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1 Movimento no Plano Inclinado
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA I
MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO
DE UM CORPO EM UMA DIMENSÃO
NO PLANO INCLINADO
ACADÊMICO: DANIEL OSVALDO MILCHIARI DA SILVEIRA
TURMA: 9 PROFESSORA: HATSUMI MUKAI
MARINGÁ, JULHO DE 2015
2 Movimento no Plano Inclinado
1. RESUMO
Este relatório tem como objetivos determinar a equação de movimento de um móvel deslizando
sobre um plano inclinado em dois graus sem atrito, bem como interpretar e confeccionar gráficos. Nele
utilizamos dentre outros materiais, um cronômetro AZEHEB de precisão 0,01s, um trilho de ar AZEHEB,
uma trena VONDER de precisão 0,1cm, um compressor de ar AZEHEB, um eletroímã AZEHEB e um
transferidor de precisão de um grau. Em condições iniciais de atrito nulo, velocidade variando
uniformemente, tempo inicial igual a zero, velocidade inicial igual a zero, espaço inicial igual a zero e
aceleração constante, no fim, chegamos à fórmula 𝑆(𝑐𝑚) = 0,02 + 4,36𝑡(𝑠) + 17,18𝑡2(𝑠²).
Observamos que houve uma proporcionalidade direta entre as variáveis "S" e "t", além do movimento do
carrinho (móvel) ser considerado retilíneo uniformemente variado, logo, com a interferência de uma
aceleração constante.
2. INTRODUÇÃO GERAL
A Mecânica é a área da Física que estuda o movimento (também conhecida como Mecânica
Clássica ou Mecânica de Newton, assim chamada em honra a Isaac Newton, que fez contribuições
fundamentais para a teoria) é a parte da Física que analisa os movimentos, as variações de energia e as
forças que atuam sobre um corpo. No ensino de física, a mecânica clássica geralmente é a primeira área
da física a ser lecionada. É dividida em três partes fundamentais: cinemática, dinâmica e estática. Neste
experimento nos atentaremos à cinemática definida como o ramo da física que se ocupa da descrição
dos movimentos dos corpos, sem se preocupar com a análise de suas causas. Geralmente trabalha com
partículas ou pontos materiais, corpos em que todos os seus pontos se movem de maneira igual e em
que são desprezadas suas dimensões em relação ao problema. O conceito de partícula que será usado
aqui difere do conceito de partícula encontrado na física quântica (ex: quarks, elétrons). Definiremos uma
partícula como algo que possui apenas duas propriedades: localização e massa. Trabalharemos em um
espaço unidimensional, em que a partícula se deslocará em linha reta inclinada. Neste experimento
exploraremos o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) e os conceitos que ele abrange. O
experimento consiste em um móvel que desliza por um trilho de ar, logo, sem atrito, levemente inclinado,
sua velocidade irá variar linearmente, caracterizando uma aceleração constante.
Estaremos observando no experimento duas grandezas 𝑺 (cm) que será o espaço percorrido pelo
móvel em função de 𝒕, que é o tempo onde o móvel se encontra em determinado ponto. A partir destas
duas grandezas poderemos calcular a velocidade (𝒗) e a aceleração (𝒂). Com tais grandezas seremos
capazes de calcular a equação de movimento do móvel, esta fornece a posição (𝑺), a velocidade (𝒗) e a
aceleração (𝒂) em qualquer tempo (𝒕).
As equações que regem o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado são:
3 Movimento no Plano Inclinado
S = 𝑺𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝟏
𝟐𝒂𝒕𝟐 Fórmula 2.1
𝒗 =𝒅𝑺
𝒅𝒕= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎𝒗𝒎 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝑺
∆𝒕 Fórmula 2.2
𝒂 =𝒅𝒗
𝒅𝒕= 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝒕→𝟎𝒂𝒎 = 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝒕→𝟎
𝚫𝒗
𝚫𝒕 Fórmula 2.3
3. OBJETIVOS
Obter a equação de movimento para um móvel que percorre uma trajetória retilínea e caracterizar
o tipo de movimento. E como objetivo principal a interpretação via gráfico papel milimetrado, e aplicação
da teoria dos erros.
4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.1 VELOCIDADE MÉDIA
Primeiramente devemos compreender alguns conceitos que utilizaremos no experimento, tais como
a velocidade média, esta é a razão do deslocamento (∆S) pelo intervalo de tempo (∆t). A velocidade
média pode ser considerada escalar se for considerado apenas o módulo do deslocamento. Em uma
corrida de fórmula 1, por exemplo, se levarmos em conta somente o vetor posição, ao final de cada volta
o piloto não terá desenvolvido velocidade, pois não houve deslocamento, uma vez que o vetor �⃗� final é o
mesmo que �⃗� 0. Entretanto, considerando o módulo do espaço percorrido pelo piloto, teremos uma
velocidade escalar média diferente de 0, portanto, muito mais útil para as análises necessárias. No
movimento unidimensional, trabalhar tanto com um quanto com outro nos leva aos mesmos resultados.
Pode-se definir a velocidade média como:
Fórmula 4.1.1
4.2 VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Já a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de
tempo Δ𝑡 infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea 𝑣 ou simplesmente
4 Movimento no Plano Inclinado
velocidade como sendo:
Fórmula 4.2.1
Seu desvio pode ser calculado através de:
𝜎 = 𝑣 (𝜎𝑠
𝑠+
𝜎𝑡
𝑡) Fórmula 4.2.2
4.3 ACELERAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
Temos também a aceleração média (𝑎 𝑚) e instantânea (𝑎 ). Neste experimento inverteremos o eixo
𝑦, a fim de que quando o vetor é para baixo seu valor é positivo. Aceleração é a taxa de variação da
velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas
interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração
instantânea). Elas são definidas respectivamente como:
Fórmula 4.3.1
Fórmula 4.3.2
Podemos encontrar a aceleração por três maneiras distintas:
1 - Através do coeficiente angular da reta 𝑣 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑡. Porque fazendo uma análise de
grandezas encontraremos [𝐿]
[𝑡𝑚]2, ou seja, [𝐿]. [𝑡𝑚]−2. Encontramos tais grandezas justamente na
aceleração, tal coeficiente angular pode ser calculado pela Fórmula 4.3.3, onde 𝑡𝑔𝜃 = 𝑎 =𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃, como
𝑠𝑒𝑛𝜃 equivale ao eixo y e 𝑐𝑜𝑠𝜃 ao eixo 𝑥. Temos a Fórmula 4.3.4 onde 𝑎 =𝑦
𝑥=
Δ𝑣
Δt.
2 - A partir da derivada da velocidade, como visto a cima na Fórmula 4.3.2;
3 - E também, pela Segunda Lei de Newton, onde encontramos a Fórmula 4.3.5 em que
𝑎 = 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃, onde 𝑔 representa a gravidade, esta equivale a 9,807 m/s². E 𝜃 como sendo o ângulo de
inclinação do trilho de ar.
Seu desvio padrão é calculado através da fórmula:
𝜎𝑎 = 𝑔. 𝜎𝑠𝑒𝑛𝜃 Fórmula 4.3.6
5 Movimento no Plano Inclinado
4.4 CONFECÇÃO DE GRÁFICOS
Faremos, agora, uma breve discussão sobre a confecção de gráficos utilizando o módulo de escala.
Após essa discussão, estudaremos o movimento unidimensional obtendo as equações que regem esse
tipo de movimento a partir de análise gráfica.
Um gráfico expressa a relação entre duas ou mais grandezas físicas, onde uma delas representará
a causa e a outra o efeito. Em nosso experimento serão utilizados somente duas grandezas físicas em
cada gráfico, sendo uma delas a variável dependente e a outra a independente. A primeira deverá ser
posta no eixo das ordenadas e a outra no eixo das abscissas. Devemos sempre apresentar a grandeza
correspondente com suas respectivas unidades de medida entre parênteses. A fim de obter uma melhor
visualização adotaremos o papel milimetrado. Nele os eixos são representados por duas retas
perpendiculares encontradas à esquerda, sendo o lado maior o representante do eixo das ordenadas e o
menor o eixo das abscissas.
Quando confeccionamos um gráfico y versus 𝑥𝑛 independente de quanto for 𝑛, o resultado deverá
ser uma reta.
4.5 DETERMINAÇÃO DA ESCALA DE UM GRÁFICO
É importante aprender a determinar a escala do gráfico em papel milimetrado. Procuramos escolher
sempre múltiplos que facilitem a divisão. Uma das maneiras mais tradicionais e úteis para definir a escala
dos eixos é utilizar o "módulo de escala". Adotaremos, portanto, a Equação 4.5.1:
𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
Depois devemos multiplicar todos os valores obtidos experimentalmente pelo seu módulo de escala.
Dessa forma, você terá diretamente o valor medido no experimento, em milímetros, que corresponde à
escala do papel milimetrado.
Utilizar o módulo de escala facilita a distribuição dos pontos, aproveitando melhor o papel
milimetrado, e apresentando o gráfico de forma agradável de se visualizar.
Observação: As escalas escritas na lateral do gráfico devem ser referentes aos valores originais e
não os com o módulo de escala.
4.6.a. AJUSTE DE RETA
Em muitas situações, conhece-se uma tabela de pontos (𝑥𝑖, 𝑦𝑖), onde cada 𝑦𝑖 é obtido
6 Movimento no Plano Inclinado
experimentalmente, e deseja-se obter a expressão analítica de uma dada curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) que melhor se
ajusta a esse conjunto de pontos. Aprenderemos como ajustar um conjunto de pontos a uma reta 𝑦 =
𝑎 + 𝑏𝑥 , onde 𝑎 e 𝑏 são parâmetros a serem determinados. O coeficiente linear (𝑎) é dado pela fórmula:
𝑎 =∑𝑦 ∑𝑥2 − ∑𝑥 ∑𝑥𝑦
𝑛∑𝑥2−(∑𝑥)2 Fórmula 4.6.a.1
E o angular (𝑏) pela fórmula:
𝑏 = 𝑛∑𝑥𝑦 ∑𝑥2 − ∑𝑥∑𝑥𝑦
𝑛∑𝑥2 −(∑𝑥)2 Fórmula 4.6.a.2
As unidades de 𝑎 e 𝑏 será de acordo com as grandezas envolvidas fisicamente, e 𝑛 é o número de
medidas inclusive o zero.
4.6.b. AJUSTE DE RETA VIA Casio - fx 82 MS
1- Apertar a tecla Mode;
2- Apertar a tecla 3 (reg - regressão);
3- Apertar a tecla 1 (lin – linear) ou em caso de quadrática (→) + (3) (quad - quadrática);
4- Insira os dados 𝑥, 𝑦. Para isso, digite um dado da coluna 𝑥 tecle vírgula e insira o respectivo dado
da coluna 𝑦. Para inserir o próximo par ordenado, aperte 𝑀 +;
5- Aperte a tecla shift e depois a tecla 2 (S-var);
6- Apertar duas vezes a tecla que indica voltando (→→) no botão grande central;
7- Apertar a tecla 1 e posteriormente 2; apertar 2 vezes (→→) e selecionar o número 2 e apertar igual;
8- De posse dos valores de 𝑎 e 𝑏, escreva a sua equação da reta, para as grandezas físicas
envolvidas.
4.7 DESVIO PADRÃO
O desvio padrão é capaz de identificar o “erro” em um conjunto de dados, caso quiséssemos
substituir um dos valores coletados pela média aritmética.
O desvio padrão aparece junto à média aritmética, informando o quão “confiável” é esse valor. Ele
é apresentado da seguinte forma:
𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑥) ± 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 (𝑑𝑝) Fórmula 4.7.1
Ele é atribuído à medida de uma dada grandeza é uma dispersão estatística. Este informa o quanto
de variação ou dispersão existe em relação à média ou o valor esperado da medida, e é dado pela
Fórmula 4.7.2:
7 Movimento no Plano Inclinado
𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
Onde i corresponde a i-ésima medida e n o número total de medidas realizadas.
Como o desvio é feita a partir da medida direta de várias medidas, em que consiste medirmos várias
vezes a mesma grandeza para minimizar a imprecisão. Precisamos primeiramente tirar a média das
medidas.
O desvio padrão do seno de um ângulo deve ser calculado através de:
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝜎𝜃 Fórmula 4.7.3
O desvio padrão do tempo médio ao quadrado é calculado por:
𝜎𝑡̅²= 2𝑡̅ . 𝜎𝑡 ̅ Fórmula 4.7.4
4.8 MÉDIA ARITMÉTICA
Caso tenha diferentes medidas para uma mesma grandeza, utilizamos o valor médio. Uma vez que
as medidas foram obtidas da mesma forma, o peso atribuído a cada medida será o mesmo. Portanto, a
média que utilizaremos será uma média aritmética simples, descrita pela Fórmula 4.8.1:
�̅� =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯+ 𝑥𝑛
𝑛=
1
𝑛∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
Onde 𝑛 corresponde ao número total de medidas realizadas.
4.9 LINEARIZAÇÃO E CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE
A linearização através de uma forma simplificada, é transformar uma curva ou semi-parábola em
uma reta. É encontrar uma relação entre duas variáveis que satisfaça a equação da reta, ou seja,
determinar o coeficiente angular e linear da reta.
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥
Utilizaremos a linearização uma vez que a análise de uma reta é mais simples que a análise de
uma curva, que é complexa. O processo de linearização facilita a determinação de leis físicas que regem
o experimento que gerou os dados.
8 Movimento no Plano Inclinado
Para relacionarmos matematicamente, os dados do eixo da ordenada (𝑦) com os da abcissa (𝑥),
denotamos a variável dependente (𝑦) em função da independente (𝑥):
𝑦 ∝ 𝑥𝑛
Esta relação nos informa que os dados dos eixos das ordenadas são proporcionais aos dados do
eixo das abcissas elevado a uma potência. Está potência indicará se a função será linear (n=1), quadrática
(n=2) e assim por diante. O sinal ∝ indica a proporção. Esse símbolo pode ser substituído por um sinal
de igualdade e uma constante de proporcionalidade (ℂ), ficando assim:
𝑦 = ℂ . 𝑥𝑛
A linearização via papel milimetrado, método usado nesse experimento, obtenhamos 𝑛 de acordo
com o comportamento do gráfico 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥. E confeccionamos o gráfico 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥𝑛.
Independentemente de quanto for 𝑛, o resultado sempre deverá ser uma reta.
5. DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL
5.1. MATERIAIS UTILIZADOS
- 1 Compressor de ar Azeheb;
- 1 Trilho de ar Azeheb;
- 1 Cronômetro digital Azeheb de precisão de 0,001s;
- 1 Carrinho Azeheb;
- 1 Eletroímã Azeheb;
- 5 Sensores de tempo Azeheb;
- 1 Trena Vonder de precisão de 0,1 cm;
- 1 Transferidor de precisão de 1⁰;
- 1 Bloco de madeira.
9 Movimento no Plano Inclinado
5.2. MONTAGEM EXPERIMENTAL
Imagem 5.2.1 - Montagem experimental com o trilho de ar AZEHEB inclinado
(01) – Unidade de fluxo de ar: Marca Azeheb, é gerador de ar que impulsiona o ar para o trilho
através de uma mangueira. É um compressor bivolt, possui um controlador de fluxo. Em nosso laboratório
deve estar ligado em 110 V, e manter o controlador de fluxo no seu máximo. Graças ao fluxo de ar, que
o que é gerado, o carrinho fica suspenso, isso é, não fica em contato direto com o trilho, que movimenta
sem atrito considerável.
(02) – Mangueira: que leva o ar, gerado pela unidade de fluxo de ar para o trilho de ar.
(03) – Suporte lateral: Nas laterais da parte superior do trilho são fixados por meio de um parafuso
suporte laterais em formato de U, estes possuem um elástico. Estes possuem como função, evitar o
choque dos carrinhos, com a extremidade, bem como sua queda, ente outras funções;
(04) – Eletroímã: marca Azeheb, é um dispositivo que utiliza corrente elétrica que gera um campo
magnético, semelhantes aqueles encontrados nos imãs naturais. Este equipamento está fixado em uma
das extremidades superiores do trilho; sua função é manter o carrinho parado nesta posição, quando uma
força age sobre o carrinho.
(05) –Trilho de ar: Marca Azeheb, é um trilho feito de alumínio, oco, em formato triangular. Na base
lateral possui ao longo de seu comprimento uma escala milimétrica, e nas extremidades inferiores
reguladores de altura. Possui na sua parte superior furos uniformes, por onde sairá o ar. Possui uma trena
fixada na parte inferior do trilho, para que se possam fixar os sensores nas medidas exatas. O trilho de ar
é o percurso em que o carrinho irá se mover.
(06) –Sensores de Tempo: marca Azeheb, são sensores de luz que nos informa o tempo em que
o móvel passa na devida posição; São cinco sensores, e estes devem estar conectados na parte de trás
10 Movimento no Plano Inclinado
do cronômetro, cada qual na sua posição. O primeiro sensor é que ativa os demais sensores (tempo
inicial).
(07) – Móvel: Denominaremos de carrinho. Este possui um formato triangular que se encaixa na
parte superior do trilho. Possui um pino central na parte superior, utilizado para acionar os sensores de
tempo, e em cada lateral devidamente centralizado para colocar massas adicionais (pequenos discos
com furos) quando necessários. Também possui dois furos nas laterais à direita e a esquerda, onde se
conectam peças metálicas dependendo de cada experimento.
(08) – Pedaço de madeira – utilizado para dar a inclinação adequada ao trilho de ar.
(09) – Cronômetro: é um instrumento para medir tempo. Cronômetro digital da Azeheb possui
precisão de 0,01 segundos e uma incerteza de 0,001 segundos. Possui dois botões, um de Reset, que
serve para reiniciar o cronômetro e o outro de Função, que serve para trocar de função. Nesse
experimento, usamos a função F1. Está conectada com os sensores de tempo e com o acionador do
eletroímã.
(10) – Acionador do Eletroímã: chave seletora nas posições LIGA e DESLIGA. Este está
conectado tanto ao eletroímã quanto ao cronômetro.
5.3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
Primeiramente devemos inclinar o trilho de ar Azeheb criando um ângulo menor que 5⁰ com a
horizontal. Depois devemos conectar adequadamente os sensores ao cronômetro obedecendo a ordem
entre eles. Em seguida, é importante colocar os sensores de tempo distanciados de 15,00 cm entre si,
sem usar a escala do trilho, meça com ajuda de uma trana ou régua pela parte superior dos sensores, a
fim de diminuir o erro. Como é importante neste experimento que a velocidade inicial seja zero, deve-se
colocar o primeiro sensor de forma que este seja acionado imediatamente após o início do movimento.
Depois, devemos ligar o compressor de ar Azeheb com sua intensidade máxima. Devemos, também,
posicionar o carrinho junto ao eletroímã e liga-lo (posição LIGA). Para iniciar o carrinho devemos desligar
o eletroímã (posição DESLIGA). Por fim, basta anotar os resultados encontrados na Tabela 5.4.1 e repetir
tais medidas três vezes, depois, mantenha a posição do primeiro sensor e mude a dos outros três de
forma a obter mais dados. Anote os resultados na mesma tabela. Não se esqueça de desligar e guardar
tudo após o término do experimento.
11 Movimento no Plano Inclinado
5.4. DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE
Tabela 5.4.1 – Dados experimentais da posição do móvel (𝑆) e tempo (𝑡), com seus respectivos
desvios:
(𝑆 ± 0,05)𝑠 (𝑡1 ± 0,001)𝑠 (𝑡2 ± 0,001)𝑠 (𝑡3 ± 0,001)𝑠
0,00 0,000 0,000 0,000
15,00 0,815 0,814 0,816
15,00 0,815 0,815 0,814
30,00 1,199 1,197 1,200
35,00 1,306 1,305 1,305
45,00 1,498 1,496 1,500
55,00 1,669 1,668 1,667
60,00 1,746 1,744 1,747
75,00 1,966 1,964 1,964
5.5. INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS
As condições iniciais que utilizamos para realizar o experimento foram: o movimento
unidimensional, plano inclinado, “ausência” de forças dissipativas, 𝑆0 = 0,00 𝑐𝑚; 𝑡0 = 0,000 𝑠 e, portanto,
𝑣0 = 0,00 𝑐𝑚/𝑠 e aceleração constante.
A fim de obtermos a fórmula geral do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, precisamos
calcular algumas grandezas preliminares.
Calculando o tempo médio através da Fórmula 4.8.1 temos:
𝑡1̅ = 0,815 + 0,814 + 0,816
3≅ 0,815𝑠
𝑡2̅ =0,815 + 0,815 + 0,814
3≅ 0,815𝑠
𝑡3̅ =1,199 + 1,197 + 1,200
3≅ 1,199𝑠
𝑡4̅ =1,306 + 1,305 + 1,305
3≅ 1,305𝑠
𝑡5̅ =1,498 + 1,496 + 1,500
3≅ 1,498𝑠
𝑡6̅ =1,669 + 1,668 + 1,667
3≅ 1,668𝑠
𝑡7̅ =1,746 + 1,744 + 1,747
3≅ 1,746𝑠
𝑡8̅ =1,966 + 1,964 + 1,964
3≅ 1,965𝑠
12 Movimento no Plano Inclinado
Para calcular o desvio padrão, a partir da Fórmula 4.7.2, dos tempos acima temos:
𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
𝜎2 = √(0,815 − 0,815)2 + (0,814 − 0,815)2 + (0,816 − 0,815)2
3 − 1= 0,001𝑠
𝜎3 = √(0,815 − 0,815)2 + (0,815 − 0,815)2 + (0,814 − 0,815)2
3 − 1= 0,001𝑠
𝜎4 = √(1,199 − 1,199)2 + (1,197 − 1,199)2 + (1,200 − 1,199)2
3 − 1= 0,002𝑠
𝜎5 = √(1,306 − 1,305)2 + (1,305 − 1,305)2 + (1,305 − 1,305)2
3 − 1= 0,001𝑠
𝜎6 = √(1,498 − 1,498)2 + (1,496 − 1,498)2 + (1,500 − 1,498)2
3 − 1= 0,002𝑠
𝜎7 = √(1,669 − 1,668)2 + (1,668 − 1,668)2 + (1,667 − 1,668)2
3 − 1= 0,001𝑠
𝜎8 = √(1,746 − 1,746)2 + (1,744 − 1,746)2 + (1,747 − 1,746)2
3 − 1= 0,002𝑠
𝜎9 = √(1,966 − 1,965)2 + (1,964 − 1,965)2 + (1,964 − 1,965)2
3 − 1= 0,001𝑠
Tabela 5.5.1 – Dados experimentais da posição do móvel (S) e do tempo médio (𝑡̅) e os respectivos
desvios obtidos com os dados da Tabela 5.4.1.
(𝑆 ± 0,05)𝑐𝑚 𝑡̅ (𝑠)
0,00 0,000 ± 0,001
15,00 0,815 ± 0,001
15,00 0,815 ± 0,001
30,00 1,199 ± 0,002
35,00 1,305 ± 0,001
45,00 1,498 ± 0,002
55,00 1,668 ± 0,001
60,00 1,746 ± 0,002
75,00 1,965 ± 0,001
13 Movimento no Plano Inclinado
Gráfico 5.5.1 – Encontra-se nos anexos.
Efetuando os cálculos para ajuste de reta através da calculadora Casio – f x 82 MS, devidamente
apresentados no tópico 4.6.b, temos:
𝑎 = 0,01673912 ≅ 0,02 𝑐𝑚
𝑏 = 4,36271238 ≅ 4,36 𝑐𝑚/𝑠
𝑐 = 17,17834495 ≅ 17,18 𝑐𝑚/𝑠2
Portanto, obtivemos a fórmula 𝑺 = 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟒, 𝟑𝟔𝒕 + 𝟏𝟕, 𝟏𝟖𝒕𝟐 . Utilizando os conceitos de derivada
(Fórmula 4.3.2), determinaremos a velocidade como:
𝑣 = 4,36 + 34,36𝑡
Para os tempos temos a velocidade instantânea (Fórmula 4.2.1) e o desvio através da Fórmula
4.2.2:
𝑣1 = 4,36 + 34,6 . 0,000 = 4,36 𝑐𝑚/𝑠
𝑣2 = 4,36 + 34,6 . 0,815 = 32,56 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 32,56 (0,05
15,00+
0,001
0,815) = 0,15 𝑐𝑚/𝑠
𝑣3 = 4,36 + 34,6 . 0,815 = 32,56 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 32,56 (0,05
15,00+
0,001
0,815) = 0,15 𝑐𝑚/𝑠
𝑣4 = 4,36 + 34,6 . 1,199 = 45,85 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 45,85 (0,05
30,00+
0,002
1,199) = 0,11 𝑐𝑚/𝑠
𝑣5 = 4,36 + 34,6 . 1,305 = 49,51 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 49,51 (0,05
35,00+
0,001
1,305) = 0,11 𝑐𝑚/𝑠
𝑣6 = 4,36 + 34,6 . 1,498 = 56,19 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 56,19 (0,05
45,00+
0,002
1,498) = 0,10 𝑐𝑚/𝑠
𝑣7 = 4,36 + 34,6 . 1,668 = 62,07 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 62,07 (0,05
55,00+
0,001
1,668) = 0,09 𝑐𝑚/𝑠
𝑣8 = 4,36 + 34,6 . 1,746 = 64,77 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 64,77 (0,05
60,00+
0,002
1,746) = 0,09 𝑐𝑚/𝑠
𝑣9 = 4,36 + 34,6 . 1,965 = 72,35 𝑐𝑚/𝑠 𝜎 = 72,35 (0,05
75,00+
0,001
1,965) = 0,08 𝑐𝑚/𝑠
Com tais dados faremos um gráfico 𝑣 𝑥 𝑡, sendo que o módulo de escala em 𝑦 é 2,2𝑚𝑚/𝑐𝑚. 𝑠−1 e
em 𝑥 é 61𝑚𝑚/𝑠.
Fazendo o ajuste da reta através da calculadora (Tópico 4.6.b) temos que:
𝑎 = 4,361 𝑐𝑚
𝑏 = 34,599 𝑐𝑚/𝑠²
14 Movimento no Plano Inclinado
𝑟 = 0,999
𝑣 (𝑐𝑚/𝑠) = 4,36 + 34,60 . 𝑡(𝑠)
𝑣1 = 4,36 + 34,60 . 0,000 = 4,36 𝑐𝑚/𝑠
𝑣2 = 4,36 + 34,60 . 0,815 = 32,56 𝑐𝑚/𝑠
𝑣3 = 4,36 + 34,60 . 1,199 = 45,85 𝑐𝑚/𝑠
𝑣4 = 4,36 + 34,60 . 1,305 = 49,51 𝑐𝑚/𝑠
𝑣5 = 4,36 + 34,60 . 1,498 = 56,19 𝑐𝑚/𝑠
𝑣6 = 4,36 + 34,60 . 1,668 = 62,07 𝑐𝑚/𝑠
𝑣7 = 4,36 + 34,60 . 1,746 = 64,77 𝑐𝑚/𝑠
𝑣8 = 4,36 + 34,60 . 1,965 = 72,35 𝑐𝑚/𝑠
Gráfico 5.5.2 – Encontra-se nos anexos.
Derivando novamente, a fim de encontrarmos a aceleração, temos que:
𝑎 = 34,60 𝑐𝑚/𝑠2
Com tal dado faremos um gráfico 𝑎 𝑥 𝑡:
Gráfico 5.5.3 – Encontra-se nos anexos.
Podemos calcular a aceleração também por meio da Fórmula 4.3.5:
𝑎 = 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑎 = 980,665 . 𝑠𝑒𝑛20 = 34,22𝑐𝑚/𝑠²
E também através da Fórmula 4.3.4 onde:
𝑎 =𝑦
𝑥=
Δ𝑣
Δt
Vamos agora encontrar a inclinação da reta do gráfico 𝑣 = 𝑓(𝑡 ), ou seja, o coeficiente angular
desta reta, este é igual a velocidade. Calculando temos que:
𝑎 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 =Δ𝑉
Δ𝑡=
72,35
1,965= 36,82 𝑐𝑚/𝑠²
15 Movimento no Plano Inclinado
Uma vez que calculamos a aceleração através dos três métodos calcularemos agora seu desvio,
através da Fórmula 4.3.6 e 4.7.3:
𝜎𝑎 = 𝑔. 𝜎𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜎𝑎 = 980,665 . 𝜎𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜎𝑎 = 980,665 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝜎𝜃
𝜎𝑎 = 980,665 . cos𝜋
90 .
1
360
𝜎𝑎 = 980,665 . 0,999 . 0,002778
𝜎𝑎 = 2,72 𝑐𝑚/𝑠2
Agora precisamos linearizar o gráfico via papel milimetrado, a partir da posição em função do tempo.
Nota-se que o gráfico é uma semi-parábola, portanto, substituindo a equação por n = 2. A constante de
proporcionalidade está contida no tópico 4.9.
𝑆 𝛼 𝑡𝑚𝑛
𝑆 = ℂ . 𝑡𝑚2
Devemos, portanto, calcular os valores de Δ𝑡2 e seus desvios (Fórmula 4.7.4), assim temos:
𝑡12̅ = 0,0002 = 0,000𝑠² Colocaremos o desvio do tempo médio = 0,001 s²
𝑡22̅ = 0,8152 = 0,664𝑠² 𝜎𝑡̅2²
= 2 . 0,815 . 0,001 = 0,00163 ≅ 0,002 𝑠²
𝑡32̅ = 0,8152 = 0,664𝑠² 𝜎𝑡̅3²
= 2 . 0,815 . 0,001 = 0,00163 ≅ 0,002 𝑠²
𝑡42̅ = 1,1992 = 1,438𝑠² 𝜎𝑡̅4²
= 2 . 1,199 . 0,002 = 0,00480 ≅ 0,005 𝑠²
𝑡52̅ = 1,3052 = 1,703𝑠² 𝜎𝑡̅5²
= 2 . 1,305 . 0,001 = 0,00261 ≅ 0,003 𝑠²
𝑡62̅ = 1,4982 = 2,244𝑠² 𝜎𝑡̅6²
= 2 . 1,498 . 0,002 = 0,00599 ≅ 0,006 𝑠²
𝑡72̅ = 1,6682 = 2,782𝑠² 𝜎𝑡̅7²
= 2 . 1,668 . 0,001 = 0,00334 ≅ 0,003 𝑠²
𝑡82̅ = 1,7462 = 3,049𝑠² 𝜎𝑡̅8²
= 2 . 1,746 . 0,002 = 0,00698 ≅ 0,007 𝑠²
𝑡92̅ = 1,9652 = 3,861𝑠² 𝜎𝑡̅9²
= 2 . 1,965 . 0,001 = 0,00393 ≅ 0,004 𝑠²
Fazendo o gráfico com o módulo de escala para o eixo 𝑥 sendo 31 𝑚𝑚/𝑠²
Gráfico 5.5.4 – Encontra-se nos anexos
16 Movimento no Plano Inclinado
Efetuando o ajuste de reta através da calculadora (Tópico 4.6.b) temos:
𝑎 = 1,56 𝑐𝑚
𝑏 = 19,22 𝑐𝑚/𝑠
𝑟 = 0,99943
Portanto temos:
𝑆 = 1,56 + 19,22 (𝑡2)¹
𝑆1 = 1,56 + 19,22 . 0,000 = 1,56 𝑐𝑚
𝑆2 = 1,56 + 19,22 . 0,664 = 14,32 𝑐𝑚
𝑆3 = 1,56 + 19,22 . 1,438 = 29,20 𝑐𝑚
𝑆4 = 1,56 + 19,22 . 1,703 = 34,29 𝑐𝑚
𝑆5 = 1,56 + 19,22 . 2,244 = 44,69 𝑐𝑚
𝑆6 = 1,56 + 19,22 . 2,782 = 55,03 𝑐𝑚
𝑆7 = 1,56 + 19,22 . 3,049 = 60,16 𝑐𝑚
𝑆8 = 1,56 + 19,22 . 3,861 = 75,77 𝑐𝑚
Sobre a constante de proporcionalidade, temos que:
𝑆 = ℂ . 𝑡𝑚2
15,00 = ℂ1 . 0,664
ℂ1 = 22,59 𝑐𝑚/𝑠²
30,00 = ℂ2 . 1,438
ℂ2 = 20,86 𝑐𝑚/𝑠²
35,00 = ℂ3 . 1,703
ℂ3 = 20,55 𝑐𝑚/𝑠²
45,00 = ℂ4 . 2,244
ℂ4 = 20,05 𝑐𝑚/𝑠²
55,00 = ℂ5 . 2,782
17 Movimento no Plano Inclinado
ℂ5 = 19,79 𝑐𝑚/𝑠²
60,00 = ℂ6 . 3,049
ℂ6 = 19,68 𝑐𝑚/𝑠²
75,00 = ℂ7 . 3,861
ℂ7 = 19,43 𝑐𝑚/𝑠²
Como foi citado na fundamentação teórica no Tópico 4.9 a constante de proporcionalidade possui
como unidade cm/s² a mesma unidade encontrada na aceleração.
Portanto, podemos descobrir a proporcionalidade desta constante e a aceleração:
ℂ = ℂ′ . 𝑎
19,43 = ℂ′ . 34,22
ℂ′ = 0,568
Como a constante de proporcionalidade ℂ’ relaciona duas grandezas de mesma unidade, podemos
afirmar que ela é adimensional
Finalizando, a equação de movimento do móvel resultou em:
𝑆 = 0,02 + 4,36𝑡 + 17,18𝑡2
Generalizando obtemos a seguinte equação:
𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0𝑡 +1
2𝑎𝑡2
6. ANÁLISE E DISCUSSÕES
Sabemos que a velocidade pode tanto aumentar quanto diminuir, caracterizando respectivamente
um movimento acelerado e retardado. Nesta prática observamos o movimento acelerado. Entretanto, a
aceleração, do sistema, obtida foi constante, logo a velocidade variou uniformemente, graças a isso o
gráfico da aceleração foi uma reta paralela ao eixo 𝑥. Todavia, nota-se que podemos obter a aceleração
através da decomposição da segunda lei de Newton, unindo, portanto, a prática com a teórica.
Ao calcular a velocidade das três formas variadas notamos que a que possui menor chance de erro
é a 𝑎 = 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃, uma vez que há possui um menor número de variáveis, diminuindo a propagação do erro,
existente quando coletamos alguns dados e a partir deles descobrimos outros.
Percebemos também, que a constante de proporcionalidade adimensional deveria ser igual a 0,5.
Porém, houve uma alteração, resultando em 0,568. Isso deve-se às incertezas dos resultados combinado
18 Movimento no Plano Inclinado
ao arredondamento dos resultados propagados cálculo após cálculo. Quando linearizamos um gráfico
facilitamos a obtenção de resultados.
7. CONCLUSÕES
Concluímos que como a aceleração é constante e a velocidade varia uniformemente, a prática
condiz com a teoria estudada em classe.
Como resultados obtivemos através do movimento, no plano inclinado, foram a variação uniforme
da velocidade pelo tempo; e a aceleração constante caracterizando, portanto, um movimento retilíneo
uniformemente variado.
Além de que, com a ajuda da linearização, podemos obter os resultados mais facilmente. Visto que
analisar uma reta é mais fácil comparado a analisar uma parábola.
8. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
1 - Hatsumi Mukai e Paulo R.G. Fernandes - Manual de Laboratório – Física 1 – Departamento
de Física – Universidade Estadual de Maringá - 2015
2 -
http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_f%C3%ADsica/Mec%C3%A2nica
<visitado em 17 de julho>
3 - http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1tica <visitado em 17 de julho>
4 - http://www.brasilescola.com/fisica/primeira-lei-newton.htm <visitado em 17 de julho>
5 - http://www.cienciamao.usp.br/dados/azed/_trilhodearlinear12mpara4.zoom.jpg <visitado em 17
de julho>
9. ANEXOS
19 Movimento no Plano Inclinado
20 Movimento no Plano Inclinado
21 Movimento no Plano Inclinado