'

&

$

%

Razvoj matematikein ra cunalnistvaEvropski srednji vek

Vladimir Batagelj

Univerza v Ljubljani

FMF, matematika

Zapiski, Ljubljana, 10. april 2005

razlicica: 17. april 2005 / 22 : 00

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 1'

&

$

%

Kazalo1 Evropa v srednjem veku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

11 Renesansa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

21 Viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 1'

&

$

%

Evropa v srednjem veku

• od 476 padec Rima, 524 smrt Boetija do padca Konstantinopla

1453, 622 Mohamed

smrt al-Kashija 1436; 529 je Justinjan zaprl Atensko akademijo

• v vzhodnem rimskem cesarstvu so uprabljali grscino; v zahodnem

pa latinscino

• 6-10. stol. je bilo na Zahodu res temacno za znanost. Matematika

se je obdrzala v glavnem na osnovni ravni – priprava koledarja.

• 623-658 Karantanija, kralj Samo

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 2'

&

$

%

. . . Karel veliki

• Bede (673-735) v Angliji, koledar,

racunanje na prste;

• Alcuin Yorski (735-804), Karel Veliki ga

je poklical, da bi dvignil izobrazbo v

Franciji;

• Hrabanus Maurus, Nemcija (784-856)

izracun dneva Velike noci.

• 814 smrt Karla Velikega

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 3'

&

$

%

. . . evropski srednji vek

• Gerbert (940-1003) rojen v Franciji, vzgojen vSpaniji in Italiji; ucitelj

in svetovalec Rimskega cesarja Ota III (Nemcija); skof v Reimsu in

Ravenni; leta 999 je postal papez Silvester II. Pisal je o aritmetiki in

geometriji. Prvi je v Evropi ucil o indijskem/arabskemstevilskem

sestavu – najbrz se je z njim seznanil pri Mavrih v Barceloni.

• V tem casu Evropase ni bila pripravljena za razvoj matematike.

Ceprav je bila arabska znanost tedaj na visku, na evropski strani ni bilo

’sogovornikov’, ki bi ob stiku znali ceniti in prevzeti dosezke. Ovira je

bila tudi jezikovna pregrada – v 9. stol. so se Arabska dela prevajala v

grscino.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 4'

&

$

%

. . . prevajalci

• v zacetku 12. stol. se stanje zacne izboljsevati. Prvi evropski

matematiki so znali arabsko – Mavri,Zidje, Grki.

• v drugi polovici 12. stol. in 13. stol. se veliko prevaja iz arabscine v

latinscino, grscino, zidovscino in spanscino.

• (trgovski) stiki z arabci vSpaniji, Siciliji in cez vzhodno cesarstvo

• krizarski pohodi 1096–1272, mavrske vojne

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 5'

&

$

%

. . . prevajalci

• Adelard iz Batha (1075-1160), anglez; prevedel iz arabscine Evklidove

Elemente(1142), al-Khwarizmijeve astronomske tablice (1126),

PtolomejevAlmagest(1155)

• socasno je bila v Toledu vSpaniji ustanovljena prevajalnasola, ki jo

je podpiralskof. Vizigotska prestolnica, Mavri, zavzeli kristjani. V

knjiznicah veliko arabskih rokopisov. Prebivalstvo zelo mesano.

• Gerard iz Cremone, prevedelcez 80 del; ponovno prevedel Evklidove

Elementein PtolomejevAlmagest(iz grscine) ;

• Robert iz Chesterja; al-KhwarizmijevoAlgebro (1145) zacetek

evropske algebre; sinus slab prevod

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 6'

&

$

%

. . . Herman Koroski,∼1100-∼1160

• Herman Koroski (Herman de Carinthia) je omenjen

tudi z imeni Dalmata, Secundus in Sclavus. Zato si

ga svojijo tudi Hrvati in njegov rojstni kraj postavl-

jajo v srednjo Istro.Studiral je v Chartresu (1130 –

1134) v Franciji.• Bil je med prvimi, ki je v latinscino prevajal arabska

znanstvena pa tudi islamska teoloska in religiozna

dela. PrevedelKoranv latinscino.• Prevedel je posamezne dele Ptolemejevega delaAl-

magest, dele Evklidovih Elementovs svojim ko-

mentarjem, astronomske tablice al-Khwarizmija in

temeljno razpravoDe compositione et usu astrolabii.• Napisal je izvirno deloO bistvih (De essentiis,

1143).• Napisal je tudi izvirno matematicno delo o korenih

pod naslovomLiber de invenienda radice Hermani

Secundi.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 7'

&

$

%

. . . evropski srednji vek

• Adelard, John iz Seville: indijsko/arabski sestav• Abraham Ibn Ezra (1090-1167): indijsko/arabski

sestav zazide• novi sestav je le pocasi spodrival rimskestevilke. Za

racunanje so uprabljali pretezno abak. ’Spopad’ med

abakisti in algoristi za prevlado. Algoristi prevladali

sele v 16. stol.• 13. stol. sirjenje ’algorism’ov: franciskan Alexan-

dre de Villedieu (okrog 1225) napisal pesnitev o

operacijahCarmen de Algorismo; John iz Halifaxa

(1200-1256) sestavil prirocnik o racunanjuAlgoris-

mus vulgaris

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 8'

&

$

%

Leonardo iz Pise – Fibonacci, 1170-1250

Navecji evropski srednjeveski matematik. Italijanski trgovec. Njegov ucitelj

je bil musliman. Potoval po arabskem svetu (Egipt, Sirija, Grcija). Napisal

Liber Abaci1228

• aritmetika in geometrija sta povezani in se med seboj podpirata

• zares predvsem aritmetika

• indijske (arabskestevilke), vkljucno 0 – zephirum→ cifra, zero; predvsem za

trgovsko racunanje, teorija in astronomijase vedno vsestdesetiskem sestavu;

• vodoravna ulomkovacrta (poznalize Arabci),sirse sprejetasele v 16. stol.

• uporaba obicajnih, enotskih insestdesetiskih ulomkov

• fibonaccijevo zaporedje

• kubicna enacba, dokaz, da ni racionalne resitve, resitev v sestdesetiskem

sistemu na 6 mest

Liber quadratorum1225;Practica geometriae1220

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 9'

&

$

%

Ostali matematiki srednjega veka

• John of Holywood, Johannes de Sacrobosco; 1195Tractatus de Sphaera,

astronomija, napaka v Gregorijanskem koledarju

• Jordanus Nemorarius (1225-1260); sile na klancu, popolnastevila,crkovne

oznake

• Camanus iz Novare (1220-1296); trisekcija kota (obudil starogrske probleme)

• William Ockham (1285-1349); filozof, trivrednostna logika, Ockhamova britev

”Pluralitas non est ponenda sine neccesitate” – Keep it simple

• Thomas Bradwarine ( 1295-1349); nadskof v Canterburyju, Aristotelovska

teorija gibanja, ni eksperimentov

• Nicole d’ Oresme (1323-1382); zametki koordinatnega sistema, zvezne kolicine

(hitrost), racionalni eksponenti, gibanje Zemlje (200 let pred Kopernikom),

dokaz divergence harmonicne vrste

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 10'

&

$

%

Pomembni dogodki

• 1265 Prvi parlament v Angliji

• 1271 Potovanja Marca Pola

• izumi: smodnik, kompas, ura, ocala

• 1348 Evropska kuga

• prve univerze: Bologna 1158 (zacetki 1088), Pariz 1257 (zacetki 1150),

Oxford (zacetki 1096), Modena 1175, Salamanca 1218, Padova 1222,

Praga 1348, Dunaj 1365, Heidelberg 1386

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 11'

&

$

%

Renesansa• Padec Bizanca 1453, presahnil vir anticnih dosezkov; nekaj stvari so

begunci prinesli s sabo – Benetke;

• kuga in vojne v Angliji in Franciji

• dogajanje se preseli v Italijo, Nemcijo in Poljsko

• Gutenbergov izum tiska (1440); Odkritje Amerike (1492); 95 tez

Martina Lutra v Witenbergu (1517); umre Leonardo da Vinci (1519)

• Renesansa v matematiki = Razvoj algebre

• Nikolas de Cusa (1401-1464); Ukvarjal se je z geometrijo in logiko.

Zacel se je zanimati za nskoncno veliko in neskocno majhno. Kroznico

je obravnaval kot stekalisce pravilnih veckotnikov – resnici se lahko

poljubno priblizamo, a je ne moremo doseci.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 12'

&

$

%

Renesansa / Regiomontanus, 1436-1476

Johann Regiomontanus je bil rojen kot Johann Muller v Konigsbergu. Bil

je Peurbachov (1423-1469) ucenec.

Leta 1461 je bil postavljen za profesorja astronomije na univerzi na Dunaju

in leta 1468 za astronoma madzarskega kralja Matjaza Korvina.

Veliko je prevajal. V knjigiDe triangulis omnimodis(1464) je podal

pregled razresevanja trikotnika (trigonometrija).

V Nurembergu je leta 1471 zgradil opazovalnico in delavnico za izdelavo

instrumentov, ki jih je podrobno opisal vScipta.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 13'

&

$

%

Januarja 1472 je opravil natancno opazovanje preleta kometa, kar je

omogocilo cez 210 let prepoznati ga za Halleyev komet in tri ponovne

pojavitve s periodo 70 let. Opozoval je tudi vec luninih mrkov.

Pisal je tudi o reformi koledarja:Kalendariumin De Reformatione

Kalendarii. Papez Sixus IV ga je leta 1475 poklical v Rim, da bi svetoval pri

koledarski reformi in postalskof v Regensburgu, vendar je Regiomontanus

pred tem umrl (zastrupljen, kuga ?).

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 14'

&

$

%

Renesansa / Nicolas Chuquet (1445 Pariz - 1488 Lyon)

Parizan, zdravnik; na davkariji v Lyonu 1485; 1487 ga omenijo kot ”Nicolas

Chuquet, algoriste”. Prezivljal se je kot prepisovalec in pisar. Obiskal je Italijo (?)

Chuquet je napisal pomebno deloTriparty en la science des nombres, ki je prva

francoska knjiga o algebri. Precejcasa je veljalo, da je prvo tako knjigo napisal La

Roche. Leta 1841 je Chasles opozoril na zgodnejse, a izgubljeno Chuquetovo delo.

Ko so ga nekoliko kasneje nasli, se je pokazalo, da je La Roche svoje delo izdelal

na osnovi ChuquetovegaTriparty – v rokopisuTriparty so bili celo La Rochevi

zaznamki.

Triparty se ukvarja z aritmetiko in algebro. Natisnjeno je bilosele leta 1880

in zato ni imelo neposrednega vpliva. Prvi del se ukvarja z ulomki, zaporedji,

popolnimi stevili, razmerji, itd. Prvic so kot koeficienti, eksponenti in resitve

uporabljena negativnastevila. Uporablja niclo in njegova pravila vsebujejo tudi

niclo in negativnastevila. Tako na primerx0 = 1.

V razdelikh o enacbah obravnava kvadratno enacbo z obema korenoma.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 15'

&

$

%

Renesansa / Luca Pacioli, 1445 - 1517Summa de arithmetica, geometria,

proportioni et proportionalita1487

Zelo vplivna knjiga

Vec simbolike; oznaka spre-

menljivke co (cosa), ce, cece

(kvadrat)

dvostavno knjigovodstvo

tudi geometrija, vendar ni zelo

pomembna

poznal Leonarda da Vincija

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 16'

&

$

%

Renesansa / Nemci

• Adam Ries (1492-1559); Die Coss

(1524)

• Christoph Rudolff (1500-1545);

Coss - decimalni ulomki, moderen

zapisa korena

• Peter Apian (1495-1552);Rech-

nung (pascalov trikotnik na prvi

strani)

• Michael Stifel (cca 1487-1567);

Arithmetica integra (negativna

stevila, ena oblika kvadratne

enacbe, negativni eksponenti)

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 17'

&

$

%

Renesansa / Cardano in Tartaglia

• Geronimo Cardano (1501-1576) zdravnik, heretik, nezakonski otrok,

svobodomiselen, razvraten; na koncu le papezeva pokojnina

• Ars Magna

* kubicna enacba (Nicolo Tartaglia (1500-1577))

* se niso vpeljali negativnih koeficientov, veliko razlicnih primerov, ...

* tekma Tartaglia vs. Fior (Fior je dobil resitev Scipionne del Ferro -

profesor v Bologni)

* prej so verjeli, da kubicna enacba nima resitev

* negativnastevila: numeri ficti

* koreni negativnihstevil

• Luigi Ferrari resitev enacbecetrte stopnje

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 18'

&

$

%

Renesansa / ostali

• Robert Recorde (Oxford, Cambridge);

enacaj, cos• Nikolaj Kopernik (1473 - 1543); Krakow

studiral: Krakow, Bologna, Padova, Fer-

rara, Rim, Frauenburg predvsem astronom

De revolutionibus orbium coelestium1543

trigonometrija• Georg Joachim Rheaeticus (1514-1576);

kombinacija idej Kopernika in Regiomon-

tanusa; Opus palatinum de triangulis

prenos iz kroga v pravokotni trikotnik,sest

funkcij (razmerij); ni decimalnihstevil,

uporablja polmer 10.000.000; tabele

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 19'

&

$

%

Renesansa / ostali

• Pierre de la Ramee – pedagoska

matematika, vse kar je rekel Aristotel,

je narobe• Bombellijeva Algebra – algebraicne

resitve geometrijskih problemov• Johannes Werner – teorija perspektive• Durer – magicni kvadrati, perspektiva• Kartografija: Mercator

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 20'

&

$

%

Pomembni dogodki

• 1521 Turki zavzamejo Beograd;

1529 Turki pred Dunajem• 1522 Magellanova odprava objadra svet• 1533 Henrik VIII izobcen• 1550 Trubar: Prva slovenska knjiga• 1566 umre Nostradamus• 1582 uvedba Gregorijanskega koledarja• 1591 umre Jacobus Gallus

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Evropski srednji vek 21'

&

$

%

Viri1. MacTutor History of Mathematics Archive:Mathematicians born from

1000 to 1499

2. Albert Durer; slike

3. Koledarji

4. Adam Ries

5. Wikipedia: Stare univerze

6. Henrietta Midonick: The treasury of mathematics. Pelican Book.

Penguin Books, Harmondsworth, 1968.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖