Raíces de ecuaciones

Raíces de ecuaciones

Sea ( )y f x . Los valores de x que hacen que y=0 se denominan raíces de la ecuación. El teorema fundamental del álgebra indica que todo polinomio de grado n tiene n raíces. En el caso de las raíces reales, se tiene que corresponden a los valores x que hacen que la función corte el eje de las abscisas:

Raíces de ecuaciones

Raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales

Métodos de intervalos

Método de bisección

Métodos abiertos

Método del punto fijo

Método de Newton-Raphson

Raíces reales y complejas de un polinomio

Método de Lin Método de Bairstow

x

f(x)=cos(x)

x1 x2 x3 x4

y

Las raíces de un polinomio pueden ser reales o complejas. Si un polinomio tiene

coeficientes 0 1 2 1, , ,... ,n na a a a a reales, entonces todas las raíces complejas siempre ocurrirán en pares conjugados complejos. Por ejemplo, un polinomio cúbico tiene la siguiente forma general:

3 20 1 2 3( )f x a x a x a x a

El teorema fundamental del álgebra indica que un polinomio de grado n, tiene n raíces. En el caso del polinomio cúbico pueden darse los siguientes casos:

Tres raíces reales distintas.

Una raíz real con multiplicidad 3.

Una raíz real simple y una raíz real con multiplicidad 2.

Una raíz real y un par conjugado complejo.

Ejemplo. Las raíces de los siguientes polinomios se resumen a continuación.

1. Tres raíces reales distintas:

3 21( ) 3 3

( 3)( 1)( 1)

f x x x x

x x x

1 2 33, 1, 1x x x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-200

-150

-100

-50

0

50Raíces reales distintas

f1(x

)

2. Una raíz real con multiplicidad 3:

3 22

3

( ) 6 12 8

( 2)

f x x x x

x

1 2 32, 2, 2x x x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50Raíces reales triples

f2(x

)

3. Una raíz real simple y una raíz real con multiplicidad dos:

33

2

( ) 12 16

( 4)( 2)

f x x x

x x

1 2 34, 2, 2x x x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-50

0

50

100Raíz sencilla, raíz doble

f3(x

)

4. Una raíz real y un par conjugado complejo:

3 24 ( ) 2 3 10

( 2)( (2 ))( (2 ))

f x x x x

x x i x i

1 2 32, 2 , 2x x i x i

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-150

-100

-50

0

50

100Raíz sencilla, raíces complejas

f4(x

)

Para su estudio, las funciones pueden clasificarse en algebraicas y trascendentales.

Funciones algebraicas

Sea g=f(x) la función expresada como1

1 1 0 0n nn nf y f y f y f

Donde fi es un polinomio de orden i en x. Los polinomios son un caso simple de funciones algebraicas que se representan generalmente como

20 1 2( ) n

n nf x a a x a x a x

Donde n es el orden del polinomio.

Ejemplo.

f2(x)=1-2.37x+7.5x2

f6(x)=5x2-x3+7x6

Funciones trascendentales

Son aquellas que no son algebraicas. Comprenden a las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras.

Ejemplo.2( ) ln 1f x x

0.2( ) (3 5)f x e sen x

Los métodos descritos en esta unidad requieren que la función sea diferenciable en el intervalo donde se apliquen. Si los métodos se utilizan en funciones no diferenciables o discontinuas en algunos puntos, llegar al resultado dependerá, aleatoriamente, de que durante la aplicación del método no se toquen esos puntos.

Por otra parte, las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas. Los métodos numéricos estándar para encontrar raíces pueden clasificarse en dos rubros:

1. La determinación de las raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Las técnicas a emplear en estos casos se diseñaron con el fin de encontrar el valor de una raíz simple de acuerdo con un conocimiento previo de su posición aproximada.

2. La determinación de todas las raíces reales y complejas de un polinomio, para lo cual los métodos numéricos están diseñados específicamente para polinomios. Determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de hacerlo sólo con una, dada la posición aproximada.

Raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales

En general, los métodos para encontrar las raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales se dividen en métodos de intervalos y en métodos abiertos.

Los métodos de intervalos aprovechan el hecho de que una función en forma típica cambia de signo en la vecindad de una raíz. Reciben dicho nombre debido a que se necesita de dos valores iniciales que deben “encapsular” a la raíz. A través de este tipo de métodos se va reduciendo gradualmente el tamaño del intervalo de manera que la aplicación repetida de los métodos siempre generan aproximaciones cada vez más cercanas al valor real de la raíz, por lo que se dice que son métodos convergentes.

Los métodos abiertos, en contraparte, se basan en fórmulas que requieren de un solo valor inicial x (aproximación inicial a la raíz). Algunas veces, estos métodos se alejan del valor real de la raíz conforme crece el número de iteraciones, es decir, divergen .

En esta unidad se estudiarán un método de intervalo conocido como método de bisección y dos métodos abiertos: el método del punto fijo y el método de Newton-Raphson.

2.1.1 Método de bisección

Este método, también conocido como método de partición del intervalo, parte de una ecuación algebraica o trascendental f(x) y un intervalo [x1, x2], tal que f(x1) y f(x2) tienen signos contrarios, es decir, tal que existe por lo menos una raíz en ese intervalo.

Una vez determinado el intervalo [x1, x2] y asegurada la continuidad de la función en dicho intervalo, se evalúa ésta en el punto medio xm del intervalo. Si f(xm) y f(x1) tienen signos contrarios, se reducirá el intervalo de x1 a xm, ya que dentro de estos valores se encuentra la raíz buscada. Si f(xm) y f(x1) tienen el mismo signo, se reducirá el intervalo de xm a x2. Al repetir este proceso hasta lograr que la diferencia entre los dos últimos valores de xm será una buena aproximación de la raíz.

El algoritmo del método es el que sigue:

1. Escoger los valores x1 y x2 del intervalo.

2. Comprobar la existencia de una raíz en el intervalo [x1, x2] verificando que 1 2( ) ( ) 0f x f x . De no ser así, será necesario elegir otros valores para x1 y x2.

3. Tomar 2 1

1 2m

x xx x

y calcular ( )mf x .

4. Si ( )mf x =0 se encontró la raíz de la función (fin del método). De lo contrario, ir al paso 5.

5. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error aceptado). Si 2 1

2x x

<T se encontró una aproximación a la raíz con un margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario, ir al paso 6.

6. Si 1( ) ( ) 0mf x f x , entonces hacer 2 mx x y repetir desde 3; de lo contrario,

hacer 1 mx x y repetir desde 3.

Ejemplo. Determine la raíz real positiva de la siguiente función considerando una tolerancia de 0.001 utilizando el método de bisección.

3( ) 1f x x x

Solución.

En la gráfica de la función puede apreciarse que la raíz real positiva de la función se encuentra en el intervalo [1,2]:

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

x

x3-x-1

Por tal motivo, escogemos x1=1 y x2=2. Al calcular 1( ) 1f x y 2( ) 5f x tenemos

que 1 2( ) ( ) 5 0f x f x , es decir, efectivamente existe al menos una raíz en el intervalo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

5

10

15

20

x

x3-x-1

[ ]

y

x1 x2

Ahora, calculamos el punto medio del intervalo

2 11

2 11 1.5

2 2m

x xx x

y evaluamos la función en ese punto3( ) (1.5) 1.5 1 0.875mf x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

5

10

15

20

x

x3-x-1

[ ]

y

x1 x2|

xm

Como ( ) 0mf x , es decir, no se ha encontrado la raíz y además 2 1 0.5

2x x

es

mayor a la tolerancia deseada, procedemos a calcular el producto 1( ) ( )mf x f x :

1( ) ( ) 0.875mf x f x

Esto es, 1( ) ( ) 0mf x f x y entonces hacemos 2 mx x

2 0.5x

Repetimos el procedimiento partiendo del cálculo de mx .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

5

10

15

20

x

x3-x-1

[ ]

y

x1 x2

Como puede observarse, el intervalo en el que se encuentra la raíz se ha reducido. Conforme se aplica el método el intervalo se va reduciendo hasta que este es tan pequeño que es muy cercano al valor real de la raíz.

A continuación se presenta una tabla que resume los resultados del método. Podemos

apreciar que en la décima iteración

2 1

2x x

<T, por lo que podemos concluir que una aproximación a la raíz es 1.32519532 con un margen de error del 0.1%.

i 1x 2x mx ( )mf x 1( ) ( )mf x f x2 1

2x x

1 1 2 1.5 0.875 -0.875 0.52 1 1.5 1.25 -0.296875 0.296875 0.253 1.25 1.5 1.375 0.22460938 -0.06668091 0.1254 1.25 1.375 1.3125 -0.05151367 0.01529312 0.06255 1.3125 1.375 1.34375 0.08261108 -0.0042556 0.031256 1.3125 1.34375 1.328125 0.01457596 -0.00075086 0.0156257 1.3125 1.328125 1.3203125 -0.01871061 0.00096385 0.00781258 1.3203125 1.328125 1.32421875 -0.00212795 3.9815E-05 0.003906259 1.32421875 1.328125 1.32617188 0.00620883 -1.3212E-05 0.0019531310 1.32421875

1.32617188 1.32519532 0.00203666 -4.3339E-06 0.00097656

Aunque la convergencia del método está asegurada, ya que en el intervalo debe existir la raíz, ésta es normalmente muy lenta y se necesita un número grande de iteraciones para encontrar una buena aproximación a la raíz.

2.1.2 Método del punto fijo

Sea ( ) 0f x una ecuación algebraica o trascendental. Si sumamos x en ambos miembros tenemos

( )f x x x …(2.1)

Sea ( ) ( )g x f x x (otra función). Sustituyendo en (2.1)

( )x g x …(2.2)

Es decir, la raíz de la ecuación se encuentra en la intersección de g(x)=x y g(x)=f(x) + x.

Si x=a es una raíz de x, entonces

f(a)=0

y al sustituir en la ecuación (2.2)

a=g(a) …(2.3)

El método del punto fijo parte de un valor inicial 0x cercano a la raíz

0 0( )x g x

Y luego toma como siguiente aproximación

1 0( )x g x

Al proceder reiteradamente en esta forma, se induce que la n-ésima aproximación es

1( ); 1, 2,3,n nx g x n

Para analizar la convergencia del método, retomemos la expresión (2.3)

a=g(a)

Restando a ambos miembros 1( )ng x y dado que 1( )n ng x x

1 1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )n n

n n

a g x g a g x

a x g a g x

Multiplicando ambos miembros por 1

1

1n

n

a xa x

11

1

( ) ( )nn n

n

g a g xa x a x

a x

…(2.4)

Por el Teorema del Valor Medio, sabemos que

11

1

( ) ( )( ) ;n

nn

g a g xg x a

a x

De manera que al sustituir en (2.4)

1 1( ) ;n n na x g a x x a

Y

11

( ) ;nn

n

a xg x a

a x

En valor absoluto:

11

( ) ;nn

n

a xg x a

a x

Si ( ) 1g , entonces 1n na x a x y obviamente el valor absoluto de la

diferencia entre la raíz a y la última aproximación nx es menor a la diferencia entre la raíz a y la penúltima aproximación .

Entonces, si la n-ésima iteración converge:

11

( ) 1;nn

n

a xg x a

a x

es decir,

1( ) 1; ng x a

En contraparte, el método es divergente si

1n na x a x

Es decir, si

1( ) 1; ng x a

Ya que la aproximación nx se aleja más a la raíz a que 1nx .

Por último, se dice que hay un estancamiento si 1n na x a x , pues la penúltima aproximación es igual a la última (el método no avanza, pero tampoco se aleja).

Cabe señalar que los criterios de las derivadas ( ) 1g y ( ) 1g para analizar la convergencia del método son válidos para una iteración y para fines prácticos no es posible aplicarlos en cada una de ellas. Por esta razón, simplemente se considerará

que: existe convergencia si 1 1n n n nx x x x , existe divergencia si 1 1n n n nx x x x y existe un estancamiento si 1 1n n n nx x x x . Esto es, el

método converge si la diferencia en valor absoluto entre los valores proporcionados en dos iteraciones sucesivas es cada vez más pequeña a medida que n aumente.

En resumen, la interpretación geométrica del método consiste en lo siguiente:

partiendo de un valor inicial 0x dirigirse verticalmente a la curva y=g(x); de ésta, horizontalmente a la recta y=x; de nuevo verticalmente a la curva, horizontalmente a la recta, etc.

El algoritmo del método es el que sigue:

1. Escoger una aproximación inicial 0x .

2. Calcular 0( )g x y hacer 0 0( )x g x .

Sea n=1.

3. Calcular 1( )n nx g x .

4. Comparar 1n nx x con 1n nx x :

a) Si 1 1n n n nx x x x , el método converge. Ir al paso 5.

b) Si 1 1n n n nx x x x , el método diverge. Se detiene el método y se

escoge una nueva aproximación 0x .

c) Si 1 1n n n nx x x x , el método se ha estancado. Se detiene el método

y se escoge una nueva aproximación 0x .

Note que en la primera iteración no es posible aplicar aún este criterio, por lo que se omite este paso y se continúa en 5.

5. Si 1n nx x =0, se encontró la raíz de la función (fin del método). De lo contrario, ir al paso 6.

6. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error aceptado). Si 1n nx x <T se encontró una aproximación a la raíz con un margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario, ir al paso 3 haciendo n=n+1.

Ejemplo. Determina la raíz de la ecuación 0xe x con el método del punto fijo considerando una tolerancia de 0.001

Solución. Tenemos

( ) xf x e x

Entonces

( ) ( )x

g x f x x

e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

g(x)=exp(x), g(x)=x

g(x)=exp(-x)

g(x)=x

La gráfica de la ecuación muestra que el valor de la raíz es cercano a 0.6, por lo que

escogemos la aproximación inicial 0 0.4x

Calculamos 0( )g x

0.40( ) 0.67g x e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

g(x)=exp(x), g(x)=x

g(x)=exp(-x)

g(x)=x

Y tenemos que 1 0( )x g x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

g(x)=exp(x), g(x)=x

g(x)=exp(-x)

g(x)=x

Como 1 0 0x x , es decir, no se ha encontrado la raíz y además 1 0x x es mayor a la tolerancia deseada, hacemos una nueva iteración.

En la siguiente tabla se resumen los resultados al aplicar el método. Al comparar las

diferencias 2 1x x y 1 0x x se observa que 2 1 1 0x x x x , por lo que se concluye que el método converge. El método se detuvo en la iteración 11 debido a que

11 10x x T , por lo que puede concluirse que 0.56748681 es una aproximación al valor de la raíz con un margen de error del 0.1%.

n nx ( )ng x 1n nx x 0 0.4 0.67032005 -1 0.67032005 0.51154483 0.270320052 0.51154483 0.59956863 0.158775213 0.59956863 0.54904843 0.08802384 0.54904843 0.57749908 0.05052025 0.57749908 0.56130038 0.028450656 0.56130038 0.57046676 0.01619877 0.57046676 0.56526154 0.009166388 0.56526154 0.56821152 0.005205229 0.56821152 0.56653778 0.0029499810 0.56653778 0.56748681 0.0016737411 0.56748681 0.5669485 0.00094903

2.1.3 Método de Newton-Raphson

Este método parte de una primera aproximación nx y mediante la aplicación de una fórmula recursiva se acerca a la raíz de la ecuación, de manera tal que la nueva

aproximación 1nx se localiza en la intersección de la tangente a la curva de la función

en el punto nx y el eje de las abscisas.

y=f(x)

a xnxn+1

f(xn)

y

Sabemos que

tan( ) ( )nf x

Y que por definición

1

( )tan( ) n

n n

f xx x

Es decir

1

( )( ) nn

n n

f xf x

x x

Y entonces

1

( ); 0,1, 2,

( )n

n nn

f xx x n

f x

Para determinar en qué casos converge este método, se usará el mismo criterio que en el del punto fijo:

( )( )

( )f x

h x xf x

Y si para una en el intervalo 1nx a se cumple que

( ) 1h

entonces el método converge en la n-ésima iteración.

Para fines prácticos aplicaremos el mismo criterio de convergencia que en el método del punto fijo.

Aunque el método casi siempre converge a la solución en un número reducido de iteraciones, a continuación se enlistan algunos de los casos de divergencia más comunes:

1. Círculo vicioso. Cuando al utilizar nx se obtiene por la tangente un valor 1nx

que al sustituir en la fórmula recursiva regresa al mismo valor nx .

2. Indeterminación. Cuando evaluamos la fórmula en un punto donde la función tiene un máximo o un mínimo.

3. Aparente divergencia. Cuando la aproximación inicial 0x está muy alejada del valor real de la raíz, es posible que en las primeras iteraciones el método proporcione valores aparentemente divergentes y, sin embargo, el método conduzca después de algunas iteraciones a la solución.

La interpretación geométrica del método de Newton-Raphson es muy similar a la del

punto fijo: a partir de una aproximación inicial 0x , se dirige una recta vertical hacia la

curva y=f(x), se traza una tangente y se toma como 1x el punto de intersección entra la tangente y el eje de las abscisas; de nuevo, verticalmente a la curva, etc.

El algoritmo del método consiste en:

1. Calcular ( )f x .

2. Escoger una aproximación inicial 0x .

Sea n=0.

3. Evaluar 1

( )( )n

n nn

f xx x

f x .

4. Comparar 1n nx x con 1n nx x :

a) Si 1 1n n n nx x x x , el método converge. Ir al paso 5.

b) Si 1 1n n n nx x x x , el método diverge, aparentemente. Se

detiene el método y se escoge una nueva aproximación 0x .

c) Si 1 1n n n nx x x x , el método se ha estancado. Se detiene el

método y se escoge una nueva aproximación 0x .

Note que en la primera iteración no es posible aplicar aún este criterio, por lo que se omite este paso y se continúa en 5.

5. Si 1n nx x =0, se encontró la raíz de la función (fin del método). De lo contrario, ir al paso 6.

6. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error aceptado). Si 1n nx x <T se encontró una aproximación a la raíz con un margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario, ir al paso 3 haciendo n=n+1.

Ejemplo. Obtén una raíz positiva de la siguiente ecuación empleando el método de Newton-Raphson y considerando una tolerancia de 0.001.

2 ( ) 0xcos x e

Solución. Tenemos que

( ) 2 ( ) xf x sen x e

De manera que nuestra fórmula recursiva estará dada por

1

2cos( ); 0,1, 2,

2 ( )

n

n

xn

n n xn

x ex x n

sen x e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

2 cos(x)-exp(x)

En la gráfica puede apreciarse que el valor de la raíz se encuentra en el intervalo [0.2,0.8] y escogemos 0.2, lo cual no representa inconveniente alguno, pues en ese punto no existe ni un máximo ni un mínimo de la función.

Evaluamos ahora la fórmula para encontrar el valor de 1x

Cabe señalar que los cálculos de las funciones trigonométricas están dados en radianes.

x0=0.2 x1=0.66

f(x)

2cos(x)-exp(x)

x

Como 1 0 0x x , es decir, no se ha encontrado la raíz y además 1 0x x es mayor a la tolerancia deseada, hacemos una nueva iteración.

En la siguiente tabla pueden apreciarse los resultados de cada iteración. Al comparar

las diferencias 2 1x x y 1 0x x se observa que 2 1 1 0x x x x , por lo que se concluye que el método converge. El método encontró una aproximación al valor de la raíz en tan sólo cuatro iteraciones 0.53978516, con un margen de error del 0.1%.

n nx ( )f x ( )f x 1nx 1n nx x 0 0.2 0.7387304 -1.61874142 0.65636097 -1 0.65636097 -0.34332806 -3.14824033 0.54730701 0.456360972 0.54730701 -0.02073363 -2.76937066 0.53982025 0.109053953 0.53982025 -9.6261E-05 -2.74366205 0.53978516 0.007486774 0.53978516 -2.1119E-09 -2.74354166 0.53978516 3.5085E-05

Raíces reales y complejas de un polinomio

Los métodos vistos hasta el momento permiten obtener las raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Sin embargo, ninguno de ellos permite el cálculo de las raíces complejas de los mismos. Esta sección está dedicada al estudio de dos métodos que permiten obtener las raíces, tanto reales como complejas, de un polinomio.

Método de Lin

Este método en sí mismo no encuentra las raíces del polinomio, sino una expresión de la cual pueden deducirse las raíces. La ventaja de este método es que a través de éste pueden obtenerse todas las raíces del polinomio, ya sean reales o complejas.

El método de Lin consiste en factorizar una ecuación de grado n en un polinomio cuadrático por un polinomio de grado n-2, de manera que se obtienen las raíces por parejas del factor cuadrático, y se repite el procedimiento en tanto sea necesario.

Sea ( ) 0P x una ecuación algebraica de la forma1 2

0 1 2 1( ) n n nn nP x a x a x a x a x a …(2.5)

Obtengamos un factor cuadrático de la forma2x px q

Y expresemos nuevamente (2.5) 2 2 3 4

0 1 2 3 2 1( ) ( )( )n n nn n n nP x x px q b x b x b x b x b b x b …(2.6)

donde 1nb x y nb son los residuos del polinomio.

Para determinar los coeficientes ; 0,1,2, , 2ib i n del polinomio reducido efectuamos la multiplicación en (2.6)

1 2 1 2 30 0 0 1 1 1

2 3 4 3 22 2 2 3 3 3

22 2 2 1

( ) n n n n n n

n n nn n n

n n n n n

P x b x pb x qb x b x pb x qb x

b x pb x qb x b x pb x qb x

b x pb x qb b x b

…(2.7)

Ahora, igualamos los coeficientes de las mismas potencias en (2.5) y (2.7)

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

a b

a b pb

a b pb qb

a b pb qb

a b qb

Y despejando los coeficientes del polinomio reducido

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a

b a pb

b a pb qb

b a pb qb

b a qb

De manera que los coeficientes del polinomio reducido están dados por

1 2 1 2; 0,1,2, , 2; 0k k k kb a pb qb k n b b

Y los residuos por

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a pb qb

b a qb

Para que 2x px q sea un factor del polinomio P(x) es necesario que 1nb y nb sean

iguales a cero

1 2 3

2

0

0n n n

n n

a pb qb

a qb

…(2.8)

Despejando a p y q de (2.8):

1 3

2

2

n n

n

n

n

a qbp

b

aq

b

…(2.9)

Si se conocen los valores de p y q podemos calcular los coeficientes ; 0,1,2, , 2ib i n del polinomio reducido.

A partir de valores iniciales para p y q y mediante un proceso iterativo se determinan estos valores con la precisión que se requiera. Para ello, se definen los incrementos p y q :

* ; *p p p q q q …(2.10)

Donde p* y q* son las nuevas aproximaciones de p y q, respectivamente, y están dadas por (2.9)

1 3

2

2

*

*

n n

n

n

n

a qbp

b

aq

b

…(2.11)

Sustituyendo (2.11) en (2.10)

1 3

2

2

n n

n

n

n

a qbp p

b

aq q

b

O sea

1 2 3 1

2 2

2

2 2

n n n n

n n

n n n

n n

a pb qb bp

b b

a qb bq

b b

Esto es

1

2

2

*

*

n

n

n

n

bp p

b

bq q

b

El método converge cuando 1nb , nb , p y q tienden a cero, y para cualquiera de ellos se puede fijar la tolerancia en el error.

Note que si 2 0nb no es posible aplicar el método.

El algoritmo del método consiste en los siguientes pasos:

1. Hacer p=q=0.

2. Calcular los coeficientes del polinomio reducido

1 2 1 2; 0,1,2, , 2; 0k k k kb a pb qb k n b b

Y los residuos

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a pb qb

b a qb

3. Verificar que 2 0nb y calcular las nuevas aproximaciones de p y q

1

2

2

*

*

n

n

n

n

bp p

b

bq q

b

Si 2 0nb se concluye que no es posible aplicar el método para resolverle polinomio en cuestión.

4. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error permitido). Si *p p <T y *q q <T se han encontrado aproximaciones a los valores de p y q con un

margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario es necesario hacer una nueva iteración comenzando en el paso 2 haciendo p=p* y q=q*.

Ejemplo. Obtén una aproximación a las raíces del siguiente polinomio aplicando el método de Lin considerando una tolerancia de 0.01 en los valores de p y q y redondeo a tres cifras significativas:

4 3 26 3 4 0x x x x

Solución. Tenemos que

0 1 2 3 41, 1, 6, 3, 4; 4a a a a a n

Sean p=q=0 los valores iniciales.

Los coeficientes del polinomio reducido están dados por

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1

( 1) (0)(1) 1

(6) (0)( 1) (0)(1) 6

b a

b a pb

b a pb qb

los residuos, por

3 3 2 1

4 4 2

( 3) (0)(6) (0)( 1) 3

(4) (0)( 6) 4

b a pb qb

b a qb

Como 2 2 0nb b , puede aplicarse el método y las nuevas aproximaciones son

3

2

4

2

* 0.5

* 0.667

bp p

b

bq q

b

Tenemos entonces que *p p =0.5 y que *q q =0.667 y es necesario que ambos valores sean menores a 0.01, por lo que es necesario hacer una nueva iteración.

Los resultados de cada iteración se resumen en la siguiente tabla:

i 0b 1b 2b 3b 4b *p *q *p p *q q0 1 -1 6 -3 4 -0.5 0.667 0.5 0.6671 1 -0.5 5.08 -0.127 0.612 -0.525 0.787 0.025 0.122 1 -0.475 4.96 -0.0222 0.0965 -0.529 0.806 0.004 0.0193 1 -0.471 4.94 -0.00711 0.0184 -0.530 0.810 0.001 0.004

El polinomio 4 3 2( ) 6 3 4 0P x x x x x puede expresarse entonces como

2 2( ) ( 0.530 0.810)( 0.471 4.94) 0.00711 0.0184 0P x x x x

Como se alcanzó la tolerancia deseada, asumimos que el residuo se puede despreciar, y tenemos que

2 2( ) ( 0.530 0.810)( 0.471 4.94) 0P x x x

De donde puede concluirse que las raíces del polinomio son

1 2 3 40.265 0.86, 0.265 0.86, 0.236 2.21, 0.236 2.21x i x i x i x i

Método de Bairstow

Este método depende de dividir el polinomio entre un factor cuadrático. Sea P(x)=0, el polinomio general de grado n de la forma

1 20 1 2 1( ) n n n

n nP x a x a x a x a x a

Sabemos que al obtener el factor cuadrático2x px q

tenemos que2 2 3 4

0 1 2 3 2 1( ) ( )( )n n nn n n nP x x px q b x b x b x b x b b x b

Al igual que en el método de Lin, podemos concluir que

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a

b a pb

b a pb qb

b a pb qb

b a qb

y que los coeficientes del polinomio reducido están dados por

1 2 1 2; 0,1,2, , 2; 0k k k kb a pb qb k n b b

y los residuos por

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a pb qb

b a qb

Bairstow estudió la posibilidad de encontrar aproximaciones de los residuos 1nb y nb a

través de una serie de Taylor para las variables independientes *p p p y *q q q :

1 11 1( *, *)

( *, *)

n nn n

n nn n

b bb p q b p q

p q

b bb p q b p q

p q

Igualando a cero tenemos

1 11

n nn

b bp q b

p q

n nn

b bp q b

p q

De esta forma, pueden calcularse los valores de p y q al resolver el sistema de ecuaciones lineales y, consecuentemente, obtener los valores de las nuevas

aproximaciones *p p p y *q q q .

El algoritmo del método consiste en los siguientes pasos:

1. Hacer p=q=0.

2. Calcular los coeficientes del polinomio reducido

1 2 1 2; 0,1,2, , 2; 0k k k kb a pb qb k n b b

Y los residuos

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a pb qb

b a qb

3. Calcular las derivadas parciales de los residuos 1nb y nb :

1 1, , ,n n n nb b b bp q p q

4. Resolver el sistema

1 11

n nn

b bp q b

p q

n nn

b bp q b

p q

5. Obtener los valores de las nuevas aproximaciones *p p p y *q q q .

6. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error permitido). Si *p p <T y *q q <T se han encontrado aproximaciones a los valores de p y q con un

margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario es necesario hacer una nueva iteración comenzando en el paso 2 haciendo p=p* y q=q*.

Ejemplo. Obtén una aproximación a las raíces del siguiente polinomio aplicando el método de Bairstow considerando una tolerancia de 0.01 en los valores de p y q y redondeo a tres cifras significativas:

4 3 26 3 4 0x x x x

Solución. Tenemos que

0 1 2 3 41, 1, 6, 3, 4; 4a a a a a n

Sean p=q=0 los valores iniciales.

Los coeficientes del polinomio reducido están dados por

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1

( 1) (0)(1) 1

(6) (0)( 1) (0)(1) 6

b a

b a pb

b a pb qb

los residuos, por

3 3 2 1

4 4 2

( 3) (0)(6) (0)( 1) 3

(4) (0)( 6) 4

b a pb qb

b a qb

y las derivadas parciales, por

3 32 1

4 42

6.00; 1.00

0.00; 6.00

b bb b

p q

b bb

p q

Resolviendo el sistema

6.00 1.00 3.00

0.00 6.00 4.00

p q

p q

tenemos que 0.389p y 0.667q . Entonces * 0.389p p p y * 0.667q q q

Se observa que *p p =0.389 y que *q q =0.667 y es necesario que ambos valores sean menores a 0.01, por lo que es necesario hacer una nueva iteración.

Los resultados de cada iteración se resumen en la siguiente tabla:

i 0b 1b 2b 3b 4b *p *q *p p *q q0 1 -1 6 -3 4 -0.389 0.667 0.389 0.6671 1 -0.611 5.10 -0.609 0.598 -0.368 0.784 0.021 0.1172 1 -0.632 4.98 -0.672 0.0957 -0.501 0.765 0.133 0.0193 1 -0.499 4.99 -0.118 0.183 -0.521 0.802 0.02 0.0374 1 -0.479 4.95 -0.0369 0.0301 -0.528 0.808 0.007 0.006

El polinomio 4 3 2( ) 6 3 4 0P x x x x x puede expresarse entonces como

2 2( ) ( 0.528 0.808)( 0.479 4.95) 0.0369 0.0301 0P x x x x

Como se alcanzó la tolerancia deseada, asumimos que el residuo se puede despreciar, y tenemos que

2 2( ) ( 0.528 0.808)( 0.479 4.95) 0P x x x

De donde puede concluirse que las raíces del polinomio son

1 2 3 40.264 0.86, 0.264 0.86, 0.240 2.21, 0.240 2.21x i x i x i x i

Bibliografía

Akai Terrence J., Métodos numéricos aplicados a la ingeniería. México, Limusa Wiley, 2004.

Burden Richard L. & Faires J. Douglas, Análisis numérico. 2ª. ed., México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1993.

Chapra Steven C. & Canale Raymond P., Métodos numéricos para ingenieros. 4ª. ed., México, McGraw-Hill, 2003.

Iriarte R. & Balderrama V., Métodos numéricos. México, Facultad de Ingeniería U.N.A.M., Trillas, 1990.