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Integración Numérica
Integración Numérica Justificación del problema y
conceptos generales Fórmulas de cuadratura con
paso adaptativo Cuadratura de Gauss Integración sobre intervalos
finitos Integración sobre intervalos
infinitos Integración en varias
variables
Introducción Justificación del problema
Integral elíptica de segunda clase
Definición de funciones especiales:Función de Bessel
Función error
Discretización de ecuaciones integrales
J z z n dn ( ) cos( sen ) 1
0
erf x e dttx
( ) 2 2
0
Partición del intervalo [a,b, a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b
x0,x1,x2,...,xn-1,xn nodos
, 2,,..., n coeficientes o pesos
Error de integración.
Grado de precisión: mayor n N
tal que
En(xk)=0, k=0,1,...,m
En(xm+1)0
Conceptos generalesI f f x dx
a
b( ) ( )
I f f xn j jj
n
( ) ( )
0
E f I f I fn n( ) ( ) ( )
Fórmulas de Newton-Cotes
Fórmulas de cuadratura cerradas
Fórmulas de cuadratura abiertas
Fórmula de Trapecios para N
subintervalos
Fórmula de Simpson para N
subintervalos
Fórmulas de cuadratura cerradas
Dados n+1 puntos equiespaciados de
[a,b], xj=a+jh, j=0,...,n h=(b-a)/(n+2). Entonces h ]a,b[ tal que
n par y f Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h
n impar y f Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h
dsnsssfn
h
xfdxxf
nnn
n
jjj
b
a
)()1()()!2(
)( )(
0
2)2(3
0
dsnsssfn
h
xfdxxf
nnn
n
jjj
b
a
)()1()()!1(
)( )(
0
)1(2
0
n=1 Regla del Trapecio
n=2 Regla de Simpson
n=3 Regla de Simpson 3/8
n=4 Newton-Cotes (5 puntos)
10''
3
10
)(12
)()(2
)(
xxfh
xfxfh
dxxfb
a
20)(
5
210
)(90
)()(4)(3
)(
xxfh
xfxfxfh
dxxf
iv
b
a
40)(
5
43
210
)(945
8)(7)(32
)(12)(32)(745
2 )(
xxfh
xfxf
xfxfxfh
dxxf
vi
b
a
30)(
5
3210
)(80
3
)()(3)(3)(8
3 )(
xxfh
xfxfxfxfh
dxxf
iv
b
a
Fórmulas de cuadratura abiertas
Dados n+1 puntos equiespaciados de [a,b],
xj=a+(j+1)h, j=0,...,n h=(b-a)/(n+2).
Entonces h ]a,b [ tal que
Si n es par y f Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h
Si n es impar y f Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h
dsnsssfn
h
xfdxxf
nnn
n
jjj
b
a
)()1()()!2(
)( )(
1
1
2)2(3
0
dsnsssfn
h
xfdxxf
nnn
n
jjj
b
a
)()1()()!1(
)( )(
1
1
)1(2
0
n=0 Regla del Punto Medio
n=1
n=2
n=3
11''
3
0 )(3
)( 2 )( xxfh
xfhdxxfb
a
21
)(3
10
)(4
3)()(
2
3 )(
xx
fh
xfxfh
dxxf iib
a
41)(
5
3210
)(144
95
)(11)()()(1124
5 )(
xxfh
xfxfxfxfh
dxxf
iv
b
a
31)(
5
210
)(45
14
)(2)()(23
4 )(
xxfh
xfxfxfh
dxxf
iv
b
a
Fórmula de Trapecios para N
subintervalos
h=(b-a)/N, xk=a+kh k=0,1,2,...,N
Fórmula de Simpson para N
subintervalos
h=(b-a)/(2m), xk=a+kh k=0,1,2,...,2m
)('')(12
)()(2)(2
)(
2
1
10
fabh
E
xfxfxfh
dxxf
T
N
kNk
b
a
)()(180
)()(4)(2)(3
)(
)(4
1
12
11220
ivS
m
km
m
kkk
b
a
fabh
E
xfxfxfxfh
dxxf
Error de la Fórmula de Simpson
Extrapolación de Richardson
Eh
b a f ChSIV
44
180( ) ( )
][14
]2[][4
]2[][16)116(
][
)2(]2[
2
2
4
4
hIhIhI
I
hIhII
ChhII
hChII
Rdef
SS
SS
S
S
Integración de RombergIntegración de Romberg
Expresión general:
Error de orden h2j
Exacta para polinomios de grado 2j-1
II I
kj
jk j k j
j
4
4 1
11 1 1
1
, ,
Tabla de RombergTabla de Romberg
I h
I h I h
I h I h I h
I h I h I h I h
T
T S
T S R
T S R Q
[ ]
[ / ] [ / ]
[ / ] [ / ] [ / ]
[ / ] [ / ] [ / ] [ / ]
2 2
4 4 4
8 8 8 8
Algoritmo ROMBERGAlgoritmo ROMBERG
Datos de entrada: a, b, n, tol Proceso: Construcción de la tabla de
Romberg
k = 1, I(1,1) = trapecio(a,b,n); % Fila 1
mientras error > tol
k = k+1 % Fila k
I(k,1) = trapiter(a,b,2k-1n)
para j = 2 : k % Aplica el método de Romberg
I(k,j) = (4^(j -1)*I(k,j -1) - I(k -1,j -1)) / /(4^(j -1) -1)
fin para
error = abs(I(k,j) - I(k,j -1))
fin mientras
Fórmulas de cuadratura con paso adaptativo
Métodos adaptativos de cuadratura:
Regla compuesta de Simpson
Algoritmo de cuadratura adaptativa
implementado en MATLAB
(quad.m)
Métodos adaptativos Variaciones funcionales irregulares en el
intervalo de integración Combinamos la Regla compuesta de
Simpson, h=(b-a)/2, con la Regla de Simpson para m=2, de paso h/2=(b-a)/4:
)()(4)(3
:),(
,
)(90
)()(4)(3
)( )(5
bfhafafh
baS
ba
fh
bfhafafh
dxxf ivb
a
)()2
3(4)(
6,
2
)()2
(4)(62
,
, )(180
)(
16
)()2
3(4)(2)
2(4)(
6 )(
)(4
bfh
afhafh
bba
S
hafh
afafhba
aS
bafabh
bfh
afhafh
afafh
dxxf
iv
b
a
Estimación del error: si
Si
entonces
y será una buena
aproximación a I.
En otro caso, se aplica reiteradamente a los subintervalos [a,(a+b)/2[ y
[(a+b)/2,b[ (tolerancia TOL/2.)
bba
Sba
aSbaS
bba
Sba
aSdxxfb
a
,22
,),(15
1
,22
, )(
f fiv iv( ) ( )( ) ( )
f x dx S aa b
Sa b
b TOLa
b( ) , ,
2 2
S a b S aa b
Sa b
b TOL( , ) , ,
2 215
S aa b
Sa b
b, ,
2 2
Simpson con paso adaptativo
function I = adapsimp(f,a,b,tol,nivel)
% Integra f en [a,b] por el método de
% Simpson de paso adaptativo
% tol: error admitido (estimación)
% nivel: profundidad máxima de la recursión
h = (b-a)/2; % Paso inicial
c = a+h; % Punto medio
fa = feval(f,a);
fc = feval(f,c);
fb = feval(f,b);
int = h/3*(fa+4*fc+fb); % Simpson simple
tol = 10*tol;
I = refina(f,a,c,fa,fc,fb,int,tol,nivel);
Recursión sobre los intervalos
function I = refina(f,a,c,fa,fc,fb,int,tol,nivel);
h = (c-a)/2;
d = a+h; e = c+h; % Puntos medios
fd = feval(f,d);
fe = feval(f,e);
int1 = h/3*(fa+4*fd+fc); % Simpson % intervalo izq.
int2 = h/3*(fc+4*fe+fb); % Simpson % intervalo der.
if abs(int-int1-int2)<tol
I = int1+int2;
elseif nivel = = 0
error('Nivel excedido')
else
I = refina(f,a,d,fa,fd,fc,int1,tol/2,nivel-1) + refina(f,c,e,fc,fe,fb,int2,tol/2,nivel-1);
end
Cuadratura de Gauss
Elección de nodos apropiados
Casos particulares
Gauss-Legendre
Gauss-Chebyshev
Gauss-Laguerre
Gauss-Hermite
Cuadratura de Gauss
OBJETIVOS:OBJETIVOS:
Elección de nodos x1 , x2 ,..., xn para aumentar
el grado de precisión.
Máximo grado de exactitud.
CONCLUSIONES:CONCLUSIONES: Una fórmula de cuadratura con n nodos
es exacta para polinomios de grado
2n-1 si y sólo si: la fórmula es interpolatoria, y los nodos son las raices del n-esimo polinomio
ortogonal respecto del producto escalar inducido por w(x) en [a,b.
No existe ninguna fórmula con n nodos exacta para todos los polinomios de grado 2n.
)x(fc)x(fc)x(fcdx)x(f)x(w nn2211
b
a
Fórmula de cuadratura
w x f x dx c f xa
b
i ii
n
( ) ( ) ( )
1
n,1,2,=i
b
ai
n
ini dx)x(w
xx
)x(T
)x('T
1c
<ba<
dx)x(w)x(T)!n2(
)(f)f(E
b
a
2n
)n2(
CUADRATURA INTERVALO F. PESO
Gauss-Legendre [a,b]=[-1,1] w(x)=1
Gauss-Chebyshev [a,b]=[-1,1] w(x)=1/(1-x2)1/2
Gauss-Jacobi [a,b]=[-1,1] w(x)=(x-1)a(x+1)b
Gauss-Laguerre [a,b]=[0,+[ w(x)=xae-x
Gauss-Hermite [a,b]=]- , +[2
)( xexw
Gauss-Legendre En [-1,1], los polinomios de Legendre
forman una familia ortogonal:
pn(x) tiene n raices reales distintas,
y los coeficientes de la fórmula de cuadratura,
)x(pn)x(px1n21n
1)x(p
,2,1nx)x(p1)x(p
1nn1n
10
n,1,2,=k
432k nO
2n4
1k4cos
n8
1
n8
11x
n,,2,1i
)x(px1
2dx
xx
xxc
2
i'n
2i
1
1
n
ij1j ji
ji
n nodos coeficientes
2 0.5773502692 1.0000000000
3 0.7745966692 0.5555555556
0.0000000000 0.8888888889
4 0.8611361159 0.34785484510.3399810436 0.6521451549
Polinomios de Legendre Si [a,b [-1,1, el cambio de variable
es:
y la fórmula de cuadratura queda:
xb a
tb a
dxb a
dt
2 2 2,
b
a
n
1iii )f(E
2
abx
2
abfc
2
abdx)x(f
EJEMPLO:
cambio de variable a [-1,1
Gauss-Legendre n=2
Gauss-Legendre n=3
I f e dxx( ).
2
1
1 5
e dx e dxxt
2
2
1
1 55
16
1
11
4
.( )
1094003.0ee4
1)f(I 16
)55773.0(
16
)55773.0( 22
1093642.0
e555556.0e888889.0
e5555556.04
1)f(I
16
)5774596.0(
16
)50(
16
)5774596.0(
22
2
Gauss-Chebyshev
En [-1,1], los polinomios de Chebyshev
forman una familia ortogonal,
y Tn(x) tiene n raices reales distintas,
,3,2 )()(T 2)(
)(
1)(
21
1
0
nxTxxxT
xxT
xT
nnn
1-n,0,1,2,=k
2
12cos
n
kxk
f x
xdx
nf xi
i
n( )( )
1 21
1
1
En [0,+[, los polinomios de Laguerre
son una familia ortogonal,
Tn(x) tiene n raices reales y distintas,
,2,1n
)x(Ln)x()x1n2()x(L
x1)x(L1)x(L
1n2
n1n
10
L
Gauss-Laguerre
1,n-,2,1,0k=
)O(n
2
1n48
j21
2
1n4
jx 5-
2
2k0
2
2k0
k
+
e f x dx c f xxi i
i
n
( ) ( )
10
nixL
xnc
in
ii ,,2,1
)(
!2
1
2
Gauss-Hermite
En , los polinomios de Hermite forman una familia
ortogonal,
Hn(x) tiene n raices reales y distintas en - ,+[, y los
coeficientes son:
,2,1,0n
)x(H)1n(2)x(x2)x(H
x2)x(1)x(H
n1n2n
10
H
H
n
iii
x xfcdxxfe1
)()(2
ni
xH
nc
in
n
i ,,2,1 )(n
!22
12
1
Integrales impropias
Carácter de las integrales impropias.
Resolución numérica. I. impropias I. propias
cambio de variable, desarrollo por series, eliminación de la
singularidad.
Integrales Impropias Sea f(x) una función contínua con
una asíntota vertical en [a,b]. La integral
es una integral impropia
Si entonces
)(xflimbx
b
adxxf )(
b
b-
f(x)
a
)(xflimbx
b
a
b
adxxflimdxxf )()(
0
Si entonces
Cuando estos límites existen, decimos que la integral impropia es convergente.En otro caso, se dice que es divergente.
)x(flimax
ba a+
)(xflimax
b
a
b
adxxflimdxxf
)()(
0
EJEMPLO
=0.01
aplicando cuadratura de Gauss, n=5:
=0.0001 y cuadratura de Gauss, n=5:
no tiende a cero cuando
0 , luego no converge.
2
0dx)x(tanI
56666746051534 2
00102
00102
0102
2
0102
..dx)x(tan
dx)x(tandx)x(tan
.
.
..
2
2
dx)x(tan
2
0dx)x(tan
2
0102
2
0102
0102
0
6051874.
.
.
dx)x(tan.
dx)x(tandx)x(tanI
5666504
12
010010
22
010 1
1
2
0102
.
dtt.
.tan.
dx)x(tan.
EJEMPLO
=0.01
aplicando cuadratura de Gauss, n=5:
=0.0001 y cuadratura de Gauss, n=5:
1
0
1dx
xI
8.1111 01.0
0
1
01.0
01.0
0 dx
xdx
xdx
xI
1841600
10050
1
2
0101 5
1
010
0
.
)t(.c
.dx
x i i
i
.
1800184160
111 010
00010
00010
0
010
0
..
dxx
dxx
dxx
.
.
..
9984616181180018416011
0....dx
x
I. Impropias I.Propias Cambio de variable
Desarrollo por series
Eliminación de la singularidad
1
0
2
1
0
1
2
dt)t(ftnItx
ndx)x(fx nn
n
n
1
00010
23
1
00010
231
00010
3
21
21
.
x
..
x
dxx
xex
dxx
xxdxex
x t
t
edx
x
xcos0
1
0 1
Integrales Infinitas
Integrales infinitas
convergentes y divergentes.
Métodos de aproximación:
Descomposición en suma
de integrales
Cambio de variable
Integrales Infinitas: Métodos de Aproximación
Integrales sobre intervalos no acotados: [a,+[, -,b -,+[.
Convergencia existe el límite y es un número real.
b b
aa
a
b
ab
dx)x(flimdx)x(f
dx)x(flimdx)x(f
Descomposición en suma de integrales
Resulta conveniente doblar el intervalo en cada iteración: rn=2n
TOLdx)x(f
rrrra
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
n
n
r
r
n
r
r
r
aa
1
2
1
1
I
n
321
n In
0 0.57202582
1 0.62745952
2 0.63043990
3 0.63047761
4 0.63047766
Valor exacto 0.63047783
EJEMPLO
nn
rx
n rdxx
eI
n
2 10 4
0 4
1dx
x
eI
x
Cambio de variable Depende de la función a integrar. El cambio transforma el intervalo
en .
EJEMPLO
cambio
aplicando cuadratura de Gauss, n=5.
tex t0 1t0
0dxexI x
886240862649002327300003190
1
1
1
1
1
010
010
00010
00010
0
1
0
1
00
....
dtt
logdtt
logdtt
log
dtt
logdttlogdxexI
.
.
.
.
x
dtt
dxtlogx1
EJEMPLO
cambio
aplicando Romberg.
1
2 2
dxexI x
dttdxt
x 23
2
1
1
0.25364
0
2
1
2
11
0
25
1
1
0 25
1
1
0
231
1
2 2
It
e)t(g
dtt
e
dttet
dxexI
tt
t
tx
Integración Indefinida
Integral definida sobre un
rango variable
Subdividir el intervalo de
integración y aplicar
cuadraturas
Solución del problema de
valor inicial asociado
x
abxadttfxF )()(
0)( , )( aFxfdx
dF
Ejercicio Calcúlese la función error como
la integral de la función de distribución gaussiana de 0 a x:
y como solución del problema de valor inicial:
x t dte
xxerf
0
22)(
0)0( ,2
)('2
yexy x
Integración Múltiple
Integración múltiple sobre
recintos rectangulares
Integración múltiple sobre regiones no rectangulares
Algoritmo de Integración Múltiple
Integracion Múltiple sobre recintos rectangulares
Aplicamos la Regla de Simpson a la integral considerando x como parámetro.
b
a
d
cRdxdyyxfdAyxfI ),(),(
d
cdyyxf ),(
b
a
b
a m
m
j
b
a j
m
j
b
a j
b
a
b
a
d
c
dxy
),x(fk
)cd(dx)y,x(f
k
dx)y,x(fk
dx)y,x(fk
dx)y,x(fk
dxdy)y,x(f
4
44
2
112
1
12
0
180
3
3
4
3
2
3
Aplicamos Simpson a cada una de estas integrales:
)y,x(f)y,x(f
)y,x(f)y,x(fh
dx)y,x(f
jn
n
iji
b
a
n
ijijj
21
12
1
120
4
2 3
4
44
180 x
)y,(fh
ab jj
m,n
n
im,i
n
im,im,
m
j
m
jj,n
n
ij,i
m
j
n
ij,i
m
jj,
m
jj,n
m
j
n
ij,i
m
j
n
ij,i
m
jj,,n
n
i,i
n
i,i,
b
a
d
c
ffff
ff
fff
ffff
fffhk
dxdy)y,x(f
221
212
1
12220
1 1122
11212
1
1
1122
1120
1
122
1
1 1212
1
1
1
122
1
120 02
1012
1
10200
4 2 2
4 16
84 2
842
4 2 9
Expresión del error:
R
180 4
44
4
44
ˆ,ˆ,,
ˆ,ˆy
fk,
x
fh
)ab)(cd(E
Coeficientes de la fórmula de cuadratura:
m
dck
n
abh
m,,,,jjkcy
n,,,,iihax
i
i
2
2
2210
2210
b=x2n
d=y2m
y2m-1
y2
y1
c=y0
a=x0 x1 x2 x3 x4 x2n-2 x2n-1
1
1 12 2 2
2 2 2 1
4 4 4
44 4
4 4
4 4 4
4 4
2
8 8 8
8 8 8
8
161616
161616
2 88
Integración Múltiple sobre recintos no rectangulares
h=(b-a)/2 k=k(x)
d
c
xb
xa
b
a
xd
xcdxdyyxfdydxyxf
)(
)(
)(
)( ),( ),(
))(,())()(,(4))(,(3
)(
))(,())(
)(,(4))(,(3
)(4
))(,( ))()(,(4))(,(3
)(
3
h
))(,())()(,(4))(,(3
)(
),()(
)(
bdbfbkbcbfbcbfbk
hadhafhak
hachafhachafhak
adafakacafacafak
dxxdxfxkxcxfxcxfxk
dydxyxfI
b
a
b
a
xd
xc
Algoritmo de la integral múltiple
Entrada: f(x,y), c(x), d(x), a, b, m, n. Salida: aproximación I
PASO 1: dividir [a,b] en 2n subintervalos
PASO 2: en cada nodo xi,
evaluar la función calcular (d(xi )-c(xi ))/(2m)
PASO 3: aplicar la regla compuesta de Simpson respecto a y
PASO 4: sobre el resultado obtenido del PASO 3 aplicar Simpson respecto
a la variable x I
b
a
xd
xcdydxyxf
)(
)( ),(
Integrales de Contorno
Casos Particulares Método de MonteCarlo
Integrales de Contorno
Llamamos integral de contorno a una integral de la forma:
siendo C una curva en el plano XY. Si C está parametrizada, es posible
transformar una integral de contorno en una integral ordinaria de una variable.
),(
,),( , ),(
C
CC
dsyxf
dyyxfdxyxf
Método de Monte Carlo El valor medio de la función f(x)
en el intervalo [a,b] es
Sean x1, x2, …xn n puntos
cualesquiera en [a,b], resulta previsible que
Cuando los valores de xi son
aleatorios, éste método es conocido como Método de Monte Carlo
)(1
b
adxxf
ab
)(1
)(1ˆ
1
b
a
n
iin dxxf
abxf
nf
Ejemplo
a b Valor aprox. Valor exacto
1.0 0.8 1.4180830 1.4180834
1.0 0.4 1.1506554 1.1506556
1.0 0.2 1.0505019 1.0505022
1.0 0.1 1.0159888 1.0159935
Calculamos el perímetro de elipses de distintas excentricidades utilizando en todos los casos 60 puntos.