Parte II:Anlisis Numrico 15.Races de ecuaciones5.1Mtodos cerradosParte II:Anlisis Numrico 25.1.1Mtodos GrficosUn mtodo simple para obtener una aproximacin a la raz de laecuacin f(x)=0, consiste en graficar la funcin y observar donde cruzael eje x.Ejemplo: Utilizar grficas por computadora para localizar las races def(x) = x3+ x2 -3x+5Solucin.Utilizando MATLAB, 0 THENxl = xrfl = f(xl)il = 0iu = iu+1IF iu 2 THEN fu = fu/2ELSEea = 0END IFIF ea < es OR iter imax THEN EXITEND DOModFalsePos = xrEND ModFalsePos Parte II:Anlisis Numrico 20EjerciciosEjercicio 5.1Determine las races reales de f(x) = -0.4x2+ 2.2x + 4.7:a.Grficamenteb.Usando el mtodo de biseccin para determinar la raz ms grande.Emplee como valores iniciales xl=5 y xu=10.Calcule el errorestimado cay el error verdadero ctpara cada iteracin.Ejercicio 5.2Calcule la raz real positiva de f(x)=x4-8x3-36x2+462x1010utilizando el mtodo de la falsa posicin.Use una grficaparaescoger el valor inicial y realice el clculo con cs= 1.0 %Parte II:Anlisis Numrico 21Ejercicio 5.3 La concentracin de saturacin de oxgeno disuelto en agua secalcula con la ecuacindonde Osf= concentracin de saturacin de oxgeno disuelto en agua a 1 atm(mg/L) y Ta= Temperatura absoluta (K).Recuerde que Ta= T + 273.15, dondeT = temperatura (C).De acuerdo con sta ecuacin, la saturacin disminuyecon el incremento de la temperatura.Para aguas naturales tpicas en climastemplados, la ecuacin sirve para determinar rangos de concentracin deoxgeno desde 14.621 mg/L a 0C hasta 6.949 mg/L a 35C.Dado un valorde concentracin de oxgeno, sta frmula y el mtodo de biseccin son tilespara resolver la temperatura en C.Si los valores iniciales se fijan en 0 y 35C, desarrolle y pruebe un programa debiseccin para determinar T como una funcin de una concentracin deoxgeno dada.Pruebe el programa para Osf=8, 10 y 14 mg/L.Compruebe susresultados41131027 510 621949 . 8 10 243800 . 1 10 642308 . 6 10 575701 . 134411 . 139 lna a aasfT T TTO++ =Parte II:Anlisis Numrico 225.2Mtodos abiertosParte II:Anlisis Numrico 235.2.1Iteracin simple de punto fijoLos mtodos abiertos utilizan una frmula para predecir la raz.Estafrmula puede desarrollarse como una iteracin simple de punto fijo(Tambin llamada iteracin de un punto o sustitucin sucesiva omtodo de punto fijo), al reordenar la ecuacin f(x)=0 de tal modo quex est del lado izquierdo de la ecuacin:x=g(x)Por ejemplo, x2-2x+3 = 0, se reordena para obtener Mientras que sen(x)=0, puede transformarse sumando x a ambos ladospara obtenerx=sen(x)+x2 32+= xxParte II:Anlisis Numrico 24De sta manera, dado un valor inicial para la raz xi, la ecuacinanterior puede usarse para obtener una nueva aproximacin xi+1,expresada por la frmula iterativaxi+1=g(xi)El error aproximado se calcula usando el error normalizado:% 10011++=ii iaxx xcParte II:Anlisis Numrico 25Ejemplo Iteracin simple de punto fijoPlanteamiento del problema. Use una iteracin simple depunto fijo para localizar la raz de f(x) = e-x - xSolucin.xi+1=e-xii xica% ct%1 1 100.0 76.32 0.367879 171.8 35.13 0.692201 46.9 22.14 0.500473 38.3 11.85 0.606244 17.4 6.896 0.545396 11.2 3.837 0.579612 5.90 2.208 0.560115 3.48 1.249 0.571143 1.93 0.70510 0.564479 1.11 0.399Parte II:Anlisis Numrico 26ConvergenciaEl error relativo porcentual verdadero en cada iteracin del ejemploanterior, es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de laiteracin anterior.Esta propiedad se conoce como convergencia lineal.Parte II:Anlisis Numrico 27f(x)f(x)RazRazf(x) = e- -x x- xf1(x) = x f2(x) = e- -x xUn mtodo grfico alternativoconsiste en separar la ecuacin endos partes, de esta maneraf1(x)=f2(x)Entonces las dos ecuacionesy1= f1(x) yy2= f2(x)se grafican por separado.As, losvalores de x correspondientes aLas intersecciones de estas dosfunciones representan las racesde f(x)=0Parte II:Anlisis Numrico 28y1= xy2= g(x)x0x1x2y yx xy1= xy2= g(x)x0y yx xy1= xy2= g(x)x0y yx xy1= xy2= g(x)x0y yx xParte II:Anlisis Numrico 29FUNCTION Fixpt(x0, es, imax)xr = x0iter = 0DOxrold = xrxr = g(xrold)iter = iter+1IF xr 0 THENEND IFIF ea < es OR iter imax EXITEND DOFixpt = xrEND fixpt100xrxrold xrea =Parte II:Anlisis Numrico 305.2.2Mtodo de Newton-RaphsonA partir de la expansin en seriesde Taylor, se tiene:que se reordena para obtenerla cual se conoce como frmulaDe Newton Raphson10 ) () ( '+=i iiix x x fx f) ( ') (1iii ix fx fx x =+f(x) f(x)x x0 0f(x f(xi i) )x xi ix xi i+1 +1Pendiente = fPendiente = f (x (xi i) )Parte II:Anlisis Numrico 31Ejemplo Mtodo de Newton-RaphsonPlanteamiento del problema. Utilice el mtodo de NewtonRaphson para calcular la raz de f(x)=e-x x empleandocomo valor inicial x0= 0Solucin. La primer derivada de la funcin esf (x)=-e-x -1que se sustituye para obtener 11 =+iixixi iex ex xi xict(%)0 0 1001 0.500000000 11.82 0.566311003 0.1473 0.567143165 0.00002204 0.567143290 < 10-8Parte II:Anlisis Numrico 32Algoritmo1. Se debe incluir una rutina de graficacin en el programa2. Al final de los clculos, se necesitar sustituir siempre la raz final calculada en la funcin original, para determinar si el resultado se acerca a cero.Esta prueba protege el desarrollo del programa contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeos de ca, mientras que la solucin an est muy lejos de una raz.3. El programa deber incluir siempre un lmite mximo permitido del nmero de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones oscilantes, de lenta convergencia o divergentes que podran persistir en forma interminable.4. El programa deber alertar al usuario para que tome en cuenta la posibilidad de que f (x) sea igual a cero en cualquier momento durante el clculo.Parte II:Anlisis Numrico 335.2.3El mtodo de la secanteUn problema potencial en la implementacin del mtodo de NewtonRaphson es la evaluacin de la derivada.En casos complejos, laderivada se puede aproximar mediante una diferencia finita divididahacia atrsSustituyendo en la ecuacin de Newton - Raphsoni ii iix xx f x fx f11) ( ) () ( 'xix i-1f(x i)f(x i-1)) ( ) () )( (111i ii i ii ix f x fx x x fx x =+Parte II:Anlisis Numrico 34Ejemplo El mtodo de la secantePlanteamiento del problema. Con el mtodo de la secante, calcule la raz de f(x)=e-x x.Comience los clculos inicialescon los valores x-1=0 y x0= 1.0.Solucin.Primera iteracin:x-1=0 f(x-1)=1x0=1 f(x0)=-0.63212x1=1-((-0.63212)(0-1)/(1-(-0.63212)))=0.61270Segunda iteracinx0=1 f(x0)=-0.63212x1=0.61270 f(x1)=-0.07081x2=0.61270-((-0.0708)(1-0.61270)/(-0.63212- (0.07081))) = 0.56384Parte II:Anlisis Numrico 35Mtodo de la secante modificadaEn lugar de considerar dos valores arbitrarios para aproximar laderivada, un mtodo alternativo considera un cambiofraccionario de la variable independiente para estimar f(x),donde d es un pequeo cambio fraccionario.sta aproximacinse sustituya en la ecuacin de la secante para obtener lasiguiente expresin iterativa:ii i ixx f x x fx foo ) ( ) () ( ' +~) ( ) () (1i i ii ii ix f x x fx f xx x + =+ooParte II:Anlisis Numrico 36EjerciciosEjercicio 5.4Evaluar las races de las siguientes ecuacionestrascendentesa. sin x - 2exp(-x2) = 0b. ax - ax= 0paraa = 2, e, or 3c. ln(1 + x2) x1/2= 0 d. e-x/(1 + cos x) - 1 = 0Parte II:Anlisis Numrico 37Ejercicio 5.5 Para el flujo turbulento de un fluido a travs de un tuboliso, es posible establecer la siguiente relacin entre el factor defriccin cfy el nmero de Reynolds Re:Calcular cfpara Re = 104, 105 y 106.Parte II:Anlisis Numrico 38Ejercicio 5.6Desarrolle una funcin para calcular el volumenespecfico de un gas puro, dada la temperatura y la presinusando la ecuacin de estado de Soave-Redlich-KwongLas constantes a y b son obtenidas de las ecuacionesParte II:Anlisis Numrico 39donde Pcy Tcson la presin crtica y temperatura crticarespectivamente.La variable o es una funcin emprica de laTemperaturaEl valor de S es una funcin del factor acntrico e Las propiedades fsicas del n-butano sonParte II:Anlisis Numrico 40y la constante de los gases R esCalcule el volumen especfico del vapor de n-butano a 500 K y en unrango de presiones de 1 a 40 atm.Compare los resultadosgrficamente con aquellos que se obtienen de la ley de los gasesideales.Qu conclusin obtiene de sta comparacin grfica?Parte II:Anlisis Numrico 41Ejercicio 5.7 Repita el ejercicio 5.6 usando las ecuaciones de estadode Benedict-Webb-Rubin (BWR) yPatel-Teja (PT).Comparegrficamente los resultados con los obtenidos en el ejercicio 3.La ecuacin de estado de Benedict-Webb-Rubin (BWR) esdonde A0, B0, C0, a, b, c, o, y son constante.Donde P est enatmsferas, V est en litros por mol, y T est en kelvin, Los valores de las constantes para el n-butano son:Parte II:Anlisis Numrico 42La ecuacin de estado de Patel-Teja esDonde a es funcin de la temperatura, y, b y c son constantesdondeParte II:Anlisis Numrico 43y Obes la ms pequea de las races positivas del polinomio cbicoF y ,cson funciones del factor acntricoParte II:Anlisis Numrico 44Ejercicio 5.8 La ecuacin de Underwood para destilacinmulticomponente est dada pordonde F = tasa de flujo molar de la alimentacinn = numero de componentes en la alimentacinzjF= fraccin molar de cada componente en la alimentacinq = calidad de la alimentacinoj= volatilidad relativa de cada componente en condiciones promedio de la columna| = raz de la ecuacinParte II:Anlisis Numrico 45Underwood ha demostrado que (n-1) de la races de la ecuacin seencuentran entre los valores de las volatilidades relativas como seMuestraEvale las n-1 races de sta ecuacin para el caso mostrado en laTablaF=100 mol/hq=1 (lquido saturado)