio de Nodos de (V) y (VII) DeArmadura Espacial

UNSCH74



PARA LOS APOYOS

Figura 6.15: Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (I) y (IV) DeArmadura Espacial

Figura 6.16: Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (II) y (VI) DeArmadura Espacial

OBTENCION DE LAS REACCIONES DE NODO BORDE GLOBALES DE CADA ELEMENTO

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento I

[PL]I =

1√2

1√2

0.00 0.00 0.00 0.00− 1√

21√2

0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1√

20.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 1√2

1√2

0.000.00 0.00 0.00 − 1√

21√2

0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

8.54988.54980.000−8.5498−8.5498

0.000

=

12.09120.0000.000−12.0912

0.0000.000

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento II

[PL]II =

3√41

4√41− 4√

410.00 0.00 0.00

− 4√41

3√41

0.00 0.00 0.00 0.004√41

0.00 3√41

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 − 3√

414√41

− 4√41

0.00 0.00 0.00 − 4√41− 3√

410.00

0.00 0.00 0.00 4√41

0.00 3√41

∗

−1.45021.9337−1.93371.4502−1.93371.9337

=

3.09540.0000.000−3.0954

0.0000.000

UNSCH

75ANÁLISIS ESTRUCTURAL II


Efectos nodo de frontera eje locales del elemento III

[PL]III =

19

89 − 4

9 0.00 0.00 0.00− 8

919 0.00 0.00 0.00 0.00

49 0.00 1

9 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 1

989 − 4

90.00 0.00 0.00 − 8

9 − 19 0.00

0.00 0.00 0.00 49 0.00 − 1

9

∗

0.40313.2251−1.6126−0.4031−3.22511.6126

=

3.62830.0000.000−3.6283

0.0000.000

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento IV

[PL]IV =

1√2

1√2

0.00 0.00 0.00 0.00− 1√

21√2

0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1√

20.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 1√2

1√2

0.000.00 0.00 0.00 − 1√

21√2

0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1√

2

∗

−8.54988.54980.000

8.5498−8.5498

0.000

=

12.09120.0000.000−12.0912

0.0000.000

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento V

[PL]V =

19

89 − 4

9 0.00 0.00 0.00− 8

919 0.00 0.00 0.00 0.00

49 0.00 1

9 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 1

989 − 4

90.00 0.00 0.00 − 8

9 − 19 0.00

0.00 0.00 0.00 49 0.00 − 1

9

∗

0.40313.2251−1.61260.4031−3.22511.6126

=

3.62830.0000.000−3.6283

0.0000.000

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento VI

[PL]V I =

3√41

4√41− 4√

410.00 0.00 0.00

− 4√41

3√41

0.00 0.00 0.00 0.004√41

0.00 3√41

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 − 3√

414√41

− 4√41

0.00 0.00 0.00 − 4√41− 3√

410.00

0.00 0.00 0.00 4√41

0.00 3√41

∗

1.45021.9337−1.9337−1.4502−1.93371.9337

=

3.09540.0000.000−3.0954

0.0000.000

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento VII

[PL]V II =

0.00 − 2√5− 1√

50.00 0.00 0.00

1√2

1√2

0.00 0.00 0.00 0.001√5

0.00 1√2

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 − 2√

50.00

0.00 0.00 0.00 2√5

0.00 0.000.00 0.00 0.00 1√

50.00 0.00

∗

0.000−6.4502−3.2251

0.0006.45023.2251

∗

7.21160.0000.000−7.2116

0.0000.000

UNSCH76



TABLA DE RESULTADOS DE LAS FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS

Elemento Local Elemento TipoI 12.0912 comprencion(-)II 3.0954 comprencion(-)III 3.6283 comprencion(-)IV 12.0912 comprencion(-)V 3.6283 comprencion(-)V 3.0954 comprencion(-)

VII 7.21156 comprencion(-)

RESULTADO FINAL DE FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS DE LAARMADURA 3D

Figura 6.17: Armadura 3D Con Sus Respectivas Reacciones y Momentos

UNSCH77


CAPÍTULO 7

APLICACION DE UN GRID POR METODO RIGIDEZ

7.1. EJEMPLO DE UN GRIDResuelva matricialmente la estructura descrita a continuación

Ambos elementos tienen una sección de 300 mm×400 mm (b×h), el módulo de elasticidad vale 19 KN/mm2y la relación de Poisson 0.20.

Figura 7.1: Parrilla

78

7.1. EJEMPLO DE UN GRID CAPÍTULO ??.

7.1.1. Solucion:Cálculos previos:

La constante torsional vale:

J =Cbt3

C = 13 −0.21× t

b

[1− 1

12

( tb

)4]= 1

3 −0.21× 300400

[1− 1

12

( 300400

)4]= 0.1800

J = 0.1800×400×3003 = 1.944×10−9mm4 = 1.944×10−3m4

G = E2(1+µ) =

192(1+0.2) = 7.920 KN

mm2 = 7.92×106 KNm2

GJ = 7.92×106×1.944×10−3 = 15400KN.m2 Fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento.

Para Elemento 1-2

MoY 12 =−Mo

Y 21−PL8

=50×2.4

8=−15

Zo12 = Zo

21 =P2=

502

= 25

MoX12 = Mo

X21 = 0

Figura 7.2: Momento de Empotramiento del Elemento (1-2)

UNSCH79



Para Elemento 1-3:

MoX13 =−Mo

X31 =−WL2

12=−20×9

12=−15

Zo13 = Zo

31 =WL

2=

20×32

= 30

MoY 13 = Mo

Y 31 = 0

Figura 7.3: Momento de Empotramiento del Elemento (1-3)

Reeeplazando en la ecuación orientado al eje X, para el elemento 1-2

MX12MY 12Z12

MX21MY 21Z21

=

0−15250

1525

+

6416.67 0 0 −6416.67 0 00 50666.67 −31666.67 0 25333.33 31666.670 −31666.67 26388.89 0 −31666.67 −26388.89

−6416.67 0 0 6416.67 0 00 25333.33 −31666.67 0 50666.67 31666.670 31666.67 −26388.89 0 31666.67 26388.89

θX1θY 1V1000

Reeeplazando en la ecuación orientado al eje Y, para el elemento 1-3

MX13MY 13Z13

MX31MY 31Z31

=

−15

030150

30

+

40533.33 0 −20266.67 20266.67 0 20266.670 5133.33 0 0 −5133.33 0

−20266.67 0 13511.11 −20266.67 0 −13511.1120266.67 0 0 40533.33 0 20266.67

0 −5133.33 −31666.67 0 5133.33 020266.67 0 −26388.89 20266.67 0 13511.11

θX1θY 1V1000

ENSAMBLANDO LAS PARTES CORRESPONDIENTES AL NUDO LIBRE (1)

Vector de fuerzas externas.

00−40

UNSCH80



MX1 = 0MY 1 = 0

Z1 =−40

=

−15−1555

+ 46950 0 −20266.67

0 55800 −31666.67−20266.67 −31666.67 39900

θX1θY 1V1

15

15−95

=

46950 0 −20266.670 55800 −31666.67

−20266.67 −31666.67 39900

θX1θY 1V1

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:

θX1 =−2.301×10−3rad

θY 1 =−3.176×10−3rad

V1 =−6.070×10−3m

CALCULO DE LAS FUERZAS INTERNAS DE LA PARRILLA

Para el elemento 1-2

MX12MY 12Z12

MX21MY 21Z21

=

0−152501525

+

6416.67 0 0 −6416.67 0 00 50666.67 −31666.67 0 25333.33 31666.670 −31666.67 26388.89 0 −31666.67 −26388.89

−6416.67 0 0 6416.67 0 00 25333.33 −31666.67 0 50666.67 31666.670 31666.67 −26388.89 0 31666.67 26388.89

−2.301×10−3

−3.176×10−3

−6.070×10−3

000

MX12MY 12Z12

MX21MY 21Z21

=

−14.7616.30−34.6114.76

126.7684.61

KN−mKN−m

KNKN−mKN−m

KN

Para el elemento 1-3

MX13MY 13Z13

MX31MY 31Z31

=

−15

03015030

+

40533.33 0 −20266.67 20266.67 0 20266.670 5133.33 0 0 −5133.33 0

−20266.67 0 13511.11 −20266.67 0 −13511.1120266.67 0 0 40533.33 0 20266.67

0 −5133.33 −31666.67 0 5133.33 020266.67 0 −26388.89 20266.67 0 13511.11

−2.301×10−3

−3.176×10−3

−6.070×10−3

000

MX13MY 13Z13

MX31MY 31Z31

=

−14.7616.30−5.3891.3916.3065.38

KN−mKN−m

KNKN−mKN−m

KN

UNSCH81



FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DE LA PARRILLA

Figura 7.4: Diagrama de Fuerza Cortante de la Parrilla

Figura 7.5: Diagrama de Momento Flector de la Parrilla

UNSCH82



Figura 7.6: Diagrama de Fuerza Axial de la Parrilla

UNSCH83


PARTE IVCONCLUSIONES

84

CONCLUSIONES V.

CONCLUSIONES

1 La interfaz del programa UCMM ha sido desarrollada mediante MatLab, con el objetivo de que el usuario,de forma muy intuitiva y sin conocer en profundidad los procedimientos de cálculo, pueda definir y obtenerlos resultados de cualquier estructura plana que se plantee resolver.

2 El programa ha sido validado mediante comparación de resultados obtenidos con cálculos analíticos y otrosprogramas informáticos.

3 Es importante considerar el caso de la viga acartelada de valor αa = 0.5 , ya que los resultados de losmomentos de empotramiento no se ajustan a los calculados por el método de análisis estructural.

4 MATLAB es capaz de analizar cualquier armadura en 2D / 3D y el marco con número n de elementos y elnúmero n de nodos con cualquier sección transversal propiedades y diferentes condiciones finales.

5 El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable tanto a estructuras isostáticas comoestructuras hiperestáticas de elementos que se comportan de forma elástica y lineal. Es también denominadométodo de los desplazamientos y en inglés se le conoce como direct stiffness method (DSM, método directode la rigidez).

6 Con el avanzado desarrollo computacional en los últimos años, combinados con los resultados de las estudiosdel análisis matricial de estructuras, hoy se hace posible la realización de este trabajo en donde se expuso unsoftware didáctico para el cálculo de estructuras plana,espacial y parilla mediante el uso del método de larigidez.

7 Los elemetos tipo parrillas son utilizadas en estructuras como:Puentes,Losas armadas en dos direc-ciones,Cierto tipo de cimentaciones y estructuras sometidas a la accion del viento.

UNSCH85


PARTE VRECOMENDACIONES

86

RECOMENDACIONES V.

RECOMENDACIONES

1 Se sugiere la continuación del estudio del comportamiento de las diferentes clases de estructuras, haciendoel mismo procedimiento pero extendiendo hacia un modelo que represente las diferentes tipos de estructurasde acero.

2 Se recomienda utilizar el metodo de rigidez matricial pues es muy bueno para el analisis de edificios.

3 El programa matlab es una herrramienta de gran utilidad para el analisis matricial.

4 Se recomienda tener una buen conocimiento del ensamblaje de la matriz de rigidez total de la estructura,paraasi poder obtener un resultado adecuado de las incognitas deseadas.

UNSCH87


PARTE VIBIBLIOGRAFIA

88

Bibliografía

[1] Tena-Colunga, A. (1994) Concerns regarding the seismic design of RC haunched beams. ACIStructural Jour-nal, Vol. 91, No. 3, pp. 287-293.

[2] Charon, P. (1962). El Método de Cross y el cálculo practico de las construcciones hiperestáticas. Teoría ypráctica. , Madrid. Aguilar.

[3] ARBULU, BIAGGIO, Cálculo de estructuras hiperestáticas – volumen I, II, III, Editorial Universal Nacionalde Ingeniería. Lima. 1968.

[4] SAN BARTOLOME, ANGEL. Análisis de edificios. Fondo editorial de la Pontificia Universidad Católica delPerú P.U.C.P. Lima 1999.

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