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Riesgo se define como:
La probabilidad de que ocurra un evento desfavorable.
La Probabilidad de un evento es la posibilidad de que ese
evento ocurra.
Una distribución de probabilidad se forma con todos los
posibles eventos, a los cuales se asigna una probabilidad
Riesgo
3
Ejemplo:Distribuciones de probabilidad para la compañía “X” y “Y”
Estado de la Probabilidad de Tasa de rendimientoEconomía Ocurrencia Esperada
X YAuge 0.3 100 20Normal 0.4 15 15Recesión 0.3 (-70) 10
Empresa
4
Tasa Esperada de Rendimiento
n
Κ = Σ Ρι Κιι = 1
DóndeΡι = Probabilidad de ocurrencia del evento ι.Κι = Tasa de rendimiento si ocurre el evento.
Κ X = (0.3)100 + (0.4)15 + (0.3)(-70)
Κ X = 15%Κ Y = 15%
5
Forma de medir el RiesgoEntre mas estrecha sea la distribución de probabilidad de los
rendimientos esperados, mas pequeño será el riesgo de una inversión dada.
-70 15 100
.4
.3
.2
.1
Tasa esperada de Rendimiento
Empresa X
.4
.3
.2
.1
10 15 20
Dispersión
Empresa Y
6
Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza Tasa de rendimiento
Escenario Probabilidad Acciones BonosRecesión 33,3% -7% 17%
Normal 33,3% 12% 7%Auge 33,3% 28% -3%
Considere los dos siguientes activos de riesgo. Existe una
alternativa de 1/3 del estado de situación de la economía para c/u de
los escenarios y los únicos activos son acciones y bonos.
7
Stock fund Bond FundRate of Squared Rate of Squared
Scenario Return Deviation Return Deviation Recession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Expected return 11,00% 7,00%Variance 0,0205 0,0067Standard Deviation 14,3% 8,2%
Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza
8
Stock fund Bond FundRate of Squared Rate of Squared
Scenario Return Deviation Return Deviation Recession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Expected return 11,00% 7,00%Variance 0,0205 0,0067Standard Deviation 14,3% 8,2%
%11)(
%)28(31%)12(3
1%)7(31)(
=
×+×+−×=
S
S
rE
rE
Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza
9
Stock fund Bond FundRate of Squared Rate of Squared
Scenario Return Deviation Return Deviation Recession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Expected return 11,00% 7,00%Variance 0,0205 0,0067Standard Deviation 14,3% 8,2%
%7)(
%)3(31%)7(3
1%)17(31)(
=
−×+×+×=
B
B
rE
rE
Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza
10
Instrumentos IndividualesCaracterísticas de los instrumentos individuales son:
Variancia y Desviación Estándar
Existen muchas maneras de evaluar la volatilidad de un
instrumento.
Una de las más comunes es la varianza, que es una medida de
las desviaciones del rendimiento de un instrumento respecto de
su rendimiento esperado elevadas al cuadrado.
La desviación estándar es la raiz cuadrada de la varianza.
11
Medición del Riesgo:La Varianza
La manera de medir esa “dispersión” es la σ.
σ : es una medida estadística de la “variabilidad” de un
conjunto de observaciones.
12
Desviación = Κι −⎯Κ σ = ∑ (Κι −⎯Κ )2 Pι
Calculo de la desviación estándar de la empresa X.
Κι −⎯Κ (Κι −⎯Κ )2 (Κι −⎯Κ )2 Pι
100 - 15 = 85 7225 7225(0.3) = 2,167.5
15 - 15 = 0 0 0(0.4) = 0.0
-70 - 15 = -85 7225 7225(0.3) = 2,167.5
n
i=1
σ2 = 4,335
σ x = 65.84
σ y = 3.87Análogamente realizando operaciones para empresa Y
Medición de la Varianza y de la Desviación Estándar
13
⇒ Empresa X
Valor esperado ± 1σ = 15 ± 65.84 = -50.86% → 80.84%
± 2σ
± 3σSe asume que los rendimientos esperados siguen una distribución normal y sabemos que las probabilidades de la curva normal están definidos :
68.26%
95.46%
-3σ -2σ -1σ 1σ 2σ 3σV esperado
99.74%
15
14
Stock fund Bond FundRate of Squared Rate of Squared
Scenario Return Deviation Return Deviation Recession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Expected return 11,00% 7,00%Variance 0,0205 0,0067Standard Deviation 14,3% 8,2%
Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza
(-7% - 11%)2 = 3.24%
15
Stock fund Bond FundRate of Squared Rate of Squared
Scenario Return Deviation Return Deviation Recession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Expected return 11,00% 7,00%Variance 0,0205 0,0067Standard Deviation 14,3% 8,2%
Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza
(12% - 11%)2 = 0.01%
16
Stock fund Bond FundRate of Squared Rate of Squared
Scenario Return Deviation Return Deviation Recession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Expected return 11,00% 7,00%Variance 0,0205 0,0067Standard Deviation 14,3% 8,2%
Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza
(28% - 11%)2 = 2.89%
17
Stock fund Bond FundRate of Squared Rate of Squared
Scenario Return Deviation Return Deviation Recession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Expected return 11,00% 7,00%Variance 0,0205 0,0067Standard Deviation 14,3% 8,2%
%)89.2%01.0%24.3(31%05.2 ++=
Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza
18
Stock fund Bond FundRate of Squared Rate of Squared
Scenario Return Deviation Return Deviation Recession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Expected return 11,00% 7,00%Variance 0,0205 0,0067Standard Deviation 14,3% 8,2%
0205.0%3.14 =
Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza
19
CovarianzaLos rendimientos sobre instrumentos individuales se relacionan entre si.
La covarianza es una estadística que mide la interrelación entre dos instrumentos.
Si los dos rendimientos se relacionan positivamente entre si, tendrán una covarianza positiva, y si se relacionan de forma negativa entre sí, su
covarianza será negativa; y si no se relacionan, covarianza debería ser cero.
Instrumentos IndividualesCaracterísticas de los instrumentos individuales son:
Fórmula de la covarianza:
Donde RA y RB son los rendimientos esperados de los dos instrumentos, y RA y
RB son los rendimientos reales.
σAB = Cov(RA, RB) = Valor esperado de [(RA – RA) x (RB – RB)]
20
Correlación
De manera alternativa, esta relación se puede expresar en términos de la correlación que existe entre los dos instrumentos.
La covarianza y la correlación contribuyen a la comprensión del coeficiente de beta.
Para calcular la correlación, divida la covarianza entre las desviaciones estándar de ambos instrumentos.
Si la correlación es positiva, las variables están correlacionadas positivamente; y si es negativa del mismo modo; y si es cero, decimos que no estancorrelacionadas. La correlación siempre está entre +1 y –1.
σAB = Corr(RA, RB) = Cov(RA, RB) / σAxσB
Instrumentos IndividualesCaracterísticas de los instrumentos individuales son:
21
“Proceso de determinación del valor correcto de un activo
financiero”
Valor presente de los flujos esperados del activo
¿Flujo?
Ingreso neto después de impuestos
+
Cargos no egresos de caja
Valoración de Activos
22
¿Qué tasa de descuento usar?
Interés mínimo a aceptar “TLR”
+
Premio x Riesgo
Tasa Libre de Riesgo: Tasa de retorno implícita en una inversión, sin
posibilidad de no retorno.
Valoración de Activos
23
El desarrollo de una relación entre riesgo y expectativas de retorno
está basada en dos teorías:
1. Teoría de Portafolio: Dice relación con la diversificación y
selección de portafolios que el inversionista debe hacer para
maximizar su retorno con un justo equilibrio respecto del riesgo
asumido (Harry Markowitz).
2. Teoría de Mercado de Capitales: Dice relación con los efectos que
tienen las decisiones del inversor sobre los precios de los activos
(William Sharpe).
Valoración de Activos
24
“Un inversor que esta construyendo un portafolio de inversión calculará el
riesgo del portafolio(medido a través de la varianza del portafolio) y la
expectativa de retorno.
Entre todos los portafolios con un mismo nivel de riesgo y distintos
posibles retornos, el inversor escogerá siempre aquel portafolio con el
mayor retorno, dado un nivel de riesgo”
Teoría del Portafolio
Riesgo
Ret
orno Set de portafolios posible: Limites de la
curva.
Set Posible de Markowitz: Todos los portafolios del área de la curva.
25
Cuando pensamos en una acción como parte de un portafolio de mercado, podemos dividir el riesgo total en dos partes:
1. Riesgos no Sistemáticos(diversificable, específico, riesgo único).
2. Riesgos Sistemáticos(no diversificable o del mercado).
Es posible diversificar el riesgo no sistemático de una acción mediante la compra de otras acciones o de otros títulos de valor.
En pocas palabras, jamás ponga todos los huevos en la misma canasta.
A medida que agregamos más acciones o títulos de valor a nuestro portafolio, el riesgo debe disminuir, y a esta disminución de riesgo se le conoce como diversificación.
El Portafolio de Mercado
26
“No poner todos los huevos en la misma canasta”
Objetivo principal: Alcanzar la máxima rentabilidad con el menor
riesgo posible.
Beneficios de la diversificación :
• Reduce la volatilidad del portafolio.
• Reduce la vulnerabilidad del portafolio ante variaciones severas
del mercado.
• Ayuda a resolver los problemas de Market Timing.
Diversificación
RiesgoActivo 1 5.36%Activo 2 5.36%Activos Combinados
5.36%
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
Diversificación Ineficiente Diversificación Eficiente
Activo 1 5.36%Activo 2 5.36%Activos Combinados
3.31%
Riesgo
Diversificación
28
TIPO DE PAPEL
Cédulas
TES
Bonos
AccionesCDT
Titularización
PLAZO
Más de 7 años 1 - 3 años
3 - 5 años
< 1 año
5 - 7 añosREGIONES
Europa oriental
Europa occidental
Latinoamérica
USA
Japón
Sudeste asiático
MONEDAS
PesoRupias
DólarLibra
MarcoFranco Lira
TIPO DE EMISOR
Sector Real
Leasing
Bancos
C.F.
CAVs
EntEnt. Territoriales
Cómo Diversificar
29
Riesgo del Portafolio como una Función del Número de Acciones en el Portafolio
1. Riesgo Diversificable. Puede ser eliminado sin costo con una
correcta diversificación. El mercado no ofrece prima por riesgo
para evitarlo.
2. Riesgo no Diversificable. No se puede eliminar el riesgo, pero si se
puede reducir. Es relevante para fijar el precio de activos
ineficientes.
Cada vez que se hable de riesgo no sistemático o diversificable, es más facil pensar en él como el riesgo de la acción.
Este riesgo de la acción es el que se mide con beta(ß).
30
Riesgo del Portafolio como una Función del Número de Acciones en el Portafolio
Factores de Riesgo no sistemático(diversificable):
• Mala gerencia en la empresa.
• Huelga en la empresa.
• Pérdida de Capacidad Productiva.
• Aumento de Competencia (Perdida de competitividad).
• Pérdida de un Contrato.
Factores de Riesgo Sistemático(no diversificable):
• Aumento general de Impuesto.
• Política Monetaria Restrictiva.
• Guerra.
31
Riesgo del Portafolio como una Función del Número de Acciones en el Portafolio
Así entonces:
Los adversos al riesgo serán compensados por el riesgo que
asuman, pero sólo por el riesgo que no puedan diversificar.
Es decir, una persona que asume riesgo, será compensada y se le
deberá pagar por el riesgo asumido, pero sólo por aquel riesgo
que no pueda diversificar ya que el diversificable lo deberá
eliminar ella misma.
Podemos decir entonces, que una persona que asume riesgo, será
compensada de la siguiente forma:
Inversión en Activo Riesgoso = Inversión en activo sin Riesgo + Prima por Riesgo
32
En la construcción del portafolio, es necesario emplear modelos estadísticos para realizar el asset allocation y la optimización del portafolio. Entre los modelos más conocidos y tradicionales, podemos mencionar:
• Modelo de Markowitz - Media – Varianza.
• Modelos de un factor – Single index model.
• Modelos multifactoriales – Arbitrage Pricing Theory.
• Modelos de equilibrio general – Capital Asset Princig Model.
• Modelos recientes – Simulación Montecarlo, Opciones Reales, Redes Neuronales.
Modelos Estadísticos más UsadosEl Rendimiento y el Riesgo de los Portafolio
33
Este es el modelo tradicional, donde se espera calcular el rendimiento esperado y el riesgo de un portafolio usando dos estimadores:
a) La media (para el rendimiento) y
b) La varianza (para el riesgo).
Con pocos supuestos económicos y gracias a sus sencillez, sigue siendo usado en muchas instituciones financieras.
La gran desventaja que tiene es calcular todos los datos necesarios para implementar el modelo.
ii
N
ip RXR ∑
==
1∑ ∑∑= ==
+=N
j
N
KJKKJ
N
JJJp XXX
1 11
222 σσσ
Puede observarse que se necesita calcular N(N-1) / 2 estimadores, que en un portafolio con 150 acciones tengo que calcular 11,175 datos
Modelo de Markowitz
34
Stock fund Bond FundRate of Squared Rate of Squared
Scenario Return Deviation Return Deviation Recession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Expected return 11,00% 7,00%Variance 0,0205 0,0067Standard Deviation 14,3% 8,2%
Observe que la acción tiene un alto rendimiento esperado y un riesgo más alto que los bonos. La compensación de riesgo-rendimiento de un portafolio es de un 50% invertidos en bonos y un 50% invertidos acciones.
El Rendimiento y el Riesgo de los Portafolio
35
Rate of ReturnScenario Stock fund Bond fund Portfolio quared deviationRecession -7% 17% 5,0% 0,160%Normal 12% 7% 9,5% 0,003%Boom 28% -3% 12,5% 0,123%
Expected return 11,00% 7,00% 9,0%Variance 0,0205 0,0067 0,0010Standard Deviation 14,31% 8,16% 3,08%
La tasa de rendimiento del portafolio es el promedio ponderado de los rendimientos de los bonos y acciones en el portafolio:
SSBBP rwrwr +=
%)17(%50%)7(%50%5 ×+−×=
El Rendimiento y el Riesgo de los Portafolio
36
Rate of ReturnScenario Stock fund Bond fund Portfolio quared deviationRecession -7% 17% 5,0% 0,160%Normal 12% 7% 9,5% 0,003%Boom 28% -3% 12,5% 0,123%
Expected return 11,00% 7,00% 9,0%Variance 0,0205 0,0067 0,0010Standard Deviation 14,31% 8,16% 3,08%
%)7(%50%)12(%50%5.9 ×+×=SSBBP rwrwr +=
El Rendimiento y el Riesgo de los Portafolio
La tasa de rendimiento del portafolio es el promedio ponderado de los rendimientos de los bonos y acciones en el portafolio:
37
Rate of ReturnScenario Stock fund Bond fund Portfolio quared deviationRecession -7% 17% 5,0% 0,160%Normal 12% 7% 9,5% 0,003%Boom 28% -3% 12,5% 0,123%
Expected return 11,00% 7,00% 9,0%Variance 0,0205 0,0067 0,0010Standard Deviation 14,31% 8,16% 3,08%
%)3(%50%)28(%50%5.12 −×+×=SSBBP rwrwr +=
El Rendimiento y el Riesgo de los Portafolio
La tasa de rendimiento del portafolio es el promedio ponderado de los rendimientos de los bonos y acciones en el portafolio:
38
Rate of ReturnScenario Stock fund Bond fund Portfolio quared deviationRecession -7% 17% 5,0% 0,160%Normal 12% 7% 9,5% 0,003%Boom 28% -3% 12,5% 0,123%
Expected return 11,00% 7,00% 9,0%Variance 0,0205 0,0067 0,0010Standard Deviation 14,31% 8,16% 3,08%
La tasa de rendimiento esperado del portafolio es el promedio ponderado de los rendimientos esperados sobre los instrumentos en el portafolio.
%)7(%50%)11(%50%9 ×+×=
)()()( SSBBP rEwrEwrE +=
El Rendimiento y el Riesgo de los Portafolio
39
Rate of ReturnScenario Stock fund Bond fund Portfolio quared deviationRecession -7% 17% 5,0% 0,160%Normal 12% 7% 9,5% 0,003%Boom 28% -3% 12,5% 0,123%
Expected return 11,00% 7,00% 9,0%Variance 0,0205 0,0067 0,0010Standard Deviation 14,31% 8,16% 3,08%
La varianza de la tasa de rendimiento sobre los dos activos de riesgo del portafolio es:
BSSSBB2
SS2
BB2P )ρσ)(wσ2(w)σ(w)σ(wσ ++=
Donde ρBS es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de las acciones y los bonos.
El Rendimiento y el Riesgo de los Portafolio
40
Rate of ReturnScenario Stock fund Bond fund Portfolio quared deviationRecession -7% 17% 5,0% 0,160%Normal 12% 7% 9,5% 0,003%Boom 28% -3% 12,5% 0,123%
Expected return 11,00% 7,00% 9,0%Variance 0,0205 0,0067 0,0010Standard Deviation 14,31% 8,16% 3,08%
Observe una disminución en el riesgo, que ofrece la diversificación (Diversificar significa mantener cantidades similares en muchos activos riesgosos para limitar la exposición de pérdidas por mantener un activo o pocos activos).
Un portafolio ponderado igualmente(50% en acciones y 50% en bonos) tiene menos riesgo que cuando las acciones o bonos se manejan aisladamente.
El Rendimiento y el Riesgo de los Portafolio
41
Portfolo Risk and Return Combinations
5.0%6.0%7.0%8.0%9.0%
10.0%11.0%12.0%
0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0%
Portfolio Risk (standard deviation)
Por
tfol
io R
etur
n
% in stocks Risk Return0% 8,2% 7,0%5% 7,0% 7,2%
10% 5,9% 7,4%15% 4,8% 7,6%20% 3,7% 7,8%25% 2,6% 8,0%30% 1,4% 8,2%35% 0,4% 8,4%40% 0,9% 8,6%45% 2,0% 8,8%
50,00% 3,08% 9,00%55% 4,2% 9,2%60% 5,3% 9,4%65% 6,4% 9,6%70% 7,6% 9,8%75% 8,7% 10,0%80% 9,8% 10,2%85% 10,9% 10,4%90% 12,1% 10,6%95% 13,2% 10,8%100% 14,3% 11,0%
Nosotros podemos considerar además del 50% en acciones y 50%
en bonos, otros portafolios…
100% bonds
100% stocks
El Conjunto Eficiente con Dos Activos
42
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%
10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%
100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%100% 14.3% 11.0%
% in stocks Risk Return0% 8,2% 7,0%5% 7,0% 7,2%
10% 5,9% 7,4%15% 4,8% 7,6%20% 3,7% 7,8%25% 2,6% 8,0%30% 1,4% 8,2%35% 0,4% 8,4%40% 0,9% 8,6%45% 2,0% 8,8%50% 3,1% 9,0%55% 4,2% 9,2%60% 5,3% 9,4%65% 6,4% 9,6%70% 7,6% 9,8%75% 8,7% 10,0%80% 9,8% 10,2%85% 10,9% 10,4%90% 12,1% 10,6%95% 13,2% 10,8%100% 14,3% 11,0%
El Conjunto Eficiente con Dos Activos
Nosotros podemos considerar además del 50% en acciones y 50%
en bonos, otros portafolios…
Portfolo Risk and Return Combinations
5.0%6.0%7.0%8.0%9.0%
10.0%11.0%12.0%
0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0%
Portfolio Risk (standard deviation)
Por
tfol
io R
etur
n
100% bonds
100% stocks
43
Portfolo Risk and Return Combinations
5,0%
6,0%
7,0%
8,0%
9,0%
10,0%
11,0%
12,0%
0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0%
Portfolio Risk (standard deviation)
Port
folio
Ret
urn
% in stocks Risk Return0% 8,2% 7,0%5% 7,0% 7,2%
10% 5,9% 7,4%15% 4,8% 7,6%20% 3,7% 7,8%25% 2,6% 8,0%30% 1,4% 8,2%35% 0,4% 8,4%40% 0,9% 8,6%45% 2,0% 8,8%50% 3,1% 9,0%55% 4,2% 9,2%60% 5,3% 9,4%65% 6,4% 9,6%70% 7,6% 9,8%75% 8,7% 10,0%80% 9,8% 10,2%85% 10,9% 10,4%90% 12,1% 10,6%95% 13,2% 10,8%100% 14,3% 11,0%
100% stocks
100% bonds
Observe que algunos portafolios son “mejores” que otros. Tienen mayor rendimiento para el mismo nivel del riesgo o menos.
Estos comprometen la frontera eficiente.
El Conjunto Eficiente con Dos Activos
44
La Frontera Eficiente
Está compuesta por las combinaciones de inversiones que ofrecen la mayor rentabilidad para un nivel de riesgo dado.
Riesgo (desv. stand %)
Rendimiento( %)
Portafolio de mínima varianza
Portafolios ineficientes
45
Riesgo en %
Rendimiento Riesgo +σ -σ
100% Bonos EE.UU.
Bonos 10.7 % 10.8 % 21.5 % -0.1 %
100% Acciones EE.UU.
Acciones 12.5 % 14.7 % 27.2 % -2.2 %
10 / 9020 / 80
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0
Rendimientoen %
30 / 7040 / 60
40/60 11.5 % 10.3 % 21.8 % 1.2 %
90 / 10
80 / 20
80/20 12.3 % 12.8 % 25.1 % -0.5 %
70 / 30
60 / 4050 / 50
Incluyendo a Acciones Internacionales
Un ejemplo: 1976-1995
La Frontera Eficiente
46
Todos los portafolios ubicados en la línea son eficientes.
Los portafolios ubicados por debajo son ineficientes.
Por definición, no puede haber portafolios ubicados por
encima.
Composición de los portafolios varía entre 100% bonos y 100%
acciones.
Puede construirse solamente para acciones.
Mejora al diversificar por activos e internacionalmente.
La Frontera Eficiente
47
Portafolio de dos Instrumentos con Diversas Correlaciones
100% bonds
Ret
orno
/Ren
dim
ient
o
σ
100% stocks
ρ = 0.2ρ = 1.0
ρ = -1.0
Las relaciones dependen sobre el coeficiente de correlación.-1.0 < r < +1.0
Si r = +1.0, No existe posible reducción del riesgo.Si r = –1.0, La reducción del riesgo es posible completamente.
48
Considere un contexto con muchos activos riesgosos; podemos identificar
permanentemente el conjunto de oportunidades de los portafolios con
diversas combinaciones de riesgo-rendimiento.
Ret
orno
σP
Activos Individuales
El Conjunto Eficiente de Diversos Instrumentos
49
Dado el conjunto de oportunidades, podemos identificar el
portafolio con la varianza mínima.
El Conjunto Eficiente de Diversos Instrumentos
Portafolio con la varianza mínima
Ret
orno
σP
Activos Individuales
50
El conjunto de oportunidades fijadas sobre el portafolio con varianza
mínima es la frontera eficiente.
El Conjunto Eficiente de Diversos Instrumentos
Frontera Eficiente
Ret
orno
σP
Portafolio con la varianza mínima Activos Individuales
51
Riesgo del Portafolio Óptimo con Activos de Libre-Riesgo
Adicionalmente a las acciones y bonos se considera un contexto que casi siempre se tiene instrumentos de libre-riesgo como los
certificados (T-bills).
100% bonos
100% acciones
rf
σ
Ret
orno
rf = Rendimiento Esperado
52
Ahora los inversionistas pueden asignar su dinero a través de fondos mutuos y certificados(T-bills) balanceadamente.
Solicitud y Concesión de Préstamos sin Riesgo
100% Bonos
100% Acciones
Fondos balanceados
LMC
CML = Línea de Mercado de CapitalesTLR = Tasa Libre de Riesgo
Ret
orno
rf
σ
Frontera de Eficiencia de Markovitz
PrestarEndeudarse
Dado que la LMC es una línea recta, se deduce que todos los
portafolios en ella están perfectamente y positivamente
correlacionados.
M
53
Con activos disponibles libre-riesgo y la frontera eficiente identificada,
elegimos la linea de asignación del capital con la curva más escarpada.
Solicitud y Concesión de Préstamos sin Riesgo
σP
Frontera eficienteLMC
Ret
orno
rf
54
Con la línea de asignación del capital identificada, todos los inversionistas eligen un punto a lo largo de la línea, con algunas combinaciones de
los activos libre-riesgo y del portafolio del mercado M.En un contexto con expectativas homogéneas, M es igual para todos los
inversionistas.
Equilibrio del Mercado
M
LMC
Ret
orno
rf
σP
Frontera eficiente
55
La Característica de Separación
La característica de la separación indica que el portafolio del mercado, M,
es el mismo para todos los inversionistas – que pueden separar su aversión
al riesgo desde sus alternativas del portafolio del mercado.
σP
M
LMC Frontera eficiente
Ret
orno
rf
56
La aversión de riesgo del inversionista se revela en su opción de donde permanecer a lo largo de la línea de asignación de capital y no en sus
opciones de la línea.
La Característica de Separación
σP
rf
M
LMC Frontera eficiente
Ret
orno
rf = Tasa Libre de Riesgo
57
Justo donde el inversionista elige a lo largo de la línea del activo de capital depende de su tolerancia al riesgo.
Los puntos grande es donde todos los inversionistas tienen la misma LMC.
Equilibrio del Mercado
100% Bonos
100% Acciones
rf
σ
Fondos balanceados
LMC
Ret
orno
58
Todos los inversionistas tienen el mismo LMC, porque todos tienen el
mismo portafolio de riesgo óptimo dada una tasa libre-riesgo.
Equilibrio del Mercado
100% Bonos
100% Acciones
σ
Portafolio Riesgo Óptimo
LMC
rf
Ret
orno
M
59
La característica de la separación implica que la opción del portafolio puede ser separado en dos tareas:
(1) Determinar el portafolio del riesgo óptimo, y
(2) Seleccionar un punto en la LMC.
La Característica de Separación
100% Bonos
100% Acciones
rf
σ
LMC
Ret
orno
Portafolio Riesgo Óptimo
M
60
La Característica de Separación
Ya que el portafolio M esta sobre el punto de tangencia, es el
portafolio más eficiente posible de invertir, y sería racional
prestar o endeudarse a lo largo de la LMC en cualquier otro
punto.
Dado el supuesto que el mercado está en equilibrio, el
portafolio M debe considerar todos los activos con riesgo en la
proporción de su valor de mercado (market value).
A este portafolio se le conoce como “portafolio de mercado”.
61
σ
Ret
orno
TLR
MTeorema de Separación: Posibilidad de decisión
del inversor de situarse a lo largo de la LMC
A
B
La LMC guía a invertir en el portafolio M, sin embargo algunos inversores, dada su disposición al riesgo, podrían tener otras preferencias.
Un inversor adverso al riesgo podría preferir una combinación de activos riesgosos con prestar a TLR (portafolio A).
Uno más arriesgado preferiría pedir prestado e invertir en B.
Riesgo del Portafolio Óptimo con Activos de Libre-Riesgo
62
A propósito, el portafolio de riesgo óptimo depende de la tasa libre-riesgo
así como también de los activos de riesgo.
100% Bonos
100% Acciones
σ
Primer Portafolio Riesgo Óptimo
LMC 0 LMC1
0fr
1fr
Ret
orno
Segundo Portafolio Riesgo Óptimo
Riesgo del Portafolio Óptimo con Activos de Libre-Riesgo
63
Si se considera la inversión como si fuera en dos portafolios
separados:
• Inversión en activos libres de riesgo (Wf).
• Inversión en el portafolio de mercado (Wm).
• La ecuación de la “Línea de Mercado de Capitales” es:
E(Rp) = Rf + [(E(Rm) – Rf) / σ (Rm)] x σ(Rp)
Donde:
E(Rp) = Retorno esperado del portafolio
E(Rm) = Retorno esperado del portafolio de mercado
Rf = Retorno Portafolio Libre de Riesgo
Riesgo del Portafolio Óptimo con Activos de Libre-Riesgo
64
La pendiente de la curva de mercado de capitales es:
[ E(Rm) – Rf ]
σ(Rm)
La pendiente determina el retorno adicional requerido para
compensar una unidad de cambio en el riesgo del portafolio.
“PRECIO DEL RIESGO”
Riesgo del Portafolio Óptimo con Activos de Libre-Riesgo
Retorno esperado por encima de la tasa libre de riesgo
Riesgo del portafolio de mercado
65
Luego, la Curva de Mercado de Capitales grafica que el retorno
esperado de un portafolio es igual a la tasa libre de riesgo más
el premio por riesgo.
De acuerdo a la Teoría de Mercado de Capitales, el precio del
riesgo es igual al precio del mercado del riesgo a ese momento
multiplicado por el monto del portafolio riesgoso (medido como
desviación estándar).
En consecuencia, el Retorno Esperado del Portafolio debe ser:
Rf + Precio del Riesgo x % del Portafolio de Mercado
Rf: Retorno Libre de Riesgo
Riesgo del Portafolio Óptimo con Activos de Libre-Riesgo
66
Riesgo no Diversificable; Riesgo Sistemático; Riesgo del Mercado
Riesgo Diversificable;Riesgo no Sistemático; EmpresaRiesgo Específico; Riesgo Único
n
σ En un portafolio amplio, el significado de la varianza es eficazmente diversificado ampliamente, pero la covarianza no.
De este modo la diversificación puede eliminar algunos, pero no todos los riesgos de los instrumentos individuales.
Riesgo del Portafolio
Riesgo del Portafolio como una Función del Número de Acciones en el Portafolio
Rie
sgo
Tota
l(var
ianz
a) d
e un
po
rtaf
olio
“Acciones para reducir Riesgo”
Riesgo total
Límites de la Diversificación
σij
67
1 10 20 30 40 50Numero de Acciones
100
80
60
40
20
% R
iesg
o
Acción U.S.
Acción internacional
Límites de la Diversificación Internacional
Riesgo del Portafolio como una Función del Número de Acciones en el Portafolio
68
Es la desviación estándar del retorno.
El inversionista debe de tener más cuidado sobre el riesgo no
sistemático que sobre el riesgo total.
El riesgo no sistemático depende primeramente de la magnitud
del activo y no de la posición respecto del benchmark.
El costo del riesgo es proporcional a la varianza del retorno.
Los modelos de riesgo identifican importantes fuentes de
riesgo y separan el riesgo entre distintos componentes.
RIESGO
69
Se parte de separar el retorno del instrumento en dos:
Retorno = Retorno Sistemático + Retorno – No – Sistemático
Donde:
Retorno Sistemático: Proporcional y correlacionado al retorno de mercado.
Retorno no-sistemático: No correlacionado al mercado.
Se define como β veces el retorno a la parte sistemática de él.
La porción no sistemática se puede expresar como ε´
Luego, R = βRm + ε´
Donde Rm = Retorno del Mercado
Cuantificando el Riesgo Sistemático
70
Definición de Beta β
Es una medida estandarizada del riesgo sistemático.
Relaciona la covarianza de cualquier activo respecto del
portafolio de mercado con la varianza de ese portafolio.
El portafolio de mercado tiene β = 1.
Luego todo activo con β > 1 tiene un riesgo sistemático
normalizado mayor que el mercado y viceversa.
Cuantificando el Riesgo Sistemático
71
El modelo anterior usualmente considera que el valor promedio
de ε´ es cero. Esto se complementa agregando al modelo un
factor de ε , que representa el valor promedio del retorno no-
sistemático a lo largo del tiempo.
Donde ε´ = α + ε , en consecuencia,
R = α + βRm + ε
Este modelo es llamado “Modelo de Mercado”
Cuantificando el Riesgo Sistemático
72
Los investigadores han demostrado que la mejor medida del
riesgo de un instrumento en un portafolio grande es la beta (β)del instrumento.
La sensibilidad de la medida beta de un instrumento va de
acuerdo a los movimientos del portafolio de mercado.
Definición del Riesgo cuando los Inversionistas Mantienen el Portafolio de Mercado
)()(
2,
M
Mii R
RRCovs
b =
La Fórmula para βeta
S2 = Varianza
73
Estimando β con Regresión
Ren
dim
ient
oIn
stru
men
tos
% Rendimiento del Mercado
Ri = α i + βiRm + ei
Slope = βiCaracte
rística
Línea
ε
αAlfa, el promedio de
los retornos residuales, es el
punto de cruce de la línea con el eje
Epsilon, el retorno residual, es la
perpendicular entre el punto y la línea Beta, el índice de
sensibilidad del mercado, es la pendiente de la
curva
74
Estimados de β para Acciones Seleccionadas
0.49Oracle, Inc.0.20Homestake Mining
0.55Green MountainPower
1.05Microsoft0.90Kimberly-Clark Corp.1.00Du Pont1.65Travelers, Inc.2.35Borland International1.55Bank of AmericaBetaAcciones
75
El riesgo sistemático de un activo es igual a β veces la
desviación estándar del retorno de mercado.
El riesgo no-sistemático es igual a la desviación estándar del
factor de retorno residual ε .
βp = ∑ wiβi
Modelo de Mercado
i = 1
n
76
El riesgo sistemático de un portafolio es el valor de mercado
promedio ponderado del riesgo sistemático de cada activo
componente del portafolio.
El riesgo no-sistemático de un portafolio es también función de
los riesgos no sistemáticos individuales, pero el punto clave
aquí es considerar que incrementando la diversificación, este
riesgo tiende a cero.
Modelo de Mercado
77
Donde:
Rp = Retorno del portafolio p
Rm = Retorno del portafolio de mercado
Beta permite separar el exceso de retorno de cualquier portafolio en
dos componentes no correlacionados, el retorno de mercado y el
retorno residual.
Estimación de Beta
)()(
2
p
m
mp R
RRCovs
β =
S2 = Varianza
79
Expande la Teoría de Portafolio y desarrolla un modelo de precios
para todos los activos riesgosos llamado CAPM (Capital Asset
Pricing Model).
• Permite determinar la tasa de retorno requerida para cualquier
activo con riesgo.
• Considera el efecto y las implicancias que tiene sobre las
decisiones de inversión la existencia de la tasa libre de riesgo.
Modelo de Precio de Activos de Capital(CAPM)
80
Supuestos del CAPM
Los mercados son eficientes.
La tasa para prestar y pedir prestado es la misma , la tasa libre de
riesgo ( risk-free rate).
Los inversionistas tienen la misma información sobre los valores.
Inversionistas tienen un solo período como horizonte de inversión.
No hay impuestos , ni costos de transacción.
No hay restricciones sobre las inversiones.
Modelo de Precio de Activos de Capital(CAPM)
81
Modelo de Precio de Activos de Capital(CAPM)
En consecuencia, el CAPM establece que el retorno esperado (o
requerido) para un activo específico es una función líneal positiva
de su índice de riesgo sistemático medido por β.
• Mientras más alto Beta, más alto el retorno esperado.
• El Beta de un activo libre de riesgo es cero.
• El Beta del Portafolio de Mercado es 1.
E(Ri) = Rf + β[ E(Rm) – Rf ]
Premio del mercado
Coeficiente de sensibilidad del activo en relación al mercado
Tasa libre de riesgo
Rendimiento esperado por los accionistas
82
Combinación de un activo libre de riesgo con un portafolio
riesgoso.
Retorno Esperado
E(Rport) = wlr(TLR) + (1 - wlr)E(Ri)
Donde:
wlr = Proporción del portafolio invertido en el activo libre de riesgo
E(Ri) = Tasa de retorno esperada del portafolio riesgoso i.
Modelo de Precio de Activos de Capital(CAPM)
83
Retorno Esperado sobre el mercado:
Retorno Esperado sobre un Instrumento Individual:
Mercado Riesgo Prima += FM RR
)(β FMiFi RRRR −×+=
Prima Riesgo Mercado
Esto aplica para instrumentos individuales que se mantienen dentro de excelentes portafolios diversificados.
La Relación entre el Riesgo y el Rendimiento Esperado (CAPM)
84
Modelo de Asignación de Precios de Equilibrio (CAPM)
• Asume βi = 0, entonces el rendimiento esperado es RF.• Asume βi = 1, entonces
Mi RR =
Rendimiento Esperado de
un Instrumento= Tasa libre
de riesgo+ Beta del
instrumento x Prima de riesgo de mercado
Rendimiento Esperado sobre un Instrumento Individual
)(β FMiFi RRRR −×+=
Diferencia entre el rendimiento esperado del mercado y la tasa
libre de riesgo
85
β
)(β FMiFi RRRR −×+=
FR
1.0
MR
Relación entre Riesgo-Rendimiento Esperado
Ren
dim
ient
oE
sper
ado
86
Rem
dim
ient
oes
pera
do
β
%3
1.5
%5.13
%3=FR5.1β =i %10=MR
%5.13%)3%10(5.1%3 =−×+=iR
Relación entre Riesgo-Rendimiento Esperado
87
Determinación de la Tasa de Rendimiento para un Activo riesgoso
E(Ri) = Rf + β[ E(Rm) – Rf ]
E(RA) = 0.08 + 0.70(0.14 - 0.08) = 12.2%
Ejemplo
AcciónBeta
A0.70
B1.20
C D E1.00 0.00 – 0.30
Tasa libre de riesgo = 8 % Tasa de mercado = 14%
88
El riesgo total viene dado por la varianza (o la desviación estándar) del
rendimiento de un activo.
El riesgo sistemático se encuentra vinculado con factores
macroeconómicos que representan eventos no anticipados que afectan a
casi todos los activos en alguna medida.
El riesgo no sistemático representa eventos no anticipados que afectan a
un activo en particular o a un grupo de activos.
La diversificación puede eliminar el riesgo no sistemático, vía la
combinación de activos en un portafolio.
El riesgo sistemático de un activo viene dado por su β.
El rendimiento exigido a cada activo varía en proporción a su β.
Resumen y Conclusiones
89
Este capitulo determina los principios de la Teoría Moderna del
Portafolio.
El retorno esperado y la varianza sobre un portafolio de dos
instrumentos A y B son dados por:
ABAABB2
BB2
AA2P )ρσ)(wσ2(w)σ(w)σ(wσ ++=
)()()( BBAAP rEwrEwrE +=
Resumen y Conclusiones
90
Variando WA, uno puede hacer seguimiento de la eficiencia de los
portafolios. Graficamos la eficiencia para el caso de dos activos
como una curva, precisando el grado del efecto de la
diversificación que se refleja en la curva: Cuanto más baja es la
correlación entre los dos instrumentos, mayor es la
diversificación.
El mismo modelo general se mantiene en una situación de
muchos activos.
Resumen y Conclusiones
91
La fijación eficiente de los activos de riesgo puede ser combinado con préstamo de menor riesgo. En este caso, un inversionista racional elegirá siempre mantener el portafolio de los instrumentos de riesgo representados por el portafolio de mercado.
Ren
dim
ient
o
σP
Frontera eficiente
rf
M
CMLEntonces con los préstamos, los
inversionistas seleccionan un punto a lo largo de la
CML.
Resumen y Conclusiones
92
La contribución de un instrumento de riesgo de un portafolio bien diversificado es proporcional a la covarianza del rendimiento de los instrumentos con el rendimiento del mercado. Esta contribución es llamada beta.
El Modelo CAPM es el rendimiento esperado sobre un instrumento que esta positivamente relacionada al beta del instrumento:
)()(
2,
M
Mii R
RRCovσ
β =
)(β FMiFi RRRR −×+=
Resumen y Conclusiones
93
La señorita Sharp piensa que la distribución de tasas de rendimiento de las
acciones de Q-mart es la siguiente:
a) ¿Cuál es el rendimiento esperado de las acciones?
b) ¿Cuál es la desviación estándar de los rendimientos de las acciones?
Ejercicio # 1
Estado de la economía
Probabilidad de que ocurra el estado
Rendimiento de las acciones de Q-mart (%)
Depresión 0.1 -4.5Recesión 0.2 4.4Normal 0.5 12.0Auge 0.2 20.7
E(RQ-mart) = 0.1(-4.5) + 0.2(4.4) + 0.5(12.0) + 0.2(20.7) = 10.57%
σ2 = 0.1(- 4.5 – 10.57)2 + 0.2(4.4 – 10.57)2 + 0.5(12 – 10.57)2 + 0.2(20.7 – 10.57)2 =
σ2 = 0.1(2.271049) + 0.2(0.380689) + 0.5(0.020449) + 0.2(1.0261) =
σ2 = 0.2271049 + 0.0761378 + 0.0102245 + 0.20522 = 0.5186872/100 = 0.005186872
σ = 0.005186872 = 0.072019 x 100 = 7.2019%
94
Un portafolio consiste de 120 acciones del capital de Atlas, el cual se vende en
$50 dólares por acción, y 150 acciones de capital de Babcok, a 120 dólares cada
una. ¿Cuáles son las ponderaciones de las dos acciones en este portafolios?
Ejercicio # 2
# Acciones PxAcción ($) Total Ponderación
Atlas 120 50 6000 6000/9000 = 2/3Babcok 150 20 3000 3000/9000 = 1/3 9000
95
El instrumento F tiene un rendimiento esperado de 12% y una desviación
estándar de 9% anual. El instrumento G tiene un rendimiento esperado de 18%
y una desviación estándar de 25% anual.
a) ¿Cuál será el rendimiento esperado de un portafolios formado por 30% del
instrumento F y 70% del G?
b) Si la correlación entre los rendimientos de F y de G es 0.2, ¿cuál es la
desviación estándar del portafolios descrito en el inciso (a)?
Ejercicio # 3
La tasa de rendimiento del portafolio es el promedio ponderado de los rendimientos de las acciones en el portafolio:
SSBBP rwrwr +=
%)17(%50%)7(%50%5 ×+−×=
96
Solución
Ejercicio # 3
La tasa de rendimiento del portafolio es el promedio ponderado de los rendimientos de las acciones en el portafolio: GGFFP rwrwr +=
%)18(%70%)12(%30%2.16 ×+×=
La varianza de la tasa de rendimiento sobre los dos activos de riesgo del portafolio es:
BSSSBB2
SS2
BB2P )ρσ)(wσ2(w)σ(w)σ(wσ ++=
Donde ρBS es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de las acciones y los bonos.
σ2 = (0.30x0.09)2 + (0.70x0.25)2 + 2(0.30x0.09)(0.70x0.25)0.2
= 7.29x10-4 + 0.030625 + 1.89x10-3 = 0.033244
σP = 0.033244 = 0.1823 = 18.2%
P
97
El rendimiento de la acción A no se correlaciona con el de la acción B. La
acción A tiene 40% de probabilidades de tener un rendimiento de 15 y 60% de
tener un rendimiento de 10%. La acción B tiene la mitad de probabilidades de
tener un rendimiento de 35% y la otra mitad, de tener una de – 5%.
a) Escriba una lista de todos los resultados posibles y sus probabilidades.
b) ¿Cuál es el rendimiento esperado de un portafolios con 50% invertido en la
acción A y 50% en la acción B?
Ejercicio # 4
98
Solución
Ejercicio # 4
Acción A
Acción B
0.50.5
0.400.60
0.500.50
0.15 = 0.5 x 0.4 x 0.15 = 0.03
0.10 = 0.5 x 0.6 x 0.10 = 0.03
0.35 = 0.5 x 0.5 x 0.35 = 0.0875
-0.05 = 0.5 x 0.5 x –0.05 = - 0.0125
0.135 = 13.5%
Rendimiento
99
El portafolios del mercado tiene un rendimiento esperado de 12% y una
desviación estándar de 10%. La tasa libre de riesgo es 5%.
a) ¿Cuál es el rendimiento esperado de un portafolios bien diversificado con
una desviación estándar de 7%?
b) ¿Cuál es la desviación estándar de un portafolios bien diversificado con un
rendimiento esperado de 20%?
Ejercicio # 5
100
Solución
Ejercicio # 5
La ecuación de la “Línea de Mercado de Capitales” es:
E(Rp) = Rf + [(E(Rm) – Rf) / σ (Rm)] x σ(Rp)
Donde:E(Rp) = Retorno esperado del portafolio
E(Rm) = Retorno esperado del portafolio de mercado
Rf = Retorno Portafolio Libre de Riesgo
E(Rp) = 0.05 + [(0.12 – 0.05)/0.10]0.07 = 0.099 = 9.9%
0.20 = 0.05 + [(0.12 – 0.05)/0.10] σ(Rp) = 0.21428 = 21.43%
101
Considere las siguientes dos acciones:
Suponga que se aplica el modelo de asignación de precios de equilibrio; con
base en éste, ¿cuál es la tasa libre de riesgo? ¿cuál es el rendimiento
esperado del portafolios de mercado?
Ejercicio # 6
Beta Rendimiento esperado
Murck Pharmaceutical 1.4 25%Pizer Drug Corp 0.7 14%
102
SoluciónEjercicio # 6
a) Ri = Rf + βi (RM – Rf)
Asumimos: Rf = X, (RM – Rf) = Y
por lo tanto ⇒ 0.25 = X + 1.4Y 0.25 = X + 1.4Y
0.14 = X + 0.7Y 0.14 = X + 0.7Y ⇒ (-2)
0.25 = X + 1.4Y
- 0.28 = - 2X - 1.4Y
⇒ - 0.03 = - X ⇔ X = 3% ⇒ Rf
b) Para encontrar RM reemplazo ⇔ 0.14 = 0.03 + 0.7(RM – 0.03)
RM = (0.14 + 0.021 – 0.03)/0.7 = 0.1871 = 18.71%
Beta del portafolio de mercado = 1
103
Calculo de Rendimientos
Sabiendo que los bonos del tesoro americano rinden un 3% anual y la prima
de riesgo de mercado es del 8%, calcule los rendimientos esperados para los
activos X e Y, teniendo en cuenta que sus betas son:
βx = 1.25
βy = 0.6
Ejercicio # 7
105
Ejemplo de Desequilibrio
Suponga una acción con un beta de 1.25 está ofreciendo un rendimiento
esperado de 15%.
De acuerdo a la LMC, debería ser del 13%.
El título esta subvaluado por el mercado(underpriced) ya que está ofreciendo
un rendimiento esperado más alto para su nivel de riesgo.
Ejercicio # 8
106
Ejercicio # 8Solución
ER
β1.25
Rx = 15%
1.0
Rm = 11%
Rf = 3%
LMC¿Qué debería ocurrir según el CAPM?
107
Ejercicio # 8Solución
ER
β0.8 1.0
Rm
Rf
LMCM
Portafolio de Mercado
Prima de Riesgo de Mercado
1. Si Rf = 5%, Rm = 10%, cuál
debe ser el rendimiento
esperado de este título si su
beta es 0.8?
2. Está sobre o subvaluado?
108
Beta del Portafolio
βA = 1.3, βB = 1.7, WA = 25%, WB = 75%, rf = 4%, E(rm) = 12%
1. ¿Cuál es la prima por riesgo de mercado?
2. ¿Cuál es el beta del portafolio?
3. Si el CAPM funciona, cual es el rendimiento esperado de A, B y del Portafolio
AB?
Ejercicio # 9
rm – rf = 12% - 4% = 8%
0.25(1.3) + 0.75(1.7) = 1.6
RA = 4% + 1.3(8%) = 14.4%RB = 4% + 1.7(8%) = 17.6%RP = 4% + 1.6(8%) = 16.8%
109
Ejemplo de CAPM
Dos administradores de portafolio están siendo evaluados. Uno obtuvo un
rendimiento del 20% y el otro el 17%. Sin embargo el beta de la cartera del
primero fue de 1.5 mientras que la del segundo tuvo un beta de 1.0.
a) Cuál tuvo mejor desempeño si rf = 4% y rp = 8%?
b) Si la prima de mercado fue del 8% y los bonos del tesoro rindieron 6%,
cuál lo hizo mejor?
c) Cuál sería la respuesta si la prima de mercado es del 12% y los T-Bonds
rinden 3%?
Ejercicio # 10
110
Respuesta
a) Rf = 4% + 1.5 x 8% = 16% ⇒ Pero obtuvo 20%
Rf = 4% + 1.0 x 8% = 12% ⇒ Pero obtuvo 17%
b) Rf = 6% + 1.5 x 8% = 18% ⇒ Pero obtuvo 20%
Rf = 6% + 1.0 x 8% = 14% ⇒ Pero obtuvo 17%
c) Rf = 3% + 1.5 x 12% = 21% ⇒ Pero obtuvo 20%
Rf = 3% + 1.0 x 12% = 15% ⇒ Pero obtuvo 17%
Ejercicio # 10
En las dos primeras alternativas, el
primer administrador obtuvo un punto
porcentual más que el segundo
administrador cuando se comparan
los rendimientos contra el CAPM.
En la alternativa C, el segundo
administrador obtiene un rendimiento
menor, pero su desempeño resulta
mejor cuando se lo compara contra el
rendimiento que sugiere el CAPM, ya
que obtiene un mejor rendimiento de
acuerdo con el riesgo sistemático de
su portafolio.