CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

En este capítulo se establecerá una relación cuantitativa entre dos omás variables relacionadas, para posteriormente tratar de predeciry/o explicar el valor de una variable respecto a la otra, así como elgrado de relación entre las variables

• EL ANÁLISIS DE CORRELACIÓN: Es un grupode técnicas que permiten medir la magnitud de larelación entre dos variables.

• EL DIAGRAMA DE DISPERSIÓN: Es undiagrama que refleja la relación entre las variables,por ejemplo

EJEMPLO:

Consideremos la siguiente información respecto a la cantidadde comerciales de televisión que aparecen durante en el fin desemana con el numero de ventas en un negocio en la semanasiguiente

Cantidad de comerciales (x) 2 5 3 4 3 4 2

Volumen de ventas en cientos de dólares (y) 40 60 41 54 38 49 38

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6

La correlación puede ser de diferentes formas

En el caso particular de la correlación lineal

EL COEFICIENTE DECORRELACIÓN

Es un número denotado por la letra 𝒓, que se define como

𝒓 = 𝒙𝒊 − 𝒙 (𝒚𝒊 − 𝒚)

𝒙𝒊 − 𝒙𝟐 𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 − 𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝟏

Este número 𝒓 indica la magnitud de relación entre lasvariables

EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN:

Es una técnica estadística para el modelado y lainvestigación de la relación entre dos o másvariables que permite determinar una función quese ajuste a los puntos de un diagrama dedispersión con la finalidad de poder predecir enforma aproximada una de las variables a través dela otra.

La regresión lineal consiste en ajustar la nube de puntos a una recta de ecuación

𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥

Donde

• 𝑏 = 𝒙𝒊− 𝒙 (𝒚𝒊− 𝒚)

𝒙𝒊− 𝒙𝟐

• 𝑎 = 𝑦 − 𝑏 𝑥

EJEMPLO:Los datos siguientes son los sueldos mensuales“y” , promedios de calificaciones “x”, paraestudiantes que obtuvieron su licenciatura enadministración, con especialización en sistemasde información. Para estos datos, halle laecuación de regresión

• 𝑏 = 𝑥𝑖− 𝑥 (𝑦𝑖− 𝑦)

𝑥𝑖− 𝑥2 =

430

0.74= 581.08

• 𝑎 = 𝑦 − 𝑏 𝑥 = 3650 − 581.08 3.2 = 1790.54

𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥

𝑦 = 1790.54 + 581.08𝑥

y = 581.08x + 1790.5

R² = 0.7459

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Sueldo

Sueldo

Lineal (Sueldo)

VARIABLE ESTADISTICABIDIMENSIONAL

Una variable Estadística es bidimensional si se realiza unaobservación simultanea de dos características obteniendo deesta forma pares que denotaremos como (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) quecorresponderán la variable (𝑋, 𝑌)

EJEMPLO:

Consideremos el siguiente conjunto de datos grado de instrucción yedad, del personal que trabaja en determina empresa

X: Grado de instrucción Valores:Primaria,secundaria, superior

Y: Edad Valores: 24, 35, 40, 52

Y

X 24 35 40 52

Primaria 2 0 1 2

Secundaria 1 10 6 4

Superior 6 5 7 9

9 15 14 15

podemos representar gráficamente el conjunto de datos comosigue

Primaria

Secundaria

Superior

0

2

4

6

8

10

12

14

16

2435

4052

Primaria

Secundaria

Superior

REPRESENTACION DE LA INFORMACION MEDIANTE CUADROS BIDIMENSIONALES

Dada una variable bidimensional (𝑋, 𝑌) que toma los valores

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑋 ∶ 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑦𝑚𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑌 ∶ 𝑦1, 𝑦2,… , 𝑦𝑝

La distribución de frecuencias de esta variable es un cuadro de doble entrada de los valores (𝑥𝑖 , 𝑦𝑗) con sus respectivas frecuencias 𝑓𝑖𝑗

y

x

y1 y2 … yj … ypTOTAL

x1 f11 f12 … f1j … f1p f 1 .

x2 f21 f22 … f2j … f2p f 2 .

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

xi fi1 fi2 … fij … fip f i .

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

xm fm1 fm2 … fmj … fmp f m .

TOTAL f . 1 f . 2 … f . j … f . p n

DISTRIBUCIONES MARGINALES

𝑓𝑖𝑗 : es el número de veces que se repite el dato (𝑥𝑖 , 𝑦𝑗)

𝑓𝑖∙ =

𝑗=1

𝑝

𝑓𝑖𝑗

𝑓∙𝑗 =

𝑖=1

𝑚

𝑓𝑖𝑗

𝑖=1

𝑚

𝑗=1

𝑝

𝑓𝑖𝑗 = 𝑛

xi f i .x1 f 1 .

x2 f 2 .

⋮ ⋮

xi f i .

⋮ ⋮

xm f m .

TOTAL

𝑖=1

𝑚

𝑓𝑖∙

yj f . j

y1 f . 1

y2 f . 2

⋮ ⋮

yj f . j

⋮ ⋮

yp f . pTOTAL

𝑗=1

𝑝

𝑓∙𝑗

FRECUENCIAS RELATIVAS

FRECUENCIA RELATIVA CONJUNTA: ℎ𝑖𝑗 =𝑓𝑖𝑗

𝑛

FRECUENCIA RELATIVAS MARGINALES:

ℎ𝑖∙ =𝑓𝑖∙

𝑛ℎ∙𝑗 =

𝑓∙𝑗

𝑛

Notemos que

𝑖=1

𝑚

𝑗=1

𝑝

ℎ𝑖𝑗 = 1

y

x

y1 y2 … yp TOTAL

x1 h11 h12 … h1p h 1 .

x2 h21 h22 … h2p h 2 .

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

xm hm1 hm2 … hmp h m .

TOTAL h. 1 h . 2 … h . p 1

PARAMETROS ESTADISTICOS

MEDIAS MARGINALES:

𝑥 = 𝑖=1𝑚 𝑓𝑖∙𝑥𝑖

𝑛 𝑦 = 𝑗=1𝑝𝑓∙𝑗𝑦𝑗

𝑛

VARIANZAS MARGINALES:

𝑠𝑥2 = 𝑖=1𝑚 𝑓𝑖∙(𝑥𝑖 − 𝑥)

2

𝑛 − 1𝑠𝑦2 = 𝑗=1𝑝𝑓∙𝑗(𝑦𝑗 − 𝑦)

2

𝑛 − 1COVARIANZA:

𝑠𝑥𝑦 =1

𝑛

𝑖=1

𝑚

𝑗=1

𝑝

𝑓𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗 − 𝑥 𝑦

COEFICIENTE DE CORRELACION:

𝑟 =𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥𝑠𝑦