Regulace a rˇı´zenı´ IImatlab.fei.tuke.sk/orhs/subory/podklady/regulace_rizeni...Regulace a rˇı´zenı´ II Rˇ ı´zenı´ nelinea´rnı´ch syste´mu˚ - str. 7/26 Opakova´nı´

Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 1/26

Regulace a rızenı II

Rızenı nelinearnıch systemu

Obsah

Klouz. rež.


Obsah

Obsah

Klouz. rež.


Obsah prednasky

■ rızenı v klouzavem rezimu■ robustnı rızenı

Obsah

Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr


Rızenı v klouzavem rezimu

Obsah



Opakovanı■ predpokladejme, ze prepınacı prımky majı mensı

strmost, nez trajektorie v neutralnı oblasti■ pouzijeme trıstavove rele s hysterezı

e

ω

e0e1

−e1 d

−d

z = −U z = 0 z = U

κ = −

1

T

Obsah



Opakovanı■ predpokladejme, ze pasmo necitlivosti a hystereze snızıme na

velmi malou hodnotu

IIIII

I

III

prepınacı krivka

e

ω

■ oblast I - −U

■ oblast II - +U

■ oblast III - u = 0 a brzdenı trenım

Obsah



Opakovanı

■ v kazdem okamziku pouzijeme takove rızenı, zetrajektorie smeruje k prepınacı krivce

■ stav systemu se pohybuje (klouze) po prepınacıkrivce

■ prepınacı krivka ω = e = Ke◆ prechodovy dej bude odpovıdat linearnımu

systemu prvnıho radu

Obsah



Odvozenı■ predpokladejme system popsany soustavou

diferencialnıch rovnic

dx

dt= f0(x) + δ1(x) +G(x)[u+ δ2(x,u)]

kde δ1 a δ2 nemusı byt presne zname■ vhodnou transformacı stavovych promennych

system prevedeme do tvaru

dη

dt= f(η, ξ) + δη(η, ξ)

dξ

dt= fa(η, ξ) +Ga(η, ξ)[u+ δξ(η, ξ,u)]

■ budeme resit problem stabilizace systemu, tak,aby bylo dosazeno stavu η = 0, ξ = 0

■ predpokladame, ze platı f(0) = 0, fa(0) = 0,δη(0) = 0

Obsah



Odvozenı

■ v prvnı fazi budeme resit stabilizaci systemu

dη

dt= f(η, ξ) + δη(η, ξ)

■ vektor ξ povazujeme nynı za rıdıcı vstup■ zvolıme hodnotu rızenı jako funkci stavovych

promennych ξ = φ(η), φ(0) = 0

■ system

dη

dt= f(η,φ(η)) + δη(η,φ(η))

musı byt asymptoticky stabilnı. Na zakladetohoto pozadavku urcıme funkci φ

Obsah



Odvozenı

■ predpokladejme, ze se nam podarilo najıt funkciξ = φ(η)

■ musıme zajistit, aby stavovy vektor ξ sledovalhodnotu φ(η)

■ necht’ z = ξ − φ(η)

■ pokud bude z = 0, bude platit ξ = φ(η), stavovyvektor η pujde asymptoticky k 0 a tım i ξ pujdeasymptoticky k 0

■ musıme najıt takove rızenı, ktere v konecnemcase dosahne stavu z = 0 a nasledne tento stavudrzı


Odvozenı

■ vypocteme derivaci vektoru promennych z

dz

dt=dξ

dt−

∂φ

∂η

dη

dt=

= fa(η, ξ) +Ga(η, ξ)[u+ δξ(η, ξ,u)]−∂φ

∂η[f(η, ξ) + δη(η, ξ)]

■ rızenı zvolıme ve tvaru u = ueq +G−1a (η, ξ)v

■ cast rızenı ueq zvolıme tak, aby byly vykompenzovanyzname cleny

ueq = G−1a (η, ξ)

[

−fa(η, ξ) +∂φ

∂ηf(η, ξ)

]

■ dosadıme do vztahu pro derivaci z


Odvozenı

■ pokud by v systemu nebyly zadne neurcitosti, bude resenımrızenı u = ueq

■ pokud jsou v systemu neurcitosti dane funkcemi δη,δξ

dostanemedz

dt= v +∆(η, ξ,v)

∆(η, ξ,v) = Ga(η, ξ)δξ

(

η, ξ,ueq +G−1a (η, ξ)v

)

−∂φ

∂ηδη(η, ξ)

■ predpokladejme, ze maximalnı mozna hodnota vyrazu∆(η, ξ,v) je omezena

‖∆(η, ξ,v)‖∞ ≤ ρ(η, ξ) + k‖v‖∞

kde skalarnı funkce ρ(η, ξ) ≥ 0 a parametr k ∈ 〈0, 1) jsouzname

Obsah



Odvozenı

■ musıme vytvorit takove rızenı v, ktere bude stavz smerovat k prepınacı zavislosti z = 0

■ dostaneme soustavu rovnic

dzi

dt= vi +∆i(η, ξ,v) i = 1, 2, . . . , p

■ vhodne rızenı pro kazdou z rovnic navrhnemesnadno pomocı Ljapunovovy metody analyzystability


Odvozenı

■ Ljapunovova funkce a jejı derivace

Vi =1

2z2i

dVi

dt= zi

dzi

dt= zivi+zi∆i(η, ξ,v) ≤ zivi+|zi| [ρ(η, ξ) + k‖v‖∞]

■ necht’

vi = −β(η, ξ)

1− ksign zi i = 1, 2, . . . , p

kde β(η, ξ) ≥ ρ(η, ξ) + b a b > 0

■ odtud vyplyva nerovnost

dVi

dt≤ −

β(η, ξ)

1− k|zi|+ ρ(η, ξ)|zi|+ k

β(η, ξ)

1− k|zi| =

= −β(η, ξ)|zi|+ ρ(η, ξ)|zi| ≤ −b|zi|


Odvozenı

■ pro derivaci Ljapunovovy funkce pri zvolenem rızenı tedyplatı

dVi

dt≤ −b|zi|

■ je zrejme, ze pokud dosahneme prepınacı podmınku z = 0(krivka, plocha, manifold), jiz na nı setrvame

■ protoze platıdVi

dt= zi

dzi

dt≤ −b|zi|

dzi

dt≤ −b zi > 0

dzi

dt≥ b zi < 0

je zrejme, ze hodnota |zi| klesa rychleji nez linearne a musıtedy v konecnem case dosahnout z = 0

Obsah



Postup navrhu

1. prevest system na standardnı tvar2. navrhnout prepınacı manifold (prımka,

plocha,....) ξ = φ(η) odpovıdajıcı rızenısystemu se snızenym radem

3. odhadnout hodnotu ρ(η, ξ) a k

4. navrhnout rızenı u = ueq +G−1a (η, ξ)v

Obsah



Vlastnosti

■ rızenı bude probıhat ve dvou fazıch1. dosazenı prepınacıho manifoldu z = 02. stav systemu se pohybuje po manifoldu, na

kterem dochazı k prepınanı■ po dosazenı z = 0 bude dynamika regulacnı

smycky odpovıdat systemu nizsıho radu■ lze navrhnout regulator, ktery stabilizuje

soustavu pro dane rozmezı parametru soustavy◆ robustnı rızenı

Obsah



Prıklad

■ uvazujme system druheho radu popsanyrovnicemi

dx1dt= x2 + θ1x1 sin x2

dx2dt= θ2x

22 + x1 + u

kde θ1,θ2 jsou nezname parametry, o kterychvıme |θ1| ≤ a, |θ2| ≤ b

■ system je jiz ve standardnım tvaru■ v prvnım kroku budeme navrhovat rızenı

systemudx1dt= x2 + θ1x1 sin x2

vstupem x2

Obsah



Prıklad■ zvolıme Ljapunovovu funkci V (x1) =

1

2x21,

V (x1) = x1x1 = x1x2 + θ1x2

1 sinx2 ≤ x1x2 + ax21

■ mozne stabilizujıcı rızenı je x2 = −(1 + a)x1

V (x1) ≤ −(1 + a)x21 + ax2

1 = −x2

1

■ prepınacı prımka z = x2 + (1 + a)x1 = 0

z = x2 + (1 + a)x1 = θ2x2

2 + x1 + u+ (1 + a)(x2 + θ1x1 sinx2)

■ zname cleny eliminujeme ueq = −x1 − (1 + a)x2

■ pri rızenı u = ueq + v pak dostaneme z = v +∆(x), kde∆(x) = θ2x

2

2 + (1 + a)θ1x1 sinx2

■ je zrejme, ze |∆(x)| ≤ a(1 + a)|x1|+ bx22

■ muzeme tedy zvolit β(x) = a(1 + a)|x1|+ bx22 + b0 b0 > 0

■ vysledne rızenı

u = ueq − β(x) sign z =

= −x1 − (1 + a)x2 − (a(1 + a)|x1|+ bx2

2 + b0) sign(x2 + (1 + a)x1)


Prıklad servomechanismus■ rovnice systemu dy

dt= ωm

dωm

dt=

C

JRa

[−Cωm + u]

■ konstanta stroje C je nemenna a lze predpokladat, ze jejı hodnotu zname

■ skutecny moment setrvacnosti J a odpor kotvy Ra se muze menit, budemepredpokladat, ze J ≥ J a Ra ≥ Ra, kde J a Ra jsou nominalnı hodnoty

■ rovnice lze upravit do tvaru dy

dt= ωm

dωm

dt= a[−Cωm + u]

a =C

JRa

■ je zrejme, ze bude platit a ≤ a

■ rovnice prevedeme do standardnıho tvaru pro metodu navrhu klouzaveho rezimudy

dt= ωm

dωm

dt= a

»

u+a − a

au −

Ca

aωm

–


Prıklad servomechanismus

■ navrhneme stabilizujıcı rızenı pro system y = ωm, kderıdıcım vstupem je nynı ωm

ωm = −Ky K > 0

■ prepınacı prımka z = ωm +Ky = 0

■ navrhneme rızenı, ktere stabilizuje novou promennou z

z = ωm +Ky = a

[

u+a − a

au+

K − Ca

aωm

]

■ rızenı zvolıme ve tvaru u = ueq +va, ueq = 0

z = v +a − a

av + (K − Ca)ωm = v +∆

∆ =a − a

av + (K − Ca)ωm


Prıklad servomechanismus■ najdeme omezenı hodnoty ∆

|∆| ≤ |δa||v|+ |K − Ca||ωm|

■ vzhledem k tomu, ze |δa| = |a−a

a| < 1 odpovıda nerovnost pro ∆ tvaru

|∆| ≤ ρ+ k|v|, kde k = δa a ρ = |K − Ca||ωm|

■ hledame omezenı β > ρ

β = |K − Ca|ωmax

■ vysledne rızenıv = −

β

1− ksign z = −

|K − Ca|ωmax

1− |δa|sign(y +Kωm)

u = −|K − Ca|ωmax

a(1− |δa|)sign(y +Kωm) = −

|K − Ca|ωmax

a − |a − a|sign(y +Kωm)

■ vzhledem k tomu, ze predpokladame a < a, platı

u = −|K − Ca|ωmax

asign(y +Kωm) = −

˛

˛

˛

˛

K

a− C

˛

˛

˛

˛

ωmax sign(y +Kωm) =

= − |KTC − C|ωmax sign(y +Kωm) = −|KT − 1|Cωmax sign(y +Kωm)

■ muzeme pouzıt rızenıu = −U sign(y +Kωm) U ≥ |KT − 1|Cωmax

Obsah



Problemy rızenı v klouzavem rezimu■ pouzitı releoveho regulatoru vede casto na

neresitelny system◆ viz diskuze resitelnosti systemu nelinearnıch

rovnic◆ prepınanı je vyrazne ovlivneno dynamikou

prepınacıho systemu◆ k prepınanı nedochazı presne na

definovanem prepınacım rozhranı◆ stav systemu neklouze po definovanem

rozhranı, ale kmita v okolı tohoto rozhranı■ i v blızkosti ustaleneho stavu dochazı k

neustalemu prepınanı rızenı◆ v prıpade elektrickych systemu obvykle toto

nepredstavuje problem◆ v rade prıpadu nenı neustale prepınanı mozne

z technologickych duvodu


Nahrada rele

x

y

(a) signum

x

y

(b) Ambrosinova aproxi-

mace

x

y

(c) nasycení

■ releova charakteristika zpusobuje problemy z duvodunespojitosti, dochazı k neustalemu prepınanı akcnı veliciny

■ aproximace funkcı ymaxx

|x|+δ, nebo nasycenı se zesılenım K

■ pro δ → 0, prıpadne K → ∞ se blızıme releovecharakteristice

Obsah



Nahrada rele

■ pri pouzitı aproximace lze omezit kmitanı akcnıveliciny a system je resitelny

■ na spınacım rozhranı se bude vystup regulatorublızit u = ueq bez kmitanı

■ trajektorie systemu se nebude pohybovat pospınacım rozhranı, ale v oblasti kolem tohotorozhranı

■ sırka oblasti, ve ktere se pohybuje stav systemu,se zmensuje s rostoucı strmostı aproximace

■ mala strmost aproximace zpusobuje snızenırobustnosti, velka strmost muze vyvolat kmitanı

■ strmost aproximace se casto volı experimentalne

Obsah



Zaver

■ relativne jednoduchy navrh regulatoru■ jednoducha realizace regulatoru■ lze dosahnout stabilizace systemu i pri zmenach

parametru soustavy - robustnı rızenı■ volbou prepınacıho rozhranı muzeme dosahnout

pozadovaneho chovanı

Documents

Regulace a rˇı´zenı´ IImatlab.fei.tuke.sk/orhs/subory/podklady/regulace_rizeni...Regulace a rˇı´zenı´ II Rˇ ı´zenı´ nelinea´rnı´ch syste´mu˚ - str. 7/26 Opakova´nı´