1IntroduccinEntre los conceptos de gran utilidad en la resolucin de

ecuaciones diferenciales lineales estn las transformadas integrales.

Una transformada integral es de la forma

En donde una funcin dada f se transforma en otra funcin F, por medio de una integral.

Se dice que F es la transformada de f y la funcin K se llama kernel de la transformacin.

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

=

dttftsKsF )(),()(

2Transformadas de LaplaceSean

La transformada de Laplace de se obtiene mediante

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

{ }0

( ) ( ) ( ) stL f t F s f t e dt = =

( ) = una funcin del tiempo tal que ( ) 0 para 0f t t f t t= < = una variable complejas

0

= un smbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante

la integral de Laplace st

L

e dt

( ) = transformada de Laplace de ( )F s f t

( )f t

3TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Continuidad seccional o a trazos Se dice que una funcin es seccionalmente continua ocontinua a trazos en un intervalo si esposible partir el intervalo en un nmero infinito desubintervalos de tal manera que la funcin sea continuaen cada uno de ellos y tenga lmites a izquierda yderecha.

La funcin de la figura tiene discontinuidades en , y Esta funcin es seccionalmente continua.

t

1t 2t.3t

4TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Funciones de orden exponencialSi existen constantes reales y tales que paratodo

se dice que es una funcin de orden exponencialcuando o simplemente, que es una funcin deorden exponencial.Ejemplos1. es de orden exponencial 3 (por ejemplo) ya que

2. no es de orden exponencial ya que puede hacerse ms grande que cualquier constante alhacer crecer

0>M Nt >

)( o )( tt MetFMtFe

5TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Condiciones suficientes para la existencia de latransformada de LaplaceTeorema. Si es seccionalmente continua en cadaintervalo finito de orden exponencial para

entonces existe la transformada de Laplacepara todo

Otras condiciones son:a. es seccionalmente continua en cualquier

intervalo donde

b. para cualquier tal que

c. es de orden exponencial para

)(tfNt 0

,Nt > )(sF.>s

)(tfNtN 1 ,01 >N

n ,10

0)(lim0 = tft nt

6TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Transformada de Laplace de funciones elementalesFuncin exponencialSea la funcin exponencial

en donde y son constantes.La transformada de Laplace de esta funcin exponencialse obtiene as: