RAČUNARSKA LOGIKA

Booleova (logička, prekidačka) algebra

George Boole (1815-1864).

George Boole (1815-1864).

sin obućara prekinuo školovanje nakon trećeg razreda postao je briljantan naučnik - predavao latinski i

grčki jezik poznati matematičar po doprinosima u oblasti

diferencijalnih jednačina i u algebri pokušao da izvede matematičku analizu mišljenja

(logike) - uspostvio je "logičku algebru" 1854

Claude E. Shanon Claude E. Shanon

1938. god. u svojoj magistarskoj tezi na MIT-u (Massachusetts Institute of Technology - Boston), opisao metod za predstavljanje sklopova od (tada elektromehaničkih) prekidača, skupom matematičkih izraza na bazi Booleove algebre.

Ta metoda se i danas koristi za dizajn i analizu prekidačkih kola

prednosti matematskog opisivanja rada logičkih sklopova - lakše je projektovati pomoću algebarskih izraza koji opisuju prekidačka kola, nego pomoću šema ili logičkih dijagrama

Booleova algebraBooleova algebra

Varijable mogu imati jednu od vrijednosti iz skupa {0,1}skup operacija nad varijablama {+, , }logičko sabiranje - X+Y=Z se može čitati "X ili Y jednako Z" ili "X plus Y jednako Z”logičko množenje - XY=Z se može čitati "X i Y jednako Z" ili "X puta Y jednako Z”Invertovanje X=/Y “X jednako ne-Y”

Logička kolaLogička kola

ULAZ IZLAZ

X Y Z0 0 00 1 11 0 11 1 1

ULAZ IZLAZ

X Y Z

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

NI kolo (invertor)NI kolo (invertor)

ULAZ IZLAZ

X Z

0 1

1 0

NILI koloNILI kolo

ULAZ IZLAZ

X Y Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

NI koloNI kolo

ULAZ IZLAZ

X Y Z

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

XOR/XNORXOR/XNOR

ULAZ IZLAZ

X Y Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

ULAZ IZLAZ

X Y Z

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Sve logičke operacije!Sve logičke operacije!X Y f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Log. op. 0 XZ’ X X’Y Y + Y’ X’ 1

Pravila Booleove algebrePravila Booleove algebreNaziv pravila “I” forma “ILI” forma

Zakon identiteta 1 X = X 0 + X = X

Zakon nultog elementa 0 X = 0 1 + X = 1

Zakon idempotencije X X = X X + X = X

Zakon inverzije X X’ = 0 X + X’ = 1

Zakon komutacije X Y = Y X X + Y = Y + X

Zakon asocijacije (X Y) Z = X (Y Z) (X+Y)+Z = X+(Y+Z)

Zakon distribucije X+YZ=(X+Y)(X+Z) X (Y+Z) = XZ + YZ

Zakon apsorpcije X (X+Y) = X X + XY = X

De Morganov zakon (XY)’ = X’ + Y’ (X+Y)’ = X’ Y’

Važi i ovo!Važi i ovo!

X'' = X

X + X'Y = X + Y

na osnovu zakona distribucije I-forme za Z=X'

Što ne važi u klasičnoj algebri...

Što ne važi u klasičnoj algebri...

(X + Y)(X + Z) = XX + XZ + XY + YZ= X(1 + Y) + XZ + YZ

= X + XZ + YZ= X(1+ Z) + YZ

= X + YZ

Pojednostavljivanje izrazaPojednostavljivanje izraza

(X + Y)(X + Y')(X' + Z) Prva dva umnoška se mogu pojednostaviti: 

(X + Y)(X + Y')= XX + XY' + XY + YY' =X + XY' + XY + 0 =

X + 0 a zatim se čitav izraz pojednostavi

 X(X' + Z) = XZ

Drugi primjerDrugi primjer

XYZ + XY'Z + XYZ' =X(YZ+Y'Z+YZ')=X[Y(Z+Z’)+Y’Z]=

X(Y + Y'Z) =X(Y + Z) = XY + XZ

De MorganDe Morgan

Pomoću De Morganovih pravila može se naći komplement bilo kojeg Booleovog izraza ili njegovog dijela

(X+YZ)' = X' (YZ)' = X'(Y' + Z') 

(W'X+YZ')' = (W'X)'(YZ')' = (W + X')(Y' + Z)na osnovu

X+XY = Xmože se tvrditi:

X(X+Y) = X

IZVOĐENJE BOOLEOVIH JEDNAČINA

IZVOĐENJE BOOLEOVIH JEDNAČINA

standardni logički proizvodi (engl. minterms) m0 , m1 itd. standardne logičke sume (engl. maksterms). M0, M1 itd.

I i II kanonska forma funkcija

Prvo se mora znatiPrvo se mora znati

koja su moguća stanja na ulazima, i

željeni odziv na svako stanje na ulazu

Na osnovu tih podataka se formira tabela istine

Primjer tabele istinePrimjer tabele istine

ULAZ IZLAZ Standardni logički proizvodi

X Y Z

0 0 1 X’Y’

0 1 0 X’Y

1 0 1 XY’

1 1 1 XY

prva kanonska forma date funkcije 

X'Y' + XY' +XY = Z što se može pojednostaviti kako slijedi: 

X'Y' + XY' + XY = ZX'Y' + X(Y' + Y) = Z

X'Y' + X = ZX + Y' = Z

i sa 3 ulazne varijablei sa 3 ulazne varijableULAZI IZLAZ Standardni logički

proizvodi

X Y Z A

0 0 0 1 m0=X’Y’Z’

0 0 1 0 m1=X’Y’Z

0 1 0 1 m2=X’YZ’

0 1 1 0 m3=X’YZ

1 0 0 1 m4=XY’Z’

1 0 1 0 m5=XY’Z

1 1 0 1 m6=ZYZ’

1 1 1 0 m7=XYZ

SUMA PROIZVODA I PROIZVOD SUME

SUMA PROIZVODA I PROIZVOD SUME

logički proizvod (engl. product term) je varijabla ili logički proizvod više varijabli (koplementiranih ili ne)

Logička suma (engl. sum term) je varijabla ili logička suma više varijabli (koplementiranih ili ne)

Suma proizvoda Suma proizvoda

- je logički proizvod ili više logičkih proizvoda, logički sabranih. 

XXY + Z

X'Y' + X'Y'Z'X + Y

Proizvod sumaProizvod suma

- je logička suma, ili više njih međusobno logički pomnoženih. 

(X + Y)(X + Y')(X' + Y')(X + Y + Z)(X + Y')(X' + Y')

(X' + Z)X'

(X + Y)X

pisanje izrazapisanje izrazaULAZI IZLAZ Standardni logički

proizvodiStandardne

logičke sume

X Y Z A

0 0 0 0 m0=X’Y’Z’ M0=X+Y+Z

0 0 1 0 m1=X’Y’Z M1=X+Y+Z’

0 1 0 1 m2=X’YZ’ M2=X+Y’+Z

0 1 1 1 m3=X’YZ M3=X+Y’+Z’

1 0 0 0 m4=XY’Z’ M4=X’+Y+Z

1 0 1 0 m5=XY’Z M5=X’+Y+Z’

1 1 0 1 m6=XYZ’ M6=X’+Y’+Z

1 1 1 0 m7=XYZ M7=X’+Y’+Z’

Prva forma se može pojednostaviti ovako: X'YZ' + X'YZ + XYZ' = X'(YZ'+YZ)+XYZ' = ("ILI" forma zakona

distribucije )X'Y+XYZ' = ("ILI" forma zakona inverzije)Y(X'+XZ') = ("ILI" forma zakona distribucije )X'Y+YZ' ("I" forma zakona distribucije) a druga ovako: (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X'+Y+Z)(X'+Y+Z')(X'+Y'+Z') =(X+Y)(X'+Y)(X'+Z') = /* jer je (X+Y+Z)(X+Y+Z') =(X+Y) itd.*/Y(X'+Z')

što je isto!

I i II kanonska forma logičke jednačine izgledaju ovako: 

A = (m0, m2 , m4 , m6 )A = (M1 , M3 , M5 , M7 )

 Jednačina izlaza A je:

A = X'Y'Z' + X'YZ' + XY'Z' + XYZ'  a može biti pojednostavljena kako slijedi: 

A = X'(Y'Z' + YZ') + X(Y'Z' + YZ')= (X' + X)(Z'(Y + Y')) = Z'

KontureKonture

  Y  1 0

1 1

 pa se sabiranjem jednačina te dvije konture dobije 

Z = X + Y'

X

0 1

      Y

  0 1

X 0 0 0 1

    Z  

 

pa je zbir te dvije kontureA = X'Y + YZ'

KARNAUGHOVE MAPE KARNAUGHOVE MAPE     Y

  m0 m1

X m2 m3

 

      Y

  m0 m1 m3 m2

X m4 m5 m7 m6

    Z   

      Y  

  m0 m1 m3 m2  

  m4 m5 m7 m6 W

X m12 m13 m15 m14

m8 m9 m11 m10  

    Z