RAPORT DÁNIEL

SZAKDOLGOZAT

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR

HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK

RAPORT DÁNIEL

SZAKDOLGOZAT

Periodikus és kaotikus megoldások feltérképezése harmoni-

kusan gerjesztett gázbuborék esetén, víz közegben

Konzulens:

Dr. Hegedűs Ferenc

adjunktus

Témavezető:

Dr. Hegedűs Ferenc

adjunktus

Budapest, 2014

Szerzői jog © Raport Dániel, 2014.

Ez a szakdolgozat elzártan kezelendő és őrzendő, a hozzáférése a vonatkozó sza-

bályok szerint korlátozott.

A hozzáférés korlátozása és a zárt kezelés 2014. év 12. hónap 12. napján ér véget.

vi

NYILATKOZATOK

Elfogadási nyilatkozat

Ezen szakdolgozat a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépész-

mérnöki Kara által a Diplomatervezési és Szakdolgozat feladatokra előírt valamennyi

tartalmi és formai követelménynek, továbbá a feladatkiírásban előírtaknak maradék-

talanul eleget tesz. E szakdolgozatot a nyilvános bírálatra és nyilvános előadásra al-

kalmasnak tartom.

A beadás időpontja: 2014. 12. 12.

témavezető

Nyilatkozat az önálló munkáról

Alulírott, Raport Dániel (CVB6JL), a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi

Egyetem hallgatója, büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és sa-

játkezű aláírásommal igazolom, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség

nélkül, saját magam készítettem, és dolgozatomban csak a megadott forrásokat hasz-

náltam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogal-

mazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a hatályos előírásoknak megfelelően, a

forrás megadásával megjelöltem.

Budapest, 2014. 12. 12.

Raport Dániel

vii

TARTALOMJEGYZÉK

Köszönetnyilvánítás........................................................................................................... ix

Jelölések jegyzéke ................................................................................................................ x

Bevezetés .............................................................................................................................. 1

1. Az oszcilláló rendszer bemutatása ................................................................................ 2

1.1. A buborék fizikája, periodikus viselkedése .......................................................... 2

1.1.1. Változó méretű buborék és a közeg paraméterei ........................................ 3

1.1.2. A rezgés jellemzői és hatásai ......................................................................... 4

1.2. A kavitáció típusai .................................................................................................. 5

1.3. Alkalmazások különböző technológiákban.......................................................... 6

1.4. A dolgozat céljai .................................................................................................... 10

2. A számítások módszere ................................................................................................ 12

2.1. Az alkalmazott modell bemutatása ..................................................................... 12

1.1.1. Egyensúlyi buboréksugár a gerjesztetlen rendszerben ......................... 13

1.1.2. Az elsőrendű rendszer ............................................................................. 14

1.1.3. A gerjesztett rendszer dimenziótlanítása ............................................... 15

2.1.1. A dimenziótlan egyenletrendszer linearizálása ........................................ 17

2.2. További ismertebb buborékmodellek ................................................................. 19

2.3. A módszer validálása elvégzett mérések eredményeivel.................................. 19

2.4. A nemlineáris oszcilláció vizsgálati lehetőségei ................................................ 21

2.5. Numerikus szimuláció kezdő lépései ................................................................. 23

3. Periodikus és kaotikus tartományok megállapítása .................................................. 25

3.1. Kezdeti érték megoldó az 𝑦1-𝑦2 fázissíkon ........................................................ 25

3.2. Periodikus megoldások értelmezése bifurkációkon keresztül .......................... 28

3.3. Kaotikus rendszerek mérőszáma, a Ljapunov-exponens .................................. 34

4. Jelentős buborék-falsebességek keresése..................................................................... 36

4.1. Maximális sebességek táguláskor, vizsgálat fázissíkon .................................... 36

4.2. Mach-számok ábrázolása bifurkációs diagramon.............................................. 38

4.2.1. Vizsgálat a nyomásamplitúdó teljes tartományán .................................... 38

4.2.2. Frekvencia bifurkációs diagramok konstans nyomásamplitúdón ........... 41

4.2.3. Alkalmazástechnikai optimum összefoglalása .......................................... 42

5. paraméterdiagramok felvétele ..................................................................................... 44

5.1. Bifurkációs struktúrát kirajzoló kapcsolatok ...................................................... 44

5.2. Kaotikus tartományok bemutatása kontúr diagramon ..................................... 47

6. Összefoglalás ................................................................................................................. 50

viii

Summary ............................................................................................................................ 52

Felhasznált források .......................................................................................................... 54

ix

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS

Szeretnék köszönetet mondani tanáromnak és konzulensemnek, Dr. Hegedűs Fe-

rencnek, aki megismertette velem a kavitációs gőz/gázbuborékok vizsgálati lehetősé-

geinek alapvető tudnivalóit, és témájával, ötleteivel minden esélyét megteremtette egy

színvonalas munka létrejöttének.

Köszönettel tartozom családomnak, különös tekintettel szüleimnek, akik tanulmá-

nyaimat már a középiskolai évektől kezdve ódaadóan és rendületlenül támogatják.

Korántsem utolsósorban hálámat szeretném kifejezni azon kedves ismerőseimnek,

akik a körülmények pillanatnyi kedvezőtlenné válásakor előzékenyen ajánlották fel

saját segítségüket is néhány nélkülözhetetlen számítás befejezésére.

Budapest, 2014. 12. 12.

Raport Dániel

x

JELÖLÉSEK JEGYZÉKE

A táblázatban a többször előforduló jelölések magyar nyelvű elnevezése, valamint a

fizikai mennyiségek esetén annak mértékegysége található. Az egyes mennyiségek je-

lölése – ahol lehetséges – megegyezik hazai és a nemzetközi szakirodalomban elfoga-

dott jelölésekkel. A ritkán alkalmazott jelölések magyarázata első előfordulási helyük-

nél található.

Latin betűk

Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegység

𝑐𝐿 hangsebesség a folyadékban 𝑚 𝑠⁄

𝑚𝐺 gáz tömege a buborék belsejében 𝑘𝑔

𝑛 politropikus kitevő 1

𝑝∞ nyomás a folyadéktérben, buboréktól távol 𝑏𝑎𝑟

𝑝𝑔0 referencia gáznyomás 𝑏𝑎𝑟

𝑝𝑟𝑒𝑓 referencianyomás dimenziótlanításhoz 𝑏𝑎𝑟

𝑝𝐴 nyomásamplitúdó 𝑏𝑎𝑟

𝑝𝐺 gáz parciális nyomása 𝑏𝑎𝑟

𝑝𝐿 buborékfalra ható nyomás 𝑏𝑎𝑟

𝑝𝑉 gőz parciális nyomása 𝑏𝑎𝑟

𝑡 idő 𝑠

𝑣𝑚𝑎𝑥 maximális falsebesség buborék tágulásakor 𝑚 𝑠⁄

𝑦1 dimenziótlan buboréksugár 1

𝑦2 dimenziótlan buborék-falsebesség 1

𝑀𝑎 Mach-szám 1

𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥 maximális Mach-szám 1 𝑁 periódusszám 1 𝑃∞ környezeti nyomás 𝑏𝑎𝑟

𝑅 buboréksugár 1

𝑅0 referencia buboréksugár 𝑚

𝑅𝐸 egyensúlyi buboréksugár 𝑚

�̇� buborék falsebessége 𝑚 𝑠⁄

�̈� buborék falának gyorsulása 𝑚 𝑠2⁄

𝑇∞ közeghőmérséklet °𝐶

𝑇0 gerjesztés periódusideje 𝑠

ℜ specifikus gázállandó 𝐽 (𝑘𝑔 ∙ 𝐾)⁄

xi

Görög betűk

Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegy-

ség

𝜆 Ljapunov-exponens 1

𝜇𝐿 folyadék dinamikai viszkozitása 𝑃𝑎 ∙ 𝑠

𝜇𝑟𝑒𝑓 , 𝜇𝑟𝑒𝑓𝐴 , 𝜇𝑟𝑒𝑓

𝐵 referencia viszkozitások 𝑃𝑎 ∙ 𝑠

𝜌𝐿 folyadék sűrűsége 𝑘𝑔/𝑚3

𝜎 felületi feszültség 𝑁/𝑚

𝜏 dimenziótlan idő 1

𝜏0 gerjesztés dimenziótlan periódusideje 1

𝜏𝑣 állandósult válasz periódusideje 1

𝜔 gerjesztési frekvencia 1/𝑠

𝜔𝐸 buborék csillapítatlan sajátfrekvenciája 1/𝑠

𝜔𝑅 gerjesztés relatív frekvenciája 1

Indexek, kitevők

Jelölés Megnevezés, értelmezés

𝑟𝑒𝑓 referencia

𝑚𝑎𝑥 legnagyobb érték

𝐴 amplitúdó

𝐸 egyensúlyi

𝐺 gáz fázis

𝐿 folyadék

𝑅 relatív

𝑉 gőz fázis

1

BEVEZETÉS

Mozgást végző rendszerek viselkedésének befolyásolása többféleképpen történhet:

csak a gyakran alkalmazott megoldások felsorolásával mechanikailag, hő hatására

vagy éppen akusztikus úton, hangsugárzás segítségével. Ha buborékokat kis viszko-

zitású, folyékony halmazállapotú közegben valamilyen külső hatásnak vetünk alá, fi-

zikai tulajdonságai látványos változásokat mutatnak. Ezt a hatást nevezzük gerjesz-

tésnek, mely vonatkozásában pár lényeges adatot, paramétert gyakran ismerünk, és

amelyre a rendszer egy megfigyelhető reakcióval, ún. válasszal rendelkezik. Nincs ez

másként folyadékban keletkező buborékok esetében sem, amelyek a külső tényezők

hatására megváltozott, rendszerint bonyolult eszközökkel leírható mozgással jelent-

keznek. A kialakuló összetett folyamat mind hatásvizsgálati, mind alkalmazástechni-

kai szempontból tanulmányozandó, révén a mérnöki kutatásoknak egy igencsak új-

kori, még kevéssé alátámasztott szegmensét képezi. Ezek a lehetőségek adhatnak öt-

letet arra, hogy egy ismert anyagjellemzőkkel rendelkező folyadékban – vízben – vizs-

gáljuk az ultrahanggal stimulált buborékok bonyolult mozgásait.

Különféle ipari tevékenységekkel kapcsolatban gyakran emlegetjük a kavitáció fo-

galmát, mely általános megállapítás szerint olyan fázisátmenet, amely során gázré-

szecskék (gőzbuborékok) alakulnak ki folyadékban, egészen pontosan annak kis nyo-

mású tartományaiban. A kialakult emberi felfogás szerint a kavitáció – főleg áramlás-

technikában alkalmazott – gépeket roncsoló, élettartamukat rövidítő jelenség, melyet

ezen természetéből adódóan kerülni kell. A folyadékban keletkezett gőzbuborékok

gerjesztés hatására kialakuló mozgása pulzáló, mely ismétlődő összeroppanások és tá-

gulások váltakozásával jár. Ez a mozgásforma pedig bizonyos esetekben olyan fizikai

következményekkel bír, melyek miatt a folyamatot számos technológiában felhasznál-

ják. Ilyen vizsgálandó körülménynek bizonyulnak a buborék oszcillációja során kiala-

kuló extrém magas hőmérséklet és nyomás valamint az összeroppanással eredménye-

zett lökéshullám.

Jelen dolgozatban végzett elemzések egyik fő feladata az, hogy a gerjesztési

nyomásamplitúdó és gerjesztési frekvencia, mint változtatható paraméterek függvé-

nyében megtaláljuk azon tartományokat, ahol a fentebb említett körülmények fennáll-

nak. A felhasznált buborékmodell értelmében az elemzést egyetlen gömbszimmetri-

kus buborék viselkedésének feltérképezésére végeztük el. Az újszerűnek mondható

témában végzett numerikus számítási módszer létjogosultságát, illetve a kiértékelési

folyamat megbízhatóságát az utóbbi évtizedekben sokat fejlődött nemlineáris dina-

mika, továbbá az egyre növekvő számú publikációt felmutató kaotikus fizika tudo-

mányterületek felfedezései, modelljei biztosítják.

2

1. AZ OSZCILLÁLÓ RENDSZER BEMUTATÁSA

1.1. A buborék fizikája, periodikus viselkedése

Ha megfigyelünk egy gerjesztett folyékony közeget, egyetlen apró buborék – mely bel-

seje gőzt és gázt egyaránt tartalmaz – méretéhez képest meglepő, rendkívül számot-

tevő volumenű hatások beindítására vagy kialakítására képes. Mindezek magyaráza-

tához igen bonyolult matematikai és fizikai eszköztárhoz kell nyúlnunk, a viselkedés

feltérképezése azonban elengedhetetlen tudásanyaggal szolgál a kavitációs roncsolást

alkalmazó technikák számára. Az akusztikai zavarás spektrumának elvi tanulmányo-

zása leginkább a modern fizika fejlődő ágazatait érinti és a gerjesztett nemlineáris rez-

gések problémáját veti fel, ahogy arra Parlitz et al. (1990) rávilágít.

Egy buborék kialakulásához minden esetben legalább két fázis jelenléte szükséges,

sosem létezhet mindössze egyfázisú anyagban (Lauterborn és Kurz, 2010). A folyadék-

ban létrejövő buborékot egy folyékony halmazállapotú anyaggal körülvett, egyszerre

gázt és gőzt tartalmazó testnek tekintjük. Buborék továbbá a természetben a legritkább

esetben fordul elő egyedül – mégis, egy önálló buborék viselkedésének leírása lehet a

kiindulópont jóval összetettebb rendszerek, halmazok viselkedésének megértéséhez.

Ennek segítségére számtalan kifejtett tudásanyag áll rendelkezésre, a szakirodalmi

publikációk és új felfedezések száma pedig évről évre nő a témával kapcsolatban.

Többségük kísérleti alapja a buborék viselkedésének tanulmányozására annak akusz-

tikus csapdában való megfigyelése. Lauterborn et al. (2008) alapján a kísérlet során

egyetlen kisméretű buborékot fogva tartanak egy hangtérben, melyben - valamilyen

interferencia útján keletkezett – állóhullám figyelhető meg. Ez magában hordozza,

hogy a hangnyomás legnagyobb értéke minden pillanatban a tér egy adott pontjában

figyelhető meg, ez az amplitúdópont (antinode), melyben a buborékot lebegtetik. A

hangteret leíró állapotot egy külső, jellemzően szinuszos függvénnyel rendelkező ha-

tás hozza létre, például a közeghatárról visszavert hullámok találkozásával. Ez a külső

hatás egy tényleges mennyiséggel megadható hangnyomás-amplitúdóból és a trigo-

nometrikus függvény argumentumában szereplő frekvenciából (tetszés szerint az ez-

zel kifejezhető periódusidőből) álló összefüggés. Alakjának köszönhetően periodikus

ismétlődést gyakorol a rendszerre, az ilyen függvénnyel leírt hatást ekképp harmoni-

kus gerjesztésnek nevezzük. Akusztikus csapda alkalmazásával kialakított közegben

a buborék gyakorlatilag egy önszerveződő rendszernek tekinthető, vagyis méretét és

alakját a beható frekvencia és nyomásamplitúdó nagyságához idomulva veszi fel. Töb-

bek között Young (2005) szerint a fizikai sajátosságokon túl egy egyedülálló gerjesztett

buborék akusztikus térbe terelése olyan információkkal is szolgálhat, mint az oszcillá-

ció fényemissziós hatása (szonolumineszcenciája). Utóbbi egy kavitációval összefüg-

gésbe hozható jelenség, mely az ultrahangtérben előforduló fénykibocsátó üreg vagy

éppen buborék jelenlétére utal.

3

1.1.1. VÁLTOZÓ MÉRETŰ BUBORÉK ÉS A KÖZEG PARAMÉTEREI

Folyadékban lévő buborék általánosan rezgőrendszerként kezelhető. Mozgása során

egy tetszőleges méretű buborék alakja számottevően változhat, ez pedig az oszcilláló

mozgás fizikai hatásaira irányuló számításokat jelentősen bonyolíthatja. Ha azonban

kis méretben gondolkodunk, Koch et al. (2011) szerint a gömbszimmetria feltételezése

helyesnek bizonyulhat. Ennek magyarázata, hogy a buborékfalra, mint közeghatárra

a buborékmérettel fordítottan arányos tényező, a felületi feszültség hat, mely a bubo-

rékot eredeti méretéhez képest is még inkább összehúzza. A kis méretet szem előtt

tartva tekintsünk tehát egy gömbszimmetrikus buborékot: a leíró modellek felállításá-

hoz a testet körülvevő folyadék és a belső gőz/gáztartalom jellemzőinek tisztázása

szükséges. Gömbszimmetrikus esetben a méretet és formát meghatározó mérhető

mennyiség szükségszerűen és elegendően a buboréksugár 𝑅, melynek időbeli változá-

sát keressük (𝑅(𝑡)). Gerjesztés hatására a buborék oszcilláló mozgást végez, vagyis egy

egyensúlyi helyzete körül annál nagyobb méretűre tágul illetve kisebbre húzódik ösz-

sze, ismétlődő jelleggel. Az 1.1. ábrán feltüntetett paraméterek tartalmazzák az egyen-

súlyi helyzetet reprezentáló 𝑅𝐸 egyensúlyi buboréksugárt, a modell megadásához

szükséges anyagjellemzők mellett. Ilyen anyagjellemzők a buborék belsejében ideális

gázként kezelt közeg állapotváltozásának (adiabatikus vagy politropikus) általánosan

jelölt 𝑛 kitevője valamint a folyadék 𝜌𝐿 sűrűsége és 𝜇𝐿 dinamikai viszkozitása.

1.1. ábra: Buborék leírásához szükséges paraméterek (Lauterborn és Kurz, 2010) a később bemutatott

buborékmodell szerint alkalmazott jelölésekkel

Az ábrán továbbá jelölt mennyiségek közül a buborékon belül és kívül fellépő parciális

nyomáskülönbség (𝑝𝑉 + 𝑝𝐺)− 𝑝∞ a közegbeli buborékmozgásért felelős, 𝜎 pedig a bu-

borék falán értelmezhető felületi feszültség. A nyomáskomponensek bővebb jellemzé-

sére a felhasznált modell ismertetése tér ki a következő fejezetben.

4

1.1.2. A REZGÉS JELLEMZŐI ÉS HATÁSAI

Oszcilláló buborék matematikai leírására a buboréksugárra, mint időben változó

mennyiségre definiált mozgásegyenletek szolgálnak. Ezek megoldása a sugárra és an-

nak idő szerinti deriváltjára, a falsebességre felírt kezdeti feltételek megadásával tör-

ténhet, például Cramer és Lauterborn (1981) nyomán. A fejezetben már bevezetett har-

monikus gerjesztés meghatározott periódusidővel rendelkezik, hatására az egyszerű-

ség kedvéért mindaddig nyugalmi helyzetben megfigyelt buborék rezgőmozgást vé-

gez. A gerjesztésre a buboréksugár hirtelen megváltozásával reagál, majd a közeg csil-

lapítóképességétől függő ideig ún. tranziens oszcillációkat produkál. Ezek lecsengése

után a buborék is egy állandósult periodikus mozgást végez, mely során helyzete,

vagyis sugarának mérete azonos időközönként ismétlődik. Ez az időköz a válasz peri-

ódusideje, mely nem feltétlenül egyezik meg a gerjesztés periódusidejével. A változó

buboréksugár és az idő kapcsolatát egyszerűen szemlélteti az 1.2. ábra, mely egy peri-

óduson belül a rezgőmozgás alapvető fázisait mutatja be. Az oszcillálást jól követő

görbe sugallja, alkalmas gerjesztési és közegparaméterek mellett milyen hirtelenséggel

roppanhat össze, majd tágul ismét a buborék felszíne.

1.2. ábra: Szabadrezgést végző gömbszimmetrikus buborék egy lehetséges 𝑅 − 𝑡 kapcsolata állandósult

állapotban

Nemlineáris rezgést végző gömbszimmetrikus buborékok tipikus példája a fenti ábra,

a hosszú, elnyújtott tágulási folyamatot meredek görbével leírható összeroppanás kö-

veti. Ez sejteti, milyen extrém lökéshullámokat generál a vibrálás azon szakasza, ami-

kor a sugár maximum értékének nagyságrendjéből hirtelen gyakorlatilag mikroszko-

pikusan kicsi méretűre húzódik össze, majd ismét felduzzad. Az összeroppanás fázi-

sában ugyanis a buborék falsebessége ugrásszerűen megnő, ami számottevő fizikai

következményekkel jár: minimálisra zsugorodott buborék esetén a nyomás akár 1000

bar, a hőmérséklet pedig a 8000 K értéket is elérheti Brennen (1995) szerint. A rendkívül

5

magas hőmérséklet természetszerűleg kémiai reakciók beindítását eredményezi, vala-

mint fúziós jelenségek létrejöttéért is felelős. Utóbbit többen mérésekkel igazolták, pél-

dául Lahey et al. (2007) deutérium tartalmú acetonban végzett kísérleteknek köszön-

hetően. Taleyarkhan et al. (2002) pedig numerikus úton belátta, hogy a közvetlenül a

fúziós folyamatban résztvevő, nagyon kis méretűre összeszorult buborékok belsejében

a hőmérséklet felső határa 106 − 107K is lehet.

Természetesen az 1.2. ábrán vázolt mellett számtalan olyan esetet vizsgálhatunk, ami-

kor a válaszfüggvény időben sokkal kevésbé szabályos. Például nagyobb

nyomásamplitúdó alkalmazásával állandósult állapotban is kialakulhat olyan jelalak,

amikor a kicsi gömbszimmetrikus buborék sugara az egyensúlyi helyzet körüli kis

amplitúdójú oszcillációkat követően hirtelen megnő, majd minimálisra húzódik, a pe-

riódus végére pedig a csillapításnak köszönhetően gyorsan az egyensúlyi helyzetbe

kerül. Ilyenkor az ugrásszerű növekedés utáni összeroppanás is természetesen jóval

meredekebb lehet (giant response, lásd Lauterborn és Kurz (2010)).

1.2. A kavitáció típusai

Az akusztikai zavarnak, egy egészen praktikus és a dolgozat témáját is érintő példát

említve ultrahang-besugárzásnak kitett folyadékban üreg- vagy buborékképződés jön

létre, írja Lőrincz (2006). Feltétele, hogy az akusztikai nyomás a folyadéktérben ural-

kodó teljes nyomást tekintve lecsökkenjen egy határérték, a kavitációs küszöb alá. A

szükséges alkotóival az eddigiekben már jellemzett rendszerben kialakuló jelenséget

akusztikai kavitációnak nevezik, amely természetbeni előfordulás és felhasználási le-

hetőségek alapján két típusra osztható, lásd Mason et al. (2003). Tranziens esetben a

gázzal (vagy nagyon kis mennyiségben gőzzel) töltött kavitációs buborékok szabály-

talan rezgéseket végeznek, a kavitációs üreg megnövekszik, majd hevesen összeomlik,

magas helyi hőmérsékletet és nyomást, valamint a folyadékban komoly nyíróerőket és

szabadsugarakat eredményezve (1.3. ábra). Erre a típusra ugyancsak használatos a te-

hetetlenségi vagy „hard” kavitáció elnevezés is, Lőrincz (2006) szerint. A másik eset a

stabil kavitáció, amikor a buborékok több akusztikai cikluson keresztül rendezetten

oszcillálnak az akusztikai tér elhagyása vagy összeomlás nélkül. A depresszió (a bu-

borékfalra ható nyomás csökkenő fázisa) során méretük csökken, az ellenkező fázisban

a bennük lévő gőztartalom miatt kitágulnak.

6

1.3. ábra: Kavitációs üreg megnövekedését követő összeomlási folyamat, tranziens kavitáció (Lőrincz

(2006))

1.3. Alkalmazások különböző technológiákban

A kavitációs gőzbuborékok viselkedésének egyes szakterületeken kihasználható pozi-

tív tulajdonságai – ahogy a célkitűzést ismertető bevezetésben megemlítettem - jól is-

mertek, és beszámolhatunk régóta bevált vagy még kevésbé elterjedt, sőt jelenleg kí-

sérleti stádiumban lévő alkalmazásairól. Az ultrahangos besugárzás mint gerjesztés

nyomán kialakuló akusztikai kavitációs jelenség mérnöki jellegű felhasználási terüle-

tei közül legfőképp az élelmiszeripar és anyagtechnológia érdemel említést. Rajtuk kí-

vül pedig az orvostudomány és a biotechnológia ismert alkalmazásait is röviden jelle-

mezni kívánom. Mindenekelőtt kifejezetten ezeket az eljárásokat ismertetve Lőrincz

(2006) nyomán megjegyezhetjük, hogy az ultrahang a kibocsátott teljesítménye alapján

két osztályba sorolható: 1 𝑊

𝑐𝑚2 (10000𝑊

𝑚2) hangintenzitás alatt passzív, afölött pedig

aktív ultrahangról beszélünk.

Ultrahang alkalmazási területei közül eszerint passzív ultrahangos eljárást alkal-

maznak például olajipari feltárásokra, kőzetek és talajrétegek analízisére, hajózásban

a szonártechnológia gyakorlatában, vagy tengerészeti céllal halfalkák felkutatására.

Egyre elterjedtebb a folyamatirányítást korszerűen szolgáló ultrahangos áramlásmé-

rők és tartálybeli folyadékszintmérők gyártása. Ezen felhasználások legnagyobb része

az ultrahang folyadékban mért sebességén és a közegben indukált lökéshullám meg-

figyelésén alapul, ám mivel a dolgozat tárgyát képező buborékképződéssel nem állnak

szembetűnő kapcsolatban, a továbbiakban velük nem foglalkozunk.

Az aktív ultrahangos gerjesztéssel operáló technológiák rendkívül széleskörűek,

melyek legtöbbjének fő célja (vagy legalábbis közvetett kritériuma) az anyagáram és

hőátvitel növelése, az impulzustranszport megvalósítása és gyorsítása két fázis között,

lásd Hegedűs (2012). A következő felhasználások rávilágítanak arra, hogy bár a

kavitáció a természetben egy valóban roncsoló jelenség, mégis, pontosan annak ron-

csoló hatásmechanizmusát felismerve alakulhatott ki számos esetben korszakos jelen-

tőségű felfedezés alkalmazására.

7

Az élelmiszeriparban az egyre fejlődő és elterjedő felismeréseknek köszönhetően

lassan nincs olyan munkafolyamat, amely nem használhatná fel az ultrahangos bubo-

rékképzést. Elsődlegesen tisztításra, hő- és anyagtranszport-folyamatok gyorsítására,

szárításra, keverésre, húskészítményeknél a pácolási folyamat gyorsítására, szűrés elő-

segítésére és további számos szeparációs művelet elvégzésére alkalmazzák magát az

aktív ultrahangot. Chemat et al. (2010) kategorizálta az élelmiszeripari tevékenysége-

ket azok elvégzésére felhasználható hagyományos és valamilyen ultrahangos elvet

magában foglaló módszerek összehasonlítása szerint. Kavitációs jelenséggel kapcsola-

tos alkalmazást említenek habzásgátlási (szénsavas italok és erjesztett termékek, kon-

zervek) és oxidációs (alkoholok) műveletek, valamint emulziók képzése (ketchup, ma-

jonéz) és sérülékeny termékek veszteséggel járó vágása esetén. Az ultrahangos eljárás

mindegyik esetben kevesebb időt vesz igénybe, növeli a késztermék összetételi stabi-

litását és a higiéniát, a keletkező veszteségek minimálisra csökkentése mellett. A hab-

zás, mint egymáshoz nagyon közel elhelyezkedő buborékok diszperz (gázrészecskék

folyadékban) rendszere, kiválóan kontrollálható a felesleges képződés megakadályo-

zásával vagy éppen ellenkezőleg annak fokozásával. Az 1.4. ábrán vázolt elektronikus

vezérlésű ultrahangos transzdúcer forgása közben a hozzá rögzített emitter hangkibo-

csátásának hatására bonyolult anyagmozgásokat hoz létre a kezelt termékben, megnö-

velve ezzel a habzó felületet. A buborékok nagy többsége a kiterjeszkedett rendszer-

ben azonnal összeroppan és eltűnik az akusztikus besugárzás alatt, további részük a

dinamikus mozgás során egymással való ütközések miatt „robban szét”. Az úgyneve-

zett habtörési művelet optimalizálására persze nem csak a hangintenzitás mértéke, ha-

nem egy minimális kezelési idő ismerete is szükséges, ahogy azt Rodríguez et al. (2010)

a fenti folyamattal együtt részletezte.

1.4. ábra: Ultrahangos transzdúcer habtörésre (habzás csökkentése), forrás: De-Sarabia et al. (2006)

8

Friedrich (2008) összehasonlítást végzett a hagyományos, az úgynevezett tumbleres és

az ultrahangos pácolási technológiák között, és azt találta, hogy az ultrahang egyenle-

tesebb sóeloszlást és a húsminta teljes keresztmetszetében egyenletesen puhább állo-

mányt biztosított, mind a középső, mind a szélső rétegekben. Ennek fő oka, hogy az

ultrahang az állományon belüli „roncsolással” lazítja a rostszerkezeteket, 3 − 4 𝑊

𝑐𝑚2

hangintenzitással már 1,5 órás kezelés alatt jelentős rosttávolság-növekedést tesz lehe-

tővé. A pasztörizálási tevékenységbe is beszökő ultrahangos technológia komoly elő-

relépést jelentett a tejtermékek előállítása, kezelése szempontjából is. Cameron et al.

(2009) sikeresen megmutatta, hogy az így alkalmazott technikával elért E. coli,

Pseudomas fluorescens és Listeria monocytogenes baktériumok pusztításának nincs káros

hatása a pasztőrözött tej protein- és tápanyagtartalmára. Ráadásul a hagyományos,

legtöbbször körülbelül 70 °C-on mintegy 30 percig tartó kezeléssel összevetve az ultra-

hangos pasztörizálás rövidebb idő alatt, mérsékeltebb hőmérsékleten (50 °C) végbe-

mehet, az UHT-eljárásokhoz viszonyítva pedig még hangsúlyosabb a különbség. A

technológia során hangsúlyos hőmérsékletet ugyanis nem további közvetlen

hőbesugárzással, hanem a baktériumok és szövetbuborékok összeroppanásával járó

hőfejlődéssel is biztosítani lehet. Hővel párosítva az ultrahang növeli az élelmiszerek

csírátlanításának sebességét, az önálló hőkezeléshez viszonyítva pedig csökkenti a rá-

fordítandó időt, az intenzitást és az okozott károkat, beleértve a termék ízének romlá-

sát, megváltoztatását, lásd Vercet et al. (2001).

Az ultrahang ipari alkalmazásnak örvendő egyik legrégibb felhasználási példája a

polimerek degradációja. A kavitáción keresztül megvalósított depolimerizáció jelent-

het mechanikai (kavitációs buborék összeroppanása útján) és kémiai (a polimer és a

kavitációval felszabaduló aktív molekulák, pl. hidroxil-gyökök reakciója útján) bom-

lást, írja Grönroos et al. (2004) tanulmányában. Az eljárás használatos keményítők le-

bontására, közvetve tehát az élelmiszeriparnak is komoly érdekeltsége, felfedezése pe-

dig egészen 1933-ba nyúlik vissza Szent-Györgyi Albert nevéhez fűződően. Az anyag-

technológiában a polimerekkel kapcsolatos kutatások elsősorban új anyagok előállítá-

sát célozzák meg, sok esetben a polimerláncok tördelésének lehetőségét kihasználva,

melyet ultrahang képes előidézni. A nagy intenzitású ultrahang egyik hamar ismerte-

tett hatása ugyanis Flosdorf és Chambers (1993) valamint Gyorgi (1933) szerint a

polimerláncok oldatban való tördelése volt – amely egy hasadás következtében létre-

jövő irreverzibilis lánchosszredukciót jelent, melyet tehát nem feltétlenül kémiai folya-

mat indíthat be. Az oldatba két különböző típusú polimert helyezve a töredezés ered-

ményeként szabadgyökök keletkeznek, és azok reakciójával hoznak létre új polimere-

ket, valamint általánosan ez a folyamat felel meg láncvégi polimerek és blokk-

kopolimerek szonokémiai előállítására (Price (1996)).

A biotechnológia ágazatát érintik azok az ultrahangos eljárások, melyekkel az emul-

ziók és szuszpenziók szelektív akusztikai szeparációja illetve ülepítésének gyorsítása

érhető el. A hozzáférhető berendezésekből fakadó költséghatékonysága miatt a tech-

nológiát elsősorban a szennyvíz-, környezet- és fermentációs iparban használják.

9

Szennyvíz kezelése során például nem kizárólag szemcseméreten alapuló leválasztás

lehetséges: Mahvi (2009) számolt be a tisztítandó víz alga-, gomba- és oldott

szervesanyag-tartalmának ultrahang-besugárzással történő eltávolítási lépéseiről.

Az elmúlt pár évtized során szintúgy számos publikáció vizsgálta az ultrahang sejt-

biológiai hatásmechanizmusát. Ahogy a kavitációs eljárásoknál általában, a sejtbioló-

giában is a roncsoló jelzővel illethetjük az alkalmazások különféle technikáját –

Hughes (1961) bizonyította, az akusztikai kavitáció során keletkező szabadgyökök is

aktívan hozzájárulnak a mechanikai roncsolás kiváltotta sejtpusztuláshoz. Legáltalá-

nosabban Morton et al. (1982) fogalmazta meg azt, hogy a szuszpenziókban lévő sejtek

szétesnek, széttöredeznek ultrahangos besugárzás hatására. Specifikusabban Miller et

al. (1995) ultrahangos gerjesztés segítségével történő DNS-fonal töredezéséről, Macin-

tosh és Davey (1970) pedig kromoszómaszéttöredezésről beszélt. Ezekkel a felfedezé-

sekkel is szorosan összefügg az ultrahang mutagén (genetikai károsodást okozó) ha-

tásának felismerése: Thacker (1974) ennek bizonyítása mellett azt is belátta, hogy mu-

tagén elváltozásokra való hajlandóság a hőmérséklet emelkedésével nő. Egy másik

fontos közegparamétert vizsgálva pedig Cartensen et al. (1993) nyomán számolhatunk

be arról, hogy a sejtroncsolás mértéke a közeg viszkozitásának növekedésével csök-

ken, vagyis például vízben jobban garantálható a sejtek megfelelő oldódása, mint ne-

hezebben folyó szuszpenzióban.

Orvosi berkekben a kezdetben leginkább csak reumatológiára szolgáló terápiás al-

kalmazások mellett ma már sebészetben és urológiában, valamint rákos betegségek

kezelésében is feltűnik az ultrahang. Reumatológiában végzett terápia lényege pél-

dául, hogy az ultrahang mechanikus (mikromasszázs-hatás a rezgések miatt), termi-

kus (szövetek és határrétegek melegítése révén) és kémiai hatása következtében izom-

lazító, értágító hatást érnek el, miközben a kezeléseket akár víz alatt is el lehet végezni,

különböző hatóanyagok (gyógyszerek) kezelni kívánt területbe juttatásával, lásd Ko-

vács et al. (2008). Urológiában az akusztikai kavitációval járó rendellenes lökéshullá-

mok erejét használják ki, az úgynevezett extrakorporális lökéshullám-kezelés (ESWL)

elterjedt módszer vese- és epekőzúzásra. Ennek során a követ vagy köveket radiológiai

vagy ultrahangkontrollal nagy energiájú lökéshullámok fókuszában helyezik el, míg a

terápiás fókuszban a nyomás 400-1200 bar lehet. Az eljárás alapja az, hogy a folyadék-

ban (vagy lágyrész szövetekben) akadálytalanul terjedő lökéshullám két különböző

halmazállapotú anyag – így a kő és a folyadék határán – megsemmisítést okoz, ezzel

pár kezelés alatt több ezer lökéshullám lehetővé teszi a kövek felaprítását, szintén Ko-

vács et al. (2008) szerint. A ma már sokat emlegetett MR eljárásra (mágneses magrezo-

nancia) alapozva daganatok pusztítása érhető el oly módon, hogy több transzdúcer a

test egy pontjára fókuszált sugarának hatására fehérjék csapódnak ki, és a daganatok

nekik köszönhetően szívódnak fel. Hasonló eljárást jelent a magas intenzitású fóku-

szált ultrahang (HIFU) besugárzása, mellyel prosztata ultrahang-diagnosztikára ala-

pozva a rákos szövetek kezelhetők. Lőrincz (2006) rámutatása alapján lényeges kü-

10

lönbsége az MR-berendezéshez képest csupán az, hogy a test átvilágítása nem mágne-

ses rezonancia, hanem ultrahang segítségével oldható meg. Egy nagyon ígéretes vál-

faja az ultrahangos technológiáknak a génterápia (génmanipuláció), mely szintén

rosszindulatú daganatok kezelésére szolgálhat. Az eljárás során egyfelől

mikrobuborékokat, másfelől a betáplálandó géneket tartalmazó úgynevezett

terapeutikumokat juttatnak a célsejtek közelébe. Az ide történő ultrahang-besugárzás-

sal a kavitációs buborékok felrobbannak, a megsérülő sejtmembránon keresztül pedig

a gének bejutnak a célsejtbe, ezt követően a sejtek regenerálódnak. A gének sérthetet-

lenségének biztosításához mindenesetre a DNS-láncok védelme is szükséges, ugyanis

a sugárzás következtében kialakuló kavitáció azok nyírásához és pusztításához vezet-

het. Wasan et al. (1996) erre azt találta, hogy a plazmid DNS megfelelő védettséget

élvez a kavitációval szemben, ha a módszerhez kationos liposzómák (ezek szintén bu-

borékszerű üreges golyók) sejtközelbe juttatását alkalmazzák.

1.4. A dolgozat céljai

Ahogy az imént részletezett példák is rámutatnak, a kavitáció során létrejövő buboré-

kok alkalmazástechnikailag kihasználható nagy előnye a szokatlan fizikai hatásokat

produkáló viselkedésükben rejlik. Az egyes alkalmazások rendre a kavitációs buboré-

kok összeroppanásával keletkező hirtelen lökéshullámok, az összeroppanás helyén

észlelhető kiugróan magas hőmérséklet roncsoló mechanizmusán alapulnak. Ezen ult-

rahangos technológiák tanulmányozása megfelelő alapot nyújtott arra, hogy egy har-

monikusan gerjesztett gőz/gáz buborékot vizsgáljunk kis viszkozitású vízben, mint

hordozó közegben, mely anyagtulajdonságainak köszönhetően (viszkozitás, hangse-

besség, sűrűség) lehetővé teszi nagyobb amplitúdójú és kis periódusidejű (gyorsan

oszcilláló) lengések végbemenetelét is. Közvetlenül a viszkozitás azért is rendkívüli

fontossággal bíró közegparaméter, ugyanis ennek nagysága befolyásolja a kavitációs

folyamat során fellépő nyíróerőt és ezzel a kialakuló tranziens oszcillációk dinamiká-

ját. A gerjesztési paraméterek vizsgálatával olyan tartományok keresése a cél, amelyek

esetén minél nagyobb buborék-falsebességek jegyezhetők fel, a gyors összeroppaná-

sért ugyanis közvetlenül ez felelős. Ez arra ösztönöz, hogy nagy Mach-számokat ke-

ressünk, ahol annak értéke ugyanis 1-nél nagyobb, ott a falat összenyomó áramlás se-

bessége átlépi a helyi folyadékbeli hangsebességet.

Különböző típusú oszcillációk, ha úgy tetszik, válaszfüggvények keletkezhetnek a ger-

jesztett rendszerben a buborék nemlineáris mozgása miatt. További célunk tehát vizs-

gálni az eltérő jellegű periodikus (1, 2 és több periódusú) vagy kaotikus megoldásokat

eredményező tartományokat, mivel azok különbözősége más-más körülményekben

nyilvánul meg, például az indukált lökéshullám ereje is egymástól eltérhet, lásd He-

gedűs (2012). A kaotikus tartományok feltérképezésére a feladatmegoldások során is-

mertetett nemlineáris dinamikai mérőszám, a Ljapunov-exponens értékét vizsgáljuk,

11

mely a nyomásamplitúdó – relatív frekvencia paramétersíkra illesztve megfelelő in-

formációval szolgál a buborékmozgás fajtájáról. Az ebből levonható következtetések

könnyedén elősegíthetnek bizonyos ultrahangot alkalmazó technológiákat, ugyanis

megmutatja, hogy a kívánt erejű lökéshullámot a műszereken beállítható két fő para-

méter –hangintenzitás és frekvencia – mely értékeinél érhetjük el.

12

2. A SZÁMÍTÁSOK MÓDSZERE

2.1. Az alkalmazott modell bemutatása

Ahogy az előző fejezetben bevezetésre került, a buboréksugár időbeli alakulásának le-

írását mozgásegyenletekkel tehetjük meg. Ezek megoldása, tehát a buborékoszcilláció

keresett jellemzőinek tetszőleges tartományon elvégzett számítása valamilyen, a ren-

delkezésre álló szakirodalmakból alkalmasan megválasztott buborékmodellel történ-

het. A feladat numerikus számításaihoz felhasznált modellt Keller és Miksis (1980) ve-

zette be, melyet publikálóinak köszönhetően Keller-Miksis-modellnek hívnak. A vá-

lasztásnál már szem előtt kellett tartani, hogy a feladat megoldása során a folyadék

összenyomhatóságát is figyelembevevő modell szükséges, ugyanis elsősorban a nagy

buborékfal-sebességek feltérképezése érdekel. Lauterborn és Kurz (2010) alapján a

mozgásegyenlet közönséges másodrendű differenciálegyenletként a (2.1) szerinti exp-

licit időfüggést kiküszöbölő alakban írható.

(1 −�̇�

𝑐𝐿) 𝑅�̈� + (1 −

�̇�

3𝑐𝐿)

3

2�̇�2 =

1

𝜌𝐿(1 +

�̇�

𝑐𝐿) (𝑝𝐿 − 𝑝∞(𝑡)) +

𝑅

𝜌𝐿𝑐𝐿

𝑑(𝑝𝐿−𝑝∞(𝑡))

𝑑𝑡 (2.1)

Az egyenletben pedig ismerjük, hogy 𝑅(𝑡) az időben változó buboréksugár, 𝜌𝐿 a folya-

dék sűrűsége, 𝑐𝐿 az adott folyadékban értelmezett hangsebesség, 𝑝𝐿 a buborék falára

ható nyomás, a fal külső felületén a folyadék fázisban. A buboréktól távol értelmezett,

szintén folyadéktéri nyomás 𝑝∞(𝑡) egy gerjesztéstől független statikus és gerjesztési

paraméterektől függő periodikus tag összegeként írható:

𝑝∞(𝑡) = 𝑃∞ + 𝑝𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡), (2.2)

amelyben 𝑃∞ a környezeti nyomás, 𝑝𝐴 és 𝜔 a gerjesztési nyomás amplitúdója illetve

körfrekvenciája.

Fontos továbbá vizsgálni a buborékfali nyomást, nevezetesen összehasonlítani a fal

belső és külső felületén tapasztalható nyomásértékeket. A buborék belsejében ugyanis

vízgőz és nem kondenzálódó, ideálisnak tekintett gáz keveredik. Ezen komponensek

parciális nyomásaival tart egyensúlyt a külső falfelületen ható impulzusösszeg, melyet

többek között az imént jellemzett 𝑝𝐿 mennyiség táplál. A határfelületre felírható im-

pulzusegyensúly tehát az alábbi alakban érvényesül:

𝑝𝐺 + 𝑝𝑉 = 𝑝𝐿 +2 𝜎

𝑅+ 4𝜇𝐿

�̇�

𝑅 , (2.3)

ahol 𝑝𝐺 a buborék belső nem kondenzálódó gáz komponensének, 𝑝𝑉 pedig a gőz kom-

ponensnek a parciális nyomása, 𝜎 a felületi feszültség továbbá 𝜇𝐿 a folyadék dinamikai

viszkozitása.

A buborék belsejében időtől független állandónak tekinthetjük a kisebb tömeget

képviselő gőz 𝑝𝑉 parciális nyomását, ugyanakkor függ 𝑇∞ környezeti hőmérséklettől

(a közeg hőmérséklete). A belső gáznyomás ideális állapotváltozást tekintő adiabati-

kus kapcsolattal jellemezhető:

13

𝑝𝐺 = 𝑝𝑔0 (𝑅0

𝑅)

3𝑛

(2.4)

amelyben 𝑝𝑔0 és 𝑅0 a referencia nyomás illetve a referencia sugár, 𝑛 = 1,4 pedig a je-

lenleg érvényes adiabatikus állapotváltozás kitevője, hozzátéve, hogy általános eset-

ben a jelölés politropikus (valós) állapotváltozásra utal. A buborékfalon kívül értel-

mezhető anyagjellemzők paraméterfüggéseit tekintve mindenekelőtt megállapíthat-

juk, hogy a tiszta víz összes részletezett anyagjellemzője függ a közeg 𝑃∞ nyomásától

és 𝑇∞ hőmérsékletétől. Jelen esetben azonban 𝜎 felületi feszültségnek csak hőmérsék-

letfüggését vettük figyelembe, minden más anyagjellemző, így 𝜌𝐿 , 𝜇𝐿 és 𝑐𝐿 a közegnyo-

mástól is függ, és értékük az egyes számítások során állandónak vehető. A vizsgált

folyékony közeg víz lévén, a fenti anyagi tulajdonságok számszerű értékét Haar et al.

(1988) szerint a Haar-Gallagher-Kell-állapotegyenlettel határoztuk meg.

1.1.1. EGYENSÚLYI BUBORÉKSUGÁR A GERJESZTETLEN RENDSZERBEN

A buborék viselkedésének maradéktalan megértése és a modell ténylegesen determi-

nisztikus megadása végett mindenekelőtt lényeges a gerjesztetlen rendszer áttekin-

tése. Gerjesztetlen esetben a nyomásamplitúdó 𝑝𝐴 = 0, vagyis a rendszert jellemző

hangtéri nyomásfüggvény 𝑝∞(𝑡) a környezeti nyomással megegyező állandóként ke-

zelhető. A referencia értékek meghatározásához egy, buborékot jellemző paraméter

megadására még szükség van, ez lehet 𝑅𝐸 egyensúlyi buboréksugár vagy akár 𝑚𝐺 gáz-

tömeg.

A vizsgálódás első lépéseként keresendők a buborék nyugalmi helyzetét eredmé-

nyező egyensúlyi megoldások. Ebben a stacionárius esetben a matematikai modell

időfüggő tagjainak homogenitására való tekintettel (az idő szerinti deriváltak zérussal

egyenlők) 𝑅𝐸 egyensúlyi buboréksugárra a határfelületre felírt (2.3) egyenletből egy

újabb nemlineáris egyenlet írható fel, mégpedig:

0 = 𝑝𝑔0 (𝑅0

𝑅𝐸)

3𝑛

+ (𝑝𝑉 − 𝑃∞) −2 𝜎

𝑅𝐸 . (2.5)

A másik lehetőségünk éppen az, hogy az egyensúlyi sugár vagy gáztömeg helyett a

𝑝𝑔0 és 𝑅0 referencia értékeket adjuk meg tetszőlegesen, melyek a (2.6) egyenletben lát-

ható módon együttesen határozzák meg a buborék belsejében jelenlévő gáz tömegét

az alábbi formulával:

𝑚𝐺 =4 𝑝𝑔0 𝑅0

3𝜋

3 ℛ 𝑇∞, (2.6)

ahol ℛ a specifikus gázállandó. (2.5) egyenletet tovább vizsgálva 𝑅𝐸 egyensúlyi bubo-

réksugarat szabad paraméternek tekintve, valamint a referencia buboréksugarat 𝑅0 =

𝑅𝐸 választva, a referencia gáznyomás kiadódik:

𝑝𝑔0 =2 𝜎

𝑅𝐸− (𝑝𝑉 − 𝑃∞). (2.7)

14

1.1.2. AZ ELSŐRENDŰ RENDSZER

Modellünket egy másodrendű differenciálegyenlet írja le, a matematikai megoldó cél-

szerűbb leírása és egyben a számolás elvégezhetősége miatt azonban ezt elsőrendű

differenciálegyenlet-rendszerré kell alakítani. Ezt megtehetjük úgy, hogy a (2.1) mo-

dellben lévő deriválásokat a lehetséges módon elvégezzük, majd új változókat defini-

álunk. A rendszert jellemző időben változó nyomáskomponensek 𝑝𝐺 , 𝑝𝐿 és 𝑝∞(𝑡) idő

szerinti deriválásával az alábbi egyenletek írhatók fel:

𝑑𝑝𝐺

𝑑𝑡= −3𝑛𝑝𝑔0 (

𝑅0

𝑅)

3𝑛 �̇�

𝑅= −3𝑛𝑝𝐺

�̇�

𝑅 , (2.8)

𝑑𝑝𝐿

𝑑𝑡=

𝑑𝑝𝐺

𝑑𝑡+

2 𝜎

𝑅

�̇�

𝑅+ 4𝜇𝐿 (

�̇�

𝑅)

2

− 4𝜇𝐿�̈�

𝑅 , (2.9)

𝑑𝑝∞(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜔𝑝𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡). (2.10)

Ezen kifejtett tagokat az eredeti modellbe behelyettesítve, a Keller – Miksis-egyenlet

(2.1) jobb oldala bővebben kifejthető.

(1 −�̇�

𝑐𝐿) 𝑅�̈� + (1 −

�̇�

3𝑐𝐿)

3

2�̇�2 =

−𝜔𝑝𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑅

𝑐𝐿𝜌𝐿−

2𝜎+4𝜇𝐿�̇�

𝜌𝐿𝑅−

4𝜇𝐿�̈�

𝑐𝐿𝜌𝐿+ (2.11)

𝑝𝐺(1+(1−3𝑛)

�̇�

𝑐𝐿)

𝜌𝐿−

(𝑃∞+𝑝𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)−𝑝𝑉)(1+�̇�

𝑐𝐿)

𝜌𝐿.

A buboréksugár idő szerinti második deriváltjait együtthatóikkal bal oldalra ren-

dezve:

(1 −�̇�

𝑐𝐿) 𝑅�̈� +

4𝜇𝐿

𝑐𝐿𝜌𝐿�̈� =

𝑝𝐿−𝑝∞(𝑡)

𝜌𝐿+

�̇�

𝑐𝐿𝜌𝐿(𝑝𝐺(1 − 3𝑛) − 𝑝∞(𝑡) + 𝑝𝑉) − (2.12)

𝜔𝑝𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑅

𝑐𝐿𝜌𝐿− (1 −

�̇�

3𝑐𝐿)

3

2�̇�2.

Az új változókat pedig a buboréksugárra és annak idő szerinti első deriváltjára, a fal-

sebességre vezetjük be, a kiértékelés ábráin is megszokott betűzést (𝑦) választva, nagy-

betűvel és a megfelelő indexszel jelölve azokat.

𝑌1 = 𝑅, (2.13)

𝑌2 = �̇�, (2.14)

melyek átírhatók kizárólag új változókat tartalmazó egyenletekké, amelyben 𝑁 az an-

gol terminológiából vett számláló megnevezése (Nominator), 𝐷 pedig a nevezőt jelenti

(Denominator). Ezzel a Keller-Miksis-egyenletből differenciálegyenlet-rendszer hoz-

ható létre.

�̇�1 = 𝑌2, (2.15)

15

�̇�2 =𝑁

𝐷 , (2.16)

𝑁 és 𝐷 értéke a (2.12) egyenlet �̈� = �̇�2 mennyiségre való rendezésével kezelhető.

𝑁 =𝑝𝐿−𝑝∞(𝑡)

𝜌𝐿𝑌1+

𝑌2

𝑐𝐿𝜌𝐿𝑌1(𝑝𝐺(1 − 3𝑛) − 𝑝∞(𝑡) + 𝑝𝑉) −

𝜔𝑝𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)

𝑐𝐿𝜌𝐿− (1 −

𝑌2

3𝑐𝐿)

3

2

𝑌22

𝑌1, (2.17)

𝐷 = 1 −𝑌2

𝑐𝐿+

4𝜇𝐿

𝑐𝐿𝜌𝐿𝑌1 . (2.18)

Láthatjuk, hogy N és D megadásánál a tagokat 𝑌1 = 𝑅 értékkel leosztottuk mind a

számlálóban, mind a nevezőben.

1.1.3. A GERJESZTETT RENDSZER DIMENZIÓTLANÍTÁSA

A vizsgált számítási paraméterek dimenziótlan mennyiségekké alakításával az előbb

megalkotott elsőrendű rendszerré alakításon túl elérhetjük azt, hogy az esetlegesen

több nagyságrendben változó paraméterek kisebb, jobban kezelhető tartományban le-

gyenek érvényesek. Ekképpen új változóként bevezethető a dimenziótlan idő 𝜏, a

dimenziótlan buboréksugár 𝑦1 és a dimenziótlan buborék-falsebesség 𝑦2. A köztük

fennálló összefüggésre természetesen igaz, hogy 𝑦2 dimenziótlan falsebességet a

dimenziótlan buboréksugár 𝜏 szerinti deriválásával kapjuk. Megjegyzendő, hogy az

előző fejezetben az utóbbi két mennyiségre definiált új változók nagybetűs jelöléseivel

ellentétben a dimenziótlan jellemzőket ezúttal kis betűkkel és ugyanúgy a megfelelő

indexszel jelöljük.

𝜏 =𝑡

2𝜋

𝜔

= 𝜔 (𝑡

2𝜋) (2.19)

𝑦1 =𝑌1

𝑅𝐸 (2.20)

𝑦2 =𝑌2

𝑅𝐸𝜔

2𝜋

= 𝑌2 (2𝜋

𝑅𝐸𝜔) (2.21)

Ezzel előáll a dimenziótlan elsőrendű differenciál-egyenletrendszer a korábbihoz

nagyon hasonlóan:

�̇�1 = 𝑦2 (2.22)

�̇�2 =𝑁

𝐷 (2.23)

A második, (2.23) egyenletben kifejtett számláló és nevező képleteiben már szerepel-

nek a gerjesztett rendszer referencia mennyiségei illetve a pillanatnyi Mach-szám is.

𝑁 =(𝑝𝐿−𝑝∞)

𝑝𝑟𝑒𝑓 𝑦1+

𝑦2

𝜇𝑟𝑒𝑓𝐴 𝑦1

(𝑝𝐺(1 − 3𝑛) − 𝑝∞(𝑡) + 𝑝𝑉) −𝑝𝐴 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜏)

𝜇𝑟𝑒𝑓𝐵 − (1 −

𝑀𝑎

3)

3

2

𝑦22

𝑦1 , (2.24)

𝐷 = 1 − 𝑀𝑎 +4𝜇𝐿

𝜇𝑟𝑒𝑓 𝑦1 . (2.25)

A referencia értékeket sorba véve a referencianyomás

16

𝑝𝑟𝑒𝑓 = 𝜌𝐿𝑅𝐸2 (

𝜔

2𝜋)

2

, (2.26)

a referencia viszkozitások pedig

𝜇𝑟𝑒𝑓 = 𝑐𝐿𝜌𝐿𝑅𝐸 , (2.27)

𝜇𝑟𝑒𝑓𝐴 = 𝑐𝐿𝜌𝐿𝑅𝐸

𝜔

2𝜋= 𝜇𝑟𝑒𝑓

𝜔

2𝜋 , (2.28)

𝜇𝑟𝑒𝑓𝐵 = 𝑐𝐿𝜌𝐿𝑅𝐸

𝜔

(2𝜋)2 = 𝜇𝑟𝑒𝑓𝐴 1

2𝜋 (2.29)

egyenletekkel írhatók fel. A megjelenő fontos vizsgálati paraméter, a pillanatnyi Mach-

szám formulájában a dimenziótlan rendszer miatt az egyensúlyi buboréksugár is szük-

ségeltetik a buborék-falsebesség és a hangsebesség összehasonlítására:

𝑀𝑎 =𝑅𝐸 𝜔 𝑦2

2𝜋𝑐𝐿 . (2.30)

Változnak a buborék belsejére és környezetére felírható nyomáskomponensek alakjai

is. Elsőként a buborékon belüli gáznyomás formulája

𝑝𝐺 = (2 𝜎

𝑅𝐸− (𝑝𝑉 − 𝑃∞)) (

1

𝑦1)

3𝑛

, (2.31)

a határfelületen a folyékony közegben, illetve a buboréktól távol a folyadéktérben ható

nyomásfüggvények pedig kifejezhetők, mint:

𝑝𝐿 = 𝑝𝐺 + 𝑝𝑉 −2 𝜎

𝑅𝐸 𝑦1− 4𝜇𝐿 (

𝜔

2𝜋)

𝑦2

𝑦1 és (2.32)

𝑝∞(𝜏) = 𝑃∞ + 𝑝𝐴 𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝜏). (2.33)

Végül érdemes megnéznünk, hogy a modellt leíró változók dimenziótlanítása mel-

lett a vizsgálati paraméterek között találunk-e olyat, mellyel hasonlóképpen szükséges

eljárni. A gerjesztést meghatározó mennyiségek közül a kibocsátott hang frekvenciá-

jának értéke széles skálán mozogva akár több nagyságrendet is változhat, ezért töre-

kedni kell az intervallum lényeges szűkítésére – többek között a kontrol paraméterek

változtatásával kirajzolt bifurkációs diagramok jobb kezelhetősége végett. Ezért a ger-

jesztési frekvenciát eloszthatjuk egy szintén körfrekvencia dimenziójával rendelkező

mennyiséggel, az egyensúlyi buboréksugárhoz tartozó csillapítatlan sajátfrekvenciá-

val, melyet a modell paramétereivel Brennen (1995) határozott meg:

𝜔𝐸 = √3𝑛(𝑃∞−𝑝𝑉)

𝜌𝐿𝑅𝐸2 +

2(3𝑛−1)𝜎

𝜌𝐿𝑅𝐸3 . (2.34)

Az ennek segítségével előállított relatív frekvencia alakja pedig:

𝜔𝑅 =𝜔

𝜔𝐸 . (2.35)

Így a gerjesztés frekvenciáját egy alacsony tartományban, mindössze egy nagyságrend

változásban tudjuk vizsgálni, 𝜔𝑅 határait 0,1 és 3 értékeknek választva. Az ultrahang

frekvenciájának tartománya az akusztika tudománya szerint körülbelül 20 kHz és 100

MHz közé esik. Ennek felsőbb részét az itt bevezetett dimenziótlan frekvencia nem

17

veszi számításba, a jelenlegi paraméterhatárokkal elérhető körfrekvencia ugyanis a

mintegy 20 kHz és közel 1000 kHz határok között mozog - természetesen ezek már

meghaladják a hallható hang tartományát. A gerjesztési relatív frekvenciát és a többi

paramétert a számítás során alkalmazott értékeikkel a fejezet végi összefoglaló táblá-

zat tartalmazza (2.1. táblázat).

2.1.1. A DIMENZIÓTLAN EGYENLETRENDSZER LINEARIZÁLÁSA

Ha röviden meg szeretnénk vizsgálni, hogy a tárgyalt rendszer miként reagál a har-

monikus gerjesztésre, megfelelően megválasztott paramétersíkot kell felvennünk a

kontrol paraméterek vizsgált tartományán. Fontos megállapítást tehetünk olyan para-

métersíkot illetően, amikor az oszcilláció során összetartozó dimenziótlan buborék-

falsebesség - buboréksugár (𝑦2-𝑦1) eredménypárokat ábrázoljuk az idő (szükség sze-

rint dimenziótlan) függvényében. Gerjesztett rendszerben igaz, hogy ilyen fázistérben

a modellünkkel számított egymást követő megoldások a folytonosnak vélt ideális pá-

lya körüli kisebb-nagyobb perturbációkkal, egymástól való távolodással jelentkeznek.

A perturbációk, vagyis pálya körüli elcsavarodások mértékét jellemzi a csavarási szám

(winding number), amellyel bővebben most nem foglalkozunk, helyette egy másik di-

namikai mérőszám bevezetését alkalmazzuk.

Annak érdekében, hogy az egymást követő konvergált, vagyis állandósult megoldá-

sok egymástól való távolodásának mértékét számítani tudjuk, a modell egyenletrend-

szerének egy linearizált alakját kell használnunk. Így a nem linearizált, perturbált pon-

tokkal rendelkező meglévő megoldások körül lépésről lépésre linearizációt hajtunk

végre. A linearizált modell 𝑦1𝐿 és 𝑦2

𝐿 megoldása jelenti ugyanis azt, hogy a számítás

során megjelenő stabilnak tekintett megoldások koordinátái milyen távolságba esnek

a valós, perturbáló pontoktól. Segítségükkel határozható meg az ún. Ljapunov-expo-

nens értéke, mely a térben való exponenciális távolodás mértékét jellemzi: exponenci-

ális távolodásról a mérőszám 0-nál nagyobb értéke esetén beszélünk, míg ha a

Ljapunov-exponens negatív, a távolodás mértéke kisebb. Az oszcilláló rendszer dina-

mikai jellegét jellemző mennyiségről és annak megfigyeléséről a következő nagy feje-

zet bővebben foglalkozik (lásd 3.3. fejezet).

A linearizált modell előállítható, ha a leíró elsőrendű differenciálegyenletekből álló

egyenletrendszer Jacobi-rendszerét létrehozzuk. A számítások során elsőként megka-

pott bekonvergált megoldásokat számszerűen ugyanis majd a megkapott 2x2-es Ja-

cobi-mátrixba helyettesíthetjük be. A linearizált rendszer formális alakja a (2.36)

egyenlet szerinti:

[�̇�1

𝐿

�̇�2𝐿] = [

𝜕𝑓1

𝜕𝑦1

𝜕𝑓1

𝜕𝑦2

𝜕𝑓2

𝜕𝑦1

𝜕𝑓2

𝜕𝑦2

] [𝑦1

𝐿

𝑦2𝐿] , (2.36)

ahol L felső index a változókat a linearizált egyenletrendszerben értelmezi. A Jacobi-

mátrixon belül a már definiált egyenletrendszer két külön egyenletéből, mint két-két

18

változós függvényekből parciális deriválással nyert tagok találhatók. Ezek az egyenle-

tek a korábban már közölt

�̇�1 = 𝑓1(𝑦1, 𝑦2) = 𝑦2 és (2.37)

�̇�2 = 𝑓2(𝑦1, 𝑦2) =𝑁(𝑦1,𝑦2)

𝐷(𝑦1 ,𝑦2) . (2.38)

A parciális deriváltak a következőképpen alakulnak, jól láthatóan a mátrix második

sorának tagjai rendelkeznek bonyolultabb kifejezéssel.

𝜕𝑓1

𝜕𝑦1= 0 , (2.39)

𝜕𝑓1

𝜕𝑦2= 1 , (2.40)

𝜕𝑓2

𝜕𝑦1=

𝜕𝑁

𝜕𝑦1∙𝐷−𝑁∙

𝜕𝐷

𝜕𝑦1

𝐷2 , (2.41)

𝜕𝑓2

𝜕𝑦2=

𝜕𝑁

𝜕𝑦2𝐷−𝑁

𝜕𝐷

𝜕𝑦2

𝐷2 . (2.42)

Ekképpen az 𝑓2 függvénynek a két külön változó szerinti parciális deriváltjainak szám-

lálóiban szereplő kifejezések (2.24)-(2.25) egyenletekből kaphatók meg.

𝜕𝑁

𝜕𝑦1=

𝜕𝑝𝐿𝜕𝑦1

𝑝𝑟𝑒𝑓𝑦1−

(𝑝𝐿−𝑝∞)

𝑝𝑟𝑒𝑓𝑦12 −

𝑦2

𝜇𝑟𝑒𝑓𝐴 𝑦1

2(𝑝𝐺(1 − 3𝑛) − 𝑝∞(𝑡) + 𝑝𝑉)

+𝑦2

𝜇𝑟𝑒𝑓𝐴 𝑦1

(𝜕𝑝𝐺

𝜕𝑦1(1 − 3𝑛)) + (1 −

𝑀𝑎

3)

3

2

𝑦22

𝑦12 , (2.43)

𝜕𝐷

𝜕𝑦1= −

4𝜇𝐿

𝜇𝑟𝑒𝑓𝑦12 , (2.44)

𝜕𝑁

𝜕𝑦2=

𝜕𝑝𝐿𝜕𝑦2

𝑝𝑟𝑒𝑓𝑦1+

1

𝜇𝑟𝑒𝑓𝐴 𝑦1

(𝑝𝐺(1 − 3𝑛) − 𝑝∞(𝑡) + 𝑝𝑉) + (𝑀𝑎 − 2)3

2

𝑦2

𝑦1 (2.45)

𝜕𝐷

𝜕𝑦2= −

𝑀𝑎

𝑦2 . (2.46)

Az egyenletekben szereplő nyomáskomponensek parciális differenciáltjait (2.31) és

(2.32) összefüggések alapján adhatjuk meg:

𝜕𝑝𝐺

𝜕𝑦1= −3𝑛 (

2𝜎

𝑅𝐸− (𝑝𝑉 − 𝑝∞))

1

𝑦1

3𝑛+1, (2.47)

𝜕𝑝𝐿

𝜕𝑦1=

𝜕𝑝𝐺

𝜕𝑦1+

2𝜎

𝑅𝐸𝑦12 + 4𝜇𝐿 (

𝜔

2𝜋)

𝑦2

𝑦12 , (2.48)

𝜕𝑝𝐿

𝜕𝑦2= −4𝜇𝐿 (

𝜔

2𝜋)

1

𝑦1 . (2.49)

19

2.2. További ismertebb buborékmodellek

A buborék periodikus vibrálásának leírására az imént ismertetett modellen túl termé-

szetesen számos, a fenti anyagjellemzőket ugyanúgy vagy csak kis eltéréssel magában

foglaló buborékmodell alkalmas. Formuláik megadása és részletezése nélkül megem-

lítenék két olyan példát, melyek segítségével teljesen hasonló számítások végezhetők,

mint amiket a Keller-Miksis-modellel a dolgozatban véghez kívánunk vinni. Ezeket a

kapcsolódó szakirodalom is rendre elsőként említi meg, összehasonlítási alapot felál-

lítva a további példák bevezetéséhez is. A legegyszerűbb és kronológiailag is talán az

első gyakorta alkalmazott modell Rayleigh nevéhez köthető, mely ismeretes Lord

Rayleigh (1917) alapján. Ez azonban bizonyos fizikai jellemzők hatását (így a folyadék

viszkozitását és a felületi feszültséget) figyelmen kívül hagyja, az azokkal kiegészített

formulát Plesset (1949) mutatta be, melynek alakja és az abból kisebb átalakítással szár-

maztatott néhány egyenlet elnevezése a Rayleigh–Plesset-modell nevet kapta. Sajátos

jelenség figyelembevételére is alkalmas a jóval több változót tartalmazó Gilmore-mo-

dell, mely magában foglalja a pulzáló buboréktól a közeg irányába értelmezett, akusz-

tikai lökéshullámok formájában megvalósuló energiatranszportot is, lásd Gilmore

(1952). Ez esetben a buborékra úgy tekinthetünk, mintha fala egy gömb alakú, műkö-

désben lévő hangszóró membránja volna.

Ezekhez képest a rezgő buborék okozta hangsugárzást csakugyan figyelembe vevő

Keller–Miksis-modell a fenti (2.1) egyenlet alapján 𝑡 − 𝑅/𝑐 időpillanatban indított, idő-

késleltetéssel jellemezhető számítást végez Keller és Miksis (1980) formulájának meg-

felelően. A felsorolt buborékmodellek mindegyike egy közönséges másodrendű diffe-

renciálegyenletből áll, egymással való összehasonlításukat Prosperetti és Lezzi (1986,

1987) végezte összenyomható folyadékban. A köztük történő osztályozásnak azonban

nem sok alá/felérendelést társíthatunk, mivel gömbszimmetrikus közelítésre mind-

egyik bizonyítottan megfelel és felhasználható a buborékokkal végzett kísérletek so-

rán, leginkább a gerjesztés intenzitásának ismeretében, illetve a közeg jellemzőinek le-

hetséges vagy éppen megengedhetetlen elhanyagolásai alapján dönthetünk egyik

vagy másik mellett. Ehhez kapcsolódóan fontosnak vélem megjegyezni, hogy bár a

természetben előforduló kavitációs jelenségek lezajlásakor az oszcilláló buborékok

alakjáról egyáltalán nem mondhatjuk el, hogy szigorúan gömbszimmetrikus formát

követnének, a levezetett és validált matematikai modellek általánosítása miatt azon-

ban a számításokat gömbszimmetrikus esetre végezhetjük.

2.3. A módszer validálása elvégzett mérések eredményeivel

Vízben vizsgált buborékok oszcillációjával a fentebb felsorolt modellek alkalmazható-

ságának bizonyítására több mérést is végeztek, néhány ilyet Lauterborn és Kurz (2010)

ismertetett részletesen. Ezek célja, hogy jól reprezentálható módon összevessék egy-

20

egy modell ismert paraméterekkel végigvezetett számítási eredményeit kísérletek út-

ján meghatározott valós eredményekkel. Mind az általunk használt Keller-Miksis-mo-

dellre, mind pedig az ezzel könnyedén kimutatható kapcsolatban álló két említett mo-

dellre végeztek hasonló méréseket. Egyetlen buborék akusztikai hangtérbe terelését

követően Geisler (2003) 21,4 kHz gerjesztési frekvenciát alkalmazva figyelte meg a ki-

alakuló oszcillációkat oly módon, hogy a térbeli pozícióját a „csapdában” megtartó

buborékot egy jó felbontású mikroszkóp segítségével fényképezte a buborék rövid

időközönként (500 ns) kialakuló fázisaiban. Egy világosabb háttéren az oszcilláció

fényemissziós tulajdonságának köszönhetően feketén kirajzolódó buborék méretének

sormintáját tekintve jól megfigyelhető a lengés gyors összeroppanási és azutáni jóval

lomhább duzzadási fázisa (2.1. ábra). Kröninger (2008) szintén fotografikus sorozat

előállításával mérte ki az oszcilláció fázisdiagramját, 10 𝜇𝑠 mintavételezési időközzel

és mindössze annyi különbséggel, hogy rövid hullámhosszú lézerfényt fókuszált a

gömbszimmetrikusnak tekinthető buborékra.

A) B)

2.1. ábra: Egyetlen buborék vízben kialakuló oszcillációjáról készített fotografikus sorozat, a buborék

szonolumineszcenciás tulajdonságát kihasználva. Az A) ábrán Geisler kísérlete, a képsorozat

egy akusztikai ciklust fed le (forrás: Geisler (2003)). A B) ábra Kröninger fotografikus soro-

zatát szemlélteti lézer keltette buborékról, az összeroppanást és gyors buboréknövekedést kö-

vető 10 𝜇𝑠 elteltével kezdődően (forrás: Kröninger (2008)).

Geisler mérését a Gilmore-, Kröninger eredményeit pedig a Keller-Miksis-modellel

összevetve a 2.2. ábra megfelelően reprezentálja a tárgyalt modellek pontosságát.

21

2.2. ábra: Mérési eredmények összehasonlítása R-t (buboréksugár-idő) fázisdiagramon a buborékmo-

dellek: a, Gilmore-modell; b, Keller-Miksis-modell számítási eredményeivel. Az ábrákon a

folytonos vonallal húzott görbék a modellek eredményeit, az üres karikák pedig a kísérletekkel

meghatározott fázispontok helyék szemléltetik (a: Geisler(2003); b: Kröninger (2008)).

2.4. A nemlineáris oszcilláció vizsgálati lehetőségei

A tárgyalt akusztikusan gerjesztett rendszer fizikailag egyszerű rendszernek tudható

be, ugyanis kevés meghatározó összetevőből áll (a buborék mozgása mindössze

egyensúlyi sugara körüli lengés, összezsugorodás és kitágulás ismétlődő folyamata).

Ennek ellenére a buborék mozgása nem tekinthető szabályosnak, vagyis az állandósult

periodikus viselkedés helyett egyes tartományokban kaotikus sajátosságokat mutat.

Az állandósult rendszerekkel szemben a kaotikus mozgásra jellemző tulajdonságokra

Tél és Gruiz (2012) írta, hogy az nem ismétli önmagát, a kezdeti feltételekre való érzé-

kenysége miatt nem jelezhető előre és bonyolult geometriájú visszatérési szabállyal

(trajektóriákkal) rendelkezik, amely ezzel együtt rendezett, úgynevezett fraktálszerke-

zetű. A következőkben elsősorban az imént említett kiadvány segítségével arra kívá-

nok rávilágítani, hogy jelen rendszerben a más-más szabályszerűséggel vagy éppen

kaotikusként jellemezhető mozgás milyen leképezésekkel, ábrákkal vizsgálható cél-

szerűen.

A bonyolult rendszerek állapotára az alapvető kitérés-idő vagy sebesség-idő kap-

csolatok helyett a hely- és sebességváltozókat ábrázoló fázistér vizsgálatával következ-

tethetünk. A fázistérben elhelyezkedő pontok vándorlása testesíti meg a rendszer

mozgását, az így összeköthető pályát nevezzük trajektóriának. Előfordulhat, hogy a

fázisteret 3 változójával szükséges leírni, esetünkben is az explicit időfüggés miatt a

három dimenziótlan mennyiség (𝑦1, 𝑦2, 𝜏) kapcsolata írja le egyértelműen a mozgás

pályáját a kétdimenziós 𝑦1-𝑦2 fázissík helyett, ahol a lengés során egyre konvergáló és

az idő elteltét nem tükröző trajektóriák sokasága tűnik fel. A háromdimenziós fázis-

térből egy alteret, tetszőleges elnevezés szerint metszetet készíthetünk, és a kétdimen-

ziós fázissíkon kirajzolódó trajektóriák pontjait csak ezen a metszeten értelmezzük.

22

Ekképp, ha ezt a metszetet valamilyen helyzet bekövetkeztére utaló feltétel teljesülé-

sével definiáljuk, Poincaré-leképezést alkalmazunk, a metszetet pedig Poincaré-met-

szetnek nevezzük. Az említett helyzet akkor áll fenn, ha egy trajektória eléri a 𝜏 = 𝑇0

időpillanatot illetve 𝑇0 pozitív egész számú többszörösét, ahol 𝑇0 a gerjesztés perió-

dusideje. Ilyenkor a metszeten létrejövő pontoknak a 𝜏 = 0 időpillanatba tolt S fázissí-

kon való vetületei egyenként megadják a Poincaré-metszet pontjait, melyeket sorrend-

ben összekötve láthatjuk, hogy a mozgás pályája hány lépést követően ugrik vissza a

kezdeti feltétellel megadott pontba. Fontos kitétel a Poincaré-metszet kezeléséhez,

hogy esetünkben a periódusidőt egységnyinek vesszük, 𝑇0 = 1. A Poincaré-metszet

alkalmazásával a válasz periódusidejére és így a megoldás periódusára következtet-

hetünk. Utóbbi azt jelenti, hogy a válaszfüggvény hányszoros periódusidővel rendel-

kezik a gerjesztés 𝑇0 periódusidejéhez viszonyítva, a 2.1. ábrán vázolt eset például egy

3 periódusú megoldást mutat.

2.1. ábra: A Poincaré-metszet előállítása a trajektóriák 𝜏 = 𝑘𝑇0 időpillanatbeli elmetszésével,

𝑘 ∈ ℕ. Forrás: Hegedűs (2012).

A dolgozatban vizsgált buborékmozgás kézenfekvő leképezése a dimenziótlan bu-

boréksugár – dimenziótlan buborék-falsebesség fázissík. Kiemelt fontossággal bír te-

hát a következőkben a Poincaré-leképezés lehetőségének kihasználása, amely az emlí-

tetteknek megfelelően az explicit időfüggés miatti 3 dimenziós megoldáshalmazt 2 di-

menziós fázissíkon szemlélteti. Összegzésképpen el kell különítenünk, hogy az 𝑦1-𝑦2

fázissíkon egyértelmű Poincaré-pontok egy fix időközöket vizsgáló iterációs leképezés

eredménye, míg az 𝑦1-𝑦2-𝜏 fázistérben egyértelmű trajektória a folytonos mozgás

egész idejű lekövetése. A fázispontok pályája, a trajektória a fázistér egy vonzó hal-

maza, az attraktor felé közeledik. Ez a vonzó halmaz jelenleg is tárgyalt mozgások

esetén lehet periodikus és kaotikus attraktor is, és a fázispont pályáját a válasz egy

stabil megoldásába konvergáltatja.

23

2.2. ábra: Fázisdiagramok bemutatása: bal oldalon a dimenziótlan buborék-falsebesség a dimenziótlan

idő függvényében, jobb oldalon a fázissíkon kirajzolt trajektóriák láthatók

A fenti 2.2. ábrán a jelölt fekete pontok a fázispontok pillanatnyi helyzetét jelölik, me-

lyek koordinátáit a Poincaré-leképezés nyomán a metszet pontjaiként ismerjük. Lát-

ható, hogy a trajektóriák sokasága fraktálszerkezetű alakzatot eredményez, és a vizs-

gált időintervallumon belül még nem tér vissza önmagába. Az ábrán a diagrampár egy

rövidebb ideig értékelő számolás eredményeit mutatja, nagyobb időtartomány esetén

a trajektóriák jelentősen sűrűsödnek, és a konvergencia a sűrűsödéssel megfigyelhető

(lásd később).

2.5. Numerikus szimuláció kezdő lépései

A számításokat a fejezet korábbi részében bemutatott dimenziótlanított változókkal

definiált Keller – Miksis-modell MATLAB szoftverben való felhasználásával végeztük.

A modell matematikai kódolása során a Haar-Gallagher-Kell-állapotegyenlettel meg-

állapított vízre jellemző anyagi tulajdonságokkal dolgoztunk. A szabad paraméterek-

kel való numerikus számításokhoz a program eszköztárába beépített ode113 megoldót

alkalmaztuk, mely egy szigorú toleranciákkal számolni képes, nem merev differenci-

álegyenletek megoldására használható függvény. Ily módon teljesítettük a futtatáso-

kat a két szabad változó, az ultrahangos gerjesztés nyomásamplitúdójának és relatív

frekvenciájának adott tartományán külön-külön, illetve kérdeztük le az egyszeri meg-

oldásokat, a Poincaré-metszetek pontjait és a kirajzolható bifurkációs ábrákat a kons-

tans paraméterek fix és a változók tetszőleges értéke mellett. A következő nagy feje-

zetben mindenekelőtt bemutatnám, miként állapíthatjuk meg a gerjesztésre adott vá-

lasz jellegét, hiszen fontos tudnunk, hogy a vizsgált paraméterek mely tartományán

viselkedik a buborék kiszámítható módon periodikus lengéseket végezve, és melyek

azok a gerjesztési paramétersávok, amikor káosz jellemző a rendszerben.

A szimulációk során az előzőekben említetteknek megfelelően változtatható para-

métereknek 𝑝𝐴 nyomásamplitúdót és 𝜔𝑅 relatív frekvenciát választottuk. Előbbi érté-

két 0-5 bar között, utóbbiét pedig az alsóbb tartományokon sűrűbb számolásokat vé-

gezve 0,1-3 között változtattuk. A kontrol paraméterek mellett a vizsgált rendszer to-

24

vábbi jellemzőit konstansnak vettük minden számítás során, ezek az egyensúlyi bubo-

réksugár 𝑅𝐸=10−4m, valamint a buboréktól távoli nyomás 𝑃∞ és hőmérséklet 𝑇∞ (1 bar

illetve 25 °C).

Mennyiség 𝑝𝐴 [bar] 𝜔𝑅 [-] 𝑅𝐸 [m] 𝑃∞ [bar] 𝑇∞ [°C]

Paraméter-típus

szabad szabad fix fix fix

Érték 0 - 5 0,1 - 3 10-4 1 25

2.1. táblázat: A számítások során alkalmazott szabad (kontrol) paraméterek tartományai és fix paramé-

terek konstans étékei

25

3. PERIODIKUS ÉS KAOTIKUS TARTOMÁNYOK MEGÁLLAPÍTÁSA

A (2.3) fejezetben említést tettem arról, hogy a gerjesztett rendszer válaszfüggvénye

milyen alakú lehet, tehát milyen különböző megoldásokat különböztethetünk meg a

számítás tartományán. Eszerint léteznek könnyebben kezelhető, meghatározott perió-

dusú stabil és valamilyen kaotikus attraktorhoz tartó (szintén stabil) megoldások. Pe-

riodikus megoldások felkutatásának legkézenfekvőbb módszere a mozgásegyenletet

leíró dimenziótlanított állapotjellemzők (így egyenként a buboréksugár vagy falsebes-

ség) szemlélése, akár a fázisteret alkotó többi jellemző kapcsolatában, akár a gerjesztési

paraméterek függvényében bifurkációs diagramokon.

3.1. Kezdeti érték megoldó az 𝒚𝟏-𝒚𝟐 fázissíkon

Ha a kezdeti érték számításokat (nemzetközi rövidítés szerint: IVP – Initial Value

Problem) 𝑦1 és 𝑦2 értékek vizsgálatával végezzük, a megoldásokra a 2.2. ábrán is vázolt

fázissík segítségével következtethetünk. A számítás során a gerjesztett rendszert egy

általunk deklarált kezdeti értékből (𝑦1(0), 𝑦2(0); mely célszerűen a Poincaré-metszeten

megjelenő első pont helye a síkon) indítva azt várjuk, hogy a trajektória önmagába

záródjon, vagyis bekonvergáljon egy adott esetben periodikus megoldáshoz. A telje-

sen hasonlóan felépített 3.1. ábra bal oldalán a 𝜏 = 0 időpillanatban indított rendszer-

ben a Poincaré-metszet pontjainak első koordinátái tetszőlegesen hosszú időtarto-

mány elteltével láthatóan tartanak egy meghatározható 𝑦1 értékhez. Ezzel együtt a

trajektóriák (jobb oldal) egyre közelebb futnak egymáshoz, végül bezáródnak, miköz-

ben egyre a piros színnel jelölt, állandó megoldást jelképező szintvonal felé konver-

gálnak.

3.1. ábra: Stabil helyzetbe konvergáló megoldás: (𝑦1(0)=2, 𝑦2(0)=0) kezdeti feltételekkel indítva,

𝑝𝐴=1 bar és 𝜔𝑅=0,8 nyomásamplitúdó és relatív frekvencia mellett vizsgáljuk a rend-

szer válaszát.

26

A fázisdiagramokra ránézve a Poincaré-pontok első koordinátáinak konvergálása azt

sejteti, hogy a kezdeti tranziensek után állandósult megoldás jelentkezik, melyet a

trajektóriák egymáshoz való közeledése is mutat. Az ábrán fekete görbe jelöli a rend-

szer tranziens válaszát, megmutatva a buboréksugár változását az időben előreha-

ladva, míg pirossal a tranziensek lecsengése után beállt állandó megoldás figyelhető

meg. Utóbbit úgy mutathatjuk be legegyszerűbben, ha a jelenlegi gerjesztési paramé-

terek (𝑝𝐴=1 bar, 𝜔𝑅=0,8) mellett lekérdezzük a Poincaré-metszet első pontjának koordi-

nátáit, majd azokat adjuk meg kezdeti feltételként (itt 𝑦1(0)=2,1466; 𝑦2(0)=2,5856).

Vagyis állandósult állapotban bizonyos időközönként a fázispont helyzete ismétlődik,

ez periodikus viselkedést jelent, mégpedig az időközt a válasz 𝜏𝑣 periódusidejeként

értelmezve. Figyelembe véve, hogy a gerjesztés periódusideje a dimenziótlanított idő

(3.19) formulája miatt 𝜏0 = 1, a 3.1. ábra szerinti példa 1 periódusú megoldáshoz vezet,

ugyanis 𝜏𝑣 = 1, és általános esetben írhatjuk, hogy 𝜏𝑣 = 𝑁 ∙ 𝜏0, ahol 𝑁 ∈ ℤ\{0} a kere-

sett periódusszám.

Kézenfekvő megoldással szolgálhat a válaszfüggvények típusának megállapítására

az a módszer, ha a szabad paraméterek kiragadott értékeinél a Poincaré-rajzolóval

vizsgáljuk, hogy hány pontot vesz fel a konvergált megoldás az 𝑦1-𝑦2 metszetre. A

Poincaré-leképezésnél ismertetettek értelmében a gerjesztés egységnyi

(dimenziótlanított) periódusidejének elteltével mintavételezzük a fázispont pályájá-

nak koordinátáit, így könnyen belátható, hogy a válasz periódusa a kirajzolódó pontok

számával egyezik meg. Ezzel a rövid vizsgálódással a megoldás jellegét gyorsan is-

mertté tehetjük, akár 𝑁 periódusú stabil megoldásokat, akár kaotikus válaszfüggvé-

nyeket találunk, ilyenekre mutat példát a 3.2. ábra alább.

3.2. ábra: Periodikus és kaotikus megoldások megállapítása a Poincaré-metszeten kirajzolódó

pontok száma alapján, a diagramterületen feltüntetett gerjesztési nyomásamplitúdó

és relatív frekvencia értékek mellett.

27

A bal oldali ábrákon stabil 1 (felső) és 3 periódusú megoldások láthatók, míg jobb ol-

dalon a fázispontokat a metszeten kék pontokkal feltüntetve kaotikus megoldást kap-

tunk. Utóbbi azt jelenti, hogy 𝑇0 időközönként a metszet pontjai nagyon, akár végtelen

sok különböző buboréksugárnál jelennek meg (valójában azonban az iterációk felső

korlátja miatt beállított maximum 128 Poincaré-pont rajzolódik ki). Ezek a példák

mind olyan esetre igazak, amikor a válasz, tehát a fázispontok pályája egy attraktorhoz

tart. Abban az esetben, ha a térben több vonzási tartomány (basin of attraction) is meg-

jelenik, a megoldások 2 vagy több attraktorhoz tartanak, ilyenkor a metszeten is külön-

külön megoldásokat figyelhetünk meg. Természetesen más-más színnel célszerű jelöl-

nünk a pontokat, így tapasztalhatjuk, hogy két külön vonzási tartományhoz rendel-

hető megoldások eltérő periódusú vagy akár kaotikus megoldással rendelkezhetnek.

Az együtt létező attraktorok rövidebb ismertetését a buborékképződés sebessége gya-

nánt a 4.1. fejezet tartalmazza.

Stabil megoldások esetén a válasz periódusát mind az 𝑦1-𝜏, mind az 𝑦1-𝑦2 síkon

szemléltethetjük. A 3.3. ábrán különböző gerjesztési paraméterpárokkal kialakuló ál-

landósult N=1, 4 és 6 periódusú megoldások különíthetők el, melyek periódusideje a

gerjesztés 𝜏0 dimenziótlan periódusidejéhez viszonyíthatóan 𝑁 ∙ 𝜏0. Az ábra jobb olda-

lán az 𝑦1-𝑦2 fázissíkon ugyanezekhez a periodikus megoldásokhoz tartozó trajektóriák

a megoldás periódusszámával megegyező számú Poincaré-ponttal rendelkeznek.

3.3. ábra: Periodikus buborékmozgások szemléltetése, a fázisgörbe és a trajektóriák 𝑁 = 1, 4 és

6 periódusú megoldásokat mutatnak be. (A gerjesztési paraméterek 𝑁 = 1 esetén:

𝑝𝐴=1 bar, 𝜔𝑅=0,8 ; 𝑁 = 4 esetén: 𝑝𝐴=2,5 bar, 𝜔𝑅=1,8 ; 𝑁 = 6 esetén 𝑝𝐴=3 bar, 𝜔𝑅=2.)

A dimenziótlan idő 𝜏 függvényében a konvergált megoldások abszolút értékeinek ma-

ximumát (|𝑦1(𝜏)|𝑚𝑎𝑥 , |𝑦2(𝜏)|𝑚𝑎𝑥) is tárolhatjuk a későbbi elemzésekhez felhaszná-

landó. Az így még dimenziótlan jellemzőkből (2.20) és (2.21) egyenletek felhasználá-

sával lehetőségünk van visszaszámolni, és a buboréksugár valamint maximális sebes-

ség értékeit SI mértékegységben megkaphatjuk például azok Poincaré-ábrán való fel-

tüntetésekor.

28

3.2. Periodikus megoldások értelmezése bifurkációkon keresztül

Fázisdiagramok alkalmazásán túl egy ultrahangos műszer állítható értékeivel kapcso-

latba hozható paraméterek gerjesztő hatására adott válasza másképp is vizsgálható.

Ha az előző alfejezetben írtak szerint a megoldás jellegének megállapítására törek-

szünk, a futtatásaink eredményeként felvehető bifurkációs diagramok is segítségünkre

lehetnek. Ezek általánosan olyan diagramok, melyek a mozgást végző rendszerelem

valamely kiragadott jellemzőjét tüntetik fel a kontrol paraméter függvényében. Az el-

sődleges szabad paramétert, a nyomásamplitúdót az előre rögzített feladat értelmében

0-tól 5 bar-ig, 0,01 bar lépésközzel változtatjuk a relatív frekvenciák konstans értéke

mellett, majd a számolás eredményeit megjeleníthetjük oly módon, hogy a buborék-

mozgás valamely meghatározó mérőszámát ábrázoljuk az amplitúdó függvényében.

Ilyen típusú diagramokkal olyan esetekben találkozhatunk, amikor a nemlineáris

mozgás során egyszerre stabil és instabil állapotok lehetnek jelen a fázistérben, vagyis

ha a tárgyalt rendszer bistabilitásra hajlamos. Tél és Gruiz (2002) szerint egy stabil

rendszer külső körülmény hatására elbizonytalanítható, bistabillá tehető, ekkor az ere-

detileg egyetlen stabil állapot megszűnik, és két különböző, új stabil egyensúlyi állapot

lép fel. Oszcilláló buborékot elemezve a külső hatásnak tekinthetjük például a besu-

gárzott ultrahang nyomásamplitúdójának változását, miközben a hang frekvenciája

változatlan. Amikor a rendszer instabillá válna, a mozgásnak két lehetséges továbbha-

ladási iránya adódik, a létrejövő egyik illetve másik stabil állapot. Az instabilitási pon-

tot a paraméterváltozás tartományán bifurkációs pontnak, magát a kettőződést pedig

úgynevezett bifurkációnak nevezzük. Bifurkáció alatt általánosan többféle átmenetet

érthetünk, buborékok vizsgálata során jelen esetben ezek közül a stabil periódusket-

tőző és ún. nyereg-csomó bifurkációkat említjük meg. Mindkettőre láthatunk példát

a fejezet további részében, különösen a 3.5. ábrán. Ahogy Parlitz et al. (1990) is írja, a

bifurkációs diagramok legfőképpen az attraktorok természetének bemutatására alkal-

masak különböző paraméterállások függvényében. Példaképpen, ha egy attraktor (ne-

vezzük azonosan állandósult megoldásnak) 2 periódusú, tehát jellege a gerjesztő

hangtér 2 lengésének időközével ismétlődik, abban az esetben a szabad paraméter

azon értékénél két pont jelenik meg a diagramon. Ezt a törvényszerűséget szem előtt

tartva gyorsan megállapíthatjuk bifurkációs ábrákon, hogy milyen különböző perio-

dikus és adott esetben kaotikus attraktorok jellemzőek a nemlineáris rendszerben. Pe-

riodikus attraktorok mellett tehát ugyanúgy léteznek kaotikus megoldások is, a fejezet

egyik feladata pedig ezek tartományainak feltérképezése is. A 3.4. ábra szemléletes

magyarázatot nyújt a bifurkációs diagramokon rendre megjelenő perióduskettőzések-

ről, amely a korábban említett bifurkációs pont megjelenésével értelmezhető. Kaotikus

tartományok vonatkozásában azért is érdemes megemlíteni a fogalmat, ugyanis az

egyik leggyakoribb és minden bizonnyal legszemléletesebb káoszhoz vezető folyamat

ezen perióduskettőzések sorozata.

29

3.4. ábra: Perióduskettőző bifurkációsorozat értelmezése, ahol az attraktor Poincaré-metszeten

értelmezett egyik koordinátáját (𝑥𝑃) ábrázolhatjuk egy szabad paraméter, jelen eset-

nek megfelelően az amplitúdó függvényében. A függőleges pontozott vonalak bifur-

kációs pontokon átmenő 𝑝𝐴 = áll. egyenesek, a szaggatott vonalak pedig a kettőződés-

sel megszűnő instabil pályákat követik. (Forrás: Tél és Gruiz (2002))

Általánosan az ábra alapján leszűrhetjük a perióduskettőződéseknél jellemző szabály-

szerűséget, vagyis a változó szabad paraméter 𝑝𝐴𝑛 értékének elérésekor 2𝑛 periódusú

ciklus jelenik meg. Az egyre magasabb rendű ciklusok már csak egyre rövidebb amp-

litúdó intervallumokban bizonyulnak stabilnak, egészen 𝑝𝐴∗ úgynevezett akkumulá-

ciós pontig, amelyet követően formálisan végtelen hosszúságú ciklus jöhet létre. Ká-

osz, vagyis kaotikus mozgásállapot a 𝑝𝐴 > 𝑝𝐴∗ tartományban jelenhet meg, azonban

az elméleti megállapítástól eltérően kaotikus tartomány után is tapasztalhatunk kiala-

kuló stabil (sokszor egy periódusú, majd a periódusokat ismét többször kettőző) meg-

oldásokat, erre a 3.5. ábrán láthatunk majd példákat.

A nyomásamplitúdó, mint bifurkációs kontrol paraméter kapcsán meg kell jegyez-

nünk, hogy a számítások során egyre növekvő értéke mellett a folyadéktérben kiala-

kuló nyomás negatív előjelű is lehet. Ez a (2.2) és egyben (2.33) egyenletek értelmében

𝑝𝐴 > 𝑃∞ intervallumban fordulhat elő, amely elég széles tartománynak számít, te-

kintve, hogy a környezeti nyomás 1 bar. A problémával kapcsolatban többen végeztek

alkalmazhatóságot vizsgáló méréseket, Lauterborn és Engelbert (1984) például egyet-

len gázbuborék gerjesztésével kimértek egy úgynevezett spektrális bifurkációs diag-

ramot. Ez alapján megállapították, hogy legfeljebb 𝑝𝐴=14,8 bar amplitúdóra a buborék

oszcillálása még észlelhető és leolvasható periódusú vonzó attraktorokkal rendelke-

zik, vagyis ezen az értéken a folyadék még kibírja a negatív abszolút nyomást.

Az alábbiakban a buborékmozgás bifurkációit a dimenziótlan buboréksugár megje-

lenítésével mutatnám be, a vízszintes tengelyen változó paraméter a

nyomásamplitúdó 𝑝𝐴. Ezt a kapcsolatot a Poincaré-leképezéssel szoros kapcsolatban

30

vizsgálhatjuk, ugyanis 𝑃(𝑦1) tulajdonképpen nem más, mint az alább felfedezhető sta-

bil periodikus vagy éppen kaotikus megoldások Poincaré-metszetén kirajzolódó első

pontjának első koordinátája. A 3.5. ábra diagramjait különböző konstans relatív frek-

venciákon ábrázoltuk, vagyis sorrendben az 𝜔𝑅= 0,2; 0,5; 2 és 3 mennyiségek eredmé-

nyeit. Az állandó paramétereket (környezeti nyomást és hőmérsékletet, valamint

egyensúlyi buboréksugarat) a 2.4. fejezetben ismertetett értékekkel adtuk meg. A négy

frekvenciaérték közül kettő a vizsgálati tartomány alsó, kettő pedig a felsőbb részét

képezi – ennek magyarázata az a gyakorlati elképzelés, miszerint így jól elkülöníthető

információhoz jutunk az oszcilláció jellegéről alacsonyabb és magasabb frekvenciákat

összehasonlítva. Célunk azt megfigyelni, hogy milyen periódusú és mekkora hosszú-

ságú állandósult megoldások léteznek egyes frekvenciákon, illetve hol számíthatunk

szélesebb kaotikus sávokra. Az intervallum további karakterisztikus értékének számít

𝜔𝑅=1, amelyet egy későbbi összehasonlításra és tapasztalati megállapításra haszná-

lunk fel (lásd 3.6. ábra).

3.5. ábra: A nyomásamplitúdó egyenletes változtatásával elért bifurkációs diagramok kivétel

nélkül a teljes tartományon, konstans 𝜔𝑅 gerjesztési frekvenciákon; a síkra vetített

buborékjellemző a dimenziótlanított buboréksugár 𝑦1. A stabil görbeágakon feltünte-

tett számok az attraktorok periódusára utalnak, az üres piros körök pedig a nyereg-

csomó bifurkációkat szemléltetik.

31

Kisebb frekvenciákon észrevehetően kevesebb perióduskettőzés és általában jóval

kisebb periódusszámú megoldások sorozata jelenik meg. Az 𝑦1=1 egyensúlyi helyzet-

től (ilyenkor még gerjesztetlen állapotban a buborék mérete az egyensúlyi buboréksu-

gárral jellemezhető, lásd (2.20) egyenlet) valamelyest távolodva az egyperiódusú stabil

megoldás után a nyomástartomány alsóbb részén vagy olyan bifurkációt tapasztalunk,

amely utáni periodikus ciklus meglehetősen rövid, esetleg perióduskettőző bifurkáció

helyett máris kaotikus megoldás jelentkezik. A bal oldali ábrákon ekképpen kifejezet-

ten alacsony nyomásamplitúdó mellett, mindkét frekvencián valamivel 1 bar alatt ka-

otikus tartományok alakulnak ki, ám ezek ciklusa is egyenként rövid. Ezzel egyetem-

ben meg kell említeni, hogy 0,2 és 0,5 relatív frekvenciákon feltűnően sok nyereg-

csomó bifurkáció történik. Ismérve, hogy egy bistabil ponton áthaladva gyors átmenet

után az attraktor egy egyperiódusú stabil ágon halad tovább, míg egy másik instabil

ág a folyadéktérben valamilyen egyéb stabil megoldás felé vándorol (ezt az ágat az

ábrákon nem rajzoljuk ki). Ilyen típusú bifurkációra néhány példát piros karikával jelöl

a diagram, legtöbbjük egy rövidebb kaotikus ablak után kialakuló egyperiódusú meg-

oldás kezdeteként értelmezhető. Magasabb nyomásamplitúdón, megnövekedett bu-

boréksugárnál 𝜔𝑅=0,5 relatív frekvencián jóval hosszabb ciklusú 1 és 2 periódusú meg-

oldásokat, illetve rövidebb 4 és 8 periódusúakat, viszont alacsonyabb frekvencián

ugyanúgy a bifurkációkat szinte rögtön követő szűkebb kaotikus tartományokat ta-

pasztalunk.

Lényeges információval bír az az észrevétel, hogy a magasabb frekvenciákon az elő-

zőeknél jóval magasabb nyomásamplitúdón is periodikus megoldásokat, mégpedig

rendre nagyobb periódusszámúakat találunk. Ezeket a 3 bar közeli és még afölött is

jellemző intenzív, hosszabb ciklust eredményező bifurkációk és a nyomástartományon

tulajdonképpen végig jelentkező együtt létező attraktorok magyarázzák, csakúgy,

mint a kevésbé jellegzetes periódusszámok kialakulását (például 9 és 11). Noha ala-

csonyabb frekvenciákkal összevetve a kaotikus tartományok is szélesebbek és a bubo-

réksugár jelentős szórásával jöhetnek létre, köztük azonban rövidebb-hosszabb cik-

lusú periodikus megoldások is jelentkezhetnek, akár nagyszámú együtt létező attrak-

torral, sokszor kifejezetten sok periódusú zónát eredményezve (𝜔𝑅=3 esetén 4 bar kö-

rül).

Az így felépített bifurkációs diagramok kapcsán egy újabb rövid vizsgálatot is tehe-

tünk, ha megnézzük, hogy 𝜔𝑅=1 gerjesztési relatív frekvencián milyen megoldásokkal

találkozhatunk, illetve a nyomásamplitúdó változásával növekvő dimenziótlan bubo-

réksugár milyen maximum értéket vehet fel. Mindez azért bizonyul érdekesnek,

ugyanis (2.35) és (2.36) egyenletek alapján ekkor a gerjesztési frekvencia nem más,

mint a csillapítatlan rendszer sajátfrekvenciája (𝜔𝐸), vagyis más frekvenciákhoz képest

nagyobb periódusszámú megoldás és több kaotikus attraktor, vagy akár nagyobb

dimenziótlan buboréksugarak kialakulását várjuk. Maximális dimenziótlan buborék-

sugár 𝑦1𝑚𝑎𝑥 ábrázolása is lehetséges, azonban a 3.5. ábráról következtethetünk, hogy

32

erre a mennyiségre a legkisebb frekvenciákon kapjuk a legnagyobb értékeket. Az ösz-

szehasonlításra szolgáló 𝑦1-𝑝𝐴 bifurkációs diagramokat (3.6. ábra) a tárgyalt csillapí-

tatlan frekvencia közelébe eső további pontokon (𝜔𝑅=0,8 és 1,2) vesszük fel.

3.6. ábra: Bifurkációs diagramok 𝜔𝑅=1, valamint 𝜔𝑅=0,8 és 1,2 konstans relatív frekvenciákon

Az egyensúlyi sugárhoz tartozó csillapítatlan sajátfrekvenciának megfelelő 𝜔𝑅=1 rela-

tív frekvenciával jellemezhető gerjesztés esetén a nyomásamplitúdó-tartomány köze-

pén jellemző kaotikus válasz; több periódusú megoldások és egyszerre létező több att-

raktort követően 𝑝𝐴=1,94 bar-nál alakul ki a kaotikus sáv. Mindkét másik környező

frekvenciaértéken hosszabb ciklusú kaotikus válasz, így összetettebb válaszfüggvény

figyelhető meg, és az ilyen típusú megoldásokkal elért dimenziótlan buboréksugár is

rendre nagyobb, mint 𝜔𝑅=1 kaotikus tartományaiban. Azt azonban látjuk, hogy utóbbi

frekvencián a kaotikus részt követően is képesek hosszú periodikus megoldások ki-

alakulni, méghozzá stabil perióduskettőző bifurkációk következtében a gerjesztés leg-

felső tartományán 8 periódussal. A stabil mozgások jelenlétében elért dimenziótlan

buboréksugár pedig nagyobb, mint az alsó ábrákon helyet kapó frekvenciákon jel-

lemző.

Abban az esetben, ha a relatív frekvenciát tekintjük szabad paraméternek, és kons-

tans nyomásamplitúdókra lekérdezzük a buborék egy dimenziótlan méretét, a fenti

33

összevetést segítő paraméterkapcsolathoz jutunk. Ezúttal a relatív frekvencia függvé-

nyében ábrázolhatjuk 𝑦1-et vagy éppen 𝑦1𝑚𝑎𝑥-ot, a választás azért esett utóbbira, mert

azzal az ún. nagyítási diagram áll elő. Felvételével folytonosságban is láthatjuk, hogy

a rendszer miként viselkedik 𝜔𝑅=1 kitüntetett frekvencia körül valamint az egész frek-

venciatartományon. A bifurkációs diagramokat egyrészt a környezeti nyomásnak

megfelelő 𝑝𝐴=1 bar-on, illetve a 3.6. ábra vonatkozásában a már kaotikus zónákat ered-

ményező nyomás, 𝑝𝐴=2,5 bar fix értékre vettük fel.

3.7. ábra: Nagyítási diagramok előállítása 𝑦1𝑚𝑎𝑥 maximális dimenziótlan buboréksugár 𝜔𝑅 szabad pa-

raméter függvényében történő ábrázolásával

A környezeti nyomással megegyező nyomásgerjesztés esetén kimondottan kaotikus

tartományok a legalacsonyabb frekvenciákon léteznek, ahogy a nagyobb buboréksu-

garak is azokon állnak elő. Egy hiszterézis rajzolódik ki 𝜔𝑅= 0,5 körül (egészen ponto-

san 0,51-nél), melynek csúcsához rendelhetjük a legnagyobb 𝑦1𝑚𝑎𝑥 értéket, míg innen

𝜔𝑅= 1 felé haladva az csak monoton csökken. 2,5 bar nyomásamplitúdó alkalmazásával

𝜔𝑅= 1 relatív frekvencia kaotikus sávba esik, a kaotikus zóna pedig alacsonyabb frek-

vencia felé haladva viszonylag széles ablakban jelenik meg.

A fenti 3.5.-3.7. ábrák alapján összegzésképp elmondhatjuk, hogy a gerjesztési

nyomásamplitúdó növelésével a Poincaré-metszet kiragadott pontját jellemző 𝑦1

dimenziótlan buboréksugár nő. A beállított konstans frekvenciákat tekintve pedig az

látszik, hogy nagyobb 𝑦1-et minél kisebb értékkel érhetünk el. Mindazonáltal a vála-

szok jellegének és eltérő stabilitásának bemutatásán túl a buboréksugár bővebb vizs-

gálatával foglalkoznunk nem érdemes, ugyanis a feladat szempontjából a

dimenziótlan buborék-falsebesség alakulása (és a számítható sebességmaximumok

megadása) a lényeges. A következő fejezetben ennek megfelelően járunk el, és keres-

sük a vizsgált paraméterek azon tartományát vagy konstans értékét, amelyeken a le-

hető legnagyobb falsebességek kialakulnak. Előtte azonban érdemes a már korábban

is érintett kaotikus jellegről beszámolnunk egy, a nemlineáris dinamika és a jelen szá-

mítások szempontjából is fontos káoszparaméteren, a Ljapunov-exponensen keresz-

tül.

34

3.3. Kaotikus rendszerek mérőszáma, a Ljapunov-exponens

Stabil dinamikai rendszerekkel összehasonlítva a 2.3. fejezetben már említettem a ka-

otikus rendszerek néhány lényeges vonását. Egy buborék oszcillációja során is ilyen

tulajdonságoknak bizonyul a szabálytalan, előre ismeretlen jellegű mozgás vagy az

egyensúlyi helyzettől való kis kezdeti eltérések gyors növekedése. A mozgásfajta el-

döntésére vagy éppen a káosz mértékének megállapítására ismerünk különféle mérő-

számokat, úgy, mint a gyakrabban emlegetett (topologikus) entrópia, melyet tekinthe-

tünk egyszerűen a bonyolultság jellemzőjének. Tél és Gruiz (2002) alapján írhatjuk,

hogy a rendszer dinamikai instabilitását, másképp a kezdőfeltételekre való érzékeny-

ségét egy másik számmal adhatjuk meg, általánosan megnevezve a Ljapunov-expo-

nenssel, amelyet az előrejelezhetetlenség mérőszámának tekintünk. Értelmezésének

alapja az a megfigyelés, miszerint a fázistérben két, egymáshoz közeli kezdeti értékkel

indított fázispont pályája fokozatosan távolodik egymástól. Ezen exponenciális távo-

lodás mértékét jellemző mennyiség a lokális Ljapunov-exponens. Ha a kezdeti fázis-

térbeli távolság ∆𝑟0, akkor tetszőleges 𝑛 ≫ 1 időlépést követően számítható távolság

az alábbi alakú:

∆𝑟𝑛(𝑟) = ∆𝑟0𝑒𝜆(𝑟)𝑛, (3.1)

ahol az exponenciális tényező kitevőjében lévő 𝜆(𝑟) a lokális Ljapunov-exponens. Egy

attraktoron a kiszemelt pontpárok távolodásának átlagával célszerű számolni, a pont-

párok ugyanis közeledhetnek vagy stabil helyzetben is maradhatnak egymáshoz ké-

pest. Ilyen megfontolással beszélhetünk a �̅� átlagos Ljapunov-exponensről, melyre �̅� >

0 exponenciális távolodással jellemezhető kaotikus rendszerek és �̅� ≤ 0 nem kaotikus

rendszerek (exponenciálisnál lassabb távolodás) esetén. Példaként a korábbi 3.2. feje-

zetben bemutatott nyomásamplitúdó bifurkációs diagramokon keresztül értelmezhet-

jük a számításokkor használt átlagos mérőszámot. A 3.5. ábrához visszanyúlva bár-

mely konstans relatív frekvencián elvégzett számítás esetére hasonlóképpen ábrázol-

hatjuk a Ljapunov-exponenst is 𝑝𝐴 változásának függvényében. A kapott eredmények-

ből világosan látszik, hogy a korábbi diagramokon megállapított kaotikus tartomá-

nyok pontjai az újonnan előállított diagramon a 𝜆 = 0 értéknél húzható vízszintes fölé

kerülnek (3.8. ábra). Megjegyezném, hogy a továbbiakban Ljapunov-exponens említé-

sekor az átlagos mérőszám értendő, jelöléséhez pedig felülvonás nélkül 𝜆-t használjuk.

35

3.8. ábra: A Ljapunov-exponens változása 0-5 bar nyomásamplitúdó-tartományon 𝜔𝑅=0,5 és 2 esetén

(alul) összehasonlítva az ezekre a relatív frekvenciákra felvett 𝑃(𝑦1)- 𝑝𝐴 bifurkációs diagra-

mokkal. Kék szaggatott vonal jelöli azt az állandó vízszintest, ahol 𝜆 előjelet vált, vagyis a

stabil periodikus és kaotikus attraktorok létezésének határát.

A 3.5. ábrán láttuk, hogy 𝜔𝑅=0,5 relatív frekvencián 1 bar nyomásamplitúdó környé-

kén találunk egy keskenyebb kaotikus sávot, illetve a tartomány végén, stabil perió-

duskettőző bifurkációk után egy szélesebb ciklusban. A 3.8. ábra bal alsó részén való-

ban feltűnik egy ilyen sáv pontosan atmoszférikus nyomásnak megfelelő amplitúdón,

azonban egy önálló kaotikus attraktor már 𝑝𝐴=0,77 bar-on is jelentkezett. A jobb olda-

lon feltüntetett 𝜔𝑅=2 relatív frekvencia esetén az első kaotikus attraktort 𝑝𝐴=2,36 bar

mellett rögzíthetjük, 3,2 bar fölött pedig a kaotikus zónák közti néhány többperiódusú

attraktoron kívül gyakorlatilag végig kaotikus megoldásról beszélhetünk.

Az eredmények kiértékelése során egyik feladatunk a kaotikus zónák megkeresése és

annak szemléletes bemutatása a szabad paraméterek tartományán. Ehhez a gerjesztési

paraméterek (𝑝𝐴, 𝜔𝑅) kis lépésközzel vizsgált minden értékére megkeressük a maxi-

mális Ljapunov-exponenst, majd a két futó paraméter vonatkozásában egy 3 dimen-

ziós ábrában tüntetjük fel ezeket a maximumokat, láttatva ezzel a kaotikus sávokat (5.

fejezet).

36

4. JELENTŐS BUBORÉK-FALSEBESSÉGEK KERESÉSE

Az előző fejezetben láttuk, hogy a szabad paraméterek függvényében változó bubo-

rékméretet bemutató bifurkációs diagramok megfelelő információval szolgálnak a fo-

lyadéktérben oszcilláló buborék viselkedésével, mozgásának válaszfüggvényével kap-

csolatban. Periodikus és kaotikus tartományok feltérképezésén túl a buboréksugár ala-

kulásának ismerete azonban nem elsődleges szempont számunkra; a minél erőtelje-

sebb lökéshullámok eléréséhez, az összeroppanások gyors végbemeneteléhez nagy

buborék-falsebesség elérése szükséges. Ennek vizsgálatára a számítások során 𝑦2

dimenziótlan falsebességgel dolgozunk, amelyről a 2. fejezetben ismertetett modell át-

tekintéséből tudjuk, hogy 𝑦1 dimenziótlan buboréksugár idő szerinti deriváltja ((2.22)

egyenlet). Ha az előző fejezetben bemutatott egyes periodikus oszcillációk állandósult

válaszait tekintjük, a bekonvergált megoldások maximális (dimenziótlan) sebességér-

tékeit is meg tudjuk jeleníteni, az eredmények tárolása mellett pedig a programmal a

(2.21) egyenlet alapján azok abszolútértékei átszámolhatók SI-mértékegység szerinti

értékre:

𝑣𝑚𝑎𝑥 = |𝑦2(𝜏)|𝑚𝑎𝑥 (𝑅𝐸𝜔

2𝜋) [

𝑚

𝑠] . (4.1)

Sebességek számításának egyik lehetősége tehát az, hogy az egyébként szabad para-

métereink fix értéke mellett tájékozódunk a megoldás jellegéről, és a Poincaré-metsze-

ten kiírjuk az egy attraktorhoz tartozó maximális sebesség vagy akár buboréksugár

értékét. Lényeges azonban megjegyezni, hogy ezzel a módszerrel kizárólag a buborék-

sugár növekvő fázisában elérhető maximális sebességek kérdezhetők le.

Az összeroppanási fázisban nagy buborék-falsebességeket felmutató tartományok

felkutatásának kizárólagos eredményre vezető módszere a bifurkációs diagramok to-

vábbi vizsgálata. A 3. fejezetben bemutatott dinamikai vizsgálattól eltérően a szabad

paraméter változásával valamilyen sebesség jellegű mennyiséget is be tudunk mu-

tatni. Ezt a legkézenfekvőbb módon a falsebesség és a közegbeli hangsebesség arányát

megadó Mach-számmal tehetjük meg, miután az áramlástanban használatos dimenzió

nélküli mérőszámot e két fizikai mennyiség kapcsolatával a (2.30) egyenletben kifejez-

tük.

4.1. Maximális sebességek táguláskor, vizsgálat fázissíkon

Egy buborék kiragadott gerjesztési paraméterekre adott válaszát az előbbiekben már

vizsgáltuk annak reményében, hogy gyors, egyértelmű információt kapunk dinamikai

jellegéről, az állandósult megoldás periodicitásáról avagy kaotikus voltáról. A 3.2. áb-

rán periódusszámok megállapítása miatt ábrázolt Poincaré-metszeteken egyéb lénye-

ges mennyiségek is kirajzolhatók, így például a buborékfal maximális sebessége adott

periódusú attraktor jelenlétében. A metszeten lévő pontok száma természetesen

37

ugyanannyi lesz, mint az elsődlegesen létrehozott 𝑃(𝑦2)- 𝑃(𝑦1) síkon. Ily módon az

említett ábrán bemutatott megoldások állandósult oszcillálás során elért legnagyobb

sebességét ismertté tehetjük, ha a metszet egyik tengelyén azt ábrázoljuk. A 4.1. ábrán

az 1 és 3 periódusú megoldásokat a megszokott 𝑦1-𝜏 fázissíkon vesszük fel, feltüntetve

a mozgás során elért 𝑣𝑚𝑎𝑥 buborékfal-tágulási sebességet és az érdekesség kedvéért

𝑅𝑚𝑎𝑥 buboréksugárt. E két érték kapcsolatának szemléltetésére a kaotikus megoldást

magán a Poincaré-metszeten ábrázoljuk.

4.1. ábra: Különböző típusú buborékoszcillálások maximális buborék-falsebességeinek számítása. Bal

oldalon állandósult periodikus megoldások 𝑦1-𝜏 fázissíkon: feketével 1 periódusú válasz (ger-

jesztési paraméterei 𝑝𝐴=1 bar és 𝜔𝑅=0,8), piros színnel 3 periódusú (𝑝𝐴=3 bar és 𝜔𝑅=1,8).

Az ábra jobb oldali részén egy kaotikus attraktorral jellemezhető mozgás 𝑣𝑚𝑎𝑥-𝑅𝑚𝑎𝑥 kapcso-

lata.

Periodikus megoldások után érdemes olyan esetet jobban vizsgálnunk, amikor a fá-

zistérben több együtt létező attraktor van jelen. Ilyenkor ugyanis a buborék sokkal ki-

számíthatatlanabbul képes viselkedni, azt tekintve legalábbis mindenképp, hogy az

oszcillálás időben különböző jellegű válaszai során a buborék növekedésével más-más

maximális sebességek számíthatóak. Olyan paraméterállást, melyhez több attraktor

rendelhető, az előző fejezetben ábrázolt bifurkációs diagramok segítségével kereshe-

tünk. A 3.7. ábrán vázolt nagyítási diagram alapján például 1 bar-on 𝜔𝑅=0,5 körül ta-

lálkozhatunk olyan megoldással, melynél a fázissíkon több vonzási tartomány van ér-

vényben. Ezen a példán lehetőségünk van megnézni, hogy a maximális dimenziótlan

buboréksugárt eredményező hiszterézis felső ága és további egyéni attraktorok egy-

mástól mennyire különböző maximális sebességet képesek létrehozni a tágulás során.

Ekképp a fent említett atmoszférikus nyomásnak megfelelő amplitúdóval és egészen

pontosan 𝜔𝑅=0,51 relatív frekvenciával gerjesztett buborék oszcillációja során egy 1

periódusú pálya és egy kaotikus attraktor létezik együtt. A teljesség kedvéért érdemes

keresnünk több együtt létező megoldással jellemezhető paraméterállást is, ezúttal vá-

logathatunk a 3.5. ábra szerinti nyomásamplitúdó diagramokról. Az 𝜔𝑅=3 relatív frek-

venciára vázolt eset 𝑝𝐴=3,39 bar értékénél együtt jelentkezik egy 3, egy 8 és egy 12 pe-

riódusú attraktor, melyek maximális sebességeit ugyanúgy kirajzolhatjuk a Poincaré-

metszeten.

38

4.2. ábra: Együtt létező megoldások állandósult oszcillációja során kialakuló maximális buborékképző-

dési sebességek. Látható, hogy a különböző attraktorok esetén tapasztalható maximumok

mennyire eltérhetnek; a jobb oldali ábrán a 12 periódusú megoldással kisebb buboréksugara-

kon elért maximális sebesség (≈25 m/s) legfeljebb alig harmada a 8 periódusú megoldással

járó maximális értéknek (≈77,5 m/s).

4.2. Mach-számok ábrázolása bifurkációs diagramon

Az összeroppanáskor közvetlenül elérhető jelentős buborék-falsebességek egész para-

métertartományon kezelhető feltérképezésének közvetlen módja természetesen a bi-

furkációs diagrammal való ábrázolás. A gerjesztést jellemző szabad paraméterek vál-

tozásával ezúttal a Mach-szám alakulásának bemutatására használjuk fel az ábrákat,

mégpedig a dimenziótlan arányszámnak is maximumait rajzoljuk ki az egyes attrak-

torokat követve. Visszatekintve a modellben ismertetett kapcsolatra (2.30) egyenletből

egy egyszerű hányadost kaphatunk:

𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥 = (𝑅𝐸𝜔

2𝜋)

|𝑦2|𝑚𝑎𝑥

𝑐𝐿=

|�̇�|𝑚𝑎𝑥

𝑐𝐿 . (4.2)

Az egyenletben a Haar-Gallagher-Kell-állapotegyenlettel meghatározott hangsebes-

ség a számítások során a konstans környezeti nyomás és közeghőmérséklet mellett ál-

landó, értéke: 𝑐𝐿 = 1497,3 𝑚

𝑠.

A Mach-számok keresésével tehát közvetve a bekonvergált megoldásokra számol-

ható maximális falsebességeket kívánjuk számítani. Figyelembe véve, hogy állandó fo-

lyadékhőmérsékleten és környezeti nyomáson a hangsebesség állandó, a végleges for-

mulában pedig már nem szerepel a gerjesztés valós értékű körfrekvenciája (az koráb-

ban a falsebesség dimenziótlanítása miatt jelent meg), a buborék-falsebesség nagysága

egyenesen arányos a Mach-számmal. Az abszolútérték feltüntetése természetesen in-

dokolt, ugyanis a buborék hirtelen összezsugorodó fázisában a falsebesség negatív.

4.2.1. VIZSGÁLAT A NYOMÁSAMPLITÚDÓ TELJES TARTOMÁNYÁN

Az elsődleges szabad paraméter, a nyomásamplitúdó növelésével kiírt maximális

Mach-számot tünteti fel a 4.3. ábra, melyben a kapcsolatot hat különböző relatív frek-

vencián a szokásos fix paraméterek mellett (2.1. táblázat) ábrázoljuk.

39

4.3. ábra: Maximális Mach-számok 𝑝𝐴 nyomásamplitúdó teljes vizsgálati tartományán, a relatív frek-

venciák alsó és felső határába (𝜔𝑅=0,1-3) eső hat értéken. A függőleges tengely értékei loga-

ritmikus skálán jelennek meg, és 𝜔𝑅=2 és 3 esetén a legalacsonyabb nyomásokon 10−5 nagy-

ságrendig nyúlnak vissza.

A diagramokról elsődlegesen levonható az a következtetés, hogy a korábban a

dimenziótlan buboréksugárra megállapított tendenciával egyetemben az elérhető ma-

ximális Mach-számok is nőnek a nyomásamplitúdó növelésével. Jelentős különbség

fedezhető fel az alacsony és magasabb frekvenciákat összehasonlítva: az 𝜔𝑅= 1 alatt

ábrázolt kiragadott relatív frekvenciákon jóval nagyobb maximális Mach-szám érhető

el, mint a frekvenciatartomány felsőbb részein, ahol egyébként a rendszer bifurkációs

felépítése is kaotikusabb jelleget mutat. Alkalmazástechnikailag azt mondhatjuk, hogy

40

a megfelelően erős lökéshullám generálásához több száz, sokszor több ezer m/s-os fal-

sebesség elérésére kell törekednünk. Mivel a hangsebesség a megadott folyadékhő-

mérsékleten és környezeti nyomáson állandó a számítások során, ez egyben azt jelenti,

hogy minél nagyobb Mach-számokat kell keresnünk.

Az előző megállapítások értelmében a legalacsonyabb relatív frekvencián alakulnak

ki a legnagyobb Mach-számok, a nyomásamplitúdó-tartomány felső határán

𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥=6,719, ez a (4.2) egyenlet értelmében mintegy 10060 m/s buborék-falsebességet

eredményez. Érdemes azt is hozzátenni, hogy 𝜔𝑅 = 0,1 esetén a maximális buborék-

falsebesség már a környezetinél alig nagyobb nyomásamplitúdó alkalmazásával,

𝑝𝐴=1,35 bar-on egy egyperiódusú megoldás kialakulását követően meghaladja a hang-

sebességet. Ez természetesen 𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥=1 elérésekor következik be, amelynek létezését

bármely paraméterpár-esetén érdemes vizsgálni, ugyanis a kívánt lökéshullámok el-

érése szempontjából ez fizikailag elegendően nagynak bizonyulhat. A további öt ábrá-

zolt esetben kettő lépi túl ezt a kritikus értéket, 𝜔𝑅 = 1 relatív frekvencián a tartomány

végéig hosszú ciklusban elnyúló stabil periodikus megoldások sem eredményezik a

buborék-falsebesség ennyire meredek növekedését. Utóbbi megjegyzés kapcsán az az

észrevétel említhető meg, miszerint az alacsony vagy közepes frekvenciákon (felső 4

ábra) a Mach-szám akkor mutat jelentősebb növekedést, amikor – rendszerint az első

– hosszabb/rövidebb kaotikus tartomány utáni nyereg-csomó bifurkációkat követően

ismét kis periódusszámú attraktor jellemzi a rendszert. A jobb felső ábrán 𝜔𝑅=0,3 ese-

tén két ilyen hirtelen Mach-szám emelkedés is feltűnik, különösen az első kaotikus

zónát követően, 𝜔𝑅=0,5 értéken pedig a keskeny kaotikus ciklus utáni hosszú, mono-

ton növekvő szakaszon perióduskettőző bifurkációk eredményeként 𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥 végül egy

négy periódusú attraktorral lépi át az 1-et. Előbbi relatív frekvencián 3396 m/s, utóbbin

pedig 1760,8 m/s falsebesség tartozik a vizsgálati tartomány végén jelentkező maximá-

lis Mach-számhoz. Még 𝜔𝑅=1 esetén is, ahol a szuperszonikus sebesség elérése ezen az

amplitúdótartományon már nem valósulhat meg (𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥 < 1 mindig), 5 bar-on a be-

konvergált nyolc periódusú megoldás 880,4 m/s maximális buborék-falsebességgel

szolgál 𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥=0,588 mellett.

A 4.3 ábrán az tehát feltűnik, hogy a dolgozatban még vizsgálat alá vetett legna-

gyobb nyomásamplitúdón jelentkezik a legnagyobb Mach-szám is, a másik szabad pa-

raméter bármely konstans értékére. A logaritmikus ábrázolásmód alapján azonban

olyan sejtésünk is lehet, hogy 𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥 kétségkívül monoton növekedésének üteme las-

sul az amplitúdó növelésével, vagyis a bemutatott tartományon kívül eső nyomással

a Mach-szám már csak egyre nagyobb lépésközzel emelkedik számottevő mértékben.

Ennek igazolására megfelelőnek bizonyulhat, ha bizonyos gerjesztési frekvenciákra a

számításokat a nyomásamplitúdó egy kiterjedtebb tartományára is elvégezzük. A 4.4.

ábra 15 bar felső határig megmutatja a szűkebb tartományon is a legnagyobb értékeket

produkáló 𝜔𝑅=0,1, valamint 𝜔𝑅=1 relatív frekvenciákon érvényes maximális Mach-

szám lefutását. Utóbbi nem tartozik ugyan azon frekvenciák közé, melyekre a szűkebb

41

nyomástartományon feltűnően nagy Mach-számokat kaptunk, az előző fejezet 3.5. áb-

rájának bifurkációs struktúrája azonban rávilágít, hogy a nagyobb

nyomásamplitúdókon hosszú periodikus attraktorokat eredményez. Érdekesnek tű-

nik tehát vizsgálni, meddig tarthat ez a tiszta periodikus jelleg, mivel a dolgozat rep-

rezentatív eredményeit, a nagy falsebességeket kaotikus tartományok elkerülésével kí-

vánjuk elérni.

4.4. ábra: A nyomásamplitúdó-tartomány kiterjesztése 15 bar felső határig. Konstans 𝜔𝑅=0,1 és 1 re-

latív frekvenciákon vizsgáljuk a maximális Mach-szám szűkebb amplitúdóhatártól (kék füg-

gőleges vonal) feljegyezhető növekedését.

Az ábrán látszik, hogy a szűkebb nyomástartomány felső határáig hosszantartó pe-

riodikus mozgást végző rendszer nem sokkal 5 bar hangnyomás felett kaotikussá válik.

Egy hosszabb ilyen ciklus után jelentkeznek ugyan rövid ideig tartó, 3 és 6 periódusú

megoldások (𝑝𝐴=8,6 bar-on), ám az ezekkel elért maximális Mach-szám nem éri el az 5

bar-on adódó értéket. A bővített nyomásamplitúdó-tartomány utolsó harmadában az

oszcillációk kizárólag kaotikusak. Ezzel szemben 𝜔𝑅=0,1 relatív frekvencián nem ala-

kul ki kaotikus mozgás a tovább növelt nyomásamplitúdón sem. Egészen 𝑝𝐴=8,2 bar

nyomásamplitúdóig egyperiódusú attraktor van jelen, 10 bar környezetében pedig két-

periódusúak, miközben a maximális Mach-szám nem kiugróan ugyan, de monoton

nő. A bővített tartomány legfelső részén, ahol az ábráról kevésbé kivehető módon sok

periódusú együtt létező attraktorok találhatók, az elérhető maximális Mach-szám

𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥=11,79 (összevetésként: 5 bar-on 𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥=6,719).

4.2.2. FREKVENCIA BIFURKÁCIÓS DIAGRAMOK KONSTANS NYOMÁSAMPLITÚDÓN

A teljesség kedvéért szemléltethetjük a maximális Mach-szám alakulását a relatív frek-

vencia, mint bifurkációs paraméter teljes tartományán is. Fentebb a 4.3. ábra alapján

úgy tapasztaltuk, hogy az amplitúdó tartományának legnagyobb határán alakulnak ki

a keresett mennyiség maximumai. A 4.5. ábrán 𝑝𝐴=5 bar mellett a környezeti nyomás-

nak megfelelő 1 bar-os amplitúdón is feltüntetjük a kapcsolatot.

42

4.5. ábra: Maximális Mach-szám alakulása a relatív frekvencia teljes tartományán, 𝑝𝐴=1 és 5 bar-on,

logaritmikus skálán

Az ábra igazolja, hogy a műszerekkel még könnyebben elérhető és alkalmazható 5 bar

nyomásamplitúdón érhető el kifejezetten nagy maximális Mach-szám. Valamint az is feltűnik,

hogy 𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥=0,1-et csak 1-nél kisebb relatív frekvencián produkál a rendszer, a növe-

kedés pedig annak csökkentésével az alacsonyabb frekvenciák felé haladva hangsú-

lyos. Érdekesség, hogy a jobb oldali ábrát nézve 𝑝𝐴=5 bar-on a frekvenciatartomány

jelentős részén kifejezetten szabályos kaotikus és 𝜔𝑅 csökkenésével egyre csökkenő

periódusszámú (8, 6, 4) periodikus ablakok követik egymást, mígnem a legnagyobb

Mach-számok felé alacsony relatív frekvencián már egyperiódusú attraktor közelít. A

másik vázolt esetben, 𝑝𝐴=1 bar-on ezzel szemben a tartomány legalacsonyabb részein

jellemzőek a kaotikus attraktorok, mintegy 𝜔𝑅=0,5 fölött együtt létező periodikus meg-

oldások jelentkeznek, rendre olyan hiszterézissel, melyek felső ága feltűnően nagyobb

– alkalmazástechnikai szempontból azonban így is kevésnek bizonyuló – maximális

Mach-számmal rendelkezik.

4.2.3. ALKALMAZÁSTECHNIKAI OPTIMUM ÖSSZEFOGLALÁSA

A kavitációs jelenséggel összeköthető ultrahangos technológiák alkalmazhatóságának

és hatékonyságának érdekében a buborék mozgása során dinamikus összeroppanáso-

kat kell elérni. Ezek indukálnak ugyanis a technológia gyakorlásához elegendően erős

lökéshullámokat, melyek keletkezését akkor garantálhatjuk, ha nagy buborék-false-

bességek lépnek fel. A 4.2. fejezet pontosan ezzel foglalkozik, a gerjesztési paraméterek

kitűzött egész tartományán vizsgálva a maximális Mach-szám alakulását, amely a víz

hangsebességének ismeretében közvetlenül átszámolható a fellépő buborék-falsebes-

ségek abszolútértékének maximumára. Bifurkációs diagramok segítségével megálla-

pítottuk, hogy a relatív frekvencia 𝜔𝑅=0,1-3 tartományán a legalacsonyabb értékeken

érjük el a legnagyobb maximális Mach-számokat. Ennek értelmében a legnagyobb bu-

borék-falsebességet 𝜔𝑅=0,1 esetén rögzítettük (10060 m/s), és ugyan számértékileg

nagy a különbség, mégis ennél valamivel nagyobb relatív frekvencián is a technológi-

43

ákhoz elegendően dinamikus összeroppanásokat biztosíthatunk (𝜔𝑅=0,5-re a maxi-

mum 1760,8 m/s), nem kizárólag a legnagyobb nyomásamplitúdó hatására. A különb-

ség leginkább abban nyilvánul meg, hogy az ilyen nagyságrendű falsebességek milyen

gerjesztési nyomásamplitúdón jelennek meg, ezt átgondolva pedig hozzátehetjük,

hogy alacsonyabb frekvencián kisebb nyomás alkalmazása is elegendő. Példaként

𝜔𝑅=0,1 relatív frekvencián már 2 bar-on 3947 m/s-mal számolhatunk, míg ugyanezen a

nyomáson 𝜔𝑅=0,5 mellett 813,5 m/s a maximum, 𝜔𝑅=1 esetén pedig mindössze 183 m/s.

A nyomásamplitúdó hatását tekintve egyértelmű, hogy bármely gerjesztési frekven-

cián a legnagyobb 𝑝𝐴 határérték adja a maximális Mach-számot, és így a legnagyobb

buborék-falsebességeket is. Magasabb frekvencián, ahol a vizsgált nyomásamplitúdó

tartományán 𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥 nem éri el az 1-et, a sebesség növekedésének üteme még nagyobb.

Hiába tehát 5 bar amplitúdó mellett a sebesség a fentiekkel összehasonlítva még nem

számottevő (𝜔𝑅=2 esetén |�̇�|𝑚𝑎𝑥

=295,9 m/s), felvetődhet a kérdés, hogy érdemes-e ezt

a nyomáshatárt jócskán meghaladva nagyobb falsebességeket elérni, akár az alsóbb

frekvenciákon tapasztaltnál is. Szem előtt tartva, hogy a műszereken elérhető beállítá-

sok közvetlenül a gerjesztési frekvencia szabályozását teszik lehetővé, érdemesebb az

esetleg kiterjesztett tartományú nyomásamplitúdó helyett inkább arra támaszkodni,

hogy az optimálisan kisebb relatív frekvencia alkalmazását válasszuk. Továbbá a

nyomásamplitúdó hatását a 3.2. fejezetben taglaltak szerint ismerve, nagyobb 𝑝𝐴 érté-

ken a rendszer nemlinearitása meghatározóbb, a kaotikus jelleg közepes és nagyobb

frekvenciákon előszeretettel jelentkezik. Így amíg nagy amplitúdójú összeroppanások

és jelentős falsebességek kisebb nyomáson is elérhetők, célszerű inkább ezt az utat (ala-

csony frekvencia alkalmazása) választani főleg azzal szemben, hogy a kísérletileg

megbízhatónak és hatékonynak bizonyuló 0-5 bar tartományt átlépjük. Ezzel együtt a

4.4. ábra bal oldali részét tekintve hozzá lehet tenni, hogy a lehető legkisebb gerjesztési

frekvenciákon a megnövelt amplitúdó alkalmazása is periodikus stabilitással érhet el

még nagyobb falsebességeket.

44

5. PARAMÉTERDIAGRAMOK FELVÉTELE

A dolgozatban vizsgált dinamikai rendszer egy oszcilláló buborék, melynek alkalma-

zástechnikailag fontos fizikai tulajdonságait az ultrahangos gerjesztés jellemzőinek is-

meretében számolhatjuk. Ezek a jellemzők olyan szabad paraméterek, melyek adott,

előre optimálisan megválasztott tartományán kis lépésközzel számításokat végzünk

azt keresvén, hogy hol alakulnak ki a hirtelen meredek összeroppanásokhoz szüksé-

ges maximális buboréksugarak és ennek következtében erős lökéshullámokat eredmé-

nyező maximális buborék-falsebességek. Az alábbiakban úgynevezett paraméterdiag-

ramokon olyan térben értelmezett kapcsolatokat mutatnék be, melyek az oszcilláló

rendszer válaszának egy fontos jellemzőjét ábrázolják mindkét szabad paraméter,

vagyis a gerjesztési nyomásamplitúdó és relatív frekvencia függvényében. Segítségük-

kel az eddigiekben külön-külön vizsgált nyomásamplitúdó- és frekvencialefutás egy-

ben kezelhető, az ábrák alkalmas helyzetbe forgatásával a különböző jellegű megoldá-

sok tartománya, folyama szépen lekövethető. Ez természetesen szoros kapcsolatba

hozható a 3. és 4. fejezetben is bemutatott bifurkációs diagramokkal, az ott kiragadott

pár eredmény helyett itt a két kontrol paraméterre végzett összes lefutást vázolhatjuk.

Egy ettől a megjelenítéstől eltérő módszerrel azonban további érdekes elemzést is le-

hetővé tesz a nyomásamplitúdó és relatív frekvencia együttes kezelése: 3 dimenziós

kontúr diagram segítségével bemutatható a konvergált megoldások egyes jellemzői-

nek (tágulási sebesség, akusztikus energia, periódus, stb.) alakulása a teljes paramé-

tertartományon. Minket a számítások során kigyűjtött jellemzők közül leginkább a

Lyapunov-exponens érdekel – a mérőszám minden egyes pontra (külön-külön a vizs-

gált relatív frekvenciákon, 𝑝𝐴=0-5 bar között) kikeresett maximumát rávetíthetjük a 𝑝𝐴-

𝜔𝑅 paramétersíkra. Ekképpen a maximális Lyapunov-exponens összes megjelenő ér-

tékére alkalmazott színskála alapján kaphatunk információt a gerjesztéssel eredmé-

nyezett kaotikus és nem kaotikus zónák szabad paraméterekkel megadott helyzetét

illetően.

5.1. Bifurkációs struktúrát kirajzoló kapcsolatok

Az előzőekben kétparaméteres bifurkációs diagramokon ábrázoltuk az 𝑦1

dimenziótlan buboréksugár Poincaré-leképezéssel egyértelműsíthető alakulását pár

konstans frekvencián a nyomásamplitúdó függvényében, vagy éppen ún. nagyítási di-

agramokat vettünk fel, amely a maximális buboréksugarat szemlélteti a relatív frek-

vencia változása mellett (3.2. fejezet). Ezeket tekintve adott paraméterállásokra egyen-

ként megfigyelhettük, hogy az oszcilláló rendszerben milyen stabil megoldások ala-

kulnak ki, feljegyezve egy- vagy több periódusú, akár együtt létező attraktorokat és

kaotikus tartományokat. Az 5.1. ábra szintén a rendszer megoldásainak jellegét és köz-

vetve az elérhető nagy buborékméretet hivatott bemutatni, a két gerjesztési paraméter

45

összefűzött eredményei alapján P(𝑦1) dimenziótlan buboréksugarat a Z tengelyen áb-

rázolva.

5.1. ábra: Dimenziótlan buboréksugár P(𝑦1) Poincaré-pontjának változása a két szabad paraméter tel-

jes tartományát tekintve

Ezen az ábrán mindenekelőtt az látható, hogy a dimenziótlan buboréksugár kiugró

maximum értékei a legalacsonyabb relatív frekvenciákon, a legnagyobb

nyomásamplitúdó felé haladva alakulnak ki. A két piros vonallal közbezárt területet

tekinthetjük a nagy méretek kialakulásának szempontjából lényegesnek, vagyis ahol

𝑝𝐴 > 1(=𝑃∞) és 𝜔𝑅 <0,5 egyszerre teljesül. Szembetűnőek az egybefüggő kaotikus tar-

tományok az egyre magasabb frekvenciákon és nyomáson, melyek között ugyanúgy

megtalálhatók szabályos periodikus ablakok - ezek láttatására jóval alkalmasabb a len-

tebbi 5.2. ábra. A frekvencia kezdeti növekedésével, mintegy 𝑝𝐴=1,5 bar fölötti, további

bifurkációs ciklusokat elindító szabályos perióduskettőződéseket azonban jól megfi-

gyelhetjük. Az alkalmazott lineáris skálázással szemben érdemes egy, a buborék mé-

retét jellemző mennyiséget logaritmikusan ábrázolni. Az 5.2. ábrán így tűnik fel ezúttal

a bekonvergált megoldáshoz tartozó maximális buboréksugár 𝑅𝑚𝑎𝑥 a gerjesztési para-

méterekhez rendelve. A kapott diagram az előzőtől struktúrájában nem, csak az érték-

készlet számértékében tér el, így külön megjegyzések hozzáfűzésétől eltekinthetünk.

46

5.2. ábra: Maximális buboréksugár ábrázolása a paraméterdiagramon, logaritmikus skálán. A

legnagyobb nyomásamplitúdón és 𝜔𝑅=0,1 relatív frekvencián a maximális buborék-

sugár: 𝑅𝑚𝑎𝑥=2,48 mm.

A 4. fejezet egy jelentős részét a nyomásamplitúdó (és érintőlegesen vizsgálva a re-

latív frekvencia) teljes tartományán felvett maximális Mach-szám legnagyobb értékei-

nek keresése töltötte ki. A két változó gerjesztési paraméterre vetítve természetesen

ezt a dimenziótlan mérőszámot is érdemes feltüntetni 3 dimenziós ábrán. Segítségével

a korábban több lépésben tett megállapítások gyakorlatilag egyetlen felületen bizo-

nyíthatóak.

5.3. ábra: Logaritmikus skálán ábrázolt maximális Mach-szám a teljes paramétertartományon. A zöld

pontokkal jelölt adatsorok az állandó relatív frekvencián, míg a kék pontok konstans

nyomásamplitúdón végzett számítások eredményei (a tartományok legalsó és legfelső határán

kapott görbék pontjait vastagabb jelöléssel ellátva).

Dinamikai elemzés szempontjából az 5.3. ábra legszembetűnőbb részei egyrészt a di-

agramtérben keresztben húzódó egyperiódusú sáv, másrészt a frekvenciatartomány

nagyobbik felében, 𝜔𝑅=0,5 fölött kialakuló tekintélyes kaotikus zónák. Az ábrát vi-

47

szont elsősorban az elérni kívánt buborék-falsebességeket jelentésében hordozó maxi-

mális Mach-szám, és annak tendenciája kapcsán vizsgáljuk. A diagram egészét adó

hálós szerkezet lejtésének köszönhetően feltűnik, hogy magasabb relatív frekvenciák

felé haladva 𝑀𝑎𝑚𝑎𝑥 monoton csökken, ez különösen 𝑝𝐴=5 bar síkját megfigyelve tűnik

fel. Ismét kijelenthetjük tehát, hogy a Mach-szám maximumai a lehető legkisebb frek-

vencia besugárzása esetén érvényesek a folyadéktérben. A technikai optimum megfo-

galmazásakor azt mondtuk, hogy elsősorban ilyen alacsony, vagy akár mérsékelten

magasabb frekvenciát célszerű alkalmazni (𝜔𝑅=0,5-0,6), egészen olyan tartományokig,

ahol már számottevő kaotikus zónák bukkannak fel, ezek elkerülésére törekszünk

ugyanis. Hasonló óvatossággal járhatunk el a nyomásamplitúdó optimalizálásakor is.

Bár a tartomány legnagyobb értékén alakulnak ki a legnagyobb maximális Mach-szá-

mok, és az 5 bar-ra azt mondhatjuk, hogy még minden további következmény nélkül

alkalmazható, egyre alacsonyabb frekvenciákon elegendő lehet, ha 1-2 bar-ral keve-

sebbet mérünk értékének. A közelítőleg 1500 m/s hangsebesség fölötti falsebesség

ugyanis azon a nyomáson is elérhető, méghozzá a folyadéktérben alapvetően kerü-

lendő kaotikus oszcillációk létrejötte nélkül.

5.2. Kaotikus tartományok bemutatása kontúr diagramon

Korábban már láttuk, hogy kaotikus rendszerek tipikus mérőszáma a 𝜆 Ljapunov-ex-

ponens. Az egymáshoz közel indított fázistérbeli pályák egymástól való távolodását

jellemzi: értéke pozitív, ha exponenciális távolodásról és ebből fakadóan kaotikus

mozgásról beszélünk, míg 0-nál nem nagyobb exponenciálisnál lassabb távolodás ese-

tén. Alapvetően arra törekszünk, hogy a nagy amplitúdójú lengéseket periodikus meg-

oldásokkal érjük el, vagyis a kaotikus tartományok helyeit azért érdemes keresnünk,

hogy tudjuk, melyek a kevésbé szerencsés gerjesztési paraméterállások az alkalmazás

során. Erre egy olyan módszer végeredményét mutatja az 5.4. ábra, amellyel minden

megvizsgált konstans relatív frekvencián, a nyomásamplitúdó végigszámított minden

egyes pontján a programmal oszlopba szedett Ljapunov-exponensek egy-egy attrak-

torhoz tartozó maximumait gyűjtöttük ki. Ezeket a mennyiségeket a megfelelő szabad

paraméterpárokhoz rendelve készíthető el a 3 dimenziós ábra, mely színskálájának

megfelelően követi 𝜆 alakulását a teljes tartományon.

48

5.4. ábra: A rendszer kaotikus tartományainak eldöntésére ábrázolt 𝜆 Ljapunov-exponensek paramé-

terdiagramon. Ahol 𝜆>0, ott értelmezhetjük a kaotikus attraktortok létezését.

Az ábrán a pozitív Ljapunov-exponenssel rendelkező zónák sötétebb színnel jelöltek

és a 𝜆=0 sík fölé türemkednek. Ha erre a diagramra kizárólag a gerjesztési paraméte-

reket tartalmazó X és Y tengelyt látva felülről ránézünk, a mérőszámra alkalmazott

színskála segítségével könnyedén megállapíthatjuk, hol jellemzőek a kaotikus vagy -

akár nagyon alacsony - Ljapunov-exponenssel rendelkező periodikus megoldások.

5.5. ábra: 𝜆 alakulásának felülnézeti ábrázolása, síkban. A legnagyobb, 0-t meghaladó Ljapunov-expo-

nensek a mellékelt színmagyarázatnak megfelelően sötétebb színnel tűnnek fel, a kaotikus

megoldások tehát azon paraméterállások esetén várhatók.

49

Eszerint a 𝑝𝐴-𝜔𝑅 paramétersík egészét tekintve az összefüggő kaotikus zónák egymás-

tól valamennyire elkülönülve, széles ablakokban jelentkeznek. Ahogy korábban már

megállapításra került, a legalacsonyabb relatív frekvenciákon kevésbé, vagy csak kes-

kenyebb ciklusokban jellemzőek kaotikus attraktorok, azonban ezek a keskeny zónák

már közvetlenül a környezeti nyomásnak megfelelő amplitúdó mellett jelentkeznek.

Amint a gerjesztés relatív frekvenciája meghaladja az 𝜔𝑅=0,5 értéket, a kaotikus jelleg

felerősödik, a frekvencia növekedésével ugyanakkor egyre magasabb

nyomásamplitúdó kell ahhoz, hogy a fázistér gyakorta nagy periódusszámú periodi-

kus megoldásait kaotikus ablakok szakítsák meg (lásd 3.5. jobb oldali ábrák). Ezt az

észrevételt követve azzal általánosíthatunk, hogy a nyomásamplitúdó-tartományon

leghosszabban létező káosz 𝜔𝑅=0,8-0,9 relatív frekvenciákon figyelhető meg.

A lehetőség szerinti legnagyobb buborékméretre beláttuk, hogy a buboréksugár lé-

nyeges növekedése 𝜔𝑅 ≈0,5 alatt és körülbelül 𝑝𝐴=1 bar fölött várható. Az összeroppa-

nás fázisában számolható buborék-falsebességek változásának tendenciájára is ha-

sonló megállapítás tehető, a maximális Mach-szám definíciójának kihasználásával pe-

dig bifurkációs ábrák alapján kijelenthettük, hogy a nyomásamplitúdó-tartomány leg-

felső határán jellemzőek a maximális falsebességek. Ahogy az 5.5. ábrán látszik, 𝜔𝑅=0,5

alatt a számítások során vizsgált maximális amplitúdó 𝑝𝐴=5 bar nem eredményez kao-

tikus attraktorokat, vagyis alkalmazhatóság szempontjából a gerjesztési paraméterek

ezen értékekre való beállítása a nemlinearitás felerősödésének veszélye nélkül történ-

het.

50

6. ÖSSZEFOGLALÁS

Gőz/gáz halmazállapotú buborékot kis viszkozitású folyadékban gerjesztve a buborék

fizikai tulajdonságai látványos változásokat produkálhatnak a külső hatás intenzitá-

sának függvényében. A természetben gyakran előforduló, üreg- és buborékképződés-

sel járó kavitációs jelenség sok esetben káros és kerülendő, napjainkban szép számmal

léteznek azonban olyan technológiák, melyek roncsoló hatásait előnyösen kihasznál-

ják. A gerjesztésre oszcilláló mozgással válaszoló buborékok összeroppanása ugyanis

rendkívül erős lökéshullám valamint kiugróan magas hőmérséklet és nyomás kiala-

kulásához vezethet, széleskörű alkalmazások működési alapját megteremtve.

Jelen dolgozatban egyetlen kisméretű, gömbszimmetrikusnak tekintett buborék

vizsgálatát végeztük el 25 °C-os vízben. Az elemzés fő célja a harmonikus gerjesztés

eredményeként kialakuló mozgás jellegének feltérképezése volt a gerjesztés két ismert

tartományban változtatott paraméterének, a nyomásamplitúdónak és körfrekvenciá-

nak a tartományán. Kerestük továbbá a buborék összeroppanása során elérhető legna-

gyobb falsebességeket, melyek garantálhatósága a modern ultrahangos technológiákat

nagyban segítheti. Numerikus számításainkat a Matlab szoftverrel végeztük, a szak-

irodalomból választott arra alkalmas Keller-Miksis-modell felhasználásával.

Az eredményeket a tetszőleges változó paraméter függvényében ábrázoló bifurká-

ciós diagramokról megállapítható, hogy a frekvencia növelésével a rendszer mozgása

alapvetően összetettebbé válik. A tranziens oszcillációkat követően jelentkező stabil

megoldások lehetnek a gerjesztés periódusával kapcsolatba hozható periodikus vagy

szabályszerűséget fel nem mutató, egymástól távolodó kaotikus megoldások. Körül-

belül 𝜔𝑅=0,5 relatív frekvencia fölött a kaotikus jelleg minden esetben előfordul, a frek-

vencia növekedésével csak egyre nagyobb nyomáson jön létre. Előtte vagy akár két

kaotikus ciklus között rendre nagy periódusszámú, együtt létező megoldások jellem-

zők. Alacsonyabb frekvencián mindkét attraktortípus ugyanúgy megjelenik, azonban

a váltakozó kaotikus és periodikus ablakok általában sokkal rövidebbek, a nagyobb

nyomásokon pedig gyakran hosszú ciklusú, egyperiódusú megoldások futnak végig.

Alkalmazástechnikailag azt mondjuk, hogy a kaotikus oszcillációk kerülendők. Ah-

hoz, hogy ennek jellemző tartományait egyben lássuk a nyomásamplitúdó-frekvencia

paramétersíkon, ábrát készítettünk a káoszt jellemző Ljapunov-exponens értékét vizs-

gálva.

Növekedés utáni hirtelen összeroppanás során mérhető buborék-falsebességek szá-

mításához bemutatásra került a maximális Mach-szám alakulása, szintén bifurkációs

diagramokon. A dimenziótlan számot háromdimenziós paraméterdiagramon is fel-

tüntetve beláttuk, hogy annak a maximális falsebességgel egyenesen arányos értéke a

legkisebb vizsgált relatív frekvencián (𝜔𝑅=0,1) lesz maximális. A nyomásamplitúdót

illetően éppen ellenkezőleg, a tartomány legfelső határán alakulhatnak ki a legna-

gyobb sebességek. Alapesetben tehát bármely gerjesztési frekvenciaállás mellett 𝑝𝐴=5

51

bar alkalmazása vezethetne a legerősebb lökéshullámhoz, azonban ezen a nyomáson

𝜔𝑅=0,5 fölött már döntően csak kaotikus megoldások jelentkeznek. Így minden tekin-

tetben optimális beállításnak az 𝜔𝑅 < 0,5 és 𝑝𝐴 ≈ 5 bar bizonyul.

Egy továbblépési lehetőség vizsgálataként 15 bar nyomásamplitúdó-határig kitolt szá-

mítást végeztünk 𝜔𝑅=0,1 és 1 relatív frekvenciákon A rendszer csillapítatlan sajátfrek-

venciáján (ekkor 𝜔𝑅=1) 5 bar amplitúdó alkalmazásával a fázistér attraktorai periodi-

kusak. Az eredmények azonban megmutatták, hogy ezt meghaladva gyakorlatilag

csak kaotikus tartományokat találunk, a rendszer nemlinearitása 15 bar-ig folyamato-

san fokozódik. A másik esetben a kb. 20 kHz-nek megfelelő alacsony frekvenciájú ult-

rahangos gerjesztés 5 bar-on túl növelt nyomásamplitúdója nem akadályozza komo-

lyabban a megoldások periodikus jelenlétét. Ilyen megfontolásból tehát nagyon ala-

csony ultrahangfrekvenciákon a nyomásamplitúdó akár 15 bar-ig biztosan alkalmaz-

ható, ha a technológia azt megkívánja.

52

SUMMARY

When a bubble filled with gas/vapour is excited in liquid with smaller viscosity,

remarkable changes of its physical properties are shown in respect to the intensity of

the outer effect. The cavitational phenomenon causing hole and bubble generation is

fairly common in nature and is often treated harmful better to be avoided. Yet there

are numerous technologies nowadays in which its destructive mechanism is utilized.

These applications are all highly based on observations that extreme high pressure and

temperature, such as strong shock wave can be induced during the collapse phase of

a driven and therefore oscillating bubble.

In the present thesis, examinations of a single spherical bubble placed in water of 25

°C were performed. The primary goal of them was to monitor the characteristics of the

oscillations resulted by the harmonic excitation. That can be achieved by setting the

values of the two changing parameters of the excitation, the pressure amplitude and

angular frequency (further relative frequency, as introduced for computations)

between their given borders. At next stage the possible maximal wall velocities, which

have a serious lower limit in terms of ultrasonic applications, were investigated. The

numerical computations were performed by means of a bubble model suitable for

compressible domains called the Keller-Miksis-model.

When each results visualised in respect to one of the changing parameters,

bifurcation diagrams can be created. These diagrams showed how complex the

oscillations generally became by increasing the frequency. After the run-off of

transient oscillations two types of stable steady solutions can be mentioned: periodic,

in close connection to the period of excitation, and chaotic solutions. Above relative

frequency 𝜔𝑅=0,5 chaotic nature is observed in each cases, although by increasing the

frequency higher pressure amplitudes are needed to it to show up. Before this or even

inbetween two chaotic cycles, coexisting solutions with more periods are in scope. At

lower frequencies both types of attractors appear, too, only the changing periodic and

chaotic windows are much shorter, plus the highest pressures often host long-cycled

period 1 solutions. Regarding the possible applications, a clause must be declared that

chaotic oscillations should be avoided. Helping the quest of chaos fields in the pressure

amplitude – relative frequency parameter plane, values of the nonlinear dynamic in-

dex Lyapunov exponent were examined.

As another application of bifurcation diagrams, maximal Mach-number was plotted

to calculate bubble wall velocity during the sudden collapse. The dimensionless

number could also be represented within a three-dimensional parameter diagram.

Proportional to the maximal wall velocity, maximal Mach-number has a maximum at

the lowest frequency 𝜔𝑅=0,1. On the other hand, pressure amplitude influence the wall

velocity in the opposite way, resulting possible maximal values at the highest

pressures. Theoretically, pressure amplitude of 5 bar thus leads to the strongest shock

53

wave at any of the frequency levels, but at this height of pressure above 𝜔𝑅=0,5 mainly

chaotic solutions exist. Therefore a set of 𝜔𝑅 < 0,5 and 𝑝𝐴 ≈ 5 bar proves to be the

proper parameter adjustment.

Further innovation-steered computations were carried out in an extended pressure

amplitude range of 0-15 bar at relative frequencies 𝜔𝑅=0,1 and 1. Applying the

undamped eigenfrequency of the system (𝜔𝑅=1), periodic attractors appear in the

phase space when the pressure amplitude is still 𝑝𝐴=5 bar. Results showed it

afterwards, that exceeding this level chaotic fields immediately show up enhancing

the nonlinear nature until reaching 15 bar. At the lowest relative frequency however,

meaning approximately 10 kHz ultrasound frequency the periodic solutions are not

affected crucially by pressure amplitudes passing 5 bar. As a result, pressure

amplitude extended up to 15 bar can securely be applied at the lowest ultrasound

frequencies in some technologies.

Keywords: spherical bubble, harmonic excitation, pressure amplitude, relative frequency,

collapse, periodic solutions, chaotic solutions, Lyapunov exponent, maximal Mach number

54

FELHASZNÁLT FORRÁSOK

1. Brennen, C.E. (1995): Cavitation and bubble dynamics. Oxford University

Press, New York.

2. Cameron, M., McMaster, L.D., Britz, T.J. (2009): Impact of ultrasound on dairy

spoilage microbes and milk components. Dairy Sci. Technol. 89

3. Chemat, F., Zill-e-Huma, Khan, M.K. (2010): Applications of ultrasound in food

technology: Processing, preservation and extraction. Ultrasonics Sonochemistry

18 (2011)

4. De-Sarabia, E.R.F., Gallego-Juárez, J.A., Mason, T.J. (2006): Airborne

ultrasound for the precipitation of smokes and powders and the destruction of

foams. Ultrason. Sonochem. 13

5. Flosdorf, E.W., Chambers, L.A. (1933): Publikáció – J. Am. Chem. Soc.

55:3051

6. Friedrich, L. (2008): Ultrahang alkalmazása húskészítmények minősítésében és

gyártástechnológiájában. Disszertáció, Budapesti Corvinus Egyetem

7. Geisler, R. (2003): Untersuchungen zur laserinduzierten Kavitation mit

Nanosekunden- und Femtosekundenlasern. Dissertation, Universität Göttingen

8. Gilmore, F.R. (1952): The growth or collapse of a spherical bubble in a viscous

compressible liquid. Hydrodynamics Laboratory, California Institute of

Technology, Pasadena, California, USA. Report No 26-4

9. Grönroos, A., Pirkonen, P., Ruppert, O. (2004): Ultrasonic depolymerisation of

aqueous carboxymethylcellulose. Ultrason. Sonochem. 11

10. Gyorgi, A.S. (1933): Publikáció – Nature 131:278

11. Hegedűs, F. (2012): Spherical bubble dynamics and cavitating vortex shedding.

Disszertáció, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

12. Keller, J.B., Miksis, M. (1980): Bubble oscillations of large amplitude. J. Acoust.

Soc. Am. 68

13. Klapcsik, K. (2014): Harmonikusan gerjesztett gázbuborék nemlineáris dinamikai

vizsgálata nagy viszkozitású folyadékban. TDK dolgozat, Budapesti Műszaki és

Gazdaságtudományi Egyetem

14. Koch, P., Kurz, T., Parlitz, U., Lauterborn, W. (2011): Bubble dynamics in a

standing sound field: The bubble habitat. Acoust. Soc. Am. 130

15. Kovács, F., Nádas, Gy., Regöly M.J., Szebeni, Á. (2006): Az ultrahang terápiás

alkalmazásai. Fizikai Szemle 2006/8

16. Kröninger, D. (2008): Particle-Tracking-Velocimetry – Messungen an

kollabierenden Kavitationsblasen. Dissertation, Universität Göttingen

17. Lauterborn, W., Cramer, E. (1981): Subharmonic route to chaos observed in

acoustics. Phys. Rev. Lett. 20

55

18. Lauterborn, W., Engelbert, S. (1984): Bifurcation Superstructure in a Model of

Acoustic Turbulence. Phys. Rev. Lett. 53(24)

19. Lauterborn, W., Koch, P., Kurz, T., Mettin, R. (2008): Bubble dynamics-from

single bubbles to ensembles. Nonlinear Acoustics-Fundamentals and

Applications, ISNA 18, Stockholm.

20. Lauterborn, W., Kurz, T. (2010): Physics of bubble oscillations. Third Physical

Institute, Göttingen. Rep. Prog. Phys. 73(2010), 106501

21. Lord Rayleigh (1917): On the pressure developed in a liquid during the collapse

of a spherical cavity. Phil. Mag. Ser. 6

22. Löfstedt, R., Barber, B.P., Putterman, S.J. (1993): Toward a hydrodynamic

theory of sonoluminescence. Phys. Fluids A 5

23. Lőrincz, A. (2006): Az aktív ultrahang alkalmazása napjainkban. Nyugat-Ma-

gyarországi Egyetem, Mosonmagyaróvár

24. Mahvi, A.H. (2009): Application of ultrasonic technology for water and

wastewater treatment. Iranian J. Publ. Health, Vol. 38.

25. Mason, T.J., Paniwnyk, L., Chemat, F. (2003): Ultrasound as a preservation

technology. Food Preservation Techniques

26. Parlitz, U., Englisch, V., Scheffczyk, C., Lauterborn, W. (1990): Bifurcation

structure of bubble oscillators. J. Acoust. Soc. Am. 88

27. Plesset, M.,S. (1949): The dynamics of cavitation bubbles. J. Appl. Mech. 16

28. Prosperetti, A., Lezzi, A. (1986): Bubble dynamics in a compressible liquid: I.

First order theory. J. Fluid Mech. 168

29. Prosperetti, A., Lezzi, A. (1987): Bubble dynamics in a compressible liquid: II.

Second order theory. J. Fluid Mech. 185

30. Rodríguez, G., Riera, E., Gallego-Juárez, J.A., Acosta, V.M., Pinto, A.,

Martínez, I., Blanco, A. (2010): Experimemtal study of defoaming by air-borne

power ultrasonic technology. Phys. Procedia 3

31. Szent-Györgyi, A. (1933): Chemical and biological effects of ultra-sonic radiation.

Nature 131

32. Taleyarkhan, R.P., West, C.D., Cho, J.S., Lahey, Jr.R.T., Nigmatulin, R.I.,

Block, R.C. (2002): Evidence of nuclear emissions during acoustic cavitation. Sci-

ence 295(5561)

33. Tél, T., Gruiz, M. (2002): Kaotikus dinamika. Nemzeti Tankönyvkiadó, Buda-

pest

34. Vercet, A., Burgos, J., Lopez-Buesa, P. (2001): Manothermosonication of foods

and food-resembling systems: effect on nutrient content and nonenzymatic brow-

ning. J. Agric. Food. Chem. 49

56

35. Wasan, E.K., Reimer, D.L., Bally, M.B. (1996): Plasmid DNA is protected

against cavitation-induced damage when complexed to cationic liposomes. J.

Pharm. Res. 85

36. Young, F.R. (2005): Sonoluminescence. Boca Raton, FL: CRC Press