Embed Size (px)
Citation preview
Racunalne metodefizike
kratak uvod
Zvonko Glumac
Copyright c© 2015. Zvonko Glumac
PUBLISHED BY PUBLISHER
BOOK-WEBSITE.COM
Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the“License”). You may not use this file except in compliance with the License. You may ob-tain a copy of the License at http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. Unlessrequired by applicable law or agreed to in writing, software distributed under the License isdistributed on an “AS IS” BASIS, WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND,either express or implied. See the License for the specific language governing permissions andlimitations under the License.
First printing, III 2013.
Sadržaj
1 Nelinearni sustavi jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Jedna jednadžba s jednom nepoznanicom 51.1.1 Newtonova metoda sekante - 1D realne nule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Newtonova metoda tangente - 1D realne nule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Dvije jednadžbe s dvije nepoznanice 71.2.1 Newtonova metoda - 2D realne nule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Newtonova metoda - 2D kompleksne nule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Svojstvene vrijednosti matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Najveca svojstvena vrijednost i pridruženi svojstveni vektor 11
2.2 Pomak ishodišta - najmanja svojstvena vrijednost matrice 16
2.3 Deflacija - racun druge najvece svojstvene vrijednosti 17
2.4 Kompleksno konjugirane svojstvene vrijednosti 17
2.5 Korjeni polinoma 18
3 Diferencijalne jednadžbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Ekstrapolacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 LSA 25
4.2 BST 25
4.3 VBS 25
5 Stohasticki sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1 Nasumicni hod u jednoj dimenziji 28
5.2 Nasumicni hod u dvije dimenzije 32
5.3 Nasumicni hod bez samopresjecanja u dvije dimenzije 32
6 Perkolacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Fazni prijelazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.1 Isingov model 35
7.2 Monte Carlo simulacije - Metropolisov algoritam 40
8 Numericka integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1 Trapezna formula 45
8.2 Monte Carlo postupak 458.2.1 Monte Carlo postupak, D = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2.2 Monte Carlo postupak, D > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Popis literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Knjige 57
Clanci 57
Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1. Nelinearni sustavi jednadžba
1.1 Jedna jednadžba s jednom nepoznanicom1.1.1 Newtonova metoda sekante - 1D realne nule
Neka je zadana jedna realna funkcija, F , jedne realne varijable x. Zadatak je naci nulu funkcije,tj. realnu vrijednost x za koju je
F(x) = 0.
Najprije se funkcija nacrta i vizualno (graficki) se odredi približan položaj nule, x0.
F(x0)' 0.
Oko te vrijednosti x0 se zatim izvodi Taylorov razvoj
F(x) = F(x0)+(x− x0)d F(x)
d x
∣∣∣∣x=x0
+12(x− x0)
2 d2 F(x)d x2
∣∣∣∣x=x0
+ · · · .
U linearnoj aproksimaciji je
F(x) ' F(x0)+(x− x0)d F(x)
d x
∣∣∣∣x=x0
,
F(x) ' 0 ⇒ x = x0−F(x0)
F ′(x0).
Gornji izraz daje x koji je malo bolja aproksimacija egzaktne nule F nego što je to bila vrijednostx0. Gornji se izraz može i dalje iterirati tako da se x0 shvati kao M-ta iteracija
x0 → x(M),
a x kao M+1-va iteracija
x → x(M+1),
x(M+1) = x(M)− F [x(M)]
F ′[x(M)], M = 0,1,2, · · · (1.1)
6 Poglavlje 1. Nelinearni sustavi jednadžba
Gornji izraz nije nužno konvergentan1, ali se u konacnici uvijek može izracunati
F(x)x=x(M)
i pogledati je li i koliko ta vrijednost blizu nuli.
� Primjer 1.1 S tocnošcu od osam decimala, izracunajte realne nule polinoma
p12(x) = 24+375x+1826x2 +4385x3 +6778x4 +7176x5 +5838x6 +3580x7
+ 1822x8 +697x9 +216x10 +43x11 +8x12.
Najprije je potrebno nacrtati polinom kako bi se vidjelo postoje li uopce realne nule polinoma igdje se približno nalaze. Sa slike 1.1 se ocitavaju približni položaji dva realna korjena polinoma
x(0)1 '−0.33, x(0)2 '−0.11,
koji služe kao pocetne vrijednosti za iteracijski postupak (1.1). Približan položaj jedne realnenule polinoma je
M x(M)1 x(M)
2
0 −0.330000000000000 −0.110000000000000
1 −0.328997583850014 −0.108957904682004
2 −0.328995160170283 −0.108966248458256
3 −0.328995160156069 −0.108966248996239
x1 '−0.328995160156069, x2 '−0.108966248996239,
p12(x1) =−3.0 ·10−14 p12(x2) =−3.7 ·10−14.
Preostalih šest korjena polinoma su komplakesno konjugirani brojevi. Za racun kompleksnihnula polinoma, pogledajte odjeljak 2.5 i primjer 2.10. �
Slika 1.1: Polinom p12(x) iz primjera 1.1
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1
x-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
p12 (
x)
Slika 1.2: Funkcija F(x) iz primjera 1.2
0.2 0.3 0.4 0.5
x
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
F (
x)
� Primjer 1.2 S tocnošcu od osam decimala, treba naci rješenje jednadžbe
tanh(x+2) = 3x.
1Ako niz ne konvergira, treba pokušati s drugim odabirom pocetne tocke x0.
1.2 Dvije jednadžbe s dvije nepoznanice 7
Rješenje gornje jednadžbe je nula funkcije
F(x) = tanh(x+2)−3x
Sa slike 1.2 se vidi da je približna vrijednost nule jednaka
x(0) ' 0.33.
Iterativni postupak (1.1) daje približan položaj nule funkcije
M x(M)
0 0.330000000000000
1 0.327044938388689
2 0.327044830712100
3 0.327044830712100
x' 0.327044830712100, ⇒ F(0.327044830712100) =−1.2 ·10−15.
Dobiveno je više od traženih osam decimala. �
1.1.2 Newtonova metoda tangente - 1D realne nule
dovršiti
1.2 Dvije jednadžbe s dvije nepoznanice
1.2.1 Newtonova metoda - 2D realne nule
dovršiti
1.2.2 Newtonova metoda - 2D kompleksne nule
Sustav realnih jednadžba
F1(x1,x2) = 0, F2(x1,x2) = 0, (1.2)
se može shvatiti i kao racun kompleksne nule kompleksne funkcije, pri cemu su F1 i F2 realniimaginarni dio kompleksne funkcije, a x1 i x2 realni i imaginarni dijelovi kompleksne varijable.Neka je
(x(0)1 ,x(0)2 )
8 Poglavlje 1. Nelinearni sustavi jednadžba
približno rješenje gornjeg sustava, dobiveno graficki ili kakvim drugim putem. Razvojem sustava(1.2) u Taylorov red oko približnog rješenja se dobiva
F1(x1,x2) = F1(x(0)1 ,x(0)2
)+(
x1− x(0)1
)∂ F1
∂ x1
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+(
x2− x(0)2
)∂ F1
∂ x2
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+12
(x1− x(0)1
)2 ∂ 2 F1
∂ x21
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+(
x1− x(0)1
) (x2− x(0)2
)∂ 2 F1
∂ x1 ∂ x2
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+12
(x2− x(0)2
)2 ∂ 2 F1
∂ x22
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+ · · · ,
F2(x1,x2) = F2(x(0)1 ,x(0)2
)+(
x2− x(0)2
)∂ F2
∂ x2
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+(
x1− x(0)1
)∂ F2
∂ x1
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+12
(x2− x(0)2
)2 ∂ 2 F2
∂ x22
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+(
x1− x(0)1
) (x2− x(0)2
)∂ 2 F2
∂ x1 ∂ x2
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+12
(x1− x(0)1
)2 ∂ 2 F2
∂ x21
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
+ · · · .
Radi preglednosti, uvode se oznake
∆ 1 ≡ x1− x(0)1 , ∆ 2 ≡ x2− x(0)2 ,
F(0)1 ≡ F1(x
(0)1 ,x(0)2 ), F(0)
1,1 ≡∂ F1
∂ x1
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
, F(0)1,2 ≡
∂ F1
∂ x2
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
,
F(0)2 ≡ F2(x
(0)1 ,x(0)2 ), F(0)
2,1 ≡∂ F2
∂ x1
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
, F(0)2,2 ≡
∂ F2
∂ x2
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
,
F(0)1,11 ≡
∂ 2 F1
∂ x21
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
, F(0)1,12 ≡
∂ 2 F1
∂ x1 ∂ x2
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
, F(0)1,22 ≡
∂ 2 F1
∂ x22
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
,
F(0)2,11 ≡
∂ 2 F2
∂ x21
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
, F(0)2,12 ≡
∂ 2 F2
∂ x1 ∂ x2
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
, F(0)2,22 ≡
∂ 2 F2
∂ x22
∣∣∣∣x(0)1 ,x(0)2
.
U ovim oznakama, gornji Taylorovi razvoji su
F1(x1,x2) = F(0)1 +∆ 1 F(0)
1,1 +∆ 2 F(0)1,2 +
12
∆ 21 F(0)
1,11 +∆ 1 ∆ 2 F(0)1,12 +
12
∆ 22 F(0)
1,22 + · · · ,
F2(x1,x2) = F(0)2 +∆ 1 F(0)
2,1 +∆ 2 F(0)2,2 +
12
∆ 21 F(0)
2,11 +∆ 1 ∆ 2 F(0)2,12 +
12
∆ 22 F(0)
2,22 + · · · .
Uz pretpostavku da su
F1(x1,x2)' 0, F2(x1,x2)' 0,
1.2 Dvije jednadžbe s dvije nepoznanice 9
i uz zadržavanje samo linearnih clanova u gornjem razvoju, dobiva se 2× 2 sustav linearnihjednadžba za nepoznanice ∆ 1 i ∆ 2 tj. x1 i x2
F(0)1 +∆ 1 F(0)
1,1 +∆ 2 F(0)1,2 ' 0,
F(0)2 +∆ 2 F(0)
2,2 +∆ 1 F(0)2,1 ' 0,
koji se može napisati u obliku matricne jednadžbeF(0)1,1 F(0)
1,2
F(0)2,1 F(0)
2,2
·∆ 1
∆ 2
=−
F(0)1
F(0)2
,s rješenjima
∆ 1
∆ 2
=−
F(0)1,1 F(0)
1,2
F(0)2,1 F(0)
2,2
−1
·
F(0)1
F(0)2
=−1
F(0)1,1 F(0)
2,2 −F(0)1,2 F(0)
2,1
F(0)2,2 −F(0)
1,2
−F(0)2,1 F(0)
1,1
·F(0)
1
F(0)2
∆ 1 =−F(0)
1 F(0)2,2 +F(0)
2 F(0)1,2
F(0)1,1 F(0)
2,2 −F(0)1,2 F(0)
2,1
∆ 2 =F(0)
1 F(0)2,1 −F(0)
2 F(0)1,1
F(0)1,1 F(0)
2,2 −F(0)1,2 F(0)
2,1
.
Tocnija rješenje sustava
x1 = x(0)1 +−F(0)
1 F(0)2,2 +F(0)
2 F(0)1,2
F(0)1,1 F(0)
2,2 −F(0)1,2 F(0)
2,1
x2 = x(0)2 +F(0)
1 F(0)2,1 −F(0)
2 F(0)1,1
F(0)1,1 F(0)
2,2 −F(0)1,2 F(0)
2,1
,
se dalje racunaju iterativno tako da se x(0)j shvati kao M-ta iteracija, a x j kao M+1-va iteracija,gornji izrazi prelaze u
x(M+1)1 = x(M)
1 +−F(M)
1 F(M)2,2 +F(M)
2 F(M)1,2
F(M)1,1 F(M)
2,2 −F(M)1,2 F(M)
2,1
,
x(M+1)2 = x(M)
2 +F(M)
1 F(M)2,1 −F(M)
2 F(M)1,1
F(M)1,1 F(M)
2,2 −F(M)1,2 F(M)
2,1
.
(1.3)
Za dobro odabrane pocetne vrijednosti x(0)j , gornji postupak ce konvergirati.
S F(M)i i F(M)
i, j su oznacene vrijednosti funkcija i njezinih parcijalnih derivacija u tockama x(M)j .
F(M)1 ≡ F1(x
(M)1 ,x(M)
2 ), F(M)1,1 ≡
∂ F1
∂ x1
∣∣∣∣x(M)
1 ,x(M)2
, F(M)1,2 ≡
∂ F1
∂ x2
∣∣∣∣x(M)
1 ,x(M)2
,
F(M)2 ≡ F2(x
(M)1 ,x(M)
2 ), F(M)2,1 ≡
∂ F2
∂ x1
∣∣∣∣x(M)
1 ,x(M)2
, F(M)2,2 ≡
∂ F2
∂ x2
∣∣∣∣x(M)
1 ,x(M)2
,
10 Poglavlje 1. Nelinearni sustavi jednadžba
Slicno se rješavaju i opceniti N×N nelinearni sustavi jednadžba
F1(x1,x2, · · · ,xN) = 0,
F2(x1,x2, · · · ,xN) = 0,
· · ·FN(x1,x2, · · · ,xN) = 0,
∆ 1
∆ 2...
∆ N
=−
F(0)
1,1 F(0)1,2 · · · F(0)
1,N
...
F(0)N,1 F(0)
N,2 · · · F(0)N,N
−1
·
F(0)
1
F(0)2...
F(0)N
.
� Primjer 1.3 S tocnošcu od osam decimala, treba naci jedno rješenje nelinearnog sustavaalgebarskih jednadžba
x2−2√
y = 2, K1,
x1/3 y = 2, K2.
Sa slike 1.3, koja prikazuje zadane jed-nadžbe, se procjeni približna vrijednost rje-šenja
x≡ x(0)1 = 2.1, y≡ x(0)2 = 1.5
Napišimo gornji sustav u obliku
F1(x1,x2) = x21−2√
x2−2 = 0,
F2(x1,x2) = x1/31 x2−2 = 0,
Slika 1.3: Krivulje K1 i K2 iz primjera 1.3
i primjenimo iterativni postupak (1.3). Dobiva se
M x(M)1 x(M)
2
0 2.10000000000000 1.50000000000000,
1 2.12046780121511 1.55692004523456,
2 2.12024551057937 1.55680641375081,
3 2.12024549869346 1.55680641459021,
4 2.12024549869346 1.55680641459021.
Približna rješenja sustava su
x1 ' 2.12024549869346, x2 ' 1.55680641459021,
F1 =−5.8 ·10−15 F2 = 10−16.
Vec u cetvrtom koraku, ponavlja se više od osam decimala. �
2. Svojstvene vrijednosti matrice
MATRICE I NJIHOVE SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI i svojstveni vektori se pojavljuju u razli-citim podrucjima fizike kao što su npr. mehanika (matrica tenzora tromosti), statisticka
fizika (matrica transfera), kvantna mehanika (matrica hamiltonijana), itd.
Podsjetimo se pojmova svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora matrice.Opcenito, djelovanjem N×N matrice A na vektor |s〉, dobit ce se vektor |b〉, pri cemu |b〉opcenito NIJE KOLINEARAN s vektorom |s〉. Ukoliko postoji skup vektora |s j 〉 sa svojstvom daje
A |s j 〉= λ j |s j 〉, j = 1,2, · · · ,N,
gdje su λ j kompleksni skalari, tada se takvi vektori nazivaju desni SVOJSTVENI VEKTORI matriceA, a skalari λ j se nazivaju SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI matrice A.Slicno se i vektori 〈s j |, sa svojstvom
〈s j | A = λ j 〈s j |,
nazivaju lijevi svojstveni vektori matrice A. Ako je A nesimetricna, komponente lijevih i desnihsvojstvenih vektora se medusobno razlikuju.Skalarni umnožak lijevih i desnih svojstvenih vektora se oznacava kao
〈si |s j 〉=N
∑n=1
si(n)s j(n).
2.1 Najveca svojstvena vrijednost i pridruženi svojstveni vektor
ZA RELATIVNO MALE MATRICE, reda 2× 2 ili 3× 3, razmjerno je lako analitickim putemnaci jednu ili sve svojstvene vrijednosti i/ili pridružene svojstvene vektore. S porastom
dimenzije matrice, taj zadatak postaje analiticki nerješiv i potrebne su numericke metode zaracun svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora. Za fizicke primjene (racun slobodne energije,korelacijske dužine, magnetizacije, ....) najcešce je dovoljno znati jednu ili dvije najvece svoj-stvene vrijednosti i njima pridružene svojstvene vektore.
12 Poglavlje 2. Svojstvene vrijednosti matrice
U ovom ce se odjeljku pokazati jednostavan iterativan numericki postupak koji omogucavaracun pojedinih svojstvenih vrijednosti matrice, kao i njima pridružene svojstvene vektore.Neka svojstveni vektori matrice A cine potpun skup.
N
∑i=1|si 〉 〈si |= 1.
Tada se proizvoljan vektor |v(0) 〉 može prikazati kao linearna kombinacija svojstvenih vektora teiste matrice
|v(0) 〉= c1 |s1 〉+ c2 |s2 〉+ · · ·+ cN |sN 〉,
gdje su koeficijenti razvoja, c j, (opcenito kompleksni) skalari.Pogledajmo rezultat uzastopnog djelovanja matrice A na vektor |v(0) 〉
|v(1) 〉 ≡ A |v(0) 〉= c1 λ1 |s1 〉+ c2 λ2 |s2 〉+ · · ·+ cN λN |sN 〉,
|v(2) 〉 ≡ A |v(1) 〉= A2 |v(0) 〉= c1 λ21 |s1 〉+ c2 λ
22 |s2 〉+ · · ·+ cN λ
2N |sN 〉,
|v(3) 〉 ≡ A |v(2) 〉= A3 |v(0) 〉= c1 λ31 |s1 〉+ c2 λ
32 |s2 〉+ · · ·+ cN λ
3N |sN 〉,
...
|v(M) 〉 ≡ A |v(M−1) 〉= AM |v(0) 〉= c1 λM1 |s1 〉+ c2 λ
M2 |s2 〉+ · · ·+ cN λ
MN |sN 〉. (2.1)
Neka su λ j svojstvene vrijednosti matrice A, takve da najveca po iznosu svojstvena vrijednostnije degenerirana
|λ1|> |λ2| ≥ |λ3| ≥ · · · ≥ |λN |. (2.2)
Promotrimo vektor |v(M) 〉
|v(M) 〉=N
∑n=1
cn λMn |sn 〉.
Svaki se svojstveni vektor |sn 〉 može raspisati preko vektora baze |e j 〉,
|s j 〉=N
∑n=1
s j(n) |en 〉, |e1 〉=
100...
, |e2 〉=
010...
, · · · ,tako da vektor |v(M) 〉 postaje
|v(M) 〉=N
∑n=1
cn λMn
N
∑m=1
sn(m) |em 〉
Komponenta i vektora |v(M) 〉 se dobije skalarnim množenjem gornjeg razvoja sa 〈ei |
〈ei |v(M) 〉= v(M)i =
N
∑n=1
cn λMn sn(i).
2.1 Najveca svojstvena vrijednost i pridruženi svojstveni vektor 13
Slicnim postupkom se dobiva i
v(M+1)i =
N
∑n=1
cn λM+1n sn(i).
Napravimo omjer gornja dva izraza
v(M+1)i
v(M)i
=c1 λ
M+11 s1(i)+ c2 λ
M+12 s2(i)+ · · ·+ cN λ
M+1N sN(i)
c1 λ M1 s1(i)+ c2 λ M
2 s2(i)+ · · ·+ cN λ MN sN(i)
=
λM+11
[c1 s1(i)+ c2
(λ2λ1
)M+1s2(i)+ · · ·+ cN
(λNλ1
)M+1sN(i)
]λ M
1
[c1 s1(i)+ c2
(λ2λ1
)Ms2(i)+ · · ·+ cN
(λNλ1
)MsN(i)
]
= λ1
c1 s1(i)+ c2
(λ2λ1
)M+1s2(i)+ · · ·+ cN
(λNλ1
)M+1sN(i)
c1 s1(i)+ c2
(λ2λ1
)Ms2(i)+ · · ·+ cN
(λNλ1
)MsN(i)
.
U skladu sa (2.2), u granici velikog M je
limM→∞
(λn
λ1
)M
= 0, n = 2,3, · · · ,N,
tako da je
limM→∞
v(M+1)j
v(M)j
= λ1, ∀ j = 1,2, · · · ,N.
tj. dobivena je najveca po iznosu svojstvena vrijednost. Malo preciznije napisana, gornja relacija
λ1 =v(M+1)
j
v(M)j
+O
[(λ2
λ1
)M]. (2.3)
pokazuje da ako je λ2 bliska po vrijednosti s λ1, tada ce opisani postupak sporo konvergirati(vidjeti primjer 2.8). Ovaj se postupak naziva Krilovljev1 postupak.Koju komponentu i vektora odabrati? To je u velikoj mjeri svejedno. Zato je dobro λ1 racunatikao aritmeticku sredinu omjera svih N komponenata
λ1 '1N
N
∑n=1
v(M+1)n
v(M)n
. (2.4)
Gornji je izraz utoliko tocniji, što je M veci. Opisani postupak nije primjenjiv na racun kom-pleksnih svojstvenih vrijednosti.
RACUN PRIDRUŽENOG SVOJSTVENOG VEKTORA
Vratimo se relaciji (2.1)
|v(M) 〉 ≡ A |v(M−1) 〉= AM |v(0) 〉= c1 λM1 |s1 〉+ c2 λ
M2 |s2 〉+ · · ·+ cN λ
MN |sN 〉.
1Aleksej Nikolajevic Krilov, 15. VIII 1863. – 26. X 1945., ruski matematicar i mornaricki casnik.
14 Poglavlje 2. Svojstvene vrijednosti matrice
Buduci da je λ1 najveca svojstvena vrijednost, to je
|v(M) 〉= c1 λM1
[|s1 〉+
c2
c1
(λ2
λ1
)M
|s2 〉+ · · ·+cN
c1
(λN
λ1
)M
|sN 〉
]
U granici velikog M je ponovo
limM→∞
(λn
λ1
)M
= 0, n = 2,3, · · · ,N,
tako da za |v(M) 〉 preostaje
|v(M) 〉 ' c1 λM1 |s1 〉,
tj. vektor |v(M) 〉 je kolinearan sa svojstvenim vektorom |s1 〉 (razlikuje se od njega samo do namnoženje skalarom, što se jednostavno eliminara normiranjem vektora).
� Primjer 2.1 S tocnošcu od osam decimala, izracunajte najvecu svojstvenu vrijednost i svoj-stveni vektor matrice A, ako su matrica A i pocetni vektor |v(0) 〉 dani sa
A =
4 1 01 2 10 1 1
, |v(0) 〉=
111
.Gore opisani iterativni postupak (2.4), daje slijedeci niz približnih vrijednosti za najvecu svoj-stvenu vrijednost matrice A
M λ1
1 3.66666666666667
2 3.85000000000000
3 4.04166666666667
4 4.19922779922780
5 4.31084656084656...
25 4.46050468967223
26 4.46050477948683
27 4.46050482457275
28 4.46050484720537
29 4.46050485856670
30 4.46050486426996
⇒ λ1 ' 4.46050486 · · ·
Pridruženi i normirani svojstveni vektor je
|s1 〉=
0.901752650.415261490.12000026
.�
2.1 Najveca svojstvena vrijednost i pridruženi svojstveni vektor 15
� Primjer 2.2 S tocnošcu od osam decimala, treba izracunati najvecu svojstvenu vrijednost isvojstveni vektor matrice A, ako su matrica A i pocetni vektor |v(0) 〉 dani sa
A =
1 2 3 4 5 7 72 3 3 5 6 7 13 0 5 6 7 1 24 5 6 7 0 2 35 6 7 1 2 3 06 0 1 2 3 4 57 0 2 3 4 5 6
, |v(0) 〉=
1111111
.
Gore opisani iterativni postupak, (2.4), daje slijedeci niz približnih vrijednosti za najvecusvojstvenu vrijednost matrice A
M λ1
10 25.4877183561291
11 25.4877201927922
12 25.4877196450560
13 25.4877198082512
14 25.4877197593345
15 25.4877197737392
16 25.4877197694084
⇒ λ1 ' 25.48771977
Pridruženi i normirani svojstveni vektor je približno jednak
|s1 〉=
0.418140490.384774250.355474320.409124390.350762710.313941180.40220518
.
U primjeru 2.1 je omjer λ2/λ1 približno jednak 0.502, dok je u ovom primjeru taj omjer približnojednak 0.322. U skladu s (2.3) taj omjer odreduje brzinu konvergencije iterativnog postupka.Zato je u ovom primjeru bilo potrebno manje iteracija. �
� Primjer 2.3 primjer s kompleksnim matricnim elementima i realnim svojstvenom vrijednostima
dovršiti �
ŠTO AKO JE NAJVECA SVOJSTVENA VRIJEDNOST DEGENERIRANA?dovršiti
� Primjer 2.4 primjer s degeneriranim svojstvenom vrijednostima
dovršiti �
16 Poglavlje 2. Svojstvene vrijednosti matrice
2.2 Pomak ishodišta - najmanja svojstvena vrijednost matrice
JEDINICNA MATRICA, 1, je kvadratna matrica koja na dijagonali ima jedinice, a svi ostalielementi su jednaki nuli. Ako su
λ1 > λ2 ≥ ·· · ≥ λN−1 > λN ,
svojstvene vrijednosti matrice A, tada je ocito da su svojstvene vrijednosti matrice
A−d0 1
jednake
λ j−d0,
gdje je d0 proizvoljan skalar (realan ili kompleksan). Ocito ce za svaki izbor d0, najveca poiznosu svojstvena vrijednost biti
λ1−d0 ili λN−d0.
Ova se jednostavna cinjenica može iskoristiti za racun najmanje ili najvece svojstvene vrijednostimatrice. Ako se gore opisanim postupkom izracuna najveca po iznosu svojstvena vrijednost, λ1,matrice A i za d0 se odabere upravo λ1
d0 = λ1,
koja može biti pozitivna ili negativna, tada se iz najvece (po iznosu) svojstvene vrijednostimatrice
A≡ A−d0 1
može izracunati najveca ili najmanja svojstvena vrijednost matrice A
λ (A) = λ (A)+d0.
� Primjer 2.5 Koristeci gore opisan postupak pomaka ishodišta, s tocnošcu od pet decimaala,treba izracunati najmanju svojstvenu vrijednost matrice iz primjera 2.2.
Iz primjera 2.2 je poznata najveca svojstvena vrijednost matrice A
λ1 ' 25.48771977 = d0 > 0,
koju izjednacimo s pomakom d0 i racunamo najvecu po iznosu svojstvenu vrijednost matrice
A≡ A−25.48771977 · 1.
Dobiva se
M λmax(A)
120 −33.0451517687852
121 −33.0451385853916
122 −33.0451264765731
123 −33.0451153547109
124 −33.0451051393356
125 −33.0450957565425
2.3 Deflacija - racun druge najvece svojstvene vrijednosti 17
⇒ λmin(A) = λmax(A)+d0 =−33.04510+d0 =−33.04510+25.48771977
= −7.55738
�
2.3 Deflacija - racun druge najvece svojstvene vrijednostidovršiti
� Primjer 2.6 primjer s drugom svojstvenom vrijednošcu
dovršiti �
2.4 Kompleksno konjugirane svojstvene vrijednosti
RACUNA SE najveca kompleksno konjugirana svojstvena vrijednost realne matrice A. Kom-pleksno konjugirane svojstvene vrijednosti moraju biti rješenja jednadžbe drugog reda
oblika
λ2− pλ −q = 0. (2.5)
Neka svojstveni vektori matrice A cine potpun skup, tako da se proizvoljni vektor |v(0) 〉 moženapisati kao linearna kombinacija svojstvenih vektora |s j 〉
|v(0) 〉= c1 |s1 〉+ c?1 |s?1 〉+
N
∑j=3
c j |s j 〉.
Višestrukim djelovanjem matrice A na vektor |v(0) 〉, dobiva se vektor
|v(M) 〉 ≡ AM |v(0) 〉.
Buduci da su λ svojstvene vrijednosti matrice A, na temelju jednadžbe (2.5), mora vrijediti ijednadžba(
AM+2− pAM+1−qAM) |v(0) 〉 ' 0, M → ∞
|v(M+2) 〉− p |v(M+1) 〉−q |v(M) 〉 ' 0.
Da bi se dobile vrijednosti dvaju nepoznanica, p i q, potrebne su dvije linearno nezavisnejednadžbe - prva se dobije množenjem gornje jednadžbe s 〈v(M+1) |, a druga množenjem gornjejednadžbe s 〈v(M) |
〈v(M+1) |v(M+2) 〉− p〈v(M+1) |v(M+1) 〉−q〈v(M+1) |v(M) 〉 ' 0,
〈v(M) |v(M+2) 〉− p〈v(M) |v(M+1) 〉−q〈v(M) |v(M) 〉 ' 0.
Rješavanjem gornjeg sustava po p i q, dobiva se
p =〈v(M) |v(M) 〉〈v(M+1) |v(M+2) 〉−〈v(M+1) |v(M) 〉〈v(M) |v(M+2) 〉〈v(M) |v(M) 〉〈v(M+1) |v(M+1) 〉−〈v(M) |v(M+1) 〉〈v(M+1) |v(M) 〉
,
q =〈v(M+1) |v(M+1) 〉〈v(M) |v(M+2) 〉−〈v(M) |v(M+1) 〉〈v(M+1) |v(M+2) 〉〈v(M) |v(M) 〉〈v(M+1) |v(M+1) 〉−〈v(M) |v(M+1) 〉〈v(M+1) |v(M) 〉
.
18 Poglavlje 2. Svojstvene vrijednosti matrice
Pomocu gornjih p i q, svojstvene vrijednosti su
λ± =12
(p±√
p2 +4q)=
12
(p± ı
√|p2 +4q|
).
� Primjer 2.7 Kompleksno konjugirane svojstvene vrijednosti:Koristeci teoriju izloženu u ovom odjeljku, s tocnošcu od osam decimala, treba izracunati najvecusvojstvenu vrijednost matrice
A =
−2 0 0 0 50 1 0 1 01 0 2 0 10 1 0 1 0−5 0 0 0 4
.
M λmax
10 1.00000742618216+ ı3.99999768022200
11 0.999998201368057+ ı3.99999965933591
12 1.00000033569786+ ı4.00000026988249
13 0.999999960188131+ ı3.99999990679834
14 0.999999997945533+ ı4.00000002375806
15 1.00000000305718+ ı3.99999999529501
16 0.999999998844323+ ı4.00000000063830
Najvece svojstvene vrijednosti su
λ1,2 = 1 ± ı4.
�
KONSTRUKCIJA SVOJSTVENIH VEKTORA
dovršiti
2.5 Korjeni polinoma
OSIM ŠTO JE racun svojstvenih vrijednosti matrice važan sam po sebi, on se može iskoristitii za racun nula polinoma. Neka je zadan polinom p(x)
p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 + · · ·+aN−1 xN−1 + xN . (2.6)
Pomocu koeficijenata gornjeg polinoma definira se N ×N PRIDRUŽENA MATRICA P (eng.companion matrix),
P =
0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0
...
0 0 0 · · · 0 1−a0 −a1 −a2 · · · −aN−2 −aN−1
. (2.7)
2.5 Korjeni polinoma 19
Neka je λ j korjen polinoma (2.6)
p(λ j) = 0.
Pokažimo da je λ j ujedno i svojstvena vrijednost matrice P. Pustimo neka P djeluje na Vander-mondeov vektor
|v〉=
1λ j
λ 2j...
λN−2j
λN−1j
,
P |v〉 =
0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0
...
0 0 0 · · · 0 1−a0 −a1 −a2 · · · −aN−2 −aN−1
1λ j
λ 2j...
λN−2j
λN−1j
=
λ j
λ 2j...
λn−1j
−a0−a1λ j−·· ·−aN−1λN−1j
=
λ j
λ 2j...
λN−1jλ N
j
= λ j |v〉.
Ovime je pokazano da je Vandermondeov vektor desni svojstveni vektor matrice P sa svojstve-nom vrijednošcu λ j.
U prethodnim odjeljcima je vec pokazano kako se racuna najveca svojstvena vrijednostmatrice, pa ce isti postupak, primjenjen na gornju matricu dati NAJVECI korjen polinoma p(x).
Pokažimo i kako se istim postupkom može racunati NAJMANJI korjen polinoma p(x). Podje-limo jednadžbu p(x) = 0 s xN
0 = a0 +a1 x+a2 x2 + · · ·+aN−1 xN−1 + xN/
1xN ,
= a01
xN +a11
xN−1 +a21
xN−2 + · · ·+aN−11x+1,
i uvedimo novu varijablu
y =1x,
1+aN−1 y+aN−2 y2 + · · ·+a2 yN−2 +a1 yN−1 +a0 yN = 0,
1a0
+aN−1
a0y+
aN−2
a0y2 + · · ·+ a2
a0yN−2 +
a1
a0yN−1 + yN = 0.
Buduci d a je y = 1/x, to ce najveci korjen gornjeg polinoma u y biti jednak najmanjem korjenupolinom (2.6) u x.
20 Poglavlje 2. Svojstvene vrijednosti matrice
� Primjer 2.8 Realni korjeni:S tocnošcu od osam decimala, treba izracunati najveci i najmanji po iznosu korjen polinomašestog stupnja
p6(x) = (x−11.4)(x+0.808)(x−2.012)(x+22.141)(x−5.606)(x+18.201)
= −41868.72767014616−24058.331088745632x+31257.759080532032x2
−4049.0964856580003x3−248.88155100000006x4 +22.131999999999998x5
+x6.
Pomocu koeficijenata polinoma, konstruirajte pridruženu matricu (2.7), a zatim izvedite iterativnipostupak (2.4). Najveci korjen
M λ1
90 −22.1410001586936
91 −22.1410001304540
92 −22.1410001072397
93 −22.1410000881563
94 −22.1410000724689
95 −22.1410000595730
96 −22.1410000489720
97 −22.1410000402574
Gornji postupak je relativno sporo konvergirao jer je, u skladu s (2.3), konvergencija odredenaomjerom∣∣∣∣λ2
λ1
∣∣∣∣= 18.20122.141
= 0.82205,
što je razmjerno blizu jedinici.Najmanji korjen
M λ1
20 −0.808001199114998
21 −0.807999518437712
22 −0.808000193389350
23 −0.807999922336445
24 −0.808000031188905
25 −0.807999987474827
26 −0.808000005029989
27 −0.807999997980004
28 −0.808000000811211
Primjecuje se da ova iteracija puno brže konvergira nego iteracija za najvecu svojstvenu vrijednost.Razlog tomu je cinjenica da je omjer izmedu najmanje i druge najmanje svojstvene vrijednostipridružene matrice∣∣∣∣λ6
λ5
∣∣∣∣= 0.8082.012
= 0.40159,
otprilike upola manji od omjera druge najvece i najvece svojstvene vrijednosti pridružene matrice.�
2.5 Korjeni polinoma 21
� Primjer 2.9 Kompleksno konjugirani korjeni polinoma:Konstruirajte pridruženu matricu polinoma
p6(x) =[x− (1+ ı)
][x− (1− ı)
][x− (2+2ı)
][x− (2−2ı)
][x− (3+3ı)
][x− (3−3ı)
]= x6−12x5 +72x4−240x3 +484x2−528x+288,
a zatim, koristeci teoriju izloženu u odjeljku 2.4, izracunajte najveci i najmanji po iznosu korjentog polinoma s tocnošcu od osam decimala.
Racun najvece svojstvene vrijednosti pridružene matrice daje najveci korjen polinoma
M λmax
20 3.00000024165598± ı3.00000008029561
21 3.00000005786501± ı3.00000003282927
22 3.00000004773451± ı3.00000001586087
23 3.00000001143013± ı3.00000000648479
24 3.00000000942903± ı3.00000000313300,
što se prepoznaje kao egzaktna vrijednost
λ1,2 = 3± ı3,
a za najmanji korjen
M λmin
10 1.00000796678892± ı0.999992061153931
11 1.00000275436871± ı0.999993887190116
12 1.00000049880291± ı0.999999503860526
13 1.00000017219754± ı0.999999617856649
14 1.00000003118613± ı0.999999968991790
15 1.00000001076296± ı0.999999976114890
16 1.00000000194927± ı0.999999998061993
17 1.00000000067269± ı0.999999998507167,
što se prepoznaje kao egzaktna vrijednost
λ5,6 = 1± ı .
�
� Primjer 2.10 Kompleksno konjugirani korjeni polinoma:Konstruirajte pridruženu matricu polinoma
p12(x) = 24+375x+1826x2 +4385x3 +6778x4 +7176x5 +5838x6 +3580x7
+ 1822x8 +697x9 +216x10 +43x11 +8x12,
a zatim, koristeci teoriju izloženu u odjeljku 2.4, izracunajte najveci i najmanji po iznosu korjentog polinoma s tocnošcu od osam decimala.
22 Poglavlje 2. Svojstvene vrijednosti matrice
Racun najvece svojstvene vrijednosti pridružene matrice daje najveci korjen polinoma
M λmax
20 −0.136204198480837 ± ı2.90475505940091
21 −0.136204136269931 ± ı2.90475512035771
22 −0.136204150891701 ± ı2.90475512759672
23 −0.136204164085559 ± ı2.90475511984896
24 −0.136204161708894 ± ı2.90475511844163,
pa je najveci po iznosu korjen polinoma približno jednak
λmax =−0.136204161708894 ± ı2.90475511844163.
Najmanji po iznosu korjen je realan i zato primjenjeni postupak nije konvergentan. Za racunrealnih nula polinoma, pogledajte odjeljak 1.1.1 i primjer 1.1. �
3. Diferencijalne jednadžbe
dovršiti
4. Ekstrapolacije
4.1 LSA
4.2 BST
4.3 VBS
5. Stohasticki sustavi
POSTOJE SUSTAVI KOD KOJIH JE gibanje cestica odredeno diferencijalnim jednadžbama ipripadnim pocetnim ili rubnim uvjetima. Takvi se sustavi zovu DETERMINISTICKI sustavi.
Npr. gibanje mehanickih sustava je odredeno rješavanjem Newtonove jednadžbe gibanja i pridru-ženih pocetnih uvjeta na položaj i brzinu cestica1. Ili, u elektrodinamici, npr. skalarni potencijalse dobije rješavanjem Poissonove jednadžbe uz zadane rubne uvjete itd.
Za razliku od deterministickh sustava, postoje sustavi cije je osnovno fizicko svojstvo na-sumicnost: nasumicnost odabira smjera gibanja cestice, nasumicnost u prostornom rasporeducestica, nasumicnost iznosa mase pojedine cestice itd. U ovom poglavlju ce bit rijeci upravo otakvim slucajnim, nasumicnim ili STOHASTICKIM sustavima (ako se radi o prostornom raspo-redu) ili procesima (ako se promatra vremenska promjena). Stohasticki se sustav ne mora nužnosastojati od cestica (npr. u magnetizmu se promatraju spinovi pojedinih cestica), pa je uobicajenogovoriti opcenito o STUPNJEVIMA SLOBODE. Najcešce je broj stupnjeva slobode vrlo velik.
Za pocetak, promotrimo primjer difuzije: u šalicu crne kave ulije se malo mlijeka. Kadabismo bili u stanju pratiti gibanje jedne odredene cestice mlijeka, primjetili bismo da je njezinatrajektorija vrlo složena krivulja. Ona se sastoji od pravocrtnih dijelova po kojima se cesticagiba konstantnom brzinom (prvi Newtonov aksiom; nema djelovanja sile), sve dok se ne sudari snekom drugom cesticom mlijeka ili kave. U tom sudaru se njezina brzina mijenja i po iznosui po smjeru, poslije cega se opet giba pravocrtno konstantnom brzinom do slijedeceg sudaraitd. itd. Kao rezultat ovakvih procesa, nakon nekog vremena, crna kava ce postati smeda.Zadatak je pronaci suvisli opis ovih procesa. Svi gore spomenuti medusobni procesi sudaracestica mlijeka i kave su, naravno, u skladu s Newtonovim jednadžbama gibanja i u principubi se njihovim rješavanjem mogao dobiti proizvoljno tocan položaj i proizvoljno tocna brzinasvake cestice mlijeka i kave u svakom vremenskom trenutku (prošlom i buducem). Naravnoda je takav racun prakticki nemoguc - cestica je previše i njihovi položaji i brzine u nekomodredenom trenutku nisu poznati. Cak i kada bi se gornji racuni i proveli, njihov rezultat je opetnetransparentan - što ciniti s približno 1023 položaja i brzina cestica kao funkcije vremena? Kodopisa difuzije (i slicnih stohastickih procesa) nas zanimaju neka druga svojstva sustava (kao
1Vidjeti npr. u [Glua].
28 Poglavlje 5. Stohasticki sustavi
cjeline), a ne tocni položaji i brzine svih njegovih cestica (stupnjeva slobode). Npr. može naszanimati koliko vremena treba proci da se mlijeko i kava potpuno izmješaju. Iz poznavanje onogogromnog broja položaja i brzina, može se dobiti odgovor i na to pitanje, ali to je prekompliciranii prakticki (racunski) nemoguc zadatak. Zato se rješavanju ovog i slicnih zadataka pristupana posve drukciji nacin. Nama zapravo i ne treba tocno poznavanje svojstava svake pojedinetrajektorije cestice, nego nam je dovoljno poznavati nekoliko karakteristicnih SREDNJE VRIJED-NOSTI kojima su opisane trajektorije. Buduci da cestica ima jako puno (reda 1023) to ce i ovesrednje vrijednosti imati vrlo oštre maksimume, tj, njihova ce standardna devijacija biti vrlo mala.
U nastavku ce se nasumicni sudari cestice mlijeka u kavi modelirati procesom koji se nazivaNASUMICNI HOD ili random walk, RW. U tom procesu cestica unutar jedinicnog vremenskogintervala izvodi jedan korak (skok), pri cemu se smjer tog koraka odabire prema unaprijedodredenom pravilu. Ovaj odabir smjera koraka odgovara promjeni smjera brzine promatranecestice uslijed sudara s ostalim cesticama.
5.1 Nasumicni hod u jednoj dimenziji
JEDNA JEDNOSTAVNA DEFINICIJA ovog problema u jednoj dimenziji je slijedeca: cestica segiba u jednoj dimenziji (npr. po segmentu osi x) tako da unutar jednog vremenskog intervala
∆ t, uslijed sudara s drugim cesticama cije gibanje ne pratimo, izvede korak (skok) lijevo ilidesno za jednu jedinicu, tako da je broj koraka N, srazmjeran proteklom vremenu, t,
t = N ∆ t. (5.1)
Ovi koraci, opcenito, ne moraju sve vrijeme biti iste duljine. Vjerojatnost koraka na lijevu stranu(negativan smjer osi x) je q, a na desnu (pozitivan smjer osi x) p = 1− q (slika 5.1). Obicnose vjerojatnosti q i p ne mjenjaju tijekom vremena. Lako se pokazuje2 da je, nakon N koraka,
Slika 5.1: Moguci pomaci cestice u jednoj dimenziji.
x x x x + x
pq
x
t
t + tx x x + x
srednje vrijednost otklona jednaka (isprekidana crta na slikama 5.2 i 5.3)
〈x〉= N(p−q), (5.2)
a srednja vrijednost kvadrata otklona
〈x2 〉= N2−4N(N−1)pq. (5.3)
2Npr. u [Glub].
5.1 Nasumicni hod u jednoj dimenziji 29
Iz (5.2) i (5.3) se dobiva standardna devijacija
σ =√〈x2 〉−〈x〉2 = 2
√N pq. (5.4)
Izrazi (5.2) i (5.3) za 〈x2 〉 sadrže dva granicna ponašanja: ako sudara uopce nema i ako su sudaripotpuno nasumicni.Ako uopce NEMA nasumicnih sudara s okolnim cesticama, promatrana cestica ce stalno skakatisamo na jednu stranu (ili je p = 1 i q = 0 ili je p = 0 i q = 1) i njezina srednja vrijednost otklonai srednji kvadratni otklon su dani sa
〈x〉∣∣∣q=0
= −〈x〉∣∣∣
p=0= N,
〈x2 〉∣∣∣
p=0= 〈x2 〉
∣∣∣q=0
= N2. (5.5)
Naprotiv, ako su sudari POTPUNO nasumicni p = q = 0.5, srednja vrijednost otklona je nula, asrednja vrijednost kvadrata otklona, prema (5.3) nije više kvadratna u N, nego je linearna u N
〈x〉∣∣∣
p=q=0.5= 0,
〈x2 〉∣∣∣
p=q=0.5= N. (5.6)
Sjetimo li se veze izmedu proteklog vremena i broja koraka (5.1), tada (5.5) daje prijedeniput s koji u vremenu t prijede cestica koja se slobodno (bez sudara) giba konstnom brzinom v0
s = v0 t = v0 N ∆ t.
No, to je upravo ono što piše u relaciji (5.5): prijedeni put je3
s∼√〈x2 〉= N ∼ t
srazmjeran broju koraka, tj. linearan je u vremenu, kao što i treba biti.Kada se ukljuce potpuno nasumicni sudari, kao npr. u slucaju difuzije4, dobije se relacija (5.6) izkoje slijedi
s∼√〈x2 〉=
√N ∼√
t, (5.7)
srednji prijedeni put više nije srazmjeran s vremenom nego s kvadratnim korjenom iz proteklogvremena. To je ucinak nasumicnih sudara (difuzije).Gornji izraz daje odgovor npr. na slijedece pitanje: ako je potrebno tR vremena da se mlijeko ikava potpuno izmješaju u šalici polumjera R, koliko vremena treba da se mlijeko i kava potpunoizmješaju u šalici tri puta veceg polumjera?Mlijeko i kava su potpuno izmješani kada je
√〈x2 〉 srazmjeran linarnoj dimenziji šalice√
〈x2 〉 ∼ R∼√
tR,
∼ 3R∼√
t3R,
⇒ t3R ∼ 32 tR.
Bit ce potrebno devet puta više vremena.
3Racuna se s√〈x2 〉, a ne s 〈x〉 zato da se eliminira predznak i zato da se za p = q dobije vrijednost razlicita od
nule.4Ovdje se radi o difuziji u jednoj dimenziji.
30 Poglavlje 5. Stohasticki sustavi
� Primjer 5.1 Napravljen je program koji simulira prvih 1000 koraka jednodimenzijskog nasu-micnog hoda.
• Potrebno je izvesti i nacrtati ovisnost x položaja cestice o proteklom vremenu (brojukoraka) tri RW simulacije za p = 0.5 (difuzija).
• Potrebno je izvesti i nacrtati ovisnost x položaja cestice o proteklom vremenu (brojukoraka) tri RW simulacije za p = 0.6 .
Slika 5.2: Tri nasumicna hoda.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
N
-30
-20
-10
0
10
20
30
x
p = q = 0.5
Slika 5.3: Tri nasumicna hoda.
0 200 400 600 800 1000
N
0
50
100
150
200
250
300
x
p = 0.6, q = 0.4
Na slici 5.2 su prikazana tri nasumicna hoda od N = 1000 koraka u jednoj dimenziji za p = 0.5,tj. kada su vjerojatnosti koraka lijevo i desno su jednake (difuzija). Isprekidana crta prikazuje〈x〉 iz relacije (5.2). Na slici 5.3 su prikazan tri nasumicna hoda od N = 1000 koraka u jednojdimenziji za p = 0.6. Isprekidana crta prikazuje 〈x〉 iz relacije (5.2). �
� Primjer 5.2 Napravljen je program koji simulira prvih 1000 koraka jednodimenzijskog na-sumicnog hoda. Za p = 0.5 (difuzija) izracunat je i nacrtan srednji otklon i srednji kvadratniotklon od pocetnog položaja kao funkciju broja koraka. Srednje vrijednosti su izracunate iz 2000razlicitih RW .
Isprekidana crta je srednja vrijednost otklona x nakon N koraka. U skladu s (5.2) i (5.3)
Slika 5.4: Srednja vrijednost 〈x〉 izracunatapreko 2000 RW . Isprekidana crta je egzaktnavrijednost 〈x〉= 0.
Slika 5.5: Srednja vrijednost 〈x2 〉 izracunatapreko 2000 RW . Isprekidana crta je egzaktnavrijednost 〈x2 〉= N.
5.1 Nasumicni hod u jednoj dimenziji 31
〈x〉 = N(p−q) = 0,
〈x2 〉 = N2−4N(N−1)pq = N,
σ =√〈x2 〉−〈x〉2 =
√N.
Numericki,
〈x〉n =1
NRW
NRW
∑i=1
xn,i, 〈x2 〉n =1
NRW
NRW
∑i=1
x2n,i.
Na slici 5.4 se vidi simulacije za 〈x〉, a na slici 5.5 se vidi simulacije za 〈x2 〉, kao i analitickirezultati (isprekidane crte).Sa slike 5.4 se vidi da 〈x〉 ima ocekivanu vrijednost 0 s tocnošcu puno vecom od σx =
√N. Sa
slike 5.5 se vidi i da 〈x2 〉 slijedi ocekivanu linearnu ovisnost o N. �
� Primjer 5.3 Napravljen je program koji simulira prvih 1000 koraka jednodimenzijskog nasu-micnog hoda. Za p = 0.6 izracunati su i nacrtani srednji otklon i srednji kvadratni otklon odpocetnog položaja kao funkciju broja koraka. Srednje vrijednosti izracunate su iz 10 razlicitihRW .
Isprekidana crta je srednja vrijednost otklona x nakon N. U skladu s (5.2) i (5.3)
Slika 5.6: Srednja vrijednost 〈x〉 izracunatapreko 10 RW . Isprekidana crta je egzaktna vri-jednost 〈x〉= 0.2N.
Slika 5.7: Srednja vrijednost 〈x2 〉 izracunatapreko 10 RW . Isprekidana crta je egzaktna vri-jednost 〈x2 〉= N +N(N−1)/25.
〈x〉 = 0.2 N,
〈x2 〉 = N2−4N(N−1)pq = N +N(N−1)
25,
σ =√〈x2 〉−〈x〉2 = 2
5
√6N.
Numericki,
〈x〉n =1
NRW
NRW
∑i=1
xn,i, 〈x2 〉n =1
NRW
NRW
∑i=1
x2n,i.
Na slici 5.6 se vidi simulacije za 〈x〉, a na slici 5.7 se vidi simulacije za 〈x2 〉, kao i analitickirezultati (isprekidane crte).Sa slike 5.6 se vidi da 〈x〉 ima ocekivanu vrijednost 0.2 N s tocnošcu puno vecom od σ = 30.9839.Sa slike 5.7 se vidi i da 〈x2 〉 slijedi ocekivanu kvadratnu ovisnost o N. �
32 Poglavlje 5. Stohasticki sustavi
5.2 Nasumicni hod u dvije dimenzijedovršiti
� Primjer 5.4 U pocetnom trenutku cestica se nalazi u ishodištu (x,y) ravnine, a zatim se pocinjenasumicno gibati za korake jedinicnog iznosa u x i y smjeru. Vjerojatnost koraka u pozitivnomsmjeru osi x je px, a u negativnom smjeru qx = 1− px. Vjerojatnost koraka u pozitivnom smjeruosi y je py, a u negativnom smjeru qy = 1− py. Jednako je vjerojatno da cestica napravi skok usmjeru osi x, kao i u smjeru osi y. Napravljen je program koji simulira prvih 10000 koraka tridvodimenzijska nasumicnog hoda, pri cemu je(a) px = py = 0.5. Nacrtajte rezultat.(b) px = 0.6, py = 0.7. Nacrtajte rezultat.
Na donjim slikama su prikazan tri primjera dvodimenzijskog nasumicnog hoda: na slici 5.8 zapx = py = 0.5, a na slici 5.9 za px = 0.6, py = 0.7. �
Slika 5.8: 2D RW: px = py = 0.5
-200 -100 0 100 200
x
0
50
100
150
200
y
Slika 5.9: 2D RW: px = 0.6, py = 0.7
0 500 1000
x
0
500
1000
1500
2000
y
5.3 Nasumicni hod bez samopresjecanja u dvije dimenzijedovršiti
6. Perkolacija
dovršitiSlika 6.1: Kvadratna rešetka dimenzija 40,ciji su cvorovi zauzeti s vjerojatnošcu p =0.2.
Slika 6.2: Kvadratna rešetka dimenzija 40,ciji su cvorovi zauzeti s vjerojatnošcu p =0.4.
Slika 6.3: Kvadratna rešetka dimenzija 40,ciji su cvorovi zauzeti s vjerojatnošcu p =0.6.
Slika 6.4: Kvadratna rešetka dimenzija 40,ciji su cvorovi zauzeti s vjerojatnošcu p =0.8.
7. Fazni prijelazi
7.1 Isingov model
VJEROJATNO NAJJEDNOSTAVNIJI MODEL magnetizma jeste Isingov model. U ovom mo-delu se promatra sustav cestica koje su karakterizirane samo jednom svojim svojstvom -
intrinsicnim magnetskim momentom (spinom), S, koji, u prikladnim jedinicama ima vrijednostiS =+1 ili S =−1. Uobicajeno je vrijednost +1 oznacavati s ↑ i nazivati spin up, a vrijednost−1 oznacavati s ↓ i nazivati spin down. Nadalje se pretpostavlja da cestice medudjeluju jedna sdrugom, a energija tog medudjelovanja jednog para cestica je dana izrazom
−Ji, j Si S j. (7.1)
U gornjem izrazu je Ji, j konstanta vezanja koja daje intenzitet medudjelovanja, Si spin cesticena mjestu i, a S j je spin cestice na mjestu j. Mjesta i i j jesu koordinate položaja cestice ud-dimenzijskoj rešetci. Ako je Ji, j > 0 sustav se naziva FEROMAGNETSKI, a ako je Ji, j < 0sustav se naziva ANTIFEROMAGNETSKI. Kod feromagneta, paralelan smjer spinova Si i S j
Si S j = ↑ ↑= (+1)(+1) = +1,
Si S j = ↓ ↓= (−1)(−1) = +1,
snižava energiju i na taj nacin stabilizira sustav.Kod antiferomagneta, antiparalelan smjer spinova Si i S j
Si S j = ↑ ↓= (+1)(−1) =−1,
Si S j = ↓ ↑= (−1)(+1) =−1,
snižava energiju i na taj nacin stabilizira sustav.Energija cijelog sustava je jednostavno zbroj parnih medudjelovanja svih cestica tog sustava
E =−N
∑i=1
N
∑j=1
Ji, j Si S j,
36 Poglavlje 7. Fazni prijelazi
U gornjem zbroju se izostavlja clan i = j. Odabir vrijednosti za Ji, j karakterizira sustav.(1) Jedna je mogucnost da se promatraju sustavi u kojima cestica medudjeluje samo sa svojimprvim susjedima: Ji, j = J0, ako su Si i S j prvi susjedi, a inace je nula
E =−J0 ∑<i, j>
Si S j, (7.2)
(uobicajeno je zbroj po prvim susjedima oznacavati s < i, j >). To su short− range,SR, modeliili modeli s medudjelovanjem kratkog dosega.(2) Moguce je i promatrati modele u kojima svaka cestica medudjeluje sa svakom drugomcesticom, tako da jakost medudjelovanja opada s medusobnom udaljenošcu cestica kao nekapotencija te udaljenosti
E =−N
∑i=1
N
∑j=1
J0
|i− j|d+σSi S j.
Prostorna dimenzija sustava je d, a eksponent σ opisuje intenzitet medudjelovanja. To sulong− range,LR, modeli ili modeli s medudjelovanjem dugog dosega. I ovdje se izostavlja clani = j.(3) Slijedeca mogucnost je da sve cestice medudjeluju jedna s drugom istom jakošcu bez obzirana njihovu medusobnu udaljenost
E =−J0
N
N
∑i=1
N
∑j=1
Si S j.
Ovakvi se modeli zovu modeli srednjeg polja ili mean− f ield, MF modeli. Primjetimo da kodovih modela, jakost vezanja, J0/N, ovisi o broju cestica, N. Takav odabir konstante veze jenužan kako bi energija bila aditivna velicina (srazmjerna broju cestica).Moguce je definirati modele u kojima postoje razlicite kombinacije ovih medudjelovanja. Npr.cestice djeluju feromagnetski s prvim susjedima, antiferomagnetski s drugim najbližim susjedima,a s ostalim cesticama ne medudjeluju. Ili, kod dvodimenzijskih modela može medudjelovanje usmjeru osi x biti drukcije od medudjelovanja u smjeru osi y, itd. itd.U ovom ce se odjeljku razmatrati samo modeli s feromagnetskim kratkodosežnim medudjelova-njem oblika (7.2).
Kada bi feromagnetsko medudjelovanje (7.1) bilo jedino što djeluje na cestice, stabilnakonfiguracija sustava bi bila ona u kojemu su ili sve cestice u stanju ↑ ili ona u kojoj su svecestice u stanju ↓. Obje konfiguracije imaju istu energiju, koja je npr. za dvodimenzijskukvadratnu rešetku jednaka
E =−J0 2N.
Ova se energija naziva energija osnovnog stanja ili energija sustava na temperaturi apsolutnenule. Buduci da postoje dvije konfiguracije koje ostvaruju energiju osnovnog stanja, kaže se daje ona dvostruko degenerirana.Na svakoj konacnoj temperaturi dolazit ce do temperaturnih fluktuacija - nasumicnih promjenasmjera spinova. Ove fluktuacije su utoliko vece ukoliko je temperatura viša. Tako se dolazi doslike u kojoj je stanje sustava odredeno djelovanjem dvaju mehanizama: mehanizam feromagnet-skog medudjelovanja koji uvodi red u sustav (želi posložiti spinove tako da svi gledaju u istomsmjeru) i mehanizam temperaturnih fluktuacija koji uvodi nered u sustav (nasumicno mijenjasmjer spinova). Stabilno stanje sustava na konacnoj temperaturi više nece bito ono s minimalnom
7.1 Isingov model 37
energijom, nego ono s minimalnom vrijednoscu jedne velicine koja se naziva HELMHOLTZOVA
SLOBODNA ENERGIJA1 s oznakom F
F = E−T S
i koja se, za T = 0, svodi na energiju. Entropija sustava je oznacena s S.Na vrlo visokim temperaturama, T →∞, pobjeduje nered i spinovi ce biti nasumicno rasporedeni
Slika 7.1: Simulacije stabilnih konfiguracija 100×100 2D Isingova modela na kvadratnoj rešetkina T = 1.5 < Tc (lijevo), T = 2.25 ' Tc (sredina) i T = 4.00 > Tc (desno). Crni kvadraticioznacavaju S =+1, a bijeli S =−1.
u prostoru, tako da ima podjednako mnogo onih s vrijednošcu +1, kao i onih s vrijednošcu−1. Naprotiv, na niskim temperaturama, sustav ce biti gotovo potpuno ureden - velika vecinaspinova ce imati vrijednost +1 ili −1. Izmedu ove dvije krajnosti postoji jedna temperatura,Tc, kod koje je djelovanje ova dva suprotna mehanizma izjednaceno i koja se naziva KRITICNA
TEMPERATURA. Na slikama 7.1 se vidi ilistracija gore opisanog procesa, na konacnom sustavusa 100 × 100 cestica.Na temperaturama ispod kriticne, broj cestica spina ↑ više nije isti kao i broj cestica spina ↓.Da bi se ovo razmatranje preciziralo, zgodno je uvesti pojam MAGNETIZACIJE, M. Za Isingovemodele, magnetizacija se definira kao razlika broja cestica sa spinovima ↑ i ↓
M = N↑−N↓.
Ova definicija je u skladu s intuitivnom predodžbom makroskopske magnetizacije kao zbrojamikroskopskih magnetskih momenata gradivnih cestica tvari. Umjesto same magnetizacije,uobicajeno je koristiti GUSTOCU MAGNETIZACIJE, m, koja se definira kao magnetizacija pocestici
m =MN
=N↑−N↓
N.
Ako su na T = 0 sve cestice u stanju ↑, tada je N↑ = N,N↓ = 0 i gustoca magnetizacije imavrijednost m = +1. Ako su na T = 0 sve cestice u stanju ↓, tada je N↑ = 0,N↓ = N i gustocamagnetizacije ima vrijednost m = −1. Na vrlo visokim temperaturama je N↑ = N↓ = N/2 igustoca magnetizacije je jednaka nuli. Dakle
−1≤ m≤+1.
Da bi se uklonila ova simetrija na zamjenu
↑� ↓,
umjesto gustoce magnetizacije, promatra se apsolutna vrijednost gustoce magnetizacije
|m|=
∣∣∣N↑−N↓∣∣∣
N⇒ 0≤ |m| ≤+1. (7.3)
1navesti ref.
38 Poglavlje 7. Fazni prijelazi
Vezano za prethodno uvedeni pojam kriticne temperature Tc, može se reci da za apsolutnuvrijednost gustoce magnetizacije vrijedi (dodati sliku magn za fp1 i fp2)
|m|=
0, T ≥ Tc
≥ 0, T < Tc.
Velicine koje imaju gornje svojstvo, da su jednake nuli iznad Tc, a vece od nule ispod Tc, opcenito
Slika 7.2: Uz definiciju faznih prijelaza prvog i drugog reda.
| m |
TTc
0
1
| m |
TTc
0
1fazni prijelaz 2. reda fazni prijelaz 1. reda
se nazivaju PARAMETAR REDA. Apsolutna vrijednost Isingove gustoce magnetizacije je jedanprimjer parametra reda. Prijelaz sustava iz stanja u kojemu je parametar reda jednak nuli u stanjeu kojemu je parametar reda veci od nule, naziva se FAZNI PRIJELAZ. U gore izloženo primjeruIsingova modela radi se o temperaturnom faznom prijelazu (fazni prijelaz ne mora izazvati samotempertaura; do prijelaza može doci i uslijed promjene tlaka, vanjskog polja ili nekog drugogintenzivnog parametra). Ako se parametar reda kontinuirano mijenja u tocki prijelaza (kao naslici 7.2, lijevo), tada se prijelaz naziva prijelazom drugogo reda. Naprotiv, ako u tocki prijelazadolazi do diskontiuirane promjene parametra reda (kao na slici 7.2, desno), prijelaz se nazivaprijelaz prvog reda.
Za potrebe simulacija u ovom odjeljku, promatrat ce se dvodimenzijski SR Isingov modelna kvadratnoj rešetki s periodicnim rubnim uvjetima. Na slici 7.3 lijevo se vidi 4×4 kvadratana
Slika 7.3: Dvodimenzijski SR Isingov model na kvadratnoj rešetki s periodicnim rubnim uvje-tima.
1 2 3 4 1
5 6 7 8 5
9 10 11 12 9
13 14 15 16 13
1 2 3 4
rešetka. Crnim kružicima su oznaceni periodicni rubni uvjeti. Položaj svake cestice na cvorurešetke je odreden dvama indeksima
Sn,m, n = 1,2, · · · ,Nx m = 1,2, · · · ,Ny.
7.1 Isingov model 39
Primjetimo da se cijela rešetka može izgraditi od elemenata poput crveno oznacenog elementa saslike 7.3. Iz tog slijedi da je energija cijelog sustava dana izrazom
E = −J0
Nx
∑n=1
Ny
∑m=1
Sn,m Sn+1,m− J0
Ny
∑m=1
Ny
∑n=1
Sn,m Sn,m+1, (7.4)
p. b. c. SNx+1,m ≡ S1,m Sn,Ny+1 ≡ Sn,1,
Prvi clan desne strane gornjeg izraza predstavlja medudjelovanja u smjeru osi x, a drugi clan sumedudjelovanja u smjeru osi y. Model opisan gornjom energijom se zove IZOTROPNI modelzato jer su medudjelovanja u smjeru osi x i y medusobno jednaka. Anizotropni model bi bio npr.model kod kojega bi vezanje u smjeru osi x bilo Jx = J0, a vezanje u smjeru osi y Jy = J0/3 ilišto slicno (tada bi i rešetku umjesto kao kvadratnu bilo zgodnije prikazati kao pravokutnu).
� Primjer 7.1 Postavite Isingove spinove u dvodimenzijsku kvadratnu rešetku s Nx = 100,Ny =100. Svakom spinu nasumice pridružite vrijednost spina +1 ili −1. Rezultat prikažite grafickitako što cete spinove +1 oznaciti crnim, a spinove −1 bijelim kvadraticem.To je simulacija konfiguracije Isingovih spi-nova na temperaturi T = ∞. Izracunajte iispišite iznos apsolutne vrijednosti gustocemagnetizacije za pet nasumicnih konfigura-cija (ali nacrtajte samo jednu od njih, kaona slici 7.4). Prebrojte koliko ima S =+1, akoliko S =−1 spinova i zatim, prema (7.3),izracunajte
|m|=
∣∣∣N↑−N↓∣∣∣
100 ·100.
Trebate dobiti rezultate slicne ovima.
Slika 7.4: Simulacija 2D Isingova modelana temperaturi T = ∞.
|m1| = 0.0004,
|m2| = 0.0146,
|m3| = 0.0132,
|m4| = 0.0064,
|m5| = 0.0090,
〈 |m| 〉 ≡ 15
5
∑i=1|mi| ' 0.0087.
Apsolutna vrijednost gustoce magnetizacije nije tocno jednaka nuli jer se radi o konacnom sustavu(sa 10000 cestica). Konacan iznos magnetizacije na vrlo visokoj temperaturi, predstavlja mjerutocnosti (pozadinski šum) za simulacije na konacnim temperaturama u slijedecim odjeljcima. �
� Primjer 7.2 Postupite slicno kao u primjeru 7.1, samo bez crtanja, a broj cestica neka budeNx = Ny = 1000. Što primjecujete iz usporedbe 〈 |m| 〉 u oba zadatka? Objasnite!
40 Poglavlje 7. Fazni prijelazi
|m1| = 0.000834,
|m2| = 0.001174,
|m3| = 0.000890,
|m4| = 0.000340,
|m5| = 0.001282,
〈 |m| 〉 ≡ 15
5
∑i=1|mi|= 0.000904.
�
� Primjer 7.3 Temperaturi apsolutne nule odgovara konfiguraciji u kojoj ili svi spinovi imajuvrijednost +1 ili svi imaju vrijednost −1. U skladu sa (7.4), vrijednost energije je
E0 =−J0 Nx ·Ny ·2.
Sastavite program koji ce to izracunati.Na beskonacno visokoj temperaturi, vrijednosti spinova ce bit potpuno nasumicne, pa ce iumnošci spinova iz (7.4) imati nasumicne vrijednosti +1 ili −1, koje ce se kod oduzimanja u(7.4) u velikoj mjeri poništiti i ocekujemo da ce E∞ oscilirati oko nule, a da ce po iznosu biti
|E∞ |<< |E0 |.
Racun na 100×100 rešetki daje
E0
J0=−20000,
E∞
J0= −152,
= +164,
= −116,
= −28,
= −208,
= +188,
= +92.
Navodimo više vrijednosti za E∞ jer one ovise o slucajnoj konfiguraciji, dok je konfiguracijakoja daje E0 fiksna. �
7.2 Monte Carlo simulacije - Metropolisov algoritam
Pokažimo sada kako se može simulirati ravnotežna (stabilna) konfiguracija Isingovog modela nakonacnoj temperaturi. Ovaj postupak je jedan primjer simulacija koje se nazivaju Monte Carlo(MC) simulacije, jer u biti pociva na slucajnom odabiru2 relevantnih fizickih velicina. Simulacijese mogu izvoditi pomocu razlicitih algoritama (Metropolis, Wolff, Swendsen-Wang, itd. ), a uovom odjelju ce se govoriti samo o Metropolisovom3 algoritmu kao najjednostavnijem.
2Poput bacanja kocke u kockarnicama - odakle i potjece ime metode.3Nicholas Constantine Metropolis (11. VI 1915. – 17. X 1999.) grcko-americki fizicar.
7.2 Monte Carlo simulacije - Metropolisov algoritam 41
Algoritam se sastoji u slijedecem:
(1) Postavi se proizvoljna pocetna konfigu-racija spinova i izracuna njezina pocetnaenergija Estara. Za pocetnu konfiguraciju seobicno odabire ili potpuno nasumicna kon-figuracija, koja je stabilna na beskonacnojtemperaturi, ili se odabire potpuno uredenakonfiguracija (svi su spinovi ↑≡ +1 ili susvi ↓≡ −1), koja je stabilna na temperaturiapsolutne nule.
Slika 7.5: N. C. Metropolis.
(2) Odabere se jedan spin u rešetci, nazovimo ga S0, i njegova se vrijednost promjeni S0 → −S0.
(3) Izracuna se nova energija sustava Enova i razlika energija ∆E ≡ Enova−Estara.
(4) Ako je ∆E ≤ 0, zadržava se konfiguracija s novom vrijednošcu −S0.
(5) Ako je ∆E > 0, i ako je exp(−∆E/kBT ) ≥ r, gdje je r slucajno odabrani broj iz inter-vala (0,1), opet se zadržava nova konfiguracija s vrijednošcu −S0.
(6) Ako nije ispunjen uvjet iz (4) niti uvjet iz (5), nova konfiguracija se odbacuje, a zadr-žava se stara konfiguracija s vrijednošcu S0.
(7) Vracamo se na tocku (2).
Kaže se da je izveden JEDAN MC KORAK kada se gore opisani postupak (jedan spin flip)izvede u prosjeku po jedan puta nad svima od N = Nx ·Ny spinova sustava.
� Primjer 7.4 Postavite potpuno nasumicnu pocetnu konfiguraciju 2D isingovog modela sNx = Ny = 10. Izvedite niz od 1000 MC koraka za tri razlicite (bezdimenzijske) temperature:T = 1.5,T = 2.25 i T = 4.0. Za 2D isingov model je (bezdimenzijska) Tc ' 2.25.
T = 1.50 < Tc K ≡ J0
kB T=
11.50
,
Slika 7.6: Simulacije gustoce magnetizacije10×10 Isingova modela na T < Tc .
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
MC koraci (vrijeme)
-1
-0.5
0
0.5
1
m
42 Poglavlje 7. Fazni prijelazi
T = 2.25' Tc K ≡ J0
kB T=
12.25
,
Slika 7.7: Simulacije gustoce magnetizacije10×10 Isingova modela na T ' Tc .
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
MC koraci (vrijeme)
-1
-0.5
0
0.5
1
m
T = 4.00 > Tc K ≡ J0
kB T=
14.00
,
Slika 7.8: Simulacije gustoce magnetizacije10×10 Isingova modela na T > Tc .
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
MC koraci (vrijeme)
-1
-0.5
0
0.5
1
m
U svakom koraku racunajte gustocu magnetizacije. Graficki prikažite vrijednost gustocu magne-tizacije u svakom MC koraku. Što opažate na srednjoj slici? Kako to objašnjavate? �
� Primjer 7.5 Za iste parametre kao u zadatku 7.4, racunajte i nacrtajte apsolutnu vrijednostgustoce magnetizacije u svakom MC koraku (slika 7.9). Što opažate? Kako to objašnjavate? �
Slika 7.9: Simulacije apsolutne vrijednosti gustoce magnetizacije 10×10 Isingova modela naT < Tc (lijevo), T ' Tc (sredina) i T > Tc (desno).
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
MC koraci (vrijeme)
0
0.5
1
| m |
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
MC koraci (vrijeme)
-1
-0.5
0
0.5
1
| m |
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
MC koraci (vrijeme)
0
0.5
1
| m |
� Primjer 7.6 Postavite proizvoljnu konfiguraciju 2D Isingovog modela s Nx = Ny = 10. Zaniz temperatura iz intervala 0.1≤ T ≤ 5.0 izracunajte gustocu magnetizacije usrednjenu preko
7.2 Monte Carlo simulacije - Metropolisov algoritam 43
NMC = 1000 MC koraka
〈 m 〉= 1NMC
NMC
∑i=1
mi.
Nacrtajte ovisnost 〈 m 〉 o temperaturi. Na slici 7.10 se jasno vidi simetrija modela na zamjenuS → −S. �
Slika 7.10: MC usrednjenje gustoce magnetizacije, kao funkcija temperature. Prikazani surezultati za dvije MC simulacije (crveni i plavi kružici).
8. Numericka integracija
8.1 Trapezna formula
dovršiti
8.2 Monte Carlo postupak
8.2.1 Monte Carlo postupak, D = 1PRVI NACIN
Kao što je poznato iz matematicke analize (teorem srednje vrijednosti), vrijednost odredenogintegrala, I, nenegativne funkcije f (x),
I =∫ b
af (x) d x = (b−a)〈 f 〉. (8.1)
geometrijski odgovara površini S ispod kri-vulje f (x) na intervalu a≤ x≤ b, slika 8.1.Srednja vrijednost 〈 f 〉 se racuna MonteCarlo postupkom - nasumice se odabere Nvrijednosti xn ∈ (a,b) tako da je
〈 f 〉= 1N
N
∑n=1
f (xn), (8.2)
I ' b−aN
N
∑n=1
f (xn). (8.3)
Slika 8.1: Racun odredenog integrala.
x
f(x)
a b
< f(x)>
S0
S
Gornji je rezultat utoliko tocniji, što je N veci.
� Primjer 8.1 Koristeci gore opisani Monte Carlo postupak, izracunat ce se integral∫ 1
0x2 d x,
46 Poglavlje 8. Numericka integracija
s tocnošcu od tri decimale.
Egzaktna vrijednost gornjeg integrala je 1/3. Primjena relacije (8.3) za približnu vrijednostintegrala daje
N IN δ
100 0.366763810371095 10.02911 000 0.336471614083027 0.9415
10 000 0.333324589416485 0.0026100 000 0.333524238988716 0.0573
1 000 000 0.333303263154349 0.009010 000 000 0.333355945999878 0.0068
100 000 000 0.333340208893048 0.0020
δ =
∣∣IN−1/3∣∣
1/3100 (%)
�
MALO OPCENITIJI PRISTUP
Ponovo je zadatak izracunati integral
I =∫ b
af (x) d x = (b−a)〈 f 〉,
ali sada podintegralna funkcije može biti i pozitivna i negativna (kao npr. funkcija sa slike
Slika 8.2: Besselova funkcija reda ν = 3.03.
8.2).Opet se može koristiti (8.1), ali ce sada zbroj (8.2) sadržavati i pozitivne i negativnedoprinose, ovisno o vrijednosti x. Takav pristup ne mora uvijek biti jednostavan, jer položajinula mogu biti nepoznati ili poznati samo numericki. Zato je, cesto, jednostavnije primjenitislijedeci postupak u kojemu ce se i nezavisna varijabla i funkcija normirati na interval [0,1].Postupak se sastoji od dva koraka
1. redefinirati interval [a,b] → [0,1],2. pomocu f definirati funkciju ψ , stalno pozitivnu na intervalu [0,1].
8.2 Monte Carlo postupak 47
(1)Umjesto x, prelazi se na novu varjablu ξ , tako da je
x = a+(b−a)ξ , dx = (b−a)dξ ,
x = a⇒ ξ = 0,
x = b⇒ ξ = 1.
(2)Funkcija f (x) je ogranicena u smislu da vrijedi
− fmin ≤ f (x)≤ fmax, ∀x ∈ [a,b]
i pozitivne fmin i fmax. Relacijom
f (x) = − fmin +( fmin + fmax)ψ(x),
f (x) = − fmin⇒ ψ(x) = 0,
f (x) = fmax⇒ ψ(x) = 1.
uvodi se nenegativna funkcija ψ . Prijezom s varijable x na varijablu ξ i prijelazom s funkcije fna funkciju ψ , polazni integral I postaje
I =− fmin · (b−a)+( fmin + fmax)(b−a)∫ 1
0ψ(a+(b−a)ξ
)dξ .
Ponovo, primjenom teorema o srednjoj brijednosti (8.1),∫ 1
0ψ(a+(b−a)ξ
)dξ = (1−0) 〈ψ 〉,
pri cemu je, prema (8.2),
〈ψ 〉= 1N
N
∑n=1
ψ(a+(b−a)ξn
),
a ξn je niz slucajnih brojeva iz intervala [0,1]. Konacno, približna vrijednost integrala I je jednaka
IN =− fmin · (b−a)+( fmin + fmax)b−a
N
N
∑n=1
ψ(a+(b−a)ξn
). (8.4)
� Primjer 8.2 Koristeci gore opisani Monte Carlo postupak, izracunat ce se integral∫ 4
1(x−3) d x,
s tocnošcu od tri decimale. Egzaktna vrijednost gornjeg integrala je −3/2.
a = 1,b = 4, fmin = 2, fmax = 1,ψ(1+3ξ ) =f (1+3ξ )+2
3= ξ .
Primjena relacije (8.4) za približnu vrijednost integrala daje
IN =−6+9N
N
∑n=1
ξn,
48 Poglavlje 8. Numericka integracija
no, srednja vrijednost slucajnog broja,
limN→∞
1N
N
∑n=1
ξn
je jedna polovina, što ponovo daje egzaktni rezultat IN =−3/2. Za konacni N, numericki racundaje
N IN δ
100 -1.618233302026061 000 -1.54143379425444
10 000 -1.50199580787979100 000 -1.49600271765310
1 000 000 -1.4993329722389210 000 000 -1.49967273404606
100 000 000 -1.50010334456128
δ =
∣∣IN−3/2∣∣
3/2100 (%)
�
DRUGI NACIN
Isti integral,
I =∫ b
af (x) d x (8.5)
se može numericki izracunati i malo drukcije.
Iz teorije vjerojatnosti (vidjeti npr. [Glub]) je takoder poznato da je vjerojatnost da nasumicnoodabrana tocka sa slike 8.1 padne u osjenceno podrucje S, jednaka omjeru površina osjencenog icitavog podrucja (S0)
P =SS0
.
Ova nam cinjenica omogucava vrlo jednostavan nacin približnog racuna integrala (8.5): podrucjeS0 sa slike 8.1 se ispuni s N0 nasumice odabranih tocaka; neka N tocaka pada u podrucje S: tadaje i
NN0' S
S0. (8.6)
Gornji je racun utoliko tocniji što je N0 veci. tj.
limN0→∞
NN0
=SS0
.
No, površina S geometrijski odgovara integralu I iz (8.5), pa je zato
IN ≡ S =NN0
S0 (8.7)
8.2 Monte Carlo postupak 49
približna vrijednost traženog integrala. Povecavajuci broj N, tj. N0, dobivat ce se sve tocnijevrijednosti integrala
I = limN0→∞
IN .
� Primjer 8.3 Koristeci gore opisani Monte Carlo postupak, izracunjate integral∫ 1
0x2 d x,
s tocnošcu od tri decimale.
Egzaktna vrijednost gornjeg integrala je 1/3. Primjena relacije (8.7) za približnu vrijednostintegrala daje
N0 IN
1000 0.342
10000 0.3285
100000 0.32863
1000000 0.33021
10000000 0.3307298
100000000 0.33272799
Primjetimo da je gornja konvergencija slabija nego u primjeru 8.1. �
� Primjer 8.4 Koristeci gore opisani Monte Carlo postupak, izracunjate integral
4∫ 1
0
√1− x2 d x,
s tocnošcu od tri decimale.
Egzaktna vrijednost gornjeg integrala je π = 3.141592653589793 · · · . Primjena relacije (8.7)za približnu vrijednost integrala daje
N0 IN
1000 3.224
10000 3.1624
100000 3.14272
1000000 3.132844
10000000 3.1298796
100000000 3.13448876
200000000 3.1349202
300000000 3.1357303
�
50 Poglavlje 8. Numericka integracija
8.2.2 Monte Carlo postupak, D > 1Metoda izložena u prethodnom odjeljku, ce se sada poopciti na racun D-dimenzijskih integrala,gdje je D > 1.
Zadatak je izracunati numericki vrijednost višestrukog odredenog integrala, I, funkcije
f (x1,x2, · · · ,xD).
I =∫
Sf (x1,x2, · · · ,xD) dx1 dx2 · · ·dxD.
Podrucje integracije, S, je takvo da za nezavisne varijable xd postoje konstante ad i Ad sasvojstvom da su
ad ≤ xd ≤ Ad , d = 1,2, · · · ,D.
Geometrijski, gornji integral je volumen ravnog hipercilindra u D+1 dimenzijskom prostoru
Slika 8.3: Simbolicki prikaz volumena ravnog hipercilindra u D+1 dimenzijskom prostoru.
xD
f
x1
f(xd)
I0
a1
A1
aD
AD
S
(slika 8.3).Jednostavnim prijelazom s varijabla xd na varijable ξd , pri cemu je
xd = ad +(Ad−ad)ξd , d = 1,2, · · · ,D,
postiže se da nove varijable ξd poprimaju vrijednosti na dijelovima unutar jedinicnog intervala
0≤ ξd ≤ 1, d = 1,2, · · · ,D, (8.8)
tj. podrucje integracije u varijablama ξd , koje ce se oznacavati sa σ , leži unutar jedinicnehiperkocke u D-dimenzijskom prostoru. Kao što je poznato, veza medu diferencijalima starih inovih varijabla je
dx1 dx2 · · ·dxD = |J |dξ1 dξ2 · · ·dξD,
8.2 Monte Carlo postupak 51
gdje je |J | apsolutna vrijednost jakobijana
J =D(x1,x2, · · · ,xD)
D(ξ1,ξ2, · · · ,ξD)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣A1−a1 0 · · · 0
0 A2−a2 · · · 0...0 0 · · · AD−aD
∣∣∣∣∣∣∣∣∣=D
∏d=1
(Ad−ad).
Na taj nacin, pocetni integral je
I =∫
σ
F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD) dξ1 dξ2 · · ·dξD,
pri cemu je
F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD) = (A1−a1)(A2−a2) · · · (AD−aD)
· f[a1 +(A1−a1)ξ1,a2 +(A2−a2)ξ2, · · · ,aD +(AD−aD)ξD
].
PRVI NACIN
Nasumice se odabire N0 tocaka,
(ξ(n)
1 ,ξ(n)
2 , · · · ,ξ (n)D ), n = 1,2,3, · · · ,N0
iz podrucja 0≤ ξd ≤ 1. Neka su tocke oznacene tako da se prvih N ≤N0 tocaka nalazi u podrucjuσ . Tada je
〈F〉= 1N
N
∑n=1
F(ξ(n)
1 ,ξ(n)
2 , · · · ,ξ (n)D ),
a sam integral je približno jednak (poopcenje (8.1))
I =∫
σ
F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD) dξ1 dξ2 · · ·dξD ' σ 〈F〉 (8.9)
=σ
N
N
∑n=1
F(ξ(n)
1 ,ξ(n)
2 , · · · ,ξ (n)D ).
Ukoliko se iznos D-dimenzijskog hipervolumena σ ne može (ili se može teško) izracunati, injega se može dobiti numericki kao poopcenje (8.6)
σ
σ0' N
N0,
(pri cemu je, zbog (8.8), σ0 = 1) pa je tada
I ' 1N0
N
∑n=1
F(ξ(n)
1 ,ξ(n)
2 , · · · ,ξ (n)D ). (8.10)
� Primjer 8.5 Izracunjate egzaktno integral
I =∫
S(x2 + y2) d x d y,
ako je podrucje integracije, S, zadano sa
12≤ x≤ 1, 0≤ y≤ 2x−1.
52 Poglavlje 8. Numericka integracija
Isti integral izracunajte koristeci gore opisani Monte Carlo postupak s tocnošcu od tri decimale.
Egzaktna vrijednost gornjeg integrala je 7/32
I =∫ 1
1/2d x
∫ 2x−1
0d y x2 +
∫ 1
1/2d x
∫ 2x−1
0d y y2
=∫ 1
1/2d x x2(2x−1)+
∫ 1
1/2d x
(2x−1)3
3= · · ·= 7
32= 0.21875 · · · .
Površina σ je egzaktno jednaka 1/4, pa primjena relacije (8.9) za približnu vrijednost integrala
Slika 8.4: Uz primjere 8.5 i 8.6.
x
y
0
1
11/2
daje
N0 IN δ (%)
100 0.221942805332079 1.460
1000 0.218205660606879 0.249
10000 0.218767328360926 0.008
100000 0.218458772345428 0.133
1000000 0.218774399591621 0.011
10000000 0.218703970529122 0.021
100000000 0.218824260572694 0.034
S δ je oznacena pogreška u postocima
δ =|IN−0.21875|
0.0021875.
8.2 Monte Carlo postupak 53
Ako ne znamo egzaktnu vrijednost površine σ , tada se približna vrijednost integrala racunarelacijom (8.10) i daje
N0 IN δ (%)
100 0.233927354678527 6.9
1000 0.221816444346867 1.4
10000 0.211499110176199 3.3
100000 0.214070937429428 2.1
1000000 0.213922322728752 2.2
10000000 0.214269433837186 2.0
100000000 0.214070020627379 2.1
�
DRUGI NACIN
AKO JE F NENEGATIVNA FUNKCIJA,tj. ako za sve vrijednosti argumenata, ξ1,ξ2, · · · ,ξD, postoji konstanta B takva da je
0≤ F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD)≤ B, (8.11)
tada je integral I jednak volumenu tijela u D+1-dimenzijskom prostoru
I =∫
σ
dξ1 dξ2 · · ·dξD
∫ F(ξ1,ξ2,··· ,ξD)
0dF.
Uvede li se varijabla
η =FB,
tada je, prema (8.11), u cijelom podrucju integracije
0≤ η ≤ 1.
I = B∫
σ
dξ1 dξ2 · · ·dξD
∫ F(ξ1,ξ2,··· ,ξD)/B
0dη ≡ B ·V,
tj. cijeli hipervolumen, V , predstavljen gornjim integralom leži unutar jedinicne hiperkocke(slika 8.5)
0≤ ξd ≤ 1, d = 1,2, · · · ,D,
0≤ η ≤ 1.
Sada se generira D+1 nasumicnih brojeva
0≤ ξ(n)d ≤ 1, d = 1,2, · · · ,D,
0≤ η(n) ≤ 1,
koji definiraju nasumicnu tocku u D+1-dimenzijskom prostoru. Ovaj se postupak ponovi N0puta, tako da se dobije N0 nasumicnih tocaka
ξ(n)1 , · · · ,ξ (n)
D ,η(n), n = 1,2, · · · ,N0.
54 Poglavlje 8. Numericka integracija
Slika 8.5: Simbolicki prikaz volumena V unutar D+1 dimenzijske jedinicne hiperkocke.
= F(d)/B
V0
D
1
1
1
Neka N tocaka leži unutar volumena V (ukupan volumen je V0 = 1). Za dovoljno veliki N0,
VV0' N
N0
i približna vrijednost integrala je
I ' BNN0
.
Ili, preciznije receno
I = B P(T ∈V ),
gdje je P(T ∈V ) vjerojatnost da se nasumice odabrana tocka T iz jedinicne hiperkocke nalaziunutar hipervolumena V .
NEKA JE SADA F FUNKCIJA KOJA MOŽE IMATI I NEGATIVNE VRIJEDNOSTI,tako da je za svaku vrijednost nezavisnih varijabla ξd zadovoljeno
−b≤ F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD)≤ B,
za pozitivne konstante b i B.Uvede li se umjesto F nova funkcija F relacijom
F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD) =−b+(B+b)F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD),
tada je F nenegativna funkcija cije su vrijednosti uvijek izmedu 0 i 1
0≤ F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD)≤ 1,
8.2 Monte Carlo postupak 55
pa je, slicno kao i u odjeljku o nenegativnim funkcijama, integral jednak volumenu po dijelujedinicne hiperkocke u D+1-dimenzijskom prostoru
I =∫
σ
dξ1 dξ2 · · ·dξD F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD)
= −bσ +(B+b)∫
σ
dξ1 dξ2 · · ·dξD F(ξ1,ξ2, · · · ,ξD)
= −bσ +(B+b)∫
σ
dξ1 dξ2 · · ·dξD
∫ F(ξ1,ξ2,··· ,ξD)
0dF
' −bσ +(B+b)NN0
= −bσ +(B+b) P(T ∈V ).
� Primjer 8.6 Izracunjate egzaktno integral
I =∫
σ
(x2 + y2) d x d y,
ako je podrucje integracije, σ , zadano sa
12≤ x≤ 1, 0≤ y≤ 2x−1.
Isti integral izracunajte koristeci gore opisani Monte Carlo postupak s tocnošcu od tri decimale.
Egzaktna vrijednost gornjeg integrala, 7/32, je vec izracunata u primjeru 8.5 Primjena relacije(8.7) za približnu vrijednost integrala daje
N0 IN
100 0.3
1000 0.224
10000 0.2078
100000 0.21006
1000000 0.212356
10000000 0.2129514
100000000 0.21279446
�
PROCJENA TOCNOSTI
Neka je
I0 ≡∫
σ
dξ1 dξ2 · · ·dξD
∫ F(ξ1,ξ2,··· ,ξD)
0dF .
56 Poglavlje 8. Numericka integracija
U skladu s Bernoullijevim teoremom i Cebiševljevom nejednakosti1, vrijedi
P(∣∣∣∣ N
N0− I0
∣∣∣∣< ε
)≥ 1− 1
4ε 2N0
≥ 1−δ .
Iz gornjeg izraza slijedi procjena pogreške integrala I0 za fiksnu vrijednost δ
ε =1
2√
N0δ. (8.12)
I0 'NN0
+ ε =NN0
+O( 1√
N0
)Relacija (8.12) može poslužiti i za procjenu broja tocaka N0: ako se želi dobiti tocnost definiranasa ε = 0.001 i δ = 0.01, tada je
N0 =1
4ε2δ= 25 · 106.
dovršiti
1Vidjeti npr. [Glub].
Popis literature
Knjige[Glua] Zvonko Glumac. Klasicna mehanika - kratak uvod. http://www.fizika.unios.hr/ zglu-
mac/utm.pdf (citirano na stranci 27).
[Glub] Zvonko Glumac. Vjerojatnost i statistika - kratak uvod. http://www.fizika.unios.hr/ zglu-mac/utm.pdf (cited on pages 28, 48, 56).
Clanci
Indeks
S
sustavideterministicki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29stohasticki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
