Repaso de funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones lineales, cuadráticas, polinómicas y racionales se conocen como funciones algebraicas. Las funciones algebraicas son funciones que se pueden expresar en términos de operaciones algebraicas. Si una función no es algebraica se llama una función transcendental. Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son funciones transcendentales.

Definición: Una función exponencial es una función de la forma y = ax, donde a>0 y a es diferente de uno.

Ejemplos:

 

 

 

 

 

 F(x) = 2x F(x) = (½)x = (2 -1)x = 2 -x

  Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2-x.

Algunas características de las funciones exponenciales crecientes:

1) El dominio es el conjunto de los números reales.

2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes:

1) El dominio es el conjunto de los números reales.

2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x? Por ejemplo: si 8 = 2x, ¿cuál es el valor de x? _________; si 100 = 10x. ¿cuál es el valor de x? __________

 Pero la mayoría de las ecuaciones exponenciales no tienen soluciones tan evidentes.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces logay = x si y sólo si y = ax.

Nota: La ecuación logay = x se lee "el logaritmo de y en la base a es x".

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que "el logaritmo de 25 en la base 5 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que. log5 25 = 2 es equivalente a 52

=25.

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Resolución de ecuaciones logarítmicas simples. Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log3 9 = x.

2) Halla el valor de a si loga 8 = 3.

3) Halla el valor de y si log2 y = 7.

 

 Propiedades de los logaritmo comunes: Para a > 1.

1) loga 1 = 0

2) loga a = 1

3) loga (u v) = loga u + loga v

5) loga (un) = n loga u

6) loga M = loga N, entonces M = N

 

Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log2 x - log2 (x - 8) = 3.

2) Resuelve para x la ecuación: log8 3 + ½ log8 25 = log8 x .

Ejercicio de práctica: Resuelve log4 (x + 1) - log4 (3x - 2) = 2.

 

Función exponencial natural:

La letra a que aparece en la función exponencial se llama la base. La base puede ser cualquier número real positivo (ver definición de función exponencial). Sin embargo, hay casos donde se usa como base un número irracional denotado por e = 2.71828...

La función exponencial f(x) = ex se conoce como la función exponencial natural. La gráfica de esta función es:

f(x) = ex

 

Logaritmo natural:

También podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se representan por el símbolo ln. De manera, que si y = ex, entonces x = loge y = ln.

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En particular:

1) ln (u v) = ln (u) + ln (v)

3) ln un = n ln u

4) ln e = 1

5) ln 1 = 0

Ejemplos para discusión:

1) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos:

2) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como el logaritmo de una sola cantidad:

Ejercicios:

Escribe cada ecuación exponencial a la forma logarítmica y viceversa:

1) 23 = 8

4) log10 0.01 = -2

5) ln 2 = 0.6931...

6) ln 0.5 = -0.6931...

Halla el valor de x:

7) log10 1000 = x

9) log3 x = -1

10) logx 27 = 3

12) log3 x + log3 (x - 2) = 1

13) x - 3 = log2 32

14) x2 - x = log5 25

Dibuja la gráfica de :

15) f(x) = 3x

16) y = 3-x

Usa las propiedades de los logaritmos para escribir cada expresión dada como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos.

17) log2 xyz

22) ln 3e2

Escribe cada expresión con un único logaritmo:

23) log3 (x - 2) - log3 (x + 2)

24) 3 ln x + 2 ln y - 4 ln z

25) 2[ln x - ln (x + 1) - ln (x - 1)]

 Respuestas:

1) log2 8 = 3

4) 10-2 = 0.01

5) e0.6931... = 2

7) x = 3

8) x = -3

10) x = 3

12) x = 3

13) x = 8

14) x = 2

15)

 

 

 

 

16)

 17) log2 x + log2 y + log2 z

18) [ln x + ln y] - ln 2

21) -log2 5

22) ln 3 + 2