UVOD

Mnoge pojave u poslovanju, privredi i dr. područjima delatnosti u međusobnoj su vezi. Zajednička promena pojava zove se kovarijacija. Zadatak statistike je da opisuje stepen i oblik kovarijacije među pojavama.

Odnosi između pojava mogu biti funkcionalni i statistički. Ako je odnos između pojava uz date uslove postojan reč je o zakonitosti koja se izražava nekom funkcijom (formulom), npr. površina kvadrata zavisi od stranice. Odnos površine kvadrata i veličine njegove stranice je funkcionalan. Pretpostavimo da se ispituje težina i visina učenika. Pokušamo li taj odnos izraziti nekom funkcijom doći ćemo do teškoća u njenom tumačenju i primeni. Ako uzmemo da se radi o linearnoj funkciji u kojoj je težina funkcija visine teorijski bi svaki učenik s istom visinom morao imati istu težinu. Međutim, to je u suprotnosti sa stvarnim odnosima visine i težine. S druge strane, može se zamisliti da vrednosti visine učenika variraju oko prosečne težine. Ovakva povezanost pojava je statistička. Funkcionalne povezanosti između pojava smatraju se najjačim, a statističke slabijim.

Cilj istraživanja odnosa pojava jeste da se utvrdi analitički izraz kojim se opisuje statistička zavisnost. U tu svrhu primenjuju se metode regresione analize, koje se baziraju na modelu (jednačina ili skup jednačina). Oblik modela zavisi od konkretnog slučaja. Npr. varijacije ukupnih troškova zavise, u osnovi, od varijacija obima proizvodnje. U ovom primeru, vrednost posmatranih ukupnih troškova predstavlja vrednost zavisne promenjljive (y), a vrednosti obima proizvodnje predstavljaju vrednosti nezavisne promenjljive (x). Da bi se sprovela statistička analiza modela neophodno je odrediti koja je pojava zavisna, a koja nezavisna, zatim izabrati oblik modela i primeniti postupke kojima se procenjuju nepoznati parametri i utvrđuju statističko-analitički pokazatelji kvaliteta modela.

1

1. MODELl VREMENSKIH SERIJA

U analizi vremenskih serija sve se više ide na utvrđivanje probabilističkog modela. Metodi analize na ovoj osnovi nazivaju se stohastički procesi. Najveći broj autora pod stohastičkim procesom podrazumeva slučajnu ili stohastičku komponentu u vremenskoj seriji koja je sastavni deo njene fizičke vrednosti, ali istovremeno i matematički model koji karakteriše kretanje te serije. Matematički, stohastički proces može da se definiše kao skup T, slučajnih promenljivih u vremenu [X(t), t E T], gde je X(t) slučajna promenljiva u vremenu t. Za svaku slučajnu promenljivu za jedan ishod procesa imamo jedno posmatranje, i ta su posmatranja hronološka i kreću se prema zakonu verovatnoće1.

Treba ukazati na specifičnost statističke analize vremenskih serija postavljene na probabilističkim osnovama. Kod vremenskih serija imamo samo jedno posmatranje slučajne promenljive u vremenu t. Konceptualno, jedna vremenska serija može da se smatra kao jedan član iz beskonačnog skupa vremenskih serija. Svaki ovaj član je moguća i posebna realizacija stohastičkog procesa.

Problem analize vremenskih serija na ovim osnovama je pronalaženje adekvatnog modela. Njegov izbor zavisi od svojstva serije, odnosno ispoljene tendencije u njenom kretanju, pri čemu njen grafički prikaz može da bude posebno koristan. Taj izbor često zavisi od veličine serije, kao i od načina na koji će se taj model da upotrebi2.

Treba imati u vidu da komplikovana tehnika ne mora uvek da znači i bolju analizu. Često jednostavniji postupak može da pruži zadovoljavajući rezultat. Zbog toga se izbor metoda na bazi modela treba dobro da prouči pre nego što se donese konačna odluka. Poslednjih godina teorija stohastičkih procesa se, na toj osnovi, veoma razvila i predstavlja široko područje na kome rade brojni, prvenstveno, teorijski statističari. Sličan se problem postavlja kada se vrši predviđanje ili ekstrapolacija pri čemu treba imati u vidu cilj predviđanja, njegovu dužinu, dužinu serije itd. Logično je da podaci prethodnog perioda služe kao oslonac za predviđanje, i kod kraćeg perioda se može očekivati veća izvesnost.

Priroda podataka je jedan značajan momenat o kome mora da se vodi računa prilikom predviđanja. Tako, sa više izvesnosti može da se predvidi buduće prirodno kretanje stanovništva nego, recimo, visina padavina u toku vegetacionog perioda. Često se izvode paralelna predviđanja na bazi više hipoteza, ponekad uz primenu različitih metoda.

Ponekad, u predviđanju može da se koristi i neki subjektivni kriterijum. Na primer, neko preduzeće je na reklamu svojih proizvoda trošilo određeni procenat svoga dohotka uz realizaciju koju pokazuje vremenska serija. Ako je to preduzeće u međuvremenu rešilo da u narednom periodu znatno poveća izdatke za reklamu, predviđanje buduće prodaje treba da uzme u obzir i taj momenat3.

Ekstrapolacija trenda metodom najmanjih kvadrata počiva u celini na rezultatima prethodnih posmatranja ispitivane pojave. Međutim, kod predviđanja mogu da se uzmu u obzir i podaci drugih promenljivih, na primer, potrošnja u zavisnosti od dohotka. Tada se radi

1 Z. Kovačić, Analiza vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 1998.2 Z. Vujošević (Mladenović), Savremeni metodi makroekonometrijskog modeliranja, Zadužbina Andrejević, Beograd, 19963 Z. Mladenović i A. Nojković, Analiza vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 2008.

2

o regresionim ili multivarijacionim modelima koji su u osnovi ekonometrijskih modela.

Ekonometrijski modeli se tako konstruišu usled niza nepredvidljivih činilaca te nije redak slučaj da model na bazi jedne promenljive pruža bolji rezultat nego multivarijacioni model.

2. REGRESIONA ANALIZA

U regresionoj analizi se po pravilu pretpostavlja da su pojave predstavljene vrednostima numeričkog obeležja. Uz određene uslove, modelom se može proceniti vrednost zavisne promenljive na osnovu pretpostavljene vrednosti nezavisne promenljive.

Stepen povezanosti pojava predstavljenih vrednostima numeričkih promenljivih ispituje se metodama korelacione analize. Kada su podaci o pojavama dati kao oblici redosleda njihova povezanost će se meriti metodom korelacije ranga.

Ako su pojave predstavljene oblicima nominalnih obeležja, za analizu zavisnosti upotrebiće se mere asocijacije. Dakle, osnovni zadatak analize stepena i jačine statističke veze između pojava sastoji se od utvrđivanja odgovarajućih statističkih pokazatelja, odnosno koeficenata korelacije i asocijacije. Područje regresione i korelacione analize je veliko i veoma važno u ispitivanju poslovnih i opštih privrednih pojava, pa iz tog područja izdvojićemo metode analize odnosa dveju pojava. Parmetri regresijonog modela su regresioni koef. b i konst. član a.

Konstantni član a predstavlja vrednost regresione funkcije kada je nezavisna promenljiva jednaka nuli. Regresioni koeficijent b pokazuje koliko se linearno menja vrednost zavisne promenljive ako se nezavisna promenljiva promeni (poveća ili smanji) za jedinicu mere.

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosečno odstupanje empirijskih vrednost zavisne promenljive od regresionih vrednosti u mernim jedinicama zavisne promenljive, a koeficijent varijacije koliko je to u relativnom iznosu. Koeficijent determinacije je proporcija modelom protumačenog dela zbira kvadrata u ukupnom zbiru kvadrata i kreće se između 0 i 1. Što je bliži jedinici model je reprezentativniji. Rezidualna odstupanja su procene nepoznatih vrednosti slučajnih promenljivih. Razlike vrednosti zavisne promenljive y i regresijskih vrednosti čine rezidualna odstupanja. Regresione vrednosti predstavljaju procene vrednosti zavisne promenljive za date vrednosti nezavisne promenljive. Koeficijent korelacije je standardizovana mera jačine statističke veze između pojava predočenih dvema kvantitativnim promenljivama. Ako su pojave predočene oblicima rangiranih promenljivih stepen statističke povezanosti biće izražen koeficijentom korelacije ranga4.

3. KORELACIONA ANALIZA

4 Z. Kovačić, Analiza vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 1998.

3

Korelaciona i regresiona analiza često su povezane, mada im je zadatak različit. Regresionim modelom analitički se izražava odnos između pojava predstavljenih vrednostima numeričke promenljive. Merenje stepena jačine statističkih veza sprovodi se metodama korelacione analize5.

Kovarijansa

„μ11=∑(Xi-Xbar)(Yi-Ybar)/n“

Iz prethodnog izraza vidi se da kovarijansa predstavlja aritmetričku sredinu proizvoda odstupanja vrednosti promenljive x od njene aritmetričke sredine. Kovarijansa poprima različite vrednosti. Ako su sve vrednosti (barem jedne promenljive) međusobno jednake ona je jednaka nuli. Kovarijansa je veća od nule ako postoji tendencija da iznadprosečne vrednosti jedne promenljive dolaze sa iznadprosečnim vrednostima druge promenljive i obrnuto.

Ukoliko postoji tendencija da iznadprosečne vrednosti jedne promenljive prate ispodprosečne vrednosti druge promenljive kovarijansa je manja od nule. Kovarijansa je simetrična s obzirom na oznake promenljivih pa je svejedno koja će se promenljiva označiti sa x, a koja sa y.

Odnos koeficenata determinacije (r²) i korelacije (│r│)

r²=0, │r│=0 odsutnost korelacije; 0-0,25 i 0-0,5 slaba korelacija; 0,25-0,64 i 0,5-0,8 srednje jačine; 0,64-1 i 0,8-1 čvrsta korelacija; 1 i 1 potpuna (perfektna).

Kada između dve populacije podataka ne bi postojala nikakva povezanost (npr. visina ljudi i njihovi rezultati na nekom testu inteligencije), pa kada bi iz tih populacija na slučajan način izvlačili parove rezultata (za svakog ispitanika njegov podatak o visini i inteligenciji) i to uvek npr. po osam parova a nakon svakog izvlačenja za te uzorke izračunali koeficijent korelacije, dobili bismo nakon velikog broja takvih izvlačenja simetričnu distribuciju.

Koeficijent parcijalne korelacije pokazuje jačinu i smer linearne veze zavisne promenljive (y) i nezavisne promenljive uz nepromenjen uticaj preostalih promenljivih. Ovi koeficijenti izračunavaju se pomoću elemenata analize varijanse, koeficijenta jednostavne linearne korelacije i na druge načine.

Raščlanjavanje zbira kvadrata je razlika empirijskih vrednosti zavisne promenljive od njene aritmetičke sredine (ukupni zbir kvadrata ST), rastavlja se na dve nezavisne komponente. Prva komponenta jednakosti je deo zbira kvadrata protumačen modelom regresije. Protumačeni deo (SP) je zbir kvadrata odstupanja regresionih vrednosti od aritmetičke sredine zavisne promenljive. Druga komponenta je neprotumčeni deo zbira kvadrata (SR) ili zbir kvadrata rezidualnih odstupanja.

Pearsonov koeficijent korelacije ili proizvod momenata formula je kovarijansa standardizovanih vrednosti promenljivih x i y. Poprima vrednosti od minus do plus jedan. Vrednost koeficijenta jednaka nuli govori da ne postoji linearna korelacija među pojavama, plus jedan da je potpuna i pozitivnog, a minus jedan da je potpuna i negativnog smera. Što je koeficijent po apsolutnoj vrednosti bliži jedinici veza je uža. Mala vrednost ne mora nužno

5 Z. Kovačić, Analiza vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 1998.

4

govoriti o slaboj vezi među pojavama jer povezanost pojava može biti uska ali krivolinijska pa je primjena koeficijenta linearne korelacije u tom slučaju neprimerena.

Spearmanov koeficijent korelacije ranga je koeficijent linearne korelacije izraćunat upotrebom parova modaliteta rangiranih promenljivih (Pearsonova forma). Ako su u svakom paru rangovi jednaki, njihove su razlike jednake nuli a koeficijent je 1. Tada se govori o potpunoj pozitivnoj rang korelaciji. Kada je redosled modaliteta jedne rang promenljive obrnut od redosleda druge promenljive u paru, koeficijent će biti -1, pa je rang korelacija potpuna i negativna. Za najveće neslaganje rangova, koeficijent korelacije ranga je 0.

U praksi se ponekad pokazuje potreba da se izrazi korelacija skupa od tri i više rangiranih promenljivih. Pri tome je prikladan Kendallov koeficijent W, koeficijent slaganja varijacija promenljivih ranga. U njegovoj primeni pretpostavlja se da svaka promenljiva ranga poprima vrednost iz skupa prvih n prirodnih brojeva. U izvođenju obog koeficijenta polazi se najpre od pretpostavke da postoji podudarnost u rangiranju. Koeficijent W poprima vrednosti od 0 do 1. Najmanja vrednost koeficijenta W (potpuno neslaganje varijacije K promenljivih ranga) je 0, a najveća 1 (potpuno slaganje rangova K promenljivih ranga).

4. STATISTIČKA ANALIZA VREMENSKIH NIZOVA

Vremenski niz (serija) je skup hronološki uređenih numeričkih vrednosti slučajne promenljive, kojom se prikazuju promene neke pojave tokom vremena. Frekvencije vremenske serije mogu se izraziti u različitim mernim jedinicama (novčane jedinice, jedinice za merenje obima proizvodnje, energije itd.), što zavisi od prirode pojave koja je predmet analize. Vremenska serija se razlikuje od drugih nizova podataka po tome što su njeni članovi uređeni hronološki, odnosno prema vremenskom parametru „t“.

4.1. Klasifikacija vremenskih serija

U praksi se susreću razne vrste vremenskih serija. Svojstvo kumulativnosti i način formiranja frekvencija vremenskih serija predstavljaju najčešće korišćene kriterijume za klasifikaciju istih.

Prema svojstvu kumulativnosti frekvencija vremenske serije mogu biti intervalne i trenutne, s druge strane, prema načinu formiranja frekvencija razlikuju se izvorne i izvedene vremenske serije6.

Frekvencione intervalne vremenske serije nastaju sabiranjem vrednosti pojave po odabranim intervalima vremena. Frekvencije intervalne serije se takođe mogu međusobno sabirati što ukazuje na svojstvo kumulativnosti. U praksi se najčešće uzimaju jednaki intervali (dan, kvartal, mesec, godina, dekada, sedmica i sl.), a po pravilu, vremenske serije se sastoje od vremenskih jedinica vezanih za jednake vremenske intervale. Podaci o uvozu i izvozu, kvartalni prihodi državnog budžeta, broj berzovnih transakcija tokom nedelje, broj obavljenih finansijskih transakcija preko svifta su samo neki od primera intervalnih vremenskih serija.

6 Z. Mladenović i A. Nojković, Analiza vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 2008.

5

Intervalne serije grafički se najčešće prikazuju linijskim, površinskim i trodimenzionalnim dijagramom.

Trenutne vremenske serije. Njihove frekvencije predstavljaju hronološki uređene numeričke vrednosti slučajne promenljive koja opisuje određenu pojavu. Navedene frekvencije prikazuju stanja posmatrane pojave u precizno iskazanim i jednako udaljenim vremenskim tačkama. Međutim, ponekad se susreću i takve vremenske serije koje nemaju jednako udaljene vremenske tačke. Ova serija nema svojstvo kumulativnosti, jer veličine dobijene sabiranjem nemaju konkretno značenje.

U praksi se susreću mnogi primeri trenutnih serija kao što su: dnevna stanja likvidnih sredstava banke, podaci o broju zaposlenih na kraju svakog meseca tekuće godine, mesečna stanja deponenata određene banke tokom posmatrane godine i sl. Trenutne vremenske serije grafički se prikazuju linijskim ili polulogaritamskim dijagramom.

4.2. Individualni indeksi

Indeksi su relativni brojevi koji pokazuju odnos stanja jedne pojave ili grupe pojava u različitim momentima vremena. Ako se takvim brojevima prati dinamika jedne pojave reč je o individualnim ineksima. Oni se dele na verižne i indekse na stalnoj bazi.

Verižni indeksi su uvek pozitivni brojevi a mogu biti sto, manji ili veći od sto, u zavisnosti od veličine uzastopnih frekvencija. Verižni indeksi Vt pokazuju koliko jedinica pojave u vremenu t dolazi na svakih 100 jedinica pojave u vremenu (t-1). Iz definicije verižnih indeksa lako je zaključiti da oni pružaju iste informacije kao i koeficijenti uzastopnih promena v.

Indeksi na stalnoj bazi. Njima se posmatraju varijacije članova vremenskog niza u odnosu na člana niza odabranog razdoblja i to u relativnom iznosu. Ovi indeksi se dobijaju tako da se svaka frekvencija niza podeli baznom frekvencijom i količnik pomnoži sa sto. Kako se frekvencije dele istim brojem, indeksi na stalnoj bazi proporcionalni su veličinama iz kojih su izračunati. Oni su uvek pozitivni brojevi, jednaki sto, manji ili veći od sto, u zavisnosti od frekvencija datog i baznog razdoblja. Indeks It pokazuje koliko jedinica pojave u vremenu t dolazi na svakih sto jedinica pojave u razdoblju b.

4.3. Grupni indeksi

Grupni indeksi su relativni brojevi kojima se mere relativne promene heterogene grupe pojava u vremenu. Oni se pojavljuju sa različitim nazivima, ali je uvek reč o grupnim indeksima cena, količina i vrednosti7.

Grupni indeski cena mere intenzitet promena cena tekućeg razdoblja u odnosu na bazno razdoblje. Ako se ponderi cena određuju pomoću količina baznog razdoblja, doći će se do Laspeyresovog indeksa cena. Indeks cena Paaschea formira se ponderiranjem cena količinama tekućeg razdoblja. Laspeyresov indeks cena pokazuje prosečnu promenu cena grupe pojava u vremenu t u odnosu na bazno razdoblje. Za razliku od ovoga, Paascheov indeks cena temelji se na ponderisanju cena količinama tekućeg razdoblja.

7 Z. Mladenović i A. Nojković, Analiza vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 2008.

6

Specifičnu sintezu tih dvaju indeksa čini Fisherov indeks cena. To je geometrijska sredina ova dva indeksa. Među grupnim indeksima važno mesto zauzima indeks troškova života. On pruža uvid u kretanje troškova života potrošačkih jedinica. Potrošnju čini veliki broj proizvoda i usluga. Pojednostavljuje se to korišćenjem uzorka.

Grupni indeksi količina. Njima se upoređuju relativne promene količina u grupii. Ako se grupni indeks količina izračunava polazeći od stalnih cena baznog razdoblja, dobiće se Laspeyresov indeks količina. Primjene li se u računanju cene tekućeg razdoblja, indeks je Pascheovog tipa. I jedan i drugi javljaju se u agregatnom obliku ili kao izraćunate sredine individualnih indeksa količina.

Grupnim indeksom vrednosti izražava se relativna promena vrednosti grupe pojava. Promene vriendosti posledica su promena cena i količina. Grupni indeks vrendosti jednak je proizvodu Laspeyresovog indeksa cena i Paascheovog indeksa količina, ili obrnuto.

Vrednosti izražene pomoću cena tekućeg razdoblja nazivaju se nominalnim vrednostima. Sko cene u vremenu nisu postojane, da bi se uočila stvarna dinamika, treba odstraniti uticaj promena cena na vrednosno izražene pojave. Taj se postupak zove deflacioniranje. Ono se sprovodi deobom nominalnih vrednosti sa odgovarajućim indeksom cena pomnoženim sa sto. Indeks cena u tom postupku naziva se deflacionim indeksom ili deflatorom.

Postupak usklađivanja vrednosti sa nastalim promenama cena naziva se revalorizacija. Ona se sprovodi množenjem vrednosti u stalnim cenama odgovarajućim indeksima cena pomnoženim sa sto.

5. TREND MODELI

U istraživanju dugoročne razvojne tendencije posmatrane pojave polazi se od pretpostavke da na njen razvoj deluju određeni faktori dugoročno i u istom smeru, a da ostali povremeno skreću tok pojave naviše ili naniže. Izračunavanjem trenda izdvajaju se dugoročne varijacije čime se prikazuje prosečno zakonomerno dugoročno kretanje pojave, odnosno njena opšta razvojna tendencija kao dinamička srednja vrednost. Dugoročna tendencija razvoja pojave može pouzdano da se uoči samo ukoliko se posmatranjem vrše u dovoljno dugom vremenskom periodu u kojem se ispoljava najmanje jedan zaokružen ciklus karakterističnih varijacija.

Grafički izraz dugoročne razvojne tendencije predstavlja linija trend za čije se određivanje najčešće primenjuje metod najmanjih kvadrata. Ovaj metod pretpostavlja primenu odgovarajuće matematičke funkcije koja će najbolje aproksimirati dugoročnu tendenciju razvoja pojave na bazi empirijskih vrednosti vremenskog niza.

Za izbor analitičkog tipa funkcije koja ispunjava navedeni uslov primenjuju se odgovarajući statistički metodi prethodnog (apriornog) i naknadnog (aposteriornog) određivanja vrste trenda. U metode prethodnog određivanja vrste trendova ubrajamo:

1) izračunavanje sukcesivnih apsolutnih diferencijacija:

7

a) ako su apsolutni porasti (prve diferencije) približno isti tokom celog perioda onda će linearni trend najbolje odražavati dugoročnu razvojnu tendenciju pojava

b) ako su druge diferencije približno jednake, dugoročnu tendenciju najbolje će izražavati parabolični trend (parabola drugog stepena)

c) ako su diferencije logaritamskih vrednosti približno jednake pojava ispoljava osobine geometrijske progresije, pa će najbolje odgovarati eksponencijalni trend

d) ako su diferencije recipročnih vrednosti približno jednake ispoljavaju se osobine harmonijske progresije vremenske serije, pa bi se trend pretpostavljao recipročnom funkcijom.

e) U praksi ima slučajeva da je razvoj pojave takav da se opšta dugoročna zakonitost ne može izraziti ni jednim do sada navedenim tipom funkcije zbog promene intenziteta delovanja faktora koji je određuju i postepeno menjaju njen smer. Tada se primenjuju tzv. složene funkcije kojima se najbolje aproksimira takvo kretanje od kojih su najčešće: modifikovani eksponencijalni trend, Gampercov trend i logistički trend.

Izračunavanje parametra u slučajevima pod „e“ uglavnom se ne vrši metodom najmanjih kvadrata (kao u prethodnim slučajevima) nego se najčešće primenjuju metode: parcijalnih zbirova, odabranih tačaka i diferencijalnih jednačina. Složene funkcije su podesne za izračunavanje dugoročne razvojne tendencije kod pojava koje se u svom kretanju približavaju jednoj granici (asimptoti)8.

2) grafičkim prikazom empirijske vremenske serije linearnim dijagramom (dijagramom rasipanja) na osnovu kojeg se iz empirijskog rasporeda tačaka vrši izbor najpodesnijeg tipa funkcije.

3) Izračunavanjem pokretnih sredina ili proseka povezuju se promene manjih ili većih grupa podataka, pa se u izvesnoj meri odstranjuju kratkoročna i srednjoročna kolebanja i ističe osnovni dugoročni tok pojave u vidu prosečnog kretanja. Obični proseci mogu da se izračunavaju u obliku proste ili ponderisane aritmetričke sredine.

- Naknadna provera izbora najboljeg tipa funkcije vrši se izračunavanjem standardne greške trenda. Naime, ako nam u prethodnim opredeljenjima nije bila dovoljno jasna situacija koju vrstu trenda treba primeniti, neophodno je odabrati barem dva tipa za koja postoje podjednaki izgledi (dileme) u njihovoj prilagođenosti stvarnim podacima. Za najbolju aproskimaciju (prilagođenost) odabraćemo trend sa najmanjom standardnom greškom.

- Cilj dinamičke analize vremenskih nizova metodom trenda je predviđanje budućeg kretanja posmatrane pojave na bazi ispoljene i uočene zakonitosti njenog razvoja. U domenu drugih ekonomskih pojava taj cilj je još neposrednije izražen kroz svesno usmeravanje razvoja u željenom pravcu.

- Aproksimacija stvarnih nivoa pojave unutar obuhvaćenog perioda vrednostima trenda (teorijskim ili ocenjenim) naziva se interpolacija.

Neposredni cilj dinamičke analize postiže se prenošenjem ispoljene zakonitosti razvoja pojave u godinama pre obuhvaćenog perioda posmatranja, i onda se vrši rekonstrukcija

8 Z. Mladenović i A. Nojković, Analiza vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 2008.

8

vremenske serije. Ekstrapolacija pretpostavlja delovanje istih opredeljujućih faktora u budućem periodu u istom smeru i približnom intenzitetu.

- Izračunavanjem trenda iz niza godišnjih podataka izražena je dugoročna razvojna tendencija postmatrane pojave. Na taj način ostale su neobjašnjene ciklične i iregularne varijacije, jer se sezonski uticaji ne ispoljavaju, ukoliko se godina uzima za vremensku jedinicu posmatranja. Polazeći od pretpostavke multiplikativnog delovanja različitih faktora na kretanje jedne pojave preostale dve komponente varijacija mogu da se izdvoje (izraze) postupkom izolacije trenda: C x I = yt/Ўt x 100, pri čemu je yt – stvarni (empirijski) podatak, Ўt – teorijski podatak dobijen iz funkcije trenda. Ako iregularne varijacije ne smatramo posebno značajnim, gornji odnos umanjen je, što predstavlja najvećim delom ciklične varijacije. Njegova vrednost ispod 100 označava uticaj ciklusa na smanjenje nivoa pojave ispod zakonomernog proseka (trenda) za onoliko procenata za koliko je data vrednost manja od 100 i obrnuto.

Linearni trend. Model trend-polinoma prvog stepena uobičajeno se naziva modelom lienarnog trenda jer je njegov deterministički deo linearna funkcija vremena. Model linearnog trenda analizira se na isti način kao i model jednostavne linearne regresije. Pojednostavljenje postupka ocene parametara modela sa ocenjenim parametrima: y=a+bx postiže se centriranjem promenljive vreme. Promenljiva vreme centrira se tako da se izrazi u odstupanjima od aritmetričke sredine. Vrednost trenda dobije se uvrštavanjem vrednosti promenljive vreme u jednačinu sa ocenjenim parametrima. Trend vrednosti: yi= a + bxt isti je kao i regresiona vrednosti. Predstavljaju procenu nivoa pojave prema trendu. Konstantni član a je vrednost trenda za razdoblje koje prethodi prvom. B je koeficijent uz promenljivu vreme. Pokazuje kolika je promena trend vrednosti ako se promenljiva vreme poveća za jedan. Budući da linearni trend ima svojstva linearne regresije, b se može tumačiti i kao iznos prosečne linearne promene nivoa pojave za jedinično povećanje promenljive vreme.

Parabolični trend. Model paraboličnog trenda jednak je modelu regresionog polinoma drugog stepena i analizira se na isti način kao i on. Jednačina paraboličnog trenda sa ocenjenim parametrima je: y= a + b1x + b2x². Numerički postupak rešavanja sistema normalnih jednačina može se ubrzati upotrebom transformisane vrednosti oblika umesto orginalnih vrednosti promenljive vreme. Osim ocena parametara utvrđuju se i druge veličine kao što su trend vrednosti, rezidualna odstupanja, standardna devijacija i koeficijent varijacije.

Eksponencijalni trend. Yt = ab(na xt) εt. Izraz predstavlja model jednostavnog eksponencijalnog trenda, u kome je funkcija vremena eksponencijalna funkcija:

f(x) = ab(na x)

Osobina te funkcije je da se za svaku jediničnu promenu vrednosti promenljive x, vrednost funkcije menja za isti relativni iznos. U modelu Yt su frekvencije vremenskog niza, xt su vrednosti promenljive vreme, a i b su nepoznati parametri, a εt su nepoznate vrednosti slučajnih odstupanja, za koje se pretpostavlja da im se uticaj u proseku poništava. Model se obično linearizuje logaritamskom transformacijom, pa se svi statistički postupci sprovode polazeći od transformisanog modela. Linearni model je:

logyt = loga + logbxt + logεt

Transformisani model jednak je modelu jednostavne linearne regresije, odnosno modelu jednostavnog linearnog trenda, s tom razlikom što se umesto frekvencija vremenske

9

serije upotrebljavaju njihovi logaritmi. Do ocene parametara dolazi se metodom najmanjih kvadrata. Postupak ocene parametara je da se pojednostavi centriranjem promenljive vreme. Osim ocene parametara, za taj model se određuju i elementi analize varijanse, standardna devijacija trenda i koeficijent varijacije trenda. Sve te veličine izračunavaju se na temelju logaritamskog oblika modela.

Eksponencijalni trend drugog stepena (logaritamska parabola). Neke se ekonomske pojave razvijaju u vremenu sa promenjljivim stopama. Za opisivanje takvih pojava može biti prikladan ovaj model:

logyt = loga + logb1xt + logb2xt² + logεt

Model je sa stajališta metoda statističke analize jednak modelu regresionog polinoma drugog stepena, odnosno modelu trend – polinoma drugog stepena. Razlika je u tome što se primenjuju logaritamske a ne orginalne vrednosti frekvencije niza.

6. SEZONSKE VARIJACIJE

Poslednja komponenta iz kompleksa varijacija kod vremenskih serija čij se podaci odnose na vremenske jedinice manje od jedne godine može da se izdvoji pomoću sezonskih komponenata. Objasniću dva načina njihovog izračunavanja:

1. metod odnosa prema opštem proseku. Sezonski koeficijenti dobiće se sledećim iteracijama (korak, postupak, etapa): a) izračunavaju se mesečni (kvartalni) prosek; b) određuje se opšti mesečni prosek; c) sezonski koeficijenti se definišu upoređivanjem mesečnih proseka sa opštim mesečnim prosekom.

2. metod odnosa prema vrednostima trenda. Ovaj način izračunavanja podrazumeva sledeće interacije: a) izračunava se mesečni (kvartalni) prosek; b) određuje se jednačina linearnog trenda. Ukoliko jedan od načina prethodnog opredeljenja vrste trenda dozvoljava linearnu aproksimaciju; c) izračunava se prosečna mesečna promena tokom godine; d) mesečna vrednost trenda koja se određuje na osnovu vrednosti trenda u krajnjem ishodu, kod meseci u zadnjoj godini i kod kvartala u zadnjoj godini; e) sezonske koeficijente dobijamo u obliku odnosa mesečnih proseka prema mesečnim vrednostima trenda u zadnjoj godini.

Ako je vrednost nekog od sezonskih koeficenata veća od 1 sezonski uticaji su podsticali rast pojave iznad opšteg proseka odnosno trenda u datom mesecu ili kvartalu. Suprotno, kada sezonski koeficijent uzima vrednost ispod radi se o uticaju sezone u pravcu smanjenja vrednosti pojave ispod proseka, odnosno trenda. Sezonski koeficijenti pomnoženi sa 100 imaju indexna tumačenja.

10

ZAKLJUČAK

Često pitanje koje se postavlja kada se diskutuje o budućnosti statistike je kako je poboljšati da bi na najbolji način poslužila faktorima odlučivanja, Treba da se pođe od zahteva koje ti faktori postavljaju pred nju, pri čemu ovde prvenstveno imamo u vidu ekonomiju, Pre nego se za to donose neka odluka pribegava se raznim izvorima informacija: razgovori sa drugim subjektima odlučivanja, službenicima, savetnicima i koriste sva ostala raspoloživa obaveštenja od pomoći. Na osnovu tih informacija od posebnog značaja je tekuća situacija kao i predstava o očekivanom ekonomskom razvitku. Da bi se izvela trenutna i realna ekonomska analiza neophodna je verodostojna statistika. Šta se podrazumeva pod realnom ekonomskom analizom? Problem nije jednostavan jer jedna odluka treba da je kombinacija nauke, politike i ekonomskog viđenja, pri čemu su podaci od ne malog značaja, Diskutabilno je da li je merenje činilac unapređenja znanja i da li doprinosi međusobnom razumevanju?

Podaci su snažniji argument nego apstraktna odlučivanja po nekom drugom krite-rijumu. Pored toga, ne bi trebalo precenjivati ni ulogu statistike. Bolji podaci obavezno ne znače i bolju politiku ili odluku u osloncu isključivo na njih. Korektno utvrden dohodak po glavi stanovnika ne znaci obavezno da ce ekonomska politika doprineti njegovom porastu. Prikupljeni podaci su, u svakom slucaju, preduslov ekonomske analize i odluke.

Za pravilnu interpretaciju indeksnih brojeva neophodno je voditi računa o njihovom osnovnom svojstvu da prikazuju samo relativne promene, koje koje ne daju nikakvu informaciju o veličini same pojave. To znači da prikazuju porast (pad) posmatranih pojava u odnosu na bazni period, a ne i isti nivo tih pojava. Upotrebljavaju se zaistraživanje relativnih varijacija proizvodnje, prometa, izvoza, uvoza, cena, produkivnosti rada, troškova života i drugih privrednih pojava.

Pomoću vremenskih serija prate se društvene pojave, a posebno ekonomske koje se tokom vremena više ili manje menjaju. Te vremenske serije predstavljaju nizove podataka o veličini posmatranih pojava u sukcesivnim vremenskim intervalima. Kako se varijacije posmatraju u funkciji vremena to se sa statističkog prelazi na dinamički aspekt posmatranja.Da bi se došlo do ispravnih zaključaka o dinamici posmatranih pojava i faktora koji ih opredeljuju, vremenske serije moraju da budu homgene- sastavljene od uporednih podataka. Znači, da ista pojava mora da bude definisana i merena na isti način za sve vreme njenog posmatranja. Mogu se upoređivati samo podaci koji se odnose na iste vremenske jedinice.

11

LITERATURA

1. Z. Mladenović i A. Nojković, Analiza vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 2008.

2. Z. Mladenović, Izvodi sa predavanja, 2009.

3. Z. Kovačić, Analiza vremenskih serija, Ekonomski fakultet, Beograd, 1998.

4. Z. Vujošević (Mladenović), Savremeni metodi makroekonometrijskog modeliranja, Zadužbina Andrejević, Beograd, 1996.

5. K.G. Stewart, Introduction to Applied Econometrics, Thomson, London, 2005.

12