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Rappel sur les Rappel sur les phénomènesphénomènes de propagation de propagation d'ondes mécaniquesd'ondes mécaniques
CT04CT04
Onde : perturbation dynamique de toute quantité physique
rendant compte de l’état d’un milieu (dit de propagation), succeptible de se propager dans l’espace au cours du
temps
I – Introduction - I – Introduction - 1) Définition d'une Onde1) Définition d'une Onde
Domaines : • Acoustique• Ondes Hertziennes (Radio, Télé,…)• Contrôle Non Destructif par Ultrasons, Rx
I – Introduction - I – Introduction - 1) Définition d'une Onde1) Définition d'une Onde
Exemple : Propagation d’une impulsion transversale le long
d’une corde
A t=t0 :impulsion
en x=x0
y
xx0
I – Introduction - I – Introduction - 2) Position du problème2) Position du problème
Exemple : Propagation d’une impulsion transversale le long
d’une corde
A t>t0 :impulsion
en x>x0
y
xx0
I – Introduction - I – Introduction - 2) Position du problème2) Position du problème
Exemple : Propagation d’une impulsion transversale le long
d’une corde
A t=t’0 :impulsion en x=x’0
x'0
y
xx0
I – Introduction - I – Introduction - 2) Position du problème2) Position du problème
Ce qui se passe en x=x’0 à t=t’0 ==
Ce qui s’est passé en x=x0 à t=t0
I – Introduction - I – Introduction - 2) Position du problème2) Position du problème
C’est à dire :
y(x’0,t’0) == y(x0,t0)(position du maximum)
Il y a euPropagation du phénomène (la mouvement
transversal)
Rmq :x’0 et t’0 quelconques ==>x’0 ==> x t’0 ==> t
I – Introduction - I – Introduction - 3) Célérité3) Célérité
La perturbation à mis t-t0
pour parcourirx-x0
Donc à la Célérité :
0
0
ttxxc
−−=
C’est à dire :x-x0 =c(t-t0)
==> x-ct=x0-ct0 =cst (condition/y=maxi)
I – Introduction - I – Introduction - 3) Célérité3) Célérité
x-ct s’appelle le propagateur de l’onde dans la direction et les sens des x croissants avec la
célérité c(Rmq : sens inverse ==> x+ct)
Attention : ne pas confondre :* c : célérité (vitesse de l’onde)
* v : vitesse (des déplacements de matière)c>>v
Célérités : ordres de grandeur :son (onde mécanique) : air=340 m/s, eau=1500 m/s
matériaux denses=2000 à 6000 m/slumière (air ou vide) : 3 108 m/s
I – Introduction - I – Introduction - 3) Célérité3) Célérité
Vitesses : ordre de grandeur :son : quelques µm
ultrasons : quelques nm(ne concerne que les ondes mécaniques)
Les ondes électromagnétiques peuvent (aussi) se propager dans le vide
I – Introduction - I – Introduction - 4) Milieu de propagation4) Milieu de propagation
Les ondes mécaniques (son, ultrasons) nécessitent un milieu +ou- dense pour se
propager==> le milieu de propagation
Il n’y pas de son dans le vide
Défaut => modification du milieu => détection
Les ondes harmoniques : ondes dont le profil /x et t est sinusoïdal
II – Les ondes harmoniques - 1II – Les ondes harmoniques - 1) Définition) Définition
Fonction y(x,t)=f(x-ct):on définit k : nombre d’onde (~m-1) tel que :
y(x,t)=Ycos(k(x-ct)) (par ex.)
y(x,t)=Ycos(kx-kct)
kc = ω : pulsation (~rd/s)
y(x,t)=Ycos(kx-ωt)
On définit :la longueur d’onde : λ=2π/k (~m)
la période : T= 2π/ω (~s)d’où la fréquence :f=1/T=ω/2π (~Hz)
II – Les ondes harmoniques - 2II – Les ondes harmoniques - 2) Paramètres) Paramètres
λ : récurence spatialeT : récurence temporelle
II – Les ondes harmoniques - 2II – Les ondes harmoniques - 2) Paramètres) Paramètres
λ : récurence spatiale
y
x
λ
T : récurence temporelle
y
t
T
y(x,t0)à t0 fixé
y(x0,t)à x0 fixé
III – Les ondes mécaniques - 1III – Les ondes mécaniques - 1) Définition) Définition
Dans les fluides, on considère la propagation d’une surpression (p, en Pa) dans une colonne de
gaz
x x+dxx x+dx x+u(x) x+dx+u(x+dx)
T20rTpc 00
0 ≈γ=ρ
=
III – Les ondes mécaniques - 2III – Les ondes mécaniques - 2) OL) OL
Dans les milieux solides, on considère la propagation des contraintes (p, en Pa) et
déplacement normaux dans la cas d'ondes Longitudinales
ρ= Ec
III – Les ondes mécaniques - 3III – Les ondes mécaniques - 3) OT) OT
Ainsi que la propagation des déplacement transversaux dans la cas d'ondes Transversales
(pas de variations de volume)
ρGc =
III – Les ondes mécaniques - 2III – Les ondes mécaniques - 2) OL) OL
En résumé, dans les milieux solides, plusieurs types d'ondes sont donc possibles
IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale
A chaque fois que l’onde ultrasonore rencontre un défaut, une partie de l’énergie incidente est
réfléchie, une partie est transmise
On étudie l’interface plane entre deux milieux
Et on cherche les coefficients de :
réflexion :rp, v ou E
transmission : tp, v ou E
IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale
On étudie l’interface plane entre deux milieux
xO
onde incidente
onde réfléchie
onde transmise
connu
inconnu
inconnu
IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale
Une quantité fondamentale : l’impédance caractéristique
z=ρc (masse volumique x célérité) (unité : rayl)
Les coefficients s’expriment en fonction de z
Et on cherche les coefficients de :
réflexion : rv = vr(0,t)/vi(0,t)transmission : tv = vt(0,t)/vi(0,t)
IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale
vitesses (vibratoire,particulaire)
21
21v zz
zzr+−=
21
1v zz
z2t+
=
pression (contraintes normales)
12
12p zz
zzr+−=
12
2p zz
z2t+
=
IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale
Energie (flux de puissance)
2
12
12E zz
zzR
+−=
( ) 221
21E zz
zz4T+
=
IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique
Un faisceau d’ondes n’arrive pas toujours en incidence normale ==> Quel est l’influence de
l’angle d’incidence ?
z
O
onde incidenteonde réfléchie
onde transmise
x
IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique
les angles des directions des ondes obéissent à la loi de Snell-Descartes
IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique
vitesses (vibratoire,particulaire)
2
2
1
1
2
2
1
1
v zz
zz
r
θ+
θ
θ−
θ=
coscos
coscos
2
2
1
1
1
1
v zz
z2t
θ+
θ
θ=
coscos
cos
IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique
Energie (flux de puissance)
2
1
1
2
2
1
1
2
2
E zz
zz
R
θ+
θ
θ−
θ=
coscos
coscos2
1
1
2
2
2
2
1
1
Ezz
zz4T
θ
+θ
θθ=
coscos
coscos
IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique
Un moyen simple d’appréhender le phénomène : la courbe des lenteurs : m=1 / V
Pour les milieux isotropes, la vitesse de dépend pas de la direction : m=1 /
V = cst
m
IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique
1er cas : VL2<VL1
Snell-Descartes
==>
θ2 < θ1
IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique
2er cas : VL2>VL1
Snell-Descartes
==>
θ2 > θ1
IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique
2er cas : VL2>VL1
Il existe donc une limite pour θ1 au delà duquel θ2 n’existe pas :
c’est l’incidence critique
2L
1L
2L
1Lc V
V2V
V =π=θ sinsin
Onde incidente Longitudinale
OL
OLOT
OT
IV – Réflexion/Transmission - 3IV – Réflexion/Transmission - 3) entre solides) entre solides
Onde incidente Transversale
OL
OLOT
OT
IV – Réflexion/Transmission - 3IV – Réflexion/Transmission - 3) entre solides) entre solides
Milieu a : eau
V - Exemple : Interface eau/aluminiumV - Exemple : Interface eau/aluminium
Milieu b : aluminium
OL
OLOT
ρa = 1000 kg/m3
VLa = 1500 m/s
ρb = 2700 kg/m3
VLb = 6320 m/s
VTb = 3080 m/s
INTRODUCTIONINTRODUCTION0 < θ0 < θ00 < θ < θ’’00
OL
OLOT
Tant que θ est inférieur au 1er angle critique, deux ondes
sont transmises :
une OL
une OT
INTRODUCTIONINTRODUCTIONθθ’’00 < θ < θ00 < θ < θ""00
OL
OLOT
Quand θ est supérieur au 1er angle
critique, une onde Transversale est transmise et une
onde Longitudinale devient évanescente: l ’onde Longitudinale
reste en surface
INTRODUCTIONINTRODUCTIONθθ00 > > θθ""00
OL
OLOT
Quand θ est supérieur au 2ème angle critique, les deux ondes L et T
deviennent évanescentes et restent alors à la
surface du milieu de transmission : c ’est
la réflexion totale
INTRODUCTIONINTRODUCTION
Module
Coefficient de Réflexion : rCoefficient de Réflexion : rvv=A=Arr/A/A00
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 60 . 7
0 . 7 5
0 . 8
0 . 8 5
0 . 9
0 . 9 5
1C o e ff i c i e n t d e R e fl e x i o n : A m p l i t u d e
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4C o e ff i c i e n t d e R e fl e x i o n : P h a s e
Phase
'0θ "
0θ
Saut de 2π
'0θ "
0θ
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6- 2
- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3C o e f f i c i e n t d e T r a n s m i s s i o n L : P h a s e
INTRODUCTIONINTRODUCTION
Module
Coefficient de Transmission en ondes longitudinales : tCoefficient de Transmission en ondes longitudinales : tVLVLl=Al=ATlTl/A/A00
Phase
Saut de π
'0θ "
0θ
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 60
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4C o e ff i c i e n t d e T r a n s m i s s i o n L : A m p l i t u d e
'0θ "
0θ
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4C o e ff i c i e n t d e T r a n s m i s s i o n T : P h a s e
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 60
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
3 . 5
4C o e ff i c i e n t d e T r a n s m i s s i o n T : A m p l i t u d e
INTRODUCTIONINTRODUCTION
Module
Coefficient de Transmission en ondes transversales : tCoefficient de Transmission en ondes transversales : tVTVT=A=ATtTt/A/A00
Phase
Saut de 2π
'0θ "
0θ'0θ "
0θ