Embed Size (px)
Citation preview
VadoVėlio Matematika komplektą sudaro:
• Vadovėlis – visiems• Parsisiøsdinama skaitmeninė vadovėlio versija – naudojantiems
kompiuterius • Uždavinynas – kuriems vadovėlio užduotys per lengvos• Savarankiški ir kontroliniai darbai – į pagalbą mokytojams• Mobili interaktyvi kompiuterinë (MIKO) knyga mokytojams –
informacijos kaupimui ir tvarkymui
tau
Visi uždaviniai patikrinti ir perspręstileidyklos specialistų.
ISBN 978-609-433-141-1
9 7 8 6 0 9 4 3 3 1 4 1 1
Rengdamiesi brandos egzaminui
pasitreniruokitepakartokite pasitikrinkite
DEM
O
Skaitmeninį vadov÷lį „Matematika Tau plius. 12 klas÷. Išpl÷stinis kursas“ kūr÷:
Nijol÷ Drazdauskien÷, Rolandas Jakštys, Mindaugas Piešina, Sigita Populaigien÷, Daiva Sniečkut÷-Šimkūnien÷, Žydrūn÷ Stundžien÷, Miroslav Šeibak, Tadeuš Šeibak, Edita Tatarinavičiūt÷, Valdas Vanagas, Aldona Žalien÷.
Skaitmeniniame vadov÷lyje panaudoti vadov÷lio „Matematika Tau plius. 12 klas÷.
Išpl÷stinis kursas“ PDF failai. Vadov÷lio komplektui medžiagą reng÷:
Jurga Deveikyt÷, Jūrat÷ Gedminien÷, Petr÷ Grebeničenkait÷, Kornelija Intien÷, Jolanta Jačiauskait÷, Vida Meškauskait÷, Aleksandras Plikusas, Daiva Riukien÷, Žydrūn÷ Stundžien÷, Valdas Vanagas, Vladas Vitkus, Marius Zakarevičius.
Technologijos © TEV, 2008–2014
DEM
O
3
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Pagrindiniai skyreliai
1. SekoS1.1. skaičių sekos 141.2. aritmetinė progresija 161.3. aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma 181.4. Geometrinė progresija 201.5. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma 221.6. nykstamoji geometrinė progresija ir jos suma 241.7. procentai ir progresijos 261.8. Dar daugiau uždavinių su progresijomis 28
2. NelygybėS2.1. tiesinės nelygybės ir jų sistemos 442.2. Kvadratinės nelygybės 462.3. trupmeninės nelygybės 482.4. Dar vienas nelygybių sprendimo būdas 502.5. rodiklinės nelygybės 522.6. logaritminės nelygybės 542.7. nelygybės su moduliais 562.8. nelygybės su sinusais ir kosinusais 582.9. nelygybės su tangentais ir kotangentais 60
3. IšvestInės3.1. Funkcijos vidutinis geitis uždarame intervale 763.2. Funkcijos geitis taške 783.3. Funkcijos išvestinė funkcija 803.4. Funkcijos grafiko liestinė 823.5. Daugianario išvestinė 843.6. Elementariųjų funkcijų išvestinės 863.7. sandaugos ir dalmens išvestinės 883.8. sudėtinė funkcija ir jos išvestinė 903.9. Funkcijos reikšmių kitimo ir išvestinės ryšys 923.10. tiriame funkcijas 943.11. Funkcijos mažiausioji ir didžiausioji reikšmės uždarame intervale 963.12. sprendžiame tekstinius uždavinius 98
4. IntegralaI4.1. Funkcijos pirmykštės funkcijos 1164.2. pirmykščių funkcijų radimo taisyklės 1184.3. Kreivinės trapecijos plotas 1204.4. Kreivinių figūrų plotai 122
DEM
O
4
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
Vadovėlis parengtas pagal 2011 02 21 patvirtintas vidurinio ugdymo bendrąsias programas. Jis skirtas pasirinkusiems išplėstinį matematikos kursą.
Vadovėlis susideda iš dviejų dalių. I dalyje yra 4 skyriai, II – 3 skyriai. Visų skyrių struktūra yra vienoda. Aptarkime ją.
VadoVėlio struktūra
Kairiajame puslapyje yra teorija. Ji pateikiama užduotimis, kurias turėtų atlikti patys mokiniai. Užduotis įveikti padės banguotomis linijomis įrėmintose srityse esantys pavyzdžiai, nurodymai ir samprotavimai. Tai, kas yra svarbiausia, surašyta lentoje. Puslapio viršuje yra informacija, ko mokysimės šiame atverstinyje, ji pažymėta .
Dešinėje yra su kairiųjų puslapių teorija susiję uždaviniai. Greta uždavinių sąlygų kai kur rasite išspręstų uždavinių pavyzdžių. Jei uždavinys išskaidytas į a), b), c), ... punktus, tai jie pradedami nuo lengviausio ir baigiami sunkiausiu. Jei uždavinyje yra 1), 2), ... užduotys, tai jas rekomenduojame atlikti iš eilės.
• Pagrindiniai atverstiniai
Pagrindiniai atverstiniai yra privalomi visiems mokiniams, nebent mokytojai dėl vienų ar kitų priežasčių nuspręstų kitaip...
• Po pagrindinių yra stipresniems mokiniams skirti atverstiniai
Čia pateikiama pagrindiniuose atverstiniuose išdėstytos teorijos santrauka. Greta teorijos (apibrėžimo, savybės, teoremos ar formulės) už brūkšnio yra ją iliustruojantys pavyzdžiai. Kai kurių skyrių atverstiniuose ,,Apibendriname“ teorijos ir pavyzdžių rasite daugiau, negu jų buvo pagrindiniuose atverstiniuose. Žinoma, papildoma teorija, kaip ir šis atverstinis, nėra privaloma.
• skyriaus turinio atverstinis
Dešiniojo puslapio viršuje yra skyriaus turinys.Kas skyriuje yra svarbiausia, galima suprasti iš pagrindinių atverstinių pavadinimų (jie yra sunumeruoti) ir puslapio apačioje esančios informacijos.
2.1. Uždaviniai2.1. tiesinės nelygybės ir jų sistemos
apibendrinameapibendriname
Nelygybės
Šiame atverstinyje yra uždaviniai, skirti anksčiau spręstiems uždaviniams pakartoti ir nagrinėtai teorijai prisiminti. Faktai ir pavyzdžiai pateikiami banguotomis linijomis apvestose srityse. Šių žinių prireiks nagrinėjant skyrių.
Kairiajame puslapyje yra supažindinama su tuo, ką mokysimės skyriuje. Prieš pradedant nagrinėti skyrių, vertėtų susipažinti su šiame puslapyje esančiais samprotavimais, pavyzdžiais ir užduotimis.
• Skyrius prasideda anksčiau spręstų uždavinių atverstiniu
kartojame tai, ko prireiks 2 skyriujekartojame tai, ko prireiks 2 skyriuje
DEM
O
5
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
2skyrius
Čia pateikiami pagrindiniuose atverstiniuose išdėstytos teorijos teiginių įrodymai. Kartais rasite ir papildomos medžiagos, kuri nebuvo nagrinėta pagrindiniuose atverstiniuose, bet su jais yra susijusi. Kitaip sakant, atverstinis „Besidomintiems“ skirtas norintiems žinoti daugiau.
Vadovėlio komplektą sudaro:
• vadovėlis (I ir II dalys); • uždavinynas; • savarankiškų ir kontrolinių darbų knygelė; • kompiuterinės priemonės.
VadoVėlio struktūra
Šis atverstinis pravers rengiantis kontroliniam darbui.
Prieš pradėdami nagrinėti pirmąjį skyrių, susipažinkite su 6–9 puslapiuose pateikta mokyklinės matematikos kurso apžvalga. Taip pat, spręsdami 10 ir 11 puslapiuose
esančius uždavinius, pakartokite tai, ko mokėtės 11 klasėje.
Puslapis uždavinių, susijusių su ankstesnėse klasėse nagrinėta kuria nors geometrijos tema.
Puslapis uždavinių, susijusių su ankstesnėse klasėse nagrinėta algebros, tikimybių teorijos ar kita kuria nors tema.
• skyriaus pabaigoje yra visiems mokiniams skirti uždavinių atverstiniai
Puslapis testinių uždavinių, susijusių su pagrindiniais atverstiniais. Sprendžiant testinius uždavinius, nereikalaujama nurodyti sprendimų, pakanka pasirinkti vienintelį teisingą atsakymą iš pateiktų penkių.
Puslapis uždavinių, skirtų mokiniams pasitikrinti, o mokytojams – patikrinti, kaip pavyko pasiekti pagrindinius skyriuje keliamus tikslus. Galima sakyti, kad tai yra svarbiausi skyriaus uždaviniai. Jų atsakymus rasite vadovėlio pabaigoje.
BesidomintiemsBesidomintiemsDar daugiau uždavinių
Trikampiai Funkcijos
Įvairūs uždaviniaiGeometrijos uždaviniai
Pasitikrinametestas
Vadovėlio komplektas turėtų tapti geru pagalbininku pasirinkusiems išplėstinį matematikos kursą. Sėkmės!
Šis atverstinis skirtas mokiniams, kuriems pagrindiniuose atverstiniuose uždavinių buvo per mažai arba jie buvo per lengvi. Paskutinis šio atverstinio uždavinys (ar keli uždaviniai) pažymėtas ženkleliu . Tai gali būti galvosūkis, netradicinis ar šiaip sunkesnis uždavinys.
sprendžiamesprendžiame
DEM
O
6
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Pabaigos pradžia
Pažintis su matematika mokykloje prasidėjo nuo pirmųjų dienų, nuo pirmųjų pamokų. Prisiminkime, komokėmės per praėjusius vienuolika metų.
Skaičiai, veiksmai, reiškiniai
1) Pirmiausia, susipažinę su natūraliaisiais skaičiais, mokėmės juos sudėti ir atimti, dauginti ir dalyti.
Atimdami „atradome“ neigiamuosius skaičius ir nulį, o dalydami –– trupmeninius racionaliuosiusskaičius.
2) Vėliau mokėmės kelti laipsniu ir traukti šaknį bei logaritmuoti. Atlikdami šiuos veiksmus, susipaži-nome su iracionaliaisiais skaičiais.
3) Nagrinėdami trigonometriją, mokėmės plokštumos ir posūkių kampų dydžius reikšti radianais. Su-žinojome, kaip rasti kampo sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą. Ir, atvirkščiai, naudodamiesiarksinusu, arkkosinusu, arktangentu ar arkkotangentu, išmokome rasti kampo dydį, kai žinomaskampo sinusas, kosinusas, tangentas ar kotangentas.
Y
X1–1
–1
1
–
—
12
23
–π6
0
4) Susipažinome su iracionaliaisiais skaičiais, kurie žymimi raidėmis π ir e.
Apskritimo ilgis = Apskritimo skersmens ilgis × π; π = 3,1415...;lim
n→+∞(
1 + 1n
)n = e; e = 2,7182... .
5) Sužinojome, kad kiekvieną realųjį skaičių galima „apgyvendinti“ skaičių tiesėje. Mokėmės realiuosiusskaičius palyginti, parašydami tarp jų ženklą >, < arba =.
0b 1 c
XO A
e π
DEM
O
7
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Pabaigos pradžia
6) Pertvarkydami skaitinius ir raidinius reiškinius, naudojomės veiksmų su skaičiais savybėmis.
Funkcijos, lygtys, nelygybės, sistemos
7) Nagrinėdami reiškinius su vienu kintamuoju f (x), susipažinome su kai kuriomis funkcijomisy = f (x) ir jų grafikais.
Y Y Y YY
Y Y
X X X XX
X X
yx+2
=
ylog
=2x
y=
x2
y=
x3
y2
=x
Y
X
y x=y
x=
Y
X
y0,5
=
x
Y
Xy
x
log=
0,5
3
y–
= 1x
Y
X
Y
X
y xsin=
Y
X
yx
= ||
y xcos=
Y
X
yx
tg=
Y
X
yx
ctg=
0
0 0 0 0 0
000
0 0
0 0 0 0
DEM
O
8
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Pabaigos pradžia
8) Įgytas žinias taikėme spręsdami lygtis su vienu nežinomuoju: f (x) = a, f (x) = g(x), f (x)g(x)
= 0.
9) Nagrinėjome lygtis su dviem nežinomaisiais f (x; y) = a ir tokių dviejų lygčių sistemas.
10) Sprendėme nesudėtingas nelygybes su vienu nežinomuoju f (x) ≷ a, f (x) ≷ g(x) ir jų sistemas.
X0–5
Geometrija
11) Susipažinome su plokštumos figūromis ir erdviniais kūnais, nagrinėjome jų savybes. Skaičiavomeįvairių plokštumos figūrų kraštinių ilgius, perimetrus, plotus, kampų dydžius ir įvairių erdvinių kūnųbriaunų ilgius, paviršių plotus, tūrius bei kampų dydžius.
a
bh
c r
ab
cH
a
b h
rH
rH
l
a
b
c
A
B
C
a b
c
αβ
γ
r
γα;
α
DEM
O
9
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Pabaigos pradžia
12) Spręsdami geometrijos uždavinius, mokėmės atpažinti lygiuosius ir panašiuosius trikampius bei nagri-nėjome jų savybes.
= a ka
c kc
b kb
S k◊ 2S
Realiojo pobūdžio uždaviniai
13) Nepamiršome ir realių matematikos taikymų –– nagrinėjome procentų, judėjimo, darbo, tikimybių,statistikos ir kitus uždavinius.
Ko mokysimės dvyliktoje klasėje?
1) Pirmame skyriuje nagrinėsime skaičių sekas:• aritmetines progresijas; • geometrines progresijas.
2) Antrame skyriuje daug dėmesio skirsime nelygybių sprendimui. Prisiminsime tiesines ir kvadratinesnelygybes bei jų sistemas. Mokysimės spręsti:• trupmenines nelygybes; • rodiklines nelygybes; • logaritmines nelygybes;• nelygybes su moduliais; • trigonometrines nelygybes.
3) Trečiame skyriuje mokysimės rasti funkcijos y = f (x):• reikšmių kitimo vidutinį greitį, kai x ∈ [a; b], ir greitį, kai x = a;• išvestinę funkciją y = f ′(x);• kritinius bei ekstremumo taškus ir mažiausiąją bei didžiausiąją reikšmes uždarame intervale.Taip pat nagrinėsime funkcijos y = f (x) = ax4+bx3+cx2+dx+e savybes, naudodamiesi funkcijosišvestine, ir braižysime jos grafiką.
4) Ketvirtame skyriuje sužinosime, kaip rasti:• funkcijos y = f (x) pirmykštę funkciją y = F(x);• plotą, kurį apriboja funkcijos y = f (x) grafikas, abscisių ašis ir tiesės x = a, x = b.
5) Penktame skyriuje nagrinėsime erdvinius kūnus:• prisiminsime jų paviršių plotų ir tūrių formules;• mokysimės briaunainius ir sukinius „pjaustyti“ plokštumomis.Taip pat susipažinsime su pagrindinėmis erdvės geometrijos (stereometrijos) sąvokomis ir svarbiausiaisteiginiais.
6) Šeštame skyriuje spręsime kombinatorikos ir tikimybių teorijos uždavinius. Sužinosime, kas tai yra:• kėliniai, deriniai ir gretiniai;• nepriklausomieji ir nesutaikomieji įvykiai;• atsitiktiniai dydžiai, jų skirstiniai, dispersija ir standartinis nuokrypis.
7) Septintame skyriuje tęsime pažintį su statistika.
Tad ne tiek daug ir beliko... Sėkmės!
DEM
O
10
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
kartojame tai, ko mokėmės 11 klasėje
1. 2√
2 · 5√
2 : 10√
2 = A 0 B 1 C√
2 D 10 E Kitas atsakymas
2. 160,25 − 81 23 + 243
15 = A 11 B −3 C −9 D −11 E −27
3. 0,5 log2 16 − 2 lg 10 + 3log3 2 = A −2 B 0 C 2 D 4 E −274.
∣∣4 − √32
∣∣ − ∣∣√8 − 4∣∣ + ∣∣−2
√2∣∣ = A 8 − 4
√2 B 8
√2 − 8 C −2
√2 D 2
√2 E 4
√2
5.
(√a−1√a+1 +
√a+1√a−1
): a+1
a−1 = A(a+1a−1
)2 B 4·√aa+1 C 2 D 1 E a
6. cos(−330◦) · sin(−11π
6) = A −
√3
2 B 12 C −1
4 D√
34 E −1
7. (1 − sin α)(sin α + 1)(1 + tg2 α
) = A − cos2 α B 1 C 2 cos2 α D −1 E sin2 α
8. Koks yra pavaizduoto trikampio plotas?A 20
√61 B 5
√3 C 10 D 10
√61
E Nurodytų duomenų trikampis neegzistuoja5
4120∞
61
9. Funkcijos y = f (x) grafikui priklauso taškas(2; 4√2
), jei f (x) =
A x4 B log 4√2 x C4√8x D x
4√8E 3√2 x
10. Funkcijos y = f (x) visos reikšmės yra neigiamos, kai x ∈ (0; π
2), jei f (x) =
A sin(−x) B cos(−x) C tg x D ctg x E tg x − 211. Naudodamiesi brėžiniu, nustatykite, kuri lygybė yra teisinga.
A �b + �a = �c B �c − �b = �a C �b + �c = �a D �a + �c = �bE �c − �a = �b
a
c
b
12. Koks yra vektoriaus �a ilgis, jei vektorius �a(x; −1; 2) yra statmenas vektoriui �b(1; 2; 0)?A 0 B 2 C 3 D ±3 E
√x2 + 3
13. Lygties(x2 − 4
) · √x − 2 = 0 sprendinių aibė yra: A {−2; 2} B {4} C {0} D {2} E {2; 4}14. Mažiausioji x reikšmė, su kuria lygybė
∣∣3x2 − 15∣∣ = 3 teisinga, yra:
A −3√
2 B −2 C 2 D −√6 E
√6
15. Jei 22004 · 4104 · 83 = 2 · 32x , tai x = A 22 B 400 C 444 D 2121 E 50016. Kiek sprendinių turi lygtis x4 + 2x2 − 15 = 0? A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
17. Kiek lygtis sin x = 12 turi sprendinių, priklausančių intervalui [−π; π]? A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
18. Jei log3 x = 2 log3 5 + 12 log3 8 − 3 log3 10, tai x = A 11
3 B 4 C√
220 D
√3
30 E log3 4 − 1
19. Lygčių sistemos{
xy = 2x + y = 3 sprendiniai yra:
A (−2; 1), (−2; −1) B (−1; 4), (1; 2) C (1; 2), (2; 1) D (−1; −2),(4; 1
2)
E ∅
20. Lėktuvas 960 kilometrų pavėjui nuskrido per 3 valandas. Grįžtant atgal, tam pačiam atstumuinuskristi prireikė 4 valandų. Kurią sistemą išsprendę rasime vėjo greitį ir lėktuvo savąjį greitį?
A{
(x − y) · 3 = 960,(x + y) · 4 = 960 B
{(x + y) · 3 = 960,(x − y) · 4 = 960 C
{ 3x + y = 960,4x − y = 960 D
{ 3x + 4y = 960,4x − 3y = 960
E Nė vienos iš išvardytų21. Į apskritimą įbrėžto stačiojo trikampio statinių ilgiai yra 6 cm ir 8 cm. Kam lygus apskritimo
spindulio ilgis?A 5 cm B 6 cm C 8 cm D 10 cm E Nustatyti neįmanoma
22. BD yra trikampio ABC pusiaukampinė, AB = 6 cm, BC = 9 cm. Tada ADDC =
A 32 B 2
3 C 12 D 1 E Apskaičiuoti neįmanoma
DEM
O
11
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
kartojame tai, ko mokėmės 11 klasėje
23. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.
a) 3√12 · 3√18; b)(2
4√27) 4√3; c)√(
2 + √5)2 −
√(2 − √
5)2;
d) 125log5 3; e) log6 4 + log6 9; f)((1
7)−2
) 12 − 3 · (12
3)0 − 2−3;
g)(
0,(1))− 1
2 + 8 · (2−15) 1
3 ; h) 12−√
3+ 1
2+√3
; i) 10√10
− 1√10+3
.
24. a) Išreikškite laipsniais: π10 ; 7π
20 ; −4π3 ; −15
6π .b) Išreikškite radianais: 75◦; 240◦; −135◦; −270◦.
25. a) Duota: cos β = 513 , β ∈ (0◦; 90◦). Apskaičiuoti: sin β, tg β, ctg β, cos(2β).
b) Duota: tg α = 337 , α ∈ (
π; 3π2 ). Apskaičiuoti: sin α, cos α, ctg α, sin(2β).
26. Apskaičiuokite trikampio ABC:a) kraštinės AB ilgį, jei BC = 10 cm, ∠A = 30◦, ∠B = 105◦;b) kraštinės BC ilgį, jei AC = 2
√2 cm, AB = 5 cm, ∠A = 45◦.
27. Nubraižę funkcijos y = f (x) grafiko eskizą, nustatykite jos apibrėžimo ir reikšmių sritis, lyginumąir periodiškumą, reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus, mažiausią ir didžiausią reikšmes, kai:a) f (x) = x4 − 5; b) f (x) = − 3√x; c) f (x) = (1
3)x + 2;
d) f (x) = ∣∣ log2 x∣∣; e) f (x) = sin
(x + π
6); f) f (x) = tg x − 1.
28. Kokios yra stačiakampės koordinačių plokštumos vektoriaus −→AB koordinatės, jei:
a) −→AB = −5�i + 6 �j? b) −→
AB = 7�i? c) −→AB = −3 �j? d) −→
AB = 3 �j − 7�i?29. Duota: �m(−20; 15), �n(30; −45). Apskaičiuoti: a) �m + �n; b) 3 �m − 2�n.30. Apskaičiuokite �a · �b, kai:
a)∣∣�a∣∣ = 10,
∣∣�b∣∣ = 5√
2,(�a, �b) = 45◦; b) �a(
0; 2√
7), �b(
1; −3√
7).
31. Išspręskite lygtį.a)
√x + 10 = x − 2; b) x4 − 5x2 + 6 = 0; c) 271−x = 1
81 ;
d) 2 · 4x−1 − 5 · 2x−1 + 2 = 0; e) log3(x − 2) + log3(x − 4) = 1; f) lg2 x + 6 = 5 lg x;
g) |4x − 1| − 7 = 0; h) |2x − 6| = x − 1; i) lg x ·√
x2 − 4 = 0;
j) sin x = −1; k) cos x = 12 ; l) tg x = 0;
m) ctg(3x) = 1; n) sin(x + π
2) = 0; o) 2 + cos2 x = 2 sin x.
32. Nebraižydami grafikų, raskite koordinates taškų, kuriuose susikerta:a) apskritimas x2 + y2 = 64 ir tiesė x − y = 2;b) tiesė y − 2x = 5 ir parabolė y = 2x2 − 6x + 11.
33. Parašykite lygtį tiesės, einančios per taškus: a) A(−2; 3) ir B(3; −2); b) C(2; −3) ir D(1; 4).34. Apskritimo, kurio centras yra O, stygos AB ir CD kertasi taške M . Apskaičiuokite kampo ABD
dydį, jei ∠CAB = 40◦, o AB ⊥ CD.35. Į apskritimą įbrėžtas keturkampis ABCD. Apskaičiuokite:
a) ∠B ir ∠C, jei ∠A = 80◦, ∠D = 100◦;b) ∠A ir ∠ADB, jei ∠C = 120◦, o AD yra apskritimo skersmuo.
36. Stačiojo trikampio statinių ilgių suma lygi 7 cm, o įžambinės ilgis yra 5 cm. Apskaičiuokite į šįtrikampį įbrėžto apskritimo skersmens ilgį.
37. Apie kvadratą, kurio kraštinės ilgis yra 4 cm, apibrėžtas ir į jį įbrėžtas apskritimai. Apskaičiuokitežiedo tarp apskritimų plotą. Atsakymą parašykite su raide π .
DEM
O
12
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1skyrius
Fibonačio skaičių seka
Panagrinėkime begalinę skaičių seką (ji dažnai vadinama Fibonãčio skaičių sekà):
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... .
Pirmasis sekos narys lygus 1.Antrasis sekos narys lygus 1.Trečiasis sekos narys lygus pirmųjų dviejų narių sumai 2 = 1 + 1.Ketvirtasis sekos narys lygus prieš jį esančių dviejų narių (trečiojo ir antrojo) sumai 3 = 2 + 1.Penktasis sekos narys lygus prieš jį esančių dviejų narių (ketvirtojo ir trečiojo) sumai 5 = 3 + 2.Ir taip toliau.Šią skaičių seką galima nurodyti taip:
a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an (n ∈ N).
Panagrinėkime, kaip kinta dviejų gretimų šios sekos skaičių santykis an+1an
:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 ... .
– – – – –11
21
32
53
85
138
2113
3421
5534
8955
14489
233144= 1
= 2
= 1,5
= 1,666...
= 1,6
= 1,625
=1,615...
=1,619...
=1,617...
=1,618...
=1,617...
=1,618...
Įdomu tai, kad n reikšmei tolstant į +∞ (neapibrėžtai didėjant) santykis an+1an
artėja prie aukso pjūvioskaičiaus:
� = 1 + √5
2= 1,61803398... .
Beje, bet kurį Fibonačio skaičių an galima apskaičiuoti naudojantis formule
an = 1√5
((1 + √5
2
)n −(1 − √
52
)n)
.
Ar pavys bėgikas vėžlį?
Bėgikas iš taško A pradėjo vytis vėžlį, kai šis buvo taške B.
A B
Kai bėgikas atbėgo į tašką B, tai vėžlys jau buvo nuropojęs iki taško C.
B C
Kai bėgikas atsidūrė taške C, tai vėžlio ten jau nebebuvo –– jis buvo taške D.
C D
Išvada. Akivaizdu, kad bėgikas vėžlio niekada nepavys...
DEM
O
13
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.1. skaičių sekos 141.2. aritmetinė progresija 161.3. aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma 181.4. Geometrinė progresija 201.5. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma 221.6. nykstamoji geometrinė progresija ir jos suma 241.7. procentai ir progresijos 261.8. Dar daugiau uždavinių su progresijomis 28
Apibendriname 30Sprendžiame 32 Besidomintiems 34
paskalio trikampisprogresijų formulių įrodymai
Geometrijos uždaviniai. Kampai 36Įvairūs uždaviniai. lygtys 37testas 38pasitikriname 39 Kartojame tai, ko prireiks 2 skyriuje 40
Sekos 1skyrius
1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;+2 +2 +2 +2 +2
a1 a2 a3 a4 a5 a6
1, ... .2, , , , 32,4 8 16¥2 ¥2 ¥2 ¥2 ¥2
b1 b2 b3 b4 b5 b6DEM
O
14
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.1. Skaičių sekos1skyrius
Užduotis. Nagrinėkime nelyginių natūraliųjų skaičių seką (an):
1, 3, 5, ... .
Šią seką galima nusakyti ne tik nurodant pirmuosius jos narius, bet ir formule. Ja naudojantis apskai-čiuojamas bet kuris sekos narys an, žinant jo eilės numerį n:
an = 2 · n − 1.
Šią seką galima nusakyti ir naudojantis kitomis formulėmis, pavyzdžiui:
a1 = 1, an+1 = an + 2.
Susipažinkite su lentoje pateikta informacija ir atsakykite į klausimus.a) Ar seka (an) yra baigtinė, ar begalinė?b) Ar seka (an) yra didėjanti, ar mažėjanti, ar nėra nei didėjanti, nei mažėjanti?c) Kam lygus sekos (an): ketvirtasis narys a4? šimtasis narys a100? k-asis narys ak?DE
MO
15
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.1. Uždaviniai 1skyrius
38. Užrašykite pirmuosius dešimt didėjančios sekos (an) narių, kai ji yra:a) natūraliųjų skaičių kvadratų seka; b) skaičiaus 7 kartotinių seka;c) nelyginių natūraliųjų skaičių, kurie dalijasi iš 3, seka;d) natūraliųjų skaičių, kuriuos padalijus iš 5 gaunama liekana 2, seka.
39. Raskite pirmuosius penkis sekos narius, kai ji išreikšta n-ojo nario formule.a) an = 2n; b) bn = 1
n+1 ; c) cn = (−1)n · 8; d) dn = 3n − 2n+1; e) en = sin(π3 n
).
40. Parašykite pirmuosius šešis sekos narius, kai ji išreikšta rekurentiškai.a) a1 = 1, an+1 = an + 1; b) b1 = 1000, bn+1 = 0,1 · bn;c) c1 = −3, cn+1 = 9 − 2cn; d) d1 = 5, dn+1 = (−1)n · dn − 4;
e) e1 = e2 = 1, en+2 = en+1 + en; f) f1 = 32, f2 = 16, fn+2 = 12fn − fn+1.
41. Seka išreikšta n-ojo nario formule an = n2 + 2n − 1. Ar nurodytas skaičius yra šios sekos narys?Jei taip, tai užrašykite to nario numerį.a) 119; b) 120; c) 359.
42. Raskite, kiek yra sekos (xn) narių, tenkinančių nelygybę:a) xn � 20, kai xn = 3n − 10; b) xn > −20, kai xn = 5 − 2n; c) xn < 4, kai xn = 1
2n2 − 2.
43. Kiek teigiamų narių turi seka (yn), jei jos n-ojo nario formulė yra:a) yn = 10 − n
3 ? b) yn = 2,6 − 14n? c) yn = 91 − n2? d) yn = 12n − 27 − n2?
44. Užrašykite sekos n-ojo nario formulę.a) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; b) 4, 8, 12, 16, 20, ... ; c) 3, 2, 1, 0, −1, ... ; d) 1, 4, 9, 16, 25, ... .
45. Nustatykite, ar seka yra didėjanti, ar yra mažėjanti, ar nėra nei didėjanti, nei mažėjanti, kai:a) an = 3n − 5; b) bn = 4 − 3n; c) cn = 1
2n + 3; d) dn = 6 − 15n; e) en = (−1)n · 3n.
DEM
O
16
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.2. Aritmetinė progresija1skyrius
+d +d +d +d
a1 a a a a a2 3 – 1 1n n n, , , ..., , , , ...+ .
a a2 1= + d a an n= – 1 + d
a a3 2= + d
1, 3, 5, 9 ,..., 7 99, ... .
+2 +2 +2
a1 1, 2.= =d
1 užduotis. 1) Susipažinkite su viršuje pateiktu aritmetinės progresijos apibrėžimu ir užrašykite kokiąnors aritmetinę progresiją (an), kuri būtų: a) baigtinė ir didėjanti; b) begalinė ir mažėjanti.2) Užrašykite jos pirmąjį narį a1 ir skirtumą d .
2 užduotis. Aritmetinės progresijos n-ąjį narį an, žinant jos pirmąjį narį a1 ir skirtumą d , galimaapskaičiuoti naudojantis formule
an = a1 + (n − 1) · d.
Panagrinėkite, kaip galima „atrasti“ šią formulę.
Naudodamiesi aritmetinės progresijos apibrėžimu, užrašykime, kam lygūs nariai a2, a3, ... , an:
a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d,
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d,
. . .
an = an−1 + d = (a1 + (n − 2) · d
) + d = a1 + ((n − 2) + 1
) · d = a1 + (n − 1) · d.
3 užduotis. Seka (an) yra aritmetinė progresija:
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... ; b) 2, 4, 6, 8, ... .
1) Kam lygūs a1, d ir an? 2) Apskaičiuokite a8, a10, a20.
DEM
O
17
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.2. Uždaviniai 1skyrius
46. Ar užrašyta skaičių seka yra aritmetinė progresija? Jei taip, tai nurodykite jos skirtumą.a) 1, 12, 23, 34; b) 1, 4, 9, 16, 25; c) −8, −5, −2, 1, 4; d)
√2, 2, 2
√2, 4, 4
√2.
47. Užrašykite pirmuosius penkis aritmetinės progresijos (an) narius, kai:a) a1 = 10, d = 3; b) a1 = 1,6, d = −0,4; c) a1 = −4,3, d = −0,2; d) a1 = 1
3 , d = 23 .
48. Seka (yn) yra aritmetinė progresija. Raskite:a) y5, kai y1 = 20, d = 4; b) y11, kai y1 = 3,8, d = −3;c) yk−1, kai y1 = −4,5, d = −2; d) yk+2, kai y1 = 2,5, d = −1,5.
49. Raskite begalinės aritmetinės progresijos (an) skirtumą ir užrašykite n-ojo nario formulę, kai pir-mieji du jos nariai yra:a) 4, 11; b) −9, −4; c) −1, −8; d)
√3, 3
√3; e) sin π
6 , sin π2 .
50. Raskite aritmetinės progresijos (an) pirmąjį narį, kai:a) a10 = 30, d = 5; b) a45 = 25, d = −6; c) a20 = −6,2, d = −0,8.
51. Raskite aritmetinės progresijos (an) skirtumą, kai:a) a1 = 2,4, a4 = −0,3; b) a1 = 45, a26 = −5; c) a1 = −1, a26 = 1
26 .
52. Raskite aritmetinės progresijos (an) pirmąjį narį ir skirtumą, kai:a) a11 = −1, a16 = 2; b) a3 = 5,4, a10 = 3; c) a6 = −24, a21 = 12.
53. Raskite aritmetinės progresijos (an) nario an eilės numerį n, kai:a) a1 = 5, d = 4, an = 61; b) a1 = 10,2, d = 0,4, an = 29,4; c) a1 = −8, d = 2,8, an = 48.
54. Raskite aritmetinės progresijos (an):a) narį a7, jei a9 = 50, a90 = 131; b) narį a100, jei a5 = −20, a15 = 20.
55. Iš stoties traukinys išvažiavo 60 km/h greičiu. Toldamas nuo jos, traukinys kas minutę nuvažiuodavo80 m daugiau negu už prieš tai buvusiąją. Kiek metrų nuvažiavo traukinys per 20-ąją važiavimominutę?
56. Tarp skaičių 5 ir 15 įrašykite 4 skaičius, kuriesu duotaisiais sudarytų aritmetinę progresiją. 5, 15., , , ,
57. Stačiojo trikampio įžambinė lygi 30 cm, o jo kraštinių ilgiai sudaro aritmetinę progresiją. Raskitetrikampio statinių ilgius.
58. a) (2010 m. valstybinio matematikos brandos egzamino uždavinys.)Žinomi du aritmetinės progresijos nariai a10 = √
2 ir a19 = √3. Apskaičiuokite šios progresijos
narį a1.b) (2003 m. valstybinio matematikos brandos egzamino uždavinys.)
Įrodykite, kad skaičiai 1log3 2 , 1
log6 2 , 1log12 2 sudaro aritmetinę progresiją.
59. Įrodykite, kad skaičių seka a, a3 , −a
3 , −a su visais a ∈ R, a �= 0, yra aritmetinė progresija.
DEM
O
18
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s1.3. Aritmetinės progresijos
pirmųjų n narių suma1skyrius
1 užduotis. Aritmetinės progresijos (an) pirmųjų n narių sumą
Sn = a1 + · · · + an
galima apskaičiuoti naudojantis formule
Sn = a1 + an
2· n.
1) Panagrinėkite, kaip ji įrodoma.
2) Įrodykite, kad
Sn = 2a1 + (n − 1) · d
2· n.
2 užduotis. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos:
a) 1, 3, 5, 7, ... ; b) 2, 4, 6, 8, ...
pirmųjų n narių sumą, kai n = 4; n = 10; n = 100.
DEM
O
19
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.3. Uždaviniai 1skyrius
60. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (an) pirmųjų 50 narių sumą, kai:a) a1 = 2, a50 = 100; b) a1 = 20, a50 = −78; c) a1 = √
12, a50 = √27;
d) a1 = −15, d = −4; e) a1 = −10, d = 3; f) a1 = 18 , d = −3
4 .
61. Aritmetinės progresijos pirmieji du nariai yra:a) 7, 3; b) −15, −8; c) 3,5, 2,3; d) 0,6, −0,6; e) cos 2π
3 , cos 3π4 ; f) log3 4, log3 2.
Raskite progresijos skirtumą ir pirmųjų 12 narių sumą.62. Apskaičiuokite sumą, kurią sudaro iš eilės einantys aritmetinės progresijos nariai.
a) 2 + 6 + 10 + · · · + 198; b) 95 + 85 + 75 + · · · + (−155);
c) −2,8 + (−2,6) + (−2,4) + · · · + 1,2; d) 1 + 116 + 11
3 + · · · + 412 .
63. Raskite sumą natūraliųjų skaičių:a) ne didesnių už 120; b) nuo 10 iki 110 imtinai; c) 4 kartotinių, ne didesnių už 200;d) mažesnių už 100, kuriuos dalijant iš 7 gaunama liekana 5.
64. Raskite aritmetinės progresijos (an) pirmųjų 30 narių sumą, kai progresijos n-ojo nario formulėyra:a) an = 3n − 2; b) an = 12 − 3n; c) an = √
7 + 7n; d) an = 5√
5 − √5 n.
65. Dešimties centų vertės monetos sudėtos trikampiu taip, kad pirmojeeilėje yra 1 moneta, antrojoje –– 2 monetos, trečiojoje –– 3 monetosir t. t.Apskaičiuokite:a) kiek reikės monetų norint sudėti 20 eilių;b) kokia pinigų suma bus trikampyje, kuriame yra 20 eilių.
10
10 10
10 10 10
10 10 10 10
66. Baseine buvo 3000 � vandens. Per vamzdį kas minutę išteka 5 � vandens. Apskaičiuokite:a) kiek litrų vandens liks baseine po 10 minučių; po pusvalandžio;b) per kiek laiko iš baseino ištekės visas vanduo.
67. Aritmetinės progresijos (an) pirmųjų n narių sumą Sn galima apskaičiuoti naudojantis formuleSn = 4n2 − 3n.1) Raskite S5 ir S6. 2) Apskaičiuokite a6 ir a1.
DEM
O
20
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.4. Geometrinė progresija1skyrius
¥q ¥q ¥q ¥q
b1 b b b b b2 3 – 1 1n n n +, , , ..., , , , ... .
b b2 1= ◊ q b bn n= – 1 ◊ qb b3 2= ◊ q
1, , , ,2 256, ... .4 ..., 128
¥2 ¥2 ¥2
b1 1, 2.= =q
1 užduotis. 1) Susipažinkite su viršuje pateiktu geometrinės progresijos apibrėžimu ir užrašykite kokiąnors geometrinę progresiją (bn), kuri būtų: a) baigtinė ir mažėjanti; b) begalinė ir didėjanti.2) Užrašykite jos pirmąjį narį b1 ir vardiklį q.
2 užduotis. Geometrinės progresijos n-ąjį narį bn, žinant jos pirmąjį narį b1 ir vardiklį q, galimaapskaičiuoti naudojantis formule
bn = b1 · qn−1.
Panagrinėkite, kaip galima „atrasti“ šią formulę.
Naudodamiesi geometrinės progresijos apibrėžimu, užrašykime, kam lygūs nariai b2, b3, ... , bn:
b2 = b1 · q,
b3 = b2 · q = (b1 · q) · q = b1 · q2,
b4 = b3 · q = (b1 · q2) · q = b1 · q3,
. . .
bn = bn−1 · q = (b1 · qn−2) · q = b1 · qn−2 · q1 = b1 · qn−2+1 = b1 · qn−1.
3 užduotis. Seka (bn) yra geometrinė progresija:
a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... ; b) 2, 6, 18, 54, ... .
1) Kam lygūs b1, q ir bn? 2) Apskaičiuokite b8, b10, b20.
DEM
O
21
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.4. Uždaviniai 1skyrius
68. Ar užrašyta skaičių seka yra geometrinė progresija? Jei taip, tai nurodykite jos vardiklį.a) 3, 6, 12, 24; b) 0,1, 0,3, 0,5, 0,7; c) −4, 8, −16, 32; d)
√3, 3, 3
√3, 9.
69. Užrašykite pirmuosius penkis geometrinės progresijos (bn) narius, kai:a) b1 = 5, q = 3; b) b1 = −6, q = 2; c) b1 = 240, q = 0,1; d) b1 = 729, q = −1
3 .70. Seka (bn) yra geometrinė progresija. Raskite:
a) b5, kai b1 = 4, q = 4; b) b7, kai b1 = 19 , q = −3.
71. Raskite geometrinės progresijos (bn) vardiklį ir n-ąjį narį, kai pirmieji du progresijos nariai yra:a) 2, −4; b) −20, −10; c) 0,25, 0,5; d) −1, 2
3 ; e) 12 ,
√3
2 ; f) 3√3, 3√9.72. Raskite geometrinės progresijos (bn) pirmąjį narį, kai:
a) b5 = 48, q = 2; b) b6 = −10, q = 0,1; c) b5 = − 127 , q = −1
3 ; d) b7 = − 281 , q = 3.
73. Raskite geometrinės progresijos (bn) vardiklį, kai:a) b1 = 6, b6 = 192; b) b1 = −5, b4 = −135; c) b1 = 0,08, b6 = −8000;
d) b1 = −43 , b4 = 121,5; e) b1 = 4, b5 = 1
4 ; f) b3 = b5.
74. Raskite geometrinės progresijos (bn) pirmąjį narį ir vardiklį, kai:a) b4 = 81, b6 = 729; b) b5 = −6, b7 = −54; c) b6 = 1,25, b8 = 5; d) b2 = −1
4 , b6 = −64.75. Raskite geometrinės progresijos (bn) nario bn numerį n, kai:
a) b1 = 2, q = 12 , bn = 1
4 ; b) b1 = −7, q = 0,1, bn = −0,007;
c) b1 = 200, q = −0,5, bn = −6,25; d) b1 = −18 , q = −4, bn = 128.
76. Į lygiakraštį trikampį ABC, kurio kraštinė lygi 24 cm,įbrėžtas kitas trikampis A1B1C1, kurio viršūnės yrapirmojo trikampio kraštinių vidurio taškai. Į trikampįA1B1C1 tokiu pat būdu įbrėžtas trikampis A2B2C2,į trikampį A2B2C2 –– trikampis A3B3C3. Raskite tri-kampio A3B3C3 (paveikslėlyje jis yra nuspalvintas)perimetrą.
A
B
C
A1 B1
C1
C2
A2
B2
77. Tarp skaičių 3 ir 48 įrašykite tris skaičius, kurie su duotaisiais sudarytų geometrinę progresiją.
78. Įrodykite, kad skaičių seka 3a2 , −a, 2a
3 , čia a ∈ R, a �= 0, yra geometrinė progresija.79. Bakterijų skaičius per 5 minutes padidėja trigubai. Kiek bakterijų bus inde po pusvalandžio, jei iš
pradžių jame buvo 1000 bakterijų?
DEM
O
22
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s1.5. Geometrinės progresijos
pirmųjų n narių suma1skyrius
1 užduotis. Geometrinės progresijos (bn) pirmųjų n narių sumą
Sn = b1 + · · · + bn
galima apskaičiuoti naudojantis formule
Sn = b1 − bn · q
1 − q.
1) Panagrinėkite, kaip ji įrodoma.
Įrodymas. Lygybę
Sn = b1 + b2 + · · · + bn−1 + bn (1)
padauginkime iš progresijos vardiklio q:
Sn · q = b1 · q + b2 · q + · · · + bn−1 · q + bn · q, ⇒Sn · q = b2 + b3 + · · · + bn + bn · q. (2)
Iš (1) lygybės atimkime (2) lygybę:
Sn − Sn · q = b1 − bn · q.
Išreikškime Sn:
Sn · (1 − q) = b1 − bn · q, ⇒ Sn = b1 − bn · q1 − q
.
2) Įrodykite, kad Sn = b1·(1−qn)1−q
.
2 užduotis. Apskaičiuokite geometrinės progresijos
1, 3, 9, 27, ...
pirmųjų n narių sumą, kai n = 4; n = 10.
DEM
O
23
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.5. Uždaviniai 1skyrius
80. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) pirmųjų penkių narių sumą, kai:a) b1 = 2, q = 3; b) b1 = 8, q = 1
2 ; c) b1 = −400, q = 14 ; d) b1 = −1, q = −0,1.
81. Geometrinės progresijos (bn) pirmieji du nariai yra:a) 2, −4; b) 1, 1
3 ; c) −15 , −1; d) −64, 16; e) 0,2, 0,04; f) 104, 3 · 104.
Raskite progresijos vardiklį ir pirmųjų šešių narių sumą.
82. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.a) 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35; b) 1 − 4 + 42 − 43 + 44 − 45;
c) 1 + 0,2 + 0,22 + 0,23 + 0,24 + 0,25; d) 1 − 23 + (2
3)2 − (2
3)3 + (2
3)4 − (2
3)5.
83. Raskite geometrinės progresijos pirmųjų septynių narių sumą.a) 1, 3, 9, ...; b) 16, −8, 4, ...; c) 1
8 , 12 , 2, ... ; d) 1,
√2, 2, ... ; e) log2 3, log2 9, log2 81, ... .
84. Apskaičiuokite geometrinės progresijos pirmąjį narį, kai:a) q = 2, S4 = 189; b) q = −3, S4 = 61,5; c) q = 1
2 , S5 = 38,75; d) q = −12 , S5 = 44.
85. Raskite geometrinės progresijos (bn) pirmųjų n narių sumą, kai:a) bn = 2n−3, n = 4; b) bn = 3 ·4n, n = 5; c) bn = (−3)n−2, n = 6; d) bn = 2 ·5n−3, n = 4.
86. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) pirmųjų keturių narių sumą, kai:a) b2 = 6, b5 = 17
9; b) b3 = 27, b6 = 9118.
87. a) Didėjančios geometrinės progresijos pirmasis narys lygus 4. Ketvirtojo ir septintojo narių sumalygi 3024. Apskaičiuokite pirmųjų šešių narių sumą.
b) Didėjančios geometrinės progresijos pirmasis narys lygus 2. Trečiojo ir penktojo narių sumalygi 180. Apskaičiuokite pirmųjų penkių narių sumą.
88. Vienas ant kito sudėti šeši kubeliai. Apatinio kubelio briau-nos ilgis lygus 77,76 cm, o kiekvieno virš jo esančio kubeliobriaunos ilgis sudaro 5
6 žemiau esančio kubelio briaunos ilgio.Apskaičiuokite šio statinio:a) aukštį;b) tūrį.
89. Geometrinės progresijos (bn) pirmųjų n narių sumą Sn galima apskaičiuoti naudojantis formuleSn = 5 · (
2n+1 − 2).
a) Raskite b1, b2 ir b3. b) Apskaičiuokite b3 + b4 + b5 + b6 + b7.
90. Mokiniai dalyvavo akcijoje „Saugokime gamtą“. Organizatoriai paruošė reklamines skrajutes irpirmajam atėjusiam pagalbininkui davė 1200 skrajučių, o kiekvienam kitam –– 2 kartus mažiaunegu atėjusiam prieš jį. Kiek skrajučių gavo pagalbininkai?
DEM
O
24
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s1.6. Nykstamoji geometrinė
progresija ir jos suma1skyrius
–, –,
– – –
–, –, ... ;11
12
12
12
12
14
18
¥ ¥ ¥
–8, –2,
– – –
––, – , ... ;–
14
14
14
12
18
¥ ¥ ¥
3, –1,
–– –– ––
–, – , ... .–
13
13
13
13
19
¥ ¥ ¥
Nagrinėkime nykstamąją geometrinę progresiją (bn), kurios b1 = 1, q = 12 :
1,12,
14,
18, ... .
1) Akivaizdu, kad sekos (bn) nariai bn = 12n−1 , didėjant n reikšmėms, mažėja artėdami prie 0, t. y.
1 >12
>14
>18
> · · · > 0.
2) Nagrinėkime sumą 1 + 12 + 1
4 + 18 + · · · . Šią sumą pavaizduokime geometriškai. Atkarpas, kurių
ilgiai yra 1, 12 , 1
4 , 18 , ... , atidėkime skaičių tiesėje:
1
1 1 1+ + +
+ +
+
– – –
– –
–
12
12
34
78
–12
–14
–18
12
12
14
14
18
1+
+
+
+
+
–
–
–
—
12
14
18
116
...
. . .
0 1
=
=
=
=1–
1–
1–
2
DEM
O
25
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.6. Uždaviniai 1skyrius
91. Raskite begalinės geometrinės progresijos vardiklį ir nustatykite, ar ji yra nykstamoji.a) 8, 2, 0,5, 0,125, ...; b) 0,01, −0,1, 1, −10, ...; c) 25, 5, 1, 1
5 , ...; d) 6, −4, 223 , −17
9, ... .
92. Parašykite pirmuosius keturis nykstamosios geometrinės progresijos (bn) narius, kai:a) b1 = 16, q = 1
2 ; b) b1 = −81, q = 13 ; c) b1 = 100, q = −0,1; d) b1 = −15, q = −2
5 .
93. Raskite nykstamosios geometrinės progresijos vardiklį ir sumą.a) 1, 0,1, 0,01; ...; b) −1
3 , 19 , − 1
27 , ...; c) 128, 64, 32, ...; d) −14 , 1
8 , − 116 , ... .
94. Raskite nykstamosios geometrinės progresijos (bn) pirmąjį narį ir vardiklį, kai:a) S = 25, b2 = 4; b) S = 16, b2 = −5; c) S = 12, b2 = 22
3; d) S = −14,4, b2 = 16.
95. Raskite sumą, kurią sudaro nykstamosios geometrinės progresijos nariai:a) 0,6 + 0,06 + 0,006 + · · ·; b) 0,2 + 0,02 + 0,002 + · · ·;c) 0,11 + 0,0011 + 0,000011 + · · ·; d) 0,75 + 0,0075 + 0,000075 + · · ·;e) 1 + 1
4 + 116 + · · ·; f) 2
3 + 12 + 3
8 + · · ·;g) 1 + (−1
3) + 1
9 + (− 127
) + · · ·; h) 2√
2 + 2 + √2 + · · ·.
96. Išspręskite lygtį.a) 1
8x2 = 1 + 12 + 1
4 + · · ·; b)(21
4)x = 1 + 1
3 + 19 + · · ·.
97. Begalinę dešimtainę periodinę trupmeną išreikškite paprastąja trupmena, naudodamiesi nykstamo-sios geometrinės progresijos sumos formule.a) 0,(1); b) 0,(9); c) 1,(7); d) 0,(15); e) 3,2(21); f) 4,3(4).
98. Lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis yra 16 cm. Šio trikampio kraštinių vidurio taškai yra antrojotrikampio viršūnės, o pastarojo kraštinių vidurio taškai yra trečiojo trikampio viršūnės ir taip begalo. Raskite šių trikampių:a) perimetrų sumą; b) plotų sumą.
99. Pavaizduoto pirmojo iš kairės stačiakampio plotas lygus 1. Visų stačiakampiųpagrindai yra vienodi. Kiekvieno stačiakampio, pradedant antruoju, aukštisyra trečdaliu mažesnis už prieš jį iš kairės esančio stačiakampio aukštį.1) Kokį plotą užima pirmieji dešimt stačiakampių?2) Ar tiesa, kad pirmieji du stačiakampiai užima didesnį plotą negu penki
kiti? Atsakymą pagrįskite.3) Kokį plotą užima pavaizduota begalinė stačiakampių eilė?
. . .
DEM
O
26
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.7. Procentai ir progresijos1skyrius
1 užduotis. Vytautas į banką padėjo 4000 Lt. Bankas moka 2 % paprastųjų metinių palūkanų.1) Kiek pinigų bus Vytauto sąskaitoje po: 1 metų? 2 metų? 3 metų? 4 metų? n metų?
Atsakymą užrašykite skaičių seka.2) Ar ši seka yra aritmetinė progresija? Jei taip, tai kam lygus progresijos skirtumas ir n-asis narys?
Pradin
.
ė
pinigų
suma
Pinigų suma po
metų, t. y. antrųjų
metų pradžioje
1
.
Pinigų suma po
2 metų, t. y. trečiųjų
metų pradžioje.
3000 Lt 3090 Lt 3180 Lt+ 90 + 90 + 90 . . .
. . .S0 S1 S2
2 užduotis. Jūratė į banką padėjo 4000 Lt. Bankas moka 2 % sudėtinių metinių palūkanų.1) Kiek pinigų bus Jūratės sąskaitoje po: 1 metų? 2 metų? 3 metų? 4 metų? n metų?
Atsakymą užrašykite skaičių seka.2) Ar ši seka yra geometrinė progresija? Jei taip, tai kam lygus progresijos vardiklis ir n-asis narys?
3000 Lt 3090 Lt 3182,7 Lt¥ 1,03 ¥ 1,03 ¥ 1,03
. . .
. . .S0 S1 S2
Pradin
.
ė
pinigų
suma
Pinigų suma po
metų, t. y. antrųjų
metų pradžioje
1
.
Pinigų suma po
2 metų, t. y. trečiųjų
metų pradžioje.
DEM
O
27
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.7. Uždaviniai 1skyrius
100. Į banką, kuris moka 3 % paprastųjų metinių palūkanų, Elzė padėjo 5200 Lt. Kiek pinigų bus Elzėssąskaitoje po 4 metų? Apskaičiuokite naudodamiesi:1) aritmetinės progresijos n-ojo nario formule;2) paprastųjų procentų formule.
101. Į banką, kuris moka 3 % sudėtinių metinių palūkanų, Aldas padėjo 5200 Lt. Kiek pinigų bus Aldosąskaitoje po 4 metų? Apskaičiuokite naudodamiesi:1) geometrinės progresijos n-ojo nario formule;2) sudėtinių procentų formule.
102. Į sandėlį mėnesio pradžioje buvo atvežta 4000 kg bulvių. Kas mėnesį supūva 2 % bulvių. Ap-skaičiuokite, kiek kilogramų nesupuvusių bulvių bus sandėlyje po 4 mėnesių, jei supuvusių bulviųprocentai skaičiuojami kiekvieno mėnesio pabaigoje:a) nuo pradinio kiekio; b) nuo likusių nesupuvusių bulvių.
103. Justas pirmadienį nubėgo 1500 m. Kiekvieną kitą savaitės dieną jis nubėgdavo 10 % didesnį atstumąnegu pirmadienį. Apskaičiuokite, kiek metrų nubėgo Justas:a) sekmadienį; b) per savaitę.Atsakymą pateikite vieno metro tikslumu.
104. Miglė pirmadienį nubėgo 1500 m. Kiekvieną kitą savaitės dieną ji nubėgdavo 10 % didesnį atstumąnegu prieš tai buvusiąją. Apskaičiuokite, kiek metrų nubėgo Miglė:a) sekmadienį; b) per savaitę.Atsakymą pateikite vieno metro tikslumu.
105. Staklės pirktos už 2500 eurų. Kasmet jų vertė sumažėja 15 % pradinės vertės. Kokia bus stakliųvertė po:a) 1 metų? b) 3 metų? c) 6 metų?
106. Staklės pirktos už 2500 eurų. Kasmet jų vertė sumažėja 15 % praėjusių metų vertės. Kokia busstaklių vertė po:a) 1 metų? b) 3 metų? c) 6 metų?
107. Medžių skaičius miške kasmet vis padidėdavo:a) 12 % pradinio medžių skaičiaus;b) 12 % prieš tuos metus buvusio medžių skaičiaus.Raskite, kiek medžių buvo miške iš pradžių, jei po 5 metų jų skaičius siekė 3200.Atsakymą pateikite vieneto tikslumu.
108. Jaunam specialistui per pirmus jo darbo metus pažadėtas 14 000 Lt atlyginimas, o kiekvienais kitaismetais –– 10 % didesnis negu prieš tai buvusiais. Kiek pinigų turėtų uždirbti specialistas per pirmus6 darbo metus?
109. Sausio mėnesį bendrovė iš naftos telkinio išgavo 250 000 barelių naftos. Vasario mėnesį ji išgavo95 % sausio mėnesį išgautos naftos kiekio, kovo mėnesį –– 95 % vasario mėnesį išgautos naftoskiekio. Įrodykite, kad išgaunamos naftos kiekį mažindama kiekvieną mėnesį 5 % bendrovė ištelkinio neišgaus daugiau kaip 5 mln. barelių naftos.
110. Per kiek metų indėlis banke padidėtų keturgubai, jei bankas mokėtų 6,25 % metinių sudėtiniųpalūkanų?
111. (1880 m. Vilniaus švietimo apygardos gimnazijos baigiamojo egzamino uždavinys. Sąlyga nereda-guota.)Dvidešimt metų žmogus kiekvienų metų pradžioje padėdavo po 900 rub. į banką, kuris moka 4,5 %metinių (sudėtinių) palūkanų. Kokią pastovią sumą žmogus gali (praėjus tiems 20 metų) kiekvienųmetų pradžioje pasiimti iš banko, kad po 15 metų sąskaita banke būtų uždaryta?
DEM
O
28
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s1.8. Dar daugiau uždavinių
su progresijomis1skyrius
1 užduotis. Išnagrinėkite uždavinio sprendimą.Sąlyga. Iš sugedusio vandens čiaupo per pirmą valandą nuo gedimo pradžios prilašėjo 200 mililitrųvandens, o kiekvieną kitą valandą –– 100 mililitrų vandens daugiau nei per ankstesniąją.1) Kiek mililitrų vandens prilašės per penktą valandą nuo gedimo pradžios?2) Per kiek valandų nuo gedimo pradžios prilašės 6500 m� vandens?Sprendimas. Kiekvieną valandą prilaša 100 mililitrų vandens daugiau nei per ankstesniąją, todėl kiekvienąvalandą prilašėjusio vandens kiekiai sudaro aritmetinę progresiją, kurios: a1 = 200 m�, o skirtumasd = 100 m�.1) Per penktą valandą nuo gedimo pradžios prilašėjusio vandens kiekis lygus šios progresijos penktajam
nariui. Apskaičiuojame jį:a5 = a1 + 4d = 200 + 4 · 100 = 600 (m�).
2) Valandų skaičių, per kurį nuo gedimo pradžios prilašės 6500 m� vandens, pažymėkime n. Šis vandenskiekis lygus aritmetinės progresijos, kurios a1 = 200, d = 100, pirmųjų n narių sumai, t. y.Sn = 6500.Naudodamiesi aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formule Sn = 2a1+d·(n−1)
2 ·n, sudaromeir išsprendžiame lygtį:2·200+100·(n−1)
2 · n = 6500, ⇒ 50n2 + 150n − 6500 = 0, ⇒ n1 = −13, n2 = 10.
Reikšmė n = −13 netinka pagal uždavinio prasmę, o n = 10 –– tinka.Atsakymas. 1) 600 m�; 2) per 10 valandų.
2 užduotis. Pabaikite spręsti uždavinį.Sąlyga. Trikampio kraštinių, kurių trumpiausioji lygi 14 cm, ilgiai sudaro aritmetinę progresiją. Kampoprieš šią kraštinę kosinusas lygus 0,6. Apskaičiuokite kitų dviejų kraštinių ilgius.Sprendimas. Trikampio kraštinių ilgiai a1, a2 ir a3 sudaro aritmetinę progresiją, todėl:a1 = 14, a2 = 14 + d , a3 = 14 + 2d .Naudodamiesi kosinusų teorema (a1)
2 = (a2)2 + (a3)2 − 2a2a3 cos γ , sudarome lygtį:
142 = (14 + d)2 + (14 + 2d)2 − 2 · (14 + d) · (14 + 2d) · 0,6.a2 a3
a1 14 cm=
γ
3 užduotis. Pabaikite spręsti uždavinį.Sąlyga. Punktai A, B, C ir D išsidėstę vienoje tiesėje nurodyta tvarka. Pėstysis išėjo iš punkto A įpunktą D. Pasiekęs punktą D, jis pasuko atgal ir atvyko į punktą B, visai kelionei sugaišęs 5 valandas.Atstumą tarp punktų A ir C pėstysis įveikė per 3 valandas. Žinoma, kad atstumai tarp A ir B, B ir C, C
ir D nurodyta tvarka sudaro geometrinę progresiją. Pėsčiojo greitis lygus 5 km/h. Raskite atstumą tarppunktų B ir C.Sprendimas. Atstumai tarp punktų A ir B, B ir C, C ir D sudarogeometrinę progresiją: AB = b1, BC = b1 · q, CD = b1 · q2.Atstumą AC = AB + BC pėstysis įveikė per t1 = 3 valandas, todėlgauname lygtį
A B C D
b1 b1q b1q2
b1 + b1q = 5 · 3.
Visą kelią AB + BC + CD + DC + CB pėstysis įveikė per t2 = 5 valandas, todėl gauname lygtį:
b1 + b1q + b1q2 + b1q
2 + b1q = 5 · 5.
Uždavinio atsakymą randame išsprendę gautųjų dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą:{
b1 + b1q = 15,
b1 + 2b1q + 2b1q2 = 25.
DEM
O
29
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1.8. Uždaviniai 1skyrius
112. Mokinys paėmė iš bibliotekos 858 puslapių knygą. Pirmą dieną jis perskaitė 30 puslapių, o vėliaukasdien vis 6 puslapiais daugiau negu praėjusiąją.1) Kiek puslapių mokinys perskaitė devintą dieną?2) Kiek puslapių perskaitė per 9 dienas?3) Per kiek dienų mokinys perskaitė visą knygą?
113. (2010 m. valstybinio matematikos brandos egzamino uždavinys.)Agnė treniruojasi bėgimo varžyboms. Per pirmą treniruotę ji nubėgo 1 km, o per kiekvieną kitątreniruotę –– 200 metrų daugiau negu prieš tai buvusiąją.1) Per kelintą treniruotę ji nubėgo 5 km?2) Per kiek treniruočių Agnė iš viso nubėgs 872,2 km?
114. Stačiojo trikampio trumpiausioji kraštinė lygi 15 cm, o visų trijų kraštinių ilgiai sudaro aritmetinęprogresiją. Apskaičiuokite trikampio perimetrą.
115. Trikampio ilgiausioji kraštinė lygi 14 cm, o didžiausias kampas –– 120◦. Apskaičiuokite kitų dviejųtrikampio kraštinių ilgius, jeigu visų trijų kraštinių ilgiai sudaro aritmetinę progresiją.
116. Daugiakampio perimetras lygus 158 cm, o jo kraštinių ilgiai sudaro aritmetinę progresiją, kuriosskirtumas yra 3 cm. Ilgiausioji daugiakampio kraštinė lygi 44 cm. Kiek kraštinių turi šis daugia-kampis?
117. Kepinių parduotuvė gruodžio mėnesį pradėjo prekiauti nauju tortu „Riešutėlis“. Per 28 darbodienas ji planavo parduoti 4000 tortų. Pirmą dieną pardavė 105 tortus. Kiekvieną kitą darbodieną parduodavo 10 tortų daugiau negu prieš tai buvusiąją, todėl 4000 tortų pardavė per mažesnįnatūralųjį dienų skaičių, negu planavo. Vėlesnėmis dienomis parduodavo 13 tortų mažiau neguplano įvykdymo dieną. Kiek procentų buvo viršytas tortų pardavimo planas?
118. Triženklio natūraliojo skaičiaus skaitmenys sudaro geometrinę progresiją, kurios vardiklis lygus 12 .
Raskite šį skaičių, jeigu jo skaitmenų suma lygi 7.119. Atstumai tarp punktų A ir B, B ir C, C ir D nurodyta tvarka sudaro mažėjančią geometrinę
progresiją. Atstumą tarp punktų A ir B dviratininkas įveikia 10 km/h greičiu, tarp B ir C ––8 km/h greičiu, o tarp C ir D –– 6 km/h greičiu. Įveikęs visą maršrutą AD = AB + BC + CD,dviratininkas sugaišo 12 h 15 min. Apskaičiuokite atstumą tarp punktų A ir B, jeigu atstumą tarpB ir C dviratininkas įveikė per 3 h 45 min.
120. Simas, Jolanta ir Robertas pirko sąsiuvinius ir parkerius. Vienas sąsiuvinis kainavo 3 Lt. Simasnusipirko 4 sąsiuvinius ir 2 parkerius, Jolanta –– 6 sąsiuvinius ir vieną parkerį, o Robertas –– 3sąsiuvinius ir vieną parkerį. Pinigų sumos, kurias išleido Simas, Jolanta ir Robertas, yra atitinkamaipirmas, antras ir trečias geometrinės progresijos nariai. Apskaičiuokite, kiek kainavo parkeris.
121. Iš dviejų vietovių, tarp kurių yra 266 km, tuo pačiu metu vienas priešais kitą išvažiavo du dvi-ratininkai. Vienas dviratininkas pirmą valandą nuvažiavo 30 km, o kiekvieną kitą valandą ––2 kmmažiau negu praėjusiąją. Kitas dviratininkas pirmą valandą nuvažiavo 35 km, o kiekvieną kitąvalandą –– 3 km daugiau negu praėjusiąją. Po kiek laiko jie susitiko?
122. Du dviratininkai, tarp kurių atstumas 15 km, tuo pačiu metu pradėjo važiuoti tiesiu keliu į vienąpusę. Pirmas dviratininkas per valandą nuvažiuoja 20 km, o kiekvieną kitą valandą –– 2 km daugiau,negu praėjusią. Antrasis dviratininkas per valandą nuvažiuoja 24 km, o kiekvieną kitą valandą ––3 km daugiau negu praėjusiąją. Po kelių valandų antras dviratininkas pavys pirmąjį?
123. Per pirmąsias tris valandas dviratininkas nuvažiavo 42 km, o per ketvirtą valandą –– 3 km mažiaunegu per pirmąją. Per kiek laiko dviratininkas nuvažiuos 75 km, jeigu kiekvieną kitą valandą,pradedant antrąja, jis nuvažiuoja po tiek pat kilometrų mažiau negu per ankstesniąją?
124. Spausdinamos knygos keliuose iš eilės einančiuose nelyginiuose puslapiuose įsivėlė klaidos. Šiųpuslapių numerių suma lygi 111. Kuriuose puslapiuose įsivėlė klaidos?
125. (2005 m. valstybinio matematikos brandos egzamino uždavinys.)Vienoje gatvės pusėje esančių namų (jų daugiau negu vienas) numeriai yra vienas po kito einantyslyginiai skaičiai, kurių suma lygi 114. Kiek yra šių namų ir kokie jų numeriai?
DEM
O
30
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1skyrius
Apibendriname
SekaEilė skaičių a1, a2, a3, ..., an, ..., kurių kiekvienas turisavo eilės numerį n (n ∈ N), vadinama skaičių sekà.Seka a1, a2, ..., an, ... žymima (an).
3, 6, 9, 12, ... –– skaičiaus 3 kartotinių seka.
Skaičių seka, kuri turi:• baigtinį skaičių narių, vadinama baigtinè sekà;• begalinį skaičių narių, vadinama begalinè sekà.Skaičių seka, kurios kiekvienas narys yra:• didesnis už prieš jį esantį, vadinama didėjančiąja sekà;• mažesnis už prieš jį esantį, vadinama mažėjančiąja sekà.
5, 7, 8, 6 –– baigtinė seka;2, 1, 0, ... –– begalinė seka.
5, 6, 7, 8 –– didėjanti seka;4, 3, 2 –– mažėjanti seka.
Formulė, išreiškianti sekos (an) narį an jo eilės nume-riu n, vadinama sekõs n-ojo nãrio fòrmule.
an = 3n + 2:a1 = 3 · 1 + 2 = 5,a2 = 3 · 2 + 2 = 8,. . .
a11 = 3 · 11 + 2 = 35,ir t. t.
Kai skaičių seka yra nusakoma pirmaisiais jos nariaisir formule, kuri bet kurį kitą narį išreiškia prieš jį esan-čiais nariais (ar vienu nariu), tai sakoma, kad seka yraapibrėžta rekureñtiškai.
a1 = 5, an+1 = an + 3:a1 = 5,a2 = 5 + 3 = 8,a3 = 8 + 3 = 11,ir t. t.
Aritmetinė progresijaSkaičių seka (an), kurios kiekvienas narys, pradedantantruoju, lygus prieš jį esančiam nariui, sudėtam su tuopačiu skaičiumi d , vadinama aritmètine progrèsija. 1, 6, 11, 16, 21, ... –– aritmetinė progresija:Skaičius d vadinamas aritmètinės progrèsijos skirtumu:
d = an+1 − an.
a1 = 1, a2 = 6, a3 = 11, ... ;a2 − a1 = a3 − a2 = · · · = an+1 − an =
= d = 5;
Aritmetinės progresijos (an) n-ąjį narį an galima ap-skaičiuoti naudojantis formule
an = a1 + (n − 1) · d.
Aritmetinės progresijos (an) vidurinio nario savybė:
an = an−1 + an+12
= an−k + an+k
2.
a7 = a1 + 6d = 1 + 6 · 5 = 31;an = 1 + (n − 1) · 5 = 5n − 4;
a3 = a2 + a42
= a1 + a52
,
11 = 6 + 162
= 1 + 212
;
Aritmetinės progresijos (an) pirmųjų n narių sumą
Sn = a1 + · · · + an
galima apskaičiuoti naudojantis formulėmis:
Sn = a1 + an
2· n,
Sn = 2a1 + (n − 1) · d
2· n.
S5 = 1 + 6 + 11 + 16 + 21 = 55,
S5 = 1 + 212
· 5 = 55,
S5 = 2 · 1 + (5 − 1) · 52
· 5 = 55.
DEM
O
31
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
1skyrius
Apibendriname
Geometrinė progresijaSkaičių seka (bn), kurios pirmasis narys nelygus nuliui, okiekvienas kitas narys, pradedant antruoju, lygus prieš jįesančiam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus q �= 0,vadinama geomètrine progrèsija. 2, 10, 50, 250, ... –– geometrinė progresija:
Skaičius q vadinamas geomètrinės progrèsijos vardikliù:
q = bn+1bn
.
b1 = 2, b2 = 10, b3 = 50, b4 = 250, ... ;b2b1
= b3b2
= b4b3
= . . . = bn+1bn
== q = 5;
Geometrinės progresijos (bn) n-ąjį narį galima apskai-čiuoti naudojantis formule
bn = b1 · qn−1.
b7 = b1 · q6 = 2 · 56 = 31 250;bn = 2 · 5n−1;
Geometrinės progresijos (bn) vidurinio nario savybė:
b2n = bn−1 · bn+1 = bn−k · bn+k.
b23 = b2 · b4 = b1 · b5;
502 = 10 · 250 = 2 · 1250;Geometrinės progresijos (bn) pirmųjų n narių sumą
Sn = b1 + · · · + bn
galima apskaičiuoti naudojantis formulėmis:
Sn = b1 − bn · q
1 − q,
Sn = b1 · (1 − qn)
1 − q, čia q �= 1.
S7 = 2 + 10 + 50 + · · · + 31 250 == 39 062,
S7 = b1−b7·q1−q
= 2−31250·51−5 = 39 062,
S7 = b1·(1−q7
)1−q
= 2·(1−57
)1−5 = 39 062.
Nykstamoji geometrinė progresijaBegalinė geometrinė progresija, kurios vardiklis |q| < 1(q �= 0), vadinama nykstamąja geomètrine progrèsija.
2, 1, 12 , 1
4 , ... –– nykstamoji geometrinėprogresija:b1 = 2, q = 1
2 ;Skaičius
S = b11 − q
vadinamas nykstamõsios geomètrinės progrèsijos, kuriospirmasis narys yra b1, o vardiklis lygus q, sumà.
S = 2 + 1 + 12
+ 14
+ · · · = 21 − 1
2= 4.
Progresijų ryšys su paprastaisiais ir sudėtiniais procentais
Jei dydžio A reikšmė n kartų padidėja (sumažėja) po p procentų, kiekvieną kartą procentus skaičiuojantnuo:• pradinės dydžio A reikšmės A0, tai seka A0, A1, ..., An yra aritmetinė progresija, kurios
An = A0 · (1 ± p
100 · n);
• prieš tai buvusios dydžio A reikšmės An−1, tai seka A0, A1, ..., An yra geometrinė progresija, kuriosAn = A0 · (
1 ± p100
)n.
DEM
O
32
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Sprendžiame1skyrius
126. Raskite pirmuosius šešis sekos narius, kai jos n-ojo nario formulė yra:
a) an = 2n+110−n2 ; b) bn = (−1)n+1(n+1)
2n; c) cn = 2n + (−2)n; d) dn = 2n2 + 22n.
127. Parašykite pirmuosius šešis sekos (an) narius, kai ji išreikšta rekurentiškai.a) a1 = 3, an+1 = 7an + 3; b) a1 = 4, an+1 = 3an − 2; c) a1 = 0,3, a2 = 1,5, an+2 = 10an
an+1.
128. Užrašykite sekos n-ojo nario formulę.a) 0, −2, 0, −2, 0, ... ; b) 1,
√2, 2, 2
√2, 4, ... ; c) 1
2 , 34 , 7
8 , 1516 , 31
32 , ... ; d) 12 , 2
3 , 34 , 4
5 , ... .
129. Raskite, kiek yra sekos (xn) narių, su kuriais teisinga yra nelygybė:a) xn < 101, kai xn = 0,5n+ 90; b) xn > −15, kai xn = 7 − 1
3n; c) xn � 16, kai xn = n2 − 9.
130. Nustatykite, ar seka yra didėjanti, ar mažėjanti, ar nėra nei didėjanti, nei mažėjanti.a) an = 3n2 + 4n; b) bn = 4n+3
2n−1 ; c) cn = n2 − 21n + 90; d) dn = nn2+1 .
131. Raskite sekos (an) didžiausiąjį narį, o sekos (bn) mažiausiąjį narį, kai:a) an = 10 + 9n − 2n2, bn = n2 − 17n + 21; b) an = 1−2n
2n, bn = (2 − n)4 − 3.
132. Pirmasis aritmetinės progresijos (an) narys lygus 6,4, o skirtumas lygus −0,4. Kurie progresijosnariai tenkina sąlygą:a) an � 0? b) an < 0? c) an > 2? d) −4 < an � 1?
133. Raskite aritmetinės progresijos (an) pirmąjį narį a1, skirtumą d ir n-ąjį narį an, kai:
a){
a6 + a8 = 82,a5 − a3 = 12; b)
{a7 + a4 = 58,a5 + a10 = 74; c)
{a9 + a3 = 76,a5 + a8 = 82; d)
{a2 + a5 − a3 = 10,a1 + a6 = 17.
134. Stačiojo trikampio plotas lygus 150 cm2. Raskite trikampio kraštinių ilgius, jei jie sudaro aritmetinęprogresiją.
135. Įrodykite aritmetinės progresijos narių savybes.1 savybė. Bet kuris aritmetinės progresijos narys (išskyrus pirmąjį ir paskutinį) yra jo gretimųnarių aritmetinis vidurkis, t. y. an = an−1+an+1
2 .2 savybė. Baigtinės aritmetinės progresijos dviejų narių, vienodai nutolusių nuo kraštinių narių(pirmojo ir paskutinio), suma lygi kraštinių narių sumai, t. y. a1+k + an−k = a1 + an.
136. Su kuriomis x reikšmėmis nurodyta trijų skaičių seka yra aritmetinė progresija?a) 40, x, 4x; b) 6x, x, 36; c) 2x, x2, 24; d) 2,
√x − 2, 4; e) lg x, lg(2 + x), lg(2x).
137. Seka (an) yra aritmetinė progresija. Raskite:a) a1 ir Sn, kai an = 2,4, n = 12, d = −0,4; b) d ir n, kai a1 = −0,5, an = −29,5, Sn = −450;c) n ir an, kai a1 = −3,5, d = 5, Sn = 544; d) a1 ir n, kai d = 0,5, an = 50, Sn = 2525.
138. Pastebėję dėsningumą, apskaičiuokite x reikšmę, su kuria teisinga yra lygybė:a)
√2 + 3
√2 + 5
√2 + · · · + x = 100
√2; b) lg x + lg
(x2) + lg
(x3) + · · · + lg
(x100) = 5050;
c) 21+3+5+···+(2x−1) = 225; d) (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + · · · + (x + 28) = 155.
139. (2009 m. valstybinio matematikos brandos egzamino uždavinys.)Sekos bendrojo nario formulė yra an = 3n − 4.a) Apskaičiuokite a1 ir a2.b) Įrodykite, kad ši seka yra aritmetinė progresija.c) Apskaičiuokite šios progresijos pirmųjų dviejų šimtų narių sumą.
DEM
O
33
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Sprendžiame 1skyrius
140. Raskite geometrinės progresijos (bn) pirmąjį narį b1, vardiklį q ir n-ąjį narį bn, kai:
a){
b10b8
= 9,
b4 + b6 = 540; b){
b2b4
= 0,25,
b2 + b6 = 272; c){
b1 + b6 = 132,b2 + b7 = 264; d)
{b3 − b2 = −1
2 ,
b4 + b2 = 54 .
141. Įrodykite geometrinės progresijos narių savybes.1 savybė. Bet kuris teigiamųjų skaičių geometrinės progresijos narys (išskyrus pirmąjį ir paskutinį)yra jo gretimų narių geometrinis vidurkis, t. y. bk = √
bk−1 · bk+1.2 savybė. Baigtinės geometrinės progresijos dviejų narių, vienodai nutolusių nuo kraštinių narių(pirmojo ir paskutinio), sandauga lygi kraštinių narių sandaugai, t. y. b1+k · bn−k = b1 · bn.
142. Su kuriomis x reikšmėmis nurodyti trys skaičiai sudaro geometrinę progresiją?a) x, x + 8, x + 24; b) x − 2, x, x + 6; c) x − 12, x − 4, − x
35 ; d) 2x , 2x + 1, 2x + 3.
143. Pastebėję dėsningumą, apskaičiuokite x reikšmę, su kuria teisinga yra lygybė:a) 1 + 2 + 22 + · · · + 2x = 63; b) 1 + 1
2 + (12)2 + · · · + (1
2)x = 15
8 ;
c) 1 − 12 + (1
2)2 − (1
2)3 + · · · + (1
2)x = 11
16 ; d) 73 + 72 + 71 + · · · + 7x = 400.
144. Pastebėję dėsningumą, apskaičiuokite x reikšmę, su kuria teisinga yra lygybė:a) x2 + 2x3 + 4x4 + 8x5 + · · · = 1 − 2x, kai |x| < 1
2 ;
b) x2 + 3x3 + 9x4 + 27x5 + · · · = 1 − 3x, kai |x| < 13 .
145. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.a) 2,(5)+0,(43)
0,3(1); b) 1,2(4)+2,(4)
9,(2).
146. Pirmojo kvadrato kraštinė lygi 64 mm. Jo kraštinių vidurio taškai yra antrojo kvadrato viršūnės, opastarojo kraštinių vidurio taškai yra trečiojo kvadrato viršūnės ir t. t. Raskite visų šių kvadratų:a) perimetrų sumą; b) plotų sumą.
147. Natūralieji skaičiai rašomi dešinėje pavaizduotu trikampiu.1) Kokiu skaičiumi prasideda 15-oji eilutė?2) Raskite 15-os eilutės skaičių sumą.
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
. . .
148. (2004 m. valstybinio matematikos brandos egzamino uždavinys.)Trys skaičiai b1 = 1, b2, b3 yra mažėjančios geometrinės progresijos nariai. Skaičiai 3b1, 4b2, 4b3yra vienas po kito einantys aritmetinės progresijos nariai. Raskite geometrinės progresijos vardiklį.
149. (2003 m. valstybinio matematikos brandos egzamino uždavinys.)Per dvejus metus gyventojų skaičius padidėjo 44 %. Keliais procentais padidėdavo miestelio gy-ventojų skaičius kiekvienais metais, jei šis procentas ir pirmaisiais, ir antraisiais metais buvo taspats?
150. (2000 m. valstybinio matematikos brandos egzamino uždavinys.)Asmuo į banką padėjo 5000 Lt indėlį, o po dvejų metų atsiėmė 5832 Lt. Kiek procentų sudėtiniųmetinių palūkanų mokėjo bankas?
151. Ar pavys bėgikas vėžlį?Prisiminkime skyriaus pradžioje (žr. p. 12) aprašytas bėgiko ir vėžlio lenktynes. Tarkime, kad išpradžių atstumas tarp A ir B buvo lygus 1 km. Bėgiko greitis lygus 2 m/s, o vėžlio –– 2 cm/s.1) Kiek metrų nubėgs bėgikas iki jis pasivys vėžlį?2) Po kiek sekundžių nuo starto pradžios bėgikas pavys vėžlį?
A B1 km
DEM
O
34
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Besidomintiems1skyrius
Paskalio trikampis
Panagrinėkime dvinario a + b laipsnius (a + b)n, kai n = 0, 1, 2, 3, 4, 5:n = 0, (a + b)0 = 1,n = 1, (a + b)1 = a + b,n = 2, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,n = 3, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,n = 4, (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4,n = 5, (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
Iš gautų lygybių dešiniosiose pusėse esančiųnarių koeficientų sukonstruokime trikampį:
1
11
1 5
1 4
1 3
2
1
10
6
1
10
3 1
4 1
5 1
n
n
n
n
n
n
0
1
2
3
4
5
======
1 užduotis. 1) Pratęskite šį trikampį, imdami n = 6, n = 7, n = 8, n = 9, n = 10.2) Panagrinėję dvinario a + b laipsnius, užrašykite, kam lygu (a + b)n, kai n = 6, 7, 8, 9, 10.
2 užduotis. Dvinarį pakelkite laipsniu.a)
(4 + x2)5; b) (2y − x)6; c)
(−12x + 2y
)7; d)(−√
3 − a)4.
Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė
Įrodykime, kad aritmetinės progresijos n-ąjį narį an, žinant jos pirmajį narį a1 ir skirtumą d , galimaapskaičiuoti naudojantis formule
an = a1 + (n − 1) · d.
Remdamiesi aritmetinės progresijos apibrėžimu, užrašykime, kam lygūs nariai a2, a3, ... , an:
DEM
O
35
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Besidomintiems 1skyrius
Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė
Įrodykime, kad geometrinės progresijos n-ąjį narį bn, žinant jos pirmąjį narį b1 ir vardiklį q, galimaapskaičiuoti naudojantis formule
bn = b1 · qn−1.
Remdamiesi geometrinės progresijos apibrėžimu, užrašykime, kam lygūs nariai b2, b3, ... , bn:
Nykstamosios geometrinės progresijos sumos formulė
Žinome, kad nykstamosios geometrinės progresijos b1, b2, b3, ... suma yra vadinamas skaičius b11−q
, t. y.
S = b1 + b2 + b3 + · · · = b11 − q
, čia q yra progresijos vardiklis (|q| < 1, q �= 0).
Įrodykime šią formulę.Užrašykime, kam lygi šios progresijos pirmųjų n narių suma:
Sn = b1 + b2 + · · · + bn = b1(1 − qn)
1 − q.
Pertvarkykime gautąjį Sn reiškinį:
b1(1 − qn)
1 − q= b1 − b1q
n
1 − q= b1
1 − q− b1q
n
1 − q= b1
1 − q− b1
1 − q· qn.
Vadinasi,
Sn = b11 − q
− b11 − q
· qn.
Kai n didėja, tai reiškinio b11−q
· qn reikšmės vis mažėja artėdamos prie 0 (tai įrodoma aukštosios mate-matikos kurse), todėl Sn reikšmės artėja prie b1
1−q.
Šį faktą galima užrašyti taip:
limn→+∞
( b11 − q
· qn)
= 0,
o
limn→+∞ Sn = b1
1 − q.
Vadinasi, S = b1 + b2 + b3 + · · · = b11−q
(q = bn+1
bn, |q| < 1
).
DEM
O
36
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Geometrijos uždaviniai1skyrius
Kampai
152. Iš trikampio stačiojo kampo viršūnės nubrėžtos aukštinė ir pusiaukampinė sudaro 30◦ kampą.Apskaičiuokite smailiųjų trikampio kampų dydžius.
153. Lygiašonės trapecijos ABCD kampų prie šoninės kraštinės AB dydžių santykis lygus 2 : 3. Ap-skaičiuokite trapecijos kampų dydžius.
154. Apskaičiuokite pavaizduoto keturkampio ABCD kampų dydžius, jei jis yra:
A
B C
D
8 – 31x ∞
3 + 19x ∞
a) lygiagretainis;
A
B C
D
b) trapecija; c) rombas.
3 – 20x ∞
2x
2 x45 –∞ x
A
B
C
D
155. Keturkampio dviejų kampų dydžiai sutinka kaip 5 : 7, trečiasis jo kampas lygus pirmųjų dviejųkampų skirtumui, o ketvirtasis kampas yra mažesnis už trečiąjį 24◦. Apskaičiuokite keturkampiokampų dydžius.
156. Ar egzistuoja taisyklingasis daugiakampis, kurio vieno kampo dydis yra:a) 108◦? b) 125◦? c) 145◦? d) 150◦? e) 175◦?
157. Duotas trikampis ABC, kurio AB = 17 cm, AC = 28 cm, BC = 39 cm.Apskaičiuokite:a) cos ∠BAC;b) sin ∠ABC;c) ∠ACB.
a
b cα
158. 1) Raskite trikampio, kurio kraštinių ilgiai yra 8 cm, 15 cm ir 17 cm, didžiausiojo kampo dydį.2) Raskite trikampio mažesniųjų kampų sinusus, kosinusus ir tangentus.
159. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, raskite sin α.
45∞A A
B
B
C C
a) b) c)
12
2
30∞
14
10
120∞
α
2
6
A
B
C
D
a b
αβ
α α.
20
160. Apskaičiuokite trikampio kampų dydžius, jei dvi trikampio kraštinės iš į jį įbrėžto apskritimocentro matomos 102◦ ir 126◦ kampais.
161. Įbrėžtinis kampas ACB remiasi į apskritimo skersmenį AB. Apskaičiuokite ∠B, kai:a) ∠A = 37◦; b) AC = CB.
162. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite kampo x dydį.a) b) c)
xx
x68∞
70∞180∞
123∞
180∞
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
A
B
C
O
163. Į apskritimą įbrėžto keturkampio dviejų gretimų kampų dydžiai yra 63◦ ir 129◦. Kokie yra kitųdviejų keturkampio kampų dydžiai?
DEM
O
37
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Įvairūs uždaviniai 1skyrius
Lygtys
164. Ar skaičius −2 yra lygties sprendinys?a) 17(3 − x) − 1
x = 100 + 7,25x; b) x2 = 2x; c) x+5x+2 = 0;
d) 2x + 32 = 4−x + 16,25; e) log4 x = 0,5; f) log2(
log6(34 − x)) = 1;
g) xx = x · x; h) sin πx = −1; i)
∣∣ 1x−2
∣∣ = −14 .
165. Išspręskite tiesinę lygtį.a) 6x + 1
3 = 5 − 2x; b) x−43 = −3x+2
2 ; c) −13x + √11 = 3;
d) x√
5 − 15√
15 = 0; e) x2 = 0,5x + 1; f) 6(x − 2) = 3 − 3(5 − 2x).
166. Išspręskite kvadratinę lygtį.a) 4x2 + 3 = 1; b) 2x2 − 11 = 0; c) 10x2 = 11x; d) x2 + 8x = −15;
e) 4x2 + 9 = 12x; f) x(x + 3) = 7(x − 1); g) 4x2 + 9x = 1; h) x2 + √3 x + 6 = 0.
167. Išspręskite laipsninę lygtį.
a) 3x6 = 192; b) 2x3 = −54; c) 2x4 + 3 = 1; d) x8 = 8; e)(x − 2
5)5 = 32.
168. Išspręskite trupmeninę lygtį.
a) 2x−x2
x−2 = 0; b) x2−4x = 3+2x
2 ; c) 3x+1x+2 = 1 + x−1
x−2 ; d) 651−x3 + 17x−10
x2+x+1 = 25x−1 .
169. Išspręskite iracionaliąją lygtį.a)
√9 + 2x − x2 = 3; b)
√x − 3 = x − 5; c)
√x + 2 = x;
d)√
3x + 1 = 1 + √x + 4; e)
√2x − 1 + √
x − 1 = 1; f)√
x2 = 5.
170. Išspręskite lygtį su moduliu.a) |1 − x| = 5; b) 2|3x + 1| + 5 = 3; c) |2x − 5| = x + 3; d) |x + 2| = −2x − 9.
171. Išspręskite rodiklinę lygtį.
a) 6x+1 = 136 ; b)
(2 · 3√4
)x = 8; c) 2x · 5x = 0,1 · (10x−1)5; d) 27x = √
3 · 3x .
172. Išspręskite logaritminę lygtį.a) log3(2 + x) = −1; b) log0,25(3 − 2x) = 0,5; c) logx 64 = 2;
d) log3−x 27 = 3; e) lg x = lg(x2 − 2x − 10
); f) lg x + lg(x − 9) = 1;
g) log3(5 + x) = 3 − log3(x − 1); h) log7 x + log7(30 − x) = log7 11 + log7 19.
173. Išspręskite trigonometrinę lygtį.
a) sin x = 12 ; b) cos x =
√2
2 ; c) tg x = −1; d) ctg x = 0.
174. Išspręskite lygtį, naudodami keitinį.
a) x4 + 6x2 = 8; b) x6 − 2x3 = 24; c) 72x − 3 · 7x = 28;
d) 2 · 42x + 8 = 17 · 4x ; e) log22 x − 2 log2 x − 8 = 0; f) lg2 x − lg
(x3) = 4.
DEM
O
38
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Testas1skyrius
175. Sekos (an) n-ojo nario formulė yra an = nn+1 . Pirmieji trys šios sekos nariai yra:
A 0, 12 , 2
3 B 1, 2, 3 C 56 , 7
9 , 910 D 1
2 , 23 , 3
4 E 2, 32 , 4
3
176. Seka (an) išreikšta rekurentiškai: a1 = 4, an+1 = 23an
. Trečiasis sekos narys a3 =A 1
6 B 14 C 1 D 2 E 4
177. Sekos 13 , 2
5 , 37 , ... n-ojo nario formulė yra an =
A 12n+1 B n
2n−1 C n−12n−1 D n+1
2n+1 E n2n+1
178. (2008 m. valstybinio matematikos brandos egzamino uždavinys.)Sekos bendrojo nario formulė an = 3n. Pirmųjų dešimties iš eilės einančių šios sekos nariųsandauga a1 · a2 · . . . · a10 =A 88 572 B 33 628 800 C 355 D 310 E 10 · 3n
179. Sumos (1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + · · · + (1999 − 2000) reikšmė yra:A −200 B −1 C −1999 D −1000 E 0
180. Aritmetinės progresijos 1, 4, 7, ... n-ojo nario an formulė yra:A an = n2 B an = 3n − 2 C an = 3n + 1 D an = 1 + 4n E an = 4n − 3
181. Aritmetinės progresijos 4, 4,4, 4,8, ... p-asis narys lygus 996. Kam lygus p?A 2480 B 2481 C 2500 D 2501 E 2490
182. Aritmetinės progresijos (an), kurios a7 = 110 , suma a1 + a4 + a7 + a10 + a13 =
A 15 B 1 C 1
2 D 1,3 E 5
183. Iš 1416,1 m aukščio nukrito akmuo. Per pirmąją sekundę jis nukrito 4,9 m, o per kiekvieną kitą–– 9,8 m daugiau negu per prieš tai buvusią. Kiek sekundžių krito akmuo?A 16 B 17 C 155 D 311 E 312
184. Seka (an) yra aritmetinė progresija, kurios an = 2n − 1. Šios sekos S20 = a1 + a2 + · · · + a20 =A 400 B 600 C 800 D 900 E 1000
185. Ketvirtasis geometrinės progresijos√
3, −√6, 2
√3 narys lygus:
A 2√
6 B −2√
6 C 6 D −6 E −√6
186. Skaičiai x√
6, 3√6,√
6 nurodyta tvarka sudaro geometrinę progresiją. Tada x lygus:A 2 B 3 C 4 D 5 E 6
187. Geometrinės progresijos 100, 10, 1, ... n-ojo nario bn formulė yra:A bn = 10n B bn = 10n−1 C bn = 10n+1 D bn = 10n E bn = 103−n
188. Nykstamosios geometrinės progresijos 3, 1, 13 , 1
9 , 127 , ... suma lygi:
A 3 B 4,5 C 6 D 9,5 E 133
189.
√13 − 1
9 + 127 − 1
81 + · · · = A 14 B 1
3 C√
33 D 1
2 E 43
190. Jei bankas mokėtų 50 % sudėtinių metinių palūkanų, tai po trejų metų indėlis padidėtų:A 2 kartus B 3,375 karto C 3 kartus D 2,5 karto E 12,5 karto
191. ∠AOF =A 30◦ B 35◦ C 45◦ D 50◦ E 60◦
A
BC
FO
DEM
O
39
12 k
lasė
1 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Pasitikriname 1skyrius
192. Raskite pirmuosius 4 sekos narius, kai ji išreikšta n-ojo nario formule.a) an = −4; b) bn = 3n
n+3 ; c) cn = (−1)n · 5n; d) dn = (−1)n
9n−10 .
193. Parašykite pirmuosius šešis sekos (xn) narius, kai ji išreikšta rekurentiškai.a) x1 = 2, xn+1 = xn + 2; b) x1 = 4, xn+1 = −3xn; c) x1 = −3, x2 = 3, xn+2 = xn+1
xn.
194. Užrašykite sekos (an) n-ojo nario formulę.a) 0, 3, 6, 9, ... ; b) 5, 4, 3, 2, ... ; c) 1
8 , 14 , 3
8 , 12 , 5
8 , ... ; d) 12 , −2, 8, −32, 128, ... .
195. Nustatykite, ar seka yra didėjanti, ar mažėjanti, ar nėra nei didėjanti, nei mažėjanti.a) an = 9n− 10; b) bn = 4 − 3n; c) cn = 15
n ; d) dn = n2 + 2n− 3; e) en = 22n− n2 + 11.196. Seka (an) yra aritmetinė progresija. Raskite:
a) a6 ir an, kai a1 = 8, d = −3; b) a10 ir ak+1, kai a1 = −4, d = 11.197. Raskite aritmetinės progresijos skirtumą, n-ąjį narį ir pirmųjų 10 narių sumą.
a) 7, 12, ... ; b) −10, −6, ... ; c) 4, −1, ... .198. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumą Sn.
a) a1 = 18, a35 = 120, n = 30; b) a1 = −24, a25 = 60, n = 15.199. Bėgikas pirmą minutę nubėgo 350 m, o per kiekvieną kitą minutę –– 10 m mažiau negu prieš tai
buvusią. Kokį atstumą nubėgo bėgikas per 15 minučių?200. Parašykite pirmuosius penkis geometrinės progresijos narius, kai:
a) b1 = 3, q = 2; b) b1 = −9, q = 13 ; c) b1 = −1000, q = −0,1; d) b2 = 3
2 , q = 12 .
201. Raskite geometrinės progresijos vardiklį, n-ąjį narį ir pirmųjų 5 narių sumą.a) 8, 24, ... ; b) −1, 3, ... ; c) −0,01, 0,1, ... ; d) 1
5 , 125 , ... .
202. Per vieną valandą Tomas internetu nusiuntė žinią 3 draugams, o kiekvienas Tomo draugas, gavęsšią žinią, per valandą nusiuntė ją kitiems trims savo draugams ir t. t. Per kiek mažiausiai sveikųjųvalandų šią žinią gavo ne mažiau kaip 3000 žmonių?
203. Apskaičiuokite iš nykstamosios geometrinės progresijos narių sudaryto begalinio reiškinio reikšmę.a) 16 + 4 + 1 + · · ·; b) −100 − 10 − 1 − · · ·; c) 3
5 − 325 + 3
125 − · · ·; d) 6 + 1 + 16 + · · ·.
204. Išreikškite paprastąja trupmena. a) 0,(6); b) 3,(1); c) 0,2(7); d) 4,1(15).205. Duoti koncentriniai apskritimai, kurių pirmojo skersmuo yra 8 cm, antrojo –– 4 cm, trečiojo –– 2 cm
ir t. t. Raskite visų apskritimų: a) ilgių sumą; b) ribojamų plotų sumą.206. Į banką padėta 8000 Lt. Kokia pinigų suma bus banke po 4 metų, jei bankas moka:
a) 2 % paprastųjų metinių palūkanų? b) 2 % sudėtinių metinių palūkanų?207. Į sandėlį mėnesio pradžioje buvo atvežta 300 kg morkų. Džiūdamos kiekvieną mėnesį jos netenka
5 % savo masės. Apskaičiuokite, kiek kilogramų morkų bus sandėlyje po 3 mėnesių, jei morkųmasė skaičiuojama kiekvieno mėnesio pabaigoje:a) nuo pradinės masės; b) nuo mėnesio pradžioje buvusios masės.
208. Raskite trikampio didžiausiojo kampo kosinusą, jei trikampio kraštinės lygios 5 m, 6 m ir 9 m.209. Išspręskite lygtį.
a)√
x2 − x = √2; b) 2x+2 − 2x−1 = 28; c) lg
(x2 − 8
) = 0.
210. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite:1) AB; 2) AC.
120∞
15∞2 cm
A
C
B
DEM
O
134
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Kartojame tai, ko mokėmės 11 klasėje
1. B.
2. E.
3. C.
4. B.
5. C.
6. D.
7. B.
8. B.
9. D.
10. A.
11. C.
12. C.
13. D.
14. D.
15. C.
16. C.
17. C.
18. C.
19. C.
20. B.
21. A.
22. B. DEM
O
135
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Kartojame tai, ko mokėmės 11 klasėje
23. a) 6; b) 8; c) 4; d) 27; e) 2; f) 378; g) 31
4 ; h) 4; i) 3.
24. a) 18◦; 63◦; −240◦; −330◦; b) 5π12 ; 4π
3 ; −3π4 ; −3π
2 .
25. a) 1213 ; 12
5 ; 512 ; −119
169 ; b) −2425 ; − 7
25 ; 724 ; 336
625 .
26. a) 10√
2 cm; b)√
13 cm.
27. a) y = f (x) = x4 − 5 b) y = f (x) = − 3√x
D(f ) (−∞; +∞) (−∞; +∞)
E(f ) [−5; +∞) (−∞; +∞)
Lyginumas Lyginė NelyginėPeriodiškumas Neperiodinė NeperiodinėReikšmių didėjimo intervalas (0; +∞) –Reikšmių mažėjimo intervalas (−∞; 0) (−∞; +∞)
Mažiausia reikšmė −5 –Didžiausia reikšmė – –
c) y = f (x) = (13)x + 2 d) y = f (x) = | log2 x|
D(f ) (−∞; +∞) (0; +∞)
E(f ) (2; +∞) (0; +∞)
Lyginumas Nei lyginė, nei nelyginė Nei lyginė, nei nelyginėPeriodiškumas Neperiodinė NeperiodinėReikšmių didėjimo intervalas – (1; +∞)
Reikšmių mažėjimo intervalas (−∞; +∞) (0; 1)
Mažiausia reikšmė – 0Didžiausia reikšmė – –
e) y = f (x) = sin(x + π
6)
f) y = f (x) = tg x − 1D(f ) (−∞; +∞) x �= π
2 + πn, n ∈ ZE(f ) [−1; 1] (−∞; +∞)
Lyginumas Nei lyginė, nei nelyginė Nei lyginė, nei nelyginėPeriodiškumas Periodinė, T = 2π Periodinė, T = π
Reikšmių didėjimo intervalas(−2π
3 + 2πn; π3 + 2πn
), n ∈ Z
(−π2 + πn; π
2 + πn), n ∈ Z
Reikšmių mažėjimo intervalas(π3 + 2πn; 4π
3 + 2πn), n ∈ Z –
Mažiausia reikšmė −1 –Didžiausia reikšmė 1 –
28. a) (−5; 6); b) (7; 0); c) (0; −3); d) (−7; 3).
29. a) (10; −30); b) (−120; 135).
30. a) 50; b) −42.
31. a) 6; b) −√3; −√
2;√
2;√
3; c) 213 ; d) 0; 2; e) 5; f) 100; 1000; g) −1,5; 2; h) 21
3 ; 5;i) 2; j) −π
2 + 2πn, n ∈ Z; k) ±π3 + 2πn, n ∈ Z; l) πn, n ∈ Z; m) − π
12 + πn3 , n ∈ Z;
n) −π2 + 2πn, n ∈ Z; o) π
2 + 2πn, n ∈ Z.
32. a)(1 + √
31; −1 + √31
),(1 − √
31; −1 − √31
); b) (1; 7), (3; 11).
33. a) y = −x + 1; b) y = −7x + 11.
34. 50◦.
35. a) ∠B = 80◦, ∠C = 100◦; b) ∠A = 60◦, ∠ADB = 30◦.
36. 2 cm.
37. 4π cm2.
DEM
O
136
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
1.1. Skaičių sekos
38. a) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100; b) 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70;c) 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57; d) 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47.
39. a) 2, 4, 6, 8, 10; b) 12 , 1
3 , 14 , 1
5 , 16 ; c) −8, 8, −8, 8, −8; d) −1, 1, 11, 49, 179;
e)√
32 ,
√3
2 , 0, −√
32 , −
√3
2 .
40. a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; b) 1000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01; c) −3, 15, −21, 51, −93, 195;d) 5, −9, −13, 9, 5, −9; e) 1, 1, 2, 3, 5, 8; f) 32, 16, 0, 8, −8, 12.
41. a) Taip, n = 10; b) ne; c) taip, n = 18.
42. a) Dešimt sekos narių; b) dvylika sekos narių; c) trys sekos nariai.
43. a) 29; b) 10; c) 9; d) 5.
44. a) xn = 2n; b) xn = 4n; c) xn = 4 − n; d) xn = n2.
45. a), c) — didėjančios sekos;b), d) — mažėjančios sekos;e) — nėra nei didėjanti, nei mažėjanti seka.
DEM
O
137
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
1.2. Aritmetinė progresija
46. a) Taip, d = 11; b) ne; c) taip, d = 3; d) ne.
47. a) 10, 13, 16, 19, 22; b) 1,6, 1,2, 0,8, 0,4, 0; c) −4,3, −4,5, −4,7, −4,9, −5,1;d) 1
3 , 1, 123 , 21
3 , 3.
48. a) 36; b) −26,2; c) yk−1 = −0,5 − 2k; d) yk+2 = 1 − 1,5k.
49. a) d = 7, an = 7n − 3; b) d = 5, an = 5n − 14; c) d = −7, an = 6 − 7n;d) d = √
3, an = 2√
3n − √3; e) d = sin π
2 − sin π6 = 1 − 1
2 = 12 , an = n
2 .
50. a) −15; b) 289; c) 9.
51. a) −0,9; b) −2; c) 27650 .
52. a) a1 = −7, d = 0,6; b) a1 = 6 335 , d = −12
35 ; c) a1 = −36, d = 2,4.
53. a) 15; b) 49; c) 21.
54. a) 48; b) 360.
55. a)
56. 7, 9, 11, 13.
57. 18 cm, 24 cm.
58. a) 2√
2 − √3.
b) Duotieji skaičiai sudaro aritmetinę progresiją, jei:1
log6 2 − 1log3 2 = 1
log12 2 − 1log6 2 ,
log2 6 − log2 3 = log2 12 − log2 6,log2
63 = log2
126 ,
log2 2 = log2 2 — lygybė yra teisinga.Vadinasi, skaičiai 1
log3 2 , 1log6 2 ir 1
log12 2 sudaro aritmetinę progresiją.
59. Randame gretimų narių skirtumus:a3 − a = −2a
3 ; −a3 − a
3 = −2a3 ; −a − (−a
3) = −2a
3 .Gretimų narių skirtumai lygūs, todėl duotoji seka yra aritmetinė progresija.DE
MO
138
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
1.3. Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma
60. a) 2550; b) 1450; c) 125√
3; d) −5650; e) 3175; f) −912 12 .
61. a) d = −4, S12 = −180; b) d = 7, S12 = 282; c) d = −1,2, S12 = −37,2;d) d = −1,2, S12 = −72; e) d = −√
2+12 , S12 = 27−33
√2; f) d = − log3 2, S12 = −42 log3 2.
62. a) 5000; b) −780; c) −16,8; d) 60 12.
63. a) 7260; b) 6060; c) 5100; d) 707.
64. a) 1335; b) −1035; c) 30√
7 + 3255; d) −315√
5.
65. a) 210; b) 2100 ct = 21 Lt.
66. a) 2950 �, 2850 �; b) per 10 valandų.
67. 1) S5 = 85, S6 = 126.2) a6 = 41, a1 = 1.
DEM
O
139
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
1.4. Geometrinė progresija
68. a) Taip, q = 2; b) ne; c) taip, q = −2; d) taip, q = √3.
69. a) 5, 15, 45, 135, 405; b) −6, −12, −24, −48, −96; c) 240, 24, 2,4, 0,24, 0,024;d) 729, −243, 81, −27, 9.
70. a) 1024; b) 81.
71. a) q = −2, bn = (−1)n−1 · 2n; b) q = 12 , bn = −40
2n ; c) q = 2, bn = 2n
8 ;
d) q = −23 , bn = (−1)n · (2
3)n−1; e) q = √
3, bn =(√
3)n−1
2 ; f) q1 = 3√3, bn = ( 3√3)n.
72. a) b1 = 3; b) b1 = −105; c) b1 = −3; d) b1 = − 2310 = −2
59 049 .
73. a) 2; b) 3; c) −10; d) −4,5; e) 12 ; f) −1.
74. a) b1 = 3 ir q = 3 arba b1 = −3 ir q = −3; b) b1 = − 227 ir q = 3 arba b1 = − 2
27 ir q = −3;c) b1 = 5
128 ir q = 2 arba b1 = − 5128 ir q = −2; d) b1 = − 1
16 ir q = 4 arba b1 = 116 ir q = −4.
75. a) 4; b) 4; c) 6;d) tokia geometrinė progresija neegzistuoja, nes lygybė (−4)n−1 = 1024 = 45 negalimà.
76. 9 cm.
77. 6, 12, 24 arba −6, 12, −24.
78. Kadangi: −a3a2
=2a3−a , −2
3 = −23 — lygybė yra teisinga, tai duotoji seka yra geometrinė progresija.
79. 729 000 bakterijų.
DEM
O
140
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
1.5. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma
80. a) 242; b) 1512; c) −53213
16 ; d) −0,9091.
81. a) q = −2, S6 = −42; b) q = 13 , S6 = 1121
243 ; c) q = 5, S6 = −781,2;d) q = −1
4 , S6 = −51 316; e) q = 0,2, S6 = 0,249984; f) q = 3, S6 = 364 · 104.
82. a) 364; b) −819; c) 1,24992; d) 133243 .
83. a) 1093; b) 10 34; c) 6825
8 ; d) 15 + 7√
2; e) 127 log2 3.
84. a) 12,6; b) −3,075; c) 20; d) 64.
85. a) 334 ; b) 4092; c) 60 2
3; d) 121225 .
86. a) 2123 ; b) 971
2 .
87. a) 1456; b) 242.
88. a) 310,31 cm; b) 6·(1944)3
15 625(1 − (5
6)18)
cm3.
89. a) b1 = 10, b2 = 20, b3 = 40. b) 1240.
90. 2325.
DEM
O
141
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
1.6. Nykstamoji geometrinė progresija ir jos suma
91. a) q = 14 , nykstamoji; b) q = −10, nėra nykstamoji;
c) q = 15 , nykstamoji; d) q = −2
3 , nykstamoji.
92. a) 16, 8, 4, 2; b) −81, −27, −9, −3c) 100, −10, 1, −0,1; d) −15, 6, −12
5 , 2425 .
93. a) q = 0,1, S = 119; b) q = −1
3 , S = −14 ;
c) q = 12 , S = 256; d) q = −1
2 , S = −16 .
94. a) b1 = 5 ir q = 45 ; b1 = 20 ir q = 1
5 ; b) b1 = 20 ir q = −14 ;
c) b1 = 4 ir q = 23 ; b1 = 8 ir q = 1
3 ; d) b1 = −24 ir q = −23 .
95. a) 23 ; b) 2
9 ; c) 1199 ; d) 25
33 ; e) 113 ; f) 22
3 ; g) 34 ; h) 4
(√2 + 1
).
96. a) −4, 4; b) 12 .
97. a) 19 ; b) 1; c) 17
9; d) 533 ; e) 3 73
330 ; f) 43190 .
98. a) 96 cm; b) 256√
33 cm2.
99. 1) 3 · (1 − (23)10)
. 2) Taip. 3) 3.
DEM
O
142
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
1.7. Procentai ir progresijos
100. 5824 Lt.
101. 5852,65 Lt.
102. a) 3968 kg; b) 3968,1 kg.
103. a) 2400 m; b) 13 650 m.
104. a) 2657 m; b) 14 231 m.
105. a) 2125 eurai; b) 1375 eurai; c) 250 eurų.
106. a) 2125 eurai; b) 1535,31 euro; c) 942,87 euro.
107. a) 2000; b) 1816.
108. 108 018,54 Lt.
109. b1 = 250 000, q = 0,95, S = 250 0001−0,95 = 5 000 000.
110. Per 23 metus.
111. 900 · 1,04534+···+1,04515
1,04514−···−1,0450 rub.
DEM
O
143
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
1.8. Dar daugiau uždavinių su progresijomis
112. 1) 78; 2) 486; 3) 13.
113. 1) 21; 2) 89.
114. 60 cm.
115. 10 cm ir 6 cm.
116. 4.
117. 56,4 %.
118. 421.
119. 60 km.
120. 18 Lt.
121. Po 4 val.
122. Po 3 val.
123. Per 6 val.
124. 35, 37 ir 39.
125. 2 namai, kurių numeriai 56 ir 58; arba3 namai, kurių numeriai 36, 38 ir 40; arba6 namai, kurių numeriai 14, 16, 18, 20, 22 ir 24.
DEM
O
144
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Sprendžiame
126. a) 13 , 5
6 , 9, −256 , −21
5 , −4 116 ; b) 1, −3
4 , 23 , −5
8 , 35 , − 7
12 ;c) 0, 8, 0, 32, 0, 128; d) 6, 32, 576, 65 792, 33 555 456, 68 719 480 832.
127. a) 3, 24, 171, 1200, 8403, 58 824; b) 4, 10, 28, 82, 244, 730;c) 0,3, 1,5, 2, 7,5, 22
3 , 2818.
128. a) an =[ 0, kai n = 2k − 1, k ∈ N;
−2, kai n = 2k, k ∈ N.
b) an = (√2)n−1; c) an = 2n−1
2n; d) an = n
n+1 .
129. a) 21; b) 65; c) 5.
130. a) — didėjanti;b), d) — mažėjanti;c) — nėra nei didėjanti, nei mažėjanti.
131. a) a2 = 20, b8 = b9 = −51; b) a1 = −12 , b2 = −3.
132. a) n � 17; b) n > 17; c) n < 12; d) 15 � n < 27.
133. a) a1 = 5, d = 6, an = 6n − 1; b) a1 = 11, d = 4, an = 4n + 7;c) a1 = 8, d = 6, an = 6n + 2; d) a1 = 1, d = 3, an = 3n − 2.
134. 15 cm, 20 cm, 25 cm.
135. 1 savybė.a1+d(n−1−1)+a1+d(n+1−1)
2 = 2a1+2dn−2d2 = 2(a1+d(n−1))
2 = an.2 savybė.a1 + d(1 + k − 1) + a1 + d(n − k − 1) = a1 + a1 + d(n − 1),2a1 + dk + dn − dk − d = 2a1 + d(n − 1),2a1 + d(n − 1) = 2a1 + d(n − 1).
136. a) −20; b) −9; c) −3 ir 4; d) 11; e) 2 + 2√
2.
137. a) a1 = 6,8, S12 = 55,2; b) d = −1, n = 30; c) n = 16, a16 = 71,5;d) a1 = 0 ir n = 101; a1 = 0,5 ir n = 100.
138. a) 19√
2; b) 10; c) 5; d) 1.
139. a) a1 = −1, a2 = 2; c) 59 500.DEM
O
145
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Sprendžiame
140. a) b1 = 2, q = 3, bn = 2 · 3n−1; b1 = −2, q = −3, bn = (−2) · (−3)n−1;b) b1 = 8, q = 2, bn = 8 · 2n−1; b1 = −8, q = −2, bn = (−8) · (−2)n−1;c) b1 = 4, q = 2, bn = 4 · 2n−1;d) b1 = 2, q = 1
2 , bn = 2 · (12)n−1; b1 = − 1
24 , q = −3, bn = − 124 · (−3)n−1.
141. 1 savybė.√b1 · qk−1−1 · b1 · qk+1−1 =
√b2
1q2(k−1) = b1 · qk−1 = bk.2 savybė.b1 · q1+k−1 · b1 · qn−k−1 = b1 · b1 · qn−1, b2
1 · qn−1 = b21 · qn−1.
142. a) 8; b) 3; c) 319 arba 5; d) 0.
143. a) 5; b) 3; c) 4; d) 4.
144. a) 13 ; b) 1
4 .
145. a) 94777; b) 2
5 .
146. a) 512 mm; b) 546113 mm2.
147. 1) 106; 2) 1695.
148.12 .
149. 20 %.
150. 8 %.
151. 1) 1010 1099 m; 2) 505 5
99 s.
DEM
O
146
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Geometrijos uždaviniai
152. 15◦ ir 75◦.
153. 72◦, 108◦, 108◦, 72◦.
154. a) 131◦, 49◦, 131◦, 49◦; b) 80◦, 100◦, 100◦, 80◦; c) 60◦, 120◦, 60◦, 120◦.
155. 120◦, 168◦, 48◦, 24◦.
156. Egzistuoja a), d), e); neegzistuoja b) ir c).
157. a) − 817 ; b) 140
221 ; c) 23◦.
158. 1) 90◦.2) Sinusai 8
17 ir 1517 ; kosinusai 15
17 ir 817 ; tangentai 8
15 ir 158 .
159. a)√
2(√
3+1)
4 ; c)√
36 .
160. 24◦, 72◦, 84◦.
161. a) 53◦; b) 45◦.
162. a) 140◦; b) 57◦; c) 12◦.
163. 117◦ ir 51◦.
DEM
O
147
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Įvairūs uždaviniai
164. Taip a), d), f), h); ne b), c), e), g), i).
165. a) 712 ; b) 2
11 ; c)√
11−313 ; d) 15
√3; e) sprendinių nėra; f) x ∈ R .
166. a) Sprendinių nėra; b) −√
112 ,
√112 ; c) 0, 1,1; d) −5, −3; e) 11
2 ; f) sprendinių nėra;
g) −9−√97
8 , −9+√97
8 ; h) sprendinių nėra.
167. a) 2; b) −3; c) sprendinių nėra; d) 8√8; e) 225 .
168. a) 0; b) −223 ; c) 3 − √
5, 3 + √5; d) −41
2 , −3.
169. a) 0, 2; b) 7; c) 4; d) 5; e) 1; f) −5, 5.
170. a) −4, 6; b) sprendinių nėra; c) 23 , 8; d) −7.
171. a) −3; b) 145 ; c) 1,5; d) 1
4 .
172. a) −123; b) 1,25; c) 8; d) 0; e) 5; f) 10; g) 4; h) 11, 19.
173. a) (−1)n π6 + πn, n ∈ Z; b) ±π
4 + 2πn, n ∈ Z;c) −π
4 + πn, n ∈ Z; d) π2 + πn, n ∈ Z.
174. a) −√√
17 − 3,√√
17 − 3; b) − 3√4, 3√6; c) 1; d) −0,5, 1,5; e) 14 , 16; f) 0,1, 10 000.
DEM
O
148
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Testas
175. D.
176. E.
177. E.
178. C.
179. D.
180. B.
181. B.
182. C.
183. B.
184. A.
185. B.
186. E.
187. E.
188. B.
189. A.
190. B.
191. C.
DEM
O
149
12 k
lasė
1 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Pasitikriname
192. a) −4, −4, −4, −4; b) 34 , 6
5 , 32 , 12
7 ; c) −5, 10, −15, 20; d) 1, 18 , − 1
17 , 126 .
193. a) 2, 4, 6, 8, 10, 12;b) 4, −12, 36, −108, 324, −972;c) −3, 3, −1, −1
3 , 13 , −1.
194. a) an = 3n − 3; b) an = 6 − n; c) an = n8 ; d) an = (−1)n+14n
8 .
195. a), d) — didėjanti;b), c) — mažėjanti;e) nėra nei didėjanti, nei mažėjanti.
196. a) a6 = −7, an = 11 − 3n; b) a10 = 95, ak+1 = 11k − 4.
197. a) d = 5, an = 5n + 2, S10 = 295;b) d = 4, an = 4n − 14, S10 = 80;c) d = −5, an = 9 − 5n, S10 = −185.
198. a) S30 = 1845; b) S15 = 7,5.
199. 4200 m.
200. a) 3, 6, 12, 24, 48;b) −9, −3, −1, −1
3 , −19 ;
c) −1000, 100, −10, 1, −0,1;d) 3, 3
2 , 34 , 3
8 , 316 .
201. a) q = 3, bn = 83 · 3n, S5 = 968;
b) q = −3, bn = (−3)n
3 , S5 = −61;c) q = −10, bn = (−10)n
1000 , Sn = −90,91;d) q = 1
5 , bn = 15n , Sn = 781
3125 .
202. 7.
203. a) 2113; b) −1111
9; c) 12 ; d) 71
5 .
204. a) 23 ; b) 31
9 ; c) 518 ; d) 4 19
165 .
205. a) 16π cm; b) 64π3 cm2.
206. a) 8640 Lt; b) 8659,46 Lt.
207. a) 291 kg; b) 291 kg.
208. −13 .
209. a) −1, 2; b) 3; c) −3, 3.
210. 1)√
2(√
3−1)
2 ; 2)√
3.
DEM
O
VadoVėlio Matematika komplektą sudaro:
• Vadovėlis – visiems• Parsisiøsdinama skaitmeninė vadovėlio versija – naudojantiems
kompiuterius • Uždavinynas – kuriems vadovėlio užduotys per lengvos• Savarankiški ir kontroliniai darbai – į pagalbą mokytojams• Mobili interaktyvi kompiuterinë (MIKO) knyga mokytojams –
informacijos kaupimui ir tvarkymui
tau
Visi uždaviniai patikrinti ir perspręstileidyklos specialistų.
ISBN 978-609-433-141-1
9 7 8 6 0 9 4 3 3 1 4 1 1
Rengdamiesi brandos egzaminui
pasitreniruokitepakartokite pasitikrinkite
DEM
O
jûSø PAGALBININKAI
Net 20 savarankiškų ir 7 kontroliniai darbai (visų po 2 variantus) – visoms XII klasės matematikos temoms! Iš viso 481 uždavinys!! Štai kodėl šias knygeles taip mėgsta turėti mokytojai☺
Manome, kad mūsų vadovėliuose uždavinių pakanka. Bet jeigu pritrūksite arba jie pasirodys per paprasti, išbandykite uždavinyną. Jame rasite net 636 uždavinius, o jų atsakymaiyra svetainėje http://matau.vadoveliai.lt
Neveltui ši knyga vadinama korepetitoriaus svajone. Joje rasite net 1170 uždavinių, suskirstytų į 27 temas. Įveikę nors po vieną temą per dieną, po mėnesio tikrai sužinosite, ko nežinojote. Juolab, kad visi atsakymai yra knygos pabaigoje.
Nebenorite skaityti teorijos, pabodo spręsti triaukščius uždavinius, nebeaišku, kuri „garantuoto“ pasirengimo valstybiniam brandos egzaminui knyga yra geriausia? Pailsėkite. Pabandykite rasti vienintelį teisingą atsakymą iš penkių pateiktų. Visą matematikos kursą prisiminsite išsprendę vos pusšimtį testinių uždavinių.
Pavyzdžiai parengti pagal naująją Matematikos valstybinio brandos egzamino programą. Net 16 užduočių plius (bus riebus pieštas pliuso ženklas☺) kruopščiai išspręsta pavyzdinė užduotis su atsakymo lapu plius pastarųjų metų egzamino užduotis su vertinimo instrukcijos pavyzdžiu. Ir, žinoma, visų 493 uždavinių teisingi atsakymai!
DEM
O
VadoVėlio Matematika komplektą sudaro:
• Vadovėlis – visiems• Parsisiøsdinama skaitmeninė vadovėlio versija – naudojantiems
kompiuterius • Uždavinynas – kuriems vadovėlio užduotys per lengvos• Savarankiški ir kontroliniai darbai – į pagalbą mokytojams• Mobili interaktyvi kompiuterinë (MIKO) knyga mokytojams –
informacijos kaupimui ir tvarkymui
tau
Visi uždaviniai patikrinti ir perspręstileidyklos specialistų.
ISBN 978-609-433-191-6
9 7 8 6 0 9 4 3 3 1 9 1 6
Rengdamiesi brandos egzaminui
pasitreniruokitepakartokite pasitikrinkite
DEM
O
3
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Pagrindiniai skyreliai
StereometrIjoS ĮvadaS 4
5. erdvInIų kūnų PjūvIaI5.1. Kampas tarp prasilenkiančiųjų tiesių 145.2. Kampas tarp pasvirosios ir plokštumos 165.3. trijų statmenų teorema 185.4. Kampas tarp susikertančiųjų plokštumų 205.5. Briaunainiai 225.6. sukiniai 245.7. Briaunainių pjūviai 265.8. sukinių pjūviai 285.9. nupjautinė piramidė ir nupjautinis kūgis 305.10. sudėtingesni erdviniai kūnai 32
6. tIkImybėS6.1. Rinkiniai 546.2. Bandymo baigtys ir įvykiai 566.3. Įvykio tikimybė 586.4. nesutaikomieji įvykiai ir jų savybė 606.5. nepriklausomieji įvykiai ir jų savybė 626.6. atsitiktinis dydis ir jo skirstinys 646.7. atsitiktinio dydžio matematinė viltis 666.8. atsitiktinio dydžio dispersija ir standartinis nuokrypis 68
7. StatIStIka7.1. Duomenų dažniai ir santykiniai dažniai 887.2. Diagramos 907.3. Histogramos 927.4. skaitinės duomenų charakteristikos 94
teoremų ĮrodymaI 106
DEM
O
4
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Stereometrijos įvadas
Geometrija: planimetrija ir stereometrija
Mokykloje nagrinėjamą geometrijos kursą galima suskirstyti į dvi dalis: planimetriją ir stereometriją.Planimetrijoje nagrinėjamos plokštumõs, o stereometrijoje –– erdvės figūros.
Paprasčiausios ir, galima sakyti, pagrindinės geometrinės figūros yra taškas, tiesė ir plokštuma.Iš jų gaunamos sudėtingesnės figūros:• iš taško ir tiesės –– spindulys, iš dviejų taškų ir tiesės –– atkarpa;
• iš dviejų spindulių –– kampas, iš trijų atkarpų –– trikampis, iš n atkarpų –– n-kampis.
. . .
Yra figūrų, sudarytų iš kreivių, pavyzdžiui:
Kalbant apie kampus, n-kampius ir kitas plokštumos figūras, dažniausiai turimi omenyje ne tik tų figūrųkraštai, bet ir jų ribojamos plokštumos dalys. Išimtimi galima laikyti tik apskritimą (skritulio kraštą).
ApskritimasSkritulys
Stereometrijoje, be išvardytų plokštumos figūrų, nagrinėjamos ir erdvės figūros, pavyzdžiui:
Prizmės Piramidės Sukiniai
SferaRutulys
Nagrinėjant erdvės figūras, turimi omenyje ne tik tų figūrų paviršiai, bet ir jų ribojamos erdvės dalys.Išimtis –– sfera (rutulio paviršius).Su visomis šiomis geometrinėmis figūromis susipažinome ankstesnėse klasėse. Paskutiniame vidurinėsmokyklos geometrijos skyriuje daugiausia dėmesio skirsime nupjautinėms piramidėms ir nupjautiniamskūgiams.
DEM
O
5
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Stereometrijos įvadas
Aksiomos
Apibrėždami naujas sąvokas ir įrodydami naujus teiginius, naudojamės jau žinomomis sąvokomis ir įrody-tais teiginiais. Todėl būtina susitarti, kokias sąvokas laikysime pirminėmis ir kokius teiginius laikysimeteisingais be įrodymo. Algebroje pirminėmis galima laikyti natūraliojo skaičiaus ir sudėties veiksmosąvokas. Geometrijos pirminės sąvokos yra taškas, tiesė ir plokštuma.
A
aα
Tašką galima įsivaizduoti kaip objektą, nurodantį vietą. Tiesę galima suprasti kaip objektą, sudarytą iš begalo daug taškų, išsidėsčiusių vienoje linijoje. Plokštumą galima įsivaizduoti kaip begalinį lygų paviršių.Taškas, esantis tiesėje, dalija ją į dvi pustieses (spindulius). Tiesė, esanti plokštumoje, dalija ją į dvipusplokštumes. Plokštuma erdvę dalija į dvi puserdves.Penktame skyriuje, nagrinėdami erdvės geometriją (stereometriją) ir erdvinius kūnus, naudosimės šiaisteiginiais, kurie laikomi teisingais be įrodymo:
1. Per bet kuriuos du taškus galima nubrėžti vienintelę tiesę.
2. Per bet kuriuos tris taškus, nesančius vienoje tiesėje,galima nubraižyti vienintelę plokštumą.
3. Jei du tiesės taškai yra plokštumoje, tai ir visikiti tiesės taškai yra toje plokštumoje.
4. Jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi ir bendrą tiesę,kurioje yra visi bendrieji tų plokštumų taškai.DE
MO
6
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Stereometrijos įvadas
Teoremos
1 užduotis. Susipažinkite su teorema, kuri įrodoma naudojantis ankstesniame puslapyje pateiktomisaksiomomis.
1 TEOREMA. Per tiesę ir jai nepriklausantį tašką galima nubraižyti venintelę plokštumą.
Duota: Tiesė b, taškas A /∈ b.Įrodyti: Egzistuoja vienintelė plokštuma α tokia, kad b ∈ α ir A ∈ α.
Ab
α
Įrodymas. Tiesėje b pažymėkime du taškus B ir C. Taškai A, B ir C
nepriklauso vienai tiesei, todėl remiamės aksioma:
Per tris taškus, nesančius vienoje tiesėje, galima nubraižyti vienintelęplokštumą.
A
b
α
BC
Taigi per šiuos tris taškus galima nubraižyti vienintelę plokštumą α.Du tiesės b taškai B ir C yra plokštumoje α, todėl remiamės aksioma:
Jeigu du tiesės taškai yra plokštumoje, tai ir tiesė yra plokštumoje.
Taigi tiesė b yra plokštumoje α.Teorema įrodyta.
2 užduotis. Pabandykite savarankiškai įrodyti žemiau pateiktas dvi teoremas.2 TEOREMA. Per dvi susikertančias tieses galima nubraižyti vienintelę plokštumą.
Duota: Tiesės a ir b kertasi taške A, t. y. a ∩ b = A.Įrodyti: Egzistuoja vienintelė plokštuma β tokia, kad
a ∈ β ir b ∈ β. A
a
βb
3 TEOREMA. Per dvi lygiagrečias tieses galima nubraižyti vienintelę plokštumą.
Duota: Tiesės a ir b yra lygiagrečios, t. y. a ‖ b.Įrodyti: Egzistuoja vienintelė plokštuma γ tokia, kad
a ∈ γ ir b ∈ γ .
a
γ
b
DEM
O
7
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Stereometrijos įvadas
Erdvės tiesių ir plokštumų tarpusavio padėtys
Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje gali būti lygiagrečios ir gali kirstis, o erdvėje jos gali dar irprasilenkti. Dviejų nesutampančių erdvės tiesių tarpusavio padėtis galima pavaizduoti taip:
lygiagrečios, susikertančios, prasilenkiančios.
Dvi nesutampančios plokštumos gali būti:lygiagrečios, susikertančios.
Plokštuma ir jai nepriklausanti tiesė gali būti:lygiagrečios, susikertančios.
DEM
O
8
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Stereometrijos įvadas
Atstumai ir kampai erdvėje
Erdvėje nagrinėjami atstumai ne tik tarp dviejų taškų, taško ir tiesės, dviejų lygiagrečiųjų tiesių, bet irtarp dviejų prasilenkiančiųjų tiesių, taško ir plokštumos, tiesės ir su ja lygiagrečios plokštumos, dviejųlygiagrečiųjų plokštumų.
3 užduotis. Paaiškinkite, kaip galima rasti atstumą tarp dviejų taškų; taško ir tiesės; dviejų lygiagre-čiųjų tiesių.
1 klausimas. Kaip randamas atstumas nuo taško A iki plokštumos α?Atsakymas. Brėžiame tiesę a, einančią per tašką A ir statmeną plokštumai α.Tiesės a ir plokštumos α sankirtos tašką pažymime raide B ir išmatuojameatkarpos AB ilgį. Tai ir yra atstumas nuo A iki α.
Aa
αB
2 klausimas. Kokia tiesė vadinama statmeniu į plokštumą?Atsakymas. Tiesė, kuri yra statmena kiekvienai plokštumos tiesei,vadinama stãtmeniu į plókštumą.
a
αb c
d
Erdvėje nagrinėjami kampai ne tik tarp dviejų susikertančiųjų tiesių, bet ir tarp dviejų prasilenkiančiųjųtiesių, tiesės ir plokštumos, dviejų plokštumų.
3 klausimas. Kaip randamas kampas tarp prasilenkiančiųjų pavaizduotų tiesiųa ir b.Atsakymas. 1) Per vieną tiesę (pvz., b) braižome plokštumą α, kertančią kitątiesę (a).2) Plokštumoje α per tiesės a pagrindą brėžiame tiesę b′, lygiagrečią su tiese b.3) Randame kampą tarp susikertančių tiesių a ir b′. Tai ir yra kampas tarp a
ir b.
a
αb
b¢
b ∈ α, b′ ∈ α,b′ ‖ b, b′ ∩ a;(a, b) = (a, b′).
DEM
O
9
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Stereometrijos įvadas
4 klausimas. Kaip galima išsiaiškinti, ar tiesė a yra statmena plokštumai α?
Atsakymas. Nustatant, ar tiesė a yra statmena plokštumai α, nėra patogu naudotis tiesės ir plokštumosstatmenumo apibrėžimu. Iš tikrųjų patikrinti, ar tiesė a yra statmena kiekvienai plokštumos α tiesei, yraneįmanoma, nes plokštumoje α yra be galo daug tiesių...Čia gelbsti teorema, kuri vadinama tiesės ir plokštumõs statmenùmo põžymiu:4 TEOREMA. Jei tiesė a yra statmena dviem susikertančioms plokštumos α
tiesėms, tai tiesė a statmena plokštumai α.Šios teoremos vadovėlyje neįrodinėsime.
a
αb c
a b a c
a
, ,^ ^^ α.
5 klausimas. Kaip randamas kampas tarp tiesės a ir plokštumos α?
Atsakymas. Jei tiesė a yra plokštumoje α arba yra su ja lygiagreti, tai kampas tarp a ir α laikomas lygiu 0.Jei tiesė a kerta plokštumą α ir nėra jai statmena (tokia tiesė vadinama pasvirąja), tai kampo tarp a ir α
ieškome taip:1) iš bet kurio tiesės a taško B, nesutampančio su jos pagrindo tašku A,
brėžiame statmenį į plokštumą α;2) per statmens pagrindą B′ ir pasvirosios a pagrindą A brėžiame tiesę AB′
(ji yra plokštumoje α);
3) randame kampą tarp susikertančiųjų tiesių a ir AB′. Tai ir yra kampastarp a ir α.
a
α
B
B¢A
BB′ ⊥ α,∠BAB′ = (a, α).
6 klausimas. Kaip randamas kampas tarp dviejų nesutampančiųjų plokštumųα ir β?Atsakymas. Jei plokštumos α ir β yra lygiagrečios, tai kampas tarp jų laiko-mas lygiu 0. Jei plokštumos kertasi, tai kampo tarp jų ieškome taip:
1) braižome plokštumą γ , statmeną plokštumų α ir β sankirtos tiesei;2) randame kampą, kurį sudaro plokštumų α ir γ bei β ir γ sankirtų tiesės.
Tai ir yra kampas tarp α ir β.
α
B
A
γ
β
E
C
DDEM
O
10
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
kartojame tai, ko prireiks 5 skyriuje
1. Stačiosios prizmės pagrindas yra kvadratas, kuriokraštinės ilgis lygus 5 cm. Prizmės aukštis yra 4 cm.Apskaičiuokite prizmės:1) pagrindo plotą;2) šoninių sienų plotus;3) viso paviršiaus plotą;4) tūrį.
2. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrin-do briaunos ilgis yra 12 cm, o apotemos (šoninėssienos aukštinės) ilgis –– 10 cm. Apskaičiuokitepiramidės:1) pagrindo plotą;2) šoninių sienų plotus;3) viso paviršiaus plotą;4) aukštinės ilgį;5) tūrį.
A
B C
D
S Aukštinė
O
3. 1) Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite ritinio:a) aukštinės H ilgį; b) pagrindo spindulio r ilgį, pagrindo apskritimo ilgį C ir plotą S.
5 cm
13cm
Hcm
17 cm
rcm
15 cm
2) Kiekvienu atveju apskaičiuokite ritinio paviršiaus plotą ir tūrį.
4. 1) Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite kūgio:a) aukštinės H ilgį; b) sudaromosios l ilgį; c) pagrindo plotą.
6 dm
10dm
Hd
m
5 dm
10
dm
l dm
11 m
5 3 m
2) Kiekvienu atveju apskaičiuokite kūgio paviršiaus plotą ir tūrį.5. Kamuolys supakuotas į kubo formos dėžutę taip, kad lie-
čia visas dėžutės sienas. Dėžutės viso paviršiaus plotaslygus 5400 cm2. Koks yra kamuolio:1) spindulio ilgis?2) paviršiaus plotas?3) tūris?
r
DEM
O
11
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
kartojame tai, ko prireiks 5 skyriuje
6. Apskaičiuokite kubo briaunos ilgį, jei kubo tūris lygus stačiakampio gretasienio, kurio matmenysyra 8 cm × 12 cm × 18 cm, tūriui.
7. Tris bronzinius kubus, kurių briaunos lygios 1 cm, 2 cm ir 3 cm, reikia sulydyti į vieną stačiakampįgretasienį. Apskaičiuokite gretasienio matmenis, jei jo briaunų ilgiai (cm) yra natūralieji skaičiai.Kiek tokių skirtingų stačiakampių gretasienių galima gauti?
8. Apskaičiuokite stačiosios trikampės prizmės ABCA1B1C1 tūrį ir viso paviršiaus plotą, jei jospagrindas yra statusis trikampis ABC, kurio ∠BAC = 90◦, BC = 37 cm, AB = 35 cm, o prizmėsšoninė briauna AA1 = 1,1 dm.
9. Apskaičiuokite taisyklingosios n-kampės prizmės, kurios kiekviena briauna lygi 1 m, tūrį, kai:a) n = 3; b) n = 4; c) n = 6.
10. Taisyklingosios trikampės piramidės aukštinės ilgis yra 12 cm, o šoninės sienos aukštinė lygi 13 cm.Apskaičiuokite piramidės:1) pagrindo aukštinės ilgį;2) viso paviršiaus plotą;3) talpą litrais.
11. Kvadratas, kurio plotas lygus 25 cm2, sukamas apie kraštinę. Apskaičiuokite gauto sukinio:a) viso paviršiaus plotą; b) tūrį mililitrais.
12. Ritinio viso paviršiaus plotas lygus 120π cm2, o šoninio paviršiaus plotas –– 88π cm2. Apskaičiuo-kite ritinio tūrį. Skaičiuodami vietoj π imkite 3,1.
13. Statusis lygiašonis trikampis, kurio plotas lygus 8 dm2, sukamas apie statinį. Apskaičiuokite gautosukinio viso paviršiaus plotą ir tūrį.
14. Kūgio viso paviršiaus plotas lygus 10π dm2. Kūgio šoninio pa-viršiaus išklotinė yra skritulio išpjova, kurios plotas yra 6π dm2,o centrinis kampas lygus 60◦. Apskaičiuokite kūgio:1) sudaromosios ilgį; 2) pagrindo spindulio ilgį; 3) tūrį.
60∞
15. Ritinio formos menzūros pagrindo skersmuo lygus 2,5 cm. Į ją buvo įmesti 4 metaliniai rutuliai,kurių kiekvieno skersmuo yra 1 cm. Kiek pakilo vandens lygis menzūroje, jei iš pradžių jo aukštisbuvo 10 cm?
fi
16. Reikia padaryti 72 cm3 tūrio stačiakampio gretasienio formos dėžutę su dangteliu. Dėžutės pagrindokraštinių ilgių santykis yra 1 : 2. Kokius turime pasirinkti dėžutės matmenis, kad jos paviršiausplotas būtų mažiausias?
DEM
O
12
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5skyrius
Stačiakampio gretasienio tiesės ir plokštumos
Pavaizduotas stačiakampis gretasienis ABCDA1B1C1D1, kurio AA1 = 3 cm, AD = 4 cm, DC = 5 cm.
αA
A1
B
B1
C
C1
D
D1
a
Užduotis. Jeigu susipažinote su p. 5–9 esančia informacija, tai gal pavyks atlikti šią užduotį.1) Išvardykite briaunas, kurios yra:
a) lygiagrečios su briauna AA1; b) statmenos briaunai AA1; c) prasilenkia su briauna AA1.
2) Išvardykite sienas, kurios yra:a) lygiagrečios su siena ABCD; b) statmenos sienai ABCD.
3) Kokį kampą (žr. 1 pav.) sudaro tiesė AD1 su:a) tiese B1C1? b) plokštuma α? c) siena DD1C1C?
4) Kokį kampą (žr. 2 pav.) sudaro plokštuma ABC1D1 su:a) plokštuma α? b) siena DD1C1C?
αA
B
D1A1
B1C1
1 pav.
C
D αA
B
D1
C1
2 pav.
A1
B1
C
D
DEM
O
13
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.1. Kampas tarp prasilenkiančiųjų tiesių 145.2. Kampas tarp pasvirosios ir plokštumos 165.3. trijų statmenų teorema 185.4. Kampas tarp susikertančiųjų plokštumų 205.5. Briaunainiai 225.6. sukiniai 245.7. Briaunainių pjūviai 265.8. sukinių pjūviai 285.9. nupjautinė piramidė ir nupjautinis kūgis 305.10. sudėtingesni erdviniai kūnai 32
Apibendriname 34Sprendžiame 38 Besidomintiems 42
taisyklingieji briaunainiaiOilerio teorema. sfera ir plokštumaritinys ir plokštuma. Kūgis ir plokštuma
Geometrijos uždaviniai. apskritimas ir skritulys 46Įvairūs uždaviniai. Koordinatės plokštumoje ir erdvėje 47testas 48pasitikriname 49 Kartojame tai, ko prireiks 6 skyriuje 50
Erdvinių kūnų pjūviai 5skyrius
S Spav = ◊
= ◊šon pagr+ 2 S
V
.
.Spagr H
S Spav == ◊ ◊
šon pagr+
–
S
V
.
.Spagr H13
S rpav24=
=π .
.–V πr343
r
H DEM
O
14
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s5.1. kampas tarp
prasilenkiančiųjų tiesių5skyrius
A B
D1 C1
A1 B1
CD
1 užduotis. Nurodykite keletą tiesių, kurios eina per dvi pavaizduoto kubo ABCDA1B1C1D1 viršū-nes ir:a) kerta tiesę BC; tiesę A1B1;b) yra lygiagrečios su tiese D1C1; tiese AC;c) prasilenkia su tiese AA1; tiese BC1.
a b M∩ = a bÍÍ a b,ÍÍ a b∩
Ma aab
b
b
2 užduotis. Lentoje pavaizduotos prasilenkiančios tiesės a ir b. Parodytas kampas ϕ tarp jų. Panag-rinėję lentoje pateiktą informaciją, paaiškinkite, kaip randamas kampas tarp prasilenkiančiųjų tiesių.
a
bb1
Mγ
ϕ
ϕ ϕ
3 užduotis. 1) Nubraižykite kubą ABCDA1B1C1D1, kaip parodyta viršuje.2) Nubrėžkite tiesę AA1 ir tiesę D1C1.3) Nuspalvinkite sieną DD1C1C.4) Sienoje DD1C1C išryškinkite briaunas, kurios lygiagrečios su tiese AA1.5) Kam lygus kampas tarp tiesių AA1 ir D1C1?6) Raskite kampą tarp priešingose kubo sienose esančių įstrižainių, kurios nėra lygiagrečios.
DEM
O
15
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.1. Uždaviniai 5skyrius
17. Pavaizduota keturkampė piramidė SABCD. Nurodykitebriaunas, kurios yra tiesėse, prasilenkiančiose su tiese:a) SC; b) DC; c) AD.
A
BC
D
S
18. Tiesės a ir b susikerta, o tiesė c lygiagreti su tiese a. Kokia gali būti tiesių b ir c tarpusavio padėtis?(Skirtingas padėtis pavaizduokite brėžiniais.)
19. Kokia gali būti tarpusavio padėtis dviejų tiesių, statmenų tai pačiai trečiajai tiesei? (Skirtingaspadėtis pavaizduokite brėžiniais.)
20. Tiesė a lygiagreti su rombo ABCD įstrižaine AC, bet nėra rombo plokštumoje.1) Įrodykite, kad tiesė a prasilenkia su tiese, kurioje yra kraštinė AD.2) Raskite kampą tarp tiesių a ir AD, jeigu ∠ABC = 136◦.
21. Tiesė m kerta trikampio ABC kraštinę AB. Kokia tiesių m ir BC tarpusavio padėtis, kai:1) tiesė m yra trikampio ABC plokštumoje ir su atkarpa AC neturi bendrų taškų?2) tiesė m nepriklauso trikampio ABC plokštumai?
22. OB ir CD –– lygiagrečios tiesės, o OA ir CD –– prasilenkiančios tiesės. Raskite kampą tarp tiesiųOA ir CD, jei:a) ∠AOB = 57◦; b) ∠AOB = 113◦.
23. Tiesė a lygiagreti su lygiagretainio ABCD kraštine BC ir nėra jo plokštumoje.1) Įrodykite, kad a ir CD yra prasilenkiančios tiesės.2) Raskite kampą tarp a ir CD, jei vienas lygiagretainio kampas lygus:
a) 29◦; b) 131◦.
24. Kubo ABCDA1B1C1D1 briauna lygi a. Raskite atstumą nuo taško A iki:a) briaunos CD; b) tiesės B1D1; c) tiesės B1D.
a
A
B
25. Pavaizduoto stačiakampio gretasienio briaunų ilgiai yra AA1 = 6 cm, AB = 8 cm, AD = 10 cm.
A
A1 B1
C1D1
B
CD
Apskaičiuokite dydį kampo tarp tiesių:a) A1B ir D1C1; b) A1B ir C1D; c) A1D ir BC;d) A1D ir BC1; e) AC ir A1B1; f) AC ir B1D1.Atsakymą pateikite 1◦ tikslumu.
DEM
O
16
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s5.2. kampas tarp pasvirosios
ir plokštumos5skyrius
1 užduotis. 1) Lentoje pavaizduota plokštuma γ , ją kertanti tiesė b. Parodytas kampas ϕ tarp jų.Panagrinėję lentoje pateiktą informaciją, paaiškinkite, kaip randamas kampas tarp plokštumos ir ją ker-tančios tiesės.
b
B
A
A1γ
ϕ
ϕ ϕ
2) Pavaizduota pasviroji AB ir jos plojekcija A′B plokštumoje α. Naudodamiesi brėžinio duomenimis,apskaičiuokite kampo tarp pasvirosios AB ir plokštumos α dydį.
αα
BB
AA
A¢A¢
b) AA BA .¢ = ¢a) AB AA8 cm, 4 cm;= ¢ =
2 užduotis. 1) Pavaizduotas kubas ABCDA1B1C1D1. Raskite kampą tarp:a) tiesės AB1 ir plokštumos ABCD; tiesės AB1 ir plokštumos BB1C1C;b) tiesės AC1 ir plokštumos ABCD; tiesės AC1 ir plokštumos BB1C1C;c) tiesės AA1 ir plokštumos ABCD; tiesės AA1 ir plokštumos A1B1C1D1.
A B
D1 C1
A1 B1
CD
2) Pavaizduota taisyklingoji keturkampė piramidė SABCD, kuriospagrindo briauna lygi 10 cm, o šoninė briauna –– 10
√2 cm.
Apskaičiuokite kampo dydį tarp:a) šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos;b) apotemos ir pagrindo plokštumos.
OA
B C
D
S
DEM
O
17
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.2. Uždaviniai 5skyrius
26. Pavaizduota pasviroji AB ir jos projekcija A1B plokštumoje α. Naudodamiesi brėžinio duomenimis,apskaičiuokite kampo tarp pasvirosios AB ir plokštumos α dydį.
A A A
B B
BA1 A1A1
a) AB BA8 cm, 4 cm;= =1 b) AA1 —–= ;
α αα
AB2
c 3) A1B AB.=
27. Iš to paties taško A į plokštumą α nubrėžtos dvi pasviro-sios AB = 8 cm ir AC = 6 cm. Pasvirosios AB projekci-jos plokštumoje α ilgis lygus 6,4 cm. Raskite pasvirosiosAC projekcijos plokštumoje α ilgį.
6,4 cm? cm
A
B C
A1
8cm
6cm
α
28. Iš taško į plokštumą nubrėžtos dvi pasvirosios, kurių ilgių santykis lygus 1 : 2. Pasvirųjų projekcijųplokštumoje ilgiai yra 2 cm ir 14 cm.1) Apskaičiuokite pasvirųjų ilgius.2) Raskite kampus, kuriuos pasvirosios sudaro su plokštuma. (Atsakymą pateikite 1◦ tikslumu.)
29. Iš taško A į plokštumą α nubrėžtos dvi pasvirosios su plokštuma α sudarančios 45◦ ir 30◦ dydžiokampus. Trumpesniosios pasvirosios projekcijos ilgis yra
√2. Apskaičiuokite atstumą nuo taško A
iki plokštumos α ir ilgesniosios pasvirosios ilgį.
30. Rombo ABCD įstrižainių ilgiai yra 30 cm ir 40 cm. AtkarpaMA –– statmuo į rombo ABCD plokštumą. Apskaičiuokiteatstumus nuo taško M iki rombo viršūnių B, C ir D, jeiguMA = 7 cm. A
M
D
CB
31. Iš taško A į plokštumą α nubrėžtos dvi pasvirosios AB irAC, su plokštuma α sudarančios atitinkamai 60◦ ir 30◦dydžio kampus. Kampas tarp pasvirųjų projekcijų lygus120◦, atstumas tarp pasvirųjų galų BC = √
13.1) Pažymėję AM = x, parodykite, kad:
BM = √3 x, MC =
√3
3 x.2) Apskaičiuokite pasvirųjų AB ir AC ilgius.
A
BC
30∞ 60∞ αM
13
32. (2006 m. valstybinio brandos egzamino pakartotinės sesijos uždavinys.)Iš taško A, kurio atstumas AD iki plokštumos α lygus 5
√2,
nuleistos dvi pasvirosios AB ir AC. Kiekviena pasviroji suplokštuma α sudaro 45◦ kampą, o kampas tarp pasvirųjų ly-gus 60◦.1) Raskite atstumą BC tarp pasvirųjų pagrindų.2) Įrodykite, kad trikampis BDC yra statusis.
A
B C45∞ 45∞
α
60∞
D
DEM
O
18
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.3. Trijų statmenų teorema5skyrius
TEOREMA (trijų statmenų teorema). Jei plokštumos γ tiesė a, einanti per pasvirosios b pagrindą A,yra statmena pasvirosios b projekcijai b′, tai tiesė a yra statmena ir pasvirajai b.
a a
b b
b¢ b¢A A
a b ,^ ¢ a b.^
fiγ γ
Duota: Plokštuma γ , pasviroji b, pasvirosios pagrindas A,pasvirosios b projekcija b′ plokštumoje γ ,plokštumos γ tiesė a, einanti per A ir statmena b′.
Įrodyti: a ⊥ b.Įrodymas.
1) Pasvirojoje b pažymėkime kokį nors tašką B (nesutampantį su A) ir jįatitinkantį pasvirosios projekcijos b′ tašką B′.
2) Tiesė BB′ ⊥ γ , todėl ji statmena kiekvienai plokštumos γ tiesei, taip patir tiesei a, t. y. BB′ ⊥ a. Tiesė a ⊥ B′A (duota). Vadinasi, tiesė a yrastatmena dviem susikertančioms tiesėms BB′ ir B′A. Taigi tiesė a yrastatmena plokštumai, einančiai per tieses BB′ ir B′A.
a
b
b¢ AB¢
B
γ
3) Plokštumai, einančiai per dvi susikertančias tieses BB′ ir B′A, priklauso ir tiesė BA (pasviroji b).Tiesė a yra statmena plokštumai ABB′, todėl ji statmena ir tiesei BA, t. y. pasvirajai b.
Teorema įrodyta.
Užduotis. Įrodykite teoremą, atvirkštinę trijų statmenų teoremai.
TEOREMA (atvirkštinė trijų statmenų teorema). Jei plokštumos γ tiesė a, einanti per pasvirosios b
pagrindą A, yra statmena pasvirajai b, tai tiesė a yra statmena ir pasvirosios b projekcijai b′.
a a
b b
b¢ b¢A A
a b,^ a b .^ ¢
fi
γ γ
DEM
O
19
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.3. Uždaviniai 5skyrius
33. a) Iš kvadrato ABCD centro O iškeltas statmuo OE į kvadratoplokštumą. Įrodykite, kad tiesė EC yra statmena kvadratoįstrižainei BD.
A
E
D
CB
O
b) Iš lygiakraščio trikampio ABC kraštinės AB vidurio taško D
į trikampio plokštumą iškeltas statmuo DE. Įrodykite, kadtiesė CE yra statmena tiesei AB.
A
E
D C
B
34. Į trikampį ABC įbrėžto apskritimo spindulys lygus 1,5 dm. Išapskritimo centro O iškeltas statmuo OM į trikampio plokštu-mą, OM = 2 dm.
1) Paaiškinkite, kodėl OE ⊥ AC, čia E –– trikampio kraštinėsAC ir apskritimo lietimosi taškas.
2) Įrodykite, kad ME ⊥ AC.3) Apskaičiuokite atstumą nuo taško M iki trikampio krašti-
nės AC.
A
B
CE
M
O
35. Pavaizduota atkarpa MB yra statmena stačiakampio ABCD
plokštumai. Įrodykite, kad trikampiai MCD ir MAD yra sta-tieji.
A
B C
D
M
36. Iš lygiakraščio trikampio ABC viršūnės B iškeltas statmuo BE
į trikampio plokštumą, BE = 13 cm, AB = 6 cm.1) Apskaičiuokite trikampio aukštinės BM ilgį.2) Įrodykite, kad EM ⊥ AC.3) Apskaičiuokite atstumą nuo taško E iki kraštinės AC.
A
B
CM
E
α
37. Iš stačiojo trikampio, kurio statiniai lygūs 60 cm ir 80 cm, sta-čiojo kampo viršūnės C į trikampio plokštumą iškeltas statmuoCE = 36 cm. Raskite atstumus nuo statmens galų E ir C ikiįžambinės AB.
A
B
C
E
α
38. Pavaizduotas keturkampis ABCD yra rombas, kurio ∠A = 60◦.Iš rombo įstrižainių sankirtos taško O į rombo plokštumą iškel-tas statmuo OE = 9. Iš taško E į rombo kraštinę DC nubrėžtasstatmuo EM = 15.1) Įrodykite, kad OM ⊥ DC.2) Apskaičiuokite rombo įstrižainės BD ilgį. A
B C
D
E
O M
DEM
O
20
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s5.4. kampas tarp
susikertančiųjų plokštumų5skyrius
1 užduotis. Lentoje pavaizduotos dvi susikertančios plokštumos α ir β. Parodytas kampas ϕ tarp jų.Panagrinėję lentoje pateiktą informaciją, paaiškinkite, kaip randamas kampas tarp susikertančių plokštu-mų.
A
B
C
D
E
α
β
γϕ
2 užduotis. 1) Pavaizduotas kubas ABCDA1B1C1D1.Raskite dydį kampo tarp plokštumų:a) ABCD ir DD1C1C;b) ABCD ir ABC1D1.
A B
D1 C1
A1 B1
CD
3 užduotis. Pavaizduota taisyklingoji keturkampė piramidė SABCD,kurios pagrindo briauna lygi 10 cm, o šoninė briauna –– 10
√2 cm.
a) Apskaičiuokite piramidės apotemos SM ilgį.b) Apskaičiuokite kampo SMO dydį.c) Kokį kampą sudaro piramidės šoninė siena su pagrindu?
OA
B C
D
S
M
α
β
DEM
O
21
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.4. Uždaviniai 5skyrius
39. Raskite atstumą nuo taško iki dvisienio kampo briaunos, jeigu dvisienio kampo dydis lygus 120◦,o taškas nuo dvisienio kampo abiejų sienų nutolęs 6 dm atstumu.
40. Pavaizduota taisyklingoji trikampė piramidė (jos pagrindas yralygiakraštis trikampis, o aukštinė eina per pagrindo centrą).1) Įrodykite, kad kampas tarp sienos ABS ir pagrindo ABC
lygus kampui SDC, t. y. ( ABS,ABC) = ∠SDC.
2) Užrašykite kampą, kurį sudaro šoninė siena BCS supagrindu ABC.
O
A C
B
S
D E
41. Apskaičiuokite taisyklingosios keturkampės piramidės dvisieniokampo prie pagrindo dydį, jei:a) pagrindo kraštinė lygi 3,6 m, o piramidės aukštinė yra 1,8 m;b) pagrindo kraštinė lygi 65 cm, o piramidės aukštinė yra 99 cm.Atsakymą pateikite 1◦ tikslumu.
OA B
CD
S
?
42. Stačiojo trikampio ABC (∠C = 90◦) statinių ilgiai yra 20 cm ir15 cm. Per įžambinę einanti plokštuma α su trikampio plokštumasudaro 30◦ kampą.1) Naudodamiesi trijų statmenų teorema, įrodykite, kad EM ⊥ AB
(čia CE ⊥ α, E ∈ α).2) Paaiškinkite, kodėl kampas CME yra kampas tarp trikampio
ABC plokštumos ir plokštumos α.3) Apskaičiuokite atstumą nuo stačiojo kampo viršūnės C iki
plokštumos α.
A
B
C
αM E
43. Per lygiašonio trikampio pagrindą BC eina plokštuma α. Atstumasnuo taško A iki plokštumos α lygus
√10 cm. Apskaičiuokite kampą
tarp plokštumos α ir trikampio plokštumos, jei BC = 18 cm, AB == AC = 11 cm.
A
B
C
α
44. Stačiojo lygiašonio trikampio ABC įžambinė AB yra plokštumojeα, o statinis AC pasviręs į ją 30◦ kampu. Apskaičiuokite kampotarp plokštumų ABC ir α dydį.
30∞A
B
C
α
45. (2006 m valstybinio brandos egzamino uždavinys.)Du lygūs kvadratai ABCD ir AB1C1D turi bendrą kraštinę AD,o jų plokštumos sudaro 60◦ dydžio dvisienį kampą. Iš bendrosviršūnės D kiekviename kvadrate nubrėžtos įstrižainės DB ir DB1.Raskite kampo tarp šių įstrižainių kosinusą.
A
B C
D
B1 C1
46. Apskaičiuokite tetraedro dvisienių kampų tangentus.
DEM
O
22
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.5. Briaunainiai5skyrius
1 užduotis. 1) Panagrinėję paveikslėlį, prisiminkite, kaip apskaičiuojamas stačiosios prizmės pavir-šiaus plotas ir tūris. (Paveikslėlyje pavaizduota stačioji trikampė prizmė ir jos išklotinė.)
HH
V = ◊ ,HSpagr S S .pav 2= = ◊šon pagr+ S + S S Spagr šon pagr
Spagr
SpagrSpagr
Sšon
2) Stačiosios prizmės pagrindas yra statusis trikampis, kurio įžambinė lygi 4√
3, o vienas kampas ly-gus 30◦. Prizmės aukštinė lygi 8. Apskaičiuokite prizmės paviršiaus plotą ir tūrį.
2 užduotis. Stačiojo gretasienio pagrindo kraštinės lygios 5 ir 5√
3,o kampas tarp jų yra 30◦. Mažesnioji gretasienio įstrižainė B1D lygi 7.
1) Naudodamiesi kosinusų teorema, parodykite, kad pagrindo įstrižai-nės BD ilgis lygus 5.
2) Apskaičiuokite stačiojo gretasienio šoninės briaunos (gretasienioaukštinės) ilgį ir šoninių sienų plotus.
3) Apskaičiuokite stačiojo gretasienio pagrindų plotus.A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
30∞5
7
5 3
4) Apskaičiuokite stačiojo gretasienio paviršiaus plotą ir tūrį.
3 užduotis. 1) Panagrinėję paveikslėlį, prisiminkite, kaip apskaičiuojamas piramidės paviršiaus plotasir tūris. (Paveikslėlyje pavaizduota taisyklingoji keturkampė piramidė ir jos išklotinė.)
H
V = ◊ ◊– H,Spagr S S .pav = šon pagr+ S
Spagr
Spagr
13
2) Taisyklingosios keturkampės piramidės šoninės briaunos ilgis lygus 5√
3 cm, o pagrindo plotas yra100 cm2. Apskaičiuokite piramidės:1) aukštinės ilgį;2) apotemos ilgį;3) paviršiaus plotą;4) tūrį.
DEM
O
23
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.5. Uždaviniai 5skyrius
47. Kubo įstrižainės ilgis lygus 3√
3 cm. Apskaičiuo-kite kubo paviršiaus plotą ir tūrį. S a
V a
av2
3
=
=
6 ,p
.a
aa
48. Stačiakampio gretasienio aukštinė lygi 5, šoniniopaviršiaus plotas –– 170, o tūris –– 300. Apskai-čiuokite stačiakampio gretasienio pagrindo krašti-nių ilgius.
S ab + bc + ac
V abc
av =
=
2( ),
.
p
a b
c
49. Stačiojo gretasienio pagrindas yra rombas, kurio mažesniosios įstrižainės ilgis lygus 12 cm. Greta-sienio tūris yra 1440 cm3, o aukštinės ilgis –– 15 cm. Apskaičiuokite gretasienio:1) pagrindo plotą; 2) pagrindo kraštinės ilgį; 3) paviršiaus plotą.
50. Stačiosios prizmės pagrindas yra trikampis, kurio kraštinės yra5 cm ir 3 cm, o kampo tarp jų dydis lygus 120◦. Didžiausiosšoninės sienos plotas lygus 35 cm2. Apskaičiuokite prizmės:1) paviršiaus plotą; 2) tūrį.
120∞
A
A1
B
B1
C
C1
5 cm 3 cm
51. Taisyklingosios trikampės prizmės paviršiaus plotas yra 20√
3, o šoninė briauna lygi√
3.Apskaičiuokite prizmės tūrį.
52. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinė lygi√2, o šoninė briauna pasvirusi į pagrindo plokštumą 30◦ kampu.
1) Apskaičiuokite piramidės tūrį.2) Kokį kampą sudaro piramidės šoninė siena su jos pagrindu?
A
B C
D
S
30∞
2O
53. Taisyklingosios trikampės piramidės, kurios pagrindo kraštinėlygi 3 cm, sienos pasvirusios į pagrindo plokštumą 45◦ kampu.Apskaičiuokite piramidės:1) aukštinės SO ilgį;2) pagrindo aukštinės CE ilgį;3) pagrindo plotą;4) tūrį.
O
A C
B
S
E
45∞
54. (2004 m. valstybinio brandos egzamino uždavinys.)Tetraedro ABCD visos briaunos lygios 2. Taškai S ir R yraatitinkamai briaunų AB ir CD vidurio taškai.1) Įrodykite, kad RS ⊥ CD. (Nurodymas. Nagrinėkite �DSC.)2) Apskaičiuokite RS ilgį.
A C
B
S
D
R
DEM
O
24
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.6. Sukiniai5skyrius
1 užduotis. 1) Panagrinėję paveikslėlį, prisiminkite, kaip apskaičiuojamas ritinio paviršiaus plotas irtūris.
V = ◊ H,Spagr S Spav 2 .= ◊šon pagr+ S + +S Spagr šon pagr= S
Spagr
Spagr
Spagr
SšonH H
r
r
r
2) Ritinio aukštis yra 5 cm, pagrindo plotas lygus 4π cm2. Apskaičiuokite ritinio paviršiaus plotą ir tūrį.
2 užduotis. 1) Panagrinėję paveikslėlį, prisiminkite, kaip apskaičiuojamas kūgio paviršiaus plotas irtūris.
V = ◊ ◊– H,Spagr S S .pav = šon pagr+ S
SpagrSpagr Sšon
H
r
13
l
l
r
2) Kūgio aukštis yra 10 cm, pagrindo plotas lygus 64π cm2. Apskaičiuokite kūgio viso paviršiaus plotąir tūrį.
3 užduotis. 1) Prisiminkite, kaip apskaičiuojamas rutulio paviršiaus plotas ir tūris.
r
V –= πr3,
S rpav24= π .
43
2) Rutulio skersmens ilgis yra 6 cm. Apskaičiuokite rutulio paviršiaus plotą ir tūrį.
DEM
O
25
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.6. Uždaviniai 5skyrius
55. Ritinio aukštis yra 4 cm, o pagrindo spindulio ilgis lygus 2 cm. Apskaičiuokite ritinio:1) pagrindo plotą; 2) šoninio paviršiaus plotą; 3) viso paviršiaus plotą; 4) tūrį.
56. Ritinio tūris yra 24π cm3, o jo aukštinė 1,5 karto ilgesnė už pagrindo skersmenį. Apskaičiuokiteritinio paviršiaus plotą.
57. Stačiakampio formos skardos lapas, kurio ilgis yra 8 dm, o plotis –– 4 dm, sulenkiamas į ritinį.Raskite ritinio tūrį, kai ritinio aukštis lygus:1) 8 dm; 2) 4 dm.
58. Kūgio aukštis yra 24 cm, o sudaromosios ilgis lygus 25 cm. Apskaičiuokite kūgio:1) pagrindo spindulio ilgį; 2) pagrindo plotą; 3) šoninio paviršiaus plotą;4) viso paviršiaus plotą; 5) tūrį.
59. Kūgio sudaromoji su pagrindo plokštuma sudaro 60◦ kampą, o pagrindo apskritimo ilgis lygus20π cm. Apskaičiuokite kūgio paviršiaus plotą ir tūrį.
60. Kūgio aukštinė lygi 12 cm, o jo tūris lygus 324π cm3.Apskaičiuokite kūgio:1) pagrindo spindulio ilgį;2) pagrindo apskritimo ilgį;3) šoninio paviršiaus išklotinės centrinio kampo α dydį.
12
cm α
61. Kūgio sudaromosios ir jo aukštinės ilgių skirtumas lygus 3, o kampas tarp jų yra 60◦. Apskaičiuokitekūgio tūrį (π reikšmę imkite lygią 3,14).
62. Kūgio sudaromoji lygi 12 cm. Raskite kūgio paviršiaus plotą ir tūrį, jeigu jo išklotinė yra skritulioišpjova, kurios centrinis kampas lygus 120◦.
63. Apskaičiuokite rutulio, kurio skersmens ilgis lygus 20 dm, paviršiaus plotą ir tūrį.
64. Apskaičiuokite rutulio tūrį, jeigu rutulio paviršiaus plotas lygus 144π cm2.
65. Iš dviejų rutulių, kurių skersmenys yra 25 cm ir 35 cm ilgio, reikia išlydyti vieną rutulį. Raskitenaujo rutulio skersmenį. (Atsakymą pateikite 1 cm tikslumu.)
66. Pavaizduota stiklinė, kurios pagrindo spindulys lygus 2 cm, o aukštis –– 6 cm. Stikli-nė iki pusės pripilta vandens. Į stiklinę įdėtas šiaudelis, kaip parodyta paveikslėlyje.
1) Kiek milimetrų šiaudelio yra virš stiklinės, jei šiaudelio ilgis lygus 9 cm? (Atsa-kymą pateikite 1 mm tikslumu.)
2) Kokį kampą sudaro šiaudelis su stiklinės dugno plokštuma? (Atsakymą pateikite1◦ tikslumu.)
3) Kiek milimetrų šiaudelio yra vandenyje? (Atsakymą pateikite 1 mm tikslumu.)
67. (2008 m. valstybinio brandos egzamino uždavinys.)Kūgio formos šviestuvo gaubto paviršiaus išklotinė yra pusskri-tulis.
1) Dizaineris, turėdamas 0,9 m2 medžiagos, norėjo pagamintišviestuvo gaubtą (kūgį be pagrindo), kurio sudaromosios ilgislygus 0,7 m. Gaubto gamybai buvo panaudota ne visa medžia-ga. Kiek procentų medžiagos buvo nepanaudota? (Siūlėmssunaudojamos medžiagos neskaičiuokite.) Atsakymą suapva-linkite dešimtųjų tikslumu. Laikykite π = 3,14.
2) Įrodykite, kad kūgio, kurio šoninio paviršiaus išklotinė yrapusskritulis, ašinis pjūvis yra lygiakraštis trikampis.
DEM
O
26
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.7. Briaunainių pjūviai5skyrius
1 užduotis. 1) Pavaizduotos trikampės prizmės formos trinkelės dalys, kurios gautos ją perpjovus ly-giagrečiai su pagrindais. Panagrinėję paveikslėlį, pasakykite, ką vadiname prizmės lygiagrečiuoju pjūviu.
Lygiagretusi
j
s
p ūvis
α
β
γ
2) Kokia figūra yra trikampės prizmės pagrindas?3) Kokia figūra yra pjūvis, gautas perpjovus trikampę prizmę lygiagrečiai su pagrindais?4) Kokia figūra yra pjūvis, gautas perpjovus bet kokią prizmę lygiagrečiai su pagrindais?
2 užduotis. 1) Pavaizduotos keturkampės piramidės formos trinkelės dalys, kurios gautos ją perpjo-vus lygiagrečiai su pagrindu. Panagrinėję paveikslėlį, pasakykite, ką vadiname piramidės lygiagrečiuojupjūviu.
Lygiagretusi
j
s
p ūvisα
β
2) Kokia figūra yra keturkampės piramidės pagrindas?3) Kokia figūra yra pjūvis, gautas perpjovus keturkampę piramidę lygiagrečiai su pagrindu?4) Kokia figūra yra pjūvis, gautas perpjovus bet kokią piramidę lygiagrečiai su pagrindu?DE
MO
27
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.7. Uždaviniai 5skyrius
68. Kubo ABCDA1B1C1D1 briaunų, išeinančių iš viršūnės B, ga-lai sujungti atkarpomis. Gauto trikampio AB1C plotas lygus32
√3 cm2.
1) Apskaičiuokite kubo paviršiaus plotą ir tūrį.2) Kokį kampą sudaro plokštumos AB1C ir ACB?
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
69. (2001 m. valstybinio brandos egzamino uždavinys.)Kubo ABCDA1B1C1D1 briauna lygi 2 cm. Šį kubą kirsdamiplokštuma, einančia per viršūnes B1 ir D bei briaunų AB irD1C1 vidurio taškus P ir K , gauname keturkampį PB1KD.Apskaičiuokite gauto keturkampio plotą.
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
P
K
70. Taisyklingosios keturkampės prizmės ABCDA1B1C1D1 šoni-nės sienos įstrižainė su pagrindu sudaro kampą α. Prizmės šo-ninio paviršiaus plotas lygus 58,8. Apskaičiuokite prizmės įstri-žojo pjūvio AA1C1C plotą, kai tg α = 0,3.
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
71. Taisyklingosios trikampės prizmės ABCA1B1C1 pagrindo kraš-tinės ilgis yra 12 cm, o prizmės aukštinės ilgis yra 10 cm. Ap-skaičiuokite:1) pjūvio A1BC plotą;2) kampo tarp plokštumų A1BC ir ACB dydį.
A
A1
B
B1
C
C1
72. Taisyklingosios šešiakampės prizmės pjūvis, einantis per ilgiau-siąją įstrižainę, yra kvadratas, kurio plotas lygus 16 cm2. Ap-skaičiuokite prizmės tūrį.
73. Raskite taisyklingosios keturkampės piramidės SABCD pjūvioSAC plotą, jei piramidės pagrindo kraštinės ilgis lygus 20 cm,o šoninė briauna su pagrindo plokštuma sudaro 45◦ kampą.
A
B C
D
S
74. Taisyklingosios trikampės piramidės pagrindo kraštinė lygi 6 cm,o piramidės šoninės briaunos ilgis yra 2
√7 cm. Apskaičiuokite
pjūvio, einančio per piramidės šoninę briauną ir aukštinę, plotą.
A
C
B
S
6cm
2 7 cm
DEM
O
28
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.8. Sukinių pjūviai5skyrius
.
1 užduotis. 1) Pavaizduotos ritinio formos trinkelės dalys, kurios gautos ją perpjovus lygiagrečiai supagrindu ir per aukštinę. Panagrinėję paveikslėlį, pasakykite, ką vadiname ritinio lygiagrečiuoju pjūviuir ašiniu pjūviu.
Lygiagretusis
pjūvis
Ašinis
ūvispj
2) Kokia figūra yra ritinio lygiagretusis pjūvis? ašinis pjūvis?
2 užduotis. 1) Pavaizduotos kūgio formos trinkelės dalys, kurios gautos ją perpjovus lygiagrečiai supagrindu ir per aukštinę. Panagrinėję paveikslėlį, pasakykite, ką vadiname kūgio lygiagrečiuoju pjūviu irašiniu pjūviu.
Lygiagretusis
pjūvis
Ašinis
ūvispj
2) Kokia figūra yra kūgio lygiagretusis pjūvis? ašinis pjūvis?
3 užduotis. 1) Pavaizduotos rutulio formos trinkelės dalys, kurios gautos ją perpjovus per centrą irne per centrą. Panagrinėję paveikslėlį, pasakykite, ką vadiname rutulio ašiniu pjūviu.
Ašinis
ūvispj
Nea
pj
šinis
ūvis
2) Kokia figūra yra rutulio ašinis pjūvis? neašinis pjūvis?DEM
O
29
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.8. Uždaviniai 5skyrius
75. 1) Apskaičiuokite ritinio ašinio pjūvio ABCD plotą, kai ritinio aukštisyra 10 cm, o pagrindo plotas lygus 16π cm2.
2) Kokį kampą sudaro tiesė AC su ritinio pagrindu? (Atsakymą pa-teikite 1◦ tikslumu.)
A
BC
D
76. Ritinio ašinio pjūvio įstrižainės ilgis yra 10√
3 cm. Ši įstrižainė su pagrindo plokštuma sudaro 30◦kampą. Apskaičiuokite ritinio paviršiaus plotą ir tūrį.
77. Ritinio tūris lygus 240π cm3, o šoninio paviršiaus plotas –– 120π cm3. Raskite ritinio ašinio pjūvioįstrižainės ilgį.
78. (2003 m. valstybinio brandos egzamino pakartotinės sesijos uždavinys.)Ritinio šoninio paviršiaus išklotinė yra kvadratas. Raskite kampo, kurį sudaro šio ritinio ašiniopjūvio įstrižainė su pagrindo plokštuma, dydį.
79. Kūgio ašinis pjūvis yra statusis trikampis. Apskaičiuokite pjūvio plotą, jei kūgio pagrindo spindulioilgis lygus 3 dm.
80. Kūgio aukštinė lygi 6√
3 cm, o jo ašinis pjūvis yra lygiakraštis trikampis. Apskaičiuokite kūgiopaviršiaus plotą ir tūrį.
81. Kūgio ašinio pjūvio plotas lygus 24 cm2, o pagrindo plotas –– 16π cm2. Apskaičiuokite kūgio tūrį.
82. Kūgio tūris lygus 240π cm3. Kampo tarp kūgio sudaromosios ir pagrindo plokštumos tangentaslygus 5
12 . Apskaičiuokite kūgio:1) pagrindo spindulio ilgį; 2) ašinio pjūvio plotą; 3) paviršiaus plotą.
83. Kūgio pagrindo ir ašinio pjūvio plotų santykis lygus π . Kokiu kampu kūgio sudaromoji pasvirusiį pagrindo plokštumą?
84. Kūgio ašinis pjūvis yra statusis trikampis. Įrodykite, kad pjūvio plotas lygus kūgio pagrindo spin-dulio ilgio kvadratui.
85. Kūgis, kurio pagrindo spindulys lygus 20 cm, o aukštinė –– 15 cm,kertamas plokštuma, lygiagrečia su pagrindo plokštuma ir nuoviršūnės nutolusia 6 cm.1) Įrodykite, kad �AOS � �BO1S.2) Apskaičiuokite gauto pjūvio plotą.
O
O1B
A
S
6cm
86. Rutulys, kurio spindulys lygus 26 cm, kertamas plokštuma, nu-tolusia nuo rutulio centro 10 cm atstumu. Apskaičiuokite gautopjūvio plotą.
10
cm
87. Dviejų lygiagrečių pjūvių, esančių skirtingose rutulio centro pu-sėse, spindulių ilgiai lygūs 12 cm ir 16 cm. Atstumas tarp ker-tančių plokštumų lygus 28 cm. Apskaičiuokite rutulio spindulioilgį. 28
cm
16 cm
12 cm
DEM
O
30
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s5.9. Nupjautinė piramidė ir
nupjautinis kūgis5skyrius
Perpjovę piramidę lygiagrečiai su pagrindu, gauname du erdvinius kūnus –– piramidę, panašią į pradinę,ir nupjautinę piramidę.
1 užduotis. Naudodamiesi žemiau pateikta informacija, apskaičiuokite taisyklingosios keturkampėsnupjautinės piramidės viso paviršiaus plotą ir tūrį, kai jos pagrindų briaunų ilgiai yra 8 cm ir 14 cm, oaukštinės ilgis lygus 4 cm.
Pagrindo
briauna
Viršūnė
Šoninė briauna
Šoninės sienosaukštinė
PagrindaiH Aukštinė
S2
S1
Perpjovę kūgį lygiagrečiai su pagrindu, gauname du erdvinius kūnus –– kūgį, panašų į pradinį, ir nupjautinįkūgį.
2 užduotis. Naudodamiesi žemiau pateikta informacija, apskaičiuokite nupjautinio kūgio viso pavir-šiaus plotą ir tūrį, kai jo pagrindų spindulių ilgiai yra 9 cm ir 3 cm, o aukštinės ilgis lygus 8 cm.
H
r1
r2
l
Pagrindo
spindulys
Pagrindo
spindulys
Aukštinė
SudaromojiPagrindai
DEM
O
31
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.9. Uždaviniai 5skyrius
88. Taisyklingosios keturkampės nupjautinės piramidės pagrindų kraštinės yra 5√
2 cm ir√
2 cm ilgio,o šoninė briauna lygi 5 cm. Apskaičiuokite nupjautinės piramidės tūrį.
89. Taisyklingosios keturkampės nupjautinės piramidės pagrindų kraštinių ilgiai yra 18 cm ir 8 cm, oaukštinės ilgis yra 12 cm. Raskite nupjautinės piramidės paviršiaus plotą.
90. Nupjautinio kūgio pagrindų spinduliai lygūs 9 cm ir 15 cm, o sudaromoji pasvirusi į pagrindo plokš-tumą 45◦ kampu. Apskaičiuokite nupjautinio kūgio paviršiaus plotą ir tūrį.
91. Nupjautinio kūgio pagrindų plotai lygūs 36π dm2 ir 4π dm2, o aukštinė –– 5 dm. Apskaičiuokitenupjautinio kūgio paviršiaus plotą ir tūrį.
92. Kūgis, kurio spindulys AO = 6 cm, o aukštinė SO = 8 cm, per-pjautas lygiagrečiai su pagrindu. Gautas mažesnis kūgis, kuriospindulys A1O1 = 3 cm, o aukštinė SO1 = 4 cm. Apskaičiuo-kite:1) a) SA; b) SA1;2) a) AO
A1O1; b) SO
SO1; c) SA
SA1;
3) pradinio ir atkirstojo kūgių:a) pagrindų plotus ir jų santykį;b) tūrius ir jų santykį. O
O1
A
A1
B
B1
S
93. Taisyklingoji keturkampė piramidė SABCD perpjauta lygiagre-čiai su pagrindu, AD = 10 cm, A1D1 = 5 cm, ∠SAC = 45◦.1) Apskaičiuokite:
a) piramidės SABCD aukštinės SO ilgį ir šoninės briau-nos SA ilgį;
b) piramidės SA1B1C1D1 aukštinės SO1 ilgį ir šoninėsbriaunos SA1 ilgį.
2) Apskaičiuokite santykį:a) AD
A1D1; b) SO
SO1; c) SA
SA1.
3) Apskaičiuokite piramidžių SABCD ir SA1B1C1D1:a) pagrindų plotus ir jų santykį; b) tūrius ir jų santykį.
O
O1
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
S
5 cm
10 cm
45∞
O
O1
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
S
—— —– —– ,= = = kABA B1 1
SOSO1
SASA1
——— = =k k2 3
., ———S
SABCD
A B C D1 1 1 1
VV
SABCD
SA B C D1 1 1 1
O
O1
A
A1
B
B1
S
—– —– —— ,= = = kSOSO1
SASA1
AOA O1 1
—— = =k k2 3
., —S
Spagr
1pagr
VV1
94. Piramidės pagrindo plotas lygus 98 cm2, o aukštinė –– 14 cm. Piramidė kertama plokštuma, lygia-grečia su pagrindu. Pjūvio plotas lygus 32 cm2. Apskaičiuokite:a) atkirstos piramidės tūrį; b) nupjautinės piramidės tūrį.
95. Kūgio aukštinė lygi 15 cm. Jį kerta plokštuma, kuri yra lygiagreti su pagrindu ir nutolusi nuo kūgioviršūnės 6 cm. Atkirsto mažesniojo kūgio tūris lygus 216 cm3. Apskaičiuokite pradinio kūgio tūrį.
DEM
O
32
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.10. Sudėtingesni erdviniai kūnai5skyrius
1 užduotis. 1 pav. pavaizduota trinkelė yra stačiakampio gretasienio formos, o 2 pav. –– taisyklingosiosketurkampės piramidės formos. 3 pav. pavaizduota trinkelė gauta uždėjus antrąją trinkelę ant pirmosios,o 4 pav. pavaizduota trinkelė gauta pirmojoje trinkelėje išpjovus antrosios trinkelės formos skylę.
6 cm 6 cm6
cm6
cm
5cm
1 pav. 2 pav. 3 pav. 4 pav.5
cm
Apskaičiuokite visų keturių pavaizduotų trinkelių tūrius ir paviršių plotus.
2 užduotis. 1) Stačiakampio gretasienio formos medinės kaladėlės aukštis lygus 8 cm, o pagrindas ––kvadratas, kurio kraštinė lygi 10 cm. Apskaičiuokite stačiakampio gretasienio tūrį.2) Kaladėlėje statmenai pagrindui išgręžiama ritinio formos skylė. Gautojo kūno (kaladėlės su skyle)
tūris sudaro 56 % viso stačiakampio gretasienio tūrio.
10 cm10
cm
8cm
Parodykite, kad:a) skylės tūris lygus 352 cm3;b) skylės pagrindo spindulys lygus
√14 cm (π reikšmę imkite lygią 22
7 ).
3 užduotis. Pavaizduotas kubas, į kurį įbrėžtas kūgis. Kūgio pagrindas liečia visas kubo pagrindokraštines, o kūgio viršūnė yra kubo viršutinėje sienoje. Kūgio tūris lygus 18π cm3. Apskaičiuokite kubopaviršiaus plotą.
DEM
O
33
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
5.10. Uždaviniai 5skyrius
96. Pavaizduotas kūnas sudarytas iš stačiakampio gretasienio ir tai-syklingosios piramidės. Kūno paviršiaus plotas lygus 351 dm2.Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite x reikšmę.
x
x
3
97. Į kubą įbrėžtos piramidės pagrindo viršūnės yra kubo apatiniopagrindo kraštinių vidurio taškai, o piramidės viršūnė yra ku-bo viršutinio pagrindo įstrižainių susikirtimo taškas. Apskai-čiuokite piramidės šoninio paviršiaus plotą, jei kubo briaunalygi 10 cm.
98. Pagaminta vandens talpa, sudaryta iš ritinio šoninio paviršiaus irpussferės. Talpos pjūvis pavaizduotas brėžinyje. Naudodamie-si brėžinio duomenimis, apskaičiuokite ritinio dalies aukštį, jeitalpos tūris lygus 360 m3. Atsakymą parašykite 0,1 m tikslumu.
8 m
4m
? m
99. Pavaizduotas ritinys, į kurį įbrėžtas kūgis. Kūgio pagrindas su-tampa su apatiniu ritinio pagrindu, o kūgio viršūnė sutampa suritinio viršutinio pagrindo centru. Plokštuma α kerta ritinį irkūgį lygiagrečiai su jų pagrindais. Apskaičiuokite brėžinyje nu-spalvinto žiedo plotą, jei ritinio pagrindo spindulys lygus 6 cm,kūgio aukštinė yra 21 cm ilgio, o atstumas tarp plokštumos α irkūgio pagrindo plokštumos lygus 14 cm.
O
O1
O2
α
100. Pavaizduota taurės viršutinė dalis yra kūgio, kurio ašinis pjū-vis yra lygiakraštis trikampis, formos. Į taurę įmesto rutuliukospindulys lygus 6 cm. Į taurę įpilta tiek vandens, kad jis lie-čia rutuliuko viršų. Koks bus vandens aukštis taurėje, kai iš joišimsime rutuliuką?
101. Iš muilo tirpalo, naudojantis šiaudeliu, pučiamas sferos formos muilo burbulas. Apskaičiuokite10 cm skersmens muilo burbulo sienelės storį milimetrais, jei jis gautas iš 4 mm skersmens rutulioformos tirpalo. Atsakymą pateikite 0,001 mm tikslumu.
? mm
10 cm
4 mm
DEM
O
34
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Apibendriname5skyrius
PrizmėErdvinis kūnas, kurio dvi sienos (pagrindai) yra betkokie lygūs ir lygiagretūs daugiakampiai, o šoninėssienos –– lygiagretainiai, kurių viena kraštinė yraviename pagrinde, o priešingoji –– kitame, vadina-mas prizmè.Atkarpa, jungianti prizmės pagrindų plokštumas irjoms statmena, vadinama prizmės aukštinè.
Viršūnė
Šoninė siena
Šoninė briauna
Pagrindai
Aukštinė
Pagrindo briauna
Prizmė, kurios visos šoninės sienos yra stačiakam-piai, vadinama stačiąja.Stačiosios prizmės šoninė briauna vadinama prizmėsaukštinè (žymima H ).
H
Stačiosios prizmės šoninio paviršiaus plotas lyguspagrindo perimetro ir aukštinės ilgio sandaugai:Sšon = Ppagr · H .Stačiosios prizmės viso paviršiaus plotas lygus šo-ninio paviršiaus ploto ir pagrindų plotų sumai:Spav = Sšon + 2 · Spagr.Stačiosios prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir aukš-tinės ilgio sandaugai:V = Spagr · H .
5 cm
4 cm
2cm
3 cm
Sšon = 3 · 2 + 4 · 2 + 5 · 2 == (3 + 4 + 5) · 2 = 24
(cm2)
,Spagr = 1
2 · 3 · 4 = 6(cm2)
,Spav = 24 + 2 · 6 = 36
(cm2),
V = 6 · 2 = 12(cm3).
Prizmės lygiagretusis pjūvis yra daugiakampis, ly-gus prizmės pagrindams.
Lygiagretusis
pjūvis
α
β
γ
γ α β.|| ||
PiramidėErdvinis kūnas, kurio viena siena (pagrindas) yrabet koks daugiakampis, o kitos sienos (šoninės) yratrikampiai, turintys bendrą viršūnę, vadinamas pi-ramidè.Atkarpa, jungianti piramidės viršūnę su piramidėspagrindo plokštuma ir jai statmena, vadinama pira-midės aukštinè.
Piramidės viršūnė
Šoninė siena
AukštinėŠoninė briauna
Pagrindas
Pagrindobriauna
Pagrindoviršūnė
Piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingasis dau-giakampis, o šoninės sienos –– lygūs lygiašoniai tri-kampiai, vadinama taisyklingąja.Atkarpa, jungianti taisyklingosios piramidės viršū-nę su pagrindo centru, vadinama piramidės aukšti-nè (žymima H ).Taisyklingosios piramidės šoninės sienos aukštinėvadinama piramidės apotemà (žymima d).
AukštinėdH
Apotema
Piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus šoniniųsienų plotų sumai.Piramidės viso paviršiaus plotas lygus šoninio pa-viršiaus ir pagrindo plotų sumai:Spav = Sšon + Spagr.Piramidės tūris lygus pagrindo ploto ir aukštinėsilgio sandaugos trečdaliui:V = 1
3 · Spagr · H .
8cm
12 cm
10cm
Sšon = 4 · S� = 4 · 12 · 12 · 10 =
= 240(cm2)
,Spagr = 122 = 144
(cm2)
,Spav = 240 + 144 = 384
(cm2)
,V = 1
3 · 144 · 8 = 384(cm3)
.
Piramidės lygiagretusis pjūvis yra daugiakampis, pa-našus į piramidės pagrindą.
Lygiagretusis
pjūvis
α
γ
γ α.||
DEM
O
35
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Apibendriname 5skyrius
RitinysSukdami stačiakampį apie bet kurią jo kraštinę, gauna-me erdvinį kūną, kuris vadinamas ritiniu.Ritinio pagrindai yra du lygūs skrituliai.Atkarpa, jungianti pagrindų centrus, vadinama ritinioaukštinè (žymima H ).
r
r Pagrindospindulys
AukštinėPagrindai
H
Ritinio šoninio paviršiaus plotas lygus plotui stačiakam-pio, kurio vienos kraštinės ilgis lygus ritinio aukštinėsilgiui, o kitos –– ritinio pagrindo apskritimo ilgiui:Sšon = 2πrH .Ritinio viso paviršiaus plotas lygus pagrindų ir šoniniopaviršiaus plotų sumai:Spav = 2 ·Spagr +Sšon = 2πr2 + 2πrH = 2πr(r +H).Ritinio tūris lygus pagrindo ploto ir aukštinės ilgio san-daugai: V = Spagr · H = πr2H .
2 cm
4cm
Sšon = 2π · 2 · 4 = 16π(cm2),
Spagr = π · 22 = 4π(cm2),
Spav = 2 · 4π + 16π = 24π(cm2)
,V = 4π · 4 = 16π
(cm3).
Ritinio lygiagretusis pjūvis yra skritulys, lygus ritiniopagrindui.Ritinio ašinis pjūvis yra stačiakampis, kurio viena kraš-tinė lygi ritinio pagrindo skersmeniui, o kita –– ritinioaukštinei.
Lygiagretusispjūvis
Ašinispjūvis
KūgisSukdami statųjį trikampį apie bet kurį jo statinį, gauna-me erdvinį kūną, kuris vadinamas kūgiu.Atkarpa, jungianti kūgio viršūnę su pagrindo centru, va-dinama kūgio aukštinè (žymima H ).Atkarpa, jungianti kūgio viršūnę su bet kuriuo pagrin-do apskritimo tašku, vadinama kūgio sudãromąja (žymi-ma l).
H
r
l
Pagrindo
spindulys
Kūgio
viršūnė
Sudaromoji
Aukštinė
Pagrindas
Kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo apskri-timo ir sudaromosios ilgių sandaugos pusei:Sšon = 1
2 · 2πr · l = πrl.Kūgio viso paviršiaus plotas lygus pagrindo ir šoniniopaviršiaus plotų sumai:Spav = Spagr + Sšon = πr2 + πrl = πr(r + l).Kūgio tūris lygus pagrindo ploto ir aukštinės ilgio san-daugos trečdaliui: V = 1
3 · Spagr · H = 13πr2H .
6 cm8cm
10cm
Sšon = π · 6 · 10 = 60π(cm2),
Spagr = π · 62 = 36π(cm2),
Spav = 60π + 36π = 96π(cm2)
,V = 1
3 · 36π · 8 = 96π(cm3).
Kūgio lygiagretusis pjūvis yra skritulys, panašus į kūgiopagrindą.Kūgio ašinis pjūvis yra lygiašonis trikampis, kurio pag-rindas lygus kūgio pagrindo skersmeniui, o šoninė kraš-tinė lygi kūgio sudaromajai.
Lygiagretusis
pjūvis
Ašinis
pjūvis
RutulysSukdami pusskritulį apie jo skersmenį, gauname erdvinįkūną, kuris vadinamas rùtuliu.Rutulio paviršiaus plotas lygus spindulio ilgio kvadratui,padaugintam iš keturgubo skaičiaus π : Spav = 4πr2.Rutulio tūris lygus spindulio ilgio kubui, padaugintam išketurgubo skaičiaus π trečdalio: V = 4
3πr3.
2 cm
Spav = 4π · 22 = 16π(cm2),
V = 43 · π · 23 = 32
3 π(cm3).
Rutulio ašinis pjūvis yra skritulys, kurio spindulys lygusrutulio spinduliui.
Ašinis pjūvis
DEM
O
36
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Apibendriname5skyrius
AksiomosTeiginiai, kuriuos sutarta laikyti teisingais be įrodymo,vadinami aksiòmomis.
Nagrinėdami stereometriją ir erdvinius kūnus, naudoja-mės šiomis aksiomomis:1. Per bet kuriuos du taškus galima nubrėžti vienintelętiesę.
2. Per bet kuriuos tris taškus, nesančius vienoje tiesėje,galima nubraižyti vienintelę plokštumą.
3. Jei du tiesės taškai yra plokštumoje, tai ir visi kititiesės taškai yra toje plokštumoje.
4. Jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi irbendrą tiesę, kurioje yra visi bendrieji tų plokštumų taš-kai.
TeoremosTeiginiai, kurių teisingumas įrodomas remiantis aksiomo-mis ar kitais įrodytais teiginiais, vadinami teorèmomis.
Stereometrijos teoremų pavyzdžiai:1. Per tiesę ir jai nepriklausantį tašką galima nubraižytivienintelę plokštumą.
2. Per dvi susikertančias tieses galima nubraižyti vienin-telę plokštumą.
3. Per dvi lygiagrečias tieses galima nubraižyti vienintelęplokštumą.
4. Tiesės ir plokštumos statmenumo požymisJei tiesė yra statmena dviem susikertančioms plokštumostiesėms, tai ji statmena plokštumai.
a a
b bc c
γ
γ
a ⊥ b, a ⊥ c, b ∩ c, ⇒ a ⊥ γ .
5. Trijų statmenų teoremaJei plokštumos tiesė, einanti per pasvirosios pagrindą, yrastatmena pasvirosios projekcijai, tai ji statmena ir pasvi-rajai.
a
b
a¢
γ
Jei b ⊥ a′, tai b ⊥ a.
6. Atvirkštinė trijų statmenų teoremaJei plokštumos tiesė, einanti per pasvirosios pagrindą, yrastatmena pasvirajai, tai ji statmena ir pasvirosios projek-cijai.
Jei b ⊥ a, tai b ⊥ a′.
DEM
O
37
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Apibendriname 5skyrius
Kampai erdvėjeKampą tarp prasilenkiančiųjų tiesių a ir b randame taip:
1) braižome plokštumą γ , einančią per vieną iš tiesių (a),ir kertančią kitą tiesę (b);
2) per tiesės b pagrindą plokštumoje γ brėžiame tiesę a′,lygiagrečią su tiese a;
3) randame kampą tarp tiesių b ir a′.
a
b
a¢ϕ
γ
(a, b) = (a′, b) = ϕ.
Kampo tarp pasvirosios b ir plokštumos γ ieškome taip:1) randame tiesės b projekciją b′ plokštumoje γ ;2) randame kampą tarp tiesių b ir b′.
b
b¢ ϕ
γ
(b, γ ) = (b, b′) = ϕ.
Kampą tarp susikertančiųjų plokštumų α ir β (dvisieniokampo dydį) galima rasti taip:
1) iš plokštumų α ir β sankirtos tiesės a (dvisienio kam-po briaunos) kurio nors taško brėžiame du statmenis įtiesę a: vieną –– plokštumoje α, kitą –– plokštumoje β;
2) randame kampą tarp nubrėžtų statmenų.
α
β
B
CA
ϕ
a
(α, β) = ∠BAC = ϕ.
Nupjautinė piramidėNupjautinės piramidės paviršiaus plotas Spav lygus jos šo-ninių sienų ploto Sšon ir pagrindų plotų S1 pagr ir S2 pagrsumai, t. y.
Spav = Sšon + S1 pagr + S2 pagr.
Nupjautinės piramidės tūris
V = 13H
(S1 pagr +
√S1 pagr · S2 pagr + S2 pagr
).
H
Nupjautinis kūgisNupjautinio kūgio paviršiaus plotas Spav lygus jo šoniniopaviršiaus ploto Sšon ir pagrindų plotų S1 pagr ir S2 pagrsumai, t. y.
Spav = Sšon + S1 pagr + S2 pagr.
Nupjautinio kūgio tūris
V = 13H
(S1 pagr +
√S1 pagr · S2 pagr + S2 pagr
).
lH
r2
r1
Spav = π(r1 + r2)l + πr21 + πr2
2 == π
(r1l + r2l + r2
1 + r22).
V = 13H
(πr2
1 +√
πr21 · πr2
2 + πr22) =
= 13πH
(r21 + r1 · r2 + r2
2).
DEM
O
38
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Sprendžiame5skyrius
102. Taisyklingojo šešiakampio kraštinės ilgis yra 10 cm. Iš šešiakampio viršūnės A į jo plokštumąiškeltas statmuo AM , kurio ilgis 5 cm. Apskaičiuokite atstumus nuo taško M iki šešiakampiokraštinių.
103. Atkarpa MN , kurios ilgis yra 20 cm, kerta plokštumą α taške O. Atkarpos galai M ir N nuoplokštumos α nutolę atitinkamai 4 cm ir 6 cm atstumu. Raskite dydį kampo, kurį sudaro atkarpaMN su plokštuma α.
104. Trikampio ABC kraštinė AC lygiagreti su plokštuma α, o kraštinės AB ir BC kerta tą plokštumąatitinkamai taškuose K ir L.1) Įrodykite, kad �ABC � �KBL.2) Apskaičiuokite kraštinės AC ilgį, jeigu BL = 4, LC = 12, KL = 6.
105. Iš taško A į plokštumą α nubrėžtos dvi lygios pasvirosios AB ir AC. Kampas tarp pasvirųjų lygus60◦, o tarp jų projekcijų –– 120◦. Apskaičiuokite pasvirosios AB ir jos projekcijos ilgių santykį.
106. Stačiojo lygiašonio trikampio ABC statinis AC yra plokštumoje α, o įžambinė BC pasvirusi į tąplokštumą kampu, kurio sinusas lygus
√3
4 . Apskaičiuokite kampą tarp trikampio ABC plokštumosir plokštumos α, jeigu atstumas nuo trikampio viršūnės B iki plokštumos α lygus
√6.
107. Lygiakraščio trikampio ABC ir kvadrato BCDE plokštumos yra statmenos. Raskite atstumą nuotaško A iki kraštinės DE, jeigu AB = 4 cm.
108. Kubo ABCDA1B1C1D1 briauna lygi 2, o taškas M yra briau-nos BB1 vidurio taškas.
1) Apskaičiuokite kūnų, į kuriuos plokštuma ACM padalijo ku-bą, tūrių santykį.
2) Apskaičiuokite dydį kampo, kurį sudaro plokštumos ACM irABCD.
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1M
109. Stačiakampio gretasienio šoninių sienų įstrižainės su pagrindu sudaro 30◦ ir 60◦ kampus. Pagrindoįstrižainė lygi
√30. Apskaičiuokite stačiakampio gretasienio tūrį.
110. Stačiojo gretasienio pagrindo kraštinių ilgiai yra 6 ir 10, o kampas tarp jų lygus 60◦. Apskaičiuokitegretasienio tūrį, jeigu ilgesnioji gretasienio įstrižainė lygi 18.
111. Kubo viso paviršiaus plotas lygus 13,5 dm2. Apskaičiuokite kubo tūrį.
112. Apskaičiuokite kubo viso paviršiaus plotą, jei jo tūris lygus tūriui stačiakampio gretasienio, kuriomatmenys yra 16 cm × 4 cm × 8 cm.
113. Stačiosios prizmės pagrindas yra lygiakraštis trikampis, kurio aukštinės ilgis lygus 3√
3 cm. Ap-skaičiuokite prizmės viso paviršiaus plotą ir tūrį, jei prizmės aukštis yra 8 cm.
114. Taisyklingosios trikampės piramidės aukštinės ilgis lygus 12 cm,o apotemos ilgis –– 13 cm. Apskaičiuokite piramidės:1) pagrindo aukštinės BD ilgį;2) pagrindo kraštinės ilgį;3) pagrindo plotą;4) šoninio paviršiaus plotą;5) viso paviršiaus plotą;6) tūrį.
O
A
D
C
B
S
DEM
O
39
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Sprendžiame 5skyrius
115. Taisyklingosios trikampės piramidės aukštinės ilgis yra 6 cm.Piramidės šoninė briauna su pagrindo plokštuma sudaro 45◦kampą. Apskaičiuokite piramidės viso paviršiaus plotą ir tūrį.
O
A
C
B
S
6cm
45∞
116. Kvadratas, kurio įstrižainės ilgis lygus 2√
6 cm, sukamas apie vieną jo kraštinę. Apskaičiuokitegautojo erdvinio kūno:a) viso paviršiaus plotą; b) tūrį.
117. Apskaičiuokite ritinio tūrį, jei ritinio viso paviršiaus plotas lygus 120πm2, o šoninio paviršiausplotas –– 88π m2.
118. Trys rutuliukai, kurių spindulių ilgiai yra 1 cm, 2 cm ir 3 cm, sulydyti į vieną rutulį. Apskaičiuokitešio rutulio:a) tūrį; b) spindulio ilgį.Laikykite π = 3,14. Atsakymus suapvalinkite iki dešimtųjų.
119. Statusis trikampis, kurio įžambinės ilgis lygus 25 cm, o vieno statinio ilgis –– 15 cm, sukamas apieilgesnįjį statinį. Apskaičiuokite gautojo erdvinio kūno:a) viso paviršiaus plotą; b) tūrį.
120. Statusis trikampis, kurio statinių ilgiai yra 20 cm ir 21 cm,sukamas apie įžambinę. Apskaičiuokite gautojo sukinio:a) viso paviršiaus plotą; b) tūrį.
121. Lygiašonė trapecija, kurios ilgesnysis pagrindas lygus 12 dm, osmailusis kampas –– 45◦, sukama apie trumpesnįjį pagrindą. Ap-skaičiuokite gautojo erdvinio kūno tūrį, jei trapecijos trumpes-nysis pagrindas yra trigubai trumpesnis už ilgesnįjį pagrindą.
122. Stačiakampis gretasienis ABCDA1B1C1D1 perkirstas taip, kadpjūvis eina per briaunas BB1 ir DD1. Apskaičiuokite pjūvioBB1D1D plotą, kai AD = 4 cm, AB = 3 cm, DB1 = 13 cm.
A
A1
D
D1
C
C1
B
B1
123. ABCDA1B1C1D1 yra stačiakampis gretasienis, ABCD –– kvad-ratas. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite įstri-žojo pjūvio ACC1A1 plotą.
A
A1
D
D1
C
C1
B
B1
30∞
4 2 cm
DEM
O
40
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Sprendžiame5skyrius
124. Taisyklingoji keturkampė piramidė perpjauta taip, kad pjūviseina per piramidės viršūnę S ir pagrindo įstrižainę BD. Ap-skaičiuokite pjūvio plotą, kai AD = 5 cm, SA = 10 cm.
A
B C
D
S
125. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo briaunos ilgislygus 20 cm. Piramidės šoninė briauna SC su pagrindo plokš-tuma sudaro 45◦ kampą, t. y. ∠SCA = 45◦. Apskaičiuokiteįstrižojo pjūvio SAC plotą.
A
B C
D
S
45∞
126. Taisyklingoji keturkampė piramidė perpjauta taip, kad pjūvis ei-na per pagrindo priešingų briaunų vidurio taškus ir piramidėsviršūnę. Apskaičiuokite pjūvio SEF plotą, jei piramidės pag-rindo briaunos ilgis lygus 24 cm, o apotemos ilgis –– 20 cm.
A
B C
DE
F
S
127. Ritinio ašinio pjūvio plotas lygus 625 dm2, o pagrindo plotas –– 25π dm2. Apskaičiuokite ritinio:a) aukštinės ilgį; b) tūrį.
128. Kūgio ašinio pjūvio plotas lygus 12 cm2, o pagrindo plotas –– 4π cm2. Apskaičiuokite kūgio:a) aukštinės ilgį; b) tūrį.
129. Rutulio paviršiaus plotas lygus 9π dm2. Apskaičiuokite rutulio:a) spindulio ilgį; b) ašinio pjūvio plotą; c) tūrį.
130. Iš kubo išpjauti 6 kūgiai, kurių kiekvieno pagrindo apskritimasliečia kubo sienos briaunas, o aukštis yra dvigubai trumpesnis užkubo briaunos ilgį. Apskaičiuokite gauto kūno viso paviršiausplotą ir tūrį, jei kubo briaunos ilgis yra a cm.
131. Kūgio šoninio paviršiaus išklotinės centrinis kampas lygus 120◦. Apskaičiuokite kūgio tūrį, jeikūgio aukštinė lygi 4
√2 cm.
132. Į rutulį įbrėžta taisyklingoji keturkampė piramidė, kurios aukštinę rutulio centras dalija į dvi dalis,lygias 4 cm ir 5 cm. Apskaičiuokite piramidės tūrį.
133. Ritinio formos indo pagrindo skersmuo lygus 22 cm. Į indąįmesti du rutuliai, kurių skersmenys yra 10 cm ir 14 cm. Į indąįpilta 5 litrai vandens. Ar vanduo pilnai apsemia abu rutulius?Atsakymą pagrįskite.
DEM
O
41
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Sprendžiame 5skyrius
134. (2000 m. valstybinio brandos egzamino uždavinys.)Duotas kubas ABCDA1B1C1D1, kurio briauna lygi 1.
1) Parodykite, kad atstumas nuo viršūnės A iki briaunosD1C1 vidurio taško E lygus 3
2 .2) Įrodykite, kad piramidės ACB1D1 briaunos AC ir B1D1
yra statmenos.3) Apskaičiuokite piramidės ACB1D1 tūrį.
AB
D1C1
A1B1
CD
E
11
1
135. (2001 m. valstybinio brandos egzamino pakartotinės sesijos uždavinys.)1) Į spindulio R sferą įbrėžtas kubas. Apskaičiuokite šio kubo briaunos ilgį.2) Spindulio R sfera kertama plokštuma, einančia per jos centrą. Į gautąją sferos nuopjovą (pus-
sferę) taip įbrėžtas kubas, kad jo pagrindas yra sferą kertančioje plokštumoje, o kitos keturiosviršūnės –– sferos paviršiuje. Apskaičiuokite šio kubo ir į sferą įbrėžto kubo (žr. 1) punktą)tūrių santykį.
136. (1999 m. valstybinio brandos egzamino uždavinys.)Taškas E yra šalia plokštumos α, taškai C, F ir D ––plokštumoje α. Duota, kad EF ⊥ CF , CE = DE = 5,CF = 3, ∠FCD = ∠FDC = 30◦.
1) Parodykite, kad trikampio CFD plotas yra S = 9√
34 .
2) Įrodykite, kad atkarpa EF statmena plokštumai α.3) Apskaičiuokite piramidės CDEF tūrį.
C
D
F
E
α
137. (2005 m. valstybinio brandos egzamino uždavinys.)Du lygiašoniai trikampiai ABC ir DBC turi bendrą pagrindą BC,kurio ilgis yra 16 cm. Trikampių plokštumos sudaro 60◦ kampą,AB = AC = 17 cm, BD ⊥ DC, E –– atkarpos BC vidurio taškas.1) Įrodykite, kad ∠AED = 60◦.2) Apskaičiuokite kraštinės CD ilgį.3) Apskaičiuokite atstumą tarp viršūnių A ir D.
A
B
D
E C
138. Į taisyklingąją keturkampę piramidę, kurios pagrindo kraštinės il-gis yra 6 cm, o aukštinės –– 12 cm, įbrėžiama taisyklingoji prizmė,kurios viršutinio pagrindo viršūnės yra piramidės briaunose. Kokiodidžiausio tūrio prizmę galima įbrėžti?
1) Įrodykite, kad �SO1A1 � �SOA.2) Pažymėję ibrėžtos prizmės pagrindo kraštinės ilgį x, parodykite,
kad prizmės aukštinės ilgis h išreiškiamas formule h = 12 − 2x.3) Kokio didžiausio tūrio prizmę galima įbrėžti?
A
A1
O
O1
S
139. Į kūgį, kurio aukštis lygus 12, o pagrindo spindulys –– 4, įbrėžtasritinys.
1) Pažymėję ritinio pagrindo spindulį x, parodykite, kad ritinioaukštis h išreiškiamas formule h = 12 − 3x.
2) Parodykite, kad įbrėžto ritinio tūris yra didžiausias, kai ritinioaukštinė lygi 4.
12
4
DEM
O
42
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Besidomintiems5skyrius
Taisyklingieji briaunainiai
Briaunainis vadinamas iškilúoju, jei per bet kurią jo sieną išvesta plokštuma nekerta kitų briaunainiosienų. Pavyzdžiui, prizmės ir piramidės yra iškilieji briaunainiai, o žemiau pavaizduotas erdvinis kryžiusyra neiškilasis briaunainis.
Iškilasis briaunainis vadinamas taisyklinguoju, jei jo visos sienos yra lygūs taisyklingieji daugiakampiaiir kiekvieną briaunainio viršūnę sudaro vienodas skaičius sienų.
Iš lygiakraščių trikampių (taisyklingųjų trikampių) galima sudaryti tris taisyklinguosius briaunainius.
DEM
O
43
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Besidomintiems 5skyrius
Iš kvadratų (taisyklingųjų keturkampių) galima sudaryti vieną taisyklingąjį briaunainį.
Iš taisyklingųjų penkiakampių galima sudaryti vieną taisyklingąjį briaunainį.
Daugiau taisyklingųjų briaunainių sudaryti neįmanoma.
1 užduotis. Kurias iš pavaizduotų figūrų galima laikyti oktaedro išklotinėmis?
a)
d)
b)
e)
c)
f)
DEM
O
44
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Besidomintiems5skyrius
Oilerio teorema
Iškilojo briaunainio viršūnių skaičių V , briaunų skaičių B ir sienų skaičių S sieja lygybė
V − B + S = 2.
Viršūnių skaičius Briaunų skaičius Sienų skaičiusV B S
Trikampė piramidė 4 6 4Keturkampė piramidė 5 8 5Penkiakampė piramidė 6 10 6
Trikampė prizmė 6 9 5Keturkampė prizmė 8 12 6Penkiakampė prizmė 10 15 7
2 užduotis. Kiek viršūnių V , kiek briaunų B ir kiek sienų S turi:a) n-kampė piramidė? b) n-kampė prizmė?
Sfera ir plokštuma
Jei tiesė ir apskritimas turi bendrų taškų, tai teisingi šie teiginiai:
• Apskritimo spindulys, nubrėžtas į liestinės ir apskritimo bendrątašką, yra statmenas liestinei.
A B
O
OB ⊥ AB.
• Apskritimo spindulys, nubrėžtas per stygos vidurio tašką, yrastatmenas kirstinei, einančiai per stygą.
A B
O
C
OC ⊥ AB.
Jei plokštuma ir sfera turi bendrų taškų, tai teisingi šie teiginiai:
• Sferos spindulys, nubrėžtas į plokštumos ir sferos lietimosi tašką,yra statmenas plokštumai.
A
O
αOA ⊥ α.
• Sferos spindulys, nubrėžtas per plokštumos ir sferos sankirtosapskritimo centrą, yra statmenas plokštumai. O
O1α
OO1 ⊥ α.
DEM
O
45
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Besidomintiems 5skyrius
Ritinys ir plokštuma
Plokštuma, kuri kerta ritinį ir:
• eina per jo aukštinę arba yra su ja lygiagreti, ritinyje iškerta stačia-kampį;
fi
• yra lygiagreti su jo pagrindais, ritinyje iškerta apskritimą;
fi
• nėra lygiagreti su jo pagrindais ir jų nekerta, ritinyje iškerta elipsę.
fi
Kūgis ir plokštuma
Plokštuma, kuri kerta kūgį ir:
• eina per jo viršūnę, kūgyje iškerta lygiašonį trikampį;fi
• yra lygiagreti su jo pagrindu, kūgyje iškerta apskritimą;fi
• nėra lygiagreti su jo pagrindu bei nekerta pagrindo, kūgyje iškertaelipsę;
fi
• yra lygiagreti su vienintele jo sudaromąja, kūgio šoniname paviršiujeiškerta parabolę;
fi
• yra lygiagreti su dviem jo sudaromosiomis, kūgio šoniname pavir-šiuje iškerta hiperbolės šaką.
fi
DEM
O
46
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Geometrijos uždaviniai5skyrius
Apskritimas ir skritulys
140. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite x.a) b) c) d)
8 +x
13
A
AB
B
C
COO
OO
x
18
A
A
B
B
x
x
8 1710
141. PA ir PB yra apskritimo, kurio centras O, liestinės. Apskaičiuokite kampo BPA dydį, jeigu∠BPA = 2
3∠BOA.
142. PA ir PB yra apskritimo liestinės, AP = 6√
3, ∠AOB = 120◦.Apskaičiuokite nuspalvintos figūros plotą.
A
O
B
P
120∞
6 3
143. Apskritimo stygos AB = 16 cm, AC = 12 cm. Atstumas nuoapskritimo centro O iki stygos AB lygus 6 cm. Apskaičiuokiteatstumą nuo apskritimo centro iki stygos AC.
A B
C
O
12
cm
16 cm
144. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite nuspalvintos figūros plotą ir lanko ACB ilgį.Atsakymus parašykite su raide π .
A
A
OO
C
C
B B
15 cm
20dm
a) b) c) 60 ,
9 cm;
– = ∞=AOB
r
d) 90 ,
15 dm.
– = ∞=AOB
r
12
0∞
A
O
B
A
O
B
C
C
145. Lygiakraščio trikampio kraštinė lygi 6 cm. Iš jo viršūnių nubraižytiapskritimai, kurių spinduliai lygūs 3 cm. Apskaičiuokite užbrūkš-niuotos figūros plotą ir perimetrą.
146. (2012 m. valstybinio brandos egzamino uždavinys.)Stačiakampio įstrižainių susikirtimo taškas sutampa su skrituliocentru. Stačiakampio ilgis lygus 8, o plotis lygus 2
√2. Skritu-
lio spindulio ilgis lygus 2. Apskaičiuokite stačiakampio ir skrituliobendrosios dalies (pilkosios) plotą.
DEM
O
47
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Įvairūs uždaviniai 5skyrius
Koordinatės plokštumoje ir erdvėje
147. Koordinačių plokštumoje pažymėti taškai A(3; 4), B(3; −4) ir C(9; −4). Apskaičiuokite trikampioABC perimetrą ir plotą.
X
Y
y1
y2
x2
x1
A x y( ; )1 1
B x y( ; )2 2
148. a) Trikampio ABC viršūnės yra A(2; 3), B(4; 8), C(6; 3). Įrodykite, kad trikampis yra lygiašonis.b) Trikampio MNP viršūnės yra M(2; −2), N(1; 3) ir P (4; 0). Įrodykite, kad trikampis yra
statusis.
149. Tiesė y = 12x + 3 kerta parabolę y = x2 − 4x + 3 taškuose A ir B.
1) Įrodykite, kad �ABC yra statusis, kai C –– parabolės viršūnė.2) Apskaičiuokite �ABC plotą.
150. Lygiagretainio ABCD trijų viršūnių koordinatės yra A(−2; −2), C(5; 2) ir D(3; −2). Apskai-čiuokite lygiagretainio:1) įstrižainės AC vidurio taško E koordinates; 2) viršūnės B koordinates;3) įstrižainių AC ir BD ilgius.
X
Y
y1
y2
x2x3
y3x1
A x y( ; )1 1
M x y( ; )3 3
B x y( ; )2 2
151. Trikampio ABC viršūnių koordinatės yra A(0; 1), B(1; −4); C(5; 2). Apskaičiuokite pusiaukraš-tinės AM ilgį.
152. Raskite �BEF taško B koordinates ir pusiaukraštinės EM ilgį, kai F(4; −3), E(2; 4) ir M(1; −2).
153. Trikampio ABC viršūnių koordinatės yra A(3; −4; 2), B(−3; 2; 4) ir C(1; 3; −1). Apskaičiuokitetrikampio perimetrą ir pusiaukraštinės CM ilgį.
154. Su kuria a reikšme atstumas tarp taškų A(2; 3; 4) ir B(9; 7; a) lygus 3√
10?
155. Raskite abscisių ašies tašką, vienodai nutolusį nuo taškų A(−2; 3; 5) ir B(3; 2; −2).
DEM
O
48
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Testas5skyrius
156. (2004 m. valstybinio brandos egzamino pakartotinės sesijos uždavinys.)Briaunainis ABCDA1B1C1D1 yra kubas.Kampo AD1B1 dydis yra:A 120◦ B 45◦ C 60◦ D 75◦ E 90◦
A
B
D1
C1
A1
B1
C
D
157. Lygiašonio trikampio ABC pagrindas BC lygus 12 cm, o šoninėkraštinė AB = 10 cm. Iš viršūnės A iškeltas 6 cm ilgio statmuoAK į trikampio ABC plokštumą. Atstumas nuo taško K ikikraštinės BC lygus:A 11 cm B 14 cm C 10 cm D 10,5 cm E 11,5 cm AB
Cα
K
158. Stačiakampio gretasienio ABCDA1B1C1D1 pagrindo kraštinėAD = DC = 4, o šoninė briauna AA1 = √
34. Kampo ACD1kosinusas lygus:A 1
2 B −25 C 2
5 D 52 E 2
√2
5
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
159. Kubo paviršiaus plotas lygus 18√
2 cm2, o įstrižojo pjūvio plotas lygus:A 6 B 4
√6 C 3
√2 D 6
√2 E 8
160. Kaip pasikeis ritinio tūris, jei ritinio pagrindo spindulį padidinsime 100 %, o ritinio aukštinę su-mažinsime keturgubai?A Sumažės dvigubai B Padidės dvigubai C Nepasikeis D Sumažės 25 % E Padidės 25 %
161. Kūgio viso paviršiaus plotas lygus 9π . Kūgio šoninio paviršiaus išklotinė yra skritulio išpjova,kurios centrinis kampas lygus 60◦. Kūgio pagrindo plotas lygus:A 75
7π B 79π C 12
7π D 112π E 36π
162. (2005 m. valstybinio brandos egzamino pakartotinės sesijos uždavinys.)Kiek kartų 2 cm skersmens 100 rutuliukų bendras paviršiaus plotas yra didesnis ar mažesnis už2 cm skersmens vieno rutulio paviršių?A 100 kartų didesnis B 100 kartų mažesnis C 200 kartų didesnis D 200 kartų mažesnisE plotai lygūs
163. (2010 m. valstybinio brandos egzamino uždavinys.)Kūgio sudaromoji yra 5 cm, o jo pagrindo spindulys –– 2 cm ilgio.Šio kūgio šoninio paviršiaus išklotinės centrinio kampo dydis yra:A 144◦ B 136◦ C 133◦ D 47◦ E 44◦
2
5
164. Į kūgio formos indą pripilto vandens aukštis sudaro 23 indo aukščio.
Kiek mililitrų vandens yra inde, jei jame telpa 5,4 litro vandens?A 3600 B 2400 C 1600 D 360 E 160
h23– h
DEM
O
49
12 k
lasė
2 d
alis
. Išp
lėst
inis
ku
rsa
s
Pasitikriname 5skyrius
165. Iš taško A į plokštumą α nubrėžtos dvi pasvirosios, lygios 15 cm ir 10√
3 cm. Šių pasvirųjųprojekcijų ilgių suma lygi 15 cm. Apskaičiuokite atstumą nuo taško A iki plokštumos α.
166. AB –– statmuo į plokštumą α, AC ir AD –– pasvirosios, ∠ACB = 45◦,AC = 8
√2, BD = 6. Apskaičiuokite pasvirosios AD ilgį.
A
B
C
45∞ αD
82
6
167. Kokį kampą sudaro kubo įstrižainė BD1 su:a) siena ABCD?b) sienos ABCD įstrižaine AC?
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
168. Stačiojo trikampio ABC statiniai CA = 6 ir CB = 6√
3. Perįžambinę AB išvesta plokštuma α, kuri su trikampio plokštumasudaro 60◦ kampą. Apskaičiuokite:1) įžambinės AB ilgį;2) atstumą nuo taško C iki įžambinės AB;3) atstumą nuo taško C iki plokštumos α;4) kraštinės CA projekcijos plokštumoje α ilgį.
A B
C
α
E
O
169. Stačiojo gretasienio pagrindas yra rombas, kurio bukasis kam-pas lygus 120◦. Gretasienio aukštinės ilgis yra 5 cm, o šoniniopaviršiaus plotas lygus 40
√3 cm2. Apskaičiuokite gretasienio
mažesniojo įstrižojo pjūvio plotą.
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
170. Kūgio sudaromosios ilgis yra 13 cm, o aukštinės ilgis yra 12 cm.Kūgį kertanti plokštuma lygiagreti su pagrindo plokštuma ir nuojos nutolusi 6 cm atstumu, dalija kūgį į dvi dalis. Apskaičiuokitešių dalių tūrius.
6cm
171. Kūgio formos indo aukštis lygus 0,18 m, o jo pagrindo skersmens ilgis lygus 0,24 m. Vytenispripylė šį indą pilną vandens, o tada jį perpylė į ritinio formos indą, kurio pagrindo skersmens ilgisyra 0,1 m. Koks bus vandens aukštis šiame inde? (Atsakymą pateikite 0,01 m tikslumu.)
172. Į skritulį įbrėžto kvadrato kraštinė atkerta nuopjovą, kurios plotas lygus (2π − 4) cm2. Apskai-čiuokite kvadrato plotą.
173. Apskaičiuokite lygiagretainio ABCD viršūnių A ir D koordinates, kai B(−1; 3), C(4; 1), o lygia-gretainio įstrižainės kertasi taške Q(0; 1).
DEM
O
DEM
O
119
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Kartojame tai, ko prireiks 5 skyriuje
1. 1) 25 cm2;2) 20 cm2;3) 130 cm2;4) 100 cm3.
2. 1) 144 cm2;2) 60 cm2;3) 384 cm2;4) 8 cm;5) 384 cm3.
3. 1) a) 12 cm;b) 8 cm, 16π cm, 64π cm2;
2) a) 170π cm2, 300π cm3;b) 304π cm2, 960π cm3.
4. 1) a) 8 dm;b) 5
√5 dm;
c) 46π dm2;2) a) 96π dm2, 96π dm3;
b) 25π(√
5 + 1)
dm2, 250π3 dm3;
c) π(11
√46 + 46
)m2, 230π
√3
3 m3.
5. 1) 15 cm;2) 900π cm2;3) 4500π cm3.
DEM
O
120
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Kartojame tai, ko prireiks 5 skyriuje
6. 12 cm.
7. 8 gretasienius, kurių matmenys centimetrais yra:1 × 1 × 36, 1 × 2 × 18, 1 × 3 × 12, 1 × 4 × 9, 1 × 6 × 6, 2 × 2 × 9, 2 × 3 × 6, 3 × 3 × 4.
8. 2310 cm3, 1344 cm2.
9. a)√
34 m3;
b) 1 m3;c) 3
√3
2 m3.
10. 1) 15 cm;2) 270
√3 cm2;
3) 0,3√
3 �.
11. a) 100π cm2;b) 125π m�.
12. 176π cm3.
13. 16π(1 + √
2)
dm2, 64π3 dm3.
14. Kūgis, tenkinantis sąlygos duomenis, neegzistuoja.
15.3275 cm
16. 3 cm × 6 cm × 4 cm.
DEM
O
121
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.1. Kampas tarp prasilenkiančiųjų tiesių
17. a) AB, AD; b) BS, AS, AB; c) BS, CS, BC.
18. 1) Tiesės b ir c prasilenkia. 2) Tiesės b ir c kertasi.
a
b
c
α
a
b
c
α
19. 1)
a
b
c
α
2)
a
b
c
α
a ⊥ c ir b ⊥ c ⇒ a ‖ b. a ⊥ c ir b ⊥ c ⇒ a ir b prasilenkia.
20. 1) Duota: a ‖ AC, ABCD ∈ α, a /∈ α.Įrodyti: a ir AD — prasilenkiančios tiesės.Įrodymas. Kadangi a ‖ AC, tai per šias tieses galimaišvesti vienintelę plokštumą β.Tiesė AD kerta plokštumą β, o tiesė a jai priklauso, —vadinasi, per tieses AD ir a neįmanoma išvesti plokštu-mos. O iš to seka, kad tiesės a ir AD — prasilenkiančios.
A
B
C
D
α
a
2) 22◦.
21. 1) Tiesės kertasi.2) Tiesės prasilenkia, jei B /∈ m, ir susikerta, jei B ∈ m.
22. a) 57◦;b) 67◦.
23. 1) Duota: a ‖ BC, a /∈ α.Įrodyti: a ir CD — prasilenkiančios tiesės.Įrodymas. a ‖ BC ⇒ per šias tieses galima išvesti vie-nintelę plokštumą β. Tiesė CD kerta plokštumą β, o tiesėa — jai priklauso. Per tieses a ir CD neįmanoma išvestiplokštumos, — vadinasi, tiesės a ir CD prasilenkia. A
B
C
D
α
a
2) a) 29◦; b) 49◦.
24. a) a;b) a
√6
2 ;c) a
√6
3 .
25. a) arctg 34 ≈ 37◦;
b) arccos 0,28 ≈ 74◦;c) arctg 3
5 ≈ 31◦;d) arccos 8
17 ≈ 62◦;e) arctg 5
4 ≈ 51◦;f) arccos 9
41 ≈ 77◦.
DEM
O
122
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.2. Kampas tarp pasvirosios ir plokštumos
26. a) 60◦;b) 30◦;c) arccos 1
3 ≈ 71◦.
27. 3,6 cm.
28. 1) 8 cm, 16 cm;2) 76◦, 29◦.
29.√
2,√
6.
30. MB = MD = √674 cm; MC = √
1649 cm, jei AC = 40 cm arba MC = √949 cm, jei
AC = 30 cm.
31. 1) �AMB — statusis, BMAM
= ctg 30◦, ⇒ BM = √3x.
�AMC — statusis, MCAM = ctg 60◦, ⇒ MC =
√3
3 x.2) �MBC: pagal kosinusų teoremą
BC2 = BM2 + MC2 − 2 · BM · MC cos ∠BMC;13 = 3x2 + 1
3x2 − 2 · √3x ·√
3x3 · (−1
2),
x = √3.
Iš stačiųjų trikampių ABM ir ACM randame AB = 2√
3 ir AC = 2.
32. 1) 10.2) �ABD statusis ir lygiašonis, BD = AD = 5
√2.
�ADC statusis ir lygiašonis, DC = AD = 5√
2.Kadangi 102 = (
5√
2)2 + (
5√
2)2, tai �BDC — statusis (∠D = 90◦).
DEM
O
123
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.3. Trijų statmenų teorema
33. a) BD yra statmena plokštumos EOC dviem susikertančioms tiesėms EO ir OC (BD ⊥ EO —duota, BD ⊥ OC — kvadrato įstrižainės kertasi stačiu kampu), todėl BD ⊥ EOC. Jei tiesėstatmena plokštumai, tai tiesė statmena kiekvienai plokštumos tiesei, todėl BD ⊥ EC.
b) Papildykime brėžinį atkarpa DC, kuri yra �ABC pusiaukraštinė ir aukštinė.AB ⊥ EDC, nes AB ⊥ ED ir AB ⊥ CD, o ED ir DC — plokštumos EDC susikertančiostiesės.Vadinasi, AB yra statmena kiekvienai plokštumos EDC tiesei, o tuo pačiu ir tiesei EC, t. y.AB ⊥ EC.
34. 1) Spindulys, išvestas į apskritimo ir liestinės lietimosi tašką, statmenas liestinei. AC yra apskritimoliestinė, OE ⊥ AC.
2) ME — pasviroji, MO ⊥ ABC, OE yra ME projekcija plokštumoje ABC, AC eina perpasvirosios ME pagrindą ir statmena OE (projekcijai). Vadinasi, ME ⊥ AC.
3) �MEO — statusis, pagal Pitagoro teoremą ME2 = MO2 + OE2, ⇒ ME = 2,5 dm.ME yra atstumas nuo taško M iki kraštinės AC, jis lygus 2,5 dm.
35. �MCD — statusis, nes ∠MCD = 90◦:1) MC — pasviroji, BC — jos projekcija plokštumoje ABCD;2) BC ⊥ DC, DC eina per MC pagrindą, vadinasi MC ⊥ CD,
ir �MCD — statusis.Analogiškai įrodoma, kad �MAD yra status.
A
B C
D
M
36. 1) 3√
3 cm.2) EM — pasviroji, MB — jos projekcija plokštumoje α, AC eina per pasvirosios EM pagrindą
ir yra statmena jos projekcijai BM . Todėl EM ⊥ AC.3) Atstumas nuo taško E iki kraštinės AC yra atkarpa EM . �EMB — statusis, pagal Pitagoro
teoremą: EM = 14 cm.
37. Atstumas nuo taško C iki AB lygus 48 cm, nuo E iki AB lygus 60 cm.
38. 1) EM — pasviroji į plokštumą ABCD ir yra statmena kraštinei DC, einančiai per pasvirosiosEM pagrindą. OM ⊥ DC, nes OM yra pasvirosios EM projekcija plokštumoje ABCD.
2) 8√
3. DEM
O
124
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.4. Kampas tarp susikertančiųjų plokštumų
39. 4√
3 dm.
40. 1) �ABC — lygiakraštis, DC — pusiaukraštinė ir aukštinė, t. y. DC ⊥ AB. �ASB — lygiašonis,SD — pusiaukraštinė ir aukštinė, t. y. SD ⊥ AB. Kampas tarp statmenų, nubrėžtų į plokštumųASB ir ABC sankirtos tiesę AB, yra kampas tarp plokštumų ASB ir ABC.( ABS,ABC) = ∠SDC.
2) ∠SEA.
41. a) arctg 1 = 45◦;b) arctg 198
65 ≈ 72◦.
42. 1) CM — pasviroji, EM — jos projekcija plokštumoje α, AB ⊥ CM ir eina per pasvirosios CM
pagrindą. Vadinasi, EM ⊥ AB.2) ( α,ABC) = ∠CME, nes AB — plokštumų α ir ABC sankirtos tiesė, ir EM ⊥ AB,
CM ⊥ AB.3) 6 cm.
43. 30◦.
44. 45◦.
45. cos∠BDB1 = 34 .
46. 2√
2.
DEM
O
125
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.5. Briaunainiai
47. 54 cm2, 27 cm3.
48. 5 cm, 12 cm.
49. 1) 96 cm2;2) 10 cm;3) 792 cm2.
50. 1)(75 + 15
√3
2)
cm2;2) 75
√3
4 cm3.
51. 12 kubinių vienetų.
52. 1) 2√
39 kubinių vienetų;
2) arctg√
63 ≈ 39◦.
53. 1)√
32 cm;
2) 3√
32 cm;
3) 9√
34 cm2;
4) 98 cm3.
54. 1) �DSC — lygiašonis, DS = SC (lygių lygiakraščių trikampių pusiaukraštinės). RS yra �DSC
pusiaukraštinė ir aukštinė (sutampa).2)
√2.
DEM
O
126
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.6. Sukiniai
55. 1) 4π cm2;2) 16π cm2;3) 24π cm2;4) 16π cm3.
56. 32π cm2.
57. 1) 32π dm3;
2) 64π dm3.
58. 1) 7 cm;2) 49π cm2;3) 175π cm2;4) 224π cm2;5) 392π cm3.
59. 300π cm2, 1000π√
33 cm3.
60. 1) 9 cm;2) 18π cm;3) 216◦.
61. 84,78 kubinių vienetų.
62. Sšon = Sišpj;πrl = πR2120
360 , R = l;r = l
3 = 4 cm.h =
√l2 − r2 =
√122 − 42 = √
128 = 8√
2.Spav = πr2 + πrl = 42π + 4 · 12π = 64π
(cm2)
.V = 1
3πr2h = 13 · π · 42 · 8
√2 = 128π
√2
3(cm3).
63. 400π dm2, 4000π3 dm3.
64. 288π cm3.
65. 39 cm.
66. 1) 18 mm;2) arctg 3
2 ≈ 56◦;3) 36 mm.
67. 1) 14,5 %.2) R = l, Sšon = πrl, Spusskr = πR2
2 ;πrl = πR2
2 , l = 2r .Vadinasi, �ABC — lygiašonis, nes AC = CB = AB. l
r
R
A
C
B
DEM
O
127
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.7. Briaunainių pjūviai
68. 1) 384 cm2, 512 cm3;2) arctg
√2.
69. 2√
6 cm2.
70. 14,7√
2.
71. 1) 24√
13 cm2;2) arcsin 5
√13
26 .
72. 24√
3 cm3.
73. 200 cm2.
74. 6√
3 cm2.
DEM
O
128
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.8. Sukinių pjūviai
75. 1) 80 cm2;2) 51◦.
76. 37,5π(3 + 2
√3)
cm2, 281,25π√
3 cm3.
77. 17 cm.
78. arctg π .
79. 9 dm2.
80. 108π cm2, 72π√
3 cm3.
81. 32π cm3.
82. 1) 12 cm;2) 60 cm2;3) 300π cm2.
83. arccos√
55 (= arctg 2).
84. Įrodyti. S�ABS = OB2.Įrodymas. S�ABS = 1
2AB · OS, �ABS — statusis ir lygiašonis,todėl AO = OS = R.S�ABS = 1
2 · 2 · R · R = R2, OB2 = R2.A
S
BO
85. 1) �AOS � �BO1S, nes ∠ASO — bendras, ∠BO1S = ∠AOS = 90◦.2) 64π cm2.
86. 576π cm2.
87. 20 cm.
DEM
O
129
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.9. Nupjautinė piramidė ir nupjautinis kūgis
88. Duota: AB = 5√
2 cm,A1B1 = √
2 cm,AA1 = 5 cm.
Rasti: VABCDA1B1C1D1 .
A
A1
D1
B1
C1
B
CD
K
Sprendimas.V = 1
3A1K(SABCD +SA1B1C1D1 +√
SABCD · SA1B1C1D1
),
SABCD = AB2 = 50(cm2)
,SA1B1C1D1 = A1B
21 = 2
(cm2)
,AC = 10 cm; A1C1 = 2 cm.AK = AC−A1C1
2 = 4 (cm); �AA1K — statusis, pagal Pita-goro teoremą: A1K = 3 cm.V = 1
3 · 3(50 + 2 + √
50 · 2) = 62 cm3.
A K C
A1 C1
89. 1064 cm2.
90. 18π(17 + 8
√2)
cm2, 882π cm3.
91. 8π(5 + √
41)
dm2, 260π3 cm3.
92. 1) a) 10 cm; b) 5 cm;2) a) 2; b) 2; c) 2.3) a) 36π cm2, 9π cm2; 4; b) 96π cm3, 12π cm3; 8.
93. 1) a) 5√
2 cm, 10 cm; b) 5√
22 cm, 5 cm.
2) a) 2; b) 2; c) 2.3) a) 100 cm2, 25 cm2; 4; b) 500
√2
3 cm3, 125√
26 cm3; 8.
94. a) 8513 cm3;
b) 372 cm3.
95. 3375 cm3. DEM
O
130
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
5.10. Sudėtingesni erdviniai kūnai
96. 9 dm.
97. 150 cm2.
98. 4,5 m.
99. 32π cm2.
100. 6 3√15 cm.
101. ≈ 0,001 mm.DE
MO
131
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Sprendžiame
102. 5 cm, 10 cm, 5√
13 cm.
103. 30◦.
104. 1) �ABC � �KBL, nes: ∠B — bendras, ∠BKL = ∠BAC
(nes KL ‖ AC);
A
B
L
C
K
α
2) 24.
105.√
3.
106. Duota: �ABC — statusis (∠A = 90◦), AB = AC, BO = √6,
sin ∠BCO =√
34 .
Rasti: ( α,ABC).Sprendimas. ( α,ABC) = ∠BAO, nes BA ⊥ AC ir AO ⊥ AC.AC yra plokštumų sankirtos tiesė ir eina per pasvirosios AB
pagrindą. AD — pasvirosios AB projekcija plokštumoje α.Pagal trijų statmenų teoremą, jei AB ⊥ AC, tai ir AO ⊥ AC.�OBC — statusis, sin ∠BCO = BO
BC ;√
34 =
√6
BC ; BC = 4√
2.�ABC — statusis lygiašonis, pagal Pitagoro teoremą:AB2 + AC2 = BC2, AB = AC = 4.�ABO — statusis, sin ∠BAO = BO
AB=
√6
4 , ∠BAO = arcsin√
64 .
A
B
C
O
6α
107. 2√
7 cm.
108. 1) 11;2) arctg
√2
2 .
109. 27.
110. 240√
6.
111. 3,375 dm3.
112. 384 cm2.
113. 81√
3 + 144(cm2); 72
√3 cm3.
114. 1) 15 cm;2) 10
√3 cm;
3) 75√
3 cm2;4) 195
√3 cm2;
5) 270√
3 cm2;6) 300
√3 cm3.
DEM
O
132
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Sprendžiame
115.27
√3(2+√
5)
2 cm2, 54√
3 cm3.
116. a) 48π cm2;b) 24π
√3 cm3.
117. 176π m3.
118. a) 150,7 cm3;b) 3,3 cm.
119. a) 600π cm2;b) 1500π cm3.
120. a) 17 22029 π cm2;
b) 58 80029 π cm3.
121.4483 π dm3.
122. 60 cm2.
123.64
√3
3 cm2.
DEM
O
133
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Sprendžiame
124. 25√
2 cm2.
125. 200 cm2.
126. 192 cm2.
127. a) 62,5 dm;b) 1562,5π dm3.
128. a) 6 cm;b) 8π cm3.
129. a) 1,5 dm;b) 2,25π dm2;c) 4,5π dm3.
130.3a2
(4+π
√2−π
)2 cm2.
131.16π
√2
3 cm3.
132. Duota: ABCD — kvadratas,SO = 5 cm,OO1 = 4 cm.
Rasti: VSABCD.Sprendimas. �AOO1 — statusis, AO = OS = 5 cm, pagalPitagoro teoremą AO1 = 3 cm.AC = 6 cm, SABCD = AC·BD
2 = 6·62 = 18
(cm2)
.V = 1
3 · 18 · 9 = 54(cm3).
O
O1
A B
CD
S
5
4
133. Apskaičiuokime rutulių užimamą aukštį CB:AB = 22 − (5 + 7) = 10,O1O2 = 12; �O1O2B — statusis pagal Pitagoro teoremą.O2D =
√122 − 102 = √
44 = 2√
11 ≈ 6,6 (cm),BC = CO2 + O2D + DB = 7 + 6,6 + 5 = 18,6 (cm).Įpylus 5 � vandens, rutuliai ir vanduo inde turėtų užimti tūrį
V = 5000 + 43π · 53 + 4
3π · 73 ≈ 6960,4
(cm3)
,
o vanduo pasiektų aukštį
H = V
πR2 ≈ 6960,43,14 · 112 ≈ 18,3 (cm).
Atsakymas. Vanduo rutulių pilnai neapsems.
22A B
D
C
O1
O2
5
7
DEM
O
134
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Sprendžiame
134. 1) AE =√
12 + 12 + (12)2 =
√94 = 3
2 .2) ABCD — kvadratas, jo įstrižainės kertasi stačiu kampu AC ⊥ BD.
Keturkampis DD1B1B — stačiakampis, D1B1 ‖ DB.Kadangi BD ⊥ AC ir BD ‖ B1D1, tai ir B1D1 ⊥ AC pagal kampo tarp prasilenkiančių tiesiųapibrėžimą.
3) VADCD1 = 13SADC · D1D = 1
3 · 12 = 1
6 ,VADCD1 = VDB1C1C = VABCB1 = VD1B1A1A, nes šių piramidžių aukštinės lygios ir pagrindailygūs.VACB1D1 = Vkubo − 4VADCB1 = 1 − 4
6 = 13 .
135. 1) 2√
3R3 . 2)
√2
4 .
136. 1) �CED — lygiašonis, todėl FC = FD = 3, ∠CFD = 180◦ − 2 · 30◦ = 120◦.S = 1
2CF · FD sin 120◦ = 9√
34 .
2) �CEF = �DEF , nes: CE = DE, EF — bendra, CF = DF (�CFD — lygiašonis, nesturi du lygius kampus).Jei trikampiai lygūs, atitinkami jų elementai lygūs, todėl ∠DFE = ∠CFE = 90◦.EF ⊥ FD ir EF ⊥ CF , vadinasi EF ⊥ α (jei tiesė statmena dviems plokštumos susikertan-čioms tiesėms, ji statmena plokštumai).
3) 3√
3.
137. 1) AE ⊥ BC ir DE ⊥ BC, nes AE ir DE yra lygiašonių trikampių ABC ir BDC aukštinės.∠AED — kampas tarp plokštumų ir yra lygus 60◦.
2) 8√
2 cm.3) 13 cm.
138. 1) �SO1A1 � �SOA, nes: ∠OSA — bendras, ∠SO1A1 = ∠SOA = 90◦.Jei vieno trikampio du kampai atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kampams, tai tie trikam-piai panašūs.
2) Kadangi trikampiai SO1A1 ir SOA panašūs, tai atitinkamos jų kraštinės proporcingos:SO1SO = O1A1
OA , ⇒ 12−h12 =
x23 , h = 12 − 2x.
3) Prizmės tūris:V (x) = x2 · (12 − 2x),V ′(x) = 24x − 6x2 = 6x(4 − x),V ′(x) = 0, kai x = 0 arba x = 4.V (4) = 64 cm3.
139. Duota: SO = 12,OA = 4.
1) Parodyti: OO1 = h = 12 − 3x, kai OB = O1A1 = x.Sprendimas. �SO1A1 � �SOA, nes: ∠OSA — bendras,∠SO1A1 = ∠SOA = 90◦.Jei vieno trikampio du kampai atitinkami lygūs kito trikampiodviems kampams, tai tie trikampiai panašūs. Jei trikampiai pa-našūs, tai atitinkamos jų kraštinės proporcingos:SO1SO
= O1A1OA
, ⇒ 12−h12 = x
4 , h = 12 − 3x.
O
O1
B A
A1
2) Ritinio tūris V (x) = πx2(12 − 3x);V ′(x) = 24πx − 9πx2 = 3πx(8 − 3x).V ′(x) = 0, kai x = 0 arba x = 8
3 .Kai x = 22
3 , tai V (x) reikšmė yra didžiausia.Didžiausio tūrio ritinio aukštinė lygi h = 12 − 3 · 8
3 = 4.
DEM
O
135
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Geometrijos uždaviniai
140. a) 5;b) 9
√2;
c) 15;d) 5
√2.
141. 72◦.
142. 36√
3 − 12π .
143. 8 cm.
144. a) 225π4 cm2, 15π
2 cm;b) 800π
3 dm2, 80π3 dm;
c) 27(2π−3
√3)
4 cm2, 3π cm;d) 225(π+2)
4 dm2, 45π2 dm.
145.9(2√
3−π)
2 cm2.
146. 2π + 4.
DEM
O
136
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Įvairūs uždaviniai
147. 24; 24.
148. a) Trikampis yra lygiašonis, kai dvi jo kraštinės yra lygios. Apskaičiuokime �ABC kraštiniųilgius:AB =
√(4 − 2)2 + (8 − 3)2 = √
29,BC =
√(6 − 4)2 + (3 − 8)2 = √
29.b) Apskaičiuokime �MNP kraštinių ilgius ir patikrinkime, ar ilgiausios kraštinės ilgio kvadratas
lygus trumpesniųjų kraštinių ilgių kvadratų sumai:MN =
√(1 − 2)2 + (3 + 2)2 = √
26,NP =
√(4 − 1)2 + (0 − 3)2 = √
18,MP =
√(4 − 2)2 + (0 + 2)2 = √
8;(√26
)2 = (√18
)2 + (√8)2 — lygybė teisinga.
Vadinasi, �MNP — statusis, o ∠MPN = 90◦.
149. 1) Apskaičiuokime tiesės ir parabolės sankirtos taškų A ir B koordinates:12x + 3 = x2 − 4x + 3,x = 0, arba x = 4,5,y = 3; y = 5,25.A(0; 3), B(4,5; 5,25).Apskaičiuokime parabolės y = x2 − 4x + 3 viršūnės C koordinates:x = −−4
2·1 = 2, y = −1, C(2; −1).Apskaičiuokime �ABC kraštinių ilgius ir patikrinkime, ar ilgiausios kraštinės ilgio kvadrataslygus trumpesniųjų kraštinių ilgių kvadratų sumai:AB =
√(4,5 − 0)2 + (5,25 − 3)2 = 9
√5
4 ,AC =
√(2 − 0)2 + (−1 − 3)2 = 2
√5,
BC =√
(2 − 4,5)2 + (−1 − 5,25)2 = 5√
294 ;(5
√29
4)2 = (9
√5
4)2 + (
2√
5)2 — lygybė teisinga.
Vadinasi, �ABC — statusis, o ∠BAC = 90◦.2) S�ABC = 1
2AB · AC = 12 · 9
√5
4 · 2√
51 = 45
4 = 11,25.
150. 1) E(1,5; 0);2) B(0; 2);3) AC = √
65, BD = 5.
151.√
13.
152. B(−2; −1),√
37.
153.√
42 + √62 + √
76,√
33.
154. −1; 9.
155. (−2,1; 0; 0).
DEM
O
137
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Testas
156. C.
157. C.
158. C.
159. A.
160. C.
161. C.
162. A.
163. A.
164. C.
DEM
O
138
12 k
lasė
2 d
alis
. IŠP
LĖST
INIS
KU
RSA
S
Atsakymai
Pasitikriname
165. 10√
2 cm.
166. 10.
167. a) arctg√
22 ;
b) 90◦.
168. 1) 12;2) 3
√3;
3) 4,5;4) 3
√7
2 .
169. 10√
3 cm2.
170. 12,5π cm3, 87,5π cm2.
171. 0,35 m.
172. 16 cm2.
173. A(−4; 1), D(1; −1).
DEM
O
VadoVėlio Matematika komplektą sudaro:
• Vadovėlis – visiems• Parsisiøsdinama skaitmeninė vadovėlio versija – naudojantiems
kompiuterius • Uždavinynas – kuriems vadovėlio užduotys per lengvos• Savarankiški ir kontroliniai darbai – į pagalbą mokytojams• Mobili interaktyvi kompiuterinë (MIKO) knyga mokytojams –
informacijos kaupimui ir tvarkymui
tau
Visi uždaviniai patikrinti ir perspręstileidyklos specialistų.
ISBN 978-609-433-191-6
9 7 8 6 0 9 4 3 3 1 9 1 6
Rengdamiesi brandos egzaminui
pasitreniruokitepakartokite pasitikrinkite
DEM
O
![Ktu Matematika 2 Konspektas Egzaminui [Mokslobaze.lt]](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/55cf8c9b5503462b138e394c/ktu-matematika-2-konspektas-egzaminui-mokslobazelt.jpg)
