Regels bij kansrekeningen

Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt

P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2).

Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis).

Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt

P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2).

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

P(G) =Kansdefinitie van Laplace

Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag jetrekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.

14.1

In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers,Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas.

a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood)

b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen)

4 2

10 3

6 1

. 4 3

10 3

6 0

.

= + ≈ 0,333

4 0

10 3

6 3

. 4 1

10 3

6 2

.

= + ≈ 0,667

Voorbeeld somregel

De complementregel

P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1

P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)

P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte)

14.1

Het vaasmodelBij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken.

P(2r, 2w, 1b) = ?

Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans

Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken.

Dat kan op manieren.

Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken.

Dat kan op

P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

15 5

8 2

4 2

3 1

8 2

4 2

3 1

15 5

. .

. .

manieren.

8+4+3=15

2+2+1=5

14.1

Binomiaal kansexperiment

Bij een binomiaal kansexperiment is :

• n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd

• X het aantal keer succes

• p de kans op succes per keer

• de kans op k keer succes is gelijk aan

P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k.nk

14.1

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k)

14.1

opgave 2 a P(3 rode) =

7 8

3 2

15

5

≈ 0,326

b P(4 rode) =4 48 7 8

4 15 15

≈ 0,269

c P(3 rode, 2 witte en 1 zwarte) =

7 5 3

3 2 1

15

6

≈ 0,210

d P(3 rode, 2 witte en 1 zwarte) =3 26 3 7 5 3

3 2 15 15 15

≈ 0,136

e P(5 keer pakken) = ≈ 0,033

f P(7 keer pakken) = P(bij de eerste zes keer 2 rode) · P(rode)

6 8 7 6 5 7 6 5

2 15 14 13 12 11 10 9

≈ 0,163

8 7 6 5 7( )

15 14 13 12 11P rrrrr

opgave 8 a P(elk aantal ogen 4 keer) =

Alternatieve uitwerking

P(elk aantal ogen 4 keer) =

P(zes keer 2, vier keer 3 en zes keer geen 2 en 3) =

Alternatieve uitwerking

P(zes keer 2, vier keer 3 en zes keer geen 2 en 3) =

P(bij de tiende worp evenveel als bij de derde worp) =

1616 12 8 1

4 4 4 4

≈ 0,015

1616! 1

4! 4! 4! 4! 4

≈ 0,015

6 4 616 10 1 1 2

6 4 4 4 4

≈ 0,025

6 4 616! 1 1 2

4! 6! 4! 4 4 4

≈ 0,025

10,25

4

b

c

opgave 10 a P(2 rode)

P(rode en zwarte) = P(r z) + P(z r)

6

246

241

4

a

aa

a

2

2

6 24 6

24 24

144 6 6

24 24

12 144

24

a a a

a a

a a a

a a

a a

a

b

opgave 10 c P(rode en zwarte) = 2 · P(r z)

Voer in y1 = en maak een tabel.

x = 7 geeft y1 ≈ 0,286

x = 8 geeft y1 ≈ 0,429

x = 23 geeft y1 ≈ 0,403

x = 24 geeft y1 ≈ 0,391

Dus 8, 9, 10, 11, ……, 22 of 23 knikkers.

2

6 62

12 6 ( 6)

( 1)

12 72

a

a aa

a a

a

a a

2

12 72x

x x

d

Werkschema: het maken van opgaven over binomiale kans-experimenten1. Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X2. Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met

binompdf of binomcdf.3. Bereken de gevraagde kans met de GR.

P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3)

P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7)

14.1

KansbomenBij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken.Je gaat als volgt te werk :• Zet de uitkomsten bij de kansboom.• Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt.• Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt

van START naar de betreffende uitkomst.

14.2

Draaiende schijven

Bij het draaien van de schijven hoort de volgende kansboom

14.2

opgave 15 a P(Esther 2 rode kaarten)

P(Esther 2 kaarten van dezelfde kleur) = P(r r) + P(b b) + P(w w) + P(g g) + P(z z)

P(Marleen wint) =

P(Marleen wint) = P(g g) + P(w w)

2 1

10 92 1

90 45

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

10 9 10 9 10 9 10 9 10 92 1

510 9

10 1

90 9

1

3

2 1 1

3 2 32 1

6 31 1 2

3 3 3

b

c

d

opgave 17 a

P(Anton pakt zwarte knikker) = P(mz)

P(Anton pakt rode knikker) = P(krI) + P(mrII)

P(Anton pakt twee keer wit) = P(kwkw)

P(Anton pakt twee keer rood) = P(krIkrI) + P(krImrII) + P(mrIIkrI) + P(mrIImrII)

1 20,2

2 5

1 4 1 3

2 7 2 5 ≈ 0,586

1 3 1 2

2 7 2 6 ≈ 0,036

1 4 1 3 1 4 1 3 1 3 1 4 1 3 1 2

2 7 2 6 2 7 2 5 2 5 2 7 2 5 2 4 ≈ 0,318

b

c

d

e

opgave 18 a P(Evelien pakt rood) = P(>4, rI) + P(≤4, rII)

P(Evelien pakt drie keer rood)

P(Evelien pakt twee keer zwart) = P(≤4, z, ≤4, z)

2 4 4 3

6 7 6 5 ≈ 0,590

32 4 4 3

6 7 6 5

≈ 0,206

4 2 4 2

6 5 6 5 ≈ 0,071

b

c

Normale verdeling

Werkschema: aanpak bij opgaven over de normale verdeling1. Schets een normaalkromme en verwerk

hierin µ, σ, l, r en opp.2. Kleur het gebied dat bij de vraag hoort.3. Bereken met de GR het ontbrekende getal.4. Beantwoord de gestelde vraag.

14.3

14.3

De oppervlakte links van a is gelijk aan 0,56Je kunt de bijbehorende grens met de GR berekenen.We gebruiken hierbij de notatie a = invNorm(0.56, 18, 3)- 0.56 de oppervlakte links van a- 18 het gemiddelde μ- 3 de standaardafwijking σ

Is de oppervlakte onder de normaalkromme linksvan a bekend, dan is a = invNorm(opp links, μ, σ)

Grenzen berekenen met de GR

14.3

opgave 22 a

opp = normalcdf(1000, 1099, 1005, 6) ≈ 0,798Dus 79,8%.

b

opp = 2 · normalcdf(–1099, 1001, 1005, 6) ≈ 0,505Dus van 50,5%.

opgave 22 c

TInormalcdf(–1099, 1000, µ, 8) = 0,02Voer in y1 = normalcdf(–1099, 1000, x, 8) en y2 = 0,02

De optie intersect geeft x ≈ 1016,4.Dus instellen op een gemiddelde van minstens 1016,4 gram.

Casio

Voer in y1 = P((1000 – x) : 8) en y2 = 0,02.

De optie intersect geeft x ≈ 1016,4.Dus instellen op een gemiddelde van minstens 1016,4 gram.

10000,02

8P

In figuur 8.20 is een normaalkromme getekend.Onder de normaalkromme is de bijbehorenderelatieve cumulatieve frequentiepolygoon getekend.In figuur 8.21 is de schaal op de verticale as veranderd.Vanaf 50% wordt de schaal zowel naar boven als naarbeneden uitgerekt en wel zodanig,dat de grafiek een rechte lijn is.Papier met deze schaalverdeling heetnormaal-waarschijnlijkheidspapier.

Normaal-waarschijnlijkheidspapier

14.3

opgave 29 a

Bij 50% hoort µX ≈ 74.

Bij 84% hoort µX + σX ≈ 93.

Dus µX ≈ 74 en

σX ≈ 93 – 74 = 19.

bZie figuurLijn door de punten(68, 50) en (79, 84).cHet snijpunt is het punt (59, 21).Dat betekent dat van beidetoevalsvariabelen 21% van dewaarnemingen onder de 59 ligt.

werkschema : zo onderzoek je of bij een verdeling een normale benadering is toegestaan en zo schat je μ en σ.

1 Bereken van elke klasse de relatieve cumulatieve frequentie.2 Zet deze relatieve cumulatieve frequenties uit op

normaal-waarschijnlijkheidspapier, telkens boven de rechtergrens van de klasse.

3 Ga na of de punten bij benadering op een rechte lijn liggen.Zo ja, dan is de normale benadering toegestaan.Teken de lijn.

4 Lees op de horizontale as μ af bij de relatieve cumulatievefrequentie 50.

5 Lees op de horizontale as μ + σ af bij de relatieve cumulatievefrequentie 84.Hieruit volgt σ .

14.3

Som en verschil van toevalsvariabelen

De som en het verschil van de normaal verdeelde toevalsvariabelen X en Yzijn weer normaal verdeeld.De verwachtingswaarde en de standaardafwijking van S = X + Y en V = X – Y bereken je metµS = µX + µY en

respectievelijkµV = µX – µY en

De formules voor σS en σV mag je alleen gebruiken als X en Y onafhankelijk zijn.

Voor de som S = X1 + X2 + X3 + … + Xn van n onafhankelijke toevalsvariabelen

X1, X2, …, Xn geldt

en

2 2S X Y

2 2V X Y

1 2 3...S X X X Xn

2 2 2 2

1 2 3...S X X X Xn

2 2X Y X Y

14.3

opgave 31

De totale afhandelingstijd is T = X + Y.T is normaal verdeeld metµT = µX + µY = 170 + 110 = 280 seconden en

5 minuten = 300 secondenopp = normalcdf(300, 1099, 280, ) ≈ 0,083Dus in 8,3% van de gevallen.

2 2 2 212 8 208T X Y

208

seconden

opgave 38

De totale tijdsduur isT = X1 + X2 + X3 + X4.

T is normaal verdeeld metµT = 12 + 8 + 20 + 18 = 58 seconden en

opp = normalcdf(60, 1099, 58, ) ≈ 0,144Dus in 14,4% van de gevallen.

2 2 2 20,5 0,3 0,8 0,6 3,54T

3,54

seconden

Steekproef van lengte n

Gegeven is een populatie met een normaal verdeelde toevalsvariabele X.Bij een steekproef van lengte n uit deze populatie isXsom = X + X + X + … + X (in termen) normaal verdeeld met

en

X Xsomn

X Xsomn

14.4

opgave 44

Xsom is normaal verdeeld met

= 3 · 40 = 120 minuten en

minuten.

P(Xsom > 135) = normalcdf(135, 1099, 120, ) ≈ 0,140

Xsom

3 8 8 3Xsom

8 3

Het steekproefgemiddelde

- wet:Bij een normaal verdeelde toevalsvariabele X met gemiddelde µX en

standaardafwijking σX is bij steekproeflengte n het steekproefgemiddelde

normaal verdeeld met en

Bij een grote steekproef, bijvoorbeeld een steekproef met n > 1000,

zal de spreiding heel klein worden.

Het steekproefgemiddelde zal dan heel dicht bij het theoretische gemiddelde µX liggen.

Je krijgt dus een goede schatting van µX door te berekenen voor grote

waarden van n.

n

X XX X

X n

n

X

X

14.4

opgave 46 a

P(X < 25 ⋁ X > 35) = 2 · P(X < 25)= 2 · normalcdf(–1099, 25, 30, 4) ≈ 0,211

opgave 46 b

is normaal verdeeld met

en

= 2 · normalcdf(–1099, 25, 30, )

≈ 0,000 000 02 ≈ 0,000

X

30XX

4.

20X

X n

4

20

( 25 35) 2 ( 25)P X X P X

opgave 46 c

opp links van 30 – a is = 0,025

30 – a = invNorm(0.025, 30, )

30 – a ≈ 28,25a ≈ 1,75

1 0,95

2

4

20

opgave 46 d

opp links van 29 is 0,0005 is normaal verdeeld met en

TInormalcdf(–1099, 29, 30, ) = 0,0005

Voer in y1 = normalcdf(–1099, 29, 30, ) en y2 = 0,0005.

De optie intersect geeft x ≈ 173,2.Dus n > 173.

Casio

Voer in y1 = P((29 – 30) : (4 : )) en y2 = 0,0005.

De optie intersect geeft x ≈ 173,2.Dus n > 173.

X 30X

4

.X n

4

n4

x

29 300,0005

4P

n

x

opgave 49 a TInormalcdf(–1099, 100, 102, σX) = 0,15

Voer iny1 = normalcdf(–1099, 100, 102, x) en y2 = 0,15.

De optie intersect geeftx ≈ 1,93.Dus σ ≈ 1,93 cl.

Casio

Voer in y1 = P((100 – 102) : x) en y2 = 0,15.

De optie intersect geeft x ≈ 1,93.Dus σ = 1,93 cl.

100 1020,15

X

P

opgave 49 b is normaal verdeeld met

= 102 cl en cl.

= normalcdf(–1099, 100, 102, )

≈ 0,0002

X = het aantal kratten waarbij de gemiddelde vulinhoud per flesminder is dan 100 cl.X is binomiaal verdeeld met n = 25 en p = 0,0002.P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)= 1 – binompdf(25, 0.0002, 0)≈ 0,005

X

XX

1,93

12X

X n

1,93

12

c

Discrete en continu verdelingen

Bij een continu toevalsvariabele kan elke waarde tussen twee uitkomstenaangenomen worden.Bij een discrete toevalsvariabele worden alleen een aantal ‘losse’ waardenaangenomen.

Bij het overstappen van een discrete toevalsvariabele X op een continutoevalsvariabele Y moet je een continuïteitscorrectie van 0,5 toepassen:P(X ≤ k) = P(Y ≤ k + 0,5).

14.5

opgave 56 a P(X < 20) = P(X ≤ 19) = P(Y ≤ 19,5) = normalcdf(–1099 , 19.5, 28.2, 4.3) ≈ 0,022

Dus in 2,2%.P(X = 30) = P(29,5 ≤ Y ≤ 30,5)

= normalcdf(29.5, 30.5, 28.2, 4.2) ≈ 0,085P(X > 25) = 1 – P(X ≤ 25) = 1 – P(Y ≤ 25.5)

= 1 – normalcdf(–1099, 25.5, 28.2, 4.3) ≈ 0,735

b

c

Van binomiale verdeling naar normale verdeling

binomiale verdeling

verwachtingswaarde

standaardafwijking

Voor grote n mag je de binomiale verdeling benaderen door een normaleverdeling.

De binomiaal verdeelde toevalsvariabele X kan voor grote n benaderdworden door de normaal verdeelde toevalsvariabele Y met µY = np en

Voorwaarde is dat np > 5 en n(1 – p) > 5.

( ) (1 )k n knP X k p p

k

( )E X np

(1 )X np p

(1 )Y np p

opgave 58 a P(X ≤ 100) = binomcdf(300, 0.37, 100) ≈ 0,104Y is normaal verdeeld met µY = µX = np = 300 · 0,37 = 111 en

P(X ≤ 100) = P(Y ≤ 100,5) = normalcdf(–1099, 100.5, 111, ) ≈ 0,105

(1 ) 300 0,37 0,63 69,93Y X np p

b

69,93

opgave 59 a X = het aantal personen dat komt opdagen.P(X ≤ 1300) = binomcdf(1430, 0.9, 1300) ≈ 0,884De gevraagde kans is 0,844.Stel hij noteert maximaal n reserveringen.Voor welke n is P(X ≤ 1300) > 0,99 ?TIbinomcdf(n, 0.9, 1300) > 0,99Voer in y1 = binomcdf(x, 0.9, 1300).

Maak een tabel en lees afvoor n = 1416 is y1 ≈ 0,9911

voor n = 1417 is y1 ≈ 0,9888.

Dus hij noteert maximaal 1416 reserveringen.CasioBenader X door de normaal verdeelde toevalsvariabele Y metµY = µX = np = 0,9n en

P(X ≤ 1300) = P(Y ≤ 1300,5), dus

Voer in y1 = P((1300,5 – 0,9x) : ) en y2 = 0,99

De optie intersect geeft x ≈ 1415,8.Dus hij noteert maximaal 1416 reserveringen.

(1 ) 0,9 0,1 0,09Y X np p n n

1300,5 0,9

0,09

nP

n

0,09x

= 0,99

b

opgave 61 E(X) = 1440, dus np = 1440

σX = 30, dus (1 ) 30np p 1440(1 – p) = 301440 – 1440p = 900–1440p = –540p = 0,375np = 1440

1440(1 ) 30p

0,375n = 1440n = 3840