Rachunek prawdopodobieństwa

– projekt

Ilustracja metody Monte Carlo

obliczania całek oznaczonych

Autorzy: Marta Rotkiel, Anna Konik, Bartłomiej Parowicz, Robert Rudak, Piotr Otręba

Spis treści:

• Wstęp

• Cel pracy

• Sposób przeprowadzania obliczeń –• Sposób przeprowadzania obliczeń –metoda Monte Carlo

• Algorytm obliczeń

• Zawartość pracy

• Opis działania programu

• Wnioski

Wstęp

• Często jest tak, iŜ wiemy, Ŝe istnieje całka oznaczona z funkcji f(x) jednak nie potrafimy jej analitycznie policzyć. W większości przypadków stosuje się wtedy metody numeryczne, jednak stosuje się wtedy metody numeryczne, jednak istnieje wobec nich stosunkowo prosta alternatywa. OtóŜ dla tak deterministycznego problemu, jakim jest liczenie całek przychodzi z pomocą probabilistyka. Metoda Monte Carlo jest szczególnie istotna, gdy funkcja, którą całkujemy jest bardzo nieregularna bądź teŜ w przypadku całek wielokrotnych.

Cel pracy

• Celem pracy jest zastosowanie metody Monte Carlo do obliczania przybliŜonej wartości całki oznaczonej

dla kilku konkretnych przykładów funkcji f(x) i przedziałów [a, b] oraz dla kilku

rzędów parametru N oraz porównanie otrzymanych wyników z dokładnymi

wartościami odpowiednich całek.

Sposób przeprowadzania obliczeń –

metoda Monte Carlo

• Głównym załoŜeniem metody Monte Carlo jest zastąpienie skomplikowanego problemu numerycznego, zadaniem z dziedziny prawdopodobieństwa, o takim dziedziny prawdopodobieństwa, o takim samym rozwiązaniu. Obliczenia statystyczne, szczególnie przy wykorzystaniu moŜliwości nowoczesnych komputerów, pochłaniają znacznie mniej czasu obliczeniowego, niŜ ich numeryczne odpowiedniki.

Algorytm obliczeń

• losujemy niezaleŜnie liczby u1, u2, . . . ,

un z rozkładu jednostajnego U[0, 1];

• przekształcamy xk = a + (b − a)uk dla• przekształcamy xk = a + (b − a)uk dlak = 1, 2, . . . , N;

• jako przybliŜoną wartość całki przyjmujemy

Zawartość pracy

• W pracy omówiono zastosowanie metody Monte Carlo do obliczania całek oznaczonych. Zaprojektowano i wykonano program komputerowy umoŜliwiający program komputerowy umoŜliwiający obliczanie całek przy pomocy statystycznej metody Monte Carlo. Następnie omówiono metodę Monte Carlo i wynikającą z niej moŜliwość zastosowania do obliczania całek oznaczonych.

Opis działania programu

Opis działania programu

• W programie uŜytkownik podaje rząd parametru N, a następnie wartości przedziałów a i b.

• Po wpisaniu tych parametrów program oblicza wartość całki metodą Monte Carlo.

Przedstawienie wyników

Porównanie wyników

Porównanie wyników

Porównanie wyników

Porównanie wyników

Porównanie wyników

Porównanie wyników

Porównanie wyników

Porównanie wyników

Porównanie wyników

metoda Monte Carlo

• Metodę Monte Carlo moŜna określić jako metodę polegającą na generowaniu zmiennych losowych w celu oszacowania parametrów ich rozkładu. Zakłada się, Ŝe parametrów ich rozkładu. Zakłada się, Ŝe to generowanie realizowane jest za pomocą komputera, chociaŜ w niektórych przypadkach moŜna uzyskać dobre rezultaty posługując się urządzeniami typu: ruletka, kartka papieru i ołówek.

metoda Monte Carlo

• Za datę narodzin idei wykorzystania zjawisk losowych w procesach obliczeniowych przyjęto rok 1878. Wtedy ukazała się praca Halla o obliczaniu liczby π za pomocą losowych rzutów obliczaniu liczby π za pomocą losowych rzutów igły na płaszczyznę papieru, poliniowanego równoległymi prostymi. Istota zagadnienia polega na tym, Ŝeby eksperymentalnie zrealizować zdarzenie, którego prawdopodobieństwo wyraŜa się za pomocą liczby π i w przybliŜeniu oszacować to prawdopodobieństwo.

metoda Monte Carlo

• Wykorzystanie tej idei do róŜnych zastosowań nie było w sposób istotny rozwijane aŜ do 1944 roku. Jon van Neumann, w związku z pracami nad bombą atomową, zaproponował szerokie nad bombą atomową, zaproponował szerokie wykorzystanie aparatu rachunku prawdopodobieństwa dla rozwiązania praktycznych zagadnień. Nazwa omawianej metody pochodzi od kryptonimu "Monte Carlo" nadanego tajnym obliczeniom prowadzonym w USA podczas II Wojny Światowej, na potrzeby broni jądrowej.

metoda Monte Carlo

• Początkowo metodę „Monte Carlo” stosowano przede wszystkim do rozwiązywania zagadnień fizyki neutronowej. Później zaczęto stosować tę metodę w szerokiej klasie bardzo zróŜnicowanych w swojej treści zadań fizyki statystycznej. Do dziedzin wiedzy, w zadań fizyki statystycznej. Do dziedzin wiedzy, w których w znacznym stopniu korzysta się z metody Monte Carlo, naleŜy zaliczyć: teorię kolejek, teorię gier, ekonomię matematyczną, teorię przesyłania sygnałów w warunkach zakłóceń. Wiele zawdzięcza jej równieŜ rozwój metod numerycznych (tzw. numeryczne całkowanie). Stosowanie tej metody uzasadnione jest przede wszystkim w takich zadaniach, które moŜna sformułować w języku teorii prawdopodobieństwa.

Wnioski

• Porównując dokładne wyniki obliczeń kilku przykładowych całek oznaczonych z róŜnych funkcji zauwaŜyliśmy, Ŝe czasami dla mniejszych wartości N otrzymaliśmy dokładniejszy wynik niŜ wartości N otrzymaliśmy dokładniejszy wynik niŜ dla większych - pamiętajmy, Ŝe tutaj mimo wszystko mamy do czynienia z probabilistyką. Natomiast moŜemy się spodziewać (i tak jest) tendencji wzrostu dokładności wyniku wraz ze wzrostem parametru N.

Wnioski

• PoniewaŜ losowaliśmy parametr „u” z rozkładu jednostajnego, więc nie mieliśmy wpływu na wariancję wyniku, którą moŜna zmniejszyć. Mimo wszystko biorąc pod uwagę, Ŝe dla „N” Mimo wszystko biorąc pod uwagę, Ŝe dla „N” rzędu 10 czy 100 obliczenia moŜna wykonać nawet na kalkulatorze to wyniki są dosyć przyzwoite. Natomiast chcąc otrzymać bardzo dokładny wynik to wtedy obliczenia powinny być robione na mocnym komputerze, poniewaŜ obliczenia zajmują długi okres czasu obliczeniowego procesora.