quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em · se e só se ou (lei do anulamento do produto); 10. se e só se (lei do corte para a adição). Capítulo 1 AM IIID

Capítulo 1 AM IIID – 11/12- 1º Sem.

Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do

quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em

http://www.dimensions-math.org/

http://www.dimensions-math.org/



Definição 1.1:

1. Definimos o número imaginário, , como o símbolo tal que .

2. Ao conjunto

* +

chamamos conjunto dos números complexos.

Nota: Podemos identificar o subconjunto de

* +

com , passando este a ser considerado um subconjunto de .



Operações algébricas com complexos: Sejam dois números complexos.

Definimos

1. adição de com ao complexo

( ) ( );

2. multiplicação de por ao complexo

( ) ( ).

Nota: Para complexos da forma , , estas operações coincidem

com as operações usuais em .



Propriedades algébricas (1.2): Sejam complexos quaisquer.

1. (soma é comutativa);

2. (multiplicação é comutativa);

3. ( ) ( ) (soma é associativa);

4. ( ) ( ) (multiplicação é associativa);

5. é o elemento neutro da soma ( );

6. é o elemento unidade da multiplicação, ou seja, ;

7. – ( ) é o elemento simétrico de , ou seja, ( ) ;

8. ( ) (multiplicação é distributiva relativamente à adição);

9. se e só se ou (lei do anulamento do produto);

10. se e só se (lei do corte para a adição).



Da motivação construção dos números complexos óbvio a existência de uma bijecção canónica

entre e , , definida por

( ) ( )

onde . A aplicação inversa de é dada por

( )

Tendo em conta esta aplicação, definimos naturalmente um produto em dado por

( ) ( ) ( )

A aplicação “respeita” as operações definidas em e , ou seja, para todo o

1. ( ) ( ) ( )

2. ( ) ( ) ( )

O mesmo se pode afirmar sobre .

A identificado com , via , chamamos Plano de Argand.



Definição (1.3): Seja , um número complexo.

1. Denominamos o real por parte real de e representamos este real por ( );

2. Denominamos o real por parte imaginária de e representamos este real por ( );

3. Se ( ) , dizemos que é um imaginário puro.

Nota: Dados dois números complexos e e . Temos que

1. se e só se ( ) ( ) e ( ) ( );

2. se e só se ( ) ;

3. (linearidade) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ).



Interpretação geométrica da soma de complexos (regra do paralelogramo)



Nota: Em , a relação de ordem usual respeita a adição e a multiplicação, ou seja, para

todo o real ,

;

e .

Ao contrário de não existe qualquer relação de ordem canónica em . Isto deve-se ao

facto de se provar que não existe uma relação de ordem que respeite a multiplicação de

números complexos.



Definição (1.4): Dado um complexo , definimos o conjugado de como o complexo tal que

( ) ( ) e ( ) ( ).

Propriedades do conjugado (1.5): Sejam complexos quaisquer.

1. ( )

( )

;

2. ( ) ( ) ‖( ( ) ( ))‖ ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ( ) ;

7. ( ) .



Definição de inverso de um complexo: Seja um complexo. O elemento inverso de , que

representamos por ou por

, é o complexo tal que . Como tal

( )

( )

Definição do quociente de complexos: Sejam complexos quaisquer, com .

Definimos quociente de por como o complexo

( )

( )

Nota: Como, para as operações de soma e multiplicação definidas, os números complexos

verificam as propriedades 1. a 8. de 1.2 e além disso todo o complexo não nulo admite

inverso, algebricamente o conjunto dos números complexos tem a estrutura de corpo.



Propriedades da divisão (1.6): Sejam complexos quaisquer.

1. Se ,

;

2. Se ,

3. Se , se e só se (lei do corte para a multiplicação);

4. Se ,

.

/



A propriedade 2. De 1.5 motiva a seguinte definição.

Definição (1.7): Seja um complexo qualquer. Definimos módulo de como

| | √ ( ) ( )

Nota: Sejam e complexos quaisquer.

1. Se ( ) , então o módulo de é igual ao módulo real de ;

2. | | ‖( ( ) ( )) ( ( ) ( ))‖, ou seja, | | mede a distância entre

e enquanto pontos no plano de Argand.



Propriedades do módulo (1.8): Sejam complexos quaisquer.

1. | | ;

2. | | ;

3. | | | |;

4. | | | | | |;

5. Se ,

|

| | |

| |

6. ( ) | ( )| | | e ( ) | ( )| | |;

7.| | | | | | (desigualdade triangular);

8. || | | || | |.



Definição de potenciação: Seja um complexo não nulo e um natural. Definimos, por

recorrência,

Nota: Dado natural, definimos como o complexo ( ) .

Propriedades da potenciação (1.9): Sejam complexos quaisquer e inteiros.

1. Se , ;

2. Se , ( ) ;

3. Se , ( )

4. ;

5.( ) ;

6.( ) ;

7.( )( ) .



Teorema fundamental da álgebra (1.10): Todo o polinómio de variável complexa e coeficientes

complexos,

,

com constantes complexas e , admite uma factorização da forma

( ) ( )

( )

onde são constantes complexas e são naturais tais que



Como as funções seno e co-seno são periódicas de período , a escolha de não é única.



Definição (1.11): Definimos grupo unitário como o conjunto

* | | +



Nota: O produto de dois elementos de é um elemento de . Além disso a multiplicação de

complexos restrita a elementos de ainda verifica é associativa, comutativa, admite elemento

unidade e todo o inverso de um elemento de ainda é um elemento de . Nesta situação é dito

que tem estrutura algébrica de grupo comutativo.

Propriedade (1.12): Dado um complexo não nulo, existe um único real positivo e um único

elemento de tal que .

Definição de forma polar: Seja um complexo não nulo e um real tal que | |( ( )

( ))

A esta representação chamamos forma polar ou forma trigonométrica. Chamamos a um

argumento de .



Nota: Seja um complexo não nulo.

1. Se e são dois argumentos de , como as funções seno e co-seno são periódicas de

período , existe tal que ;

2. Se é um argumento de , é uma solução do sistema

{

( ) ( )

| |

( ) ( )

| |

e o conjunto solução deste sistema é * +.

3. Se e é um argumento de , temos que

( )



Igualdade entre complexos na forma polar

Sejam | |( ( ) ( )) e | |( ( ) ( )) dois complexos não

nulos quaisquer. Temos que

{| | | |



Quando necessário, para remover a ambiguidade na escolha do argumento de um complexo,

fixamos um intervalo do tipo - - ou do tipo , ,, .

Definição (1.13): À restrição do argumento de um complexo não nulo ao intervalo - -

chamamos argumento principal e representamos por ( ). Representamos o conjunto de

todos os argumentos de por ( ), ou seja,

( ) * ( ) +



Cálculo do argumento de um complexo

A alínea 2 da nota da página 19 fornece um método para calcular o argumento de um complexo,

caso este esteja restrito ou não a um intervalo.

Da alínea 3 da nota da página 19, e tendo em conta que a função tem por contra-domínio

o intervalo 1

0 e que a função tem período , obtemos

1. ( ) .

/ , se e ;

2. ( )

, se e ;

3. ( ) .

/, se ;

4. ( )

, se e ;

5. ( ) .

/ , se e .



Definição (1.14): Definimos a aplicação de em como

( ) ( )

Propriedades (1.15): Sejam e .

1. é periódica de período , ou seja, ( ) ;

2. ;

3. ( )

;

4. ( );

5.

( );

6.(igualdade de Moivre) ( ) ;

7. | | .



Temos assim que

{ }

Na representação em forma polar, usaremos a notação exponencial, ou seja, dado um

complexo não nulo, escrevemos a sua forma polar como

| | ( )

Nota: Da propriedade 1. de (1.5), vem que

( )

( )



Propriedades (1.16): Sejam complexos não nulos e um inteiro.

1. ( ) ( ) * ( )+;

2. .

/ ( );

3. ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+;

4. .

/ ( ) ( ) * ( ) ( )+;

5. ( ) ( ) * ( )+.





Definição (1.17): Sejam complexos não nulos e um inteiro. Dizemos que é uma raiz de

ordem de se

Teorema (1.18): A equação , , admite exactamente soluções distintas, sendo o

conjunto destas dado por

{ }

Nota: As raízes de são os vértices de um polígono regular de lados inscrito na

circunferência de centro na origem e raio .



Na seguinte página de internet encontra-se um gif animado que apresenta algumas iteração das

raízes da unidade, ou seja, as soluções de .

http://www.suitcaseofdreams.net/Roots_complex.htm

http://www.suitcaseofdreams.net/Roots_complex.htm



,



O conjunto * | | + descreve a circunferência de centro em e raio .

O conjunto * | | + descreve o círculo de centro em e raio .

Ao conjunto * | | + chamamos disco aberto de centro em e raio , e

representamos, respectivamente, por ( ).

Ao conjunto * | | + chamamos disco fechado de centro em e raio , e

representamos, respectivamente, por ( ).





O conjunto * | | | |+ descreve a mediatriz do segmento de recta definido no

plano complexo pelos pontos e .

O conjunto * | | | |+ descreve o semi-plano fechado que contem o ponto

e definido pela mediatriz do segmento de recta definido no plano complexo pelos pontos e

.



- -



Tendo em conta a propriedade 2. de (1.5) e a definição (1.7), resulta que a aplicação

( ) ( ( ) ( ))

é uma isometria entre e , ou seja, é uma bijecção tal que, para quaisquer dois complexos

,

| | ‖( ( ) ( )) ( ( ) ( ))‖

Como tal, facilmente adaptamos as noções topológicas de para , sendo estes conjunto

basicamente equivalentes também a nível topológico.



Definição (1.19): Seja e .

1. é ponto interior de se existe tal que ( ) . Ao conjunto de todos os pontos

interiores de chamamos interior de e representamos por ou . Se ,

dizemos que é aberto.

2. é ponto exterior de se existe tal que ( ) . Ao conjunto de todos os

pontos exteriores de chamamos exterior de e representamos por .

3. é ponto fronteiro de se, para todo o , ( ) e ( ) . Ao

conjunto de todos os pontos fronteiros de chamamos fronteira de e representamos por

ou .

4. é ponto de acumulação de se, para todo o , ( ( ) * +) . Ao conjunto

de todos os pontos de acumulação de chamamos derivado de e representamos por .

5. Ao conjunto chamamos aderência de e representamos por . Se

dizemos que é fechado.

6. Dizemos que é limitado se existir tal que, para todo o , | | .

7. Dizemos que é conexo se dados dois quaisquer pontos deste, existe uma curva que une

estes pontos contida em . A um conjunto aberto conexo chamamos domínio.



Para , a transformação

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

define a translação de .



Seja , com e . A transformação define a rotação centrada em e

de ângulo .



Para , a transformação

define a reflexão de eixo .



Reflexão de eixo { }



Definição de isometria do plano de Argand: Dada uma aplicação bijectiva , esta diz-

se uma isometria do plano se, para quaisquer complexos , temos

| ( ) ( )| | |

As transformações apresentadas no início deste capítulo são exemplo de isometrias no plano.

O seguinte teorema classifica todas as isometrias do plano que preservam a origem.

Nota: Facilmente se prova que a composição de isometrias do plano é uma isometria do

plano. (Prove-o!)



Teorema (2.1): Seja uma isometria do plano tal que ( ) . Então existe tal que

uma das seguintes condições é verificada:

1. é uma rotação centrada em e ângulo , ou seja, ( ) ;

2. é uma reflexão de eixo

, ou seja, ( ) .

Corolário (2.2): Seja uma isometria do plano e ( ) . Então existe tal que uma

das seguintes condições é verificada:

1. é uma isometria directa , ou seja, ( ) ;

2. é uma isometria indirecta, ou seja, ( ) .



Classificação de isometrias directas

Seja, ( ) , .

1. Se , ( ) é uma translacção;

2. Se , seja

. O ponto é o único ponto fixo de . Podemos reescrever a

transformação como

( ) ( )

Como tal é uma rotação de centro em .



( ) ( )



Classificação de isometrias indirectas

Seja, ( ) , .

1. Se ( ) , seja

. Podemos reescrever a transformação como

( ) ( )

Como tal é uma reflexão de eixo

.

2. Se ( ) , seja

( ). Podemos reescrever a transformação como

( ) ( )

Temos que ( ) ( ). Como tal, ( ) ( ) e tendo em conta 1., é

a composição da reflexão de eixo

com a translacção de . Como é da forma

a translacção é paralela ao eixo da reflexão e é dita uma reflexão deslizante.



( ) ( )



( ) ( )



Teorema (2.3): Dada uma isometria do plano, esta é ou uma translacção ou uma rotação ou

uma reflexão ou uma reflexão deslizante.



Seja , com . A transformação define a homotetia centrada em e de

razão .

Seja ( ) uma homotetia centrada na origem e de razão . Temos que:

1. | ( )| | |;

2. ( ( )) ( );

3. Para quaisquer complexos ,

| ( ) ( )| | |

Logo é uma isometria do plano se e só se , ou seja, se for a identidade.

4. Se , diz-se uma ampliação;

5. Se , diz-se uma redução.



Ampliação



Redução



A transformação

A transformação age sobre da seguinte forma:

| | | |

Sejam e . Esta transformação age sobre um conjunto do tipo

{| | | | }

transformando-o em

{| | | |

}







A aplicação * ( ) + , ( ) é uma bijecção.



Definição (3.1): Sejam . Dizemos que uma correspondência

é uma função complexa de variável complexa se para todo o elemento de fazemos

corresponder um e um só elemento de . Denominamos o conjunto por domínio de

definição.

Nota: O conjunto não é obrigatoriamente o maior conjunto onde a função “faz sentido”.

Por exemplo, podemos considerar a função

definida num qualquer subconjunto de { }.



Definição (3.2): Seja uma função de variável complexa e . Definimos o

conjunto imagem de por , , como

{ }

Definição (3.3): Seja uma função complexa de variável complexa.

1. Dizemos que é injectiva se, para todo o , .

2. Dizemos que é sobrejectiva se .

3. Dizemos que é bijectiva se é injectiva e sobrejectiva.

(Prove que é bijectiva)



Definição (3.4): Sejam e funções de variável complexa. Se ,

definimos a função composição como .

Definição (3.5): Seja uma função complexa de variável complexa bijectiva.

Definimos função inversa de , e representamos por , à única função tal tal

que

(Prove que se então )



Seja uma função complexa de variável complexa. Através da identificação

podemos considerar como uma função definida num subconjunto de e de contra-

domínio contido em , construída da seguinte forma: Seja ,

( ( ) ( ))



Definição (3.6): Seja uma função de variável complexa. Definimos gráfico de como

o subconjunto de ( é o conjunto de pares ordenados cujas entradas são números

complexos)

{( ) }

Nota: O gráfico de função complexa de variável complexa é um subconjunto de . Mas quer

o gráfico de quer o gráfico de são subconjuntos de .



| |

√





| |

√



√



Definição (3.7): Seja uma função de variável complexa e um ponto aderente de .

Dizemos que o limite de quando tende para é , e representamos por

se

| | | |



Teorema (3.8): Seja uma função de variável complexa e um ponto aderente de .

O limite de quando tende para , caso exista, é único.


As seguintes condições são equivalentes:

1. .

2. ( ) e ( )

.

Nota: existe se e só se existem os limites ( ) e

( ) .



Teorema (3.10): Sejam e funções de variável complexa. Seja um ponto

aderente de . Suponhamos que existe e .

1. ;

2. , onde é uma constante complexa;

3. ( ) ( );

4. Se



Definição (3.11): Seja uma função de variável complexa, definimos função

conjugada, , como


Seja .

1. ;

2. | | | |;

3. se e só se | | .



Teorema (3.13): Sejam e funções de variável complexa. Seja um

ponto aderente de . Suponhamos e que , então

Teorema (3.14): Sejam e funções de variável complexa. Seja um ponto

aderente de . Suponhamos que e que existe tal que | | para

todo o . Então



Definição (3.15): Seja uma função de variável complexa e . Dizemos que é

contínua em se

ou seja,

| | | |



Do teorema (3.9) resulta logo o seguinte teorema.

Teorema (3.16): Seja uma função de variável complexa e . As seguintes

condições são equivalentes:

1. é contínua em .

2. e são contínuas em .



Do teorema (3.10) resulta imediatamente o seguinte teorema.

Teorema (3.17): Sejam e funções de variável complexa. Seja .

Suponhamos que e são contínuas em .

1. é contínua em ;

2. é contínua em , onde é uma constante complexa;

3. é contínua em ;

4. Se

é contínua em .

Do teorema (3.10) resulta imediatamente o seguinte teorema.

Teorema (3.18): Sejam e funções de variável complexa. Seja .

Suponhamos que é contínua em e que é contínua em . Então é contínua em

.



Definição (3.19): Seja uma função de variável complexa e um ponto aderente de

. Seja . Definimos prolongamento por continuidade de a à função

de domínio de definição { } de expressão

{



Exponencial Complexa

Definimos a função exponencial complexa como a função

[ ( ) ( )]



Propriedades (3.20):

1. e ;

2. | | e ;

3. Para qualquer , e

;

4. Para qualquer ;

5. é periódica de período , ou seja, .

6. Por 1., a exponencial é uma função contínua em ;

7. O conjunto imagem de pela exponencial é { }, ou seja, é o contra-domínio

da exponencial;

8. Dado , a restrição exponencial { ] ]} é uma

bijecção.

9. Para quaisquer complexos



Funções Trigonométricas Complexas




1. e ;

2. e ;

3. | | e | | ;

4. Quer quer são funções periódicas de período , ou seja,

e ;

5. Por 1. e 2., as funções seno e co-seno são contínuas em ;

6. Para qualquer,

7. e

;

8. As funções seno e co-seno não são limitadas.



Para

definimos a função tangente como



Funções Hiperbólicas Complexas




1. e ;

2. e ;

3. | | e | | ;

4. Quer quer são funções periódicas de período , ou seja,

e ;

5. Por 1. e 2., as funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico são contínuas em ;

6. Para qualquer,

7. e

.



Logaritmo Complexo

Definição de logaritmo: Dado , dizemos que o complexo é um logaritmo de se

Representamos o conjunto de todos os logaritmos de por , ou seja,

{ }



Propriedade (3.23): Dado , se e só se

| |

ou seja, se e só se existe tal que

| |

Propriedade (3.24): Dados ,

1.

2. (

)



Definição (3.25): Seja . Dado , seja o argumento de pertencente ao

intervalo ] ]. Definimos logaritmo de base como a função

{ }

| |

Propriedade (3.26): A restrição do logaritmo de base

{ } { }

é uma bijecção. Além disso é a função inversa da restrição da exponencial

{ } { }



Definição de ramo principal: Definimos ramo principal do logaritmo ao logaritmo de base –

e representamos este por , ou seja, para

– | |

Nota: No caso do ramo principal do logaritmo,

{ } { }








1. ( ) | | e (

) ;

2. A função é contínua em { }. No caso do ramo principal, este é

contínuo em ;

3. Sejam { } e .

, para um certo ;

(

)

, para um certo ;

, para um certo .



Potências Complexas

Definição (3.27): Seja e . Definimos o conjunto

{ }

Propriedades (3.28): Sejam , e .

1. √

√

√

;

2. = .



Definição de determinação principal da potência: Dado , definimos determinação

principal da potência complexa como


1. A função é contínua em .

2. Sejam e ,



Nota:

1. Sejam e . Suponhamos que

. Se , nem sempre é

verdade a igualdade

2. Sejam e Se , nem sempre é verdade a igualdade



Definição (3.30): Definimos a função raiz quadrada como

√ √| |

Nota: Sejam . Suponhamos que

. Nem sempre é válida a igualdade

√ √ √



Definição de derivada: Seja uma função de variável complexa e um ponto interior

de . Definimos derivada de no ponto , que representamos por ( ) ou

( ), ao

limite, caso exista,

( ) ( )

Neste caso dizemos que é -derivável em .

Nota: O limite acima indicado é equivalente ao limite

( ) ( )

Nesta notação, chamamos acréscimo à variável complexa . Uma notação usada para o

acréscimo é .



Definição (4.1): Seja uma função de variável complexa e um ponto interior de .

Dizemos que é -diferenciável em se existir um número complexo e uma função

complexa definida numa bola aberta de centro em tais que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

e

( )



Teorema (4.2): Seja uma função de variável complexa e um ponto interior de .

As seguintes afirmações são equivalente:

1. A função admite derivada no ponto .

2. A função é -diferenciável em .

Teorema (4.3): Seja uma função de variável complexa e um ponto interior de .

Se a função admite derivada no ponto então é contínua neste ponto.

Nota: Se não é contínua em então não admite derivada no ponto .



Definição de função holomorfa: Seja um aberto de e . Dizemos que é

holomorfa em se é -derivável em todos os pontos de . Representamos o conjuntos de

todas as funções holomorfas em por ( ).

Definição (4.10): Seja uma função de variável complexa. Dizemos que é inteira se

é holomorfa em .



Teorema (4.4): Sejam funções -deriváveis em e .

1. ( ) ( ) ( ) ( );

2. ( ) ( ) ( );

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );

4. Se ( ) , (

) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) .

Teorema (4.5): Seja uma função -derivável em e uma função -derivável em ( ).

Então é diferenciável em e

( ) ( ) ( ( )) ( )



Teorema (4.6): Seja , aberto, uma bijecção holomorfa em . Suponhamos

que, para todo o , ( ) e que é contínua . Então é holomorfa em e

para todo o ,

( ( ))

( ( ))

Definição (4.7): A uma bijecção tal que ( ) e ( ) denominamos por

função bi-holomorfa.



Definição (4.8): Seja uma função de variável complexa e ( ) e ( ).

Sejam e um ponto interior de . Definimos

( )

(( ) ) ( )

( )

( ( )) ( )



Nota:

1. Se

( ) existir então

( )

( )

( )

( )

( )

2. Se

( ) existir então

( )

( )

( )

( )

( )



Definição (4.9): Seja uma função de variável complexa, ( ), ( ) e

. Dizemos que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em se

( )

( )

ou seja, se

{

( )

( ( ) ( ))

( )

( ( ) ( ))

( )

( ( ) ( ))

( )

( ( ) ( ))



Teorema de Cauchy-Riemman: Seja uma função de variável complexa, ( ),

( ) e um ponto interior de . As seguintes afirmações são equivalentes:

1. é -diferenciável em .

2. verifica as condições de Cauchy-Riemann em e as funções ( ) e ( ) são

diferenciáveis (como funções de ) no ponto ( ( ) ( )).

Além disso,

( )

( )

( )

Lembrete: Seja , com um aberto. Se admite derivadas parciais contínuas

em , então é diferenciável em .



uma função de variável complexa, ( ), ( )

[ ( ) (

) ( ) (

)]

[ ( )

( )

( )

( )]

[ ( )

( )

( )

( )]

(

( )

( ))



uma função de variável complexa, ( ), ( )

[ ( ) (

) ( ) (

)]

[ ( )

( )

( )

( )]

[ ( )

( )

( )

( )]

(

( )

( ))



Nota: Seja , aberto.

1. A função atisfaz as condições de Cauchy-Riemann em se e só se

( )

2. Se ( ) e ( ) são funções de classe em , visto como subconjunto de

({( ( ) ( )) }), e se

( ) em todo os pontos de , então é holomorfa

em e além disso

( ) ( )



Teorema (derivação de funções elementares):

1. As funções exponencial, seno, co-seno, seno hiperbólico e co-seno hiperbólico são

holomorfas em e

( )

( )

( )

( )

( )

2. Seja . A função é holomorfa em { }. No caso do ramo

principal do logaritmo, esta é holomorfa em . Além disso

( ( ))

Nota: A expressão da derivada do logaritmo não depende da base deste.



Definição (4.10): Seja , com aberto. Suponhamos que ( ). Dizemos

que é harmónica em se, para todo o ( ) ,

( )

( )

A

chamamos Laplaciano de .



Teorema (4.11): Seja aberto e ( ). Então as funções ( ) e ( ) são

harmónicas em , visto como subconjunto de ({( ( ) ( )) }).

Teorema (4.12): Seja aberto um aberto simplesmente conexo e uma função

harmónica em {( ( ) ( )) }. Então existe uma função harmónica em

{( ( ) ( )) } tal que a função

( ) ( ) ( ) ( )

é holomorfa em . A função é única a menos da soma de uma constante e denominada por

conjugada harmónica de .



O Teorema (4.12) diz-nos que qualquer função harmónica num simplesmente conexo pode ser

encarada como parte real de uma função holomorfa. De forma análoga, qualquer função

harmónica num simplesmente conexo pode ser encarada como parte imaginária de uma

função holomorfa.



Definição (5.1): A uma aplicação do tipo denominamos por sucessão complexa.

Chamamos termo geral à expressão e representamos por . Representamos a sucessão

por .

Definição (5.2): Seja uma sucessão complexa e . Dizemos que é

convergente para , e representamos tal por

se

| |

Ao número chamamos limite de .



Teorema (5.3): O limite de uma sucessão quando existe é único.

Definição(5.4): Se uma sucessão não admite limite dizemos que esta é divergente.

Definição de sucessão limitada: Dada uma sucessão complexa , dizemos que esta é

limitada se

| |



Teorema (5.5): Toda sucessão complexa convergente é limitada.

Definição (5.6): Sejam e sucessões complexas. Dizemos que é uma

subsucessão de se existir uma sucessão estritamente crescente tal que

( )

Teorema (5.7): Seja uma sucessão complexa convergente para . Toda a subsucessão

de é convergente para .



Teorema (5.8): Seja uma sucessão complexa convergente para zero e uma

sucessão complexa limitada. Então

Teorema (5.9): Seja uma sucessão complexa convergente para .

1. se e só se | | ;

2. Se , então | | | |;

3. Se , então .



Teorema (5.10): Sejam duas sucessões complexas convergentes.

1.

2. , onde é uma constante complexa;

3. ;

4. Se

Seja uma sucessão complexa. Via a bijecção , podemos identificar

esta sucessão com a sucessão de

( )



Teorema (5.11): Seja uma sucessão complexa e . As seguintes afirmações são

equivalentes:

1. ;

2. e .

Teorema (5.12): Seja uma função de variável complexa e . A função é

contínua em se e só se para toda a sucessão complexa de elementos em e

convergente para , a sucessão ( ) converge para .



Definição (5.13): Seja uma sucessão complexa. Consideremos a sucessão

definida por

∑

Denominamos esta por sucessão das somas parciais. Representamos o limite da sucessão das

somas parciais por

∑

Se este limite existir, dizemos que a série de termo geral é convergente e o seu valor

denominamos por soma da série. Caso contrário dizemos que a série é divergente.



Teorema (5.14): Se ∑ é convergente, então .

No caso de , dizemos que ∑ é grosseiramente divergente.

Teorema (5.15): Sejam ∑ e ∑ duas séries de soma, respectivamente, e . Seja

.

1. A série ∑ tem por soma ;

2. A série ∑ tem por soma .

Teorema (5.16): Se ∑ | | é convergente, então ∑ é convergente.



Definição (5.17): Dizemos que a série ∑ é absolutamente convergente se a série

∑ | | é convergente. Se a série ∑ é convergente e ∑ | | é divergente, dizemos

que ∑ é semi-convergente ou simplesmente convergente.

Do Teorema (5.11) resulta imediatamente o seguinte teorema.

Teorema (5.18): Seja uma sucessão complexa e . As seguintes afirmações são

equivalentes.

1. A série ∑ é convergente de soma ;

2. As séries reais ∑ e ∑ são ambas convergentes de soma,

respectivamente, e .



Teorema (5.19): Seja uma sucessão complexa. Se as séries ∑ | | e

∑ | | são ambas convergentes, então a série ∑ é absolutamente convergente.



Definição (5.20): Seja { } uma sucessão complexa e . Definimos série de

potências ou série inteira, centrada em , à função definida por

∑

Nota: O domínio de definição de uma série de potências é o conjunto dos pontos onde “faz

sentido calcular a série”, ou seja, onde esta é convergente.



Teorema (5.21): Se a série de potências ∑

converge para , então esta

série converge absolutamente para todo o pertencente ao disco aberto de centro em e

raio | |.



Teorema (5.22): Seja ∑

uma série de potências. Existe [ ] único,

denominado por raio de convergência, tal que:

1. A série converge absolutamente em todos os pontos do disco de convergência

{ | | }

2. A série diverge no exterior do disco aberto de centro em e raio ;

Nota:

1. O teorema nada conclui sobre a convergência da série de potências em pontos sobre a

circunferência de centro em e raio ;

2. Se , a série converge absolutamente em .



Teorema (5.23): Dada uma série de potências ∑

com raio de convergência ,

temos que:

1.

√| |

;

2. Se o limite

| |

| |

existe (permitimos que este limite seja ), então este é igual a ;

3. Se o limite

√| |

existe (permitimos que este limite seja ), então este é igual a

.



Teorema (5.24): Seja ∑

uma série de potências com raio de

convergência positivo. Então é holomorfa em e

∑

ou seja, a série é derivável termo a termo e a sua derivada é a série das derivadas.

Teorema (5.25): Sejam ∑

e ∑

séries de

potências. Se em algum disco aberto de centro então



Definição (5.26): Seja , aberto, uma função de variável complexa e um

ponto interior de . Dizemos que é analítica em se existe e uma série de potências

∑

tal que e

∑

Dizemos que é analítica em se f é analítica em todos os ponto de .

Nota: Se é analítica em , pelo teorema (5.24), resulta imediatamente que é holomorfa

em .



Teorema de Taylor: Seja uma função de variável complexa holomorfa em . Dado

e ] ] tal que , temos que

∑

À série de potência ∑

chamamos desenvolvimento em série de Taylor de

em torno de .

Nota:

1. Se é o maior disco aberto centrado em contido em e o raio de

convergência de ∑

, então ;

2. Do teorema de Taylor resulta imediatamente que toda a função holomorfa em é

analítica em ;

3. Pelo teorema (5.25), o desenvolvimento em série de Taylor de em torno de é único;

4. O teorema de Taylor não é válido para funções reais de variável real.



Corolário: Uma função complexa de variável complexa é holomorfa em se e só se é analítica

em .

Nota: Uma função holomorfa em admite derivada de qualquer ordem em qualquer ponto

de .

Reflexão: Tendo em conta o Teorema de Cauchy-Riemann, o que se pode afirmar quanto à

classe das funções parte real e parte imaginária de uma função holomorfa?



Alguns desenvolvimentos em série de Taylor em torno de zero

∑

∑

| |

∑

∑

∑

| |

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quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em · se e só se ou (lei do anulamento do produto); 10. se e só se (lei do corte para a adição). Capítulo 1 AM IIID