18.06 Soluciones al examen 2 25 de abril de 2000 1. (30 pts.) (a) 1 2 3 1 2 1 1 1 2, 1, 2 3 3 3 2 2 q q q = = = − − 2 1 − . q 3 se halla calculando el espacio nulo de A y realizando después una normalización, o multiplicando q 1 × q 2 , o adivinando un vector independiente de q 1 y q 2 y aplicando el método Gram-Schmidt. (b) q 3 es el espacio nulo por la izquierda de A¸ ya que es ortogonal a ambas columnas de A. (c) 1 3 3 3 3 4 4 2 1 ( ) 4 4 2 9 2 2 1 T T P q qq q − . − − = = − − (d) . 1 1 ˆ ( ) 2 T T x AA Ab − = = r
18.06 Soluciones al examen 2 25 de abril de 2000 1. (30
pts.)
(a) 1 2 3
1 21 1 12 , 1 , 23 3 3
2 2q q q
= = =
2
1 .
q3 se halla calculando el espacio nulo de A y realizando despus
una normalizacin, o multiplicando q1 q2, o adivinando un vector
independiente de q1 y q2 y aplicando el mtodo Gram-Schmidt.
(b) q3 es el espacio nulo por la izquierda de A ya que es
ortogonal a ambas columnas de A.
(c) 13 3 3 3
4 4 21( ) 4 4 29
2 2 1
T TP q q q q .
= =
(d) . 11
( )2
T Tx A A A b = =
r
2. (16 pts.) Frmula extendida: det de A = 16 - 4 - 4 - 4 + 1 =
5
Reduccin por filas: det de A = det de 32
43
54
2 1 0 00 1 0
5.0 0 1
0 0 0
=
3. (30 pts.)
(a) 1 12 2 .1 0
A
=
(b) 1 1 .
=
1 con autovector
1
211 .22
= con autovector
(c) ( )12
2 13 31 13 3
1 01 1.
1 2 0
k
kkA
=
(d) 2 13 31 13 3
1 1 1 01 2 0 0
A
=
21 3
20 3
2 13 32 13 3
10
2 .3k
GGA
GG
G
= = =
As pues,
4. (24 pts.) (a) n r = dimensin del espacio nulo de A = nmero de
autovalores de A
iguales a 0. As pues, r = 2. (b) y
det( ) det( )det( ) det( )det( )T TA A A A A A= =det( ) 0 1 2 0,
det( )TA A= = con lo cual 0.=A
(c) Al sumar 1 a la matriz, los autovalores aumentan en 1. As,
los autovalores de A + I son 1, 2, 3 y det(A)= 1 * 2 * 3 = 6.
(d) Si A tiene un autovalor , entonces A-1 tiene un autovalor
1
. As
pues, los autovalores de (A + I)-1 son 1 1 1, ,1 2 3
