REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1

REPRESENTACIÓN DE CURVAS Función polinómica de segundo grado. Su gráfica es una parábola. Para representarla basta con halla los puntos de corte a los ejes y el vértice que es siempre un máximo o un mínimo. Si el coeficiente de x2 es posi-tivo la parábola es abierta hacia arriba y si es negativo abierta hacia abajo Cuando no existen puntos de corte con el eje de abscisas podemos ayudarnos con una sencilla tabla de valores.

Ejemplo 1

34xy de Gráfica 2 +−= x

Puntos de corte a los ejes: • Para x = 0, y = 3 � La función corta al eje de ordenadas en el punto (0, 3)

• Para y = 0, 0342 =+− xx � ���

=±=−±=13

224

212164

x

Los puntos de corte al eje de abscisas son (3, 0) y (1, 0) Vértice: 342 +−= xxy ; 42 −=′ xy ; 2=′′y

042 =−x � 2=x . El eje de simetría de la parábola es la recta x = 2. Para x = 2, 132.42)2( 2 −=+−=y

)1,2( −V . El vértice es un mínimo ya que la segunda derivada es positiva.

La función es decreciente en el intervalo (-∞, 2) y creciente en (2, +∞)

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 2 Ejemplo 2.

23xy Gráfica 2 +−= x

Se trata de una función valor absoluto que se expresa de la forma siguiente:

��

���

<+−−+−

≥+−+−=+−=

023 23

023 2323

22

222

xxsixx

xxsixxxxy

Para representarla se dibujan las gráficas de 232 +−= xxy ; 232 −+−= xxy

Después nos quedamos con la parte de dibujo situado por encima del eje de abscisas. Estudio de la primera función: 232 +−= xxy

Para x = 0, y = 2. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 2)

Para y = 0, 0232 =+− xx � ���

=±=−±=12

213

2893

x

Corta al eje de abscisas en los puntos (2, 0) y (1, 0) Vértice:

232 +−= xxy

32 −=′ xy ; 032 =−x � 23=x

Para 23=x ,

41

223

.323

)23(

2

−=+−��

�

�=y El vértice es el punto ( )41,2

3 −V

Estudio de la segunda función: 232 −+−= xxy Para x = 0, y = -2 Corta al eje de ordenadas en el punto (0, -2) Para y = 0, 0232 =−+− xx � x = 2; x = 1 Los puntos de corte con el eje de abscisas son los mismos que antes (2, 0) y (1, 0)

Vértice: 232 −+−= xxy ; 32 +−=′ xy ; 032 =+− x � 23=x

Para 23=x ,

41

223

.323

)23(

2

=−+��

�

�−=y El vértice es el punto ( )41,2

3V ′

La función es decreciente en los intervalos (-∞, 1) y (3/2, 2) Es creciente en (1, 3/2) y (2, +∞).

232 +−= xxy

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 3

Funciones polinómicas en general

Se siguen los siguientes pasos: • Dominio: Dom(f) = R. El dominio de toda función polinómica es siempre R. • Puntos de corte con los ejes de coordenadas. • Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos • Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

Ejemplo 3.

x9xf(x) de Gráfica 3 −=

Dominio: El dominio es R; Dom(f) = R Puntos de corte con los ejes de coordenadas: Para x = 0, y = 0

Para y = 0, 093 =− xx � 0)9( 2 =−xx � ���

±=�=−=

309

02 xx

x

Los puntos de corte son (0, 0), (3, 0) y (-3, 0).

Crecimiento y decrecimiento: 93)( 2 −=′ xxf ; � 32 =x � 3±=x

Intervalos )3,( −−∞ )3,3(− ),3( +∞ Signo de la derivada + - +

Función � � � Para 3−=x )36 ,3Máximo(- ∃ ; Para 3=x )36 ,3Mínimo( −∃

Concavidad y convexidad: xxf 6)( =′′ ; 6x = 0 � x = 0.

Intervalos )0,(−∞ ),0( +∞ Signo de la segunda derivada - +

Función ∩∩∩∩ ∪∪∪∪ Para x = 0, existe punto de inflexión (0, 0)

)36,3(−

)36,3( −

xxy 93 −=

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 4

Funciones racionales Se siguen los siguientes pasos:

• Dominio: { }anula ser denominado el donde puntos los)( −= RfDom • Asíntotas • Puntos de corte con los ejes de coordenadas. • Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos • Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

Ejemplo 4

122x

y de Gráfica2

−+−=

xx

Dominio: x – 1 = 0 � x = 1 { }1)( −= RfDom Asíntotas: Verticales 1=x (A.V.) Horizontales: No hay

Oblicuas: nmxy += ; 122

)1(22

2

22

=−

+−=−

+−==∞→∞→∞→ xx

xxlím

xxxx

límxy

límmxxx

112

122

)(2

−=−+−=��

�

�

�−

−+−=−=

∞→∞→∞→ xx

límxx

xxlímmxylímn

xxx; 1−= xy (A.O.)

Puntos de corte: Para x = 0, y = -2; Para y =0, 0222 =+− xx (que no tiene sol real.) Único punto de corte: (-2, 0)

Crecimiento y decrecimiento: 2

2

)1(2

−−=′

xxx

y ; 0=′y � 022 =− xx � x = 0; x = 2

(-∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2, +∞) y ′ + - - + y � � � �

Concavidad y convexidad: 3)1(

2−

=′′x

y ; y ′′ no se anula nunca. No hay puntos de in-

flexión.

(-∞, 1) (1, +∞) y ′′ - +

y ∩∩∩∩ ∪∪∪∪

Para x = 0, ∃ máximo Para x = 2, ∃ mínimo

1222

−+−=

xxx

y

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 5 Ejemplo 5

1x

y de Gráfica2

2

+=

x

Dominio: 012 =+x � 1−=x ; No hay soluciones reales. El denominador no se anu-la nunca. RyDom =)( Asíntotas: Verticales: No hay porque el denominador no se anula

Horizontales: 112

2

=+∞→ x

xlímx

luego y = 1 es una A.H.

Oblicuas: No hay. Si hay horizontales no hay oblicuas.

Puntos de corte: Para x = 0, y = 0; Para y = 0, x = 0. Único punto de corte: (0, 0)

Crecimiento y decrecimiento: 2222

22

)1(2

)1(.2)1(2

+=

+−+=′

xx

xxxxx

y

Si hacemos 0=′y entonces 2x = 0 � x = 0 Estudiando la derivada en los intervalos (-∞, 0) y (0, +∞) se obtiene la siguiente tabla

(-∞, 0) (0, +∞) y ′ - + y � �

Concavidad y convexidad:

32

2

32

22

42

222

)1(62

)1(8)1(2

)1(22).1(2)1(2

+−=

+−+=

++−+=′′

xx

xxx

xxxxx

y

Si hacemos 0=′′y , 062 2 =− x � 3

1±=x

)3

1,( −−∞ )3

1,3

1(− ),3

1( +∞

y ′′ - + -

y ∩∩∩∩ ∪∪∪∪ ∩∩∩∩

Para x = 0, ∃ Mínimo(0, 0)

Existen puntos de in-

flexión para 3

1−=x

y para 3

1=x

12

2

+=

xx

y

1=y

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 6 Ejemplo 6

5x3-2x

y de Gráfica+

=

La gráficas de la forma dcxbax

y++= , siendo c≠ 0, son siempre hipérbolas y para repre-

sentarlas podemos omitir el método general de representación de funciones racionales.

Basta con hallar los puntos de corte y las asíntotas.

Puntos de corte: Para x = 0, y = -3/5

Para y = 0, 2x –3 = 0 � x = 3/2

Los puntos de corte son (0, -3/5) y (3/2, 0)

Asíntotas:

Asíntota vertical: x = -5

Asíntota horizontal: 2532 =

+−

∞→ xx

límx

; y = 2 es una asíntota horizontal

Con las dos asíntotas dibujadas aparecen unos nuevos ejes. La curva ocupará primero y tercer cuadrante, o bien segundo y cuarto. Los puntos de corte hallados nos indican los que hemos de elegir. En este caso, segundo y cuarto.

Observando la gráfica vemos que siempre es creciente. No hay máximos ni mínimos.

Es convexa en (-∞, -5) y cóncava en (-5, +∞). No hay puntos de inflexión porque aun-que en el punto x = -5, pasa de convexa a cóncava, dicho punto no es de su dominio.

532

+−=

xx

y

2=y

5−=x

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 7 Ejemplo 7

11x

y de Gráfica2

2

−+=

x

Dominio: 012 =−x � 1±=x ; { }1 ,1)( −−= RyDom Asíntotas: Verticales: 1−=x ; 1=x

Horizontales: 111

2

2

=−+

∞→ xx

límx

; y = 1 es una A.H. Asíntotas oblicuas no hay.

Puntos de corte: Para x = 0, y = -1 Un punto de corte es (0,-1)

Para y = 0, 011

2

2

=−+

xx

� 012 =+x .No hay solución, no hay más puntos de corte.

Crecimiento y decrecimiento: 2222

22

)1(4

)1()1(2)1(2

−−=

−+−−=′

xx

xxxxx

y .

Si hacemos ,0=′y -4x = 0 � x = 0 Dividiendo el dominio por el punto cero y estudiando el signo de la derivada en los in-tervalos (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, +∞) se obtienen el siguiente resultado:

(-∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, +∞) y ′ + + - - y � � � �

Concavidad y convexidad:

32

2

32

22

42

222

)1(124

)1(16)1(4

)1()4(2)1(2)1(4

−+=

−+−−=

−−−−−−=′′

xx

xxx

xxxxx

y

Si hacemos 0=′′y entonces 0124 2 =+ x que no tiene solución, luego la segunda deri-vada no se anula nunca. No hay puntos de inflexión. La tabla que refleja la concavidad y convexidad de la curva queda así:

(-∞, -1) (-1, 1) (1, +∞) y ′′ + - +

y ∪∪∪∪ ∩∩∩∩ ∪∪∪∪

Para x = 0, existe máximo M(0, -1)

11

2

2

−+=

xx

y

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 8 Funciones logarítmicas. Los pasos a seguir son los mismos que en las racionales pero en el dominio hemos de tener en cuenta que el logaritmo de los números negativos no existe. En los límites se cuidará si la tendencia es por la derecha o por la izquierda.

Ejemplo 8.

xLx

y de Gráfica =

Dominio: Globalmente es una función racional, luego el punto donde se anula el deno-minador, 0=x , no es de su dominio. Además, como figura Lx, ha de ser ox > , por tanto, ),0()( +∞=yDom Asíntotas: Verticales: Son aquellos valores que hacen que la función tome el valor de ∞, Cuando +→ 0x , −∞→y luego x = 0 es una asíntota vertical inferior.

Horizontales: 01

1

1===

+∞→+∞→+∞→ xlímxlím

xLx

límxxx

, 0=y es una A.H. derecha.

Oblicuas: nmxy += ; 02

12

1

22=====

+∞→+∞→+∞→+∞→ xlím

xxlím

xLx

límxy

límmxxxx

. No hay.

Puntos de corte: Para x = 0, la función no está definida. Para y = 0, Lx = 0 � x = 1. El único punto de corte es (1, 0)

Crecimiento y decrecimiento: 2

1x

Lxy

−=′ ; Si hacemos 0=′y entonces 01 =− Lx

(0, e) (e, +∞) y ′ + - y � �

Concavidad y convexidad: 3

23x

Lxy

+−=′′ ; Si hacemos 0=′′y , -3 + 2Lx = 0 �

),0( 2

3e ),2

3+∞e

y ′′ - +

y ∩∩∩∩ ∪∪∪∪

Para x = e, existe máximo

)1,( eeM

23=Lx ; 2

3ex =

Para 23

ex = existe punto de inflexión

Es decir, Lx = 1 � x = e

xLx

y =

)1,( ee

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 9 Funciones exponenciales.

Se siguen los mismos pasos que en las racionales.

Ejemplo 9.

xxey de Gráfica =

Dominio: La función dada es el producto de una polinómica (de dominio R) y de la ex-ponencial natural (de dominio R), por tanto, Dom(y) = R

Asíntotas: Verticales: No hay. No existe ningún valor de x para el que la función tome el valor de infinito.

Horizontales: +∞=+∞→

x

xxelím ; 0

1)( =−=−=−=

+∞→+∞→

−

+∞→−∞→ xxxx

x

x

x

x elím

ex

límxelímxelím , luego

0=y es una asíntota horizontal izquierda.

Oblicuas: nmxy += ; ���

∞→+∞→∞

===∞→∞→ - xsi 0

xsi x

xxelím

xy

límm ; No hay.

Puntos de corte: Para x = 0, y = 0; Para y = 0, x = 0. Único punto de corte (0, 0)

Crecimiento y decrecimiento: )1( +=′ xey x ; Si hacemos 0=′y , 0)1( =+xe x � x = -1 Los intervalos de monotonía quedan de la forma siguiente:

(-∞,-1) (-1, +∞) y ′ - +

y � � Concavidad y convexidad: )2( +=′′ xey x ; Si hacemos 0=′′y , 0)2( =+xe x � x = -2

(-∞,-2) (-2, +∞) y ′′ - +

y ∩∩∩∩ ∪∪∪∪

Para x = -1 existe mínimo.

)1,1( eM −−

Para x = -2 existe punto de inflexión

)2,2( 2eI −−

xxey =

)1,1( e−−

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 10 Funciones en general.

Ejemplo 10.

Lxx

y de Gráfica =

Dominio: Por se parte de la función logarítmica, no entran los números negativos. Por ser globalmente racional hay que eliminar del dominio aquellos valores que anulan al denominador, 10 =�= xLx Es decir, ) ,1()1 ,0()( ∞+= �yDom

Asíntotas: Verticales: x = 1; Horizontales: +∞===+∞→+∞→+∞→

xlímx

límLxx

límxxx 1

1 (No hay)

Oblicuas: 01 ===

+∞→+∞→+∞→ Lxlím

xLx

xlím

xy

límxxx

(No hay)

Puntos de corte: Para x = 0, la función no está definida. Para y = 0, 0=Lxx

� x = 0

Pero el 0 no pertenece al dominio de la función. No hay puntos de corte. Crecimiento y decrecimiento:

2)(1

LxLx

y−=′ ; Si ,0=′y Lx –1 = 0 � Lx = 1

es decir, x = e. Para x = e, ∃ mínimo M(e, e) Concavidad y convexidad:

3)(2

LxxLx

y−=′′ ; Si ,0=′′y 2 – Lx = 0 � Lx = 2 � 2ex =

(0, 1) (1, e2) (e2. +∞) y ′′ - + - y ∩∩∩∩ ∪∪∪∪ ∩∩∩∩

(0, 1) (1, e) (e, +∞ y - - + y ′

� � �

Para x = 1, pasa de cóncava a convexa pero el punto no es del dominio de la función. Para x = e2 pasa de convexa a cóncava. Hay punto de inflexión en dicho punto

Lxx

y =

REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 11 Ejemplo 11.

1-xy de Gráfica +=

Dominio: Como no existen las raíces cuadradas de números negativos, ha de ser 01≥−x � 1≥x ; ) ,1[)( ∞+=yDom

Asíntotas: Verticales no hay porque no existe ningún valor de x para el cual la función tome de valor de ∞. Horizontales: +∞=−

+∞→1xlím

x. No hay Existe rama parabólica.

Oblicuas: 00111

22==−−=−=

+∞→+∞→+∞→+∞→ xx

límx

xlím

xx

límxy

límxxxx

. No hay.

Puntos de corte: Para x = 0, no existe la función. Para y = 0, 01 =−x � x = 1 El único punto de corte es (1, 0)

Crecimiento y decrecimiento:

012

1 >−

=′x

y . La función es creciente en todo su dominio. No hay máximos ni mí-

nimos. Concavidad y convexidad:

21

21

)1(21

)1(

1.

21

12

1 −−=−

=−

=′ xxx

y

1)1(4

1

)1(4

1

)1(

1.

41

)1(21

.21

323

23

−−−=

−

−=−

−=−−=′′ −

xxxxxy

La segunda derivada no se anula nunca y es negativa para todo valor de x > 1. Por tanto, siempre es cóncava. La gráfica queda de la siguiente forma:

1−+= xy