RazóndeCambioinstantáneaLa derivada  Juntos construyamos  el concepto de derivada a partir de su interpretación geométrica.  Lic. Viviana Andrea Parada Almeida 01/01/2012  

 

 

Introducción Nuestro mundo es cambiante. Las variaciones de una cantidad inciden en que otras cantidades cambien. Por ejemplo, si una empresa decide aumentar el precio de un artículo, es claro que la utilidad ya no será la misma, ¡probablemente la demanda disminuya y la cantidad de materia solicitada también! Es natural que el gerente o administrador de la empresa se haga preguntas como: ¿Cuál es el precio que debe aumentar al artículo para que las utilidades no se vean afectadas?, ¿si el aumento por artículo es de 50 Bs, entonces cuál es la cantidad mínima de productos que debo vender para que no hayan perdidas?, entre otras. El objetivo principal de este material es proporcionar, por lo menos a usted como estudiante, las herramientas básicas para dar solución a situaciones como estas; situaciones que muy probablemente tendrá que enfrentar en el desarrollado de su actividad como profesional de la Administración o la Contaduría. Para ello recordaremos cómo se determina la razón de cambio entre dos variables que se relacionan linealmente, y posteriormente analizaremos el caso en el cual relación no es lineal.

Razóndecambio Dos variables se relación si el cambio de una (variable dependiente) está asociado a los cambios de la otra (variable independiente). Una relación entre dos variables es lineal si el aumento o disminución de una de ellas implica un aumento o disminución proporcional en la otra, de forma que su cociente es constante; en caso diremos que la relación no es lineal.

Razón de cambio en relaciones lineales: Recuerden que es una ecuación que define la relación lineal que existe entre las variables

e . Pero, ¿Quiénes son los otros valores que acompañan a las variables?, ¿afectan en algo los valores y a la relación que existe entre las variables?, ¿será que a partir de estos valores es posible determinar la razón de cambio entre las variables? ¡Deténgase unmomento e intente contestarcadaunadeestaspreguntas!¿Lologró?Noten que la formula definida anteriormente representa la ecuación de la recta que corta el eje y en b, y que tiene como pendiente a m. Lo primero significa que cuando la variable toma el valor de

 

 

Ahora bien, ¿qué ocurre con las pendientes de estas mismas rectas?, ¿se aproximan a algún valor?, ¿Cómo podemos calcularlo? El hecho de que a medida que tomamos puntos más cercanos a P, las rectas secantes se acerquen a la tangente de la curva en el mismo punto, significa que los valores de las pendientes de las rectas secantes son cada vez más cercanos al valor de la pendiente de la recta tangente a la curva. Noten que si P , , entonces existe un número tal que Q se puede escribir como ( , .

Es claro entonces, que la pendiente de la recta que pasa por estos puntos se reescribe como:

A partir de esto, podemos afirmar que la pendiente de la tangente, no es más que el límite de las pendientes de dichas secantes. Ahora la pregunta es: ¿cómocalculamosestelímite?Noten que al mover el punto Q cada vez más cerca de P, las diferencias son cada vez más pequeñas, lo cual significa claramente que tiende 0; es decir, se acerca a cero.

En consecuencia, el límite:lim → es entonces la razón de cambio instantáneo o simplemente la razón de cambio de con respecto a cuando . Formalizando, la derivada de una función unafunción conrespectoa enelpunto sedefinecomo:

→

,

Siempreycuandoellímiteexista.