C. R. Acad, Sci. Paris, t. 328, Serie I, p. 333-336, 1999ProbabiliteslProbability Theory

Regularite de Ia loi du maximum de processusgaussicns reguliers

Jean-Marc AZAIS a, Mario WSCIIEBOR b

• Laboratoire de statistique et prohahilites, UMR CNRS C55830, Universite Paul-Sabatier, U8, route lIeNarhonne. 31062 Toulouse cedex, FranceCourriel : azais@cict.fr

" Centro de Matematica, Facultad de Cienciaa, Universidad de la Republica, Calle Igua 4225, 11400Montevideo, UruguayCourriel : wscheb@fcien.edu.uy

(Hecu Ie 3 decembre 1998, accepte le 14 decemhre 1998)

Resume.

Abstract.

Soit un processus gaussien apararnetre reel et a valeurs reelles . Si Ies trajectoires sontde classe C2k

, k entier et si la loi jointe du processus et de ses derivees n'a pas dedegenerescences. alors la fonction de repartition du maximum du processus sur unimervalle borne est de classe Ck

• On donne une formule de recurrence permettantd'exprimer les derivees successives par une formule implicite. © Academic desScienceslElsevier, Paris

Regularity ofthe distribution ofthe maximumofa Gaussianprocess wit}" regular paths

Let X be a real-valued Gaussian process with aone-dimensionalparameter. If thesample paths of X are ofclass Celk. k integer and if the marginal distributions 0/ Xand its derivatives have no degeneracy , then thedistribution/unctionofthe maximumona bounded interval is 0/class c-. We give a recurrence method allowingto express thederivatives by means 0/certain implicit formulae. © Acadernie des Sciences/Elsevier,Paris

Soit T un intervalle borne et X := {X, : t ETC R} un processus stochastique a valeurs reelles.Sans perte de geoeralite nous poserons T = [0,1]. Nous dirons que X verifie l'hypothese H", kentier positif ou nul si :

I. X est gaussien,2. res trajectoires de X soot p.s. de classe c-,3. pour tout entier n ~ 1 et pour tout n-uple (tl, ' . . , tn ) d'instants deux adeux differents, la loi de

est non degeneree.

Note presentee par Jean-Pierre KAHANE,

0764-4442199/03280347 © Academie des Sciences/Elsevier, Paris 333

1.oM. Aza"is, M. Wschebor

L'objct de cette Note est d'exposer Ie theoreme suivant :

TlltoRtME. - Soit X un processus stochastique verifiant H2k, k entier positif et posons M :=slIP'E[n,ll X, et F(u) := P(M :s u). Alors la fonction F est de classe CA:. Une expression de sesderlvees peut hre obtenue par application repttee des lemmes 1 et 2 ci-dessous.

Ce resultat etend considcrablement dans ce contexte les resultats existants sur la distribution dumaximum [4], [5] qui ne concement que la regularite C2 tout au plus .

LEMME I. - (a) Soient Z := {Zt : t E [0, I]} un processus verifiant H, (k ~ 2) et t un point de [0, 11·Nous definissons les processus gaussiens Zf-• Z-i, zt par les decompositions orthogonales suivantes :

Z8=af-(s)Zo+sZ~, sE]O,I],

Z" = a-i(s)Zl + (1 - s)Z;, s E [0,1[,

Z" =b'(s)Zt +Ct(8)Z; + (t ~ 8)2 Z~ , s E [0,1], s:l t.

(I)

(2)

(3)

Alors II'S processus, Zt-, Z-;, zt peuvent etre prolonges par continuite en s = 0, S = 1. s = trespect ivement, et verlfient Ilk-I, IIk-1o Hk- 2 respectivement.

(b) Soit f une fonction de classe c-. Quand i/ n 'y aura pas d'ambiguite sur Ie processus considere.'WU.f definirons !f-, f-i, P de meme, en remplacant Z par f dans les formules (I), (2), (3), mais enconservant les coefficients de regression de Z. Alors r. r. P peuventetre prolongees de maniereanalogue I'll des fonctionsde clOSSI' CA:-I. Ck - I• Ck - 2 respectivement

(c) Salt tti un entler positif et soit Z un processus verifiant H2m+l et soient tl,"" t-« dans[0, I] U {I-, -l}. Soit Z'I ,.... t '" Ie processus obtenu par application successive de la partie (a) du lemme.Soit ('~I' ... , '~II) (p ~ rn), le p-uple forme des elements de t l , • .• , t-« qui sont dans [0,1] (c 'est-a-dired(fferents de ~ ou -l). Alors quand les va/eurs des « I- » et des « -l » restent fixes, l'appllcation

(u S 0) ~~ Z' I.....'m (Z'I ''''''m)''~1, " ., p' " ,....--y 8 ' II

est continue.

LEMME 2. - Soit Z := {Z, : t E [0, I)} unprocessus verifiant H2k. (k ~ 1). Definissons

OIJ- All = A,,(Z,/i) := {Zt :s (3(t)u ; 'fIt. E [0, In.- (j(.) est une fonctlon reelle de classe C21; definie sur [0, 1].- ~,,= G(Z" - {J(tt )1', .. . , Z'm - fJ(t",)lI), pour rn entier positif, tl,"" t-. E [0,1], v E R et

pour une[onction G : Rm -+ R de classe Coo, ayant une croissance au plus polynomiale Ii l'infini(c 'est-a dire IG(x)1 :s (:(1 + Ixl'l), 'fix E R'", c > O. II > 0).

Alors, pour tout 11 E R. F" est de classe CI et sa derivee peut erre ecrite sous lafonne

F:,(1£) = f:l(O)E(~;' ... l{A,,(Zt-,(It- )} )pzo ({i(O)u)+ fJ( l )E (~; ;\ 1 {Au(Z~ .W')} )pz, (,8(1 )u)

- r 1:l(t)E(~: "u(Z: - f:l'(t)U)I{AuCZ1,(JI)})Pz•.z;(f:l(t)u,{3'(t)u)ut,In

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ReguJarite de la Joi du maximum de processus gaussiens reguliers

ou pY (.) represente la densite du vecteur aleatoire Y quand elle existe, les processus Zf-.Z~. ztet les !oTlctions{3f-. {3-1. {3t sont definis comme auLemme 1 et les variables aleatoires {;,.... c:e,sont donnees par :

Ce Jerome est une generalisation du theorerne 4.2 de [I] .

Demonstration resumee du theoreme. - La preuve se fait par recurrence sur k. Posons lJ == 1 etYi := X, - (3 (t )u et si Z est un processus definissons

A(Z):= {Zt $ 0; "It E [o,ll}.

Si x verifie H2m , m entier positif, pour tIt . ·· , tm dans [0,1] U {f-, -1} Ie processus Y',·..··,... peutstre defini suivant les notations du lemme I. Nous appellerons « ancetres » de la famille de processusy t 1 • •• ••u; la famille

De merne , on definira les fonctions « ancetres » de la fonction (3t l , .. . ,t...(.).Si X verifie H2, nous pouvons appliquer le lemme 2 avec ( tl == 1, pour obtenir

P' (u) = E(l{A(Y~)})PYo(O) + E(l{A(Y~)})PYI(O)

-1"E(ytt,ll{A(Y')})PY,'y,'(O,O)dt.

Le resultat ci-dessus est un cas particulier de l'hypothese de recurrence suivante :Si X verifie H2k ' k entier positif, la fonction de repartition F(u) est k fois continOment differentiable

et sa derivee kieme est somme de termes appartenant a la classe D k definie ci-dessous, Un termede la c1asse Vk s'ecrit :

ou_ m < k,_ tl,:-:.,tm E [O,lJ U {f-,-1},_ (SI" '" sp), P 5 m est le p-uple fonne des elements de t lt . . • , tm qui sont dans [0,1).

Q(Sl'''''SP)est un polynome en (Sl""'Sp),€ est Ie produit de valeurs de y t \ ,... ,t m en certains instants appartenant a {81, ... , sp},

_ K 1(Sl , ... ,llp) est un produit de valeurs des «ancetres ~~ de ,al\o-"..t ... (.) et de valeurs desdcnvees de ces memes « ancetres » en certains instants appartenant ~ {811 . . . , 8 p , 0,1},

_ K2(Sl, " " sp)est un produit de densites ou de derivees de densites de ZUJ ou (ZII" Z:,,), ou Zest un « ancetre » de ytl .....e., et w E {sl , .. . , sp, O, l }.

Le lemme 2 montre que si X verifie H2k+2' la derivee d'un terme de la classe D k est samme determes de la classe Dk+ lo ce qui acheve la demonstration du theoreme.

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J.oM. Alil'is, M. Wschebor

Remarque. - Le thcorerne donne une expression implicite de F(k)(U) comme somme d'elementsde Dk qui pcut elrc transformee en une majoration explicite en :

(I) rernplacant toutes les indicatrices d'evenements 1 (A(l?'.· .. '.m)} par I,(2) rernplacant les fonctions /1' 1 .... ,' ... (.) par leurs valeurs absolues.

COROLLAIRE. - Supposons que Ie processus X verifiantH2ko est centre avec une variance constante.Sails perte de Keneralireon supposera cette derniere egalea1. Alors quandu tend vers +00 la deriveeJ,;li'm~ de la [onction de repartition F(u) est equivatente a

OIl d.~,t) est la covariance du processus et rll(s,t) = }~} r(s,t).u ....ut

Remarque, - Cet equivalent est exactement la derivee de l'equivalent de la fonction de repartitionF{'/L) donne par la methode de Rice [2].

Ce travail a I!tc! subventionne par l'uction ECOS U97E02.

I~Cfcrences bibliographiques

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