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REGRESION INTERPOLACION
Los Métodos Numéricos
Métodos mas utilizados
Ajuste de Curvas
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados
Los Métodos Numéricos REGRESION
x
x
x
x
x
xx
xx x
x
x
xx
x
x
(x0,y0)
(xn,yn)Distancia mínima
Pm(x)
Objetivo: Obtener un polinomio o función que relaciones x e y
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados
El concepto
•Forma de aproximar una función g(x) a diferentes f(x).
•Nos proporciona información acerca de las relaciones existentes entre x e y
•Causa una suavización de la curva formada por un conjunto de datos y elimina en algún grado los errores de observador, de medición, de registro, de transmisión y de conversión
Los Métodos Numéricos REGRESION
m
i
ii
mmm xaxaxaxaxaxP
0
22
11
00)(
Se tiene una secuencia de datos dados por n puntos de la forma (xi,yi)También se tiene un polinomio de grado m, con m<n de la forma
Como los puntos (xi,yi), son datos se evalúa los cuadrados de los residuos para obtener los coeficientes del polinomio P(x) de la forma que:
2
00
2 )(
n
iiim
n
ii yxPrQ Sea mínima
Sea m=2 entonces 2
2102 )( xaxaaxP
0)(0)(2
0
2210
2
0
n
iiii
n
iiim xaxaayQyxPQ
0)(2
0)(2
0)(2
0
2210
2
2
0
2210
1
0
2210
0
n
iiii
n
iiii
n
iii
i
i
i
xaxaayxa
Q
xaxaayxa
Q
xaxaaya
Q
0)(
0)(
0)(
42
31
20
2
0
2210
2
32
210
0
2210
2210
0
2210
iiiii
i
iii
ii
xaxaxayxxaxaayx
xaxaxayxxaxaayx
xaxaayxaxaay
i
n
iii
iii
n
iiii
ii
n
iii
42
31
20
2
32
210
2210
iiii
ii
i
xaxaxayx
xaxaxayx
xaxaay
i
iii
ii
i
ii
i
i
i
yx
yx
y
a
a
a
xxx
xxx
xxn
iiii
ii
i
22
1
0
43
32
21
im
i
ii
i
mmm
m
m
m
i
i
yx
yx
yx
y
a
a
a
a
xx
x
x
x
xxx
xxx
xxn
i
i
ii
i
i
i
iii
ii
i
22
1
0
2
2
1
432
32
2
..
1
CASO GENERAL
bCa
baC1
Ejemplo:Se tiene la siguiente secuencia de datos:
X 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0Y 1.7 0.3 5.6 7.8 10. 11. 12. 14.
0 2 4 6 80
5
10
15
Y
X
Se prueba un polinomio de 2º
i
ii
i
i
i
yx
yx
y
a
a
a
xxx
xxx
xxn
iiii
ii
i
22
1
0
43
32
212
2102 )( xaxaaxP m=2
15979.2924.61
467678414028
91
2
432
iiii
i
yxyxy
xxxx
n
i
iii
1597
9.292
4.61
4676784140
78414028
140289
2
1
0
a
a
a
2
2
1
0
145.0879.2115.0)(
145.0
879.2
115.0
xxxP
a
a
a
0 2 4 6 85
0
5
10
15
P2 x( )
Y
x X
Se prueba un polinomio de 3º
i
i
ii
i
i
i
yx
yx
yx
y
a
a
a
a
xxxx
x
x
x
xxx
xxx
xxn
i
i
ii
i
i
iii
ii
i
3
2
3
2
1
0
6543
5
4
3
43
32
21
33
22103 )( xaxaxaaxP
m=3
7.932115979.2924.61
1848202900846778414028
91
32
65432
iiiii
i
yxyxyxy
xxxxxx
n
ii
iiiii
7.9321
1597
9.292
4.61
184820290084676784
29008
4676
784
4676784140
78414028
140289
3
2
1
0
a
a
a
a
32
4
2
1
0
054.0408.0519.1446.0)(
054.0
408.0
519.1
446.0
xxxxP
a
a
a
a
0 2 4 6 85
0
5
10
15
P2 x( )
P3 x( )
Y
x x X
¿Cual de las soluciones es mejor?
La forma intuitiva para determinar cual de las curvas es la que mejor representa el comportamiento de los datos, nos indica que la suma de las distancias al cuadrado sea lo mas próxima a cero.
2
00
2 )(
n
iiim
n
ii yxPrQ
n
ii
n
iiim
yy
yxPR
0
2
2
02
)(Coeficiente de correlación
R cuadrática =0.9426R cúbica =0.9492
Regresión lineal:
xaaxP 101 )(
x
F(x)
0)(0)(2
010
2
0
n
iii
n
iiim xaayQyxPQ
0(2
0)(2
010
1
010
0
n
iiii
n
iii
xaayxa
Q
xaaya
Q
ii
i
i
i
yx
y
a
a
xx
xn
i 1
02
1
ii
i
i
i
yx
y
xx
xn
a
a
i
1
21
0 1
Interpretación física de las constantes de la regresión:
Marco de estudio: Análisis de costos, por ejemplo la variable independiente, corresponde a la cantidad de productos y la variable dependiente corresponde a los costos asociados:
Ejemplo:Se ha adquirido un aditivo para la electro-refinación de la forma dada en los siguientes datos:
Costo 11 12 14 5 13 14 15Cantidad 5 6 8 2 8 7 9
0 5 100
10
20
f x( )
Y
x X
624.1
363.1
1
0
a
a
$ 1.363 es el costo fijo
$ 1.624 es el costo marginal
Utilización de programa de tipo Comercial
EXCEL
Solución del ejemplo anterior:Datos:
Costo 11 12 14 5 13 14 15Cantidad 5 6 8 2 8 7 9
Paso 1.- Ingresar datos al Excel Picar par hacer grafico
Selección del tipo de datos a graficar regresión
Los Métodos Numéricos INTERPOLACION
Aproximación polinomial mediante polinomio de newton
x
x
x
x x
x
(x0,y0)
(xn,yn)
Pn(x)
Objetivo: Obtener un polinomio que relaciones x e y
Los Métodos Numéricos INTERPOLACION
m
i
ii
mmm xaxaxaxaxaxP
0
22
11
00)(
El concepto
•Forma de aproximar una función g(x) a diferentes polinomios f(x).
•Nos proporciona información acerca de las relaciones existentes entre x e y
•La función polinomial obtenida pasa por cada uno de los puntos o evaluaciones de función inicial g(x)
Se tiene una secuencia de datos dados por n puntos de la forma (xi,yi)También se tiene un polinomio de grado m, con m=n-1 de la forma
Como se tienen n puntos, el polinomio de ajuste debe ser de grado n-1 y como debe pasar por todos aquellos puntos se debe cumplir que:
nnnnnn
nn
nn
nnnn
xaxaxaay
xaxaxaay
xaxaxaay
yxyxyxyx
12
210
112121101
012020100
111100 ),(),,(),,(),,(
n
n
n
n
nnnn
nnnn
n
n
y
y
y
y
a
a
a
a
xxx
xxx
xxx
xxx
1
1
0
1
2
1
0
21
211
1211
0200
1
1
1
1
yaX
Se obtienen los coeficientes invirtiendo la matriz:
yXa 1Sea n=3 2
2102 )( xaxaaxP
2222102
2121101
2020100
xaxaay
xaxaay
xaxaay
),(),,(),,( 221100 yxyxyx
2
1
0
2
1
0
222
211
200
1
1
1
y
y
y
a
a
a
xx
xx
xx
))()((
)()()(
))()((
)()()(
))()((
)()()(
100212
0122011202
100212
102202
2121
20
1
100212
1001220220
211221
20
0
xxxxxx
yyxyyxyyxa
xxxxxx
yyxyyxyyxa
xxxxxx
xyxyxxyxyxxyxyxa
Ejemplo:Se tienen 3 puntos con los valores dados en la tabla I, Determine el polinomio de interpolación.
Solución:Como se tienen 3 puntos, el polinomio debe ser cuadrático de la forma:
22102 )( xaxaaxP
X 1 3 4Y 3.78 20,56 35,67
67.36
56.20
78.3
1641
931
111
2
1
0
a
a
a
0 2 40
20
40
60
f t( )
y
t x
22 24.257.011.2)( xxxP
Problemas frecuentes con polinomios de alto orden:
X 1 3 4 5 6 7Y 3.78 20,56 17,67 17.25 32.3 3.56
Se tienen 6 puntos, por lo tanto se debe interpolar un polinomio de grado 5
55
44
33
22105 )( xaxaxaxaxaaxP
1 2 3 4 5 6 710
0
10
20
30
40
P5 z( )
Y
z X
y3 23.25
1 2 3 4 5 6 710
0
10
20
30
40
P5 z( )
Y
z X
Ejemplo:Se desea determinar el caudal que tiene una bomba de agua; para lograrlo en forma experimental, se ha diseñado el siguiente esquema:1.- Se preparan 5 tambores de 200 litros de capacidad2.- Se llenan sin cortar el flujo y se toma el tiempo de llenado de cada tambor
El resultado obtenido es:
Tambor 1 2 3 4 5Tiempo (s) 5.0 9.0 12.0 14.9 17.7
Solución:Se escribe la tabla anterior en función de los litros de agua y no en función del número de tambores:
Caudal (litros) 200 400 600 800 1000Tiempo (s) 5.0 9.0 12.0 14.9 17.7
0 5 10 15 200
500
1000
1500
P5 x( )
Y
x X
Como se tienen 6 puntos se debe interpolar con un polinomio de grado 5
54325 002.0105.0891.1485.12071.61)( xxxxxxP
Caudal de bomba
0 5 10 150
200
400
600
800
1000
1200
P5 x( )
Y
dP5 x( )
x X x