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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Química
Departamento de Operações e Projetos Industriais
Laboratório de Engenharia Química I
Determinação Experimental
da Permeabilidade de Leitos
24 de Junho de 2010
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO...............................................................................................2
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...........................................................................2
2.1 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE.............................................................4
2.2 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO..................................................................6
2.3 PROPRIEDADES ESTRUTURAIS DA MATRIZ POROSA......................7
2.4 MODELO DO CAPILAR PARA OBTENÇÃO DE k E C...........................8
3. METODOLOGIA.............................................................................................9
4. MEMÓRIA DE CÁLCULO............................................................................10
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES.................................................................11
6. CONCLUSÕES............................................................................................15
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................16
1. INTRODUÇÃO
O escoamento de fluidos (líquidos ou gases) através de leitos de partículas (leito fixo) é
uma prática muito comum. Em muitas operações industriais a fase fluida escoa através de uma
fase sólida particulada (fase sólida estacionária).
O estudo desse escoamento de fluidos em meios porosos granulares (leito fixo) apresenta
grande importância, devido a sua vasta aplicabilidade industrial e tecnológica, tais como: na
Engenharia Petrolífera, com o escoamento de óleo, água e gás nos reservatórios subterrâneos; na
Hidrologia, em leitos de areia para a purificação de água; na Engenharia Química, em reatores de
leitos catalíticos (catálise heterogênea), torres de absorção, dessorção e adsorção, na
transferência de calor e massa em leitos de partículas, filtração de gases e líquidos (purificadores)
e processos de secagem. A sua vasta aplicabilidade faz com que o estudo de escoamento de um
fluido por através deste e a predição da perda de carga proporcionada, por consequência, sejam
imprescindíveis[1]
.
A caracterização da estrutura física de tais meios representa um passo importante na
seleção, projeto e construção de materiais porosos, de modo a maximizar o seu desempenho e
otimizar as propriedades dos materiais. Esta caracterização se dá por três parâmetros:
permeabilidade (k), porosidade ( ) e fator C, que são constantes em qualquer posição do leito,
em qualquer tempo e para qualquer condição de operação[2]
. Esta abordagem matemática está
baseada na mecânica do contínuo, aplicando-se as equações constitutivas das leis de
conservação de massa e de momento, em paralelo ao estudo de permeametria do processo, que
será descrita neste experimento.
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Em diversos problemas onde se tem escoamento de fluido em engenharia química é
possível utilizar a hipótese da partícula isolada como ponto de partida na análise de sistemas
diluídos. A utilização dessa mesma estratégia no estudo de sistemas densos em partículas
oferece, no entanto, dificuldade de tal ordem de grandeza que tornaria, por exemplo, a simples
estimativa da relação vazão e queda de pressão no escoamento em meios porosos um problema
transcendental[3]
. Desta forma, deve-se propor expressões que relacionem as propriedades do
fluido em escoamento e do meio poroso com a queda de pressão gerada pela passagem do fluido
pelo leito de partículas para então conhecer a posição e a velocidade de cada partícula em um
sistema particulado tridimensional e estabelecer as interações destes com o fluido em escoamento.
Adota-se então um modelo matemático com base na extensão da Mecânica do Contínuo
para contemplar as misturas. As leis básicas de conservação, que formam o núcleo da Teoria do
Transporte em misturas, foram estabelecidas por Truesdell (1957) e generalizadas mais tarde por
Kelly (1964). Partindo destas equações e na expressão do crescimento da entropia na forma da
desigualdade de Clausius-Duhem, diversos autores desenvolveram uma Teoria de Misturas capaz
de descrever diferentes fenômenos com a difusão molecular, as reações químicas e o escoamento
de fluidos em meios porosos[3]
.
Para as deduções subsequentes utilizou-se o modelo físico das partículas sólidas que
constituem uma matriz porosa indeformável, como pode ser observado na figura 2.1 a seguir. Um
meio deformável é aquele que tem suas propriedades constantes.
Figura 2.1: Modelo para meio poroso rígido
O fato do meio ser fixo implica que a velocidade do sólido é nula e o fato do meio ser rígido
implica que a porosidade é constante. Supondo que as densidades do sólido e do fluido também
são constantes e que o estado é estacionário, aplica-se a equação da continuidade e do
movimento às fases sólida e fluida[4]
.
A velocidade superficial do fluido q, utilizada amplamente em substituição à velocidade
intersticial u, é medida desconsiderando a presença da matriz porosa, conforme equação 3.1.
onde (Equação 2.1)
O sistema pode ser considerado como uma fase contínua formada por dois componentes:
Sólido + Fluido. As Leis de Conservação de Massa e de Movimento podem ser aplicadas no
volume de controle para o fluido e para o sólido. Porém estas leis serão aplicadas somente para o
fluido, de forma a se chegar numa relação entre vazão e queda de pressão.
2.1 Equação da Continuidade
A Lei da Conservação de Massa é representada pela Equação da Continuidade, aplicada
ao fluido é representada conforme equação:
t q 0
(Equação 2.2)
onde é
q a velocidade superficial e é a massa específica do fluido.
Algumas hipóteses simplificadoras foram utilizadas de forma a tornar essa equação
possível de resolver: Fluido Newtoniano e incompressível, meio poroso rígido, meio poroso fixo e
escoamento isotérmico.
Figura 2.2 Sentido do fluxo do escoamento[5]
Esta é uma simplificação que transforma o problema tridimensional em unidimensional no
sentido do fluxo. A desvantagem é a perda de informação sobre a velocidade no interior dos poros.
A vantagem é que a condição de contorno para a velocidade superficial do fluido tornou-se
simples[5]
.
Desta forma a equação 3.2 resume-se em:
0dq (Equação 2.3)
isto é, a velocidade superficial q do fluido independe da posição no meio poroso, logo pode ser
considerada constante.
2.2 Equação do Movimento
A Lei da Conservação de Movimento é representada pela Equação do Movimento e
aplicada ao fluido é representada conforme a equação:
(Equação 2.4)
onde é a porosidade do meio poroso, é a força resistiva (por unidade de volume de mistura)
que o fluido exerce sobre o sólido, é a tensão de cisalhamento do fluido no meio poroso e é a
massa específica do fluido.
Houve o acréscimo do termo à equação, de forma a representar a perda de momento
do fluido para o sólido. O sinal negativo deste termo deve-se à convenção que este termo refere-se
a uma força que o fluido exerce sobre o sólido[2]
. A força não inclui o empuxo do fluido sobre o
sólido, por isso aparecem os termos referentes à força de campo na equação 3.4. Ele está sempre
apontado na direção do escoamento e pode ser representado pela Equação de Forchhaimer[2]
,
conforme abaixo:
(Equação 2.5)
(Equação 2.6)
onde é a viscosidade do fluido newtoniano, é a permeabilidade do meio poroso, com dimensão
L2 e é o fator adimensional de Forchheimer, que dependem apenas de fatores estruturais da
matriz porosa quando não ocorrem interações físico-químicas entre matriz e fluido. Tais fatores
dependem apenas da porosidade.
A equação 3.5, a forma quadrática de Forchheimer, é válida para o escoamento viscoso
em meios isotrópicos homogêneos ou heterogêneos, isto é, meios em que e são,
respectivamente, constantes ou variáveis com a posição no sistema. A equação é válida também
em condições não isotérmicas, verificando-se a variação da viscosidade e da densidade do fluido
ao longo do escoamento.
No caso em que ReMP<<1 , (quando q for pequeno, próximo a regime laminar, e
escoamento lento), a equação 3.5 recai no modelo de Darcy, representada conforme abaixo:
(Equação 2.7)
2.3 Propriedades Estruturais da Matriz Porosa
Conforme comentado anteriormente, a porosidade, a permeabilidade e o fator são os
parâmetros que caracterizam matriz porosa a percolação de um fluido homogêneo através deste
meio.
A porosidade pode ser determinada com o auxílio da picnometria simples, sendo
necessária a picnometria com vácuo nas medidas com meios consolidados que apresentam
porosidade reduzida[2]
.
A permeabilidade e o fator são determinados experimentalmente por permeametria
através do conjunto de medidas de vazão e queda de pressão efetuadas com a amostra,
utilizando-se um leito com as mesmas partículas do leito reale com a mesma porosidade, porém
em uma escala menor[2]
.
Figura 2.3: Permeâmetro[2]
De forma a tornar possível a resolução da equação 2.5, algumas hipóteses simplificadoras
deverão ser realizadas, conforme segue: escoamento unidimensional (de baixo para cima), regime
permanente, fluido newtoniano e incompressível, força de inércia desprezível, e
m o que
significa que o efeito do momento do sólido é muito mais importante que o efeito viscoso, pois são
desprezíveis os termos de aceleração, campo e forças viscosas, quando comparados aos efeitos
de interação sólido-fluido ( m ). Sendo assim a equação 2.4 resume-se:
(Equação 2.8)
Substituindo a equação 3.5 na equação anterior temos:
(Equação 2.9)
Resolvendo a integral temos:
(Equação 2.10)
Logo:
(Equação 2.11)
onde o termo representa a ordenada, o termo representa o coeficiente angular e o termo
representa o coeficiente linear. Vale observar que em regime laminar o segundo termo é muito
maior que o primeiro termo.
2.4 Modelo do capilar para obtenção de e
Apesar de sua simplicidade, o modelo capilar permite correlacionar qualitativamente a
permeabilidade com alguns parâmetros estruturais da matriz porosa. É considerada a hipótese de
que os poros são formados por um feixe de tubos capilares com alguma inclinação[5]
. Através desta
hipótese pode-se determinar os seguintes parâmetros:
(Equação 2.12)
onde leva em conta a deformação da área transversal do capilar; =5 para grãos e =4,16 para
esferas idênticas.
onde ; onde = 10-6
cm2. A equação de é válida para
0,15< <0,75 e 10-9
< <10-3
cm2.
3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL
A Figura 4 ilustra o conjunto didático-experimental para o estudo do escoamento em leito
fixo, que consiste basicamente de um sistema de escoamento de água, um circuito de medida de
pressão no leito e a estrutura de sustentação do kit.
Vret
Vsist
Dreno
T1
T2
T3
T4
P4
P3
P2
P1
Eq
ValVV
Vret
Vsist
Dreno
T1
T2
T3
T4
P4
P3
P2
P1
Eq
ValVV
Figura 3.1: Vista geral do Leito Fixo, evidenciando as tomadas de pressão
Para as determinações da permeabilidade no leito e do fator “C”, é necessário o
conhecimento da vazão volumétrica do líquido e da queda de pressão entre dois pontos do leito,
separados por uma distância L.
Após o preenchimento da coluna com as partículas, deve-se encher o reservatório com
água “limpa” até aproximadamente 7 cm do seu nível máximo, garantindo que toda a tubulação
também está cheia de fluido. Em seguida, fecham-se as vávulas Vsist, Vex e todas as válvulas do
circuito de medida de pressão (P1 a P4 e Eq), deixando aberta apenas a válvula do tipo gaveta
(Vret) e a válvula esfera (Val).
Seguindo o procedimento, deve-se regular a abertura da válvula (Vsist) na vazão desejada,
mede-se a vazão mássica (W) de água através do leito com o auxílio de um recipiente (balde) e de
um cronômetro. Esta operação é realizada abrindo-se a válvula (Vv) e fechando-se a válvula (Val)
simultaneamente por meio do acionamento da chave braço. Medindo-se a temperatura da água (T)
através de um termômetro, pode-se obter sua massa específica (
) e calcular a respectiva vazão
volumétrica (Q).
Em seguida, para cada vazão mássica do processo, a queda ou diferença de pressão (ΔP)
entre duas tomadas pode ser determinada através de medidas do desnível entre os meniscos (Δh)
do manômetro de mercúrio. E para isso manipula-se as válvulas (P1) a (P4) de acordo com a
medida da diferença de pressão entre as posições de interesse. A abertura da válvula (P1) dá
acesso à medida na região de entrada do leito, (P4) na região de saída do leito e (P2) e (P3) nas
regiões centrais, com distribuição eqüidistante de aproximadamente 10cm entre as tomadas de
pressão e em torno de 5cm de distância entre tomadas das extremidades e os flanges superior e
inferior. A ligação mostrada na Figura 4 permite a obtenção entre as diferenças de pressão
relativas à tomada de pressão referente à válvula (P2). Isto é, permite as medidas na composição
P2 com P1/P3/P4. O sistema experimental é capaz de realizar medidas diferencias de pressão
entre as tomadas 2-1, 2-3 e 2-4.
4. MEMÓRIA DE CÁLCULO
Primeiramente, como o leito foi montado no momento da prática, a massa de sólidos, a
densidade do sólido e o volume de leito preenchido são conhecidos, de forma a possibilitar o
cálculo da porosidade do leito fixo. A fórmula para este calculo está descrita a seguir:
(Equação 4.1)
onde é a massa de sólidos, é a densidade do sólido e é o volume de leito preenchido.
Com os dados obtidos experimentalmente é possível calcular a velocidade superficial
através da equação 3.1 e é possível plotar o gráfico vs para cada trecho analisado.
Através dos coeficientes linear e angular de cada reta é possível obter os parâmetros que
caracterizam o leito , e .
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Através dos valores conhecidos da massa de sólidos (0,915 kg), da densidade do sólido
(2600 kg/m3) e do volume de leito preenchido (0,0004562 m
3) foi possível calcular a porosidade do
leito fixo através da equação 4.1, obtendo assim uma porosidade igual a 0,228.
A ordem de grandeza obtida para o valor de permeabilidade está satisfatória, visto que a
porosidade do meio é muito pequena.
Os dados obtidos experimentalmente encontram-se na tabela 5.1. As propriedades físicas
da água como massa específica (1000 kg/m3) e viscosidade (0,001 Pa.s), foram obtidas para uma
temperatura de 25°C.
Tabela 5.1 Dados experimentais do leito fixo
Pode-se observar através dos dados experimentais da tabela 5.1 que para a maior parte
dos valores das tomadas de pressões estes se comportaram conforme esperado, isto é, para as
mesmas distâncias no leito (P2-P1 ou P2-P3), a perda de carga associada é praticamente igual,
assim como o dobro da distância leva a duplicação da perda de carga. Alguns pontos não
seguiram esta tendência devido à erros associados a prática, tal como erro na leitura do menisco
no manômetro.
A partir dos dados experimentais da tabela 5.1 plotou-se pontos experimentais em gráficos
(ΔP/qL) x q para os três trechos analisados. Vale ressaltar q o termo ρgL da equação da equação
do movimento não foi calculado, pois as tomadas de pressão do tubo em “U” do manômetro já
estão considerando a altura do liquido do leito. Para os 3 gráficos, a partir de um ajuste de reta
tem-se os coeficientes lineares e angulares para se obter os parâmetros que caracterizam o leito, k
e C.
Massa Tempo (s) Vazão (m³/s) Vazão média
Velocidade superficial
(m/s) Pontos
Distância (cm)
h (cmHg)
0,42 24,5 1,71429E-05
1,75076E-05 0,002509843
P1-P2 10 0,3
0,42 23,5 1,78723E-05 P2-P3 10 0,7
P2-P4 20 1,3
0,59 10 0,000059
5,99569E-05 0,008595255
P1-P2 10 2,8
0,72 11,82 6,09137E-05 P2-P3 10 3,2
P2-P4 20 6,3
0,59 7,94 7,43073E-05
7,59348E-05 0,010885813
P1-P2 10 4,4
0,56 7,22 7,75623E-05 P2-P3 10 4,8
P2-P4 20 9,5
0,69 8,31 8,30325E-05
8,46635E-05 0,012137128
P1-P2 10 5
0,68 7,88 8,62944E-05 P2-P3 10 5,4
P2-P4 20 10,7
1 7,37 0,000135685
0,000133092 0,019079697
P1-P2 10 10,5
0,89 6,82 0,000130499 P2-P3 10 10,7
P2-P4 20 20,8
Figura 5.1 Gráfico para as tomadas de pressão 2 e 1
Figura 5.2 Gráfico para as tomadas de pressão 2 e 3
Figura 5.3 Gráfico para as tomadas de pressão 2 e 4
Pode-se observar que apenas o gráfico da figura 5 não obteve um R2 tão próximo de 1
devido a alguns pontos que encontram-se um pouco distantes da reta. Isto pode ser resultante de
alguns erros experimentais, como a dificuldade em ler corretamente a altura do mercúrio ou
mesmo erro associado ao próprio equipamento. Os outros gráficos obtiveram-se resultados ótimos.
Para cada trecho foi calculada a permeabilidade k e o fator “C”, a partir dos coeficientes
angular e linear de cada tendência (reta de ajuste) dos gráficos anteriores, e os resultados
encontram-se na Tabela 5.2, a partir da equação 2.11.
k (m2) C
Trecho 2-1 1x10-9 9,49
Trecho 2-3 3,33x10-9 11,54
Trecho 2-4 3,33x10-9 11,54 Tabela 5.2 Parâmetros Característicos do Leito
Os valores de k e C deveriam ter sido iguais já que estes não dependem do ponto de
tomada de pressão porém a diferença entre eles não foi tão significativa visto que nesta prática há
erros associados a leitura do manômetro, medida da massa de água no balde e erros do operador
ao controlar o cronômetro.
5. CONCLUSÃO
Foi possível concluir, através deste experimento, que através da aplicação das equações
de continuidade e de movimento ao fluido, e com as devidas simplificações, fornece meios
concretos de relacionar a vazão com a queda de pressão, de forma a tornar possível o cálculo dos
parâmetros que caracterizam um leito, porém tal cálculo só se torna possível através do
conhecimento dos parâmetros que influenciam o fenômenos, bem como o controle dos mesmo de
forma a não introduzir erros sistemáticos ao resultado final.
A ordem de grandeza obtida para o valor de permeabilidade está satisfatória, visto que a
porosidade do meio é muito pequena. Os valores para o fator “C” também seguem a magnitude
exposta na literatura, para leitos de sílica.
Porém, conforme observado pelos pontos plotados no gráfico e o coeficiente de
distribuição obtido ao ajustarmos uma reta de tendência, poderíamos ter ajustado valores de vazão
mais bem distribuídos entre as capacidades mínima e máxima do conjunto didático-experimental,
somado à aquisição de mais pontos, de forma aos valores atípicos e outros erros imensuráveis não
prejudicarem a regressão final. Isto nos traria um ganho a mais na confiabilidade dos dados
obtidos para os fatores que caracterizam o leito fixo, objetivo da nossa prática.
5. BIBLIOGRAFIA
[1] http://www.feq.unicamp.br/~cobeqic/tPT14.pdf, acessado em 04/06/2010.
[2] MASSARANI, G.; “Fluidodinâmica em Sistemas Particulados”, Editora UFRJ, Rio de Janeiro,
1997.
[3] www.enq.ufsc.br/disci/eqa5313/Fluidizacao.htm, acessado em 05/06/2010.
[4] http://www.ebah.com.br/meios-porosos-doc-a28316.html, acessado em 05/06/2010.
[5] REIS, Rodrigo A.; Operações Unitárias I; Notas de Aula do Departamento de Operações e
Projetos Industriais, Instituto de Química UERJ, 2007.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] FOX, Robert W. et al. Introdução à Mecânica dos Fluidos: Rio de Janeiro : LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 6ª edição,2006. p.348-351.
[2] Foust, Alan S. et al. Princípios das Operações Unitárias. Rio de Janeiro, LTC – Livros Técnicos
[3] Duarte Filho, O.B.; Assaf, J.M. Perfis de velocidade para o escoamento turbulento em dutos cilíndricos. In: Tópicos em laboratório didático em fenômenos de transporte, 2a edição, DEQ/UFSCar, São Carlos - SP, 1987.
