Relasi Rekursi - Onggo Wiryawan

Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013 1 / 7

Relasi Rekursi

*recurrence – rekurens – rekursi – perulangan.

Kata kunci: definisi, relasi rekursi linier berkoefisien konstan, solusi relasi rekurensi,

dan solusi homogen & partikelir

• menuliskan definisi dari relasi rekursi

• memberikan sebuah contoh bentuk dari relasi rekursi

• menyebutkan jenis-jenis relasi rekursi

• menjelaskan barisan Fibonacci sebagai salah satu contoh relasi rekursi.

Definisi 1

Suatu relasi rekursi untuk sebuah barisan *𝑎𝑛+ merupakan

sebuah rumus untuk menyatakan 𝑎𝑛 ke dalam satu atau lebih

suku-suku sebelumnya dari barisan tersebut, untuk suatu

bilangan bulat nonnegatif 𝑛.

Suatu barisan disebut solusi dari sebuah relasi rekursi jika suku-

suku pada barisan tersebut memenuhi relasi rekursinya.

Contoh 1

Misal *𝑎𝑛+ barisan yang memenuhi relasi rekursi

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 untuk 𝑛 ≥ 2, lalu misalkan 𝑎0 = 3 dan 𝑎1 = 5.

Tentukan nilai 𝑎2 dan 𝑎3.

Jawab

Karena 𝑎2 = 𝑎1 − 𝑎0, maka 𝑎2 = 2.

Karena 𝑎3 = 𝑎2 − 𝑎1, maka 𝑎3 = −3.

Contoh 2

Untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛, apakah barisan 𝑎𝑛 = 3𝑛,

𝑎𝑛 = 2𝑛 dan 𝑎𝑛 = 5 merupakan solusi bagi relasi rekursi

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 ?

Jawab

(i) Misal 𝑎𝑛 = 3𝑛, untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛. Maka


𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛 = 2(3(𝑛 − 1)) − 3(𝑛 − 2)

𝑎𝑛 = 3𝑛.

Maka 𝑎𝑛 = 3𝑛 merupakan solusi bagi relasi rekursi 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 −

𝑎𝑛−2.

(ii) Misal 𝑎𝑛 = 2𝑛, untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛. Maka

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛 = 2(2(𝑛−1)) − 2(𝑛−2)

𝑎𝑛 = 2𝑛 − 2𝑛−2

𝑎𝑛 = 2𝑛 (1 −1

4) = 2𝑛 ∙

3

4≠ 2𝑛.

Maka 𝑎𝑛 = 2𝑛 bukan merupakan solusi bagi relasi rekursi

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2.

(iii) Misal 𝑎𝑛 = 5, untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛. Maka

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛 = 2(5) − 5

𝑎𝑛 = 5

Maka 𝑎𝑛 = 5 merupakan solusi bagi relasi rekursi 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 −

𝑎𝑛−2.

Catatan: Kondisi awal (𝑎0) akan menentukan suku-suku pada

barisan berikutnya.

Contoh 3

Tentukan barisan yang merupakan solusi dari relasi rekursi

𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1, jika diketahui 𝑎0 = 2.

Jawab

𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1

𝑎𝑛 = 3(3𝑎𝑛−2) = 32 ∙ 𝑎𝑛−2


𝑎𝑛 = 3(3(3𝑎𝑛−3)) = 33 ∙ 𝑎𝑛−3

⋮

𝑎𝑛 = 3𝑛 ∙ 𝑎𝑛−𝑛 = 3𝑛 ∙ 𝑎0

𝑎𝑛 = 2 ∙ 3𝑛

Sehingga barisan 𝑎𝑛 = 2 ∙ 3𝑛 merupakan solusi dari relasi rekursi

𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 dengan nilai awal 𝑎0 = 2.

Jenis-jenis Relasi Rekursi

Definisi 2

Suatu relasi rekursi linier homogen berderajat 𝑘 dengan

koefisien konstan memiliki bentuk umum:

𝑎𝑛 = 𝑐1𝑎𝑛−1 + 𝑐2𝑎𝑛−2 +⋯+ 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘

dengan 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑘 adalah bilangan real, dan 𝑐𝑘 ≠ 0.

Perhatikan tabel berikut ini:

Relasi Rekursi Linier Homogen Koef. Konst. Degree

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 2

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−22 2

𝐻𝑛 = 2𝐻𝑛−1 + 1 1

𝑏𝑛 = 𝑛𝑏𝑛−1 1


Menentukan Relasi Rekursi Linier Homogen dengan

Koefisien Konstan

Contoh 1

Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2, dengan 𝑎0 = 2,

dan 𝑎1 = 7.

Jawab

Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 +

2𝑎𝑛−2.

Pindahkan semua suku ke ruas kiri.

𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 2𝑎𝑛−2 = 0

Karena relasi di atas memiliki derajat 2, maka bentuk polinomial

derajat 2 yang bersesuaian dengan masing-masing suku dari relasi

tersebut, perhatikan setiap koefisien dan tanda tiap suku.

𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 2𝑎𝑛−2 = 0

↓

𝑟2 − 𝑟 − 2𝑟0 = 0

𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0

Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik, dan memiliki 2

akar berbeda yaitu 𝑟1 = 2 dan 𝑟2 = −1 yang disebut akar-akar

karakteristik.

Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 2 akar

berbeda adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑟2

𝑛

Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 2𝑛 + 𝑐2 ∙ (−1)

𝑛

Untuk suatu 𝑐1, 𝑐2 bilangan real.


Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang

diketahui.

𝑎0 = 2 = 𝑐1 ∙ 20 + 𝑐2 ∙ (−1)

0

2 = 𝑐1 + 𝑐2 .................................................... (1)

𝑎1 = 7 = 𝑐1 ∙ 21 + 𝑐2 ∙ (−1)

1

7 = 2𝑐1 − 𝑐2 ................................................... (2)

Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan metode

substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 3 dan 𝑐2 = −1.

Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2 adalah

𝑎𝑛 = 3 ∙ 2𝑛 − (−1)𝑛.

Contoh 2

Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2, dengan

𝑎0 = 1, dan 𝑎1 = 6.

Jawab

Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut.

𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2

↓

𝑎𝑛 − 6𝑎𝑛−1 + 9𝑎𝑛−2 = 0

↓

𝑟2 − 6𝑟 + 9 = 0

Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-akar karakteristik

kembar yaitu 𝑟1 = 𝑟2 = 3.


kembar adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑛𝑟1

𝑛



𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 3𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑛(3)

𝑛

Untuk suatu 𝑐1, 𝑐2 bilangan real.


diketahui.

𝑎0 = 1 = 𝑐1 ∙ 30 + 𝑐2 ∙ 0(−1)

0

1 = 𝑐1 ......................................................... (1)

𝑎1 = 6 = 𝑐1 ∙ 31 + 𝑐2 ∙ 1(3)

1

6 = 3𝑐1 + 3𝑐2 .................................................. (2)

Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan metode

substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 1 dan 𝑐2 = 1.

Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2 adalah

𝑎𝑛 = 3𝑛 + 𝑛 ∙ 3𝑛.

Contoh 3

Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 11𝑎𝑛−2 + 6𝑎𝑛−3,

dengan 𝑎0 = 2, 𝑎1 = 5 dan 𝑎2 = 15.

Jawab

Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut.

𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 11𝑎𝑛−2 + 6𝑎𝑛−3

↓

𝑎𝑛 − 6𝑎𝑛−1 + 11𝑎𝑛−2 − 6𝑎𝑛−3 = 0

↓

𝑟3 − 6𝑟2 + 11𝑟 − 6 = 0


Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-akar karakteristik

berbeda yaitu 𝑟1 = 1, 𝑟2 = 2 dan 𝑟3 = 3.


berbeda adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑟2

𝑛 + 𝑐3 ∙ 𝑟3𝑛


𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 1𝑛 + 𝑐2 ∙ 2

𝑛 + 𝑐3 ∙ 3𝑛

Untuk suatu 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 bilangan real.


diketahui.

𝑎0 = 2 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3

𝑎1 = 5 = 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3

𝑎2 = 15 = 𝑐1 + 4𝑐2 + 9𝑐3

3 persamaan di atas dapat diselesaikan dengan metode

substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 1, 𝑐2 = −1 dan 𝑐3 = 2.

Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 11𝑎𝑛−2 +

6𝑎𝑛−3 adalah 𝑎𝑛 = 1 − 2𝑛 + 2 ∙ 3𝑛.

Latihan

Tentukan solusi khusus dari relasi-relasi rekursi berikut ini.

1. 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1, 𝑎0 = 3

2. 𝑎𝑛 = 5𝑎𝑛−1 − 6𝑎𝑛−2, 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 0

3. 𝑎𝑛 = 4𝑎𝑛−1 − 4𝑎𝑛−2, 𝑎0 = 6, 𝑎1 = 8

4. 𝑎𝑛 = 4𝑎𝑛−2, 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 4

5. 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 − 2𝑎𝑛−3, 𝑎0 = 3, 𝑎1 = 6 dan 𝑎2 = 0

6. 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 5𝑎𝑛−2 − 6𝑎𝑛−3, 𝑎0 = 7, 𝑎1 = −4 dan 𝑎2 = 8

Documents

Relasi Rekursi - Onggo Wiryawan