Rapport Fra Eng Esp Rev Circular Dwall (Non Strut)

8/16/2019 Rapport Fra Eng Esp Rev Circular Dwall (Non Strut)

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RECOMMANDATIONS POUR LE CALCUL DES PAROIS CIRCULAIRES

RECOMMENDATIONS FOR THE DESIGN OF CIRCULAR DIAPHRAGM WALLS

RECOMENDACIONES PARA EL CÁLCULO DE PANTALLAS CIRCULARES

A 18/10/2005 B. VIROLLET / T. JEANMAIRE / M. FONTANA C. GILBERT Première diffusion / First issue / Prima difusiónRev Date Rédigé par / Written by / Redactado por Validé par / Approved by / Aprobado por Modification / Modificación

6, rue de Watford BP 51192005 Nanterre cedex France

Tél. : 33 1 47 76 42 62 – fax : 33 1 40 81 07 33www.SOLETANCHE-BACHY.com

SB.DTG.BEG-NT.000001-RevA


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Recommandations pour le calcul des parois circulairesRecommendations for the design of circular diaphragm walls

Recomendaciones para el cálculo de pantallas circulares

SB.DTG.BEG-NT.00001-Rev A18/10/2005

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0. INTRODUCTION Ce document présente quelques résultats connus et

moins connus concernant le dimensionnement des paroismoulées circulaires.

Il rappelle quelques résultats théoriques sur lesanneaux.

Il traite également des sujets suivants :- la prise en compte des ouvertures,- le calcul du flambement- les effets de la géométrie réelle du puits (panneauta-

ge, déviations)Il sera indicé plus tard avec les sujets que nous n’avons

pas pu encore traités et qui sont :- Prise en compte de chargement non axisymétriques- Stabilité de fond de fouille (calcul de la fiche minimale

dans des argiles molles- Prise en compte du séisme

0. INTRODUCTION This document shows some known and less known

results concerning the design of circular diaphragm walls.It reminds us of some theoretical ring behaviour results.It also deals with the following subjects:- the influence of openings,- buckling calculation- the effects due to the actual shaft geometry (panel

layout, verticality tolerance).This report will be revised later on to deal with the

following subjects we have not been able to analyse sofar:

- Effect of non axi-symmetrical pressures.- Basal heave stability (design of the minimum toe level

in soft clays)- Effect of earthquakes.

0. INTRODUCCIÓN Este documento presenta algunos resultados conocidos

y otros menos conocidos referidos al dimensionamientode los pozos circulares ejecutados con pantallas.

En él se repasan algunos resultados teóricos sobre losanillos.

Se tratan además los siguientes aspectos:- la presencia de aberturas,- el cálculo a pandeo- los efectos de la geometría real del pozo

(panelización, desviaciones).El documento será completado en fases posteriores

con aspectos que no hemos podido abordar, tales como:- la consideración de cargas no axialsimétricas- la estabilidad del fondo de la excavación

(empotramiento mínimo en arcillas blandas)- los movimientos sísmicos


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1. REGLEMENTS Les parois circulaires travaillent en compression

annulaire, ce qui leur permet d’être autos tables. Il estdonc nécessaire de définir la contrainte annulairemaximale qu’elles peuvent supporter.

Un rapide examen des résultats compilés dans letableau 1 montre que les justifications ELU sont toujoursdimensionnantes sauf dans le cas de l’application desrèglements français « Fascicule 62 titre V » et « DTU13.2 ». Ces règlements s’appliquent en toute rigueur auxéléments de fondation et ne concernent donc pas lalimitation de contrainte orthoradiale dans un puitscirculaire.

Les vérifications sont donc à mener à l’ELU sur lacontrainte orthoradiale maximale. Il n’y a pas de notionde contrainte moyenne.

ck f est la résistance caractéristique à la compression

du béton sur une éprouvette 16/32 cylindrique.

σ est la contrainte moyenne dans une section de béton

maxσ est la contrainte maximale dans une section debéton

1. STANDARDS Circular shafts are designed in hoop compression,

which enables them to be self-stabilising. It is thereforenecessary to determine the maximum allowable hoopcompression stress.

A quick study of table 1 results shows that the UltimateLimit State (ELU in table) calculations are alwaysgoverning except in the case where the French standards« Fascicule 62 titre V » and « DTU 13.2 » are applied.However these standards only apply to foundationelements and do not deal with the circumferential stresslimit in a circular shaft.

The checks to be made are done for ULS conditions onthe maximum circumferential stress. There is therefore nonotion of average stress.

ck f is the characteristic concrete compression

resistance measured on a 160mm diameter 320mm highcylindrical.

σ is the average stress in the concrete cross-section.

maxσ is the maximum stress in the concrete cross-section.

1. NORMATIVA Los pozos circulares trabajan en compresión anular, lo

que les permite ser autoestables. Es por tanto necesariodefinir la tensión anular máxima que son capaces desoportar.

Un rápido examen de la tabla 1 muestra que lascomprobaciones al Estado Límite Último (ELU) sonsiempre dimensionantes salvo en el caso de aplicaciónde los reglamentos franceses « Fascicule 62 titre V » y« DTU 13.2 ». Estos reglamentos son de aplicación ensentido estricto a las cimentaciones y no afectan portanto a la limitación de la tensión de compresiónortoradial en un pozo circular.

Las comprobaciones a realizar al ELU se realizan sobrela tensión ortoradial máxima. No hay referencia a latensión media.

ck f es la resistencia característica a compresión del

hormigón medida sobre una probeta cilíndrica dediámetro/altura 16/32.

σ es la tensión media en una sección de hormigón(concreto)

maxσ es la tensión máxima en una sección de

hormigón

ELSlim

ck f

σ ELS

lim

max

ck f

σ ELU

lim

max

ck f

σ

BAEL 91 0.6 0.60.42

0.85 / 1.5 / 1.35

BAEL 91 + DTU 13.20.22

0.3 / 1.3 / 1.050.44

0.6 / 1.3 / 1.050.31

0.85 / 1.5 / 1.3 / 1.05 / 1.35

BAEL 91 + Fascicule 620.24

0.3 / 1.2 / 1.05MPa25


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2. C AS D’UN CYLINDRE PARFAIT

2.1 Champ de contraintes dans un anneausoumis à une pression uniforme

2.1.1 Formule des anneaux épais

2. C ASE OF A PERFECT CYLINDER

2.1 Stress field in a ring under uniformpressure

2.1.1 Thick rings formula

2. C ASO DE UN CILINDRO PERFECTO

2.1 Campo de tensiones en un anillo sometidoa una presión uniforme

2.1.1 Fórmula del tubo grueso

Schéma 1 : coupe et notations Figure 1 : annotated cross-section Esquema 1 : sección y notación

Soit un anneau élastique de rayon intérieur int R , de

rayon extérieur ext R , de module d’Young E et de

coefficient de Poisson ν , soumis à une pressionextérieure p et une pression intérieure nulle. Cet anneauest bien entendu équilibré sous l’effet des chargesextérieures qui lui sont appliquées. Nous nousintéressons alors aux déplacements, déformations etcontraintes se développant dans le plan perpendiculaire àl’axe directeur de l’anneau. L’application des équationsd’équilibre permet de définir la forme du champ dedéplacements à l’intérieur de l’anneau :

( ) zr eczer bar u ⋅+⋅+= où :

r e est le vecteur radial unité,

ze est le vecteur hors plan unité,

a , b et c sont 3 constantes.

We take an elastic ring of internal radius int R , external

radius ext R ,Young’s modulus E and Poisson’s ratio ν ,

under an external pressure p and no internal pressure.This ring is in equilibrium when under the effect of theexternal applied pressures. We are analysing thedisplacement, deformations and stresses developing inthe plane perpendicular to the ring axis of revolution. Thedisplacement field inside the ring is defined by applyingthe equilibrium equations :

( ) zr eczer bar u ⋅+⋅+= where :

r e is the unit radial vector,

ze is the unit perpendicular vector,

a , b and c are three constants.

Being an axi-symmetrical problem it is expected that the

Sea un tubo de material elástico de radio interior int R ,

de radio exterior ext R , de módulo de Young E y

coeficiente de Poisson ν , sometido a una presiónexterior p y a una presión interior nula. El tubo seencuentra en equilibrio bajo la acción de las cargasexteriores que le son aplicadas. Deseamos conocer losdesplazamientos, deformaciones y tensiones que sedesarrollan en el plano perpendicular al eje de revolucióndel anillo. La aplicación de las ecuaciones de equilibriopermite determinar la expresión del campo dedesplazamientos en el interior del anillo :

( ) zr eczer bar u ⋅+⋅+= donde :

r e es el vector unitario en la dirección radial,

ze es el vector unidad perpendicular al plano,

a , b y c son 3 constantes.

Rext

Rint

p

r

σθ

σr

e

E,

θ


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Le problème étant axisymétrique, il est normal que lechamp de déplacements ne dépende pas de θ et qu’iln’ait pas de composante circumferentiale.

Le tenseur des déformations ε se dérive du champ de

déplacements et vaut :

0,,, 22 ====+=−= zrzr zr cr

b

ar

b

a θ θ θ ε ε ε ε ε ε La loi de Hooke relie les tenseurs de déformations ε et

de contraintes σ par la relation suivante :

( ) I tr E E

σ ν

σ ν

ε −+

= 1

ou ( )

−+

+= I tr

E ε

ν

ν ε

ν σ

211

Le tenseur des contraintes σ s’écrit donc :

0,,,22

====+=−= zrzr zr C r

B A

r

B A θ θ θ σ σ σ σ σ σ

avec :

( )( )

[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )[ ]

[ ]

−=

+=

−−=

⇔

−+−+

=

+=

+−+

=

AC E

c

B E

b

C A

E

a

ca E

C

b E

B

ca E

A

ν

ν

ν ν

ν ν ν ν

ν

ν ν ν

21

1

11

12211

1

211

Les conditions aux limites du problème donnent :( ) ( ) p R R r r == extint ,0 σ σ .

On en déduit2int

2ext

2ext

2int

2int

2ext

2ext ,

R R

R R p B

R R

R p A

−=

−=

et donc

( )

( )

+

−=

−

−=

2

2int

2int

2ext

2ext

2

2int

2int

2ext

2ext

1

1

r

R

R R

R pr

r

R

R R

R pr r

θ σ

σ

Ces expressions restent valables quelque soitl’hypothèse faite sur le comportement hors plan :déformations planes 0== c zε ou contraintes planes

0== C zσ .

displacement field is not depending on θ and that thereis no circumferential component.

The deformations tensor ε is derived from the

displacement field and has the following expression :

0,,,22

====+=−= zrzr zr c

r

ba

r

ba θ θ θ ε ε ε ε ε ε

The Hooke law links the deformations ε and stresses

σ tensors with the following equation :

( ) I tr E E

σ ν

σ ν

ε −+

= 1

or ( )

−+

+= I tr

E ε

ν

ν ε

ν σ

211

The stresses tensor σ has the following expression :

0,,,22


B A

r

B A θ θ θ σ σ σ σ σ σ with :

( )( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )[ ]

[ ]

−=

+=

−−=

⇔

−+−+

=+

=

+−+

=

AC E

c

B

E

b

C A E

a

ca E

C

b E

B

ca E

A

ν

ν

ν ν

ν ν ν ν

ν

ν ν ν

21

1

11

12211

1

211

The boundary conditions of the problem are :( ) ( ) p R R r r == extint ,0 σ σ .

We then obtain2int

2ext

2ext

2int

2int

2ext

2ext ,

R R

R R p B

R R

R p A

−=

−=

and thus

( )

( )

+

−=

−

−=

2

2int

2int

2ext

2ext

2

2int

2int

2ext

2ext

1

1

r

R

R R

R pr

r

R

R R

R pr r

θ σ

σ

These equations stay valid whatever the assumptionmade on the perpendicular to the plane :

Plane deformations 0== c zε or plane stresses

0== C zσ .

Tratándose de un problema axialsimétrico, el campo dedesplazamientos no depende de θ y no tienecomponente perpendicular al radio (ortoradial).

El tensor de deformación ε se deriva del de

desplazamientos y vale:

0,,, 22 ====+=−= zrzr zr cr

b

ar

b

a θ θ θ ε ε ε ε ε ε La ley Hooke relaciona el tensor de deformación ε y el

de tensión σ a través de la siguiente expresión :

( ) I tr E E

σ ν

σ ν

ε −+

= 1

o ( )

−+

+= I tr

E ε

ν

ν ε

ν σ

211

El tensor de tensiones σ se escribe por tanto :

0,,,22


B A

r

B A θ θ θ σ σ σ σ σ σ

siendo :

( )( )

[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )[ ]

[ ]

−=

+=

−−=

⇔

−+−+

=

+=

+−+

=

AC E

c

B E

b

C A

E

a

ca E

C

b E

B

ca E

A

ν

ν

ν ν

ν ν ν ν

ν

ν ν ν

21

1

11

12211

1

211

Las condiciones de contorno del problema son( ) ( ) p R R r r == extint ,0 σ σ , deduciéndose:

2int

2ext

2ext

2int

2int

2ext

2ext ,

R R

R R p B

R R

R p A

−=

−=

( )

( )

+

−=

−

−=

2

2int

2int

2ext

2ext

2

2int

2int

2ext

2ext

1

1

r

R

R R

R pr

r

R

R R

R pr r

θ σ

σ

Estas expresiones son válidas independientemente dela hipótesis sobre el comportamiento en la direcciónperpendicular al plano: deformación plana 0== c zε o

tensión plana 0== C zσ .


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r

σ

,σ

r

Graphique 1 : contraintes radiale et orthoradiale dans un

anneau soumis à une pression uniformeGraph 1 : radial and hoop stresses in a ring under

uniform pressureGráfico 1: tensión radial y ortoradial en un tubo sometido

a una presión uniforme

2.1.2 Contrainte orthoradiale maximaleLa contrainte orthoradiale est maximale pour int Rr = et

vaut2int

2ext

2extmax 2 R R

R p

−=θ σ .

2.1.3 Contrainte orthoradiale moyenne

La contrainte orthoradiale moyenne vaute

R p ext=θ σ .

2.1.4 Effort normal dans une section radiale

L’effort normal N dans une section radiale de l’anneau

est égal à ( )dr r N R

R

∫=ext

int

θ σ soit ext pR N = .

2.1.2 Maximum hoop stressThe hoop stress is maximum for int Rr = and is worth

2int

2ext

2extmax 2 R R

R p

−=θ σ .

2.1.3 Average hoop stress

The average hoop stress is worthe

R p ext=θ σ .

2.1.4 Normal force in a radial cros s-section

The normal force N in a radial cross-section of the ring

is equal to ( )dr r N R

R

∫=ext

int

θ σ or ext pR N = .

2.1.2 Tensión tangencial (ortoradial) máximaLa tensión ortoradial es máxima para int Rr = y vale

2int

2ext

2extmax 2 R R

R p

−=θ σ .

2.1.3 Tensión tangencial (ortoradial) media

La tensión ortoradial media valee

R p ext=θ σ .

2.1.4 Esfuerzo normal en una sección radial

El esfuerzo normal N en una sección radial del anillo

vale ( )dr r N R

R

∫=ext

int

θ σ , es decir, ext pR N = .


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2.1.5 Moment fléchissant dans une section radialeComme la contrainte orthoradiale n’est pas constante le

long d’une section radiale de l’anneau, un momentfléchissant M est généré. Ce moment est égal à :

( ) dr R R

r r M

R

R

+−⋅=

∫ 2

intextext

int

θ σ .

−−

−=

extint

2int

2ext

int

ext

2int

2ext

2ext

2int

2ln

R R

R R

R

R

R R

R R p M .

Soit int Re=ε , ( )

−+

+

+==

2

11ln

2

112

ε

ε ε

ε

ε α

Ne

M

Pour une paroi de 5m de rayon et de 1m d’épaisseurcorrespondant au maximum du ratio int Re=ε que l’on

peut imaginer, α reste inférieur à 1.5%. Dans lapratique, ce moment peut donc être négligé.

2.1.5 Bending moment in a radial cross -sectionSince the hoop stress is not uniform in a radial cross-

section of the ring, a bending moment is generated. Thisbending moment is equal to:

( ) dr R R

r r M

R

R

+−⋅=

∫ 2

intext

ext

int

θ σ .

−−

−=

extint

2int

2ext

int

ext

2int

2ext

2ext

2int

2ln

R R

R R

R

R

R R

R R p M .

Then int Re=ε , ( )

−+

+

+==

2

11ln

2

112

ε

ε ε

ε

ε α

Ne

M

For a 5m radius, 1m thick diaphragm wall shaftcorresponding to the maximum value of the ratio

int Re=ε that we can imagine α stays below 1.5%. In

practice this bending moment is considered negligible.

2.1.5 Momento flector en una sección radialAl no ser constante la tensión ortoradial a lo largo de

una sección según el radio, se genera un momentoflector M , que es igual a:

( ) dr R R

r r M

R

R

+−⋅=

∫ 2

intextext

int

θ σ .

−−

−=

extint

2int

2ext

int

ext

2int

2ext

2ext

2int

2ln

R R

R R

R

R

R R

R R p M .

Llamando int Re=ε , ( )

−+

+

+==

2

11ln

2

112

ε

ε ε

ε

ε α

Ne

M

Para un pozo de 5m de radio y 1m de espesor,correspondientes a un ratio int Re=ε elevado, α es

inferior a 1.5%. En la práctica, dicho momento es portanto despreciable.

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

3.0%

3.5%

4.0%

4.5%

5.0%

0.01 0.1 1 10 100

=e/R (R=Rint)

M / e N

Graphique 2 : moment généré dans l’anneau Graph 2 : Bending moment generated in the ring Gráfico 2 : momento generado en el anillo

2.1.6 Formule des anneaux mincesAvec ext Re


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2.2 Raideur d’un anneau soumis à une pressionuniforme

2.2.1 Anneaux épaisDéterminons le raccourcissement u du rayon extérieur

de l’anneau sous une pression uniforme p . Le rapport

u pk = donnera alors la raideur de l’anneau. Leséquations trouvées au chapitre 2.1.1 donnent :

Contraintes planes :

+

−=

+=

−

−=

−=

E R R

R R p B

E b

E R R

R p A

E a

ν ν

ν ν

11

11

2int

2ext

2ext

2int

2int

2ext

2ext

d’où ( ) ( ) ( )

++−

−=+=

r

Rr

R R

R

E

p

r

bar r ur

2int

2int

2ext

2ext 11

ν ν

Ce qui donne ( )

−

−

+== ν

2int2ext

2int

2ext

ext

R R

R R

E

pR Ruu ext r

Et finalement

−

−

+==

ν 2int

2ext

2int

2ext

1

R R

R R R

E

u

pk

ext

Déformations planes :En déformations planes 0== c zε , la raideur calculée

plus haut devient :

−−−

−

+==

2int

2ext

2ext2

2int

2ext

2int

2ext 2

1

R R

R

R R

R R R

E

u

pk

ext ν ν

2.2.2 Anneaux mincesAvec int Re


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Le coefficient de Poisson pour le béton étant de l’ordrede 0.2, l’écart entre l’hypothèse de déformations planeset contraintes planes est de l’ordre de 4%. L’utilisation dela formule déterminée en contraintes planes conduit àune minoration maximale de 4% de la raideur réelle.L’hypothèse de contraintes planes peut donc être faite.

2.2.3 CercesL’hypothèse des contraintes planes s’applique. Une

cerce de rayon R , d’épaisseur Re


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2.3 Calcul d’une paroi circulaire soumise à unchamp de pression axisymétrique

Une paroi se calcule comme une poutre verticalesoumise entre autres à la pression des terres et de l’eau,et s’équilibrant sur des appuis tels que des butons outirants, et en butée sous le fond de fouille. La circularité

de la paroi implique que toute déformation radiale vers lafouille est gênée par la génération d’une contrainteorthoradiale dans la paroi. Le chapitre 2.2 a montré quela contrainte orthoradiale générée dans la paroi étaitproportionnelle au déplacement radial avec un coefficientde proportionnalité égal en première approximation à :

2

R

Eek cyl = où R est le rayon moyen de la paroi.

Par conséquent, une paroi circulaire peut se calculercomme une paroi plane en y ajoutant un appui élastique

vertical continu de raideur cylk . La réaction radiale cyl p

de la paroi se déduit du calcul vertical en multipliant le

déplacement obtenu par cylk .

Cette réaction radiale, elle-même multipliée par le rayonextérieur de la paroi permet alors de déterminer l’effort

d’anneau ext cyl R p N = .

2.3 Design of a circular diaphragm wall underaxi-symmetrical pressure field

A diaphragm wall is designed like a vertical beammainly under earth and water pressures, balanced bypoint of supports such as struts or anchors and bypassive pressure below formation level. Because of the

circular shape of the wall, any radial deviation towardsthe centre is reduced by the generation of circumferentialstress in the wall. We saw in chapter 2.2, that thecircumferential stress generated in the wall depends on afactor of the radial displacement, which can be roughlyestimated by the following formula:

2

R

Eek cyl = where R is the average wall radius.

Therefore a circular wall can be designed in the sameway as a straight wall by adding a continuous elastic

vertical support of stiffness cylk . The radial reaction

pressurecyl

p of the wall can be found from the vertical

calculation by multiplying the displacement by cylk .

We find the normal ring force by multiplying the above

reaction by the external wall radius: ext cyl R p N = .

2.3 Cálculo de una pantalla circular sometidaa un campo de presión axisimétrico

Una pantalla se calcula como una viga vertical bajo laacción del empuje de las tierras y del agua (entre otras),que se equilibra gracias a la presencia de puntales otirantes, y al empuje pasivo por debajo del fondo de la

excavación. En el caso de un pozo circular, a todadeformación radial hacia el interior de la excavación seopone la generación de una tensión ortoradial en lapared. El apartado 2.2 se ha demostrado que la tensiónortoradial generada en la pantalla es proporcional aldesplazamiento radial. El coeficiente de proporcionalidades en primera aproximación igual a:

2

R

Eek cyl = siendo R es el radio medio del pozo.

Por tanto, un pozo circular puede calcularse como unapantalla plana a la que se añade un apoyo vertical

elástico de rigidez cylk . La reacción radial cyl p de la

pantalla se deduce a partir del cálculo verticalmultiplicando el desplazamiento obtenido por cylk .

Esta reacción radial, multiplicada por el radio exteriordel pozo, permite determinar el esfuerzo sobre el anillo

ext cyl R p N = .

Schéma 2 : modélisation verticale d’une paroi cylindrique Figure 2 : vertical model of a circular wall Esquema 2: modelización vertical de un pozo cilíndrico

Rint

e

2 R

Eek cyl

=


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2.4 Prise en compt e des ouvertures

2.4.1 Généralités

2.4 Taking openings into accoun t

2.4.1 General considerations

2.4 Consideración de las aberturas

2.4.1 Generalidades

Schéma 3 : effets d’ouverture sur une paroi cylindrique Figure 3 : effects of an opening on a circular wall Esquema 3 : efecto de las aberturas en un pozo cilíndrico

(3) Déplacement =>Moment vertical

(2) Traction

(1) Compression


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La justification d’une paroi cylindrique est relativementaisée tant que sa géométrie et les efforts auxquelles elleest soumise restent axisymétriques. Le percement d’uneouverture dans la paroi n’est bien sûr pas sansincidences sur ses sollicitations : il est évident que lescontraintes d’anneau, ne pouvant plus se développerdans l’ouverture, doivent au moins partiellement seredistribuer de part et d’autre de celle-ci avec pourconséquence immédiate une concentration de contrainteorthoradiale (1). Ce phénomène ne peut se produirequ’au prix d’une génération de traction verticale dans lazone de diffusion des contraintes (2 = c’est l’effet linteau).Par ailleurs, les panneaux au voisinage de l’ouverturevoient un de leurs appuis s’assouplir, ce qui résulte enune convergence accrue de l’anneau dans l’emprise del’ouverture (3) et donc en une génération de momentsverticaux.

Les phénomènes exposés ci-dessus sont tri-dimensionnels. Le but de ce chapitre est de les quantifieret de proposer une méthode bi-dimensionnellepermettant de les estimer.

2.4.2 Modèle 3D, paramètres intervenant etnotations

Une étude paramétrique utilisant un logiciel auxéléments finis 3D EFFEL a été menée. Cette étude tientcompte de conditions simplifiées par rapport à un casréel : pression uniforme appliquée sur la paroi, effet dusol présent à l’extérieur négligé, hauteur de la paroisupposée infinie (pas d’effets de bord).

Les paramètres du problème posé sont :Φ Diamètre du puits (mince : extérieur = intérieur),d Diamètre de l’ouverture,e Epaisseur de la paroi, E Module d’Young de la paroi,

ν Coefficient de Poisson de la paroi, p Pression uniforme radiale appliquée sur la paroi.Le problème nécessite également l’introduction d’autres

variables qui sont : x abscisse curviligne d’une coupe verticale par

rapport à la coupe verticale passant par le milieu del’ouverture,

d x rapport entre l’abscisse curviligne et le diamètre

de l’ouverture.La première étape de l’étude a montré qu’il était

possible de se ramener à un problème géométriquementadimensionnel : les paramètres influençant les résultats

The design of a circular wall is relatively easy as long asits geometry and the forces it is under are axi-symmetrical. Creating an opening will haveconsequences on the forces in the wall: Since hoopstresses can no longer be generated at opening level,they must at least be partially transmitted either side ofthe opening. This will generate a concentration of thehoop stress (1). This phenomena can only happen ifvertical tension is generated in the stress spreading zone(2 = it is the lintel effect). Moreover, the opening’sneighbouring panels have less stiff a support, whichresults in larger movement of the ring at opening level (3)and therefore generation of vertical bending moments.

The phenomena described above are threedimensional. The aim of this chapter is to quantify thesephenomena and to suggest a two dimensional method inorder to estimate their value.

2.4.2 3D model, parameters and annotationsA parametric study has been carried out, using the 3D

finite element software EFFEL. This analysis takes intoaccount some simplified assumptions compared to a realmodel: Uniform pressure applied on the wall, effect of thesoil outside neglected, the wall is considered infinitelyhigh (to avoid edges influence).

The various parameters in the model are as follows :Φ Shaft diameter (thin : external = internal),d Opening diameter,e Wall thickness, E Wall Young’s modulus,ν Wall Poisson’s ratio,

p Radial uniform pressure applied on the wall.This analysis also needs the introduction of other

variable parameters: x Circumferential distance along the ring from the

middle of the opening,d x ratio between the circumferential distance and

the opening diameter.The first stage of this analysis showed that it was

possible to use a non dimensional model: the resultsdepend on the parameters Φe Φd .

The Young’s modulus has no influence over the wall

El cálculo de una pantalla cilíndrica es relativamentesencillo en la medida en que su geometría y losesfuerzos a los que se encuentre sometida seanaxialsimétricos. La formación de aberturas en la pantallatiene consecuencias en su nivel de solicitación. Enefecto, las tensiones del anillo, al no poderse desarrollaren la abertura, deben redistribuirse por lo menosparcialmente a ambos lados de la misma, lo que provocala concentración de tensión ortoradial (1). Este fenómenono puede producirse más que al precio de generar unatracción vertical en la zona de difusión de las tensiones(2 = efecto arco). Por otra parte, los paneles próximos ala abertura, ven cómo se debilita uno de sus apoyos, loque se traduce en una mayor deformación en el entornode la abertura (3) y en la generación de momentosverticales.

El fenómeno descrito aquí es tridimensional. El objetivode este apartado es cuantificarlo y proponer un métodode cálculo bidimensional que permita su estimación.

2.4.2 Modelo 3D, parámetros que intervienen ynotación

Se ha realizado un estudio paramétrico empleando elprograma de elementos finitos 3D EFFEL. Este estudiose realiza con condiciones simplificadas con respecto aun caso real: presión uniforme sobre la pantalla, efectodel terreno exterior no considerado, profundidad de lapantalla infinita (ausencia de efectos de borde).

Las variables que intervienen son las siguientes:Φ Diámetro del pozo (delgado: exterior= interior),d Diámetro de la abertura,e Espesor de la pantalla, E Módulo de Young de la pantalla,

ν Coeficiente de Poisson de la pantalla, p Presión uniforme radial sobre la pantalla.Se definen asimismo las siguientes variables auxiliares: x abcisa curvilínea de una sección vertical con

respecto a la sección vertical que pasa por el centro de laabertura,

d x cociente entre la abcisa curvilínea y el diámetro

de la abertura.La primera fase del estudio ha mostrado que es posible

et tratamiento adimensional del problema: los parámetrosque controlan los resultados son los cocientes Φe


13/58




13 / 58

sont les rapports Φe Φd .

Le module d’Young n’a pas d’incidences sur lessollicitations dans la paroi car la réaction du sol àl’extérieur est négligée et seules les rigidités relativesentre les divers éléments interviennent.

Les efforts résultants peuvent être normés par p car les

calculs sont faits en élasticité linéaire.Les paramètres régissant le problème sont donc :ν ,, ΦΦ d e .

forces because the external soil reaction is neglected andonly relative stiffnesses between the various elements ofthe wall affect the results.

The calculations are done within the linear elastic field,therefore the resulting forces can be divided by p.

Therefore the problem depends on the followingparameters: ν ,, ΦΦ d e .

Φd .

El módulo de Young no influye en las solicitaciones dela pantalla, ya que la reacción del sol en el exterior no seconsidera, y sólo interviene la rigidez relativa de losdistintos elementos.

Los esfuerzos obtenidos pueden ser normalizados co

respecto a p, ya que los cálculos se realizan enelasticidad lineal.Los parámetros que controlan el problema son por

tanto: ν ,, ΦΦ d e .

Schéma 4 : modèles 3D et 2D équivalent

X u déplacement selon l’axe X

Y u déplacement selon l’axe Y

Z u déplacement selon l’axe Z

Z θ rotation autour de l’axe Z

Figure 4 : 3D and 2D equivalent model

X u displacement along the X-axis

Y u displacement along the Y-axis

Z u displacement along the Z-axis

Z θ rotation about the Z-axis

Esquema 4 : modelos 3D y 2D equivalente

X u desplazamiento según el eje X

Y u desplazamiento según el eje Y

Z u desplazamiento según el eje Z

Z θ rotación alrededor del eje Z

Z

Y

X

Φ

e

d

x

0= X u , 0=Y u , 0= Z θ 0= Z u

0= Z u

0=Y u , 0= Z θ

nom

cylcyl k k α =

2

nom

cyl

4

Φ= Ee

k

3D 2D


14/58




14 / 58

2.4.3 Influence du coefficient de Poisson et desconditions aux limites

Bloquer les déplacements verticaux à la fois à la baseet au sommet du modèle revient à considérer lesdéformations planes, alors que bloquer un seul côté

revient à considérer les contraintes planes.Pour un coefficient de Poisson nul, ces deuxmodélisations conduisent bien entendu au même résultat.Par contre, comme le montre le graphique 3, cela n’estplus le cas dés que le coefficient de Poisson est non nul :le calcul en contraintes planes majorent les sollicitationsdans la paroi par rapport à celui en déformations planes.

Le graphique 3 montre également qu’un coefficient dePoisson nul conduit à des sollicitations plus fortes dans laparoi (de l’ordre de 10% sur les moments verticaux).C’est l’hypothèse que nous avons choisi de faire, afin deplacer l’étude du côté de la sécurité.

2.4.3 Poisson’s ratio and boundary conditionsinfluence

Blocking vertical displacement both at the top and at thebase of the model is equivalent to assume planedeformations, whereas blocking only one side is

equivalent to assume plane stresses.Both the above models reach the same results if thePoisson’s ratio is taken equal to zero. However, as shownin graph 3, as soon as the Poisson’s ratio is different fromzero this is no longer the case: The plane stress analysisgives upper bound results whereas the plane deformationanalysis gives lower bound results.

Graph 3 also shows, that for ν=0, results of the forces inthe wall are higher (by about 10% for the vertical bendingmoments). We have chosen this assumption in order tobe conservative.

2.4.3 Influencia del coeficiente de Poisson y de lascondiciones de contorno

Bloquear los desplazamientos verticalessimultáneamente en la parte inferior y superior delmodelo equivale a suponer un estado de deformación

plana, mientras que bloquear el modelo por un solo ladoequivale a imponer un estado de tensión plana.Para un coeficiente de Poisson nulo, los dos modelos

conducen al mismo resultado. Por el contrario, como seobserva en la gráfico 3, esto no es cierto cuando elcoeficiente de Poisson dejar de serlo: el cálculo entensión plana mayora las solicitaciones en la pantalla conrespecto a las obtenidas en la hipótesis de deformaciónplana.

La gráfico 3 muestra igualmente que un coeficiente dePoisson nulo conduce a solicitaciones más elevadas enla pared (del orden de 10% para los momentosverticales). Ésta es la hipótesis que se ha adoptado, paraquedar del lado de la seguridad.

εZ = 0, ν = 0

εZ = 0, ν = 0.1

σZ = 0, ν = 0.1

σZ = 0, ν = 0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

x / d

M m a x

Graphique 3 : influence du coefficient de Poisson et des

conditions aux limitesGraph 3 : Poisson’s ratio and boundary conditions influence Gráfico 3 : influencia del coeficiente de Poisson y de las

condiciones de contorno


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15 / 58

2.4.4 Influence de l’ouverture sur les momentsverticaux

Comme expliqué au paragraphe 2.4.1,l’assouplissement de la raideur cylindrique provoque unaccroissement de déplacement radial sur la hauteur de

l’ouverture, et donc des courbures (puis des momentsverticaux) plus importantes dans cette zone. Compte tenude la diffusion des contraintes, cet assouplissement estmaximum à proximité de l’ouverture ( )5.0=d x et décroîtà mesure que l’on s’en éloigne ( )∞→d x .

Les vérifications effectuées à l’heure actuelle consistentà annuler la raideur cylindrique sur la hauteur del’ouverture afin d’estimer à l’aide d’un calcul 2D lesmoments verticaux se développant dans les panneaux depart et d’autre de celle-ci. Les calculs 3D effectués ontmontré que cette façon de faire était très défavorable.Nous proposons cependant de conserver ce principe devérification, non plus en annulant, mais en réduisant lavaleur de la raideur cylindrique. La réduction de raideur

doit être telle que le moment vertical maximal obtenu parle calcul 2D soit identique à celui donné par le calcul 3D(Schéma 4.).

Cela implique l’introduction de 2 nouveaux paramètresqui sont :

2nomcyl 4 Φ= Eek raideur cylindrique de la paroi sans

ouverture,nomcylcyl k k =α rapport entre la raideur cylindrique qu’il

faut entrer au droit de l’ouverture dans un calculaxisymétrique et la raideur cylindrique de la paroi sansouverture.

Les paramètres dont dépend α sont d x , Φd et

Φe .Du point de vue du profil de moments verticaux, lesdeux modélisations (3D et 2D) se corrèlent bien àcondition de choisir le bon facteur de réduction de raideurcylindrique α . En calant ce facteur de manière à fairecoïncider les moments maximaux situés au centre del’ouverture, les résultats obtenus sont satisfaisantscomme le montrent les graphiques 4 et 5 ci-dessous.

Par conséquent, le profil de moments verticaux estuniquement dépendant du moment vertical maximal aucentre de l’ouverture. Nous avons alors essayé detrouver une relation approchée entre le moment vertical

2.4.4 Opening’s influence on vertical bendingmoments

We saw in cross-section 2.4.1, that reduction incylindrical stiffness generates increased radial deflectionsover the height of the opening and thus increased

curvatures (then vertical bending moments) in this area.Considering the stress spreading, this stiffness reductionis maximal close to the opening ( )5.0=d x anddecreases the further we are from the opening( )∞→d x .Checks are made at present by taking the cylindrical

stiffness equal to zero over the height of the opening inorder to estimate with a two dimensional analysis thevertical bending moments in the panels either side of theopening,. 3D calculations show that this method is veryconservative. However, we suggest to keep this checkingmethod by reducing the cylindrical stiffness instead oftaking it equal to zero. This reduction must be such thatthe maximum vertical bending moment found in the 2D

analysis must be identical to the one found in the 3Danalysis (Figure 4.).

This means we need the introduction of 2 newparameters:

2nomcyl 4 Φ= Eek wall cylindrical stiffness without

opening,nomcylcyl k k =α ratio between cylindrical stiffness at

opening level in an axi-symmetrical calculation and thecylindrical stiffness without opening.α depends on the parameters d x , Φd and Φe .

Good correlations can be found between 2D and 3Danalysis in terms of vertical bending moments, providing

a good cylindrical stiffness reduction factorα

is found.This factor is calibrated, so that maximum bendingmoments at opening centre level are similar, then theresults obtained are satisfactory as shown in graphs 4and 5 below.

Therefore the bending moment profile is depending onlyon the maximum vertical bending moment at openingcentre. We have then tried to find an approximaterelationship between the maximum vertical bendingmoment and the three parameters d x , Φd and Φe .

2.4.4 Influencia de la abertura en los momentosverticales

Como se ha indicado en el apartado 2.4.1, la disminuciónde la rigidez cilíndrica provoca el aumento deldesplazamiento radial en la zona de la abertura, y por tanto

de la curvatura (y consiguientemente de los momentosverticales), que son más importantes en esta zona.Teniendo en cuenta la difusión de las tensiones, lareducción es máxima en la proximidad de la abertura( )5.0=d x y disminuye conforme nos alejamos deella ( )∞→d x .

Las comprobaciones realizadas hasta la fecha consistenen anular la rigidez cilíndrica en toda la altura de la aberturacon el fin de estimar mediante un cálculo 2D los momentosverticales que se desarrollan en los paneles a ambos ladosde la misma. Los cálculos 3D realizados muestran que estaforma de proceder es muy desfavorable. Proponemos sinembargo, mantener este esquema de comprobación,reduciendo sin llegar a anular el valor de la rigidez

cilíndrica. La reducción de la rigidez debe ser tal que elmomento vertical máximo calculado con el modelo 2D seaidéntico al obtenido mediante el cálculo 3D (Esquema 4).

Ello supone la introducción de dos nuevos parámetros, asaber:

2nomcyl 4 Φ= Eek rigidez cilíndrica de la pared sin abertura,

nomcylcyl k k =α cociente entre la rigidez cilíndrica que es

necesario introducir en la zona de la abertura en el cálculoaxialsimétrico y la rigidez cilíndrica de la pared sin abertura.

Las variables de las que depende α son d x , Φd y

Φe .

Desde el punto de vista de los momentos verticales,

ambos modelos (3D y 2D) se correlacionan bien entre sí acondición de escoger adecuadamente el factor dereducción de rigidez cilíndrica α . Ajustando este factor demodo que coincidan los momentos máximos situados en elcentro de la abertura, los resultados obtenidos sonsatisfactorios, como se observa en los gráficos 4 y 5.

Por tanto, la ley de momentos verticales dependeúnicamente del momento vertical máximo en el centro de laabertura. Un ajuste aproximado entre el momento verticalmáximo y las tres variables d x , Φd y Φe , para

%50≤Φd y %10%1 ≤Φ≤ e es el siguiente:


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16 / 58

maximal et les trois paramètres d x , Φd et Φe . Nous

avons trouvé l’expression suivante pour %50≤Φd et

%10%1 ≤Φ≤ e :2282.0

2

122.1275.0

2

max 005.025.0

−

Φ

Φ−

−

Φ+

Φ

Φ=

Φ

d

xd e

ed d e

p

M

Cette expression donne une bonne approximation du

moment calculé par le modèle 3D avec toutefois lesrestrictions suivantes :

Pour les faibles valeurs de Φd (de 5% à 10%), la

formule proposée peut conduire à une surestimation del’ordre de 40% du moment maximum au bord del’ouverture.

Pour les fortes valeurs de Φd (15% à 50%), la formule

proposée peut conduire à une sous-estimation de l’ordrede 25% du moment maximum au bord de l’ouverture.Cette sous-estimation est ponctuelle et concentrée aubord de l’ouverture, ce qui n’a pas trop d’incidence sur le

ferraillage de la cage d’armature, pour lequel unemoyenne de sollicitations est à considérer.

Malgré tout, afin encore une fois de ne pas être tropoptimiste, l’expression du moment trouvée plus haut a étémajorée de 10%. Connaissant la valeur du moment et lahauteur de l’ouverture, il est alors possible de déterminerα et de tracer les résultats sous forme d’isovaleurs deα en fonction de d x et Φd pour un Φe donné.

We found the following relationship for %50≤Φd and

%10%1 ≤Φ≤ e :

2282.0

2

122.1275.0

2

max 005.025.0

−

Φ

Φ−

−

Φ

+

Φ

Φ

=

Φ

d

xd e

ed d e

p

M

This relationship gives a good approximation of themoments calculated with the 3D model with the followingrestrictions:

For low values of Φd (from 5% to 10%), the proposed

formula can overestimate the maximum bending momentat the edge of the opening by about 40%.

For high values of Φd (15% to 50%), the proposed

formula can underestimate the maximum bendingmoment at the edge of the opening by about 25%. Thisunderestimate is localised and concentrated at the edgeof the opening, which does not modify the reinforcementcage, for which average forces are to be considered.

However in order not to be too optimistic, therelationship of the ending moment found above has beenfactored up by 10%. Knowing the maximum bendingmoment and the height of the opening, it is possible tocalculate α and draw the results as contours of α depending on d x and Φd for a given Φe .

2282.0

2

122.1275.0

2max 005.025.0

−

Φ

Φ−

−

Φ+

Φ

Φ=

Φ

d

xd e

ed d e

p

M

Esta expresión constituye una buena aproximación delmomento calculado con el modelo 3D, con las siguientes

restricciones :Para valores pequeños de Φd (de 5% a 10%), la fórmula

propuesta puede conducir a una sobreestimación del ordendel 40% del momento máximo en el borde de la abertura.

Para valores elevados de Φd (15% a 50%), la fórmula

propuesta puede conducir a una subestimación del ordendel 25% del momento máximo en el borde de la abertura.Esta subestimación es puntual y se concentra en el bordede la abertura, por lo que no tiene demasiada incidencia enel armado de la jaula de armadura, para la que debeconsiderarse la media de las solicitaciones.

Pese a todo, al objeto de no ser demasiado optimistas, losvalores representados en los gráficos han sido obtenidosmayorando en un 10% los valores calculados aplicando la

fórmula ajustada. Dados el valor del momento y la altura dela abertura, es posible determinar α y trazar los resultadosen forma de isovalores de α y en función de d x y

Φd para un Φe conocido.


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17 / 58

Graphiques 4 et 5 : comparaison des profils de momentsverticaux issus des modèles 2D et 3D

Graphs 4 and 5 : vertical bending moments profiles from2D and 3D models

Gráficos 4 y 5 : comparación de las leyes de momentosverticales calculados con el modelo 2D y 3D

d / = 5% - e / = 2.5% - x / = 3%

0

5

10

15

20

-2.0E-04 -1.0E-04 0 .0E+00 1 .0E-04 2 .0E-04 3 .0E-04

M / p

2

z / d

3D

2D

d / = 5% - e / = 2.5% - x / = 25%

0

5

10

15

20

-2.0E-05 -1.0E-05 0.0E+00 1.0E-05 2.0E-05 3.0E-05 4.0E-05 5.0E-05

M / p

2

z / d

3D

2D


18/58




18 / 58

Exemple d’application puits de 20m de diamètre,épaisseur 0.6m, diamètre ouverture 3m.

15.0=Φd , 03.0=Φe

( )

3

2

7

2

kN/m000,120

m10

m6.0kPa102=

××==

R

Eek cyl

Sur les 3 premiers mètres (correspondant à la première

cage), %45≈α , 33 kN/m000,54kN/m000,12045.0 =×=cylk

sur la hauteur de l’ouverture (3m)Sur les 3 mètres suivants (correspondant à la seconde

cage), %70≈α , 33 kN/m000,84kN/m000,12070.0 =×=cylk

sur la hauteur de l’ouverture (3m)Le reste des cages est à dimensionner sans réduction

de la raideur cylindrique sur la hauteur de l’ouverture.

Example : 20m diameter shaft, 0.6m thickness, openingdiameter 3m.

15.0=Φd , 03.0=Φe

( )

3

2

7

2

kN/m000,120

m10

m6.0kPa102=

××==

R

Eek cyl

Over the first 3 metres (first reinforcement cage),

%45≈α , 33 kN/m000,54kN/m000,12045.0 =×=cylk over

the height of the opening (3m)Over the next 3 metres (second cage), %70≈α ,

33 kN/m000,84kN/m000,12070.0 =×=cylk over the height

of the opening (3m)The remaining cages are to be designed without

reduction of the cylindrical stiffness over the height of theopening.

Ejemplo de aplicación: pozo de 20m de diámetro,espesor 0.6m, diámetro de la abertura 3m.

15.0=Φd , 03.0=Φe

( )

3

2

7

2

kN/m000,120

m10

m6.0kPa102=

××==

R

Eek cyl

En los 3 primeros metros (primera jaula), %45≈α ,33 kN/m000,54kN/m000,12045.0 =×=cylk en la zona de la

abertura (3m)En los siguientes 3 metros (segunda jaula), %70≈α ,

33kN/m000,84kN/m000,12070.0 =×=cylk en zona de la

abertura (3m)El resto de las jaulas se dimensionan sin reducción de

la rigidez cilíndrica en la zona de la abertura.

3m3m3m

α = 100%α = 70%α = 45%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.50 2.50 3.50 4.50

x / d

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

δ

Graphique 6 : exemple d’utilisation des abaques fournis Graph 6 : example of the use of available graphs Gráfico 6 : ejemplo de utilización de los ábacos


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19 / 58

%3=Φe %3=Φe %3=Φe

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /

Graphique 7 : abaque de calcul de raideur cylindrique

modifiée sur la hauteur de l’ouverture %0.1=Φe Graph 7 : graph for the calculation of the modifiedcylindrical stiffness over the height of the opening

%0.1=Φe

Gráfico 7 : ábaco de cálculo de la rigidez cilíndrica

modificada en la zona de la abertura %0.1=Φe


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20 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%5.1=Φe




21/58




21 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%0.2=Φe




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22 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%5.2=Φe




23/58




23 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%0.3=Φe




24/58




24 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%5.3=Φe




25/58




25 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%0.4=Φe




26/58




26 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%5.4=Φe




27/58




27 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%0.5=Φe




28/58




28 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%0.6=Φe




29/58




29 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%0.7=Φe




30/58




30 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%0.8=Φe




31/58




31 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%0.9=Φe




32/58




32 / 58

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

x /

d /

α = 10%

α = 20%

α = 30%

α = 40%

α = 50%

α = 60%

α = 70%

α = 80%

α = 90%

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

x / d

d /



%0.10=Φe




33/58




33 / 58

2.4.5 Influence de l’ouverture sur les momentsd’ovalisation

Les calculs EFFEL ont montré des momentsd’ovalisation (d’axe vertical) relativement importants.Toutefois, il faut se rappeler que les conditions d’appuisdu modèle 3D sont très loin de celle qu’un puits connaît.

La présence du sol à l’extérieur doit à coup sûr réduireconsidérablement ces moments. Nous n’avons donc jugéinutile de présenter ces résultats. Ces momentsd’ovalisation peuvent être négligés.

2.4.6 Influence de l’ouverture sur les autressollicitations internes

L’étude paramétrique menée avec EFFEL a égalementmontré que le reste des sollicitations internes pouvait secalculer comme on calcule une plaque plane infinimentlongue chargée anisotropiquement comme indiqué sur leschéma 5.

2.4.5 Opening’s influence on ovalisation momentsThe EFFEL calculations showed fairly important

ovalisation moments (vertical axis). It is howeverimportant to remind ourselves that the support conditionsof the 3D model are very far from the actual shaft supportconditions. The presence of soil outside must surely

reduce these moments substantially. We have thereforenot considered relevant to show these results. Theseovalisation moments can be considered negligible.

2.4.6 Opening influence on other internal for cesThe sensitivity analysis run with EFFEL has also shown

that the remaining internal forces can be calculated in thesame way as it would be with an infinitely long plane shelluniformly loaded as shown in figure 5.

2.4.5 Influencia de la abertura sobre losmomentos de ovalización

Los cálculos EFFEL presentan momentos deovalización (según el eje vertical) relativamenteimportantes. Sin embargo, es necesario recordar que lascondiciones de apoyo del modelo 3D son lejanas de la de

un pozo. La presencia del terreno en el exterior debereducir seguramente el valor de estos momentos. Noconsideramos necesario por tanto presentar losresultados obtenidos. Los momentos de ovalizaciónpueden ser despreciados.

2.4.6 Influencia de la abertura sobre las restantessolicitaciones

El estudio paramétrico realizado con EFFEL muestraasimismo que las restantes solicitaciones internaspueden ser calculadas como una placa plana de longitudinfinita cargada asimétricamente según se indica en elesquema 5.

Schéma 5 : plaque plane percée d’une ouverturecirculaire et chargée anisotropiquement

Figure 5 :uniformly loaded plane shell with a circularopening

Esquema 5: placa plana con abertura circular cargadaasimétricamente

1σ

2σ

θ r

r σ

θ σ

R

x

y


34/58




34 / 58

Les équations d’équilibre s’écrivent :

021

01

=+∂

∂+

∂

∂

=−

+∂

∂+

∂

∂

r r r

r r r

r r

r r r

θ θ θ

θ θ

σ

θ

σ σ

σ σ

θ

σ σ

Les conditions aux limites s’écrivent :( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 02,0,0,

2,,0,

2,,0,

0,

21

12

=±=∞===∞==±=∞===∞==±=∞===∞=

==

π θ σ π θ σ

σ π θ σ σ π θ σ


θ σ

θ θ

θ θ

r r

r r

r r

Rr

r r

r r

r

La solution du problème s’écrit en posantr

Ra = :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

−+−

=

+−

+++

=

+−−

−−+

=

θ σ σ

θ σ

θ σ σ σ σ

θ σ

θ σ σ σ σ

θ σ

θ

θ

2sin3212

,

2cos312

12

,

2cos3412

12

,

4221

421221

4221221

aar

aar

aaar

r

r

⇒

== p2

1 0

σ

σ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

−+−=

+−+=

+−+−=

θ θ σ

θ θ σ

θ θ σ

θ

θ

2sin3215.0,

2cos3115.0,

2cos34115.0,

42

42

422

aa pr

aa pr

aaa pr

r

r

Et en coordonnées cartésiennes, le champ decontraintes devient :

+−=

++=

−+=

θ σ θ θ σ θ θ σ σ

θ σ θ σ θ σ σ


θ θ

θ θ

θ θ

2coscossincossin

2sincossin

2sinsincos22

22

r r xy

r r y

r r x

The equilibrium equations are as follows :

021

01

=+∂

∂+

∂

∂

=−

+∂

∂+

∂

∂

r r r

r r r

r r

r r r

θ θ θ

θ θ

σ

θ

σ σ

σ σ

θ

σ σ

With the following boundary conditions :( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 02,0,0,

2,,0,

2,,0,

0,

21

12

=±=∞===∞==±=∞===∞==±=∞===∞=

==

π θ σ π θ σ



θ σ

θ θ

θ θ

r r

r r

r r

Rr

r r

r r

r

Withr

Ra = the solution to the problem is:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

−+−

=

+−

+++

=

+−−

−−+

=

θ σ σ

θ σ

θ σ σ σ σ

θ σ

θ σ σ σ σ

θ σ

θ

θ

2sin3212

,

2cos312

12

,

2cos3412

12

,

4221

421221

4221221

aar

aar

aaar

r

r

⇒

== p2

1 0

σ

σ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

−+−=

+−+=

+−+−=

θ θ σ

θ θ σ

θ θ σ

θ

θ

2sin3215.0,

2cos3115.0,

2cos34115.0,

42

42

422

aa pr

aa pr

aaa pr

r

r

And in cartesian coordinates, the field stress becomes :

+−=

++=

−+=




θ θ

θ θ

θ θ

2coscossincossin

2sincossin

2sinsincos22

22

r r xy

r r y

r r x

Las ecuaciones de equilibrio se escriben:

021

01

=+∂

∂+

∂

∂

=−

+∂

∂+

∂

∂

r r r

r r r

r r

r r r

θ θ θ

θ θ

σ

θ

σ σ

σ σ

θ

σ σ

Las condiciones de contorno se escriben:( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 02,0,0,

2,,0,

2,,0,

0,

21

12

=±=∞===∞==±=∞===∞==±=∞===∞=

==

π θ σ π θ σ



θ σ

θ θ

θ θ

r r

r r

r r

Rr

r r

r r

r

La solución se escribe llamandor

Ra = :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

−+−

=

+−

+++

=

+−−

−−+

=

θ σ σ

θ σ

θ σ σ σ σ

θ σ

θ σ σ σ σ

θ σ

θ

θ

2sin3212

,

2cos312

12

,

2cos3412

12

,

4221

421221

4221221

aar

aar

aaar

r

r

⇒

== p2

1 0

σ

σ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

−+−=

+−+=

+−+−=

θ θ σ

θ θ σ

θ θ σ

θ

θ

2sin3215.0,

2cos3115.0,

2cos34115.0,

42

42

422

aa pr

aa pr

aaa pr

r

r

En coordenadas cartesianas el campo de tensionesresulta:

+−=

++=

−+=




θ θ

θ θ

θ θ

2coscossincossin

2sincossin

2sinsincos22

22

r r xy

r r y

r r x


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35 / 58

Graphique 21 : isovaleurs de p xσ autour de l’ouverture Graph 21 : contours of p xσ around the opening Gráfico 21 : isovalores de p xσ alrededor de la abertura

On retrouve ici quelques résultats connus comme laconcentration de contraintes de 3p au sommet del’ouverture.

We can see here some known results, such as thestress concentration of 3p at the top of the opening.

Obtenemos algunos resultados conocidos como laconcentración de tensiones de 3p en el borde de laabertura.


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Graphique 22 : isovaleurs de p yσ autour de l’ouverture Graph 22 : contours of p yσ around the opening Gráfico 22: isovalores de p yσ alrededor de la abertura

On observe une mise en traction dans la zone dediffusion de contraintes. Cette mise en traction est plusforte à proximité de l’ouverture et décroît à mesure quel’on s’en éloigne. C’est l’effet linteau.

We see the tension area in the stress spread zone. Thistension is stronger next to the opening and decreases thefurther we are. This i

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Rapport Fra Eng Esp Rev Circular Dwall (Non Strut)